函数的可导性与连续性的关系教案(供参考)

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《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计

《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计第一章：函数的连续性1.1 连续性的概念引导学生理解连续性的直观含义通过具体例子讲解连续性的定义引导学生理解连续性与连续函数的关系1.2 连续函数的性质引导学生了解连续函数的基本性质通过例子讲解连续函数的单调性、周期性等性质引导学生理解连续函数的性质对于解决实际问题的意义第二章：导数的定义与性质2.1 导数的定义引导学生理解导数的定义通过具体例子讲解导数的计算方法引导学生理解导数与函数的连续性的关系2.2 导数的性质引导学生了解导数的基本性质通过例子讲解导数的单调性、周期性等性质引导学生理解导数的性质对于解决实际问题的意义第三章：导数的应用3.1 函数的单调性引导学生理解函数的单调性通过例子讲解如何利用导数判断函数的单调性引导学生理解函数的单调性对于解决实际问题的意义3.2 函数的极值与拐点引导学生理解函数的极值与拐点的概念通过例子讲解如何利用导数求函数的极值与拐点引导学生理解函数的极值与拐点对于解决实际问题的意义第四章：导数在实际问题中的应用4.1 优化问题引导学生理解优化问题的概念通过例子讲解如何利用导数解决优化问题引导学生理解优化问题在实际中的应用4.2 经济问题引导学生理解经济问题的概念通过例子讲解如何利用导数解决经济问题引导学生理解经济问题在实际中的应用第五章：实验与探究5.1 连续性与导数的实验引导学生进行实验，观察连续函数的性质通过实验引导学生理解连续性与导数的关系5.2 导数应用的实验引导学生进行实验，观察函数的单调性、极值等性质通过实验引导学生理解导数在实际问题中的应用第六章：高阶导数与微分中值定理6.1 高阶导数的定义与计算引导学生理解高阶导数的概念通过具体例子讲解高阶导数的计算方法引导学生理解高阶导数在研究函数性质中的应用6.2 微分中值定理引导学生理解微分中值定理的概念通过例子讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用引导学生理解微分中值定理在实际问题中的应用第七章：泰勒公式与导数的逼近7.1 泰勒公式的定义与计算引导学生理解泰勒公式的概念通过具体例子讲解泰勒公式的计算方法引导学生理解泰勒公式在逼近函数值中的应用7.2 导数的逼近方法引导学生了解导数逼近的概念通过例子讲解导数逼近的方法和应用引导学生理解导数逼近在实际问题中的应用第八章：函数的极限与连续性8.1 极限的概念与计算引导学生理解极限的概念通过具体例子讲解极限的计算方法引导学生理解极限在研究函数连续性中的应用8.2 函数的连续性与极限的关系引导学生了解函数连续性与极限的关系通过例子讲解函数连续性与极限的联系和区别引导学生理解函数连续性与极限在实际问题中的应用第九章：函数的导数与微分学的基本定理9.1 函数的导数与微分学的基本定理引导学生理解函数的导数与微分学的基本定理通过具体例子讲解微分学的基本定理的应用引导学生理解微分学的基本定理在实际问题中的应用9.2 微分学的应用引导学生了解微分学的应用通过例子讲解微分学在实际问题中的应用引导学生理解微分学在实际问题中的应用第十章：实验与探究10.1 导数与微分学的实验引导学生进行实验，观察导数与微分学的基本定理的性质通过实验引导学生理解导数与微分学的关系10.2 微分学应用的实验引导学生进行实验，观察微分学在实际问题中的应用通过实验引导学生理解微分学在实际问题中的应用重点和难点解析一、连续性的概念：理解连续性的定义和连续函数的关系是学习后续内容的基础。

函数的连续性课程设计

函数的连续性课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解函数连续性的定义，掌握连续函数的基本性质；2. 学会判断简单函数在某一点的连续性，理解连续函数与单调函数、有界函数的关系；3. 掌握连续函数的运算规则，了解连续函数的图像特点。

技能目标：1. 能够运用连续性的定义分析具体函数的连续性，解决实际数学问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力；3. 学会通过数形结合的方法，分析函数的性质，提高数学素养。

