高观点下中学数学—几何学答案

离线考核

《高观点下中学数学－几何学》

满分100分

一、简答题（每小题5分，共10分。）

1．试叙述欧几里得的第五公设。

答：公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定。在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为依据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止。因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理。

2．简述公理系统的完备性。

答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。

二、计算与证明（每小题15分，共90分。）

1．求出将点(3,1)变成点(1,3)-的绕原点的旋转变换，再将所得的变换用于抛物线28180y x y --+=上。 解：设所求的旋转变换为

'cos sin 'sin cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩

则 2

πθ=

于是所求的旋转变换为''x y y x =-⎧⎨=⎩ 即''x y y x =⎧⎨=-⎩ 将此变换用于所给的抛物线得

2'8''180x x y +-+=

2.（1）求线坐标为[]2,0,2 直线方程。

解：[]2,0,2表示直线031=+x x 或01=+x

（2）若存在，求下列各点的非齐次坐标

(0,5,6)-， (1,8,0)

解：).1(存在，设123(,,)(0,5,6)x x x =，则这个点的非齐次坐标为12335(,)(

,)(0,)6

x x x y x x ==。 （2）不存在，因为无穷远点没有非齐次坐标

3. 将二次曲线224642310x xy y x y +-+--=化简成标准型。

解：34, 3, C 4, 1, , 12A B D E F ===-==-=-

1）计算不变量

2120, 25A B

I A C I AC B B C

=+===-=- 343

1334

1123

11

2A B D I B C E D E F ==--=-- 2）判别类型

20I <，30I >，说明曲线为双曲线

3）化方程为标准方程：

特征方程为2250λ-=

特征根为125,5λλ==-

又23/11/25I I =-

方程化为225511/25x y ''''-=

4. 在四边形中ABCD 中，ABD ∆，BCD ∆与ABC ∆的面积比3：4：1，点,M N 分别在,AC CD 上，满足::AM AC CN CD =，并且,,B M N 三点共线，求证：,M N 分别为,AC CD 上的中点。 证明：应用梅内劳斯定理及共边三角形的面积比定理证明。

5. 已知向量{}{}1,2,3,3,4,0a b ==-，分别计算a 与b 的模长与夹角。 {}1,2,3a =故14a =

{}3,4,0b =-故5b = 5a b =-而cos a b a b θ

=

故θπ=-

6．求证：相交于影消线的二直线必射影成两平行线。

证明：设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为'1l 和'2l ，则P 点对应无穷远点。

由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是'1l 和'2l 的交点，即无穷远点，也就是'1l ∥'2l