高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点
《高等数学(上册)》教案 第5课 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质
课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。
（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。
（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。
思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线()y f x=，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线()y g x=，如图1-28所示．学习连续函数的概念、函数间断点的分类。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性．定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()f x 在点0x 处连续．若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →．因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续．由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0lim ()x x f x →存在；（3）极限值0lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即30lim ()()x x f x f x →=．若00()lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点右连续；若00()lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点左连续．定理 1 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在0x 点左右连续．例1 证明函数2()1f x x =+在1x =处连续．证明一 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义．当自变量在1x =处有改变量x ∆时，222(1)1(11)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆，因此，20lim lim[2()]0x x y x x ∆→∆→∆=∆+∆=，所以()f x 在1x =处连续．证明二 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义，211lim ()lim(1)2x x f x x →→=+=，即1x →时()f x 的极限值为2．而21(1)112lim ()x f f x →=+==，即极限值等于函数在该点的函数值，所以()f x 在1x =处连续．例 2 讨论函数320()20x x f x x x ⎧+=⎨-+<⎩，，，在点0x =的连续性．解 因为30(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f +++→→==+==，4(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f ---→→==-+==， 所以()f x 在0x =点左右连续，故()f x 在点0x =处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上．定义2 如果一个函数在某区间()a b ，内的每一点处都连续，则称这个函数在区间()a b ，内连续，或称其为区间()a b ，内的连续函数．如果函数()y f x =在()a b ，内连续，且a 点右连续，b 点左连续，则称函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．⏹ 【学生】掌握连续函数的概念⏹ 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果()y f x =在点0x 处不连续，则称点0x x =是函数()f x 的间断点．由()y f x =在0x x =处连续的定义知，如果()f x 在0x 处有以下三种情况之一，则()f x 在0x 处间断： （1）()y f x =在点0x 处无定义； （2）0x x →时0lim ()x x f x →不存在；（3）函数值0()f x 和极限值0lim ()x x f x →都存在，但0lim ()()x x f x f x →≠．例如，函数1()1f x x =+在点1x =-处没有定义，1x =-就是函数1()1f x x =+的一个间断点．如果不考虑函数()f x 在0x 是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数()y f x =在点0x 处间断，但在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +均存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点，其中：5（1）若00()()f x f x +-=，即极限0lim ()x x f x →存在，则称点0x 是()f x 的可去间断点．（2）若00()()f x f x +-≠，即极限0lim ()x x f x →不存在，则称点0x 是()f x 的跳跃间断点．设函数()y f x =在点0x 处间断，若在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +至少有一个不存在，则称0x 为()f x 的第二类间断点，其中：（1）若0()f x -与0()f x +至少有一个为无穷大，则称点0x 是()f x 的无穷间断点．（2）若0lim ()x x f x →振荡性地不存在，则称点0x 是()f x 的振荡间断点．例3 函数10()0010x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于(0)lim(1)1x f x ++→=+=，(0)lim(1)1x f x --→=-+=，(0)(0)1(0)0f f f +-==≠=，故0x =是函数()f x 的可去间断点，如图1-29所示．