函数的连续性优质课教案
《高等数学(上册)》教案 第5课 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质
课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。
（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。
（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。
思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线()y f x=，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线()y g x=，如图1-28所示．学习连续函数的概念、函数间断点的分类。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性．定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()f x 在点0x 处连续．若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →．因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续．由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0lim ()x x f x →存在；（3）极限值0lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即30lim ()()x x f x f x →=．若00()lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点右连续；若00()lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点左连续．定理 1 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在0x 点左右连续．例1 证明函数2()1f x x =+在1x =处连续．证明一 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义．当自变量在1x =处有改变量x ∆时，222(1)1(11)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆，因此，20lim lim[2()]0x x y x x ∆→∆→∆=∆+∆=，所以()f x 在1x =处连续．证明二 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义，211lim ()lim(1)2x x f x x →→=+=，即1x →时()f x 的极限值为2．而21(1)112lim ()x f f x →=+==，即极限值等于函数在该点的函数值，所以()f x 在1x =处连续．例 2 讨论函数320()20x x f x x x ⎧+=⎨-+<⎩，，，在点0x =的连续性．解 因为30(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f +++→→==+==，4(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f ---→→==-+==， 所以()f x 在0x =点左右连续，故()f x 在点0x =处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上．定义2 如果一个函数在某区间()a b ，内的每一点处都连续，则称这个函数在区间()a b ，内连续，或称其为区间()a b ，内的连续函数．如果函数()y f x =在()a b ，内连续，且a 点右连续，b 点左连续，则称函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．⏹ 【学生】掌握连续函数的概念⏹ 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果()y f x =在点0x 处不连续，则称点0x x =是函数()f x 的间断点．由()y f x =在0x x =处连续的定义知，如果()f x 在0x 处有以下三种情况之一，则()f x 在0x 处间断： （1）()y f x =在点0x 处无定义； （2）0x x →时0lim ()x x f x →不存在；（3）函数值0()f x 和极限值0lim ()x x f x →都存在，但0lim ()()x x f x f x →≠．例如，函数1()1f x x =+在点1x =-处没有定义，1x =-就是函数1()1f x x =+的一个间断点．如果不考虑函数()f x 在0x 是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数()y f x =在点0x 处间断，但在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +均存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点，其中：5（1）若00()()f x f x +-=，即极限0lim ()x x f x →存在，则称点0x 是()f x 的可去间断点．（2）若00()()f x f x +-≠，即极限0lim ()x x f x →不存在，则称点0x 是()f x 的跳跃间断点．设函数()y f x =在点0x 处间断，若在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +至少有一个不存在，则称0x 为()f x 的第二类间断点，其中：（1）若0()f x -与0()f x +至少有一个为无穷大，则称点0x 是()f x 的无穷间断点．（2）若0lim ()x x f x →振荡性地不存在，则称点0x 是()f x 的振荡间断点．例3 函数10()0010x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于(0)lim(1)1x f x ++→=+=，(0)lim(1)1x f x --→=-+=，(0)(0)1(0)0f f f +-==≠=，故0x =是函数()f x 的可去间断点，如图1-29所示．但如果将函数()f x 在0x =的定义改为(0)1f =，则函数在0x =点连续．由此可见，如果函数()f x 在0x 点是可去间断点，可通过补充或改变()f x 在0x 点的函数值，使()f x 在0x 点连续．例4 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于0(0)lim11x f ++→==，0(0)lim(1)1x f --→=-=-，即(0)f +和(0)f -都存在但不相等，故0x =是函数()f x 的跳跃间断点，如图1-30所示．