压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析
厚壁筒的塑性应力分析
高压容器筒体的结构与强度设计----------厚壁圆筒的弹性应力分析厚壁容器承受压力载荷时产生的应力具有如下特点：1、薄壁容器中的应力只考虑经向和周向两向应力，忽略径向应力。
但厚壁容器中压力很高，径向应力则难以忽略，应考虑三向应力分析。
2、在薄壁容器中将二向应力视为沿壁厚均匀分布薄膜应力，厚壁容器沿壁厚出现应力梯度，薄膜假设不成立。
3、内外壁间的温差随壁厚的增大而增加，由此产生的温差应力相应增大，厚壁容器中的温差应力不应忽视。
（一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力(1)几何方程图中所示单元体两条圆弧边的径向位移分别为w和w+dw，可导出其应变表达式为：径向应变（1）周向应变对第二式求导并变换得：（2）物理方程按广义虎克定律可表示为：（3）（4）同时对（3）式的第二式求导，可得：另将（4）式代入（2）式得：由这两个式相等可得：（5）（2）平衡方程得：（6）为消去将（5）式代入（6）式得：由该微分方程求解便可得s r通解，再将s r代入（6）得：，仅有内压作用时，上式可以简化，即著名的拉美公式（Lame）（3）分布规律（二）单层厚壁圆筒的位移表达式由（1）式和（3）式可得，开口厚壁筒的径向位移封闭厚壁筒的径向位移当采用过盈配合的热套筒时需要计算在内压或外牙作用下的直径变化量ΔD。
圆筒在任意半径r处的直径变化量可由下式导出：两端开口的ΔD两端封闭的ΔD（三）单层厚壁圆筒中的温差应力(1)温差应力方程对无保温层的高压容器，若内部有高温介质，内外壁面必然形成温差，内外壁材料的热膨胀变形存在相互约束，变形不是自由的，导致温差应力。
1、内壁温度高于外壁时(称为内加热)，内层材料的自由热膨胀变形大于外层，但内层变形受到外层材料的限制，因此内层材料出现了压缩温差应力，而外层材料则出现拉伸温差应力。
2、当外加热时，内外层温差应力的方向则相反。
可以想象，当壁厚愈厚时，沿壁厚的传热阻力加大，内外壁的温差也相应增大，温差应力便随之加大。
06_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹塑性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
因为“弹性筒”内壁面同时也是“塑性筒”的外 壁面，所以在交界面上( r=Rc )，也满足 Mises 条件
r R
c
r r R
c
2 s 3
联立上述三式，得到弹、塑性区界面压力pc的另一表达 式如下
pc
s R R
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
（2）高压厚壁筒提高屈服承载能力的措施
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.4 提高屈服承载能力的措施
下图为经过自增强处理后，单层厚壁筒中的应力 分布情况。自增强法最早出现于20世纪初，首先应用 于炮筒的制造。目前已经应用于石油化工中的高压及 超高压容器、超高压管道、超高压压缩机气缸等。
残余应力的计算是依据“卸载定理”的，参见教 材。该部分须掌握残余应力的分布图。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.2 弹塑性应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（1）爆破过程 OA：弹性变形 AB：进入屈服 BC：屈服并强化 CD：爆破 pc:塑性垮塌压力， 工程上称为爆破 压力。
2.3.3 屈服压力和爆破压力
2.3 厚壁圆筒应力分析
（2）理想弹塑性材料
2.3.2 弹塑性应力
对于理想弹塑性材料，忽略材料的硬化阶段，同 时认为材料的屈服极限为常数。
2.3 厚壁圆筒应力分析
（3）塑性失效准则
2.3.2 弹塑性应力
筒体为理想弹塑性材料，当屈服区扩展至外壁 面，使筒体整体屈服，此时承受的内压力为筒体承 受的最高极限载荷。 （4）屈服条件 当材料从弹性阶段进入理想塑性阶段时，应满 足一定的条件，以此来判定材料是否进入屈服阶段， 此条件称为“屈服条件”（屈服失效判据）。 常用的屈服条件有：Tresca屈服条件和Mises 屈服条件。
厚壁圆筒应力分析
温度变化引起的弹性热应力
热应力
构件之间热变形 的相互约束
构件热变形受到 外界约束
构件内部温度 分布不均匀
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。
◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
应变
径向应变、轴向应变和周向应变
分析方法
8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定问 题，需平衡、几何、物理等方程联立求解。
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
p0
研究在内压、 外压作用下， 厚壁圆筒中的 应力。
图2-15 厚壁圆筒中的应力
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
•以轴线为z轴建立圆柱坐标。 •求解远离两端处筒壁中的三向应力。
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程（续） 径向应变 周向应变 变形协调方程
（2-27） （2-28）
2.3 厚壁圆筒应力分析
d. 物理方程
（2-29）
2.3 厚壁圆筒应力分析
e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程