但如果将函数()f x 在0x =的定义改为(0)1f =，则函数在0x =点连续．由此可见，如果函数()f x 在0x 点是可去间断点，可通过补充或改变()f x 在0x 点的函数值，使()f x 在0x 点连续．例4 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于0(0)lim11x f ++→==，0(0)lim(1)1x f --→=-=-，即(0)f +和(0)f -都存在但不相等，故0x =是函数()f x 的跳跃间断点，如图1-30所示．6图1-29 图1-30例 5 函数1y x=在点0x =处无定义，由于(0)f +=+∞，(0)f -=-∞，故0x =是函数1y x=的无穷间断点，如图1-31所示．例6 函数1siny x =在点0x =处无定义，取122n x n =ππ-，122nx n '=ππ+(12)n =，，，当n →∞时，0n x →，0n x '→，但()sin 212n f x n π⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭，()sin 212n f x n π⎛⎫'=π+= ⎪⎝⎭，即当0x →时，函数1sinx值在1-与1+之间变动无限多次．故0x =是函数1sinx的振荡间断点，如图1-32所示．图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断7点的类型：（1）sin 0()e 10x xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩，，，在点0x =处；（2）221()32x f x x x -=-+在点11x =和22x =处．解 （1）函数()f x 在点0x =处有定义，且(0)2f =．但sin (0)lim 1x xf x--→==，(0)lim(e 1)2xx f ++→=+=，(0)(0)f f +-≠，故0x =为函数()f x 的跳跃间断点，属于第一类间断点．（2）221(1)(1)()32(1)(2)x x x f x x x x x --+==-+--在11x =，22x =处无定义，故11x =，22x =是()f x 的间断点． 由于111lim ()lim22x x x f x x →→+==--，故11x =是()f x 的可去间断点，属于第一类间断点． 由于221lim ()lim2x x x f x x →→+==∞-，故22x =是()f x 的无穷间断点，属于第二类间断点．⏹ 【学生】掌握函数间断点的分类问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．函数()f x 在点0x 处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数()f x 在点0x 处无定义，则0x 点是函数()f x 的第一类间断点，还是第二类间断点？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解3．分段函数()()()g x x af xh x x a⎧=⎨<⎩，，，在分段点x a=一定是间断点吗？⏹【学生】讨论、发言第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1．连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理．定理2设函数()f x和()g x在点x连续，则它们的和、差、积、商都在点x连续．例如，由于sin x，cos x在()-∞+∞，上的每一点都连续，故sintancosxxx=和coscotsinxxx=在其各自定义域上每一点都是连续的．2．初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的．由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的．根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可．例8求4e cos(4)lim3xxxx→+--．解由于该函数是初等函数，且在4x=处有定义，故由初等函数的连续性可以得出学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
函数的连续性与间断点
单侧连续
若函数 f ( x )在( a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
x→0 x→0
要使 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0), ⇒ a = 1,
故当且仅当 a = 1时, 函数 f ( x )在 x = 0处连续 . 时
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《高等数学》电子教案
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1.函数在一点连续必须满足的三个条件 函数在一点连续必须满足的三个条件; 函数在一点连续必须满足的三个条件 2.区间上的连续函数 区间上的连续函数; 区间上的连续函数 3.间断点的分类与判别 间断点的分类与判别; 间断点的分类与判别
y
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
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思考题
连续， 若 f ( x ) 在 x 0 连续，则| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x 0 是 否连续？ 连续， 否连续？又若| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x 0 连续， f ( x ) 在 x 0 是否连续？ 是否连续？
(1) f ( x )在点 0处有定义; 在点x
( 2) lim f ( x )存在;
x → x0
( 3) lim f ( x ) = f ( x 0 ).
x → x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足 , 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续 (或间断 ), 并称点 x0为 f ( x )的不连续点(或间断点).
