电源电动势和内阻的测量方法及误差分析

关于电源电动势和内阻的几种测量方法及误差分析黎城一中物理组一、伏安法选用一只电压表和一只电流表和滑动变阻器，测出两组U 、I 的值，就能算出电动势和内阻。

1 电流表外接法 1.1 原理如图1-1-1所示电路图，对电路的接法可以这样理解：因为要测电源的内阻，所以对电源来说用的是电流表外接法。

处理数据可用计算法和图像法：（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律Ir U E +=，有：测测r I U E 11+= 测测r I U E 22+=可得：122112I I U I U I E --=测 1221I I U U r --=测（2）图像法：用描点作图法作U-I 图像，如图1-1-2所示：图线与纵轴交点坐标为电动势E ，图线与横轴交点坐标为短路电流rEI =短，图线的斜率的大小表示电源内阻IUr ∆∆=。

1.2 系统误差分析由于电压表的分流作用，电流表的示数I 不是流过电源的电流0I ，由电路图可知I <0I 。

【1】计算法：设电压表的内阻为V R ，用真E 表示电动势的真实值，真r 表示内阻的真实值，则方程应修正为：真真r R U I U E V ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=，则有：r R U I U E V ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=11真 r R U I U E V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=22真 图1-1-2I 短图1-1-1解得：测真E R U U I I I U I U E V >----=21121221 ， 测真r R U U I I U U r V>----=211221可见电动势和内阻的测量值都小于真实值。

【2】图像修正法：如图1-1-3所示，直线①是根据U 、I 的测量值所作出的U -I 图线，由于I <I 0，而且U 越大，I 和I 0之间的误差就越大，即VV R UI =随着电压的减小而减小，而电压表的示数U 就是电源 的路端电压的真实值U 0，除了读数会有误差外，可以 认为U ＝U 0，经过修正后，直线②就是电源真实值的 U -I 图线，由图线可以很直观的看出： 真测E E <，真测r r <。

【3】等效法：把电压表和电源等效为一新电源，如图1-1-1虚线框所示，这个等效电源的内阻r 为r 真和R V 的并联电阻，也就是测量值，等效电源的电动势为电压表和电源组成回路的路端电压，也就是测量值，即：真真真测r r R r R r r V V <+== 真真真测E E r R R E E V V<+== 由以上分析还可以知道，所选择的电压表内阻应适当大些，使得真r R V >>，减小系统误差，使得测量结果更接近真实值，综上所述，采用相对电源电流表外接法，由于电压表的分流导致了系统误差，使得真测E E <，真测r r <。

2 电流表内接法 2.1 原理如图1-2-1所示电路图，对电源来说是电流表内接，数据的处理也可用计算法和图像法（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir ，有测测r I U E 11+=I I 短图1-1-3E 真 E 测图1-2-1测测r I U E 22+=可得：122112I I U I U I E --=测 1221I I U U r --=测（2）图像法：用描点作图法作U-I 图像，其图像与图1-1-2所示图像相同，图线与纵轴交点坐标为电动势E ，图线与横轴交点坐标为短路电流rEI =短，图线的斜率的大小表示内阻所以电源内阻为IUr ∆∆=。

2.2 系统误差分析由于电流表的分压，电压表的示数U 不是电源的路端电压U 0，有U <U 0。

【1】计算法：设电流表的内阻为R A ，用E 真表示电动势的真实值，r 真表示内阻的真实值，方程应修正为：)(真真r R I U E A ++=，则有：)(11真真r R I U E A ++= )(22真真r R I U E A ++=解得：测真E I I U I U I E =--=122112 测真r R I I U U I I R I I U U r A A <---=----=1221121221)(可见电动势的测量值等于真实值，而内阻的测量值大于真实值。

【2】图像修正法：如图1-2-2所示，直线①是根据U 、I 的测量值所作出的U -I 图线，由于U <U 0，而且I 越大，U 和U 0之间的误差就越大，即：A A IR U =随着电流的减小而减小，而电流表的示数I 就是流过电源的电流的真实值I 0，除了读数会有误差外，可以认为I ＝I 0，经过修正后，直线②就是电源真实值的U -I 图线，由图线可以很直观的看出真测E E =，真测r r >。

【3】等效法：把电流表和电源等效为一新电源，如图1-2-1虚线框所示，这个等效电源的内阻r 为r 真和R A 的串联总电阻，也就是测量值；等效电源的电动势为电流表和电源串联后的路端电压，也就是测量值，即真真测r r R r r A >+==， 真测E E E ==E 测图1-2-2由以上分析可知，所选电流表的内阻应很小，才能使得真r R A <<，减小系统误差，但是这个要求在实验室测定干电池的内阻时是很难满足的。

综上所述，采用相对电源电流表内接法，由于电流表的分压导致了系统误差，使得真测E E =，真测r r >总之，相对电源来说，电流表内、外接法总能测量电源的电动势E 及内阻r ，尽管电流表外接法测量时，真测E E <，真测r r <，但它产生的百误差较小，尽管电流表内接法测量时，真测E E =，但测量内阻r 时产生的误差较大，因此我们一般选择相对电源外接法来测量电源的电动势E 及内阻r 。