（2－33）
2.3 厚壁圆筒应力分析
边界条件为：当
时，
；
当
时，
。
由此得积分常数A和B为：
2.3 厚壁圆筒应力分析
周向应力 径向应力
轴向应力
称Lamè（拉美）公式
（2-34）
2.3 厚壁圆筒应力分析
表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
2.3 厚壁圆筒应力分析
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
05_压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
三对截面取出微元体：
2.3.1 弹性应力
② 周向应力σϴ 径向应力σr
一对圆柱面，相距dr，σr作用于该面上。 一对纵截面，相差dθ，σϴ作用于该面上。 一对横截面，长度为1， σz作用于该面上。
根据轴对称性， σϴ和σr仅与r有关。
2.3 厚壁圆筒应力分析
Hale Waihona Puke 2.3.1 弹性应力周向应变
(mn m' n' )
(r w)d rd w rd r
上述二式为(2-27)式。
2.3 厚壁圆筒应力分析
对周向应变求导，有
2.3.1 弹性应力
dw r w d 1 dw w dr 2 dr r r dr r 1 r r
上式又称广义虎克定律。
(2 29)
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
平衡、几何和物理方程综合－求解应力的微分方程 由物理方程(2-29)式，可得
(1 ) r ( r ) E d d r d 1 dr E dr dr
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3 厚壁圆筒应力分析
合成氨反应器 结构示意图
2.3 厚壁圆筒应力分析
合成氨高压反应器制造安装
2.3 厚壁圆筒应力分析
(1) 薄壁容器力学分析模型
(2) 厚壁容器力学分析模型
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方 程、物理方程三个方面进行分析。
2.3 厚壁圆筒应力分析
由上面方程组可导出下列“二阶齐次变系数微分方程”
d r 3 d r 0 2 dr r dr
压力容器应力分析-厚壁圆筒应力分析
• 位移
•周向位移为零，只有径向位移和轴向位移
• 应变
•径向应变、轴向应变和周向应变
•分析方 法
•8个未知数，只有2个平衡方程，属静不定 问题，需平衡、几何、物理等方程联立求解 。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•2.3.1 弹性应力
•p0
•研究在内压 、外压作用下 ，厚壁圆筒中 的应力。
•图2-15 厚壁圆筒中的应力
•一、压力载荷引起的弹性应力 • 1、轴向（经向）应力
•对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所 以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
•＝ A •（2-25）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
• 2、周向应力与径向应力 •由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体 着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
•表2-3 厚壁圆筒在内压与温差作用下的总应力
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•图2-21 厚壁筒内的综合应力 •（a）内加热情况；(b)外加热情况
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•由图可见
•内加热——内壁应力叠加后得到改善，
•
外壁应力有所恶化。
•外加热——则相反，内壁应力恶化，
•
外壁应力得到很大改善。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•筒体内外壁的温差，
•厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， • 表中
•厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•表2-2 厚壁圆筒中的热应 力
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•图2-20 厚壁圆筒中的热应力分布
•（a）内部加热
(b)外部加热
•2.3 厚壁圆筒应力分析
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于各个领域，比如压力容器、热交换器等。
在使用厚壁圆筒的过程中，必须进行应力分析，以确保结构的安全性和可靠性。
首先，研究厚壁圆筒的应力分析需要考虑以下几个方面。
1.圆筒的几何形状：厚壁圆筒是由外径、厚度和长度组成的。
这些几何参数会影响圆筒内部的应力分布情况。
2.材料特性：圆筒的材料特性直接影响其应力分布。
研究厚壁圆筒时，通常会考虑材料的弹性模量和泊松比等参数。
3.加载条件：圆筒的应力分布受外部载荷的影响。
载荷的形式可以是压力、温度、重力等。
加载条件的确定对于应力分析至关重要。
接下来，我们将详细介绍厚壁圆筒的应力分析方法。
1.内外压力分析：考虑厚壁圆筒内外的压力差异。
当内外压力相等时，圆筒应力较小。
当内压大于外压时，圆筒将会受到较大的应力。