第八节 函数的连续性与间断点
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
高中数学备课教案函数的连续与间断点
高中数学备课教案函数的连续与间断点高中数学备课教案函数的连续与间断点一、引言函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念，对于理解和应用函数具有重要作用。
本教案将详细介绍函数的连续性和间断点的概念、判定方法以及相关性质。
二、函数的连续性连续性是函数概念中最基本的性质之一，它表示函数在某个点上的值与其邻近点上的函数值之间存在接近的关系。
1. 连续的定义在数学中，若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在且与 f(a) 的值相等，则称函数在点 x=a 处连续。
2. 连续的判定函数在某一点处连续的判定方法有三种：利用定义、利用函数的性质、利用间断点的概念。
3. 连续函数的性质连续函数具有以下性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
三、函数的间断点在函数的定义域内，存在使函数值发生突变的点，这些点被称为函数的间断点。
1. 第一类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在，但左、右极限不相等，则称点 x=a 为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限至少有一个不存在，则称点x=a 为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的极限存在，但与 f(a) 的值不相等，则称点x=a 为函数的可去间断点。
4. 跳跃间断点若函数 f(x) 在点 x=a 处的左、右极限存在且不相等，则称点 x=a 为函数的跳跃间断点。
四、连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点有广泛的应用，涉及到极限、导数、积分等数学领域。
1. 连续函数的导数连续函数在其定义域内的导函数仍然是连续函数。
2. 连续函数的积分连续函数在其定义域内的积分仍然是连续函数。
3. 最值问题利用连续函数的性质，可以解决最值问题，如求函数在闭区间上的最大值和最小值。
五、综合练习通过综合练习，巩固对函数的连续性和间断点的理解和应用。
教学目的 连续函数及其性质教学重点 点连续与间断点教学难点 间断
初等函数在其有定义的区间上必连续
去心邻域
为了定义函数在某点的极限，必须了解邻域
a-
a+
a
心 半径
称区间(a-,a+)为点a的邻域，记做Ｕ（a,）
称Ｕ（a,）去掉点a后的集合为点a的去心邻域
间断点类型
间断点 在该点不连续
第一类间断点 左右极限存在
第二类间断点
可去间断点 左右极限相等 但不等于函数值
跳跃间断点 左右极限不相等
可去间断点
例4 判断函数f(x)0x,,xx11, 在 x1是否连续？
解 lim f(x)lim x1
x 1
x 1
f(1)0
虽然极限存在,但不等于该点函数值，故
x1 是 f (x) 的可去间断点
则至少有一点 (a,b)，使 f()0
例7 证明方程 4x2x
至少有一个正的实根．
y
y f (x)
证 令 f(x)4x2x， 则
a
f(0)10，f(1)420 o
bx
又 f (x) 在[0，1]上连续
由零点定理， f (x) = 0在(0，1)内至少有一实根．
即方程 4x2至x 少有一个正的实根
初等函数连续性
f (x0)
lim f (x)
x x0
lim f (x)
x x0
于是得到点连续的
另一等价定理
0
x0
函数 f (x) 在点 x0 连续当且仅当它在点 x0
既左连续又右连续．
间断点
函数 f (x)在x=x0的某空心邻域有定义但在 x=x0不连续,则称x0为函数 f (x)的间断点.
高等数学连续性间断点
通过绘制函数草图，可以直观地展示函数在间断点处的变化趋势和取值情况。
利用计算机软件
利用数学软件（如Mathematica、MATLAB等）绘制精确的函数图像，以便更准确地分析间断点处的 函数性质。
04 典型问题解析与思路拓展
求解含有参数方程间断点问题
确定参数范围
首先根据题目条件确定参数的取值范围。
高等数学连续性间断点
目录
• 连续性概念与性质 • 间断点类型及判定方法 • 函数在间断点处表现特征 • 典型问题解析与思路拓展 • 复习巩固与提高建议
01 连续性概念与性质
连续性定义及意义
连续性定义
如果函数在某一点的极限值等于该点 的函数值，则称函数在该点连续。
连续性意义
连续性是函数的一个重要性质，它保 证了函数在局部范围内的变化是平稳 的，没有出现突变或跳跃。
震荡间断点
函数在该点处无极限，且不是无穷间断点。如函数f(x)=sin(1/x)在x=0处（注意： 该函数在x=0处并无定义，但常在讨论间断点时作为例子）。
判定方法总结与实例分析
判定方法
首先判断函数在该点处是否有定义，再计算该点处的左右极限，根据极限的存在 性、相等性及是否为无穷大来判断间断点的类型。
实例分析
对于给定的函数，通过分析其在特定点处的行为，结合判定方法，可以准确地判断 出间断点的类型。例如，对于函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)，通过分析其在x=1处的行为， 可以判断出这是一个可去间断点。
03 函数在间断点处表现特征
极限存在性与左右极限关系
极限存在性
在间断点处，函数可能不具有极限， 或者极限存在但不等于函数值。
构造辅助函数
根据题目要求，构造适当的辅助函数， 使其满足连续性条件。
高中数学(人教版)函数的连续性与间断点课件
（一）概念 （二）分类 （三）举例
可去间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x 0 ) f ( x0 )
无穷间断点 第二类间断点 f ( x0 )和 f ( x0 ) 至少一个不存在
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
（一）函数在一点处连续的概念
1．定义1
2．定义2
3．定义3
4．左连续与右连续 5．性质
y
o
x
y
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
y
o
y
x
o
x
增量
u u2 u1
u 0 u2 u1 u 0 u2 u1 u 0 u2 u1
显然
y
1 2
1
lim f ( x ) 1 f (1)
x 1
x 1为其可去间断点
.
