高中数学教案——函数的连续性
高二数学函数的极限与连续性的优秀教案范本
高二数学函数的极限与连续性的优秀教案范本一、引言在高中数学教学中，函数的极限与连续性是非常重要的内容。
函数的极限是许多数学概念的基础，而函数的连续性则是应用数学的基石。
本教案将重点介绍高二数学中的函数的极限与连续性，并提供一个优秀教案的范本，以供教师参考。
二、教学目标1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握计算函数的极限的基本方法；3. 掌握函数的连续性的概念及其判定方法；4. 能够应用极限与连续性的概念解决实际问题。
三、教学过程1. 知识讲解函数的极限是指自变量无限接近某一数值时，函数的取值趋近于某一数值。
通过用数列逼近的方法，可以得到函数的极限的定义及性质。
函数的连续性是指函数在某一区间内没有突变或间断点，即函数的图像是一条连续的曲线。
可以通过幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质判定函数的连续性。
2. 例题演示通过一些典型的例题，让学生掌握函数极限的计算方法和函数连续性的判定方法。
3. 练习与讨论给学生一些练习题，让他们在课堂上独立思考并与同学讨论解题思路。
同时，教师可以在课堂上进行正确性的讲解和解答学生的疑问。
4. 拓展应用提供一些拓展的应用题，让学生将所学的函数的极限与连续性的知识应用到实际问题中。
例如，通过分析一个物体的运动过程，计算出某一瞬间的速度极限，以及在某一时间段内速度的连续性。
5. 归纳总结对于函数的极限与连续性的知识进行归纳总结，并引导学生总结出函数极限计算和函数连续性判定的一般性方法和规律。
6. 课后作业布置一些课后作业，让学生巩固所学的内容并提高解题能力。
四、教学评价与反思通过课堂讲解、例题演示、学生讨论和课堂练习的方式，教师能够及时发现学生对于函数的极限与连续性的理解程度和掌握情况。
教师可以根据学生的表现评价他们的学习效果，进而调整教学方法和策略。
五、教学拓展教师可以引导学生进一步探究函数的极限与连续性的深层次问题，如函数的间断点、函数的一致连续性等。
同时，可以引导学生应用函数的极限与连续性的知识解决更复杂的实际问题。
《高等数学(上册)》教案 第5课 函数的连续性、闭区间上连续函数的性质
课题函数的连续性、闭区间上连续函数的性质课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握连续函数的概念。
（2）能够判断函数的间断点，熟悉间断点的分类。
（3）理解初等函数的连续性，能够计算函数的连续区间.（4）理解闭区间上连续函数的性质。
思政育人目标：通过与实际现象联系，帮助学生理解函数的连续性，使学生体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，不是脱离实际生活的；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力教学重难点教学重点：连续函数的概念、函数在某点连续性的判断教学难点：计算函数的连续区间教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解连续函数的概念，并通过例题讲解介绍其应用案例［平面内曲线］在坐标平面内画一连续曲线()y f x=，如图1-27所示．在坐标平面内画一间断曲线()y g x=，如图1-28所示．学习连续函数的概念、函数间断点的分类。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2图1-27 图1-28分析 对比两个图形，我们发现：对于()y f x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量0y ∆→，如图1-27所示；对于()y g x =，当自变量x 的改变量0x ∆→时，函数相应的改变量y ∆不能够无限变小，如图1-28所示．于是我们可以用增量来定义函数的连续性．定义1 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果000lim lim[()()]0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=，则称函数()f x 在点0x 处连续．若记0x x x =+∆，则0x x x ∆=-，相应地函数()f x 的增量0()()y f x f x ∆=-．当0x ∆→，即0x x →时，0y ∆→，0()()0f x f x -→，也即0()()f x f x →．因此，函数()y f x =在点0x x =处连续的定义也可表述如下： 定义1' 设函数()y f x =在0x 点的某一个邻域内有定义，若0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 点连续．由函数()y f x =在0x 点连续的定义可知，函数()f x 在0x 点连续，必须同时满足下面三个条件： （1）()f x 在0x 点有定义； （2）极限值0lim ()x x f x →存在；（3）极限值0lim ()x x f x →恰好等于()f x 在该点的函数值，即30lim ()()x x f x f x →=．若00()lim ()x x f x f x ++→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点右连续；若00()lim ()x x f x f x --→=存在且等于0()f x ，则称函数()y f x =在0x 点左连续．定理 1 函数()y f x =在0x 点连续⇔函数()y f x =在0x 点左右连续．例1 证明函数2()1f x x =+在1x =处连续．证明一 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义．当自变量在1x =处有改变量x ∆时，222(1)1(11)2()y x x x ∆=+∆+-+=∆+∆，因此，20lim lim[2()]0x x y x x ∆→∆→∆=∆+∆=，所以()f x 在1x =处连续．证明二 2()1f x x =+的定义域为R ，所以()f x 在1x =的某邻域有定义，211lim ()lim(1)2x x f x x →→=+=，即1x →时()f x 的极限值为2．而21(1)112lim ()x f f x →=+==，即极限值等于函数在该点的函数值，所以()f x 在1x =处连续．