单相正弦交流电路

有效值是以其热效应与直流电比较后确定的量值。正弦交流电
的有效值1 A或1 V所产生的热效应与直流电1 A或1 V所产生的 热效应相同。
第2章 正弦交流电路 设有一电阻R，通以交变电流i
QAC Ri dt
2 0
T
(2-5)
同是该电阻R，通以直流电路I， 在时间T内产生的热量为
QDC RI T
1 T 0.02(s) 20(ms) 50
所以
ω =2π f=2×50π =100π =314 (rad/s)
在某些设备中需要频率较高的交流电，例如高频电炉所用 的 频 率 可 达 108Hz ， 无 线 电 工 程 上 使 用 的 频 率 约 为 105~3×1010Hz。
第2章 正弦交流电路 2． 相位、 初相位和相位差 正弦量在不同的时刻有不同的瞬时值。例如电动势 e=Em sinω t，当t变化时，ω t也变，e的数值随之而变，ω t就称为 正弦量的相位或相位角。 初相位是一个反映正弦量初始值的物理量， 是计时开始
械角度就不等于电角度。 波形图中标出的是电角度或电弧度。
第2章 正弦交流电路
2.1.2
1． 周期、 正弦量交变一次所需的时间称为周期，用字母T表示，单位 为秒（s），如图2.1所示。1s内正弦量的交变次数称为频率， 用 字母f表示，单位为赫兹（Hz ），简称赫。显然，频率与周期互 为倒数，
1 f T
第2章 正弦交流电路
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念 2.2 单相正弦交流电路 2.3 三相正弦交流电路 习题
第2章 正弦交流电路
2.1 正弦交流电的基本概念
2.1.1 随时间按正弦函数变化的电动势、 电压和电流总称为正弦 交流电， 它们的表达式为
e Em sin t u U m sin t i I m sin t
2
(2-6)
热效应相等的条件为QAC=QDC, 因此可得交流电的有效值为
1 T 2 I i dt T 0
(2-7)
第2章 正弦交流电路
有效值又称均方根值，用大写字母表示。在正弦交流电中，
代入式（2-7）得其有效值为
1 T 2 1 T 1 cos 2t 2 I I m sin t dt dt T 0 T 0 2 Im 2
相位角分别为φ1和φ2。因此当φ1≠φ2时， e1和e2的初始值是不相
等的。 两个同频率正弦量的初相位角之差称为相位角差， 简称相 位差，用φ表示。式（2-4）中e1和e2的相位差为
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
第2章 正弦交流电路
图2.2 正弦电动势的相位
2.1.3 正弦交流电的表示法
1. 相量法 用来表示正弦量的复数称为相量。复数是相量法的基础， 所以相量法又称为复数符号法。正弦电动势Em sin(ω t+φ )写成
.
E(cos jsin ) E E
（2-10） .
式中E是表示正弦电动势e的复数，读作相量E。相量E既表达了 电动势e的有效值，又表达了它的初相位。为了区别于只能表示 . 有效值的E，相量E写成E。 式中的j就是虚数
第2章 正弦交流电路
图2.3 同相与反相的正弦量
第2章 正弦交流电路 3. 最大值和有效值 交流电在某一瞬间的数值称为瞬时值，规定用小写字母表
示，例如 e 、 u 、 i ，分别表示正弦电动势、电压、电流的瞬时
值。在一周期内出现的最大瞬时值称为最大值，也称为幅值， 分别用字母Em、Um、Im表示。 最大值只是交流电在变化过程中某一瞬间的数值，不能用 来代表交流电在一段较长的时间内作功的平均效果。交流电的
第2章 正弦交流电路 •2-6 在图2.44中，已知I1=10A，I2=20A，U=100 V。（1） 写 出i1、i2、u的正弦函数表达式；（2） 求电流和的有效值； （3） 求电流差的有效值。
图2.44 题2-6的图
第2章 正弦交流电路
第2章 正弦交流电路
2.2 单相正弦交流电路
2.2.1 单一参数的交流电路
与 E 的和为 相量 E 2 1
E E (43.4 j 25 86.6 j50) (129.9 j25)(V) E 1 2
第2章 正弦交流电路 将上式转换成极坐标式为
25 2 2 E E (129 .9) (25) arctan 132 .310.9(V) 129 .9
式中,φ 为e的初相位。 从相量式可得e
e e1 e2 132.3 2 sin(t 10.9) (V)
第2章 正弦交流电路 2. 相量图 相量可以用有向线段在复平面上表示出来。线段的长度代
表正弦量的最大值或有效值，称为相量的模；线段与横轴的夹
角表示正弦量的初相位，称为相量的辐角。认为线段是以角频 率ω 按逆时针方向旋转的。图2.4是正弦电动势e1和e2的相量在 复平面上的表示法。同频率的若干相量画在同一个复平面上构 成了相量图。 相量图能清晰地表示出各相量的数值和相位关系。 例如 . . 从图 2.4中可以看出 E1>E2 ，且相量 E1 导前于相量 E２ ，相位差为 φ 1-φ 2。
即
I 0.707I m
I m 2I 1.414I
或
第2章 正弦交流电路 同理得电动势和电压的有效值为
Em Um E ,U 2 2
工程上通常所说的交流电压和交流电流的数值都是指有效 值，如某电器的额定电压为 220 V，某电路的电流为 3 A。交
流电表所测得的数值一般也是有效值。
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第2章 正弦交流电路
相量每乘j一次，意味着逆时针旋转90°。图2.5中画出了相量 . A每次乘j以后的旋转情况。不难证明，相量每乘（-j ）一次， 则顺时针旋转90°。
第2章 正弦交流电路
