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正方形的性质和判定定理优课教案

正方形的性质和判定定理
根据以上的关系图，得到正方形、矩形和菱形三者的关系：正方形既是矩形也是菱形。

同时利用维恩图表示:
（1）选择题（正方形的性质）1、正方形具有而矩形不一定具有
师：从问题出发，求角的度数有什么思路？此处用到正方形何性质？
）证明题（正方形判定和
第一问在教师引导下解决完，提出以下问题：
本课主要学习了正方形的定义、性质、判定方法，正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，还
1、必做题
如图,四边形ABCD中，AD//BC，AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形.
(2)如果BE=BC 且
、选做题。

新北师大版初中数学九年级上册第1章特殊平行四边形《第3课正方形的性质与判定》

满足什么条件的菱形是正方形？定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章特殊平行四边形

正方形的性质与判定(一)

出关于正方形的两个定理“正方形的四个角都是直角四条边都相等”“正方形的对角线互相垂直平分”
第三任务：引用书上的议一议，让学生解决“正方形有几条对称轴”
第四环节：性质应用
活动内容：①引用课本例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF.BE与DF之间又怎样的关系？请说明理由。
教师行为
学生行为
第一环节：课前准备
活动内容：搜集身边的矩形（提前布置）。
准备好数学常用的度量工具：直尺、量角器、圆规。
以合作小组为单位，开展调查活动：
各尽所能收集生活中应用的各种矩形图形。
学生搜集的图片或实物（部分）：
课时教学流程
教师行为
学生行为
第二环节：情境引入
活动内容：展示学生的成果，包括图片以及实物等各种学生能得到的“图形”。并让学生利用适当的度量工具，对搜集到的图形素材进行度量或者对素材进行适当的操作，并记录、整理数据。
②选用课本议一议进行阶段小结“平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流”
对通过自己的实践总结得到的关于正方形的性质能够熟练运用、解决具体问题。
学生养成阶段性回顾总结的习惯，使其逐渐养成良好的学习品质。同时又是对知识结构的再建过程，是学生丰富、重建自身认知结构的必要手段。
难点：体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想
教学方法
任务驱动法
使
用
教
材
构
想
学生对正方形比较熟悉，因此教学是可以直接观察正方形，引导他们抽象出其中的共同特征，从而引入正方形的定义。进儿通过用菱形定义正方形，用矩形定义正方形，引导学生思考正方形与矩形，菱形的关系，从而得出正方形具有的性质。

1.3.2正方形的性质与判定

课题：1.3.2正方形的判定课型：新授年级：九年级(下)教学目标：1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题.2.引导学生总结决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力.3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.教学重、难点：重点：掌握正方形的判定方法.难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：一张长方形白纸，剪刀一把.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中问题2：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？问题3：你有什么方法判定一个四边形是正方形？处理方式：问题1、3由学生口答完成，问题2部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解.设计意图：通过剪纸可以更加直观的让学生感知看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形.二、探究学习，感悟新知活动内容：探索正方形的判定条件：学生活动：三人一组进行类比平行四边形、菱形、矩形的判定进行讨论研究，并完成下列探究问题，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.（1）的菱形是正方形；（2）的矩形是正方形；（3）的菱形是正方形.以上三个问题的依据分别是什么？处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对矩形的判定从感性认识上升到理性认识．先从观察剪纸入手，让学生具体体验矩形的判定，从而让学生站在一定高度体验三种特殊平行四边形之间的关系.活动内容2：判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由（1）对角线相等的菱形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（4）四条边都相等的四边形是正方形；（5）四个角都相等的四边形是正方形.处理方式：先由学生独立思考、判断，再由师生共同分析，然后学生对比正误，完善对正方形判定定理的理解，同时要求学生注意审题，不同的已知条件适用不同的判定定理.设计意图：通过五道练习题让学生加深对正方形判定定理的认识．三、例题解析，应用新知活动内容：我们已经学习了正方形的三个判定定理，你能顺利的利用正方形的三个判定定理来判断一个四边形是正方形吗？请同学们仔细阅读例1中的已知条件，想一想如何进行证明．（多媒体出示例2）例2 已知如图1-21，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE 。

1.3 正方形的性质与判定(二)