o
y
1
1
x
x 1 , x 0 (5) y f ( x ) 0 , x 0 x 1 , x 0
o
f (0 ) 1 ,
f (0 ) 1
.
1
x
x 0 为其跳跃间断点
[a , b ]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
高等数学教案5函数的连续性
高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。
2.掌握连续函数的性质和常见类型。
3.能够通过定义验证函数的连续性。
4.能够利用连续性解决相关问题。
教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。
2.连续函数的常见类型。
教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。
2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。
3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。
教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。
二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。
2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。
三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。
鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。
2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。
引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。
四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。
五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。
作业内容可以包括练习题、思考题等。
教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。
评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。
教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。
在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。
高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点
第1章 函数、极限与连续函数的连续性与间断点【教学目的】：1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会求简单函数的间断点；【教学重点】：1. 函数连续、间断的概念；2. 函数在一点处连续的判定方法；3. 函数间断点的分类；【教学难点】：1. 函数在一点处连续的判定方法；2. 分段函数分段点处的连续性判断；3. 函数间断点的分类。
【教学时数】：2学时【教学过程】：1.4.1函数的连续性的概念1、函数的增量2、函数的连续性定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．连续的另一等价定义是：定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；(2) 极限)(lim 0x f x x →存在；(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→．定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.解 函数定义域为),(+∞-∞，)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．3、函数的间断点如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
函数的连续性与间断点教学备课
函数的连续性与间断点教学备课函数的连续性和间断点是高中数学中重要的概念之一，它们在数学的各个分支中都有广泛的应用。
在这篇教学备课中，我们将重点介绍函数的连续性和间断点的定义、性质以及解决相关问题的方法。
通过清晰的讲解和实例演练，帮助学生深入理解这一概念，并培养他们的解决问题的能力。
一、函数的连续性的定义与性质连续函数是指在函数的定义域上不存在断裂或跳跃的点，数学上有严格的定义。
我们首先通过直观的例子引入连续性的概念，例如常见的多项式函数、三角函数等等。
然后，我们可以引入以下连续性的定义和性质：1. 函数f在点x=a处连续的三个条件：（1）f(a)存在，（2）f(x)在x=a处存在极限值，（2）函数f(x)在x=a附近的值趋近于f(a)，即左极限和右极限存在并相等。
2. 连续函数的加减乘除以及复合仍然是连续函数。
通过提供适当的例子和图表演示，让学生具体感受到连续性的概念和性质。
引导学生理解连续函数的代数性质和图像特点，以及连续函数与不连续函数之间的区别。
二、间断点的分类与解决方法间断点是函数定义域内的某个点，使得函数在该点不连续。
根据函数在间断点处的性质不同，间断点可以分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
我们将重点讲解如下内容：1. 可去间断点：函数在该点处的极限存在，但函数值与极限值不相等。
通过分析函数在该点的数值和极限值的关系，以及图像的特点，引导学生掌握可去间断点的判断和求解方法。
2. 跳跃间断点：函数在该点的左右极限存在，但两个极限值不相等。
通过观察函数在该点附近的数值和极限值的关系，以及图像的跳跃性质，让学生理解跳跃间断点的概念和性质。
3. 无穷间断点：函数在该点的极限不存在，可能是正无穷或负无穷。
通过讨论函数在该点无极限的原因和特点，引导学生掌握无穷间断点的判断和解决方法。
在讲解每个类型的间断点时，可以用具体的例子和图表演示，让学生直观地感受函数在不同间断点处的行为模式。
三、函数连续性与间断点的应用函数的连续性和间断点的概念在实际问题中有广泛的应用。
高等数学(第二版)上册课件：函数的连续与间断
（2）如果函数f x在x0处左、右极限中至少有一个不
存在，则称x x0为函数f x的第二类间断点.
