风险管理4-2风险衡量

• μ±2.58σ范围内的面积占99%
例3；某地若干年间夏季出现暴雨共84次，每次暴雨以 一天计算，一个夏季（5~9月）共153天。表每次暴雨 造成的损失频率分布表，试估算下次暴雨的（1）期望 损失；（2）损失额落在什么区间的概率为95%；（3） 损失额大于100万的概率的多大？

（1）用损失资料的平均值去估计正态分布的数学期望

B、样本容量较小，总体为正态分布，但 未知， 估计总体均值

由于 未知，用样本标准差代替，则统计量 则区间估计如下：
x t t (n 1) s/ n

x P( t t / 2 ) P( t / 2 ) P( X t / 2s/ n X t / 2s/ n ) 1 s/ n
7
10万份保单的观察结果
索赔次数 0 1 2 3 4 保单数 88585 10577 779 54 4 88411 10890 671 27 1 拟合频数 泊松分布 负二项分布 88597 10544 806 50 3
5 总保单数
1 100000
8
——
——
（二）每次事故的损失金额


风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的 次数与其相应的概率都可以一一列举出来，但每次风险事 故所致的损失金额一般来说不能全部列举，它是连续型随 机变量，只可以在某一区间取值，只可以确定在某一区间 的概率，而不是某一特定值的概率。 估测每次事故的损失金额，我们主要利用正态分布、对 数正态分布等，计算出一次事故中损失金额可能取值的范 围及其概率。
Chapter4-2 风险衡量的数量方法
损失资料的收集与整理 损失资料的描述 本章 主要内容 风险衡量指标 损失频率与损失幅度的估算 获得损失分布的一般过程 年度总损失分布及随机模拟
1
四、损失频率与损失幅度的估测
（一）每年损失事故发生的次数 损失次数可使用二项分布、泊松分布等来估计。 1、用二项分布估测损失次数 假设n个风险单位均遭到同一风险的威胁。如果n 个风险 单位在一年中发生所述的风险事故的次数为X，且满足下列 条件：（1）每个风险单位发生同样风险事故的概率相同， 设为p；（2）任一风险单位发生风险事故都不会影响其他 风险单位发生同样风险事故（独立性）；（3）同一个风险 单位在一年中发生二次以上的事故可能性极小，可以认为 这一概率为零。则X为一服从二项分布的随机变量，且分布 律为

例：某地为了估计七岁男童的平均身高（总体均数）， 研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取25人，测得 这25个男童的平均身高为120.18cm，标准差4.33cm。 求置信度为95%的该地区7岁男童平均身高的可信区间。

C、当未知但n足够大时（ n >100），t分布近似u分布，可以 u 界值代替 t 界值，估计总体均数的可信区间。

k k n k P X k Cn p q , k 0,1,2
n
其中q=1-p是标的一年中不发生事故的概率。
关于二项分布的两个极限分布：
A.棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量
n
(n 1,2,) ~ B(n, p)(0 p 1),
t2 2
则对任意x,有
x n np 1 lim P{ x} e dt ( x). n np(1 p) 2


标准正态分布：指均数为0，标准差为1的正 态分布。常称z 分布或u分布。 标准正态分布与正态分布的转换公式：
z

X

即若x服从正态分布N（μ，σ2），则z就服 从均数为0，标准差为1的正态分布。
正态分布曲线下的面积
• μ±σ范围内的面积为68.27%
• μ±1.96σ范围内的面积为95%
所需暴露单位的数量（样本容量）


置信区间的估计，区间越小越好，置信度较低，显著水 平较高 人们常常对区间有所规定，损失必须控制在某一区间， 或者说对实际损失与预期损失之间的差做出规定和限制 （误差限）p178 x P （ Za/2） =1- x P （ x Za/2 ） =1-，令E max = x =Za/2
X u s X , 2
X u s X 2
P176例题

例：某地为了估计七岁男童的平均身高（总体均数）， 研究者从所有符合要求的七岁男童中抽取100人，测得 这100个男童的平均身高为120.18cm，标准差4.33cm。 求置信度为95%的该地区7岁男童平均身高的可信区间。
PX k
k e
k!
3、负二项分布
在事件A发生的概率为p的独立重复随机实验中，若 以X记A第k次出现时的试验次数，则X为随机变量，它可 能取的值为k,k+1,…，其X的概率分布为帕斯卡分布 （负二项分布）。
k 1 k x k P{X x} Cx , x k , k 1, 1 p q
根据正态分布的特点 ，损失额落在（81.19－32.95×1.96，81.19+ 32.95×1.96 ）,即落在(16.61,145.78) 内的概率为95%。
（3）损失分布是N（81.19 ,32.95）， 损失值X大于100万的概率，即