6图1-29 图1-30例 5 函数1y x=在点0x =处无定义，由于(0)f +=+∞，(0)f -=-∞，故0x =是函数1y x=的无穷间断点，如图1-31所示．例6 函数1siny x =在点0x =处无定义，取122n x n =ππ-，122nx n '=ππ+(12)n =，，，当n →∞时，0n x →，0n x '→，但()sin 212n f x n π⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭，()sin 212n f x n π⎛⎫'=π+= ⎪⎝⎭，即当0x →时，函数1sinx值在1-与1+之间变动无限多次．故0x =是函数1sinx的振荡间断点，如图1-32所示．图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断7点的类型：（1）sin 0()e 10x xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩，，，在点0x =处；（2）221()32x f x x x -=-+在点11x =和22x =处．解 （1）函数()f x 在点0x =处有定义，且(0)2f =．但sin (0)lim 1x xf x--→==，(0)lim(e 1)2xx f ++→=+=，(0)(0)f f +-≠，故0x =为函数()f x 的跳跃间断点，属于第一类间断点．（2）221(1)(1)()32(1)(2)x x x f x x x x x --+==-+--在11x =，22x =处无定义，故11x =，22x =是()f x 的间断点． 由于111lim ()lim22x x x f x x →→+==--，故11x =是()f x 的可去间断点，属于第一类间断点． 由于221lim ()lim2x x x f x x →→+==∞-，故22x =是()f x 的无穷间断点，属于第二类间断点．⏹ 【学生】掌握函数间断点的分类问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．函数()f x 在点0x 处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数()f x 在点0x 处无定义，则0x 点是函数()f x 的第一类间断点，还是第二类间断点？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解3．分段函数()()()g x x af xh x x a⎧=⎨<⎩，，，在分段点x a=一定是间断点吗？⏹【学生】讨论、发言第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1．连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理．定理2设函数()f x和()g x在点x连续，则它们的和、差、积、商都在点x连续．例如，由于sin x，cos x在()-∞+∞，上的每一点都连续，故sintancosxxx=和coscotsinxxx=在其各自定义域上每一点都是连续的．2．初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的．由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的．根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可．例8求4e cos(4)lim3xxxx→+--．解由于该函数是初等函数，且在4x=处有定义，故由初等函数的连续性可以得出学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
函数的连续性课程设计
函数的连续性课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解函数连续性的定义，掌握连续函数的基本性质；2. 学会判断简单函数在某一点的连续性，理解连续函数与单调函数、有界函数的关系；3. 掌握连续函数的运算规则，了解连续函数的图像特点。
技能目标：1. 能够运用连续性的定义分析具体函数的连续性，解决实际数学问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力；3. 学会通过数形结合的方法，分析函数的性质，提高数学素养。
情感态度价值观目标：1. 激发学生学习数学的兴趣，培养主动探索、积极思考的学习态度；2. 培养学生严谨、求实的科学精神，养成独立思考和团队合作的好习惯；3. 通过对连续函数的学习，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
课程性质：本课程属于高中数学学科，是函数部分的重要内容，旨在让学生掌握连续函数的基本概念、性质和应用。
学生特点：高中生具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对函数有一定的了解，但可能对连续性概念的理解不够深入。
教学要求：结合学生特点，注重概念讲解与实际应用相结合，引导学生通过实例分析、讨论交流等方式，深入理解连续函数的相关知识，提高数学素养。
在教学过程中，注重目标的分解与落实，确保学生能够达到预期的学习成果。
二、教学内容1. 函数连续性的定义及基本性质- 函数在某一点的连续性- 函数在区间上的连续性- 连续函数的基本性质2. 连续函数的判断与运算- 判断简单函数在某一点的连续性- 判断复合函数、反函数的连续性- 连续函数的运算规则3. 连续函数的图像特点与应用- 连续函数的图像特征- 连续函数与单调函数、有界函数的关系- 连续函数在实际问题中的应用4. 数形结合分析函数性质- 数形结合方法在分析连续函数中的应用- 利用图像判断函数的连续性- 利用连续性分析函数的极值问题教材章节：高中数学教材《函数》章节，具体包括连续函数的定义、性质、图像特点及运算等内容。
7函数的连续性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
y y f (x)
y
f (x0 0) f (x0 ) f (x0 0)
左连续
右连续
o
x
x0 x x
0, 0, 当 x x0 x 时, 有
f (x) f (x0 ) y
函数 y = f ( x )在点 x0 连续旳两种等价定义:
初等函数旳连续性
一、连续函数旳运算法则 二、初等函数旳连续性
一、连续函数旳运算法则
定理1. 在某点连续旳有限个函数经有限次和 , 差 ,
积 , 商 (分母不为 0) 运算旳成果, 仍是一种在该点
连续旳函数. ( 利用极限旳四则运算法则证明)
例如, sin x , cos x 连续 tan x , cot x 在其定义域内连续
定理3. （连续函数旳复合函数是连续旳）
若函数 u (x)在点 x0 连续，且(x0 ) u0,函数 f (u)
在点 u0 连续，则复合函数 f [(x)] 在点 x0 连续，即
lim
x x0
f
[(x)]
f [ lim (x)] x x0
f [(x0 )]
定理3可修改为下面求复合函数极限旳定理
(x) 1 f (x) g(x)
2
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 可知 (x), (x) 也在 [a , b]
上连续 .