例 2 讨论函数320()20x x f x x x ⎧+=⎨-+<⎩，，，在点0x =的连续性．解 因为30(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f +++→→==+==，4(0)lim ()lim(2)2(0)x x f f x x f ---→→==-+==， 所以()f x 在0x =点左右连续，故()f x 在点0x =处连续． 函数在一点连续的定义，可以推广到区间上．定义2 如果一个函数在某区间()a b ，内的每一点处都连续，则称这个函数在区间()a b ，内连续，或称其为区间()a b ，内的连续函数．如果函数()y f x =在()a b ，内连续，且a 点右连续，b 点左连续，则称函数()f x 在闭区间[]a b ，上连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线．⏹ 【学生】掌握连续函数的概念⏹ 【教师】讲解函数间断点的分类，并通过例题讲解介绍其应用如果()y f x =在点0x 处不连续，则称点0x x =是函数()f x 的间断点．由()y f x =在0x x =处连续的定义知，如果()f x 在0x 处有以下三种情况之一，则()f x 在0x 处间断： （1）()y f x =在点0x 处无定义； （2）0x x →时0lim ()x x f x →不存在；（3）函数值0()f x 和极限值0lim ()x x f x →都存在，但0lim ()()x x f x f x →≠．例如，函数1()1f x x =+在点1x =-处没有定义，1x =-就是函数1()1f x x =+的一个间断点．如果不考虑函数()f x 在0x 是否有定义，那我们可以将函数的间断点分为以下两大类． 设函数()y f x =在点0x 处间断，但在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +均存在，则称0x 为()f x 的第一类间断点，其中：5（1）若00()()f x f x +-=，即极限0lim ()x x f x →存在，则称点0x 是()f x 的可去间断点．（2）若00()()f x f x +-≠，即极限0lim ()x x f x →不存在，则称点0x 是()f x 的跳跃间断点．设函数()y f x =在点0x 处间断，若在点0x 的左右极限0()f x -与0()f x +至少有一个不存在，则称0x 为()f x 的第二类间断点，其中：（1）若0()f x -与0()f x +至少有一个为无穷大，则称点0x 是()f x 的无穷间断点．（2）若0lim ()x x f x →振荡性地不存在，则称点0x 是()f x 的振荡间断点．例3 函数10()0010x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-+<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于(0)lim(1)1x f x ++→=+=，(0)lim(1)1x f x --→=-+=，(0)(0)1(0)0f f f +-==≠=，故0x =是函数()f x 的可去间断点，如图1-29所示．但如果将函数()f x 在0x =的定义改为(0)1f =，则函数在0x =点连续．由此可见，如果函数()f x 在0x 点是可去间断点，可通过补充或改变()f x 在0x 点的函数值，使()f x 在0x 点连续．例4 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，在点0x =处有定义，且(0)0f =．但由于0(0)lim11x f ++→==，0(0)lim(1)1x f --→=-=-，即(0)f +和(0)f -都存在但不相等，故0x =是函数()f x 的跳跃间断点，如图1-30所示．6图1-29 图1-30例 5 函数1y x=在点0x =处无定义，由于(0)f +=+∞，(0)f -=-∞，故0x =是函数1y x=的无穷间断点，如图1-31所示．例6 函数1siny x =在点0x =处无定义，取122n x n =ππ-，122nx n '=ππ+(12)n =，，，当n →∞时，0n x →，0n x '→，但()sin 212n f x n π⎛⎫=π-=- ⎪⎝⎭，()sin 212n f x n π⎛⎫'=π+= ⎪⎝⎭，即当0x →时，函数1sinx值在1-与1+之间变动无限多次．故0x =是函数1sinx的振荡间断点，如图1-32所示．图1-31 图1-32例7 判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判别间断7点的类型：（1）sin 0()e 10x xx f x x x ⎧<⎪=⎨⎪+⎩，，，在点0x =处；（2）221()32x f x x x -=-+在点11x =和22x =处．解 （1）函数()f x 在点0x =处有定义，且(0)2f =．但sin (0)lim 1x xf x--→==，(0)lim(e 1)2xx f ++→=+=，(0)(0)f f +-≠，故0x =为函数()f x 的跳跃间断点，属于第一类间断点．（2）221(1)(1)()32(1)(2)x x x f x x x x x --+==-+--在11x =，22x =处无定义，故11x =，22x =是()f x 的间断点． 由于111lim ()lim22x x x f x x →→+==--，故11x =是()f x 的可去间断点，属于第一类间断点． 由于221lim ()lim2x x x f x x →→+==∞-，故22x =是()f x 的无穷间断点，属于第二类间断点．⏹ 【学生】掌握函数间断点的分类问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．函数()f x 在点0x 处有定义、有极限、连续三个结论有什么区别与联系．2．若函数()f x 在点0x 处无定义，则0x 点是函数()f x 的第一类间断点，还是第二类间断点？通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解3．分段函数()()()g x x af xh x x a⎧=⎨<⎩，，，在分段点x a=一定是间断点吗？⏹【学生】讨论、发言第二节课知识讲解（20 min）⏹【教师】讲解初等函数的连续性，并通过例题讲解介绍其应用1．