D3_6 函数图形的描绘

例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4y 4xy 0 ①
y x 3 2y 2(x 1)
①两边对 x 求导得 2 4y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
1
1
,1 e 2 )
2
x
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
x1 x 1
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或x )
(kx b)
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
k lim f (x) x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
令 y 0得 x 1, 3 ;
3) 判别曲线形态
x (,1) 1 (1,1)
y
0
y
y
2
1 (1,3) 3
无 0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)( x
x 1)2
1)
,
y
(
x
x)
x]
lim
x
2x2 x2 2x
3x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
y
y
x 1 3
4)
y2
3
2
2
(极大)
0
4 3
(拐点)
2 3
(极小)
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
例2. 求曲线
的渐近线.
y
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f
(x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(
y
(x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(
x
2 1)3
6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
y x a
笛卡儿 叶形线
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
例如, 双曲线
L PN
有渐近线
x 1
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x2
)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0得x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
2 1)3
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x]
x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
y (x 3)2 4(x 1)
思考与练习
1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(D)
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim
x0
1 1
e e
x2 x2
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
x
3at 1 t3
,
3at2 y 1t3
当x 时t 1, 因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线
x y0 ab
Oy
x
但抛物线
源自文库
无渐近线 .
Ox
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
y
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
2
x O1
y 2 为水平渐近线; lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线.