二、安阻法 1 原理电路图如图2-1-1所示，调节电阻箱电阻R ，测出两组I 、R 的值，由闭合电路欧姆定律)(r R I E +=就能算出电动势和内阻。

其中I 是电流表示数，R 是电阻箱示数。

)(11测测r R I E += )(22测测r R I E +=解得：122121I I I I R R E --=）（测，122211I I R I R I r --=测 2 系统误差分析这种方法产生的系统误差和图1-2-1所示的电流表内接法是一样的，因为上式中的IR 就相当于图1-2-1中的电压表所测的变阻器两端的电压U ，误差产生的原因还是由于电流表的分压，IR 的值并不是电源的路端电压，而只是R 两端的电压。

所以最终测得的电动势和内阻为电流表和电源串联后的新电源的电动势和内阻，即：真真测r r R r A >+=， 真测E E =。

三、伏阻法 1原理用一只电压表和一只电阻箱测量，设计实验原理图如图3-1-1所示，调节R ，测出两组U 、R 的值，由闭合电路欧姆定律r RUU E +=，就能算出电动势和内阻，其中U 是电压表示数，R 是电阻箱示数。

则有：图2-1-1测测r R U U E 11+= 测测r R UU E 22+=解得：12211221)(R U R U R R U U E --=测， 21122121)(R U R U R R U U r --=测2 系统误差分析这种方法产生的系统误差和图1-1-1所示的电流表外接法是一样的，因为上式中的R U就相当于图1-1-1中的电流表所测的流过变阻器的电流I ，误差产生的原因是由于电压表的分流，RU的值并不是流过电源的电流，而只是流过R 的电流。

所以最终测得的电动势和内阻为电压表与电源并联后的新电源的电动势和内阻，所以测量值也都小于真实值，即：真测E E <，真测r r <。

四、伏伏法在“测定电源电动势和内阻”的实验中，除待测电源（E ，r ），足够的连接导线外，实验室仅提供：两只量程合适的电压表21V V 、及1V 的内阻V R ，一只单刀双掷开关S 。

实验原理图如图4-1-1所示。

电压表1V 的内阻已知，则可用1V 测出它所在支路的电流，设当开关S 与1接触时，电压表1V 的读数为1U ；当开关S 与2接触时，电压表21V V 、的读数分别为21U U 、'，则由欧姆定律Ir U E +=，则有：r R U U E 111+=， r R U U U E 1121'++'= 可得：'-=1121U U U U E ， '-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'=11121U U R U U U r V【说明】：此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。

五、安安法用两只电流表，其中一只电流表已知内阻来测量，例如在测定一节干电池的电动势和内电阻的实验中，备有下列器材： ①干电池（电动势E 约为1.5V ，内电阻r 约为1.0Ω）；②电流表G （满图3-1-1图4-1-1偏电流3.0mA ，内阻Ω=10g R ）；③电流表A （量程0～0.6A ，内阻约为0.5Ω）；④滑动变阻器R （0～20Ω，10A ）； ⑤滑动变阻器)1,100~0(A R Ω'；⑥定值电阻Ω=9903R ；⑦开关和导线若干。

为了准确地进行测量，实验电路图如图5-1-1所示。

由闭合电路欧姆定律Ir U E +=可知，只要能测出两组路端电压和电流即可，但题目中只给出两个电流表且其中一个电流表G 的内阻已知，可以把内阻已知的电流表和定值电阻3R 串联改装成一个电压表，分别测两组电流表G 和A 的读数，便可求出电源电动势和内阻，由闭合电路欧姆定律r I I R R I E G A g G )()(1131+++= r I I R R I E G A g G )()(2232+++=可得：()()112221213G A G A G A A G g I I I I I I I I R RE --+-+=()()1122213G A G A G G g I I I I I I R Rr --+-+=【说明】此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。

六、两种特殊的测量方法1 利用电桥平衡测量电源电动势和内阻如图6-1-1所示的电路，调节变阻器R 1和R 2使电流表G 的读数为0，此时电流表A 1和A 2的示数之和就是流过电源的电流I （即干路电流），电压表V 1和V 2的示数之和就是电源的路端电压U ，则Ir U E +=，两次调节R 1和R 2，使电流表G 的示数变为0，读出四个电表的读数，便可求出电源电动势和内阻。

设第一次两电流表示数之和为I 1，两电压表示数之和为U 1，则r I U E 11+=；第二次两电流表示数之和为I 2，两电压表示数之和为U 2，则r I U E 22+=，联立可得：122112I I U I U I E --=， 1221I I U U r --=【说明】此方法同样无系统误差，并且不必考虑电表带来的误差，因为此时电表相当于电源的外电路电阻，精确程度取决于电流表G 的灵敏程度。