二、初等函数旳连续性
基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数旳复合函数连续
函数的连续性教案示例
函数的连续性教案⽰例函数的连续性·教案⽰例⽬的要求了解函数在⼀点处连续的定义，知道已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在定义区间内每⼀点都连续，会从⼏何直观上理解闭区间上的连续函数有最⼤值和最⼩值．内容分析1．在微积分中我们所研究的函数主要是连续函数，⽽连续概念是建⽴在极限概念的基础上的．本节课介绍函数f(x)在点x ＝x 0处连续的概念时，除借助图形直观描述外，主要以函数值、极限值都存→f(x )lim f(x)0x x 0在且两者相等为定义⽅式，这种定义与极限关系密切，所以将连续作为本章的最后部分既是承上启下的，⼜是顺理成章的．2．⼈们对事物的认识是不断加深的，研究也是由浅⼊深的．对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等进⾏了研究，本课再⽤学过的极限概念对函数的连续性加以研究，使我们对函数的了解认识更进⼀步，更完善．3．本课时的重点是函数在x ＝x 0处连续的定义．定义包含三层意思：(1)f(x)在点x ＝x 0处及其附近有定义；(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→存在；＝可结合图形说明，只要缺其中的任意⼀个条件，就说f(x)在点x 0处不连续．难点是对连续的理解，由于连续较抽象，故要对照图形讲解．4．函数在区间连续是建⽴在函数在⼀点连续的基础上的．如果函数f(x)在开区间(a ，b)内每⼀点都连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续；如果在开区间，内连续，在＝处有＝，在＝处有＝，就说在闭区间，上连续．这种环环相扣、→→f(x)(a b)x a lim f(x)f(a)x b lim f(x)f(b)f(x)[a b]x ax b +-层层推进的定义⽅式能很好地培养学⽣严谨的逻辑思维．5．指出已学过的基本初等函数及由它们经过有限次四则运算所产⽣的函数在其定义区间⾥每⼀点都是连续的．6．从⼏何直观上讲解函数的连续性和连续函数的性质．7．从连续函数的定义可知，所谓函数y ＝f(x)在它的定义域内某点x 0处连续，意思是说，当⾃变量x ⽆限接近x 0时，相应的函数值f(x)也就⽆限地接近函数值f(x 0)．也可⽤“增量”(改变量)来说明函数的连续性：设⾃变量x 的增量为Δx ＝x －x 0，则函数值的改变量为Δy ＝f(x ＋x 0)－f(x 0)．所谓f(x)在点x 0处连续，就是指当Δx →0时，相应的增量Δy也趋向零，即Δ＝．通过这些不同的说法，加深对极限概念的Δ→lim y 0x 0认识．教学过程1．实例引⼊概念，图形直观说明(1)⽔银柱⾼度随温度的改变⽽连续变化；(2)邮费随邮件重量的增加⽽作阶梯式的增加．函数值是否会因为⾃变量的细⼩变化⽽“⼤起⼤落”，这就是要研究的问题．引出课题：函数的连续性从下列图形中分析：问：(1)函数f(x)在点x ＝x 0是否有定义？(2)lim f(x)(3)lim f(x)f(x )x x x x 000→→是否存在？是否与相等？答：图(1)满⾜3条；图(2)不满⾜(1)；图(3)不满⾜条件(2)；图(4)不满⾜条件(3)．由此概括出函数在⼀点处连续的定义．2．函数在⼀点处连续的定义：如果函数＝在点＝处及其附近有定义，⽽且＝→y f(x)x x lim f(x)0x x 0f(x 0)，就说函数f(x)在点x 0处连续．指出＝包含两层意思：存在；极限值与函数值相等．→→→lim f(x)f(x )(1)lim f(x)(2)lim f(x)f(x )00x x x x x x 000提问：连续函数在图形上有何特点？3．举例应⽤例讨论下列函数在给定点处的连续性：(1)f(x)x 0＝，点＝；1x(2)g(x)＝sinx ，点x ＝0．解：画图．(1)f(x)x 0x 0函数＝在＝处没有定义，因⽽它在点＝处不连续．1x(2)lim sinx 0sin0g(x)sinx x 0因为＝＝，因此＝在点＝处是连续的．→x 0课堂练习：教科书第97页练习第1、2题(不连续的指出不满⾜定义中的哪⼀条)，第98页习题2．6第2、4题．4．函数在区间⾥连续(1)在开区间连续：如果函数在某⼀开区间(a ，b)内每⼀点处都连续，就说函数在开区间(a ，b)内连续，或说函数是开区间内的连续函数．(2)在闭区间连续：如果函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x＝处有＝，在右端点处有＝，就说函数在闭→→a lim f(x)f(a)lim f(x)f(b)f(x)x a x b+- 区间[a ，b]上连续．5．闭区间上连续函数的性质性质(最⼤值最⼩值定理)：如果f(x)是闭区间[a ，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a ，b]上有最⼤值和最⼩值．6．归纳⼩结(1)函数在⼀点处连续的定义．(2)判定函数在⼀点处是否连续：⽅法1：由定义说明，⽅法2：由图象直观说明．(3)闭区间上连续函数的性质．想⼀想：函数在某⼀点的极限与连续有何关系？布置作业教科书第98页习题2．6第1、3题。
函数的连续性学案--优质课竞赛一等奖
函数的连续性学案--优质课竞赛一等奖简介本文档是一份关于函数的连续性学案的优质课竞赛一等奖作品，旨在帮助学生深入理解函数的连续性概念及其应用。
通过本课案，学生将能够掌握函数连续性的基本概念、判断函数连续性的方法以及应用连续性进行问题解决的能力。
课程目标本次学案的主要目标如下：- 理解函数连续性的定义及其在数学中的重要性；- 学会判断函数连续性的方法，包括使用函数极限、间断点的判定以及函数图像的观察等；- 掌握应用函数连续性进行问题解决的技巧，例如利用连续性求解方程、优化问题等；- 培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。