情感态度价值观目标：1. 激发学生学习数学的兴趣，培养主动探索、积极思考的学习态度；2. 培养学生严谨、求实的科学精神，养成独立思考和团队合作的好习惯；3. 通过对连续函数的学习，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，增强学以致用的意识。

课程性质：本课程属于高中数学学科，是函数部分的重要内容，旨在让学生掌握连续函数的基本概念、性质和应用。

学生特点：高中生具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对函数有一定的了解，但可能对连续性概念的理解不够深入。

教学要求：结合学生特点，注重概念讲解与实际应用相结合，引导学生通过实例分析、讨论交流等方式，深入理解连续函数的相关知识，提高数学素养。

在教学过程中，注重目标的分解与落实，确保学生能够达到预期的学习成果。

二、教学内容1. 函数连续性的定义及基本性质- 函数在某一点的连续性- 函数在区间上的连续性- 连续函数的基本性质2. 连续函数的判断与运算- 判断简单函数在某一点的连续性- 判断复合函数、反函数的连续性- 连续函数的运算规则3. 连续函数的图像特点与应用- 连续函数的图像特征- 连续函数与单调函数、有界函数的关系- 连续函数在实际问题中的应用4. 数形结合分析函数性质- 数形结合方法在分析连续函数中的应用- 利用图像判断函数的连续性- 利用连续性分析函数的极值问题教材章节：高中数学教材《函数》章节，具体包括连续函数的定义、性质、图像特点及运算等内容。

函数的可导性与连续性的关系教学方案

页眉函数的可导性与连续性的关系教案教学目的1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．2．使学生了解左导数和右导数的概念．教学重点和难点掌握函数的可导性与连续性的关系．教学过程一、复习提问1．导数的定义是什么？处连续的定义是什么？2．函数在点x 0在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x处连续必须具备以0页脚页眉x处连续．∴f(x)在点0原命题得证．综合(1)(2)在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．二、新课1．如果函数f(x)在点x处可导，那么f(x)在点x处连续．00页脚页眉处连续．∴f(x)在点x 0提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x处一定可导吗？为什么？若0不可导，举例说明．如果函数f(x)在点x处连续，那么f(x)在该点不一定可导．0例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，∴函数y=|x|在点x处是连续的．0页脚页眉2．左导数与右导数的概念．(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．(3)函数在一个闭区间上可导的定义．如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．三、小结1．函数f(x)在x处有定义是f(x)在x处连续的必要而不充分条件．002．函数f(x)在x处连续是f(x)在x处有极限的充分而不必要条件．003．函数f(x)在x处连续是f(x)在x处可导的必要而不充分的条件．00四、布置作业页脚页眉作业解答的提示：．=f(1)处连续．x＝1∴f(x)在点页脚页眉∴f(x)在x=1处不可导．谢！脚。

函数的可导性与连续性的关系教案

函数的可导性与连续性的关系教案一、教学目标1. 理解函数连续性和可导性的概念。

2. 掌握连续函数一定可导，但可导函数不一定连续的性质。

3. 学会运用极限的观点来分析函数的连续性和可导性。

二、教学重点与难点1. 教学重点：连续函数的可导性，可导函数的连续性。

2. 教学难点：如何运用极限的观点分析函数的连续性和可导性。

三、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等。

2. 教学手段：多媒体课件、黑板、教具等。

四、教学内容1. 函数的连续性：介绍连续函数的定义，通过案例分析说明连续函数的性质。

2. 函数的可导性：介绍可导函数的定义，通过案例分析说明可导函数的性质。

3. 连续函数的可导性：证明连续函数一定可导，并通过案例分析说明连续函数的可导性。

4. 可导函数的连续性：证明可导函数一定连续，并通过案例分析说明可导函数的连续性。

5. 例外情况：举例说明连续函数不一定可导，可导函数不一定连续的情况。

五、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾连续函数和可导函数的定义。

2. 讲解：讲解连续函数的可导性和可导函数的连续性，并通过案例分析加深学生理解。

3. 互动：邀请学生上台演示连续函数和可导函数的性质，引导学生积极参与。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数连续性和可导性的理解。

七、课后作业1. 复习连续函数和可导函数的定义。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 预习下一节课内容。