连续函数的和、差、积、商的连续性根据函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可得下面的定理．定理2设函数()f x和()g x在点x连续，则它们的和、差、积、商都在点x连续．例如，由于sin x，cos x在()-∞+∞，上的每一点都连续，故sintancosxxx=和coscotsinxxx=在其各自定义域上每一点都是连续的．2．初等函数的连续性利用函数连续的定义和性质可以证明：六种基本初等函数在其定义域上都是连续的．由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而得到的函数，函数的连续性对四则运算和复合运算是封闭的，所以我们又有结论：所有初等函数在其定义区间上都是连续的．根据这一结论，求初等函数在其定义域内某点的极限时，只要求出该点的函数值即可．例8求4e cos(4)lim3xxxx→+--．解由于该函数是初等函数，且在4x=处有定义，故由初等函数的连续性可以得出学习初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
函数的连续性课程设计
函数的连续性课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解函数连续性的定义，掌握连续函数的基本性质；2. 学会判断简单函数在某一点的连续性，理解连续函数与单调函数、有界函数的关系；3. 掌握连续函数的运算规则，了解连续函数的图像特点。
技能目标：1. 能够运用连续性的定义分析具体函数的连续性，解决实际数学问题；2. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，提高运用数学知识解决实际问题的能力；3. 学会通过数形结合的方法，分析函数的性质，提高数学素养。
情感态度价值观目标：1. 激发学生学习数学的兴趣，培养主动探索、积极思考的学习态度；2. 培养学生严谨、求实的科学精神，养成独立思考和团队合作的好习惯；3. 通过对连续函数的学习，让学生认识到数学与现实生活的紧密联系，增强学以致用的意识。
课程性质：本课程属于高中数学学科，是函数部分的重要内容，旨在让学生掌握连续函数的基本概念、性质和应用。
学生特点：高中生具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对函数有一定的了解，但可能对连续性概念的理解不够深入。
教学要求：结合学生特点，注重概念讲解与实际应用相结合，引导学生通过实例分析、讨论交流等方式，深入理解连续函数的相关知识，提高数学素养。
在教学过程中，注重目标的分解与落实，确保学生能够达到预期的学习成果。
二、教学内容1. 函数连续性的定义及基本性质- 函数在某一点的连续性- 函数在区间上的连续性- 连续函数的基本性质2. 连续函数的判断与运算- 判断简单函数在某一点的连续性- 判断复合函数、反函数的连续性- 连续函数的运算规则3. 连续函数的图像特点与应用- 连续函数的图像特征- 连续函数与单调函数、有界函数的关系- 连续函数在实际问题中的应用4. 数形结合分析函数性质- 数形结合方法在分析连续函数中的应用- 利用图像判断函数的连续性- 利用连续性分析函数的极值问题教材章节：高中数学教材《函数》章节，具体包括连续函数的定义、性质、图像特点及运算等内容。
函数连续性的教学过程设计
函数连续性的教学过程设计【摘要】本文将围绕函数连续性展开教学过程设计。
在将引出函数连续性的重要性。
接着在首先进行理论基础的讲解，介绍函数连续性的基本概念和定义，为后续实例讲解做准备。
随后将通过具体的实例讲解，帮助学生更好地理解连续性的概念。
最后设计课堂练习，巩固学生对函数连续性的掌握。
在对本次教学所涉及的知识进行总结，进行教学反思并展望未来的教学工作。
通过本文的教学设计，能够帮助学生系统地理解函数连续性的概念，提高他们对该知识点的掌握能力，为其在数学学习中打下坚实的基础。
【关键词】函数连续性、教学过程设计、引言、理论基础的讲解、基本概念的引入、连续性的定义、准备实例讲解、课堂练习设计、知识总结、教学反思、展望未来1. 引言1.1 引言函数连续性是微积分中非常重要的概念，它关系到函数在某一点的光滑性和连续性。
在学习这一概念时，我们需要了解函数在某一点的极限值以及函数在该点的定义域内是否具有连续性。
本教学过程设计旨在帮助学生深入理解函数连续性的概念，并通过实例讲解和课堂练习，提升他们的解决问题的能力和理解水平。
在我们将首先对函数连续性的理论基础进行讲解，包括极限值的概念和函数连续性定义的推导。
接着引入基本概念，并且说明连续性的定义。
然后通过实例讲解来帮助学生更好地理解函数连续性的概念，让他们能够在实际应用中灵活运用所学知识。
设计一些课堂练习，让学生进行实际操作，巩固所学内容。
2. 正文2.1 理论基础的讲解函数连续性是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某个区间内的平稳性和无间断性。
在教学中，理论基础的讲解是非常关键的步骤，因为它可以帮助学生建立对函数连续性的深入理解。
我们需要引入极限的概念。
在函数连续性的讲解中，极限是一个基础性的定义，它描述了函数在某个点上的局部性质。
通过介绍极限的定义和性质，我们可以帮助学生理解函数在某个点的变化趋势。
我们需要说明函数连续性的定义。
函数在某个点连续意味着该点的函数值等于极限值，而且极限存在。
高数教案_函数连续性8
课 题: 函数连续性 目的要求：掌握函数连续的充要条件及应用 初步掌握间断点的分类及示例 掌握闭区间上连续函数的性质及应用 会利用函数连续性求极限 教学重点：掌握函数连续的充要条件及应用 教学难点：掌握函数连续的充要条件及应用 教学课时：2教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤： 函数的连续性从图上可看出, ϕ(x )在x 0间断. 但 f (x )在x 0连续. ϕ(x )在x 0的极限不存在, 而00lim ()().x x f x f x →=定义1. 设f (x )在x 0的某邻域U(x 0)内有定义. 且00lim ()().x x f x f x →=则称f (x )在x 0连续, x 0称为f (x )的连续点. 否则称f (x )在x 0间断, x 0称为f (x )的间断点, 或称为不连续点.因为：00lim cos cos x x x x →=：余弦函数在任何点x 0处连续连续的δ-ε 语言描述：若对∀ε >0, ∃δ>0,使得当|x -x 0|<δ时, 对应的函数值f (x )满足| f (x ) - f(x 0) |<ε，则称f (x )在x 0处连续.