P{X>100}=P{
X 81.19 100 81.19 X 81.19 > }=P{ >0.57} 32.95 32.95 32.95
) 1

2、用对数正态分布估测损失值
很多损失分布并不是正态分布，而常常是分布密度呈右偏状， 即小额损失发生概率大，大额损失发生概率小，如对数正态分布。

对数正态分布是其对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如 果 Y 是对数正态分布，则 log(Y) 为正态分布。 对于 x > 0，对数正态分布的概率分布函数为
kq E( X ) p kq Var ( X ) 2 p
6


负二项分布在保险业务中主要用来描述当承保风 险属于非同质时赔款的发生概率。 教材p156 例：观察10万份保单，按其在一年中的索赔次数 进行分组，见表。已知平均索赔次数为0.12318， 方差为0.125707，分别用泊松分布和负二项分布 来拟合索赔频数，看哪一种更适合。
，因而下一次暴雨的期望损失是81.19万元。
mi f i mi f i i 1 （2）由于标准差 S i 1 n n fi fi i 1 i 1 故
n 2 n

2
2 m i fi i 1
n
f
i 1
n
x
2
i
644900 S 81.192 32.95 84

样本容量较大时，样本均值服从正态分布 X
2 N (, X )
U
x
x
服从标准正态分布

Байду номын сангаас
例：已知某地七岁男童身高的标准差为4.38cm。为了 估计七岁男童的平均身高（总体均数），研究者从所 有符合要求的七岁男童中抽取100人，测得这100个男 童的平均身高为120.18cm，求置信度为95%的该地区7 岁男童平均身高的可信区间。
（2）
X- ~ N 0， 1 / n
正态分布总体均值和标准差的估算（区间估计）
区间估计的实质

假设某个总体的均数为µ，需要找到两个量A和B， 使得在一个比较高的可信度下(如95%)，区间 (A,B)能包含µ。即 P(A<µ<B)=0.95

（1）总体均值的估计
A、当样本容量大时，已知样本均值 x 和总体标准差 ，估 计总体均值 （p176）
1、用正态分布估测损失额 正态分布：指变量的频数或频率呈中间最多，两 端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。 从理论上说，若随机变量x的概率密度函数为：

1 ( x ) 2 / 2 2 f ( x) e 2
则称x服从均数为μ，标准差为σ2的正态分布。
标准正态分布与正态分布的转换

Cpq
k n
k
n-k

e
k
k!
2、用泊松分布估测损失次数

设有众多风险单位，每一风险单位发生事故的概率相 同，每年估计平均发生λ次风险事故，则一年中发生致 损事故数X为一服从参数为λ的泊松分布，分布律为


k=0,1,2… 该分布的期望与标准差分别为和 。 e=2.71828，k可无限取值，不限制事故次数。 关键问题是通过损失资料获得λ的估值，例如一个车队 在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约 2/3次，则λ估值为2/3。
i 1 n
r
2 2 N（ k i i， k i i ） （Ki不全为0） i 1 i 1
n
n
1 当随机变量独立同分布，Ki为1和 n 时：
若总体 X~ N ， 2 ，X1, X2,‥,Xn是取自总体X的样本,
1 n X X i ，则 n i1
2 （1） X~ N ， n

其中 μ 与 σ 分别是变量取对数后的平均值与标准差。 随机变量的期望值：
标准差

利用对数正态分布来估测损失值与正态分布相比要复杂得 多，我们将用一个示意的例子来学习估测方法。

假设企业过去火灾损失数据为：2，2，3，3，3，3，3，3， 4，4，4，4，5，5，5，5，6，6，6，7，7，8，9，其频 率分布表如下：
n n Z n = a/2 ，E必须小于给定值，E越小，n越大 E Za/2 故，样本容量nmin = E max
2 2

某保险公司在承保一宗瓷器运输险时，想要以95% 的可靠性估算运输过程中的平均损失金额，从以往 的资料中发现，损失标准差s=40元，现要求估计误 差限不超过8元，需要抽取多少样本才能满足要求？