例 1.7.8
x 1,
讨论函数 f x 0,
x 1,
x 0,
x 0, 在 x 0 的连续性.
x 0.
解
lim f xx lliimmxx1111
x00
xx00
lliimm ff xx lliimmxx11 11
并求 lim 4 x2 ． x0 解 函数 f x 4 x2 的定义域为2, 2 所以 f x 的连续区间也为2, 2
而02, 2，所以，
lim 4 x2 4 0 2
x0
例 1.7.6 判断x 1是函数f (x) x2 1的什么间断点？ x 1
解 函数在x 1处没有定义，所以x 1是f (x)的间断点，
小结
1 . 函数连续的概念
lim
xx0
f
x
f
x0
lim y 0
x0
2 . 初等函数在其定义区间内是连续的.
3 . 函数的间断点. 可去间断点
第一类间断点 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限都存在
左右极限至少有一个不 存在
小结
4 . 闭区间上连续函数的性质 （1） 最大值和最小值定理 （2） 介值定理 , 推论（零点存在定理)
的最大值和最小值.
如图 f x 在闭区间上连续，它有最高点P和最低点
Q，P与Q的纵坐标正是函数的最大值和最小值．
如果函数在开区间内连续，或者函数在闭区间上
有间断点,那么函数在该区间上不一定有最大值或最
小值．例如，函数
y
tan x
高等数学教案极限部分5函数的连续性.ppt
反函数的连续性
某区间上定义的单调的连续函数 y f (x) 存在反函数, 而且其反函数也单调且连续. 由连续函数的性质与运算以及基本初等 函数的连续性, 综合之,可得到一个重要结论:
一切初等函数在其定义域上都是连续的.
根据函数在一点 x0 连续的概念可知以下
10
三条: 在 x0 点有定义;
另两个不同的点, 而在这两点的函数值均小
于零, 问题将得证.
由于注意到 lim f ( x) lim (1 5x x4 ) ,
x
x
24
则当 | x |足够大, 如 | x | | X | 3, f ( x) 0, 如x = 3, f (3) 0, 同时 f (3) 81 15 1 0,
21
定理3 (零点存在定理) 设 f ( x) C[a, b], 若 f (a) f (b) 0, 则至少
存在一点 (a, b), 使 f ( ) 0. (证略) 例 设 f (x)C[0,1], 且 x [0,1],
0 f ( x) 1, 证明存在 [0,1], 使得 f ( ) .
根据定理3
0.4
0.2
(0,1), 使得
0.2 0.4
F( ) f ( ) 0, 即 f ( ) .
y f (x)
0.6 0.8 1
23
例
设 f (x) 1 5x x4, 证明 f (x) 0
至少有两个实根.
证 注意到初等函数 1 5x x4 C(, ),
又注意到 f (0) 1 0, 若能在x 0的两侧找到
0,
0,
使得只要 0 x x0 , 就有 | f (x) f (x0) | .
则称 f ( x) 点 x0右连续 (right continuous).
2011-2012高等数学(5)函数连续
即
x x0
lim f ( x) f ( x0 ).
因此，函数f ( x)在点x0处连续，也可以定义为:
定义
设函数y f ( x)在点x0的某邻域内有定义，如果
x x0
lim f ( x) f ( x0 )
则称函数f ( x)在点x0 处连续, 并称x0为f ( x)的连续点.