注: 与极限定义比较, 将"a "换成" f (x 0)"证：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-=，00lim ()lim ||0x x f x x →→==故 又因为f (0)=0.从而：0lim ()(0)x f x f →= ()||0f x x x ==故在处连续定义：设f (x )在x 0的某右邻域0()U x +(某左邻域0()U x -)内有定义, 若00lim ()()x x f x f x +→=,则称函数在 0x 处右连续, 若00lim ()()x x f x f x -→=,则称函数在 0x 处左连续. 定理1. f (x )在x 0处连续⇔ f (x )在x 0左连续且右连续.上例证明：00lim ()lim 0x x f x x ++→→==因=f(0)，00lim ()lim()0x x f x x --→→=-==f(0), ()||0f x x x ==故在处连续注：判断x 0处连续的步骤：1，x 0处是否有定义，2，左右极限是否存在，3，左右极限是否相等，4，极限值是否等于函数值. 到某一步不成立时，不执行下一步骤。
高等数学教案5函数的连续性
高等数学教案5函数的连续性教学目标：1.了解函数连续性的定义。
2.掌握连续函数的性质和常见类型。
3.能够通过定义验证函数的连续性。
4.能够利用连续性解决相关问题。
教学重点和难点：1.函数连续性的定义和性质。
2.连续函数的常见类型。
教学方法：1.讲授法：通过讲解、举例等方式，让学生理解函数连续性的定义和性质。
2.探究法：通过引导学生进行研究和探究，提高学生对连续函数的理解和应用能力。
3.解决问题法：通过解决一些实际问题，培养学生运用连续函数解决实际问题的能力。
教学过程：一、引入新知（5分钟）教师通过提问引入新知：“你们对函数连续性有什么了解？”学生回答后，教师解答并说明本节课的学习目标。
二、讲授函数连续性（20分钟）1.函数连续性的定义教师讲解函数连续性的定义，引导学生理解函数在其中一点连续的含义，并通过图像展示、数学表达进行说明。
2.连续函数的性质教师讲解连续函数的性质，如连续函数在闭区间上有界、有最大值和最小值等性质，并通过例题让学生理解和掌握这些性质。
三、练习和讨论（30分钟）1.基本例题教师出示一些基本的例题，让学生运用连续函数的定义和性质进行分析和解答。
鼓励学生积极思考，并进行课堂讨论和分享。
2.实际问题教师出示一些实际问题，让学生通过建立数学模型、运用连续函数解决实际问题。
引导学生思考如何将实际问题转化成数学问题，进而利用函数的连续性进行求解。
四、总结和延伸（10分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调函数连续性的重要性和应用，鼓励学生积极思考和延伸相关知识。
五、作业布置（5分钟）教师布置课后作业，让学生巩固和深化本节课的内容。
作业内容可以包括练习题、思考题等。
教学资源和评价方法：教学资源：投影仪、黑板、教材等。
评价方法：课堂参与、课后作业、小组讨论等。
教学反思：本节课通过引入新知、讲授函数连续性的定义和性质、练习和讨论以及总结和延伸等环节，全面培养了学生对函数连续性的理解和应用能力。
在教学过程中，考虑到学生的不同差异，通过多样化的教学方法和资源，提高了学生的学习兴趣和主动参与度。
函数连续性的教学过程设计
函数连续性的教学过程设计【摘要】本文主要围绕函数连续性展开教学过程设计。
在首先介绍了函数连续性的重要性。
接着在通过导入函数连续性的概念、探讨其必要性、介绍定义、讨论分类和分析应用等多个方面深入探讨。
在结论中，总结了教学过程设计的重点，展望学生对函数连续性的理解提升，并鼓励他们在实践中应用所学知识。
通过本文的阐述，不仅可以帮助学生全面理解函数连续性的概念和应用，也能够引导他们提升思维能力和解决实际问题的能力。
教师可以根据本文提供的教学过程设计方案，有针对性地引导学生学习，促进他们对函数连续性的深入理解和运用。
【关键词】函数连续性、教学过程设计、导入概念、必要性、定义、分类、应用、总结、理解提升、实践应用、学生、教学、函数1. 引言1.1 引言在数学教学中，函数连续性是一个重要的概念，也是学生在高中阶段需要掌握的基本知识之一。
理解函数连续性不仅有助于学生更好地理解函数的性质，还能为他们在解决实际问题时提供有力的数学工具。
本篇文章将围绕函数连续性展开，介绍其概念、必要性、定义、分类以及应用。
通过深入探讨函数连续性的相关内容，帮助学生建立起对这一概念的深刻理解，并将其运用到实际问题的解决中。
在教学过程中，我们将引导学生从简单到复杂地探讨函数连续性的定义和特性，通过一系列实例和练习帮助他们巩固所学内容。
我们还将强调函数连续性在数学建模、物理问题求解等领域的重要性，激发学生对数学的兴趣和学习热情。
通过本次教学，我们希望学生能够对函数连续性有更深入的理解，能够在实际问题中灵活运用所学知识，提高数学解决问题的能力和方法。
我们也期待学生能够不断探索、实践，将函数连续性相关知识运用到更广泛的领域中，为未来的学习和发展打下坚实的数学基础。
2. 正文2.1 导入函数连续性的概念导入函数连续性的概念是教学过程设计中非常重要的一环。
在学习函数连续性之前，首先需要引导学生了解函数的基本概念和性质。
函数是一个数学映射关系，它描述了自变量和因变量之间的对应关系。
函数的连续性教案
函数的连续性教案一、教学目标1、理解函数连续性的概念，包括在一点处连续和在区间上连续的定义。
2、能够通过函数的图像和表达式判断函数在某点处的连续性。
3、掌握函数连续性的性质，如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
4、能够运用函数连续性的概念和性质解决相关的数学问题。
二、教学重难点1、教学重点函数在一点处连续的定义。
函数连续性的性质及其应用。
2、教学难点函数在一点处连续的定义的理解。
运用函数连续性的定义证明函数在某点处连续。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入（通过展示一些函数的图像，如连续的曲线和不连续的折线）同学们，我们在之前的学习中已经接触过很多函数，大家观察这些函数的图像，有的曲线是平滑的，没有间断点；而有的图像则存在跳跃或者断裂的情况。
今天我们就来深入研究函数的一种重要性质——连续性。