2.纵向应力分析：厚壁圆筒在纵向方向上承受的应力主要为轴向拉应力。
如果存在压力差，则拉应力沿厚度逐渐增加。
3.周向应力分析：在周向上，厚壁圆筒受到的应力主要为周向拉应力。
当圆筒内外压力不平衡时，周向应力将会增加。
4.切应力分析：切应力是圆筒内部的剪切应力分量。
在圆筒壁厚度的不同位置，切应力的大小也会有所不同。
5.应力分布图：为了更好地理解厚壁圆筒的应力分布情况，可以绘制应力分布图。
这样可以直观地了解不同部位的应力分布情况，以便进行结构优化。
总结一下，厚壁圆筒的应力分析对于确保结构安全性至关重要。
通过分析内外压力、纵向应力、周向应力和切应力，可以更好地理解圆筒的应力分布情况。
通过应力分布图，可以更直观地了解圆筒不同部位的应力情况，从而进行优化设计。
在实际工程中，应力分析的结果可以用来指导材料的选择、结构的设计以及使用中的安全操作。
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析1.只受内压作用：（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中θσ为拉应力，r σ为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而z σ介于θσ和r σ之间，即2r z θσσσ+=，且沿壁厚均匀分布。
（2）在筒体内壁面处，θσ、r σ的绝对值比外壁面处为大，其中θσ具有最大值，且恒大于内压力i p ，其危险点将首先在内壁面上产生。
（3）θσ沿壁厚分布随径比K 值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即2()1()2io r R r R K θθσσ==+=。
显然，不均匀度随2K 成比例，可见K 值愈大，应力分布愈不均匀。
当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。
由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K 值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。
为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。
2.往往采用组合圆筒或单层厚壁圆筒自增强处理技术，以提高筒体的弹性承载能力。
3.温差应力：厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。
（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差t ∆成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。
（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向应力与径向应力之和，即t t t z r θσσσ=+ ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向应力分别相等，且最大应力发生在外壁面处。
（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。
厚壁圆筒应力分析
轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力
和的一半，即
z
1 2
r
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0
2
rRi K 2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
r max pi
max
pi
K2 1 K2 1
min
pi
2 K2 1
rr min 0
r max p0
r
z
p0
K2 1 K2 1
max
p0
2K 2 K2 1
(a)仅受内压
(b)仅受外压
图2-17 厚壁圆筒中各应力分量分布
16
2.3 厚壁圆筒应力分析
仅在内压作用下，筒壁中的应力分布规律： ①周向应力 及轴向应力 z 均为拉应力（正值），
应力
7
2.3 厚壁圆筒应力分析
a. 微元体 如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1组 成，微元在轴线方向的长度为1单位。
b. 平衡方程
r
d
r
r
drd
r rd
2
dr
sin
2
0
r
r
d r
dr
（2-26）
8
2.3 厚壁圆筒应力分析
c. 几何方程 (应力－应变）
m'1
2、压力容器应力分析
CHAPTER Ⅱ STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
厚壁圆筒的弹塑性分析
dσ r + σ r − σ θ = 0
dr
r
由上面两式可得
σθ −σr
=
2 3
σ
s
= 1.155σ s
σ r = C −1.155σ s ln r
由于在 r= rp 处压力为 q ，即σ r r=rp = −q ，代入可得 C = −q + 1.155σ s ln rp ，代入σ r
表达式，并利用屈服条件求得σ θ ，即塑性区（ a ≤ r ≤ rp ）的应力分量为
= − rp2b2 p p − q b 2 − rp2
1 r
+
rp2 q − b 2 p p b 2 − rp2
⎬ ⎪ ⎪ ⎭
（15）
σr
=
−43; 1.155σ s
ln
rp r
⎫ ⎪⎪
σθ
=
−1.155σ
s
ln
rp a
+
1.155σ
s
⎜⎜⎝⎛
ln
rp r
− 1⎟⎟⎠⎞⎪⎪⎭⎬
