实验三动态规划求多段图问题
动态规划_多段图_最小花费通路算法_C语言
动态规划_多段图_最小花费通路算法_C语言动态规划找出多段图的最小花费通路算法（C语言）//算法：#include#include#define MAX 50#define MAX_LEN 100 /*定义顶点之间最大花费（假设最大花费为100）*///结构体定义typedef struct edgenode{ /*定义边表结点结构体*/int adjvertex; /*邻接点编号*/int len; /*该结点与父结点之间的花费*/struct edgenode *next; /*指向下一个邻接点*/} EdgeNode;typedef struct vertexnode{ /*定义顶点结点结构体*/EdgeNode *firstedge; /*边表头指针*/} VertexNode;typedef struct { /*定义邻接表结构体*/VertexNode adjlist[MAX]; /*邻接表*/int vertexNum; /*顶点数*/int edgeNum; /*边数*/} ALGraph;//函数声明ALGraph * CreateALGraph(int vertexNum, int edgeNum);void MultistageGraph(ALGraph *G, int n, int route[], int *minCost);//主函数int main(){ALGraph *G = NULL;int vertexNum, edgeNum; /*顶点数和边数*/int *route; /*从源点到收点的最短路径上的顶点编号*/int minCost; /*最短路径的最小费用*/int i;printf("请输入顶点数和边数：\n");scanf("%d,%d", &vertexNum,&edgeNum);//初始化GG = CreateALGraph(vertexNum, edgeNum);if(!G){return 0;}//初始化route数组route = (int *)malloc(sizeof(int) * vertexNum);MultistageGraph(G, vertexNum, route, &minCost);//输出最小花费路径及最小花费printf("\n最小花费路径是：\n");for(i = 0; i < vertexNum; i ++){printf("%d —> ", route[i]);if(route[i] == (vertexNum - 1)){printf("\b\b\b\b \n");break;}}printf("\n最小花费是：%d\n", minCost);return 0;}/*********************************************************** 函数名称：GreateALGraph函数功能：初始化有向图的邻接表输入：顶点数ertexNum，边数edgeNum输出：指向已初始化完毕的有向图的邻接表指针***********************************************************/ ALGraph * CreateALGraph(int vertexNum, int edgeNum){ ALGraph *G = NULL;int i, j, u, v, info;G = (ALGraph *)malloc(sizeof(ALGraph));if(G){G->vertexNum = vertexNum;G->edgeNum = edgeNum;for(i = 0; i < vertexNum; i ++) {G->adjlist[i].firstedge = NULL;}//给边表结点分配内存空间printf("请输入分段图中各相邻结点的编号及其权值：\n");for(j = 0; j < edgeNum; j ++) {//初始化边结点EdgeNode *pnode = NULL;pnode = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));pnode->next = NULL;//输入相邻结点的编号及其边上的权值scanf("%d,%d,%d", &u, &v, &info);if(pnode){pnode->next = G->adjlist[u].firstedge;G->adjlist[u].firstedge = pnode;pnode->adjvertex = v;pnode->len = info;}else{return NULL;}}}return G;}/***********************************************************函数名称：MultistageGraph函数功能：多段图中利用动态规划找出源点到收点的最小花费通路输入：指向有向图的邻接表指针G，结点个数n，保存最小花费通路结点的数组route，保存最小花费minCost输出：最小花费通路结点的数组route，最小花费minCost***********************************************************/void MultistageGraph(ALGraph *G, int n, int route[], int *minCost){int *cost; /*每个结点到收点的最小费用*/int *path; /*在阶段决策中，各个顶点到收点的最短路径上的前方顶点编号*/int