大学视角下的中学数学(导数)
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三. 自然对数为什么最自然
我第一次见到 e, 是中学课本上讲对数的最后一句话: “科学上通 常用一个无理数 e = 2.71828 · · · 作为对数的底, 叫做自然对数.” 为什 么不用最自然的 10 为底, 偏要用一个无理数? 当时觉得一点都不自然. 例9 (2017全国卷3第21题) 已知函数 f (x) = x − 1 − a ln x． (1) 若 f (x) ≥ 0，求 a 的值； 1 1 1 (2) m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+ )(1+ 2 ) · · · (1+ n ) < m. 2 2 2 求 m 的最小值． 解 (1) f (1) = 0 − a0 = 0. 要使 f (x) ≥ 0 在定义域 (1, +∞) 内成 a 立, 需要 f (x) 在 (0, 1] 内递减, f ′ (x) = 1 − ≤ 0, a ≥ 1; x a 且 f (x) 在 [1, ∞) 内递增, f ′ (x) = 1 − ≥ 0, a ≤ 1. 只能 a = 1. x (2) 由 (1) 知道 ln x ≤ x − 1 对 x > 0 成立. 记 t = x − 1, 则 x = 1 + t. ln(1 + t) ≤ t 对 t > −1 成立. 因此 1 1 1 ln[(1 + )(1 + 2 ) · · · (1 + n )] 2 2 2 1 1 1 = ln(1 + ) + ln(1 + 2 ) + · · · + ln(1 + n ) 2 2 2 1 1 1 ≤ + 2 + ··· + ··· + n < 1 2 2 2 1 1 1 (1+ )(1 + 2 ) · · · (1 + n ) < e < 3 2 2 2 1 1 1 3 5 9 3 5 16 =2 (1+ )(1 + 2 )(1 + 3 ) = × × > × × 2 2 2 2 4 8 2 4 15 因此 m > 2. 只能 m = 3. (2) 解法2 函数 g (x) = ex − (1 + x) 在 x = 1 的值 g (0) = 0. 当 x ≥ 0 时 g ′ (x) = ex − 1 ≥ 0, g (x) 从 0 开始递增, g (x) ≥ 0. 当 x ≤ 0 时 g ′ (x) ≤ 0, g (x) 递减到 0, 因此 g (x) ≥ 0. 对任意 x ∈ (−∞, +∞) 有 g (x) = ex − (1 + x) ≥ 0, 1 + x ≤ ex . 1 1 1 1 1 1 (1 + )(1 + 2 ) · · · (1 + n ) ≤ e 2 e 22 · · · e 2n < e < 3. 2 2 2 1 1 1 且 (1 + )(1 + 2 )(1 + 3 ) > 2. 因此 m = 3. 2 2 2
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指数曲线 y = ex 在点 (0, 1) 的切线斜率也可用指数函数 f (x) = ex 求导公式 (ex )′ = ex 得到: f ′ (0) = e0 = 1, 切线方程为 y = 1 + x. 为什么对数曲线 y = ln x 在点 (1, 0) 的切线斜率正好是 1, 指数 曲线 y = ex 在 (0, 1) 的切线斜率也正好是 1? 为什么如此幸运? 不是天上掉下来的幸运. 是我们选择了对数函数 y = loga x 和指 数函数 y = ax 的底 a = e, 才赢得了如此幸运. 我们来计算对数函数 f (x) = loga x 在 x = 1 的导数 f ′ (1). f ′ (1) = lim loga (1 + t) − loga 1 f (1 + t) − f (1) = lim t→0 t→0 t t 1 loga (1 + t) − 0 = lim = lim loga (1 + t) t = loga e t→0 t→0 t
yT y = ex
y = 1+ x y = x−1
O
y = ln x x E
A
图4
由图看出: 曲线 y = ln x 始终在切线 y = x − 1 下方, 始终有 x − 1 ≥ ln x, x − 1 − ln x ≥ 0. 这正是例9 第(1)小题的答案. 如果 y = a ln x 在点 (1, 0) 的切线斜率 a ̸= 1, 曲线 y = a ln x 与直线 y = x − 1 在点 (1, 0) 相交而不相切, 曲线在这点穿越直线 y = x − 1, 不可能始终在直线 y = x − 1 下方, 不能保持 x − 1 − a ln x ≥ 0. 将平面上所有的图形关于直线 y = x 作轴对称变换, 则右下方的 对数曲线 y = ln x 及其切线 y = x − 1 翻转到左上方的 x = ln y 及其 切线 x = y − 1, 也就是变成指数曲线 y = ex 及其切线 y = 1 + x, 指 数曲线始终在切线的上方, 不等式 ex ≥ 1 + x 对所有实数 x 成立.
2
借题发挥 4. 指数曲线与对数曲线的切线 中学数学现在学了导数, 学了幂函数、 指数函数、 对数函数的导 数公式, 并且成为高考中必考内容. 例9 就是高考题, 就考了对数函数 的导数. 导数用来干什么? 一个重要用途是判定函数的递增、 递减、 极值. 还有一个简单而重要的用途是求切线方程. 函数 y = f (x) 在 x = c 的导数 f ′ (c) 的几何意义是图象曲线在点 (c, f (c)) 的切线斜率. 有了切线斜率, 用点斜式就可写出过这一点的切 线方程 y = f (c) + f ′ (c)(x − c), 其实就是函数 f (x) 在 x = c 作泰勒展 1 开到一次项. 例如, 对数函数 y = ln x 的导数 y ′ = 在 x = 1 取值为 x 1, 过这一点 (1, 0) 的切线方程为 y = x − 1. 如图4.
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其中 e = lim(1 + t) t = 2.71828 · · · , 与 a 无关.