八、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对函数连续性和可导性的掌握程度。

九、教学进度安排1. 第一课时：介绍连续函数和可导函数的定义。

2. 第二课时：讲解连续函数的可导性和可导函数的连续性。

3. 第三课时：通过案例分析，加深对连续函数和可导函数的理解。

4. 第四课时：讲解连续函数不一定可导，可导函数不一定连续的例外情况。

二元函数连续性与可导性的关系分析

二元函数连续性与可导性的关系分析连续性和可导性是微积分中常用的概念，用于描述函数在某一点的性质和表现。

本文将分析二元函数连续性和可导性之间的关系，并探讨它们在数学和实际问题中的重要性。

一、连续性与可导性的基本定义连续性是指函数在某一点的极限等于该点的函数值，即函数的图像在该点没有跳跃或断裂。

数学上，函数$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 连续的条件为：$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)$$可导性是指函数在某一点存在切线斜率，即函数在该点的导数存在。

数学上，函数$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 可导的条件是该点存在两个偏导数（即两个方向上的导数），并且偏导数的值相等，称为偏导数存在且相等，即$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$二、连续函数的可导性在实数函数中，连续函数在其定义域内必定可导，但在二元函数中，并非所有连续函数都可导。

连续函数的可导性需要满足某些附加条件。

根据解析几何中的定义，$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 可导的充要条件是$f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ 和 $\frac{\partialf}{\partial y}(a,b)$ 存在且连续。

三、连续性与可导性的关系对于二元函数而言，连续性是可导性的充分条件，也就是说，函数在点$(a,b)$ 处连续，则可导。

然而，连续性并不一定是可导性的必要条件。

即使函数在点$(a,b)$ 连续，但如果偏导数的值在此处不相等，则函数在该点不可导。

四、连续性与可导性在实际问题中的应用连续性和可导性是微积分在实际问题中的重要应用，特别是在物理和工程领域。

在物理学中，连续性可以描述物理量的变化趋势，在时间和空间上的连续性有助于物理现象的建模和分析。

数学分析中的连续性与可导性

数学分析中的连续性与可导性在数学分析中，连续性和可导性是两个重要的概念。

它们在函数的研究和应用中起着至关重要的作用。

本文将详细介绍连续性和可导性的定义、性质以及它们之间的关系。

一、连续性的定义与性质在数学中，连续性是指函数在某一点上没有突变或跳跃，可以通过无限接近来逼近该点。

具体而言，设函数f(x)在点x=a处定义，则f(x)在x=a处连续的条件是：1. f(a)存在（即函数在x=a处有定义）；2. $\lim_{x \to a} f(x)$存在；3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。

连续函数的性质包括：1. 连续函数的和、差、积仍然是连续函数；2. 连续函数的复合函数仍然是连续函数；3. 在有限闭区间上的连续函数必定有界；4. 介值定理：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则对于任意介于f(a)和f(b)之间的数c，存在一个点x∈[a, b]，使得f(x) = c。

二、可导性的定义与性质可导性是函数在某一点上存在切线，可以用切线来近似函数在该点的变化率。

具体而言，设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在x=a处可导的条件是：1. f(x)在x=a处有定义；2. $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}$存在。

可导函数的性质包括：1. 可导函数必定连续，但连续函数不一定可导；2. 可导函数的和、差、积仍然是可导函数；3. 可导函数的复合函数仍然是可导函数；4. 导数存在的函数在该点附近有局部线性近似。

三、连续性与可导性的关系连续性和可导性之间存在着密切的关系。

具体而言，可导函数必定连续，但连续函数不一定可导。

这意味着，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定连续。

但如果一个函数在某一点连续，并不意味着它在该点可导。

然而，连续性和可导性之间并非完全无关。

根据连续函数的性质，如果一个函数在某一点可导，那么它在该点连续。

函数的可导性与连续性的关系教案

函数的可导性与连续性的关系教案教学目标：1. 理解函数连续性与可导性的概念；2. 掌握连续性与可导性之间的关系；3. 学会运用连续性与可导性分析函数性质。

教学内容：一、函数连续性与可导性的定义1. 函数连续性的定义2. 函数可导性的定义二、连续性与可导性的关系1. 连续性是可导性的必要条件；2. 连续性不是可导性的充分条件；3. 举例说明连续性与可导性的关系。

