全微分
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又因为
由此可见，无论u,v是自变量还是中间变量，全微分形式都 是一样的.这个性质就是全微分形式的不变性.
利用全微分形式的不变性可以Байду номын сангаас低复合函数求导的难度， 在第十章学习微分方程知识时还要用到.
二、 全微分形式的不变性
【例32】
三、 全微分在近似计算中的应用
与一元函数类似，当ρ→0时，二元函数z=f(x,y)的全增量
Δz≈f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy， 这是求全增量的近似表达式.
(8-17) (8-18)
三、 全微分在近似计算中的应用
式(8-18)也可以写成 f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)
Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-19) x=x0+Δx,y=y0+Δy，得函数值的近似公式
定理8
(可微的充分条件)如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数 连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.
证明略.
常见的二元函数一般都满足定理3的条件，从而它们都是可微函
数.
二元函数全微分的概念可以推广到三元及其以上的函数.
例如，设三元函数u=f(x,y,z)
都连续，
则它可微且其全微分为
与全微分之差是ρ的高阶无穷小.由二元函数z=f(x,y)的全微分
定义和全微分存在的充分条件可知，当二元函数z=f(x,y)在点
P(x,y)的两个偏导数f′x(x,y),f′y(x,y)连续，并且|Δx|和|Δy|都较 小时，就有如下的近似计算公式
Δz≈dz=f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy. 如果所考虑的是点(x0,y0)，则有
在第二章的学习中，我们知道了一元函数连续、可导与 可微三者之间的关系，那么，对于二元函数连续、可导与可 微三者之间的关系又如何呢？在第二节我们知道了函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，不能保证函数z=f(x,y)在 点(x0,y0)处连续，若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微能否保证 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续且偏导数存在呢？
上面讨论了可微与连续的关系，下面来分析 二元函数可微与偏导数存在的关系.如果函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，如何求A，B呢？
一、 全微分的概念
定理7
一、 全微分的概念
(8-14) (8-15) 上面两式的右端我们分别称其为二元函数z=f(x,y)对x和对y 的偏微分.
一、 全微分的概念
全微分
全微分
在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概 念，现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量， 把一元函数微分的概念推广到多元函数.
在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变 化，而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往 是几个自变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数 各个自变量同时变化时函数的变化情形.以二元函数为例， 为此，我们引入二元函数全微分的概念.
f(x,y)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x－x0)+f′y(x0,y0)(y－ y0).(8-20)
利用式(8-18)和式(8-20)可以对二元函数做近似 计算和误差估计.
三、 全微分在近似计算中的应用
【例33】
有一圆柱体钢锭，受压后发生变形，它的半径由10 cm增加到 10.02 cm，高度由80 cm减少到79 cm，求此圆柱体钢锭体积变化的 近似值.
一、 全微分的概念
定理6
如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0) 处连续.
证由函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，可得
即函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.
一、 全微分的概念
定理6也告诉我们，如果函数z=f(x,y)在点 (x0,y0)处不连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处一 定不可微.连续是可微的必要条件.
(8-16)
【例31】
一、 全微分的概念
二、 全微分形式的不变性
设函数z=f(u,v)具有连续的一阶偏导数，则有全微分
如果u,v又是x,y的函数u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且两个 函数也具有连续的一阶偏导数，则复合函数
z=f［φ(x,y),ψ(x,y) 的全微分为
二、 全微分形式的不变性
解设圆柱体的半径、高和体积依次为r，h和V，则有
三、 全微分在近似计算中的应用
【例34】
谢谢聆听
(8-12)
其中A,B与Δx,Δy无关仅与x0,y0有关，α是ρ=(Δx)2+(Δy)2的高阶无穷
则称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记 为dz，即
dz=AΔx+BΔy，
(8-13)
这时也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.
一、 全微分的概念
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都可微，则称 函数z=f(x,y)在区域D内是可微的.
一、 全微分的概念
一般来说，计算函数的全增量是比 较麻烦和复杂的，能否找到一个计算简 单且准确度较高的近似表达式呢？请看 二元函数的全微分概念.
一、 全微分的概念
定义9
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，如果函数在(x0,y0)处 的全增量Δz可以表示成
Δz=AΔx+BΔy+α，
由此可见，无论u,v是自变量还是中间变量，全微分形式都 是一样的.这个性质就是全微分形式的不变性.