定理:对角线垂直的矩形是正方形
正方形的判定方法：
1、定义判定没有固定方法， 2、对角线相等的菱形是正方形。只要既是矩形又 3、有一个角是直角的菱形是正方形。是菱形就可判定。 4、对角线垂直的矩形是正方形。 5、有一组邻边相等的矩形是正方形。
注意：正方形的
有一组邻边相等且有一个角是直角
第二环节
E
F
A
C
H
D
G
第三环节猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH会有怎样的变化呢？先猜一猜，再证明。原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形,AB=AD ∵ ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形（正方形定义）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形。
证明:对角线相等的菱形是正方形。
已知: 四边形ABCD是菱形, AC=BD
求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形．（正方形的定义）
已知: 四边形ABCD是矩形, AB=AD 求证: 四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90° ∵ AB=AD ∴四边形ABCD是正方形（正方形的定义）
定理:有一组邻边相等的矩形是正方形。

专题1.3 正方形的性质与判定(第1课时)【北师大版九上数学精品课件】

发现？
正矩方形形
〃
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
正方形
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角菱形
正方形
∟
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
轴对称图形（4条对称轴）
知识点三正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延
长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说
明理由.
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
E
∴BC=DC,∠BCE =90° .
想一想：正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形正方形菱形平行四边形
归纳正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且平分 6
M
N
A
Q 87 B
∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB,
∠CON =∠NQB = 90°.
∴BM⊥CN.
当堂练习
1、如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O， (1)求证：△DAF≌△ABE； (2)求∠AOD的度数；

青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》教学设计

青岛版数学八年级下册《正方形的性质和判定定理》教学设计一. 教材分析《正方形的性质和判定定理》是青岛版数学八年级下册的教学内容。

本节课的主要内容是让学生了解正方形的性质和判定定理，掌握正方形的特点和判定方法，为后续学习正多边形和圆的知识打下基础。

教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究正方形的性质，并通过推理和证明，使学生掌握正方形的判定定理。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了矩形、菱形等四边形的性质，对平行四边形的性质有一定的了解。

但正方形与这些四边形有所不同，它的特殊性质和判定定理需要学生通过探究和证明来掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，引导学生通过自主学习和合作交流，理解和掌握正方形的性质和判定定理。

三. 教学目标1.了解正方形的性质，并能运用这些性质解决相关问题。

2.掌握正方形的判定定理，并能运用判定定理判断一个四边形是否为正方形。

3.培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。

4.激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.正方形的性质和判定定理的理解和运用。

2.正方形性质和判定定理的证明过程。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生通过观察、操作、推理和证明，自主探究正方形的性质和判定定理。

2.合作交流法：学生分组进行探究，分享学习成果，互相学习和交流。

3.案例分析法：教师通过展示正方形的实际应用案例，引导学生理解和运用正方形的性质和判定定理。

六. 教学准备1.教学PPT：包含正方形的性质和判定定理的相关内容，以及实际应用案例。

2.教学素材：正方形的图片、实物模型等。

3.练习题：用于巩固学生对正方形性质和判定定理的理解和运用。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些正方形的实际应用案例，如正方形地毯、正方形桌面等，引导学生关注正方形的特点，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现正方形的性质和判定定理，引导学生观察和思考，引导学生用自己的语言描述正方形的特点。

1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册

答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ；（1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方向旋转90°，得到△ ABF '，则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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北师大版九年级上册 1.3正方形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。

两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。

八年级数学下册《正方形的性质和判定定理》优秀教学案例

八年级数学下册《正方形的性质和判定定理》优秀教学案例
一、案例背景
在八年级数学下册的教学过程中，正方形的性质和判定定理作为几何知识的重要组成部分，对于培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力具有重要意义。本教学案例旨在通过引导学生从生活实例中抽象出正方形的性质，激发学生的学习兴趣，运用启发式教学方法，帮助学生掌握正方形的判定方法，并能够在实际问题中灵活运用。本案例结合教材内容，注重知识体系的构建，突出学以致用，以培养学生解决问题的能力为核心，提升学生的综合素质。在教学过程中，关注学生的个体差异，营造轻松愉快的学习氛围，使学生在探索正方形性质和判定定理的过程中，体验到数学学习的乐趣。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。教师将学生分成若干小组，每组4-6人，让组内成员相互协作，共同探讨正方形的性质和判定定理。在合作过程中，学生可以相互交流想法，共同解决问题，提高团队协作能力和沟通能力。教师还要关注各小组的学习进度，适时给予指导和帮助，确保每个学生都能在小组合作中受益。
（四）反思与评价
3.反馈：教师要及时给予学生反馈，指出学生在学习过程中的优点和不足，帮助学生找到提高的方向。同时，鼓励学生提出教学建议，促进教学相长，不断提高教学质量。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过展示生活中常见的正方形物品，如正方形瓷砖、桌面等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在生活中的应用有哪些？
（二）问题导向
本节课将采用问题导向的教学策略，引导学生通过观察、思考、提问等方式，发现正方形的性质和判定定理。教师提出一系列具有启发性的问题，如“正方形具有哪些性质？”“如何判断一个四边形是正方形？”等，让学生在解决问题的过程中，掌握正方形的相关知识。同时，鼓励学生提出自己的疑问，培养他们勇于质疑、善于思考的习惯。