三、常见函数的连续性与可导性1. 基本初等函数的连续性与可导性；2. 复合函数的连续性与可导性；3. 隐函数的连续性与可导性。

四、函数的跳跃连续与跳跃可导1. 跳跃连续的概念；2. 跳跃可导的概念；3. 跳跃连续与跳跃可导之间的关系。

五、函数的可导性与连续性在实际问题中的应用1. 利用连续性与可导性分析函数的图形；2. 利用连续性与可导性研究函数的极值；3. 利用连续性与可导性解决实际问题。

教学方法：1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过图形直观理解连续性与可导性的关系；3. 鼓励学生运用所学知识分析实际问题。

教学评估：1. 课堂练习：要求学生完成相关练习题，巩固所学知识；2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，提高学生的合作能力；3. 课后作业：布置课后作业，检验学生对知识的掌握程度。

教学资源：1. 教学PPT：提供清晰的函数连续性与可导性概念及相关例题；2. 教材：为学生提供丰富的学习资料，加深对知识的理解；3. 网络资源：为学生提供相关的学习网站和视频，拓宽知识面。

教学建议：1. 注重概念的理解，引导学生通过图形直观感受连续性与可导性的关系；2. 加强课后练习，让学生充分运用所学知识分析实际问题；3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的积极性和合作能力。

函数的可导性与连续性的关系教案教学内容：六、函数的罗尔定理与连续性、可导性的关系1. 罗尔定理的定义及条件；2. 罗尔定理在连续性和可导性关系中的应用。

七、拉格朗日中值定理与连续性、可导性的关系1. 拉格朗日中值定理的定义及条件；2. 拉格朗日中值定理在连续性和可导性关系中的应用；3. 拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系。

函数的连续性教案

函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。

2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。

3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。

4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。

二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。

函数连续性的性质及其应用。

2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。

运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。

今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。

2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。

用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。

左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。

函数的可导性与连续性的关系教案

函数的可导性与连续性的关系教案教学目标：1. 理解函数连续性与可导性的概念及其关系。

2. 学会运用连续性与可导性分析函数性质。

3. 能够运用极限的思想理解函数连续性和可导性。

教学重点：1. 函数连续性与可导性的定义。

2. 函数连续性与可导性的关系。

教学难点：1. 函数在某一点连续与在某一点可导的区别与联系。

2. 运用极限的思想理解函数连续性和可导性。

教学准备：1. 教学课件。

2. 相关例题与习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数连续性的概念，通过图形演示连续函数的特点。

2. 引入函数可导性的概念，通过图形演示可导函数的特点。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数连续性与可导性的定义。

连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。

可导性：如果函数在某一点的导数存在，则称函数在该点可导。

2. 讲解函数连续性与可导性的关系。

连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。

即如果函数在某点连续，则在该点可能可导，但如果函数在某点可导，则在该点一定连续。

三、例题讲解（10分钟）1. 举例说明函数连续性与可导性的关系。

2. 运用连续性与可导性分析函数性质。

四、课堂练习（5分钟）1.让学生在课堂上完成练习题，巩固所学知识。

五、总结与作业布置（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结。

2. 布置相关作业，巩固知识点。

教学反思：本节课通过讲解函数连续性与可导性的概念及其关系，使学生掌握了分析函数性质的方法。

通过例题讲解和课堂练习，使学生能够运用所学知识解决问题。

但在教学过程中，要注意引导学生运用极限的思想理解函数连续性和可导性，加深对概念的理解。

六、函数连续性与可导性的性质1. 连续函数的性质：连续函数在某一区间内任意两点间的函数值之差趋于0。

连续函数的图形不出现“尖点”。

2. 可导函数的性质：可导函数在某一点导数等于该点的切线斜率。

可导函数的图形是连续的。

七、连续性与可导性的关系1. 连续性是可导性的必要条件：如果函数在某一点可导，则函数在该点连续。

(数学分析教案)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性（14学时）● 引言在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。

从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。

主要讲以下几个问题：１．什么是“函数的连续性”？２．“间断”或“不连续”有哪些情形？３．连续函数有哪些性质？４．初等函数的连续性有何特点？§１连续性概念教学目标：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。