2、函数在一点处连续的定义设函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＼（＼Delta x\）趋近于零时，对应的函数增量＼（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）也趋近于零，那么就称函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续。
用数学语言可以表示为：＼（＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0\）进一步，等价于：＼（＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＼）（通过具体的函数例子，如＼（f(x) ＝ x^2\）在＼（x ＝ 1\）处，计算函数增量，帮助学生理解定义）3、函数在一点处连续的充要条件函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处连续的充要条件是：函数＼（f(x)＼）在点＼（x_0\）处既左连续又右连续。
左连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）右连续：＼（＼lim_{x ＼to x_0^＋｝ f(x) ＝ f(x_0)＼）（举例说明左连续和右连续的情况）4、函数在区间上连续的定义如果函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）内的每一点都连续，就称函数＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上连续。
函数连续性教学设计
函数连续性教学设计教学设计主题：函数连续性教学目标：1.了解函数连续性的概念及其性质；2.掌握函数连续性的判定方法；3.能够应用函数连续性的性质解决实际问题。
教学重点：1.函数连续性的概念和性质；2.函数连续性的判定方法。
教学难点：1.函数连续性判定方法的应用；2.实际问题的应用。
教学准备：1.教材：高中数学教材；2.教辅资料：相关的教学视频、练习题和答案；3.教学媒体：电子白板、计算器、投影仪等。
教学过程：一、导入（10分钟）1.引入函数连续性的概念：什么是函数连续性？为什么重要？2.引导学生观察一个连续函数的图像，了解连续函数在图像上没有突变的特点。
二、知识讲解（15分钟）1.介绍函数连续性的定义和性质，并在电子白板上进行讲解和案例演示。
2.解释连续函数的性质：无间断、无间断点、无间断集、极限存在、极限值等。
三、判定方法（20分钟）1.介绍函数连续性的判定方法：a.函数在特定点处连续的条件；b.函数在区间上连续的条件；c.利用四则运算法则判定函数的连续性。
2.在电子白板上进行实例讲解和演示。
四、练习（15分钟）1.在教学辅助资料中选取相关的练习题，供学生进行练习。
2.学生独立完成练习，教师巡视和指导，及时纠正错误。
五、拓展应用（20分钟）1.引导学生思考函数连续性在实际问题中的应用。
2.提供一些实际问题，并指导学生利用函数连续性的性质解决问题。
六、总结（10分钟）1.对本节课所学内容进行总结，并重点强调函数连续性的概念和判定方法。
2.梳理核心考点，指导学生进行重点复习。
七、课后作业（5分钟）1.布置相关的课后作业，巩固所学知识。
2.确认下节课的教学内容和要求。
教学反思：在教学设计中，我充分考虑了学生的学习兴趣和实际应用的需求。
通过引导学生观察连续函数的图像，可以让学生更好地理解连续性的概念。
在知识讲解和实例演示中，加入了多媒体教学的内容，使学生能够更直观地理解函数连续性的性质和判定方法。
在拓展应用环节，引导学生思考函数连续性在实际问题中的应用，能够培养学生的应用问题解决能力。
函数的连续性教案
函数的连续性教案教案标题：函数的连续性教案教案目标：1. 了解函数的连续性的概念和意义。
2. 掌握判断函数在给定区间上的连续性的方法。
3. 能够应用函数的连续性性质解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 向学生介绍函数的连续性的概念，即函数在某一区间内的图像是连续的。
2. 解释连续性的意义，即函数在某一点上的值与该点附近的值之间没有突变或间断。
探究：1. 提供一个简单的例子，如f(x) = x^2，让学生观察函数图像并讨论函数在整个定义域上的连续性。
2. 引导学生思考如何判断函数在给定区间上的连续性。
提醒学生关注函数在区间端点和内部点上的性质。
3. 引导学生思考连续性的三个基本性质：函数在闭区间上连续的充要条件、函数在开区间上连续的充要条件以及函数在无穷区间上连续的充要条件。
实践：1. 给出一些具体的函数，例如f(x) = sin(x)和g(x) = 1/x，在给定区间上判断它们的连续性。
2. 引导学生使用连续性的性质，结合函数的定义和性质进行判断。
3. 给学生一些实际问题，例如求一个函数在某一点处的极限值，要求学生利用函数的连续性性质进行求解。
总结：1. 总结函数连续性的概念和意义。
2. 强调函数连续性的判断方法和应用。
3. 鼓励学生在实际问题中运用函数连续性的性质解决问题。
教案评估：1. 给学生一些练习题，要求判断给定函数在给定区间上的连续性。
2. 给学生一些应用题，要求利用函数的连续性性质解决实际问题。
3. 收集学生的答案并进行评估，及时纠正他们的错误并给予指导。
教案扩展：1. 引导学生进一步研究函数的间断点和可导性的关系。
2. 探究函数连续性的中值定理及其应用。
3. 引导学生研究其他函数性质与连续性的关系，如函数的单调性和极值点等。
教案资源：1. 函数图像展示工具，如数学软件或在线绘图工具。
2. 练习题和应用题的题目和答案。
3. 相关教材和参考书籍的章节和页码。
极限与函数的连续性的计算高中三年级数学教案
极限与函数的连续性的计算高中三年级数学教案【教案简介】本教案主要介绍高中三年级数学中的极限与函数连续性的计算方法。
通过理论讲解和实际案例分析，帮助学生掌握相关概念和计算技巧，提高数学运算能力和问题解决能力。
【教学目标】1. 理解极限与函数连续性的定义和基本概念；2. 学会计算函数的极限；3. 掌握函数的连续性判定方法；4. 运用极限和连续性的概念解决实际问题。
【教学重点】1. 极限的计算方法和技巧；2. 连续性的判定方法；3. 实际问题的极限和连续性应用。
【教学难点】1. 理解极限的定义和性质；2. 函数连续性的理论与计算结合。
1. 教师准备好黑板、彩色粉笔或白板、投影仪等教学工具；2. 打印相关教学资料和案例分析。