i;//给cost、path、route指针分配n个int大小的内存空间cost = (int *)malloc(sizeof(int) * n);path = (int *)malloc(sizeof(int) * n);//初始化cost、path、route指向的内存空间for(i = 0; i < n; i ++) {cost[i] = MAX_LEN;path[i] = -1;route[i] = 0;}cost[n-1] = 0; /*收点到收点的距离为0*///动态规划过程for(i = i - 2; i >= 0; i --) {EdgeNode *pnode = G->adjlist[i].firstedge;while(pnode && (pnode->len + cost[pnode->adjvertex]) < cost[i]) { cost[i] = pnode->len + cost[pnode->adjvertex];path[i] = pnode->adjvertex;pnode = pnode->next;}}i = 0;while((route[i] != n-1) && (path[i] != -1)) {i ++;route[i] = path[route[i - 1]];}//最小花费*minCost = cost[0];//释放malloc申请的内存空间free(cost);free(path);return;}运行结果：。
多段图算法实验报告
算法分析与设计实验报告课题: 多段图******班级：计算机1101学号：**********目录一、实验目的二、实验内容三、实验要求四、概要设计五、详细设计六、实验心得一、实验目的加深理解动态规划策略，求出多段图中源点到各点的最短路径。
二、实验内容设G=(V,E)是一个赋权有向图，其顶点集V被划分成k>2个不相交的子集Vi: 1≤i≤k，其中，V1和Vk分别只有一个顶点s(称为源)和一个顶点t(称为汇)，图中所有的边(u,v)的始点和终点都在相邻的两个子集Vi和Vi＋1中：u∈Vi，v∈Vi＋1。
找一条从s到t的最短路线。
三、实验要求在上机前写出全部源程序；能在机器上正确运行程序；四、概要设计图采用邻接矩阵表示设P(i，j)是一条从Vi中的结点j到汇点t的最小成本路径，COST(i，j)是这条路的成本。
则从Vi中节点j到t的最小代价为：cost((i,j)=min{cost(i+1,l)+c (j,l) }, l∈Vi+1 ， j∈Vicost(i+1，l)是从Vi+1中节点l 到t的最小代价。
算法概要设计如下：多段图的向前处理算法procedure FGRAPH(G，k，n，P){//G有n个结点的k段图。
E是边集，c[i，j]是边<i,j>的成本。
P[1：k]是最小成本路径。
//COST[n]， D[n一1]，P[k]，r，j，k，nCOST[n]← 0for j←n-1to 1 by -1 do //计算COST[j]//{设r是一个这样的结点，(j，r) E且使c[j，r]+COST[r]取最小值COST[j]←c[j，r]+COST[r]D[j]←r} //向前对j-1进行决策//P[1]←1P[k]←nfor j←2 to k-1 do //找路径上的第j个节点//P[j]←D [ P[j-1] ]五、详细设计：#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define N 12#define K 5#define MAX 23767int cost[N][N];int path[K];typedef struct node{int v;int w;struct node *next;}node;node L[N];void init(node *L[]){int i, j;node *p, *q;for (i = 0; i < N; i++)for (j = 0; j < N; j++)cost[i][j] = MAX;cost[0][1] = 9;cost[0][2] = 7;cost[0][3] = 3;cost[0][4] = 2;cost[1][5] = 4;cost[1][6] = 2;cost[1][7] = 1;cost[2][5] = 2;cost[2][6] = 7;cost[3][7] = 11;cost[4][6] = 11;cost[4][7] = 8;cost[5][8] = 6;cost[5][9] = 5;cost[6][8] = 4;cost[6][9] = 3;cost[7][9] = 5;cost[7][10] = 6;cost[8][11] = 4;cost[9][11] = 2;cost[10][11] = 5;/*生成邻接表*/for (i = 0; i < N; i++)L[i] = (node *)malloc(sizeof(node));for (i = 0; i < N; i++){q = L[i];for (j = 0; j < N; j++)if (cost[i][j] > 0 && cost[i][j] < MAX){p = (node *)malloc(sizeof(node));p->v = j;p->w = cost[i][j];q->next = p;q = p;}q->next = NULL;}}void Method1() /*使用邻接矩阵存储*/{int i, j, maxlen, temp, v[N], d[N];for (i = 0; i < N; i++)v[i] = 0;for (i = N - 2; i >= 0; i--){for (maxlen = MAX, j = i + 1; j <= N - 1; j++)if (cost[i][j] > 0 && cost[i][j] + v[j] < maxlen){maxlen = cost[i][j] + v[j];temp = j;}v[i] = maxlen;d[i] = temp;}path[0] = 0;path[K-1] = N - 1;for (i = 1; i <= K - 2; i++)path[i] = d[path[i-1]];}void Method2(node *L[]) /*使用邻接表存储*/ {int i, j, maxlen, temp, v[N], d[N];node *p;for (i = 0; i < N; i++)v[i] = 0;for (i = N - 2; i >= 0; i--){p = L[i]->next;maxlen = MAX;while (p){if (p->w + v[p->v] < maxlen){maxlen = p->w + v[p->v];temp = p->v;}p = p->next;}v[i] = maxlen;d[i] = temp;}path[0] = 0;path[K-1] = N - 1;for (i = 1; i <= K - 2; i++)path[i] = d[path[i-1]];}void print(){int i;for (i = 0; i < K; i++)printf("%d ", path[i] + 1);printf("\n");}int main(){init(&L);printf("最短路径:\n ");Method1();print();printf("最短路径:\n");Method2(&L);print();system("pause");return 0;}六．实验心得通过本次试验，掌握了动态规划的思想，即如果一个问题的最优解可以分解为找子问题的最优解，那么即可使用动态规划。
一、用动态规划方法手工求解下面的问题：
一、用动态规划方法手工求解下面的问题：生产单位产品的成本费为1(千元)。
同时，在任何一个月内，生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位。
又知每单位产品的库存费用为每月0.5(千元)，同时要求在第一个月开始之初， 及在第四个月末，均无产品库存。
问：在满足上述条件下，该厂应如何安排各个时期的生产与库存，使所花的总成本费用最低？解：这是一个多阶段问题，我们按照计划时间自然划分阶段。
状态变量k x 定义为第k 月月初时的存储量，决策变量k u 定义为第k 月的产量，记每个月需求量为k s ，则状态转移方程为：4,3,2,1,0,1=≥-+=+k x s u x x k k k k k第k 月允许决策集合 }60|{)(≤≤=k kk k u u x D阶段指标为阶段的生产成本费用和存储费用之和，即：⎩⎨⎧=>++=00035.0),(k k k k k k k u u u x u x v指标函数为∑==41,1),(k k k k n u x v V)(k k x f 表示由第k 月出发采用最优方案到第4月月底4个月时间内总成本{}1,2,3,4,)(),(min )(11)(=+=++∈k x f u x v x f k k k k k x D u k k k k k由条件可得到递推式：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎩⎨⎧=>++==++∈}00035.0{min )(0)(11)(55k k k k k k x D u k k x f u u u x x f x f k k k k=4,3,2,1()}00035.0{min )(554444)(44444x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(44444354x D x x s x u ∈-=-+=4f (0)=7 4u =4 4f (1)=6.5 4u =3 4f (2)=6 4u =2 4f (3)=5.54u =1 4f (4)=24u =0()}00035.0{min )(443333)(33333x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(233343343x D x x x s x u ∈-+=-+= 3f (0) = min {12, 12.5, 13, 13.5, 11} = 11 3u =63f (1) = min {11.5, 12, 12.5, 13, 10.5} = 10.53u =6 3f (2) = min {8, 11.5, 12, 12.5, 10} = 8 3u =0 3f (3) = min {8, 11.5, 12, 9.5} = 8 3u =0 3f (4) = min {8, 11.5, 9} = 83u =0 3f (5) = min {8, 8.5} = 8 3u =0 3f (6) = min {5} = 53u =0()}00035.0{min )(332222)(22222x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(322232232x D x x x s x u ∈-+=-+=2f (0) = min {17, 17.5, 