教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。

教学重点：函数连续性概念。

教学难点：函数连续性概念。

学时安排: 4学时教学程序：● 引言“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。

例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的。

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。

而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。

例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）。

因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。

从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。

而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反。

：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →。

【教案】微积分教案

教学内容要点
教学重点难点
教学方法
参考文献
习题作业
内容
3.1中值定理
பைடு நூலகம்学时
1学时
教学目标及
要求
1.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理
2.知道这三个定理之间的联系
3.会用中值定理证明简单的命题
教学内容要点
罗尔定理
拉格朗日中值定理
推论1、推论2
柯西中值定理
教学重点难点
1.罗尔定理和拉格朗日中值定理
基本初等函数的微分公式
微分的四则运算法则
微分形式不变性
函数线性化的概念
教学重点难点
1.可导与可微的关系
2.一阶微分形式不变性求微分的方法
教学方法
由具体问题引进微分概念，并进一步推广到一般结论
参考文献
《微积分》吴赣昌，学习辅导与习题解答，经管类简明版，第三版
《数学分析》华东师范大学数学系，第三版，上册，高等教育出版社
学时
2学时
教学目标及
要求
1熟练掌握各种求导法则：
基本初等函数的求导公式、四则运算求导法则、反函数求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、对数求导法则
2.了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及一些简单的阶导数
3.熟练进行导数的运算
教学内容要点
导数的四则运算法则
反函数的导数
复合函数的求导法则
初等函数的求导法则
2.理解函数的概念，掌握函数的常用表示法；掌握函数的有界性,了解函数几何特性
3.了解反函数概念、函数与其反函数的几何关系,掌握基本初等函数概念性质及图形
4.理解复合函数的概念、了解构成复合函数的条件、掌握将一个复合函数分解成基本初等函数的方法

函数的连续性与可导性

函数的连续性与可导性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。

在函数的研究中，连续性和可导性是两个重要的性质。

本文将介绍函数的连续性和可导性，并探讨它们之间的关系。

一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间上的连续性质。

具体而言，如果函数在某个点处的函数值与该点的极限值相等，即lim f(x) = f(a)，那么函数在该点是连续的。

连续性可以分为三种类型：左连续、右连续和间断。

如果函数在某点处的左极限与右极限分别等于该点的函数值，即lim f(x) (x→a-) = lim f(x) (x→a+) = f(a)，那么函数在该点是连续的。

否则，如果函数在某点处的左极限或右极限不存在，那么函数在该点是间断的。

连续函数是一种具有连续性质的函数。

对于连续函数f(x)，它在定义域内的任意一个点处都是连续的。

例如，常见的多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是连续函数。

连续函数在数学和实际问题中有广泛的应用，因为它保证了函数的光滑性和一致性。

二、函数的可导性函数的可导性是指函数在某一点的导数存在的性质。

如果函数在某一点可导，那么该点处的切线斜率存在，并可以通过导数来计算。

具体而言，对于函数f(x)，如果它在点a处的导数f'(a)存在，那么函数在该点可导。

可导函数是一种具有光滑性质的函数。

对于可导函数f(x)，它在定义域内的任意一个点处都是可导的。

常见的多项式函数、三角函数、指数函数和对数函数都是可导函数。

可导函数在微积分和物理学等领域中有广泛的应用，因为它提供了函数斜率变化的信息。

三、连续性与可导性的关系连续性和可导性是函数性质的两个不同方面。

尽管连续性和可导性在某些情况下可以同时存在，但它们之间并不总是一一对应的关系。

首先，连续函数不一定可导。

例如，绝对值函数f(x) = |x|在点x = 0处是连续的，但不可导。

在该点左侧的斜率为-1，右侧的斜率为1，导数在该点处不存在。

此外，分段定义的函数也可能在某些点处不可导。

函数的基本性质(教案)

