大学视角下的中学数学(复数)

3
借题发挥1. 复数乘法表示平面旋转 每个复数 z = x + y i 代表平面上的一个几何向量 v = (x, y ). 设 两 个 复 数 z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i 分 别 代 表 几 何 向 量 v1 = (x1 , y1 ), v2 = (x2 , y2 ). 则复数相加减得到的和或差 z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + (y1 ± y2 ) i 代表的的几何向量 u = v1 ± v2 . 复数 z1 , z2 的乘法代表什么? 不代表向量 v1 , v2 的数量积, 而代 表向量的变换. 如果 z1 = x1 是实数, 则 x1 z1 = x1 (x2 + y2 i) = x1 x2 + x1 y2 i, 相当 于实数 x1 乘向量 V2 = (x2 , y2 ), 将向量 v2 变成 x1 v2 = (x1 x2 , x1 y2 ). 特别地, 当 x1 > 0, x1 乘 z2 就是将向量 v2 方向不变, 长度乘 x1 . −1 乘 z2 就是将向量 v2 长度不变, 方向旋转 180◦ . (−1)2 乘 z2 将 v2 旋转两个 180◦ , 总共旋转 360◦ , 回到原来方向, 相当于乘 1, 也 就是说: (−1)2 z2 = z2 = 1z2 . 这解释了 (−1)2 = 1. 比如汽车速度 30 表示每小时 30 千米往东, 30 乘 −1 变成 −30, 就是向后转 180◦ , 往东 30 变成 往西 30, 就是 30 × (−1) = −30. −30 再 乘 −1, 往 西 的 方 向 再 次 向 后 转, 回 到 往 东 的 方 向, 这 就 是 (−30) × (−1) = 30. 也就是 30 × (−1) × (−1) = 30, (−1)2 = 1. 既然 −1 的平方是后转两次, 转两个 180◦ , −1 的平方根就应该后 转半次, 转半个 180◦ , 也就是转 90◦ . 转 90◦ 有两个不同方向, 左转(逆 时针方向)为 +90◦ , 右转(顺时针方向)为 −90◦ . 我们将转 +90◦ 记记 为 i, 转 −90◦ 就是 − i. i2 , (− i)2 分别是 +180◦ 与 −180◦ , Fra Baidu bibliotek是向后 转. 虽然转的过程不同, 旋转结束之后面对同样方向, 都是乘 −1. 因此 i2 = (− i)2 = −1, ± i 是 −1 的两个不同的平方根. 例3 已知平面直角坐标系中的点 A 的坐标 (x, y ). 将 A 绕原点 O 旋转 +90◦ 到 B . A 绕 O 旋转 −90◦ 到 C . 求 B, C 的坐标. − → 解 将 向 量 OA = (x, y ) 用 复 数 z = x + y i 表 示. 则 iz = − − → i(x + y i) = −y + x i 表示OB = (−y, x), (− i)(x + y i) = y − x i 表示 − → OC = (y, −x).
1
大学视角下的中学数学(复数)
李尚志 一. 复数的几何模型
例1 (高考2017年理科数学全国卷3) 设复数 z 满足 (1 + i)z = 2 i. 则 |z | = √ √ 2 1 D. 2 A. B. C. 2 2 2 √ 2 |2 i | = √ = 2. 解 |1 + i||z | = |2 i| ⇒ |z | = |1 + i| 2 答案 C. 点评 网上发表的一个答案是: 先求出 2 i(1 − i) 2(1 + i) 2i = = =1+ i 1 + i (1 + i)(1 − i) 2 √ √ 再求出 |z | = |1 + i| = 12 + 12 = 2. z= 很多人喜欢这种做法, 按部就班死算复数除法再算模, 而不习惯于 先求模再相除. 但是, 按照这种思路能做出下面的题目吗? 例2 (中国科大2016年自主招生题) 复数 z1 , z2 满足 |z1 | = 2, |z2 | = 3, |z1 + z2 | = 4. 则 z1 . = z2 解法1 (代数算法) 设 z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i, 列方程组 2 = |z |2 = 4 x2 + y1 (1) 1 1 2 2 x2 (2) 2 + y2 = |z2 | = 9 (x + x )2 + (y + y )2 = |z + z |2 = 16 (3)
2 2 2 2 由 (x2 1 + y1 )(x2 + y2 ) − (x1 x2 + y1 y2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = x2 1 x2 + x1 y2 + y1 x2 + y1 y2 − (x1 x2 + 2x1 x2 y1 y2 + y1 y2 )
= (x1 y2 )2 − 2(x1 y2 )(x2 y1 ) + (x2 y1 )2 = (x1 y2 − x2 y1 )2 √ 2 2 2 2 得 x2 y1 − x1 y2 = ± (x2 1 + y1 )(x2 + y2 ) − (x1 x2 + y1 y2 ) √ √ 3√ 135 2 =± = ± 4 × 9 − (3 = ± 15 ) 2 4 2 √ √ 3 3 15 ± z1 1 15 于是 = ± . = 2 2 z2 9 6 6 点评：也许你只信奉算法不信奉想法. 你能想出以上的算法吗? 你能想到怎样利用等式 (1),(2),(3) 算出 x1 x2 + y1 y2 和 x2 y1 − x1 y2 吗? 虽然以上的算法完全是代数. 但背后的想法却都是几何: 3 个复数 z1 , z2 , z1 + z2 代表3个平面向量 a, b, a + b, 复数的模是 向量的模(有向线段的长度): |z1 | = | a|, |z2 | = |b|, |z1 + z2 | = | a + b|. x1 x2 + y1 y2 = a · b = | a||b| cos α 是向量内积, α 是向量 a, b 夹 角. 由完全平方公式 ( a + b)2 = a2 + 2 a · b + b2 (就是余弦定理) 得到 ( a + b)2 − a2 − b2 x1 x2 + y1 y2 = a · b = = | a||b| cos α 2 |x2 y1 − x1 y2 | = | a||b|| sin α| (见《借题发挥1》), 它的平方 | a|2 |b|2 sin2 α = | a|2 |b|2 (1 − cos α2 ) = | a|2 |b|2 − ( a · b)2 代数算法好比刘谦魔术的正面, 几何想法是魔术的背面.
1 2 1 2 1 2
点评:
4个未知数 x1 , x2 , y1 , y2 , 3个方程, 你能解出来吗？ z1 , 一定要把 x1 , x2 , y1 , y2 都解出来吗？ 题目要求的是 z2
2
z1 x1 + y1 i (x1 + y1 i)(x2 − y2 i) = = z2 x2 + y2 i (x2 + y2 i)(x2 − y2 i) (x1 x2 + y1 y2 ) + (x2 y1 − x1 y2 ) i = 2 x2 2 + y2 (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 ] − (x1 + y1 )2 − (x2 + y2 )2 x1 x2 + y1 y2 = 2 16 − 4 − 9 3 = = 2 2 则