16, 17} = 162u =52f (1) = min {16.5, 17, 15.5, 16.5, 17.5} = 15.5 2u =4 2f (2) = min {16, 16.5, 15, 16, 17, 18} = 152u =3 2f (3) = min {12.5, 14, 14.5, 15.5, 16.5, 17.5, 15.5} = 12.52u =0 2f (4) = min {12.5, 14, 15, 16, 17, 15} = 12.52u =0 2f (5) = min {10.5, 14.5, 15.5, 16.5, 14.5} = 10.52u =0 2f (6) = min {11, 15, 16, 14} = 112u =0()}00035.0{min )(221111)(11111x f u u u x x f x D u +⎩⎨⎧=>++=∈)(211121121x D x x x s x u ∈-+=-+= 1f (0) = min {21, 21.5, 22, 20.5, 21.5} = 20.51u =5逆推可得 u={5, 0, 6, 0} x={0, 3, 0, 4}即第1个月生产5单位产品，第4个月生产6单位产品，第2、3月不生产。
算法设计与分析-多段图最短路径问题
算法设计与分析-多段图最短路径问题关于多段图最短路径问题的探讨摘要：本⽂主要描述的是分别⽤动态规划法、贪⼼法和分⽀限界法来解决多段图最短路径问题时的情况，并在附录中附有实际问题的程序来辅助阐述观点。
⽂章⾸先阐述了各个⽅法的原理，主要的思路是通过输⼊⼀组数据，⽐较三者的输出结果的准确性以及运⾏时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。
另外，众所周知，多段图是有向图的⼀个简单的模型，它在有向图的基础上忽略了两点之间的线的双向性的问题，并且对点与点之间的线有很多的要求，从⽽把图简化为可分为⼏段的模式，⽂章最后讲述了若这⼏种⽅法运⾏到有向图中的情况，⼏种⽅法的对⽐和它们⽐较适应的使⽤情况的讨论，并给出了⾃⼰的建议。
关键字：多段图最短路径问题动态规划法分⽀限界法多段图与有向图的关系有向图最短路径算法引⾔：当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。
例如在开车⾃驾游的⼀个过程中，排除其他影响因素，从⼀个地点到另⼀点，这个时候必然是希望有⼀条距离最短的路程来尽量减少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很⼤的需求，因此，这⾥我将讨论多段图的最短路径的问题。
在早些时间的课程中，我们学习过数据结构这门课程，其中就包括最短路径这⽅⾯的讨论。
当时⽼师给我们介绍了分别⾯向单源（Dijkstra算法）与⾮单源（Floyd算法）两种问题的算法法---,这是我们最早的对最短路径⽅⾯的理解，也是我们接触的⽐较早的关于图的问题。
在这学期的算法课程中，我们学习了许多了⽅法，包括贪⼼法、动态规划法等算法，它们把以前学习的许多⽅法都命名并归纳分类起来，其中有许多算法都是可以⽤来解决这个最短路径的问题的，并且该问题作为⼀个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很⼤，本⽂将就不同算法在解决该最短路径问题时的不同⽅法进⾏对⽐并给出该问题在不同基础上不同的最终解决⽅案。
由于时间的限制，本⽂将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制，最后会对其他的图做⼀些拓展。
多段图问题_动态规划法
多段图问题_动态规划法先简单叙述⼀下动态规划的步骤问题和思路代码如下1 #include<bits/stdc++.h>2 using namespace std;3 int cost[10];4 int path[10];5 int array1[10][10];6 int main()7 {8 memset(cost,0,sizeof(cost));9 memset(path,0,sizeof(path));10 memset(array1,0,sizeof(array1));11 cout << "请输⼊多段图的边数" << endl;12 int m;//1813 cin >> m;14 cout << "请依次输⼊多段图的起点终点和路径长度" << endl;15 int start;16 int stop;17 int length;18 for(int i=0;i<18;i++){19 cin >> start >> stop >> length;20 array1[start][stop]=length;21 }22 for(int i=8;i>=0;i--){23 cost[i]=9999;24 for(int j=i;j<10;j++){25 if(array1[i][j]!=0){//等于零表⽰之间没有路26 if(array1[i][j]+cost[j]<cost[i]){//此时找到⼀条更短的路27 path[i]=j;//更新path[i]28 cost[i]= array1[i][j]+cost[j];//更新从该节点出发的最短路径29 }30 }31 }32 }33 cout << "最短路径长度是" << cost[0];34 cout <<endl;35 cout << "最短路径为"<< endl;36 int i=0;37 cout << "0--->";38 while(true){39 cout << path[i];40 i=path[i];41 if(i==9){42 break;43 }44 cout << "--->" ;45 }46 return 0;47 }运⾏结果如下。