函数的基本性质教学目标：1. 了解函数的定义和基本概念。

2. 掌握函数的域和值域的概念。

3. 理解函数的单调性、连续性和可导性的概念。

4. 学会运用函数的基本性质解决实际问题。

教学内容：第一章：函数的定义与域1.1 函数的定义1.2 函数的域第二章：值域2.1 值域的概念2.2 确定函数的值域第三章：函数的单调性3.1 单调性的定义3.2 单调性的判定第四章：函数的连续性4.1 连续性的定义4.2 连续性的判定第五章：函数的可导性5.1 可导性的定义5.2 可导性的判定教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的基本性质。

2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示函数的单调性、连续性和可导性。

3. 组织小组讨论和实践活动，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

教学评估：1. 课堂讨论和提问，评估学生对函数基本性质的理解程度。

2. 布置课后习题和作业，巩固学生对函数基本性质的掌握。

3. 进行定期的测验和考试，检验学生对函数基本性质的掌握情况。

教学资源：1. 教科书和参考书籍，提供详细的知识点和实例。

2. 多媒体课件和教学软件，提供直观的图形和动画展示。

3. 在线学习平台和论坛，提供额外的学习资源和交流平台。

教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时教学总结：通过本章的教学，学生应该能够理解函数的定义和基本概念，掌握函数的域和值域的概念，理解函数的单调性、连续性和可导性的概念，并能够运用函数的基本性质解决实际问题。

函数的基本性质（续）教学内容：第六章：函数的极值与最值6.1 极值的概念6.2 函数的最值第七章：函数的周期性7.1 周期性的定义7.2 周期函数的性质第八章：函数的奇偶性8.1 奇偶性的定义8.2 奇偶函数的性质第九章：函数的图像9.1 图像的性质9.2 图像的变换第十章：函数的极限10.1 极限的概念10.2 极限的计算教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的极值、周期性、奇偶性、图像和极限的基本性质。

函数的连续性与导数的概念学习教案

（3）∵f(x)的定义域为(-∞，+∞)
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第十一页，编辑于星期一：二点二十八分。
2008高考复习方案
第84讲函数的连续性与导数的概念D
∴f(x)在x=1处不连续.
即x=1是此函数的不连续点.
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2008高考复习方案
例2 设f(x)= x-1(0<x≤1), 2-x(1<x≤3).
【小结】利用导数的几何意义求切线的斜率方便快捷，也是高考考查的热点.
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2008高考复习方案
规律总结
1．研究初等函数的连续区间，必须考虑函数的定义域 . 2．由初等函数构成分段函数的连续区间，只须考虑分界点处连续即可 . 3．研究函数的连续性，尽可能作出图象帮助思考 . 4 （1）求函数值的增量Δy=f(x+Δx)-f(x) （2
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2008高考复习方案
3
如果函数f(x)在闭区间［a,b］上是连续函数，那么f( x)在闭区间［ a,b］上有最大值和最小值.
4 曲线y=f(x)上两点P、Q，Q在P附近，则PQ称为曲线的割线，当Q沿曲线无限接近点P，若割线PQ有极限位置，则割线PQ的极限位置叫做曲线上点P的切线.
第84讲函数的连续性与导数的概念
【证明】（1）记f (-x)=g(x)，则f(-x)在a处的导数为g′(a)，于是
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第十五页，编辑于星期一：二点二十八分。
2008高考复习方案
第84讲函数的连续性与导数的概念D

《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计

《函数的连续性与导数性质教学设计与实验研究》教案设计第一章：函数连续性概念的引入1.1 教学目标1. 理解函数连续性的概念。

2. 掌握连续函数的性质。

3. 学会使用连续性定义证明函数的连续性。

1.2 教学内容1. 函数连续性的定义。

2. 连续函数的基本性质。

3. 连续函数的图像特征。

1.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解函数连续性的定义和性质。

2. 借助图形演示，让学生直观理解连续函数的图像特征。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨连续函数的性质。

1.4 教学活动1. 引入函数连续性的概念，引导学生思考连续性与不连续性的例子。

2. 讲解连续函数的基本性质，引导学生通过实例验证。

3. 分析连续函数的图像特征，让学生学会识别连续函数。

1.5 教学评价1. 课堂提问，检查学生对函数连续性概念的理解。

2. 布置课后习题，巩固学生对连续函数性质的掌握。

第二章：导数的概念与性质2.1 教学目标1. 理解导数的概念。

2. 掌握导数的性质。

3. 学会使用导数研究函数的单调性、极值等性质。

2.2 教学内容1. 导数的定义。

2. 导数的基本性质。

3. 导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

2.3 教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义和性质。

2. 借助图形演示，让学生直观理解导数的作用。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨导数在研究函数性质中的应用。