利用全微分形式的不变性可以Байду номын сангаас低复合函数求导的难度， 在第十章学习微分方程知识时还要用到.
二、 全微分形式的不变性
【例32】
三、 全微分在近似计算中的应用
与一元函数类似，当ρ→0时，二元函数z=f(x,y)的全增量
Δz≈f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy， 这是求全增量的近似表达式.
(8-17) (8-18)
三、 全微分在近似计算中的应用
式(8-18)也可以写成 f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)
Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-19) x=x0+Δx,y=y0+Δy，得函数值的近似公式
定理8
(可微的充分条件)如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数 连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.
证明略.
常见的二元函数一般都满足定理3的条件，从而它们都是可微函
数.
二元函数全微分的概念可以推广到三元及其以上的函数.
例如，设三元函数u=f(x,y,z)
都连续，
则它可微且其全微分为
与全微分之差是ρ的高阶无穷小.由二元函数z=f(x,y)的全微分
定义和全微分存在的充分条件可知，当二元函数z=f(x,y)在点
P(x,y)的两个偏导数f′x(x,y),f′y(x,y)连续，并且|Δx|和|Δy|都较 小时，就有如下的近似计算公式
Δz≈dz=f′x(x,y)Δx+f′y(x,y)Δy. 如果所考虑的是点(x0,y0)，则有
在第二章的学习中，我们知道了一元函数连续、可导与 可微三者之间的关系，那么，对于二元函数连续、可导与可 微三者之间的关系又如何呢？在第二节我们知道了函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在，不能保证函数z=f(x,y)在 点(x0,y0)处连续，若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微能否保证 函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续且偏导数存在呢？
上面讨论了可微与连续的关系，下面来分析 二元函数可微与偏导数存在的关系.如果函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，如何求A，B呢？
一、 全微分的概念
定理7
一、 全微分的概念
(8-14) (8-15) 上面两式的右端我们分别称其为二元函数z=f(x,y)对x和对y 的偏微分.
一、 全微分的概念
全微分
全微分
在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概 念，现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量， 把一元函数微分的概念推广到多元函数.
在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变 化，而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往 是几个自变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数 各个自变量同时变化时函数的变化情形.以二元函数为例， 为此，我们引入二元函数全微分的概念.
f(x,y)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)(x－x0)+f′y(x0,y0)(y－ y0).(8-20)
利用式(8-18)和式(8-20)可以对二元函数做近似 计算和误差估计.
三、 全微分在近似计算中的应用
【例33】
有一圆柱体钢锭，受压后发生变形，它的半径由10 cm增加到 10.02 cm，高度由80 cm减少到79 cm，求此圆柱体钢锭体积变化的 近似值.
一、 全微分的概念
定理6
如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0) 处连续.
证由函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，可得
即函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.
一、 全微分的概念
定理6也告诉我们，如果函数z=f(x,y)在点 (x0,y0)处不连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处一 定不可微.连续是可微的必要条件.
(8-16)
【例31】
一、 全微分的概念
二、 全微分形式的不变性
设函数z=f(u,v)具有连续的一阶偏导数，则有全微分
如果u,v又是x,y的函数u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且两个 函数也具有连续的一阶偏导数，则复合函数
z=f［φ(x,y),ψ(x,y) 的全微分为
二、 全微分形式的不变性
解设圆柱体的半径、高和体积依次为r，h和V，则有
三、 全微分在近似计算中的应用
【例34】
谢谢聆听
(8-12)
其中A,B与Δx,Δy无关仅与x0,y0有关，α是ρ=(Δx)2+(Δy)2的高阶无穷
则称AΔx+BΔy为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记 为dz，即
dz=AΔx+BΔy，
(8-13)
这时也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.
一、 全微分的概念
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都可微，则称 函数z=f(x,y)在区域D内是可微的.
一、 全微分的概念
一般来说，计算函数的全增量是比 较麻烦和复杂的，能否找到一个计算简 单且准确度较高的近似表达式呢？请看 二元函数的全微分概念.
一、 全微分的概念
定义9
设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义，如果函数在(x0,y0)处 的全增量Δz可以表示成
Δz=AΔx+BΔy+α，