图 6 厚壁圆筒的有限元网格 当 p = 80 时， p < pe ，圆筒处于弹性状态，计算结果如图 7，可以看出整个 模型处于弹性状态没有塑性应变。
9
（a） Mises 应力分布云图
（b） 塑性应变分布云图 图 7 弹性状态计算结果 当 p = 120 时， pe < p < pl ，圆筒处于弹塑性状态，计算结果如图 8，可以 看出模型内壁附近部分处于弹性状态没有塑性应变，而外壁附近部分处于塑性状 态，有塑性应变。
q
=
1.155σ
s
ln
rp a
（13）
在弹性区的 r= rp 处刚达到屈服，由屈服条件 σ θ − σ r
厚壁圆筒的弹塑性分析
厚壁圆筒的弹塑性分析弹塑性分析是一种结构分析方法，适用于材料在一定强度范围内既具有弹性行为又具有塑性行为的情况。
厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于工程中，如汽车零部件、压力容器等。
本文将介绍厚壁圆筒的弹塑性分析方法，并结合一个具体的例子进行说明。
厚壁圆筒的弹性分析是指在圆筒内外受到压力作用时圆筒的变形和应力分布的计算。
在弹性阶段，材料的应力-应变关系是线性的，可以通过胡克定律描述。
在塑性阶段，材料的应力-应变关系是非线性的，需要采用本构关系来描述。
首先，我们来介绍圆筒的几何参数。
厚壁圆筒可以由内外半径分别为R1和R2的圆柱体围成，圆柱体的高度为h。
此外，圆筒的材料有一个屈服强度σy，用于描述材料的塑性行为。
对于厚壁圆筒，弹性阶段的计算相对简单。
在内外压力P的作用下，圆筒的应变可以通过应力与材料的弹性模量E之间的关系得到。
圆筒的轴向应变εr可以通过胡克定律得到：εr=σr/E其中，σr是圆筒轴向应力，E是材料的弹性模量。
圆筒的周向应变、轴向切变应变可以根据几何关系得到。
在弹性阶段，应力满足柯西－格林弹性方程：σr=λ(εr+εθ)+2μεrσθ=λ(εr+εθ)+2μεθτrz = μ(εr - εθ)其中，λ和μ是材料的拉梅常数，可以通过杨氏模量E和泊松比ν计算得到。
当圆筒的应力达到屈服强度σy时，就进入了塑性阶段。
在塑性阶段，应力与应变之间的关系通过本构关系来描述。
常用的本构关系包括线性硬化本构关系、塑性截面变形本构关系等。
本文以线性硬化本构关系为例进行说明。
线性硬化本构关系假设材料的塑性应变是线性增加的。
圆筒中心的塑性应力σp和塑性应变εp可以通过以下方程计算：σp=σyεp=(σr-σy)/E*H其中，E*是圆筒在弹性阶段的等效弹性模量，H是圆筒的等效刚度。
对于给定的压力P，可以通过迭代法来确定圆筒的应力和应变分布。
首先假设圆筒是在弹性阶段，在初始状态下计算应力和应变分布。
然后，通过本构关系计算塑性应力和塑性应变分布。
弹塑性力学5厚壁圆筒的分析
r
a 2 p1 b2 a2
(1
b2 r 2 ),
a 2 p1 b2 a2
b2 (1 r 2 )
u
E
a2 (b 2
p1 a
2
)
[
(1
r
)b
2
(1 )r]
②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0
r
b2 p2 b2 a2
(1
a r
2 2
),
b2 p2 b2 a2
p1
f (b)
2
使 ( r )ra or b 的组合值较小
f (b) 0 b
分层半径 b ac
ab
p1
cHale Waihona Puke q bcq
b2 (c2
2b 2 c 2 b2 ) c2 (b2
a2)
p1
b ac
内筒外半径处：
q p1
2
p
q
( r
)rb
ca 2(c a)
弹塑性分析
当内压 p 较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，
r
a2 p b2 a2
(1
b2 r2
),
a2 p b2 a2
b2 (1 r 2 )
在r=a处，( r ) 有最大值
内壁处最先屈服
( r )ra s
弹性极限压力
pe
s
2
(1
应力组合 ( r )在r=a和r=b处 均有可能先达到临界值。
何处先达到与 b 和δ的选择有关 设内外筒体同时产生屈服
厚壁圆筒应力分析
R0
Rc Ri
Rc
塑性区 弹性区
图 2-22 处于弹塑性状态的厚壁圆筒 内压↑ 塑性区↑ 弹性区↓
σ
σ
O ε
图 2-23 理想弹-塑性材料的应力-应变关系
47
1、塑性区应力 平衡方程：
r r
d r dr
（2-26） （2-40）
Mises 屈服失效判据： r
（2-49）
2 2 Ri2 Rc Rc Rc 1 2ln 2 2 R R0 Ri R0 Ri 0 2 2 2 s R0 Ri2 Rc Rc Rc r 1 2ln 1 2 2 R R0 Ri R0 Ri 3 r 0 2 2 R2 R R R s c 2 i 2 1 0 2ln 0 z R Ri 3 R0 R0 Ri c
厚壁圆筒应力分析
3.3 厚壁圆筒应力分析 3.3.1 弹性应力 3.3.2 弹塑性应力 3.3.3 屈服压力和爆破压力 3.3.4 提高屈服承载能力的措施 3.3.1 弹性应力 3.3.2 弹塑性应力 一、弹塑性应力
弹性区
塑性区
R0
描述弹塑性厚壁圆筒的几何与载荷参数： Ri , P i ; Rc , P c ; Ro , P o 本小节的目的：求弹性区和塑性区里的应力 假设：a. 理想弹塑性材料 b. 圆筒体只取远离边缘区
2 s 3
联立积分，得
r
2 s ln r A 3
（2-41）
r Ri : r pi 内壁边界条件，求出 A 后带回上式得
2.3_厚壁圆筒应力分析
轴向应力
pi R p0 R z A 2 R Ri
2 i 2 0 2 0
称Lamè （拉美）公式
（2-34）
14
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
当仅有内压或外压作用时，拉美公式可以简化，此时，厚壁圆筒 应力值和应力分布分别如表2－1和图2－17 表2-1 厚壁圆筒的筒壁应力值