【教学过程】【第一节极限的计算】【学习目标】1. 了解极限的定义和性质；2. 学会计算常见函数的极限。
【教学步骤】1. 引入极限的概念，简要解释极限的定义和意义；2. 通过案例讲解，介绍常见函数的极限计算方法和技巧；3. 学生个别或小组练习，解决一些常见函数的极限计算问题；4. 学生展示解题思路和答案，教师进行点评和总结。
【第二节函数的连续性判定】【学习目标】1. 掌握函数连续性的定义和判定方法；2. 学会计算函数在某一点的连续性。
1. 回顾函数连续性的定义和重要性；2. 通过案例分析，解释函数连续性的判定方法和技巧；3. 学生个别或小组练习，判定一些函数在给定点的连续性；4. 学生展示解题思路和答案，教师进行点评和总结。
【第三节极限与连续性的应用】【学习目标】1. 运用极限和连续性的概念解决实际问题；2. 培养学生的问题解决能力和数学思维能力。
【教学步骤】1. 介绍一些实际问题，并引导学生思考如何运用极限和连续性的概念解决；2. 学生个别或小组讨论，解决提出的实际问题；3. 学生展示解题思路和答案，教师进行点评和总结。
【课堂总结】1. 总结本节课的学习内容和重点；2. 强调极限和连续性在数学中的应用和重要性；3. 鼓励学生继续深入学习和探索相关知识。
函数的连续性教学设计示例
函数的连续性教学设计教学目标知识目标1．在研究函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续；2．体会连续的意义，借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大、最小值的性质。
能力目标提高抽象的逻辑推理能力和观察能力、识图能力。
情感目标1．体会数形结合的数学思想；2．树立辩证观点和学习数学的良好品质。
教学重点连续的意义以及在闭区间上连续的函数具有最大（小）值的性质。
教学难点函数f(x)在点x0处连续必需满足的三个条件和函数f(x)在点x处连续的充要条件．教学用具投影仪教学过程（一）实例引入概念，图形直观说明（1）水银柱高度随温度的改变而连续变化；（2）邮费随邮件重量的增加而作阶梯式的增加。
函数值是否会因为自变量的细小变化而“大起大落”，这就是要研究的问题。
引出课题：函数的连续性从下列图形中分析：图30-1 图30-2图30-3 图30-4问：（1）函数)(x f 在点0x x =是否有定义？（2）0()lim x x f x →是否存在？（3）0()lim x x f x →是否与)(0x f 相等？答：图（1）满足3条；图（2）不满足（1）；图（3）不满足条件（2）；图（4）不满足条件（3）。
由此概括出函数在一点处连续的定义。
（二）函数在一点处连续的定义：如果函数)(x f y =在点0x x =处及其附近有定义，而且)()(0lim 0x f x f x x =→，就说函数)(x f 在点0x 处连续。
指出)()(0lim 0x f x f x x =→包含两层意思：（1）)(lim 0x f x x →存在； （2）极限值)(lim 0x f x x →与函数值)(0x f 相等。
提问：连续函数在图形上有何特点？（三）举例应用例：讨论下列函数在给定点处的连续性：（1）xx f 1)(=，点0=x ； （2）x x g sin )(=，点=x 0。
解：画图。
（1）函数xx f 1)(=在=x 0处没有定义，因而它在点=x 0处不连续。
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版第一节：引言函数的连续性是高中数学中的重要概念之一，它在解决实际问题、分析函数性质以及计算积分等方面起到了重要作用。
通过本教案，我们将全面介绍函数的连续性的概念、性质和计算方法，帮助学生建立正确的观念，培养逻辑思维和数学分析能力，并且通过例题演练加深他们对该知识点的理解。
第二节：函数的连续性概念1. 连续性的定义：介绍什么是函数的连续性，以及连续函数和间断函数的区别。
2. 连续性的三个条件：详解连续函数的三个条件：函数在定义域内有定义、极限存在和函数值等于极限值。
3. 连续性与可导性的关系：介绍可导函数与连续函数之间的关系，以及可导函数在一点的连续性。
第三节：函数的连续性性质1. 连续函数运算性质：介绍连续函数加减乘除的性质，以及连续函数的复合函数是否连续的判定。
2. 闭区间上连续函数性质：讲解闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性质，以及零点定理的应用。
3. 介值定理：详细解释介值定理的概念和证明方法，以及介值定理在实际问题中的应用。
第四节：函数连续性的计算方法1. 分段函数的连续性：介绍分段函数在分段点是否连续的判定方法，以及常见的分段函数例题。
2. 反函数的连续性：讲解反函数连续性的判定条件和例题展示。
3. 参数方程的连续性：详解参数方程连续性的考察方法，以及参数方程在连续性问题中的应用。
第五节：例题演练通过一些经典的例题演练，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六节：拓展应用通过一些实际问题的拓展应用，引导学生将所学的函数连续性理论应用到实际问题中，培养解决问题的能力和实际思维能力。
第七节：总结与作业布置对本节课所学内容进行总结，并布置相应的作业，巩固学生对函数连续性的理解。
本教案旨在通过全面系统地介绍高中数学中函数的连续性概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解该知识点，并能够运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应该注重理论与实践相结合，多设立例题和练习题，培养学生分析和解决问题的能力。
函数的连续性教案1
