阻尼振动与受迫振动教案

通过一个具体的实例来观察在阻力作用下的单摆的振动特点。
从而引出阻尼振动的概念：在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动。并从该实例总结阻尼振动的特点：其振幅不断衰减。
定性分析阻尼振动的特点：简谐振动的能量与其振幅的平方成正比：，因此，振幅的衰减意味着能量的衰减。
介绍引起能量损失的原因：
摩擦阻尼：由于介质对振动系统的摩擦阻力使系统的能量转变为热运动的能量，造成热损耗。如空气对单摆阻尼
定义为阻尼振动的周期，可见， 越大，振动周期 越长。
可将此时的振动曲线画出，以便于形象说明
2)阻尼较大时，此时 ，称为过阻尼状态
此时方程的解为：
根据方程将曲线作出
由曲线可看出，过阻尼振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动。
3) 时，此时称为临界阻尼状态
此时方程的解为：
根据方程将曲线作出
由曲线可看出，此时物体处于由欠阻尼向过阻尼过渡的临界状态，物体刚好能做非周期运动。而且与过阻尼相比，物体从离开平衡位置的地方运动回到平衡位置，需要的时间最短。
辐射阻尼：振动物体引起邻近质点的振动，使振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。如音叉振动
2、定量分析阻尼振动的特点
一般在定量分析时，只考虑摩擦力和液体的摩擦阻力
振动速度不太大时，摩擦阻力：
根据牛顿第二定律：
即
令
得
其中， 称为振动系统的固有角频率， 称为阻尼系数
这一过程可以通过以下图形形象说明
受迫振动到达稳定时，其频率等于策动力的频率 。
振幅为
初位相为
讨论：
1）受迫振动的稳态解从形式上看和无阻尼简谐振动的方程形式完全一样，二者有何区别？
从形式上看二者完全一致，但实际上有本质区别。对于受迫振动的稳态解， 并不是系统的固有频率，而是策动力的频率。其振幅和初位相依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和策动力的特征。而无阻尼简谐振动的频率是系统的固有频率，由系统本身性质所决定，其振幅和初位相是由初始条件决定的。
此方程按β大小的不同，微分方程有三种不同形式的解
1)阻尼较小时，此时 ，称为欠阻尼状态
此时在黑板上进行简单的常微分方程的求解：
方程的解为：
可进一步写成如下形式：
其中 称为阻尼振动的振幅，分析此式可知，阻尼振动的振幅按指数规律衰减，
β越大衰减越快，所以阻尼振动又叫减幅振动
而函数 具有周期性，说明函数 是具有周期性的。因此把
2、共振发生的条件。
教学方法
1、多媒体课件与黑板板书相结合。
2、图片举例，了解共振的应用和防止；
3、实际演示，了解阻尼振动的特点及共振现象。
教学用具
多媒体课件、阻尼振动演示仪、共振演示仪。
课时安排
1学时（50分钟）
教学思路
一、阻尼振动
1、回忆前边学过的简谐振动，引入阻尼振动的概念。
前边学过的简谐振动都是没有考虑阻力作用的，其振幅不随时间变化，且系统的机械能守恒。但实际的振动不可避免地要受到各种阻力的影响。
实际演示：利用共振演示仪演示不同频率下的共振
三、共振的危害与应用
1、共振的危害与防止
例1、（图片说明）１８世纪中叶，法国昂热市附近一座长102m的桥，因一队骑兵在桥上经过。他们在指挥官的口令下迈着整齐的步伐过桥，引起桥梁共振，桥梁突然断裂，造成２２６名官兵和行人丧生。此后，各国都规定大队人马过桥，要便步通过。
例3、（图片说明）微波炉：微波炉加热食品时,炉内有很强的交变电磁场,它使得食物分子中的带电微粒做受迫振动.由于分子间的相互作用,振动的能量最终成为食物分子热运动的动能,提高了食物的温度。
四、思考
对于一个振动系统，如果其位移做的是一个无阻尼简谐振动，则其速度的运动也是简谐振动。
2）对于一定的系统，在阻尼一定的条件下，其受迫振动在稳态时的振幅随策动力的频率而改变。此时令
可求得 极大时的 为
说明 取此值时，振幅有最大值。我们把这种现象称为共振，此时的频率称为共振频率。共振时的振幅为
从共振频率可看出，对于不同的阻尼因子 ，共振频率是不同的。
实验测得，不同阻尼时，振幅和策动力频率之间的关系曲线如下图所示：
实际演示：利用阻尼振动演示仪演示三种阻尼状态下的振动
3、阻尼振动的应用
1）在磁式仪表中，为使人们能较快地和准确地读数测量，常使仪表的偏转系统处在临界阻尼状态下工作。
2）在生产实际中，可以根据不同的要求，用不同的方法来控制阻尼的大小，例如各类机器，为了减振、防振，都要加大振动时的摩擦阻尼
二.受迫振动与共振
阻尼振动、受迫振动与共振的教学设计方案
教学目标
1、了解阻尼振动的动力学原因以及三种情况下阻尼振动的特点。
2、了解受迫振动的动力学原因、解的特点以及共振发生的条件。
3、知道共振的应用和防止的实例。
教学重点
1、什么是阻尼振动以及阻尼振动的特点。
2、什么是受迫振动，什么是共振及共振产生的条件。
教学难点
1、简谐振动、阻尼振动及受迫振动的区别。
例2、（图片说明，小录像）1940年，美国华盛顿洲，刚建成4个月的全长860m的塔科麦大桥因大风引起的共振而塌毁，尽管当时的风速还不到设计风速限值的1/3。为避免这种共振，应用合适的阻尼器抑制岸桥的风致振动。
2、共振的应用
例1、（图片说明）吉他能发出美妙的声音是因为有共鸣箱
例2、（图片说明）鱼洗盆：当人们在它的边缘摩擦时，盆内的水便会喷起，如喷池一般。说明我国古代很早就会利用共振、共鸣现象
阻力总是客观存在的，只能减小而不能完全消除它。所以实际的振动系统免不了由于阻力而消耗能量，这会使振幅不断衰减。但在实际应用中，我们是不希望这种衰减的。为了使振幅不衰减，通常是给系统施加一个周期性外力——策动力。
在策动力作用下的振动称作受迫振动。
为简单起见，假设策动力有如下形式
其中 为策动力的幅值， 为策动力角频率
以在液体中的弹簧振子为例
设物体处于平衡位置时，弹簧的伸长量为
设此时弹簧总伸长量为
这就是受迫振动的动力学方程。虽然此方程是从这一特例中得到的，但它是受迫振动的动力学方程的普遍形式。
在阻尼较小的情况下，方程的解为
这个解由两项组成，可以看成是两个振动的合成。第一个振动是一个减幅振动，第二个振动是一个等幅振动。策动力开始作用的阶段，系统的振动是非常复杂的。经过一段时间之后第一项振动将减弱到可以忽略不计。只剩下第二项。所以在受迫振动达到稳定状态时，它的稳态解应为第二项：