to
厚壁圆筒各处的热应力见表2-2， Et Pt 表中 21 厚壁圆筒中热应力分布如图2-20所示。
28
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续） 表2-2 厚壁圆筒中的热应力
过程设备设计
热应 力
rt
r 任意半径 处
圆筒内壁K r K 处 0
圆筒外壁 K r 1 处 0
＝A
（2-25）
6
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
2. 周向应力与径向应力 由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体着 手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。 a. 微元体
b. 平衡方程
c. 几何方程 ：微元体位移与应变之间的关系。（用位移法求解） d. 物理方程：弹性范围内，微元体的应变与应力的关系 e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
z
1 pi 2 K 1
K2 po 2 K 1
15
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
z
K2 1 m ax pi K2 1
m in pi
压力容器应力分析-厚壁圆筒应力分析
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•③除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。 • 以 为例，外壁与内壁处的 • 周向应力 之比为： • K值愈大不均匀程度愈严重， • 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， • 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•二、温度变化引起的弹性热应力
•一、压力载荷引起的弹性应力 • 1、轴向（经向）应力
•对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所 以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
•＝ A •（2-25）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
• 2、周向应力与径向应力 •由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体 着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
•厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： •① 热应力大小与内外壁温差成正比
• 取决于壁厚，径比K值愈大 值也愈大，表2-2中的
•
值也愈大。
•②热应力沿壁厚方向是变化的
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•3、内压与温差同时作用引起的弹性应力
•（2-39 ）
•具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•a. 微元体
•b. 平衡方 程 •c. 几何方程 (位移－应变）
•d. 物理方程（应变－应力）
•e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 • （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•a. 微元体 •如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1 组成，微元在轴线方向的长度为1单位。 •b. 平衡方程
•（2-26）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
第二章-2 厚壁圆筒应力分析
10
过程设备设计
d r d r r 2 3 0 dr dr
2
求解得到
边界条件为：
B r A 2 r
当 r Ri 时 当 r Ro 时
pi A po A
d r r r dr
2. 2 厚壁圆筒应力分析
B A 2 r
r pi r po
求解方程:用应力表示变形协调方程，并与平衡方程联立求解 A。应力表示变形协调方程：由物理方程得到
d 1 d d r 1 ( r z ) r 1 r ( z ) E E dr E dr dr 1 1 r { r r } { r } E E d 1 由变形协调方程得到 ( r ) dr r d d r 1 ( r ) dr dr r
( r d r )( r dr )d r rd 2 dr sin
d 0 2
r rd r drd d r rd d r drd r rd drd 0
r
2015/10/29
r
d r dr
一个方程，两个量，求解需 要补充方程
2.2.1 单层厚壁筒中的弹性应力
由平衡关系得到 2 2 z (R0 Ri2 ) Ri2 pi Ro po Ri2 pi Ro2 po z ( R02 Ri2 )
2 pi K 2 po pi Ri2 po Ro 2 2 K 2 1 Ro Ri
r
为压应力（负值）。
分布规律： σz 均匀分布， σθ、 σr 成 1/r2 的变化，r 增大，应力减
厚壁圆筒的弹塑性分析
理想弹塑性材料 幂强化材料
弹性分析 弹塑性分析 全塑性分析 残余应力
§5－1 理想弹塑性材料厚壁圆筒分析
一、弹性分析
1.
