正方形判定

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八年级正方形的性质和判定

正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。

知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。

2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。

②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。

3、判定：①的矩形是正方形。

②的菱形是正方形。

③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。

（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。

3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。

（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。

【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。

2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。

（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。

5.3正方形的判定(一)(学生版)

5．3 .1正方形的判定正方形的定义：有一组邻边相等并且的平行四边形叫做正方形．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．一、正方形的概念1．如图1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；图1(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．二、正方形的判定2．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( )A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙、丁D．甲、乙、丙、丁3．如图2，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为____．图24.如图3，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.图3(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．5．如图4，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED. 求证：四边形ABCD是正方形．图4 第5题答图1．下列说法正确的是( )A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( ) A．1次B．2次C．3次D．4次3．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是____．4．如图5－3－1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．图5－3－15.如图5－3－2，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图5－3－26．已知：如图5－3－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．图5－3－37．如图5－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；(2)在(1)的条件下，当∠A＝____时四边形BECD是正方形．图5－3－41. 下列命题错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形2. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D=90°B． AB=CDC． AD=BC D． BC=CD3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A. BC=ACB. CF⊥BFC. BD=DFD. AC=BF4. 顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（）A．互相垂直但不相等 B．相等且互相垂直C．相等但不互相垂直 D．互相平分5. 如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 .7. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 .8. 矩形各内角的平分线所构成的四边形是形．9. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件. 下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正确的序号是 .10. 如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.11.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED. 点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F. 求证：四边形ABCD是正方形.。

正方形的判定与性质

长吗？解释你的方法.
A
D
M O
N
BE
C
2四边形ABCD中AC与BD交于O ，据下列条件判断四边形ABCD的形状
①AB∥CD，AD∥BC ③AD∥BC 且AD=BC ⑤OA=OC＝OB=OD
⑦AC=BD且□ABCD
⑨∠A=∠C=∠B=∠D
⑾ ∠A=90°且□ABCD
⒀ AB=AD且矩形ABCD
；②AB=CD，AD=BC
；④∠A=∠C，∠B=∠D
证明：在正方形ABDE中， AE=AB，∠EAB=90°，又在正方形ACFG中， AG=AC，∠GAC=90°，
∴∠EAB=∠GAC=90°.
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC， ∠GAB=∠GAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠GAB， ∴△EAC≌△GAB， ∴EC=GB．
如右图，正方形纸片ABCD的BC边上有一点E，AE=10cm，若把纸片沿AE的中垂线折叠，使点E和点A重合，你能求出纸片上折痕MN的
；⑥AB=AD且□ABCD
；⑧AC⊥BD且矩形ABCD ； ⑩∠A=90°且菱形ABCD
； ⑿ AC⊥BD且□ABCD
；⒁AC=BD且菱形ABCD
；；
；；；；；
3 ①正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______; ②正方形对角线长是3，那么它的边长是_______;
4E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD和 ∠ECD
菱形对边平行对角相等，四边都相等邻角互补
正方形对边平行四个角四边都相等都是直角
对角线
互相平分
相等且互相平分
互相垂直平分，每条对角线平分一组对角互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角

正方形的判定

练习1、已知：如图，点A’、B’、C’、D’分
别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'＝BB'＝CC' ＝DD‘. 求证：四边形A'B'C'D' 是正方形. 小结：证明一
个四边形是正方形关键在于能否证明既是矩形又是菱形.
2、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作 3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF （1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
图③
例2、如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、 CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动. （1）试判断四边形PQEF是正方形并证明；（2）PE是否总过某一定点，并说明理由. （3）四边形PQEF的顶点分别位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？
在下列结构图中填上适当的条件:
1、判断：
①两条对角线互相垂直的矩形是正方形. ②两条对角线相等的菱形是正方形. (√) (√) (×)
③两条对角线垂直பைடு நூலகம்相等的平行四边形是正方形.(√) ④两条对角线垂直且相等的四边形是正方形. ⑤一个角是直角且对角线互相平分且相等的四边形是正方形.（×）
例题1、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形. （1）求证：四边形ABCD是菱形. （2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形.
中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE。 (不需要证明) (1) 如图②，若点 E 、 F 不是正方形ABCD 的边 BC 、的延长线和 CD的中点，但 (2) 如图③，若点 E 、 F 分别在正方形 ABCD 的边 CP DC的满足 CE=DF。则上面的结论①、②是否仍然成立？ (请直接回答“ 延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立”或“不成立” ) 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。