2.4 教学活动1. 引入导数的概念，引导学生思考导数与函数变化的关系。

2. 讲解导数的基本性质，引导学生通过实例验证。

3. 分析导数在研究函数单调性、极值等方面的应用，让学生学会使用导数研究函数性质。

2.5 教学评价1. 课堂提问，检查学生对导数概念的理解。

2. 布置课后习题，巩固学生对导数性质的掌握。

第三章：导数的计算方法3.1 教学目标1. 掌握基本函数的导数公式。

2. 学会使用导数计算复合函数的导数。

3. 掌握高阶导数的计算方法。

3.2 教学内容1. 基本函数的导数公式。

连续性和可导性的关系

连续性和可导性的关系连续性和可导性是微积分中两个重要的概念，它们密切相关但是有着不同的定义和性质。

在本文中，我们将探讨连续性和可导性之间的关系。

一、连续性在微积分中，函数的连续性是指函数在一个区间内的所有点都不存在跳跃或断裂。

具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处连续，则它满足以下三个条件：1. $f(a)$存在；2. $\lim_{x\to a} f(x)$存在；3. $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$。

这意味着，当$x$接近$a$时，函数的值也接近$f(a)$。

连续性是函数最基本的性质，因为它保证了函数的光滑和连贯。

二、可导性可导性是指函数在某个点处的导数存在。

导数是函数在某点的切线斜率，也就是函数在这一点的瞬时变化率。

具体来说，如果函数$f(x)$在点$x=a$处可导，则它满足以下两个条件：1. $f'(a)$存在；2. $\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$存在。

这意味着，当$x$接近$a$时，函数的斜率也越来越接近切线的斜率。

可导性保证了函数的变化趋势和速率。

三、连续可导的函数那么，连续性和可导性之间的关系是什么呢？如果一个函数在某个点处连续且可导，它是否在该点处就满足所有导数存在呢？事实上，答案是否定的。

我们可以考虑一个经典的例子，即绝对值函数$f(x)=\lvert x\rvert$。

在点$x=0$处，函数连续但不可导。

这是因为，当$x$在$0$的两侧逼近时，函数的斜率分别为$+1$和$-1$，不存在唯一的切线斜率。

另一个例子是阶梯函数$f(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ 1, & x\geq 0 \end{cases}$。

在点$x=0$处，函数连续但不可导。

这是因为，函数在$0$的左侧斜率为$0$，右侧斜率为正无穷，不存在唯一的切线斜率。

这些例子说明了连续性和可导性之间的区别。

魅力微积分函数可导性与连续性的关系

x0
x0
在0点左右极限存在且等于函数值，函数在0点是连续的.
f (0 h) f (0) h

h h
,

1， 1，
h 0； h 0.
lim f (0 h) f (0) 不存在 ,即
h0
h
在0点不可导.
因此，可导仅是函数连续的充分条件，而不是必要条件.
函数可导性与连续性的关系
函数可导性与连续性的关系
f
'(
x0
)x

x]=0.
即 f ( x) 在点 x0 处连续.
函数可导性与连续性的关系
注意: 函数在点 x0 连续未必可导.
反例:
在 x 0 处连续 ,但不可导.
y
y x
o
x
由于函数是分段函数，严格证明可用函数的左右连续与左右可导的定义.
函数可导性与连续性的关系
f (0 0) lim(x) 0， f (0 0) lim (x) 0.
lim y 0.
x0
函数可导性与连续性的关系
证明：
由
f (x)
在点
y
x
0处可导，即
lim
x0
x
存在，且
y
lim x0 x

f
'( x0 ).

于是由极限与无穷小的关系，有
y x

f
'( x0 )
其中当x 0时是无穷小量
lim
x0
y

lim[
x0
事实上，还存在着处处连续处处不可导的函数. Weierstrass于1872年利用函数项级数构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，称为魏尔斯特拉斯函数. 魏斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的函数，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画,魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的.