求解多段图问题的并行动态规划算法
求解多段图问题的并行动态规划算法崔焕庆;王英龙【期刊名称】《计算机应用与软件》【年(卷),期】2011(028)012【摘要】Multistage graph problem is a special single-source shortest path problem. Based on two kinds of implementations of sequential dynamic programming method, two parallel algorithms with vertex-number-based task partition in cluster are given. Both of them are implemented by MPI. Experimental results indicated that these algorithms have lower time and communication complexity and higher speedup ratio. The algorithms can also be used in any structure of cluster and is of high universality.%多段图问题是一类特殊的单源最短路径问题.在串行动态规划算法的两种实现方法的基础上,根据图中顶点的编号,提出两种在集群环境下进行任务分割的并行化求解方法,并使用MPI进行实现.实验结果表明,所提出的算法具有较高的加速比和较低的通信复杂度、时间复杂度.算法不限于某种结构的集群,通用性强.【总页数】3页(P32-34)【作者】崔焕庆;王英龙【作者单位】山东科技大学信息科学与工程学院山东青岛266510;山东省计算机网络重点实验室山东济南250014;山东省计算中心山东济南250014;山东省计算机网络重点实验室山东济南250014;山东省计算中心山东济南250014【正文语种】中文【中图分类】TP30【相关文献】1.基于改进动态规划算法的复杂网络图最短路径求解 [J], 房茂燕;汪民乐;尹香麒2.求解并行加热炉群调度问题的三阶段算法 [J], 李铁克;王柏琳;赵艳艳3.求解最大团问题的并行多层图划分方法 [J], 顾军华;霍士杰;武君艳;尹君;张素琪4.基于二叉决策图的状态组合爆炸问题并行求解方法 [J], 叶雄;杨皓栋;;5.贪心核加速动态规划算法求解折扣{0-1}背包问题 [J], 史文旭;杨洋;鲍胜利因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
算法设计与分析实验报告
实验一找最大和最小元素与归并分类算法实现（用分治法）一、实验目的1．掌握能用分治法求解的问题应满足的条件；2．加深对分治法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
二、实验内容1、找最大和最小元素输入n 个数，找出最大和最小数的问题。
2、归并分类将一个含有n个元素的集合，按非降的次序分类（排序）。
三、实验要求（1）用分治法求解问题（2）上机实现所设计的算法；四、实验过程设计（算法设计过程）1、找最大和最小元素采用分治法，将数组不断划分，进行递归。
递归结束的条件为划分到最后若为一个元素则max和min都是这个元素，若为两个取大值赋给max，小值给min。
否则就继续进行划分，找到两个子问题的最大和最小值后，比较这两个最大值和最小值找到解。
2、归并分类使用分治的策略来将一个待排序的数组分成两个子数组，然后递归地对子数组进行排序，最后将排序好的子数组合并成一个有序的数组。
在合并过程中，比较两个子数组的首个元素，将较小的元素放入辅助数组，并指针向后移动，直到将所有元素都合并到辅助数组中。
五、源代码1、找最大和最小元素#include<iostream>using namespace std;void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin); int main() {int n;int left=0, right;int fmax, fmin;int num[100];cout<<"请输入数字个数：";cin >> n;right = n-1;cout << "输入数字:";for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}MAXMIN(num, left, right, fmax, fmin);cout << "最大值为：";cout << fmax << endl;cout << "最小值为：";cout << fmin << endl;return 0;}void MAXMIN(int num[], int left, int right, int& fmax, int& fmin) { int mid;int lmax, lmin;int rmax, rmin;if (left == right) {fmax = num[left];fmin = num[left];}else if (right - left == 1) {if (num[right] > num[left]) {fmax = num[right];fmin = num[left];}else {fmax = num[left];fmin = num[right];}}else {mid = left + (right - left) / 2;MAXMIN(num, left, mid, lmax, lmin);MAXMIN(num, mid+1, right, rmax, rmin);fmax = max(lmax, rmax);fmin = min(lmin, rmin);}}2、归并分类#include<iostream>using namespace std;int num[100];int n;void merge(int left, int mid, int right) { int a[100];int i, j,k,m;i = left;j = mid+1;k = left;while (i <= mid && j <= right) {if (num[i] < num[j]) {a[k] = num[i++];}else {a[k] = num[j++];}k++;}if (i <= mid) {for (m = i; m <= mid; m++) {a[k++] = num[i++];}}else {for (m = j; m <= right; m++) {a[k++] = num[j++];}}for (i = left; i <= right; i++) { num[i] = a[i];}}void mergesort(int left, int right) { int mid;if (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;mergesort(left, mid);mergesort(mid + 1, right);merge(left, mid, right);}}int main() {int left=0,right;int i;cout << "请输入数字个数：";cin >> n;right = n - 1;cout << "输入数字:";for (i = 0; i < n; i++) {cin >> num[i];}mergesort(left,right);for (i = 0; i < n; i++) {cout<< num[i];}return 0;}六、运行结果和算法复杂度分析1、找最大和最小元素图1-1 找最大和最小元素结果算法复杂度为O(logn）2、归并分类图1-2 归并分类结果算法复杂度为O(nlogn）实验二背包问题和最小生成树算法实现（用贪心法）一、实验目的1．掌握能用贪心法求解的问题应满足的条件；2．加深对贪心法算法设计方法的理解与应用；3．锻炼学生对程序跟踪调试能力；4．通过本次实验的练习培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。
6.多段图问题
ForwardShortestPath(float c[][n], int k, int n) { float C[n]; int d[n], p[k]; C[0:n-2]=MAX; C[n-1]=0; for(i=n-2; i>=0; i--) for(j=i+1; j<=n-1; j++) if((c[i][j]>0)&&(c[i][j]+C[j]<C[i])) { C[i]=c[i][j]+C[j]; d[i]= j; } for(p[0]=0, p[k-1]=n-1, i=1; i<k-1; k++) p[i]=d[p[i-1]]; } 时间复杂度: 时间复杂度 邻接表 O(n+e) 邻接矩阵 O(n2)
向前递推算法
c[n][n]: <i,j>∈E, c[i][j]>0; < i,j >∉E, c[i][j]=-1; c[i][i]=0. ∈ C[n]: 各节点到汇点的最短路径， C[i] = min{c[i][ j] + C[ j]} 各节点到汇点的最短路径，
j∈ s V
d[n]: 各节点到 最小成本路径上的后向邻接节点 各节点到t最小成本路径上的后向邻接节点 p[k]: 存储 到t最小成本路径上的节点编号 存储s到 最小成本路径上的节点编号 最小成本路径上的节点编号.
xk ⇐(xk+1, L,xn-1,xn ), xk = opt{xi , Γk+1}, xi ∈Sk .
3) 向后递推
(x1, x2 ,L,xk-1) ⇒ xk , xk = opt{Γk−1, xi }, xi ∈Sk .
多段图 (multistage graph)
算法设计与分析 多段图问题
多段图问题多段图是一种简单而经典的使用动态规划算法的模型，它既能有效地反映动态规划算法的基本特征，而且在实际问题中有较多的应用。
图6-2-1 多段图的动态规划算法执行过程最优值递推关系式为{}),1(),(min),(),(,1l i COST l j c j i COST El j V l i ++=∈∈+ (6.2.1)根据(6.2.1)式，我们可以由后向前逐步确定各阶段中的顶点到汇顶点t 的最短路径。
对于如上的5阶段网络图，蓝色字体标出了各顶点到汇顶点t 的最短距离。
图6-2-2 由前向后的处理方法（备忘录方法） 事实上，我们也可以由前向后逐步确定由源顶点s 到各阶段中顶点的最短路径，此时的递归关系为{}),(),1(min),(),(,1j l c l i BCOST j i BCOST Ej l V l i +-=∈∈- (6.2.2)上图中的红色字体标出了由源顶点s 到各顶点的最短距离。