正方形的判定方法

∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90° （第三步） ∴菱形A`B`C`D`是正方形（第四步）
知识巩固：
1.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。求证:四边形CEDF为正方形证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形 ∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG 同理：DG=DF ∴ED=DF ∴矩形ADFC是正方形
正方形的对边平行且相等正方形的四个角都是直角
正方形的两条对角线互相垂直平分对角线且相等,每条对角线平分一组对角
动手操作：你能否利用手中的矩形白纸裁
出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
有一组邻边相等
总结：矩形+（
）=正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
是直角
总结：（
）+（
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
正方形的判定方法：
1.定义法：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2.矩形法和菱形法： 1）一组邻边相等的矩形是正方形 2）有一个角是直角的菱形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形。
想一想：可以活动的菱形模型能变成一个
正方形吗？如何变？
有一个角是直角
总结：菱形+（
）=正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？

正方形的性质与判定ppt课件

北师大版九年级数学
第一章特殊平行四边形
第3节正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系垂直
对称性有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议：（1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形性质
菱形性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：

平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想：正方形有几条对称轴
解析：正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的所有性质，所以必然具有矩形过每组对边中点的对称轴和菱形过对角线的对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.

《正方形》平行四边形(第2课时正方形的判定)

总结词
我们再来看看对角线相等的平行四边形是正方形的例题。假设有一个平行四边形ABCD，其中AC=BD，问这个平行四边形是正方形吗？我们可以证明这个平行四边形有一个角是直角，从而得出这个平行四边形是正方形。
VS
详细描述
首先，我们通过连接对角线AC和BD，证明这个平行四边形有一个角是直角。然后我们进一步证明这个平行四边形的对角线相等，即AC=BD。最后我们得出这个平行四边形是正方形。
THANK S感谢观看
平行四边形判定方面的典型例题解析
总结词
本部分将通过具体的例题，解析平行四边形判定的方法，包括两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形等。
详细描述
首先，我们来看一道基于平行四边形定义的例题。假设有一个四边形ABCD，其中 AD//BC，AB//CD，问这个四边形是平行四边形吗？通过连接对角线AC和BD，我们可以证明这个四边形是平行四边形。然后我们可以进一步证明这个平行四边形的对角线互相平分，从而得出这个四边形是平行四边形。
假设四边形ABCD中，对角线AC与BD相互平分。根据对角线平分的四边形是平行四边形，我们知道四边形ABCD是平行四边形。
正方形与平行四边形判定定理的联系与区别
正方形判定定理的证明比平行四边形的要复杂一些，因为正方形的所有边都相等且所有角都是直角，这个性质在证明其判定定理时需要用到。而平行四边形的判定定理则不需要用到这个性质。
平行四边形判定定理的证明
定理1
证明
定理2
证明
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
假设四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC 。根据等量代换原理，我们知道AB与CD 、AD与BC分别相等。又因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以四边形ABCD是平行四边形。