如果函数 f(x) 在开区间(a，b)内的每一点都连续，
第六节
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
三、闭区间上连续函数的性质
一、连续函数的概念 定义 设函数 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义，如果
当自变量的增量 x x x0 趋向于零时，相应的函数
增量 y f ( x0 x) f ( x0 ) 也趋于零，即
f (0) 0
lim f ( x) 0 f (0) ，
x 0
所以 f (x) 在 x = 0 处连续.
sin 2 x , 例2 设函数 f ( x) x a , 求常数 a 的值。
x 0, x0
在 x 0 点处连续.
解
sin 2 x sin 2 x lim f ( x) lim lim 2 2 x 0 x 0 x 0 2x x
f (0) a
又 f ( x) 在 x 0 处连续.
lim f ( x) f (0)
x 0
a2
二、函数的间断点
定义 如果函数 f ( x) 在点 x0 处不连续，则称 f ( x) 在点
x0 处间断，点 x0 称为函数的间断点 .
f ( x)在x0点连续应同时满足下列三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
函数的连续性教案
函数的连续性教案教案标题：函数的连续性教案教案目标：1. 了解函数的连续性的概念和意义。
2. 掌握判断函数在给定区间上的连续性的方法。
3. 能够应用函数的连续性性质解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 向学生介绍函数的连续性的概念，即函数在某一区间内的图像是连续的。
2. 解释连续性的意义，即函数在某一点上的值与该点附近的值之间没有突变或间断。
探究：1. 提供一个简单的例子，如f(x) = x^2，让学生观察函数图像并讨论函数在整个定义域上的连续性。
2. 引导学生思考如何判断函数在给定区间上的连续性。
提醒学生关注函数在区间端点和内部点上的性质。
3. 引导学生思考连续性的三个基本性质：函数在闭区间上连续的充要条件、函数在开区间上连续的充要条件以及函数在无穷区间上连续的充要条件。
实践：1. 给出一些具体的函数，例如f(x) = sin(x)和g(x) = 1/x，在给定区间上判断它们的连续性。
2. 引导学生使用连续性的性质，结合函数的定义和性质进行判断。
3. 给学生一些实际问题，例如求一个函数在某一点处的极限值，要求学生利用函数的连续性性质进行求解。
总结：1. 总结函数连续性的概念和意义。
2. 强调函数连续性的判断方法和应用。
3. 鼓励学生在实际问题中运用函数连续性的性质解决问题。
教案评估：1. 给学生一些练习题，要求判断给定函数在给定区间上的连续性。
2. 给学生一些应用题，要求利用函数的连续性性质解决实际问题。
3. 收集学生的答案并进行评估，及时纠正他们的错误并给予指导。
教案扩展：1. 引导学生进一步研究函数的间断点和可导性的关系。
2. 探究函数连续性的中值定理及其应用。
3. 引导学生研究其他函数性质与连续性的关系，如函数的单调性和极值点等。
教案资源：1. 函数图像展示工具，如数学软件或在线绘图工具。
2. 练习题和应用题的题目和答案。
3. 相关教材和参考书籍的章节和页码。
高等数学——函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点一、基本内容1. 函数的连续性设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，（1）若0)]()Δ([lim Δlim 000Δ0Δ=-+=→→x f x x f y x x ，则称函数)(x f y =在点0x 处连续 （2）若 )()(lim 00x f x f x x =→， 则称函数)(x f y =在点0x 处连续。
（3）若函数)(x f y =在点0x 处既左连续又右连续，则称函数)(x f y =在点0x 处连续。
2. 函数的间断点（1）定义：不连续点。
（2）分类：第一类间断点，包括可去间断点和跳跃间断点；第二类间断点，主要有无穷间断点和振荡间断点。
二、学习要求1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会判断间断点的类型。
三、基本题型及解题方法题型1 利用定义讨论函数在某一点的连续性解题方法：首先根据具体情况选择函数连续的三种定义，哪种方法最适合.如分段函数的分段点处连续性的判断，往往需要第三种方法，即利用左右连续。
【例1】已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,210,cos 12x x x x x f ，判断)(x f 在0=x 处的连续性。
解：因为 2121lim cos 1lim )(lim 220200==-=→→→xx x x x f x x x =)0(f ， 所以 )(x f 在0=x 处连续。
【例2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>++=<+=0),ln(0,10,)(22x x x b x x x a x f 在0=x 处连续，求a 、b 的值。
解：因为 a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200， b x x b x f x x ln )ln(lim )(lim 200=++=++→→， 1)0(=f ，且)(x f 在0=x 处连续所以 )0()(lim )(lim 00f x f x f x x ==+-→→ 即 1ln ==b a则 e b a ==,1题型2 判断间断点的类型解题方法：根据定义分别讨论函数在某一点的左右极限及极限的存在情况：（1）左右极限均存在且相等，即极限存在的间断点，为可去间断点；（2）左右极限均存在但不相等的间断点，为跳跃间断点；（3）左右极限至少有一个不存在的间断点，为第二类间断点。
《连续性与间断点》课件