图2.5 相量乘以j
第2章 正弦交流电路 4. 相量的加法和减法 正弦量的加减法可以在相量图上进行。选定一个相量作为参
考相量，假设其初相位为零，画在水平轴上，其他相量就可根
1
。在数学中,
但是在电工学中i是电流，故用j表示
1
1
。
是用i表示的，
第2章 正弦交流电路
例2-2
已知
e1 50 2 sin(t 30)V ,
e2 100 2 sin(t 30)V，求e1和e2的和。
解 用相量法求和。
50(cos30 jsin 30) (43.3 j25) (V) E 1 100(cos30 jsin 30) (86.6 j50) (V) E 2
式中, 小写字母e、u、 i是这些量的瞬时值。
(2-1)
第2章 正弦交流电路 图2.1所示为正弦电动势的波形图。图中横坐标用时间t/s、 弧度ωt/rad或电角度ωt/度(°）表示。
图2.1 正弦电动势波形图
第2章 正弦交流电路
在具有一对磁极的交流发电机中，转子旋转一周，电动势 交变一个周期，所以转子旋转的机械角度等于电动势变化的电 角度。 当发电机具有两对磁极时， 转子旋转一周，电动势交 变两个周期，此时机械角度变化360°，而电动势变化720°机
据其与参考相量的相位差而画出。在作相量图时一般不画出坐 标轴。
为参考相量， 导前于 在图2.6中， E E 2 1
要计算
与 E 1
之和，则 E 2
的相位角为φ1。 若 E 2
E E E E 1 2
第2章 正弦交流电路 式中, E为合成相量的模，其值为
E ( E1 cos 1 E2 ) 2 ( E1 sin 1 ) 2
写出i1和i2的正弦函数表达式。
第2章 正弦交流电路
•
2-4 已知u1=70.7 sin(ωt+150°)(V)， =50∠30°(V)， 角 频率与u1相同。写出 与u2的表达式；计算它们的函数和。
• •
2-5 已知i1=10sin(ωt+30°)(A)，i2=10sin(ωt-60°) (A)， 用相量法求它们的和及差。
E E E ， 2.7所示。e1与e2的相量和为 E 1 2
E ( E1 cos60 E2 ) 2 ( E1 sin 60) 2 (50 cos60 100) 2 (50sin 60) 2 132.3(V) 50sin 60 arctan 19.1 50 cos60 100
第2章 正弦交流电路
图2.4 复平面的上相量
第2章 正弦交流电路
3. j
j既是一个虚数单位，同时又是一个旋转因子。因为任何
相量与j相乘意味着该相量按逆时针方向旋转了 90°。例如， . 在图2.5中，设相量A的模为1、辐角为30°, 其相量式为
130 cos30 j sin 30 0.866 j0.5 A
式中,电压的有效值为
U=RI
式（2-12）若写成相量式为
（2-13）
U0 RI0 RI U
（2-14）
第2章 正弦交流电路 在任一瞬间，电阻元件中的电流瞬时值与同一瞬间加在电 阻元件两端的电压瞬时值乘积，称为电阻的瞬时功率，用pR来 表示， 即
1 cos 2t pR uR i U m I m sin t U m I m 2 UI (1 cos 2t )
第2章 正弦交流电路
习 题
2-1 已知Im=10 A，f=50Hz，φ=60°。写出i的正弦函数表达 式；求t=1ms时的i。 2-2 已知u1=141sin(ωt-30°)(V)， u2=282sin(ωt+45°(V)。
（1）写出相量式U 1
； U 2
（2）求u1与u2的相位差。
3 j4(A), I 3 j4(A 2-3 已知 I ， ) 角频 率都是 ω 0 。 1 2
第2章 正弦交流电路
已知 e 50 2 sin(t 30)V, 1 e2 100 2 sin(t 30)V, 求e=e1+e2。 . . 解 设 E2 为参考相量，为使 E2 的初相位等于零，将各相量 . . 的初相位都增加 30°， E1 导前于 E2 的相位差仍为 60°，如图 例2-3
时的相位角。
在图2.2中，e1和e2是两个频率相等的正弦电动势，但是它 们的初相位是不同的。
e1 Em1 sin(t 1 ) e2 Em 2 sin(t 2 )
(2-4)
第2章 正弦交流电路 当 t=0 时， e1=Em1sin(ωt+φ1) ， e2=Em2sin(ωt+φ2) ，它们的初
1. 纯R电路 根据图2.8（a）中u和i的参考方向，得电压与电流的一般
关系式为
u Ri
（2-11）
第2章 正弦交流电路
图2.8 (a) 一般表示； (b) 相量表示； (c) 相量图； (d) 波形图
第2章 正弦交流电路 对于正弦电路，设电流为i=Im sinωt， 则电压为
u Ri RIm sin t 2RI sin t 2U sin t
（2-2）
我国规定工业用电标准的频率（工频）为50 Hz。
第2章 正弦交流电路 正弦量每秒钟所经历电角度称为角频率，用字母ω 表示， 单位为弧度每秒（rad/s）。由于正弦量交变一周为2π 弧度，
2π 2 πf T
(2-3)
第2章 正弦交流电路 例2-1 频率为50Hz
解
因为
1 T f
φ 为合成相量的辐角，其值为
. . 若欲求E1与E2的差，则
E1 sin arctan E1 cos1 E2
' E E E ( E ) E 1 2 1 2
' 的模和辐角都可以从图2.6所示的相量图上求得。 E
第2章 正弦交流电路
图2.6 相量的加法与减法
第2章 正弦交流电路
为参考相位时曾将各相量的初相量增加了 30°， 在设定 E
2
所以在写函数式时，e的初相位要扣除30°，
e e1 e2 132.3 2 sin(t 19.1 30) 132.3 sin(t 10.9)(V)
第2章 正弦交流电路
图2.7 例2-3图