基本方程
应力分量： sr(r),sq (r) , trq = tqr =0 应变分量： er(r) , eq (r), g rq = g qr=0 位移分量 平衡方程： u(r), v=0
塑性区的应力分量： r 1 r2 sr s s l n r 2 2b 2 ss r2 r sq 1 2ln 2 2 b r
ss
a
b
sr
p
r
三、全塑性分析
r ＝b
p p s s ln b a
p
ss
r 1 2 ln 2 2 b a
内表面产生压缩的切向残余应力，当再次加载时，产生的 切向应力被抵消一部分，可提高圆筒的弹性极限压力。 液压自紧（密封） 机械自紧（冲头挤扩） 爆炸自紧（研究阶段） 自紧或自增强工序
五、位移分量（平面应变状态）
(1 )a 2 p b 2 u ( 1 2 ) r 1. 弹性阶段： 2 2 E (b a ) r
du u , εθ dr r 1 εr σ r σ θ E 1 εθ σ θ σ r E εr
s r s r s q 0 r r
a
p1
b
p2
边界条件：
（不计体力）
sr sr
r a r b
p1 p2
几何方程：
本构方程：
一、弹性分析
b2 1 r 2
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6/3/2020
• 由几何变形关系，可求得线段PA的正应变 r 为
(dr u u d r u) d r
r
P
A PA PA
r dr
u r
• 线段PC的正应变 z 为
w
(d z w d z w) d z
z
P
C PC
PC
z
dz
zr
(2-3)
或写成
r
E
1
( r
1 2
e)
E
1
(
1 2
e)
z
E
1
( z
1 2
e)
(2-4)
zr
E 2(1
) zr
6/3/2020
对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒 体的几何形状、载荷、支承情况沿z轴没有 变化，所有垂直于轴线的横截面在变形后
仍保持为平面，则 zr 0， zr 0 ，即
（2-11）
6/3/2020
将上式代入平衡方程式，得
d2 u dr 2
1 r
du dr
u r2
0
d2 w dz2 0
它的通解为
u
c1r
c2 r
式中 c1,c2为积分常数
（2-12） （2-13）
6/3/2020
将式（2-13）代入式（2-11），得到
r
c3
c4 r2
c3
Ro2 po Ri2
Ri2 Ro2 ( pi po ) (Ro2 Ri2 )r 2
（2-16）
即为著名的拉美（ Lame） 方程式。
6/3/2020
轴向应力 z、轴向应变 z和径向位移分量
u，根据端部支承条件不同，分两种情况讨
论：
（1）两端不封闭(开口)的筒体(如炮筒，热套 的筒节等）
轴向变形无约束，轴向应力为零，即
z 0
（2-17）
6/3/2020
由式（2-14）的第三式及式（2-15），并代
入 、c3 c4值，得
z
2
E
c3
2
E
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c1
1
E
c3
1
E
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c2
1
E c4
1
E
Ri2 Ro2 ( pi po ) Ro2 Ri2
第二章 厚壁圆筒的弹 塑性应力分析
6/3/2020
第一节 厚壁圆筒的弹性应力分析
如图所示的内半径为 Ri ，外半径为 R0 的厚壁圆柱 形筒体，承受内压为 p，i 外压为 。p0
6/3/2020
在P点处用相距d r的两个同心圆柱面，互成
d角的两个相邻纵截面及相距d z的两个水
平面截取一个微小扇形六面体，如下图所 示。
r
6/3/2020
P'B' PB PB
(r
u) d r d r d
u r
6/3/2020