正方形的性质和判定

正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题第4题第5题第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。

正方形的判定

图形之间的变化关系
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法：
• 1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
• 2、有一组邻边相等的矩形是正方形 • 3、有一个角是直角的菱形是正方形
判断四边形是正方形有哪些方法？
△CMD≌△ADF
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形（邻边相等的矩形是正方形）有一组邻边相等．
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形（有一个角是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的菱形是正方形）有一个角是直角．
３、先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？ • • • • • • 四个角都相等的四边形是正方形；四条边都相等的四边形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；对角线垂直且相等的四边形是正方形; 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. (×) (×) (√ ) (√ ) (×)
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）．

1.3.7 正方形的判定

小结
• 正方形的判定方法有哪些？
正方形
矩形
菱形
菱形
矩形
1.3正方形的判定
知识回顾
• 1.正方形的定义
• 2.正方形的性质
动手操作
(1)用直尺和圆规作正方形； (2)把长方形的纸片通过折纸，剪出一个正方形纸片.
说说你作图和剪纸的理由.
正方形的判定
有一组邻边相等并且有一个角
平行四边形
正
是直角的平行四边形叫做正方形.
矩形
矩形
方
形
菱形
菱形
正方形
菱形
矩形
,B,C,D,的面积是9，若正方形A
则AB=______.
拓展延伸2：
• 若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形是正方形吗?证明你的结论.
拓展延伸3：
• 已知:如图，正方形ABCD和CEFG，点K在 BC上，延长CD到H使DH＝CE＝BK. • 求证：四边形AKFH是正方形．
H A D
G B K C
F E
练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD 平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，试说明四边形DECF是正方形.
A E D
C
F
B
练习：
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、 F. • (1)求证：DE＝DF； • (2)只添加一个条件: ,使四边形EDFA是正方形，并说明理由.
5、正方形ABCD的边长为8cm,M在DC 上且DM=2cm,N是AC上一动点，则 DN+MN的最小值是多少？
6、正方形ABCD,M是CD上的中点，E是CD 上的一点，且∠BAE=2∠DAM. 求证:AE=BC+CE

例说正方形的判定方法

例说正方形的判定方法正方形是一种特殊的四边形，它具有多个独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍正方形的判定方法，帮助读者更好地理解和识别正方形。