教学内容1. 函数连续性的定义与性质- 函数在某点连续的定义- 连续函数的性质及例子- 常见间断点的分类与例子2. 判断函数连续性的方法- 函数极限的使用- 间断点的判定方法- 函数图像的观察与分析3. 应用函数连续性进行问题解决- 利用连续性求解方程- 优化问题的连续性解法- 实际问题的函数连续性分析与解决方案教学方法本学案采用以下教学方法：- 探究式研究：通过引导学生提出问题、观察现象以及实际问题分析等，培养学生的主动研究能力和问题解决能力；- 合作研究：通过小组合作讨论、分享思路和解决方案，培养学生的合作精神和交流能力；- 实践操作：通过实例演练和问题求解的实践操作，巩固学生对函数连续性的理解和应用能力。
教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引发学生对连续性的思考，鼓励学生提出问题和观察现象。
2. 理论讲解：介绍函数连续性的定义和性质，通过示意图和具体例子加深学生的理解。
3. 小组活动：将学生分组进行小组讨论，探究函数连续性的判定方法和应用技巧，并在小组中解决一些例题。
4. 整合总结：学生进行汇报和分享，老师进行总结和概括，强调函数连续性的实际应用和意义。
5. 练与拓展：提供一些练题供学生巩固和拓展知识，同时鼓励学生进行更深入的思考和探索。
教学评估本学案采用以下方式进行教学评估：- 小组活动中的表现与合作能力评估；- 课堂练和作业的完成情况评估；- 学生提出问题和解决实际问题的能力评估；- 学生对函数连续性概念的理解程度的评估。
高等数学教案5函数的连续性
高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。
2.掌握连续函数的性质和常见类型。
3.能够通过定义验证函数的连续性。
4.能够利用连续性解决相关问题。
教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。
2.连续函数的常见类型。
教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。
2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。
3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。
教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。
二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。
2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。
三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。
鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。
2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。
引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。
四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。
五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。
作业内容可以包括练习题、思考题等。
教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。
评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。
教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。
在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 让学生理解函数连续性的概念，掌握判断函数连续性的方法。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 极限的概念和计算方法。
2. 函数连续性的概念和判断方法。
3. 极限和函数连续性在实际问题中的应用。
三、教学重点和难点：1. 教学重点：极限的概念和计算方法，函数连续性的概念和判断方法。
2. 教学难点：极限的计算方法，函数连续性的判断方法。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解极限和函数连续性的概念和计算方法。
2. 采用案例分析法，分析极限和函数连续性在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论问题，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引出极限和函数连续性的概念。
2. 讲解：讲解极限和函数连续性的概念和计算方法，结合案例进行分析。
3. 练习：让学生进行极限和函数连续性的计算练习，巩固所学知识。
4. 小组讨论：让学生分组讨论实际问题，应用所学知识解决问题。
5. 总结：对所学内容进行总结，强调重点和难点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
7. 教学反思：对教学过程进行反思，对学生的学习效果进行评估。
六、教学评价：1. 学生课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 学生作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 学生小组讨论表现：评估学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，了解学生对实际问题的分析和解决能力。