函数的连续性教案1教学目的首先使同学理解函数在某一点左连续、右连续、连续的概念及其相互关系，着重掌握函数在某一点连续必须具备的三个条件；其次使同学了解连续函数的一些简单性质．教学重点和难点函数f(x)在点x0处连续必需满足的三个条件和函数f(x)在点x0处连续的充要条件．教学过程一、复习提问作出下列各函数的图象并回答问题：(1)指出哪些函数在x＝0处有左极限；(2)指出哪些函数在x＝0处有右极限；(3)指出哪些函数在x＝0处有极限；(4)指出哪些函数在x＝0处有意义．二、新课1．根据上述五个函数的图象在x＝0处及其邻域的异同点，大致可分为两类，这两类是什么呢？(引导同学得出连续与间断两类．)进而分析“连”的特征与“断”的各种情况，引出函数y＝f(x)在点x0处连续的定义．即：如果函数y＝f(x)在点x0处及其附近有意义，而且就说函数f(x)在点x0处连续．结合例题中的图象对上述定义进行分析，得出函数f(x)在点x0处连续必须具备的三个条件是：①函数f(x)在点x0处及其附近有定义；说明：对上述三个条件中有任何一条不具备，那么函数f(x)在点x0处就不连续，点x＝x0称为该函数的间断点．2．通过对上述例题中②—⑤四个函数的图象在点x＝0处的左极限与f(0)是否存在和相等关系的分析，引出函数在点x＝x0处左连续的定义，即如果函数f(x)在点x0处及其左侧有定义，且那么就说函数f(x)在点x0处左连续．用同样方法，由同学得出右连续的定义．3．讨论左连续、右连续、连续三者关系，从而得出函数y＝f(x)在点x＝x0处连续的充要条件是f(x)在点x0处既左连续且又右连续．4．给出函数y＝f(x)在某一开区间(a，b)内连续的定义和在某一闭区间上连续的定义，即如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都连续，就说f(x)在区间(a，b)内连续，或者说f(x)是区间(a，b)内的连续函数．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x＝a处右连续，在右端点x＝b 处左连续，就说函数f(x)在闭区间[a，b]上连续．5．连续函数的性质1：如果y＝f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上有最大值和最小值．对上述定理只作说明不作证明；强调定理中的条件是闭区间，而这个条件只是充分条件而不必要，可通过下面例题说明．由图1－17可知f(x)在[a，b]上连续，且当x＝a时，函数有最小值f(a)，当x＝x0时，函数有最大值是f(x0)．由图1－18可知y＝log2x 在(0，＋∞)内连续，而无最大值与最小值．由图1－19可知y＝g(x)在(a，b)内连续，当x＝x0时，函数有最小值g(x0)，而无最大值．＝f(x0)±g(x0)．因此函数f(x)±g(x)在点x＝x0处连续．其余证明由同学完成．三、小结与巩固练习1．函数y＝f(x)在点x0处连续的定义和判断方法是我们这一节课的重点，应让同学牢固掌握它们．2．口答练习(1)连续函数的图象有什么特点？观察下列各函数图象(图1－20)，说明函数在x＝a 处是否连续．(2)结合下列函数的图象，说明函数在给定点或区间上是否连续：四、布置作业1．根据函数连续性的定义，说明下列函数在给定点处连续．② f(x)＝ax2+b，(x＝1)；④ f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，(x＝0)．2．说出下列函数在实数轴上哪些点处不连续．。
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课题：2.5函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件．教学难点：借助几何图象得出最大值最小值定理．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.教学过程：一、复习引入：1.000lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔== 其中0lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0lim ()x x f x a +→=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克~30克是1元，31克~40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x =x 0处连续，就是说图象在点x =x 0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x =x 0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x 0是否连续.第二，在x 0是否有极限，若有与f (x 0)的值关系如何：图(1)，函数在x 0连续，在x 0处有极限，并且极限就等于f (x 0).图(2)，函数在x 0不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)，因为函数在x 0处没有定义.图(3)，函数在x 0不连续，在x 0处没有极限.图(4)，函数在x 0处不连续，在x 0处有极限，但极限不等于f (x 0)的值.函数在点x =x 0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x =x 0处要有极限，根据图(4)，函数在x =x 0处的极限要等于函数在x =x 0处的函数值即f (x 0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件..函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义；(2)0lim x x →f (x )存在； (3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 由第三个条件，0lim x x →f (x )=f (x 0)就可以知道0lim x x →f (x )是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f (x )在点x 0处连续的定义.如果函数y =f (x )在点x =x 0处及其附近有定义，并且0lim x x →f (x )=f (x 0)，就说函数f (x )在点x 0处连续.那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a ，b )内连续的定义． 区间是由点构成的，只要函数f (x )在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了.3.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).4.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有+→ax lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有-→bx lim f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数.