首先，我们需要明确正方形的定义。

正方形是一种具有四条边等长、四个角度均为直角的四边形。

基于这个定义，我们可以从不同角度和属性判定是否为正方形。

首先，可以通过边长是否相等来判定一个四边形是否为正方形。

如果一个四边形的四条边的长度都相等，那么它就是一个正方形。

这是最直观且常见的判定方法。

我们可以通过测量四边的长度，比较它们是否相等。

如果它们均相等且为正数，则可以确定为正方形。

第二，可以通过角度来判定正方形。

正方形的四个角度均为直角，即90度。

因此，如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个正方形。

我们可以使用角度测量仪或其他角度测量工具来测量每个角度，并确保它们均为90度。

除了以上两种直接的判定方法外，我们还可以利用正方形的性质进行判定。

正方形的对角线互相垂直且长度相等。

如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，那么它就是一个正方形。

我们可以通过测量四边形的对角线的长度，并使用垂直工具检查它们是否互相垂直。

正方形的对角线将其划分为两个等腰直角三角形。

如果一个四边形的对角线互相垂直且划分的两个三角形均为等腰直角三角形，那么它就是一个正方形。

正方形具有对称性。

如果一个四边形具有对称性，即将它沿任意一条对角线折叠后能完全重合，那么它就是一个正方形。

正方形的每条边都是其对角线的正中线。

如果一个四边形的每条边都是其对角线的正中线，那么它就是一个正方形。

正方形的面积公式为边长的平方，即A=a^2、如果可以计算出一个四边形的面积，并且面积等于边长的平方，那么它就是一个正方形。

我们可以通过测量或计算四边形的面积，并使用边长的平方根来验证是否为正方形。

除了以上的判定方法，还有其他一些辅助性的方法可以用于判定正方形。

正方形的周长公式为P=4a，其中a为边长。

如果可以计算出一个四边形的周长，并且周长等于4倍的边长，那么它就是一个正方形。

正方形的性质及判定

1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．一、正方形的性质【例1】正方形有条对称轴．【例2】已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形【例3】如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为FE D CBA【例4】如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为．正方形的性质及判定正方形菱形矩形平行四边形【例5】将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【例6】如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF =OFE DC BA【例7】如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为PNME DC BA【例8】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．EDCBA【例9】如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.F EPDCB A【例10】如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．M N CDO B A【例11】如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA【例12】已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是等腰直角三角形．GEHDFCBA【例13】如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．NMFEDCBA【例14】如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，则AFD ∠=FEDCBA【例15】如果点E 、F 是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF =，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA【例16】如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA【例17】如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA【例18】如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.K NMLDCB A【例19】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.GC FEDBA【例20】（2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.BDCAEF【例21】已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．【例22】若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为．【例23】如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．图3图1图2H DGC FEBAOH GFEDC BA【例24】如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.ABCDEF E 'GBO D CA QP【例25】如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，求证：AM AD =．MFEDCBA【例26】如图，正方形ABCD 中，E F ，是AB BC ，边上两点，且EF AE FC DG EF =+⊥，于G ，求证： DG DA =G FEC DBA【例27】如图，点M N ，分别在正方形ABCD 的边BC CD ，上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数NMDCBA【例28】如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF交于H ，求证：AH =正方形的边长．HEG CDF B A【例29】把正方形ABCD 绕着点A ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ，边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．GCHF EDB A【例30】如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ADC ∠=︒，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，作EP l ⊥于点P ，求证22EP AD CD +=.lPM FE DC BA【例31】如图所示，ABCD 是正方形，E 为BF 上的一点，四边形AEFC 恰好是一个菱形，则EAB ∠=______. ABCDEF二、正方形的判定【例32】四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA【例33】如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA【例34】已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ，AN 是ABC ∆外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥，垂足为点E ． ⑴ 求证：四边形ADCE 为矩形；⑵ 当ABC ∆满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．M ENCDBA【例35】如图，点M 是矩形ABCD 边AD 的中点，2AB AD =，点P 是BC 边上一动点，PE MC ⊥，PF BM ⊥，垂足分别为E 、F ，求点P 运动到什么位置时，四边形PEMF 为正方形．PMF EDC BA【例36】如图，ABCD 是边长为1的正方形，EFGH 是内接于ABCD 的正方形，AE a AF b ==，，若23EFGH S =，则b a -=H GFEDCBA【例37】如图，A 在线段BG 上，ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为27cm 和211cm ，则CDE∆ 的面积为GFEDCB A【例38】如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA【例39】如图，若在平行四边形ABCD 各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形．PRQ S NMFEDCBA【例40】已知：PA4PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值，及相应∠APB的大小.PDCBA。

正方形的判定和性质

正方形性质与判定1）定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

2）性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴。

正方形也是中心对称图形。

）3）判定：① 有一个内角是直角的菱形是正方形； ② 邻边相等的矩形是正方形； ③ 对角线相等的菱形是正方形；④ 对角线互相垂直的矩形是正方形。

4）正方形的周长和面积：正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长例题讲解1. 如图，正方形ABCD 中，△EBC 是正三角形，求∠EAD 的度数。

2. 如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC ，求证：BG=DE3. 如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG ⊥CE 于G 交AD于F ，求证：CE=BF 。

4. 分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，求证：BG=CE 。

5. 如图，平行四边形ABCD 中，△ABE 、△BCF 是以AB 、BC 为边的等边三角形，求证：△DEF 是等边三角形。

6. 如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ，求证：EF ∥DC 。

7. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，求证：OF=21AG 。

8. 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF. （1） AE 与BF 相等吗？为什么？（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。

FE D C B AA BCDEFGFEDCBAABCDEFGO CDEFOG NAB CD E FGABCDED A F A B C DEDCB A E F P DCB A EG FD C B A EG F A BCDEF G9. 如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。

正方形判定的方法

判定一个四边形是正方形，第一：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形又是菱形；第二：判定四边形是菱形，再判定这个菱形又是矩形
例1：已知：如图(2)，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方形ABCD 的边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
2.已知：如图，点A′、 B′、 C′、 D′分别是正方形ABCD四条Байду номын сангаас上的点,并且 AA′=BB′=CC′=DD′.求证：四边形 A′B′C′D′是正方形.
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD平分 ∠ACB， DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别E、F，试证明四边形CFDE为正方形.
练习：
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是： A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD B．AD∥BC ∠A＝∠C C．AO＝CO BO＝DO AB＝BC D．AC＝BD