七、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，为学生提供系统的学习材料。
2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示知识点。
3. 练习题：准备相关的练习题，帮助学生巩固所学知识。
八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍极限的概念和计算方法。
函数的连续性优质课教案
课 题：2.5函数的连续性教学目的：1。
理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续。
2。
要会说明函数在一点不连续的理由.3。
要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型:新授课 课时安排：1课时教学过程:一、复习引入: 1。
000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限2。
我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数,不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点。
而在我们日常生活中，也会碰到这种情况。
比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降,这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元,31克～40克是1.2元）等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的。
下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一,看函数在x0是否连续。
第二,在x0是否有极限，若有与f （x0）的值关系如何: 图（1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图（2）,函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f （x0),因为函数在x0处没有定义. 图（3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.图(4），函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f （x0)的值。
函数的连续性教案
函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。
2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。
3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。
二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。
函数连续性的性质及其应用。
2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。
运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。
今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。
2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。
用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。
左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。
函数连续性教学设计
函数连续性教学设计教学设计主题：函数连续性教学目标：1.了解函数连续性的概念及其性质；2.掌握函数连续性的判定方法；3.能够应用函数连续性的性质解决实际问题。
教学重点：1.函数连续性的概念和性质；2.函数连续性的判定方法。
教学难点：1.函数连续性判定方法的应用；2.实际问题的应用。
教学准备：1.教材：高中数学教材；2.教辅资料：相关的教学视频、练习题和答案；3.教学媒体：电子白板、计算器、投影仪等。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入函数连续性的概念：什么是函数连续性？为什么重要？2.引导学生观察一个连续函数的图像，了解连续函数在图像上没有突变的特点。
二、知识讲解（15分钟）1.介绍函数连续性的定义和性质，并在电子白板上进行讲解和案例演示。
2.解释连续函数的性质：无间断、无间断点、无间断集、极限存在、极限值等。
三、判定方法（20分钟）1.介绍函数连续性的判定方法：a.函数在特定点处连续的条件；b.函数在区间上连续的条件；c.利用四则运算法则判定函数的连续性。
2.在电子白板上进行实例讲解和演示。
四、练习（15分钟）1.在教学辅助资料中选取相关的练习题，供学生进行练习。
2.学生独立完成练习，教师巡视和指导，及时纠正错误。
五、拓展应用（20分钟）1.引导学生思考函数连续性在实际问题中的应用。
2.提供一些实际问题，并指导学生利用函数连续性的性质解决问题。
六、总结（10分钟）1.对本节课所学内容进行总结，并重点强调函数连续性的概念和判定方法。
2.梳理核心考点，指导学生进行重点复习。
七、课后作业（5分钟）1.布置相关的课后作业，巩固所学知识。
2.确认下节课的教学内容和要求。
教学反思：在教学设计中，我充分考虑了学生的学习兴趣和实际应用的需求。
通过引导学生观察连续函数的图像，可以让学生更好地理解连续性的概念。
在知识讲解和实例演示中，加入了多媒体教学的内容，使学生能够更直观地理解函数连续性的性质和判定方法。
在拓展应用环节，引导学生思考函数连续性在实际问题中的应用，能够培养学生的应用问题解决能力。
函数的连续性教案
