宏观经济学 数学基础-3-动态规划

第一部分高级宏观经济学的数学基础

高级宏观经济学中许多模型用到了动态最优化理论。这一部分主要介绍动态最优化理论的基本原理和方法，作为学习高级宏观经济学的必要准备知识。

动态最优化理论主要包括变分法、最优控制论和动态规划。

第三讲动态规划

前面两节介绍了用变分法和最优控制理论（即极大值原理）求解动态最优化问题（我们主要介绍的是连续时间问题）。同样，动态最优化问题也可以用动态规划方法来求解。动态规划是美国数学家贝尔曼1957年提出的，同最优控制论一样，动态规划也被说成现代变分法。

动态规划包括离散时间和连续时间两种情形，它在解决离散时间问题时较为方便，我们这里重点讲离散时间下的方法。此外，动态规划可以解决确定性条件下和不确定条件下的动态最优化问题，与变分法和最优控制相比，动态规划是求解不确定下动态最优化问题很方便的工具，但由于要涉及大量其他数学工具以及课程时间所限，我们这里只介绍解决确定性问题的方法。

一、动态规划原理与贝尔曼方程

（一）动态规划问题的特点

（二）贝尔曼方程

二、离散时间无限界期的动态规划贝尔曼方程的形式

动态规划的解

三、经济学应用：新古典增长模型中的消费者最优化问题

模型设定

消费者储存资本并进行投资，即消费者的财富是以资本的形式表示的。在每一期里，消费者都会把资本租给厂商并向厂商出售自己的劳动。假设劳动并不会给消费者带来任何负效用，因此，不论工资率为多少，劳动供给始终是1单位。消费者实际上就相当于在求解如下一个跨期最优化问题：

{}1,0

max ()t t t t c k t U c β+∞

=∑

s.t. 1(1)t t t t t c k w r k ++=++

0lim 0(1)

t

t t t t k r →∞

==+∏

这里，0k 给定，t w 是工资率，t r 是资本的租金率。

如果把消费者的这个最优化问题用贝尔曼方程的方法表示出来，为

{}

11,()max[()()]t t t t t c k v k u c v k β++=+

s.t. 1(1)t t t t t c k w r k ++=++ （1）

0lim 0(1)t

t t t t

k r →∞==+∏

把约束条件（1）代入目标函数中，有

{}1

11()max [(1)]()t t t t t t t k v k u w r k k v k β+++=++-+ （2）

式（2）的一阶条件（对1t k +求偏导）是

11[(1)]()0t t t t t u w r k k v k β++''-++-+= （3）

让式（2）两边对t k 求偏导，并应用包络定理，可以得到

1()[(1)](1)t t t t t t v k u w r k k r +''=++-+ （4）

把式（4）往后挪一期，有

111121()[(1)](1)t t t t t t v k u w r k k r ++++++''=++-+ （5）

用式（5）代替式（3）中的1()t v k +'，可以得到

11()()(1)0t t t u c u c r β++''-++=

该方程就是实现消费者最优的欧拉方程。