如果函数f (x )在闭区间［a ，b ］上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线.我们来看这张图，它是连续的，在a 、b 两点的值都是取到，所以它一定有一个最高点和一个最低点，假设在x 1这点最高；那么它的函数值最大，就是说［a ，b ］区间上的各个点的值都不大于x 1处的值，用数学语言表示就是f (x 1)≥f (x )，x ∈［a ，b ］，同理，设x 2是最低点，f (x 2)≤f (x )，x ∈［a ，b ］.5.最大值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 1)≥f (x )，那么f (x )在点x 1处有最大值f (x 1).6.最小值f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，如果对于任意x ∈［a ，b ］，f (x 2)≤f (x )，那么f (x )在点x 2处有最小值f (x 2).由图我们可以知道，函数f (x )在［a ，b ］上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a ，b )内的点取到，也可以在a ，b 两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的 三、讲解范例：例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.(1)f (x )=x1，点x =0. (2)g (x )=sin x ，点x =0. 分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便．我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x =0处函数连续的情况，函数f (x )=x 1在点x =0处不连续，因为函数f (x )=x1在点x =0处没有定义. 函数g (x )=sin x 在点x =0处连续，因为函数g (x )=sin x ，在x =0及附近都有定义，0lim →x sin x 存在且0lim →x sin x =0而sin0=0. 解：(1)∵函数f (x )=x1在点x =0处没有定义 ∴它在点x =0处不连续. 解：(2)∵0lim →n sin x =0=sin0，∴函数g (x )=sin x 在点x =0处是连续的. 点评：写g (x )=sin x 在点x =0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了． 例2 求f (x )=x x ∈［－1，1］的最大值和最小值．解：最大值 f (1)=1；最小值 f (－1)=－1．四、课堂练习：1．下面我们直接从图中，观察函数x =a 处是否连续，并说出理由.（1） （2） （3） （4）（1）连续.因为函数在点x =a 处有定义，极限存在，并且极限值等于在a 点的函数值.(如图(1))(2)不连续.因为函数在x =a 处的极限值不等于在x =a 处的函数值.(如图(2))(3)连续.因为函数在点x =a 处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3))(4)不连续.因为函数在x =a 处没有极限.(如图(4))(5)不连续.因为函数在x =a 处没有定义.(如图(5))2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.(1)f (x )=21x，点x =0 解：∵f (x )在x =0处没有定义. ∴f (x )在x =0处不连续.(2)f (x )=|x |.点x =0解：∵0lim →x f (x )=0=f (0),∴f (x )在x =0处连续. 3.已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<--≤≤--=5.32 6421 ||14 )5(31)(2x x x x x x x x f(1)求f (x )的定义域；(2)作出f (x )的图形；(3)判断f (x )是否处处连续.解：(1)f (x )的定义域是［－4，3.5］.(2)f (x )的图象如图所示.(3)由f (x )的图象可知，在定义域［－4，3.5］上，f (x )在点x =－1处不连续，因为f (x )在x =－1处没有极限.点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数在该点处不连续.4.利用函数的连续性求下列极限.(1)10lim →x (lg 2x +3lg x +4)；(2)x xx e e +-→11lim 0，(3)11lim 31--→x x x 初等函数(比如x α;α常数，指数函数、对数函数、正弦函数等等)在其定义域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续的，这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x =1处不连续，所以不能直接用0lim x x →f (x )=f (x 0)来求极限，可以设法约去分子、分母的公因式，再求极限.解：(1)由于lg 2x +3lg x +4在x =10处连续.因此10lim →x (1g 2x +3lg x +4)=lg 210+3lg10+4=8. (2)由于x x e e +-11在x =0处连续，因此011111111lim 000=+-=+-=+-→e e e e x x x ． (3)由于113--x x 在x =1处不连续. 因此1lim →x 11lim )1)(1()1)(1(lim 116626166266613+++=++-+-=--→→x x x x x x x x x x x x (x =1点为此函数的连续点)3211111666=+++= 五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：①函数f (x )在点x =x 0处有定义.②0lim x x →f (x )存在.③0lim x x →f (x )=f (x 0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理六、课后作业： 1.七、板书设计（略） 八、课后记：。