函数的连续性教案教案标题：函数的连续性教案教案目标：1. 了解函数的连续性的概念和意义。
2. 掌握判断函数在给定区间上的连续性的方法。
3. 能够应用函数的连续性性质解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 向学生介绍函数的连续性的概念，即函数在某一区间内的图像是连续的。
2. 解释连续性的意义，即函数在某一点上的值与该点附近的值之间没有突变或间断。
探究：1. 提供一个简单的例子，如f(x) = x^2，让学生观察函数图像并讨论函数在整个定义域上的连续性。
2. 引导学生思考如何判断函数在给定区间上的连续性。
提醒学生关注函数在区间端点和内部点上的性质。
3. 引导学生思考连续性的三个基本性质：函数在闭区间上连续的充要条件、函数在开区间上连续的充要条件以及函数在无穷区间上连续的充要条件。
实践：1. 给出一些具体的函数，例如f(x) = sin(x)和g(x) = 1/x，在给定区间上判断它们的连续性。
2. 引导学生使用连续性的性质，结合函数的定义和性质进行判断。
3. 给学生一些实际问题，例如求一个函数在某一点处的极限值，要求学生利用函数的连续性性质进行求解。
总结：1. 总结函数连续性的概念和意义。
2. 强调函数连续性的判断方法和应用。
3. 鼓励学生在实际问题中运用函数连续性的性质解决问题。
教案评估：1. 给学生一些练习题，要求判断给定函数在给定区间上的连续性。
2. 给学生一些应用题，要求利用函数的连续性性质解决实际问题。
3. 收集学生的答案并进行评估，及时纠正他们的错误并给予指导。
教案扩展：1. 引导学生进一步研究函数的间断点和可导性的关系。
2. 探究函数连续性的中值定理及其应用。
3. 引导学生研究其他函数性质与连续性的关系，如函数的单调性和极值点等。
教案资源：1. 函数图像展示工具，如数学软件或在线绘图工具。
2. 练习题和应用题的题目和答案。
3. 相关教材和参考书籍的章节和页码。
函数连续性说课教学教案
五、教学过程 应用概念：
例3：观察下列函数的图像，说出函数在点x=a处是否连续？
教学设想：这组图像的共性是，在a点处都有定义，且存在，limf (x) xx0
但图1满足了，图2不满足，这组练习是用来加深对函数在某点处连 续定义的条件3的理解。
五、教学过程
应用概念：
例4：讨论下列函数在给定点处的连续性
方法1.由定义说明 方法2.由图象直观说明 3.闭区间上连续函数的性质
五、教学过程
作业： P69.7 P69.5 思考:函数在某一点的极限与连续有何关系？
为了落实因材施教，循序渐进的原则，本次作 业分了3个层次，这样既能使所有学生巩固所学知 识，又能为学有余力者留有自由发展的空间，从 而为所有学生的可持续发展打下坚实的基础。
四、方法手段
教学方法：
采用引导发现式，变教授为导学，让学生学会学习 为了更好地培养学生的自主学习能力，尽可能的调动学生 学习的主动性和积极性 提高学生的综合素质 给学生提供一个广阔的探索思维空间 提供一个充分展示创造思维，创新能力的机会
五、教学过程
学法指导： 学习是一种建构过程，是一种活动过程，学习必 须处于丰富的情境中，因此教师通过学生观察、 分析、比较、抽象和概括，促使学生对函数的连 续性概念表述的严谨性作出探索，从而把传授知 识和培养能力融为一体。
精神。
返回
二、教学目标
（3）情感目标： 在揭示函数连续性实质的同时，渗透辩证唯物主义思
想。 通过教师与学生，学生与学生的交流，让学生体会交
流思想的重要性，培养团队协作精神。 要在学习过程中充分发挥学生的主动性，要能体现
出学生的首创精神。
返回
三、重点难点
教学重点： 由于函数的连续性是建立在函数极限的基础上 又是后一章学习的基础 因此函数在某点处的连续的定义是本节课的重点
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解极限的概念，掌握极限的计算方法。
2. 让学生理解函数连续性的概念，掌握连续性的判断方法。
3. 培养学生运用极限和连续性解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 极限的定义与性质2. 极限的计算方法3. 函数连续性的定义与性质4. 函数连续性的判断方法5. 连续性在实际问题中的应用三、教学方法：1. 采用讲授法，讲解极限与连续性的概念、性质和计算方法。
2. 采用案例分析法，分析连续性在实际问题中的应用。
3. 引导学生通过自主学习、合作探讨，提高解决问题的能力。
四、教学准备：1. 教学PPT课件2. 相关案例资料3. 练习题及答案五、教学过程：1. 导入新课：复习极限和连续性的基本概念。
2. 讲解极限的定义与性质，举例说明极限的计算方法。
3. 讲解函数连续性的定义与性质，举例说明连续性的判断方法。
4. 分析连续性在实际问题中的应用，引导学生运用极限和连续性解决实际问题。
5. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师点评并讲解答案。
6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
7. 课后辅导：针对学生作业中出现的问题进行解答和指导。
8. 教学效果评估：通过课后作业、课堂表现和课后辅导，评估学生对极限与连续性的掌握程度。
9. 教学反思：针对教学过程中的不足，调整教学方法，提高教学质量。
10. 下一节课内容预告：介绍极限与连续性在高级数学中的应用。
六、教学评价：1. 学生自评：学生根据自己对极限与连续性概念的理解和应用能力进行自我评价。
2. 同伴评价：学生之间相互评价，考察对方对极限与连续性的掌握程度。
3. 教师评价：教师根据学生的课堂表现、作业完成情况和课后辅导情况，对学生的学习效果进行评价。
七、教学拓展：1. 介绍极限与连续性在科学研究中的应用，如物理、化学、生物学等领域。
2. 探讨极限与连续性在工程实践中的应用，如电子、机械、建筑等领域。
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版第一节：引言函数的连续性是高中数学中的重要概念之一，它在解决实际问题、分析函数性质以及计算积分等方面起到了重要作用。