由此，空间轴对称的几何方程为
r
u r
u r
z
w r
rz
w
r
u z
(2-2)
6/3/2020
３．物理方程
r
1 E
r
(
z
)
1 E
( r
z )
z
1 E
z
( r
)
zr
2(1 E
)
c4 r2
z 2c3 E Z
式中
c3
E 1
Z 1
c1 2
E c4 1 c2
（2-14）
（2-15）
6/3/2020
当厚壁圆筒同时承受均匀内压 pi 和均匀外 压 po 时，其边界条件为
r Ri , r pi r R0, r p0
（a）
将边界条件代入式（2-14），得
6/3/2020
一、 厚壁圆筒 基本方程
1．平衡方程
6/3/2020
Fr 0
( r
r r
d r)(r
d
r) dd
z
rr
d d
z
2 d
r
d
z sin
d
2
( zr
zr z
dz)r
d
r
d
zrr
d
r
d
Krr
d
r
d
d
z
0
Fz 0
(
z
z z
d z)r dd r
zr dd r
(
rz
rz r
dr)(r
只决u 定于r， 只决w定于z。
6/3/2020
则平衡方程（不计体力）为
dr r 0
dr
r
dz 0
(2-5)
dz
6/3/2020
几何方程为
r
du , dr
u, r
z
dw dz
变形协调方程
d
dr
1(du r dr
u) r
1 r
(
r
)
(2-6)
(2-7)
6/3/2020
物理方程 或写成
6/3/2020
w
z
• PA和PC间的直角变化，即剪应变为
rz
1
2
w r
u z
6/3/2020
在r- 的平面内，沿r和方向取微元线段PA = d r，PB = rd，变形后，P，A，B分别移 动到P，A，B。由于对称性，P点和B点移
到P点和B的位移分量均为 ，u A点移到A
点的位移分量为 u u d r
（c）
6/3/2020
将 c1 、 c2 值代入式（2-13），得两端开口
的厚壁圆筒的位移表达式
u
1
E
(Ri2 pi Ro2 po )r Ro2 Ri2
1
E
Ri2 Ro2 ( pi po ) (Ro2 Ri2 )r
（2-18）
6/3/2020
（2）两端封闭的筒体（筒体端部有端盖） 轴向应力由轴向平衡条件求得
c3
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c4
Ri2 Ro2 ( pi po ) Ro2 Ri2
（b）
6/3/2020
将 c3 、c4 值代入式（2-14），得
r
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
Ri2 Ro2 ( pi po ) (Ro2 Ri2 )r 2
Ri2 pi Ro2
r
1 E
r
(
z )
1 E
( r
z )
z
1 E
z
( r
)
r
E
1
( r
1 2
e)
E
1
(
1 2
e)
z
E
1
( z
1 2
e)
(2-8) (2-9)
由式（2-8）可得到
r
1
E
(
r
)
d 1 (d d r )
dr E dr
dr
将以上两式代入式（2-7），得到以应力分量表示的变 形协调方程
d
dr
d r
dr
1
r
(
r
)
(2-10)
6/3/2020
二、厚壁圆筒的应力和位移解
本节采用位移法求解在均匀内、外压作用下的厚壁 圆筒。将几何方程式代入物理方程式，得出用位移 分量表示的物理方程
r
E
1
( du dr
1 2
e)
E (u
1 r
e) 1 2
z
E
1
(d w dz
1 2
e)
d r) d
dz
rzr d d z Kzr d r d d z 0
6/3/2020
因为 d值很小, 可取 去高阶微量，得
sin d
2
d，化简并略
2
r r
zr z
r
r
Kr
r
Kz
0
(2-1)
6/3/2020
２. 几何方程
在r - z平面内，沿r和z方向取微小长度PA = dr，PC