第三讲正方形的性质与判定

第三讲正方形的性质与判定（一）正方形的定义与性质1.正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做菱形.2.正方形的性质:①:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.②正方形的对角线相等且互相垂直平分.3.特殊平行四边形的包含关系典例分析知识点1：利用正方形的性质计算例1：如图，AC是正方形ABCD的对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC交AC于点F，若BE=2，则CF长为．知识点2：利用正方形的性质证明例2：已知：如图1，正方形ABCD中，对角线的交点为O．（1）E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE于G，AG、BD交于点F．求证：OE=OF．（2）若点E在AC上的延长线上（如图2），过点A做AG⊥BE交EB的延长线于G，AG的延长线交BD于点F，其它条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．知识点3：利用正方形的性质求面积例3：（1）如图，正方形ABCD的边长为2，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是．例3（1）图例3（2）图（2）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2 C．a2D．a2知识点4：利用正方形解决最短路径问题例4：如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE=2，F为AB上的一点，AF=3，P为AC上一点，则PF+PE的最小值为．（二）正方形的判定1.正方形的判定定理.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形.(2)有一个角是直角的菱形是正方形.(3)对角线垂直的矩形是正方形.(4)对角线相等的菱形是正方形.2..判定一个四边形是矩形的方法与思路是:典例分析知识点5:先证矩形再证正方形例5.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．知识点6：先证菱形再证正方形例6：如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．（三）中点四边形1.定义：以四边形的各边中点为顶点所组成的新四边形2.决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系.(1)若原四边形的对角线相等,则中点四边形EFGH为菱形;(2)若原四边形的对角线互相垂直,则中点四边形EFGH为矩形;(3)若原四边形的对角线既相等又垂直,则中点四边形EFGH为正方形;(4)若原四边形的对角线既不相等也不垂直,则中点四边形EFGH为平行四边形知识点7：中点四边形形状的确定例7：（1）以四边形的各边中点为顶点可以组成一个什么图形?如果以菱形或矩形各边的中点为顶点呢?:（2）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=1，BC=3，求正方形EFGH的边长．（四）正方形的性质与判定的综合应用例8：如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．例9：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？例10：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=BC=1．（1）求证：CE=CF；（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；（3）在（2）的条件下，求GC的长度．例11:如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：AD=AF；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．例12：（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°﹣∠AMN﹣∠AMB=180°﹣∠B﹣∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）夯实基础：1.下列说法中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是菱形B．对角线互相垂直的菱形是正方形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形2.已知正方形的边长为2cm，则其对角线长是（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm3.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C至直线l的距离分别为2和3，则此正方形的面积为（）A．5 B．6 C．9 D．13第3题第4题第5题4.如图，在正方形ABCD中，AB=1，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．B．4 C．2 D．5.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．66.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°第6题第7题7.如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A．﹣4+4B．4+4 C．8﹣4D．+18.如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长AB至点E，使得BE=1，EF⊥AE，EF=AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（）A．2B．3C．D．第8题第9题9.如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E，F．已知AD=4，则AE2+CF2=．10.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF ∥BE．求证：四边形BECF是正方形．11.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）当∠A=90°时，试判断四边形DFAE是何特殊四边形？并说明理由．13.．如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且交边CD于点E．（1）求证：PB=PE；（2）过点E作EF⊥AC于点F，如图2，若正方形ABCD的边长为2，则在点P 运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．14.已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）。

正方形的定理证明

正方形定理证明的那些事儿，一看就懂！嘿，小伙伴们，今天咱们来聊聊数学里一个既有趣又实用的形状——正方形，还有那些让人头疼但又不得不掌握的定理证明。

别担心，我会尽量用大白话给你们讲解清楚，保证让你们看完之后，觉得“哎呀，原来正方形定理证明也没那么难嘛！”一、正方形的定义和基本性质首先，咱们得知道啥是正方形。

正方形啊，就是四条边都一样长，四个角都是直角的四边形。

简单说，就是方方正正，规规矩矩的那个样子。

正方形的基本性质有几条挺重要的：四条边相等：这个不用多说，一看就知道。

四个角都是直角：也就是每个角都是90度。

对角线相等且互相垂直平分：这条稍微有点难理解，但想象一下，你从正方形的一个顶点拉条线到对边不相邻的那个顶点，这就是对角线，正方形有两条这样的线，它们不仅一样长，还互相垂直并且在中点相交。

二、正方形的判定定理及证明接下来，咱们进入正题，说说怎么判断一个四边形是正方形，以及这些定理的证明。

定理一：对角线相等的菱形是正方形菱形呢，就是四条边都相等的四边形，但它不一定是正方形，因为角不一定是直角。

但如果菱形的对角线还相等，那它就一定是正方形了。

证明：假设有个菱形ABCD，AC和BD是它的两条对角线，且AC=BD。

因为ABCD是菱形，所以AB=BC=CD=DA。

又因为AC=BD，所以菱形的两条对角线相等。

咱们知道，菱形的对角线互相垂直且平分。

现在再加上它们相等，就意味着每个角都被这两条对角线分成了两个45度的角（因为直角被垂直的线平分，一半就是45度）。

所以，ABCD的每个角都是90度，加上四条边相等，它不就是正方形了嘛！定理二：有一个角是直角的菱形是正方形这个定理更直接，如果一个菱形有一个角是直角，那它肯定就是正方形。

证明：假设菱形ABCD中，∠A=90°。