正方形三个判定方法

正方形三个判定方法
正方形是一种特殊的四边形，其四条边长度相等且四个内角都为直角，下面介绍三个判定正方形的方法：
1. 边长相等且四个内角都为直角：如果一组四边形的四条边长度相等，且四个内角都为直角，则可以判断这是一个正方形。

这是最常用的判定方法，也是最直接的方法。

2. 对角线相等：如果一组四边形的对角线相等，且四个内角都为直角，则可以判断这是一个正方形。

这个方法可以用于特殊情况下，比如只给出了对角线长度而没有给出边长。

3. 一组角相等：如果一组四边形的任意一组相对角度相等（如两个对角度，或者两个相邻角度），且四个内角都为直角，则可以判断这是一个正方形。

这个方法可以用于一些特殊情况下，比如只给出了相邻角度而没有给出边长或对角线长度。

这三种方法可以相互补充，根据具体情况选择不同的判定方法，以便更准确地判断一个四边形是否为正方形。

- 1 -。

正方形的判定

复习引入
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形的性质
边：对边平行，四条边都相等角：四个角都是直角
对角线：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
议一议：
请用这四种图形填空平行四边形
A表示： B表示：矩形（菱形） C表示：菱形（矩形） D表示：正方形
练2：如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结 AF、BD，延长BD交AF于H。求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
F
H E
G
D
A
C
B
活动与探索
练习1：（1）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD 上，AE=BF.求证：AE⊥BF （2）如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上， AE⊥BF.求证： AE=BF （3）若图形变为图2与图3时，上两题结论还成立吗？ A D A1 A D A D F B1 F1 B C G2 F G F1 E C
A C
O
B
例1．如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
D
O
C
分析：要证明BM＝CN，
△ABM≌△BCN
45°N M 45°
AM=BN AB=BC，∠1=∠2=45 °
A
1 45°
2 B
45°
正方形ABCD
OM=ON ∠OMN＝∠ONM＝45°
O
C
A
B
B
3.判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？
①、对角线相等的菱形是正方形 ②、对角线互相垂直的矩形是正方形

正方形的判定(教材分析)

正方形的判定(教材分析)1. 引言在初等数学课程中，正方形是一个重要的概念。

在教学过程中，学生需要掌握如何判定一个图形是否为正方形，以及正方形的性质和特点。

本文将对目前教材中关于正方形判定的内容进行分析和评价，以确定教材是否充分满足学生的研究需求。

2. 教材内容分析2.1 正方形的定义教材首先对正方形进行明确定义，即四边相等且四个角都是直角的四边形。

该定义准确简练，容易理解。

2.2 正方形的判定方法教材介绍了两种判定正方形的方法：边长判定和对角线判定。

2.2.1 边长判定教材提供了判定正方形的边长判定方法：如果一个四边形的四条边相等，则该四边形为正方形。

该方法简单易行，适合学生初步了解和判定正方形的特点。

2.2.2 对角线判定教材还介绍了对角线判定正方形的方法：如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，则该四边形为正方形。

这种方法在实际问题中更具实用性，能够帮助学生更深入地理解正方形的特点。

2.3 正方形的性质和特点教材对正方形的性质和特点进行了详细的介绍：- 正方形是长方形的特殊情况，它具有长方形的所有性质。

- 正方形的周长等于4倍的边长，面积等于边长的平方。

- 正方形的对角线相等且互相平分。

通过对这些性质和特点的介绍，学生可以更好地理解正方形的几何性质和应用价值。

3. 教材评价3.1 优点教材在正方形判定的内容上有以下优点：- 正方形的定义准确简练，易于理解。

- 出现了多种判定方法，有利于学生掌握不同的思路和方法。

- 对正方形的性质和特点进行了全面深入的介绍，有助于学生扩展和应用相关知识。

3.2 不足之处教材在正方形判定的内容上也存在以下不足之处：- 缺乏足够的例题和练题，学生在应用判定方法时缺乏实践机会。

- 缺乏关于正方形相关问题的应用实例和拓展，将正方形的几何知识与实际问题相结合的能力有待提高。

4. 教材改进建议为了更好地满足学生的研究需求，本文提出以下教材改进的建议：- 增加更多例题和练题，让学生能够主动运用判定方法来判断一个图形是否为正方形。