通过本教案，我们将全面介绍函数的连续性的概念、性质和计算方法，帮助学生建立正确的观念，培养逻辑思维和数学分析能力，并且通过例题演练加深他们对该知识点的理解。
第二节：函数的连续性概念1. 连续性的定义：介绍什么是函数的连续性，以及连续函数和间断函数的区别。
2. 连续性的三个条件：详解连续函数的三个条件：函数在定义域内有定义、极限存在和函数值等于极限值。
3. 连续性与可导性的关系：介绍可导函数与连续函数之间的关系，以及可导函数在一点的连续性。
第三节：函数的连续性性质1. 连续函数运算性质：介绍连续函数加减乘除的性质，以及连续函数的复合函数是否连续的判定。
2. 闭区间上连续函数性质：讲解闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性质，以及零点定理的应用。
3. 介值定理：详细解释介值定理的概念和证明方法，以及介值定理在实际问题中的应用。
第四节：函数连续性的计算方法1. 分段函数的连续性：介绍分段函数在分段点是否连续的判定方法，以及常见的分段函数例题。
2. 反函数的连续性：讲解反函数连续性的判定条件和例题展示。
3. 参数方程的连续性：详解参数方程连续性的考察方法，以及参数方程在连续性问题中的应用。
第五节：例题演练通过一些经典的例题演练，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六节：拓展应用通过一些实际问题的拓展应用，引导学生将所学的函数连续性理论应用到实际问题中，培养解决问题的能力和实际思维能力。
第七节：总结与作业布置对本节课所学内容进行总结，并布置相应的作业，巩固学生对函数连续性的理解。
本教案旨在通过全面系统地介绍高中数学中函数的连续性概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解该知识点，并能够运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应该注重理论与实践相结合，多设立例题和练习题，培养学生分析和解决问题的能力。
函数的连续性教案1
函数的连续性教案1教学目的首先使同学理解函数在某一点左连续、右连续、连续的概念及其相互关系，着重掌握函数在某一点连续必须具备的三个条件；其次使同学了解连续函数的一些简单性质．教学重点和难点函数f(x)在点x0处连续必需满足的三个条件和函数f(x)在点x0处连续的充要条件．教学过程一、复习提问作出下列各函数的图象并回答问题：(1)指出哪些函数在x＝0处有左极限；(2)指出哪些函数在x＝0处有右极限；(3)指出哪些函数在x＝0处有极限；(4)指出哪些函数在x＝0处有意义．二、新课1．根据上述五个函数的图象在x＝0处及其邻域的异同点，大致可分为两类，这两类是什么呢？(引导同学得出连续与间断两类．)进而分析“连”的特征与“断”的各种情况，引出函数y＝f(x)在点x0处连续的定义．即：如果函数y＝f(x)在点x0处及其附近有意义，而且就说函数f(x)在点x0处连续．结合例题中的图象对上述定义进行分析，得出函数f(x)在点x0处连续必须具备的三个条件是：①函数f(x)在点x0处及其附近有定义；说明：对上述三个条件中有任何一条不具备，那么函数f(x)在点x0处就不连续，点x＝x0称为该函数的间断点．2．通过对上述例题中②—⑤四个函数的图象在点x＝0处的左极限与f(0)是否存在和相等关系的分析，引出函数在点x＝x0处左连续的定义，即如果函数f(x)在点x0处及其左侧有定义，且那么就说函数f(x)在点x0处左连续．用同样方法，由同学得出右连续的定义．3．讨论左连续、右连续、连续三者关系，从而得出函数y＝f(x)在点x＝x0处连续的充要条件是f(x)在点x0处既左连续且又右连续．4．给出函数y＝f(x)在某一开区间(a，b)内连续的定义和在某一闭区间上连续的定义，即如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，就说f(x)在区间(a，b)内连续，或者说f(x)是区间(a，b)内的连续函数．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x＝a处右连续，在右端点x＝b 处左连续，就说函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．5．连续函数的性质1：如果y＝f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有最大值和最小值．对上述定理只作说明不作证明；强调定理中的条件是闭区间，而这个条件只是充分条件而不必要，可通过下面例题说明．由图1－17可知f(x)在[a，b]上连续，且当x＝a时，函数有最小值f(a)，当x＝x0时，函数有最大值是f(x0)．由图1－18可知y＝log2x 在(0，＋∞)内连续，而无最大值与最小值．由图1－19可知y＝g(x)在(a，b)内连续，当x＝x0时，函数有最小值g(x0)，而无最大值．＝f(x0)±g(x0)．因此函数f(x)±g(x)在点x＝x0处连续．其余证明由同学完成．三、小结与巩固练习1．函数y＝f(x)在点x0处连续的定义和判断方法是我们这一节课的重点，应让同学牢固掌握它们．2．口答练习(1)连续函数的图象有什么特点？观察下列各函数图象(图1－20)，说明函数在x＝a 处是否连续．(2)结合下列函数的图象，说明函数在给定点或区间上是否连续：四、布置作业1．根据函数连续性的定义，说明下列函数在给定点处连续．② f(x)＝ax2+b，(x＝1)；④ f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，(x＝0)．2．说出下列函数在实数轴上哪些点处不连续．。
函数的连续性()市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
y sin u 在(, )内连续,
y sin 1 在(, 0) (0, )内连续. x
结论: 一切初等函数在其定义区间内都是连续旳.