连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极 限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无 穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性， 因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极 限不相等，即函数在该点处发生“跳 跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因 为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存 在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相 等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的 可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处 理的一种，可以通过补充定义使 得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为 无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题 需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中 的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连 续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系 、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格 的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域 中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。
《连续性和间断点》课件
连续性和间断点在实际问题中的应用
连续性和间断点在实际问题中具有广泛的应用价值。
3
第一类间断点
在此点处函数的极限存在，但函数本身在此 点处不连续。
可去间断点
在此点处函数有间断，但可以通过修补来使 函数连续。
连续性和间断点的判定方法
1 函数的分段定义
可以通过分段定义来描述函数的连续性。
2 左右极限的存在性
函数在间断点两侧的极限是否存在能够判定连续性。
3 极限的大小关系
极限的大小关系可以提供连续性的信息。
连续性和间断点
# 连续性和间断点 PPT课件 大纲
连续性的定义
连续性的概念
连续性是函数在一个区间上无 间断的特性。
连续Байду номын сангаас数的定义
连续函数是定义域上处处连续 的函数。
闭区间上的连续函数
在闭区间上连续的函数在区间 的两个端点都有定义。
间断点的分类
1
第二类间断点
2
在此点处函数的极限不存在，函数也不连续。
应用实例
连续函数的应用
连续函数在科学、工程、经济等领 域中有广泛的应用。
间断点的应用
间断点在物理、计算机等领域中有 各种实际应用。
数学建模中的连续性和间断 点问题
连续性和间断点问题在数学建模中 具有重要实际意义。
总结
连续性和间断点的意义
连续性和间断点是研究函数特性的重要概念。
连续性和间断点的深入研究
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第1章 函数、极限与连续
函数的连续性与间断点
【教学目的】：
1. 理解函数在一点连续的概念；
2. 会求简单函数的间断点；
【教学重点】：
1. 函数连续、间断的概念；
2. 函数在一点处连续的判定方法；
3. 函数间断点的分类；
【教学难点】：
1. 函数在一点处连续的判定方法；
2. 分段函数分段点处的连续性判断；
3. 函数间断点的分类。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
1.4.1函数的连续性的概念
1、函数的增量
2、函数的连续性
定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0
=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．
连续的另一等价定义是：
定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.
注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时
满足以下三个条件
(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；
(2) 极限)(lim 0
x f x x →存在；
(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00
x f x f x x =→．
定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0
x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00
x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．
例5 讨论函数⎪⎩
⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.
解 函数定义域为),(+∞-∞，
)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 0
0=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0
x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.
定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.
可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．
3、函数的间断点
如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．
设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．
在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.
【教学小节】：
通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。
【课后作业】：
无。