三. 自然对数为什么最自然
我第一次见到 e, 是中学课本上讲对数的最后一句话: “科学上通 常用一个无理数 e = 2.71828 · · · 作为对数的底, 叫做自然对数.” 为什 么不用最自然的 10 为底, 偏要用一个无理数? 当时觉得一点都不自然. 例9 (2017全国卷3第21题) 已知函数 f (x) = x − 1 − a ln x． (1) 若 f (x) ≥ 0，求 a 的值； 1 1 1 (2) m 为整数,且对于任意正整数 n,(1+ )(1+ 2 ) · · · (1+ n ) < m. 2 2 2 求 m 的最小值． 解 (1) f (1) = 0 − a0 = 0. 要使 f (x) ≥ 0 在定义域 (1, +∞) 内成 a 立, 需要 f (x) 在 (0, 1] 内递减, f ′ (x) = 1 − ≤ 0, a ≥ 1; x a 且 f (x) 在 [1, ∞) 内递增, f ′ (x) = 1 − ≥ 0, a ≤ 1. 只能 a = 1. x (2) 由 (1) 知道 ln x ≤ x − 1 对 x > 0 成立. 记 t = x − 1, 则 x = 1 + t. ln(1 + t) ≤ t 对 t > −1 成立. 因此 1 1 1 ln[(1 + )(1 + 2 ) · · · (1 + n )] 2 2 2 1 1 1 = ln(1 + ) + ln(1 + 2 ) + · · · + ln(1 + n ) 2 2 2 1 1 1 ≤ + 2 + ··· + ··· + n < 1 2 2 2 1 1 1 (1+ )(1 + 2 ) · · · (1 + n ) < e < 3 2 2 2 1 1 1 3 5 9 3 5 16 =2 (1+ )(1 + 2 )(1 + 3 ) = × × > × × 2 2 2 2 4 8 2 4 15 因此 m > 2. 只能 m = 3. (2) 解法2 函数 g (x) = ex − (1 + x) 在 x = 1 的值 g (0) = 0. 当 x ≥ 0 时 g ′ (x) = ex − 1 ≥ 0, g (x) 从 0 开始递增, g (x) ≥ 0. 当 x ≤ 0 时 g ′ (x) ≤ 0, g (x) 递减到 0, 因此 g (x) ≥ 0. 对任意 x ∈ (−∞, +∞) 有 g (x) = ex − (1 + x) ≥ 0, 1 + x ≤ ex . 1 1 1 1 1 1 (1 + )(1 + 2 ) · · · (1 + n ) ≤ e 2 e 22 · · · e 2n < e < 3. 2 2 2 1 1 1 且 (1 + )(1 + 2 )(1 + 3 ) > 2. 因此 m = 3. 2 2 2
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指数曲线 y = ex 在点 (0, 1) 的切线斜率也可用指数函数 f (x) = ex 求导公式 (ex )′ = ex 得到: f ′ (0) = e0 = 1, 切线方程为 y = 1 + x. 为什么对数曲线 y = ln x 在点 (1, 0) 的切线斜率正好是 1, 指数 曲线 y = ex 在 (0, 1) 的切线斜率也正好是 1? 为什么如此幸运? 不是天上掉下来的幸运. 是我们选择了对数函数 y = loga x 和指 数函数 y = ax 的底 a = e, 才赢得了如此幸运. 我们来计算对数函数 f (x) = loga x 在 x = 1 的导数 f ′ (1). f ′ (1) = lim loga (1 + t) − loga 1 f (1 + t) − f (1) = lim t→0 t→0 t t 1 loga (1 + t) − 0 = lim = lim loga (1 + t) t = loga e t→0 t→0 t
yT y = ex
y = 1+ x y = x−1
O
y = ln x x E
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图4
由图看出: 曲线 y = ln x 始终在切线 y = x − 1 下方, 始终有 x − 1 ≥ ln x, x − 1 − ln x ≥ 0. 这正是例9 第(1)小题的答案. 如果 y = a ln x 在点 (1, 0) 的切线斜率 a ̸= 1, 曲线 y = a ln x 与直线 y = x − 1 在点 (1, 0) 相交而不相切, 曲线在这点穿越直线 y = x − 1, 不可能始终在直线 y = x − 1 下方, 不能保持 x − 1 − a ln x ≥ 0. 将平面上所有的图形关于直线 y = x 作轴对称变换, 则右下方的 对数曲线 y = ln x 及其切线 y = x − 1 翻转到左上方的 x = ln y 及其 切线 x = y − 1, 也就是变成指数曲线 y = ex 及其切线 y = 1 + x, 指 数曲线始终在切线的上方, 不等式 ex ≥ 1 + x 对所有实数 x 成立.
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借题发挥 4. 指数曲线与对数曲线的切线 中学数学现在学了导数, 学了幂函数、 指数函数、 对数函数的导 数公式, 并且成为高考中必考内容. 例9 就是高考题, 就考了对数函数 的导数. 导数用来干什么? 一个重要用途是判定函数的递增、 递减、 极值. 还有一个简单而重要的用途是求切线方程. 函数 y = f (x) 在 x = c 的导数 f ′ (c) 的几何意义是图象曲线在点 (c, f (c)) 的切线斜率. 有了切线斜率, 用点斜式就可写出过这一点的切 线方程 y = f (c) + f ′ (c)(x − c), 其实就是函数 f (x) 在 x = c 作泰勒展 1 开到一次项. 例如, 对数函数 y = ln x 的导数 y ′ = 在 x = 1 取值为 x 1, 过这一点 (1, 0) 的切线方程为 y = x − 1. 如图4.
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其中 e = lim(1 + t) t = 2.71828 · · · , 与 a 无关.