定义区间是指包括在定义域内旳区间.
故有
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
)
(x0 定义区间 )
(四)、闭区间上连续函数旳性质
定理1 (有界性定理)设f(x)在[a,b]上连续,则f(x) 在[a,b]上有界.
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
例3 设f(x)在[0,1]连续,且满足0 f(x) 1, x [0,1],
证 : x (0,1),使f (x ) x
0
0
0
证: 令F(x) f (x) x 在[0,1]连续,
F(0) f(0) 0,F(1) f(1) - 1 0
(x)
f
(1 )
y
y f (x)
2 , m
min f
x[ a ,b ]
(x)
f
(2 )
oa
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y y f (x)
y
y f (x)
1
o
x
o
12
x
Th3 (介值定理)
设f (x)在[a,b]连续,M,m分别为其最大,最小值,则 c [m,M],一定x0 [a,b],使f (x0 ) c
注意 : 若[a,b]改成(a,b]或[a,b),(a,b)结论未必成立. 如 : y 1 在(0,1] 连续但无界
x 定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x),
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的连续性优质课教
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2
课 题：2.5函数的连续性
教学目的：
1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.
2.要会说明函数在一点不连续的理由.
3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.
4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．
教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理．
授课类型：新授课 课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1.000
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中
0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限
2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题
二、讲解新课：
1.观察图像如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况
.
分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何：
图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).
图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义.
图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.
图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.
函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件.
.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.
(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)0
lim
x
x→f(x)存在；
(3)0
lim
x
x→f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.
3
4
如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．
2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，
0lim x x →f(x)存在，且0lim x x →f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.
由第三个条件，0lim x x →f(x)=f(x0)就可以知道0lim x x →f(x)是存在的，所以我们下定义时可以再简
洁一点. 函数f(x)在点x0处连续的定义.
如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且
0lim x x →f(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0
处连续.
那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b)内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.
3.函数f(x)在(a ，b)内连续的定义：
如果函数f(x)在某一开区间(a ，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a ，b)内连续，或f(x)是开区间(a ，b)内的连续函数.
f(x)在开区间(a ，b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在并且等于f(a)，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a ，b)内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f(a)，在b 点处左极限存在等于f(b).
4.函数f(x)在［a ，b ］上连续的定义：
5
如果f(x)在开区间(a ，b)内连续，在左端点x=a 处有
+→a x lim f(x)=f(a)，在右端点x=b 处有-→b x lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续,或f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数.
如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线
.
我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)≥f(x)，x ∈［a ，b ］，同理，设x2是最低点，f(x2)≤f(x)，x ∈［a ，b ］.
5.最大值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).
6.最小值 f(x)是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).
由图我们可以知道，函数f(x)在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b)内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.
7.最大值最小值定理
如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的
三、讲解范例：
例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.
(1)f(x)=x
1
，点x=0. (2)g(x)=sinx，点x=0.
分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．
我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，
函数f(x)=x
1
在点x=0处不连续，因为函数f(x)=x
1
在点x=0处没有定义.
函数g(x)=sinx在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx，在x=0及附近都有定义，0
lim
→
x sinx 存在且0
lim
→
x sinx=0而sin0=0.
解：(1)∵函数f(x)=x
1
在点x=0处没有定义∴它在点x=0处不连续.
解：(2)∵0
lim
→
n sinx=0=sin0，∴函数g(x)=sinx在点x=0处是连续的.
6
7 点评：写g(x)=sinx 在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了．
四、课堂练习：2,1104P
五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f(x)在点x=x0处有定义.②0lim x x →f(x)存在.③0lim
x x →f(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理六、课后作业：4,3,2105P。