程序6-2-2 多段图的动态规划算法伪代码MultiGraph(E, k, n, P) //有n 个顶点的k 段图G （按段序统一编号）， //E 是边集，c(i, j)是边(i, j)的成本，P[1:k]是最小成本路径。
1 real COST(n); integer D(n-1)，P(k), r, j, k, n;2 COST(n)=0;3 for j from n-1 by –1 to 1 do4设r 是这样一个顶点，(j, r)∈E 且使得c(j, r)+COST(r)取最小值18 5 427 7 5971615 7 V 1 V 2 V 3 V 4 V 51 t s 37 2 9224 6117811 345 26 5544 5 32 6 78 91011 1211 t s 3 72 9 2 24 611 7 8 11 3 4 5 2 6 5 5 4 9 2 3 7 9100111 160140 130 16 V 1 V 2 V 3 V 4 V 54 5 3 267 8 91011 12 15 COST(j)= c(j, r)+COST(r);6 D(j)=r;7endfor8P(1)=1; P(k)=n;9for j from 2 to k-1 do10 P(j)=D(P(j-1));11endfor12 end MultiGraph这里，D(j)将由j到汇顶点t的最短路径上j后面的顶点记录下来，P(j)则记录由源顶点s到汇顶点t的最短路径上处于第j阶段中的顶点。
西电算法导论上机实验报告
算法导论上机实验报告册班级：xxxxxx学号：xxxxxxx 姓名：xxxx 教师：xxxxxx目录实验一排序算法 (1)题目一： (1)1、题目描述： (1)2、所用算法： (1)3、算法分析： (1)4、结果截图： (1)5、总结： (2)题目二： (3)1、题目描述： (3)2、所用算法： (3)3、算法分析： (3)4、结果截图： (3)5、总结： (4)题目三： (4)1、题目描述： (4)2、所用算法： (4)3、算法分析： (5)4、结果截图： (5)5、总结： (5)题目四： (6)1、题目描述： (6)3、算法分析： (6)4、结果截图： (6)5、总结： (7)实验二动态规划 (7)题目一： (7)1、题目描述： (7)2、所用策略： (7)3、算法分析： (7)4、结果截图： (8)5、总结： (8)题目二： (9)1、题目描述： (9)2、所用策略： (9)3、算法分析： (9)4、结果截图： (9)5、总结： (10)题目三： (10)1、题目描述： (10)2、所用策略： (10)3、算法分析： (10)4、结果截图： (11)题目四： (12)1、题目描述： (12)2、所用策略： (12)3、算法分析: (12)4、结果截图： (12)5、总结： (13)题目五： (13)1、题目描述： (13)2、所用策略： (13)3、算法分析： (13)4、结果截图： (14)5、总结： (14)实验三贪心算法 (14)题目一： (14)1、题目描述： (14)2、所用策略： (14)3、算法分析： (14)4、结果截图： (15)5、总结： (16)题目二： (16)1、题目描述： (16)3、算法分析： (16)4、结果截图： (17)5、总结： (17)题目三： (17)1、题目描述: (17)2、所用算法： (18)3、算法分析： (18)4、结果截图： (18)5、总结： (19)题目四： (19)1、题目描述： (19)2、所用算法： (19)3、算法分析： (19)实验四回溯法 (19)题目一： (19)1、题目描述： (20)2、所用策略： (20)3、算法分析： (20)题目二： (21)1、题目描述： (21)2、所用策略： (21)实验一排序算法题目一：1、题目描述：描述一个运行时间为θ(nlgn)的算法，给定n个整数的集合S和另一个整数x，该算法能确定S中是否存在两个其和刚好为x的元素。
算法实验3-最大子段和问题实验报告
昆明理工大学信息工程与自动化学院学生实验报告（ 2011 — 2012 学年 第 1 学期 ）课程名称：算法设计与分析 开课实验室：信自楼机房444 2012 年12月 14日一、上机目的及内容1.上机内容给定有n 个整数（可能有负整数）组成的序列（a 1,a 2,…,a n ），求改序列形如∑=jk ka1的子段和的最大值，当所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。
2.上机目的（1）复习数据结构课程的相关知识，实现课程间的平滑过渡； （2）掌握并应用算法的数学分析和后验分析方法；（3）理解这样一个观点：不同的算法能够解决相同的问题，这些算法的解题思路不同，复杂程度不同，解题效率也不同。
二、实验原理及基本技术路线图（方框原理图或程序流程图）（1）分别用蛮力法、分治法和动态规划法设计最大子段和问题的算法； 蛮力法设计原理：利用3个for 的嵌套（实现从第1个数开始计算子段长度为1，2，3…n 的子段和，同理计算出第2个数开始的长度为1，2，3…n-1的子段和，依次类推到第n 个数开始计算的长为1的子段和）和一个if （用来比较大小）,将其所有子段的和计算出来并将最大子段和赋值给summax1。
用了3个for 嵌套所以时间复杂性为○(n 3)；分治法设计原理：1）、划分：按照平衡子问题的原则，将序列（1a ，2a ，…，na ）划分成长度相同的两个字序列（1a ，…，⎣⎦2/n a ）和（⎣⎦12/+n a ，…，na ）。
2）、求解子问题：对于划分阶段的情况分别的两段可用递归求解，如果最大子段和在两端之间需要分别计算s1=⎣⎦⎣⎦)2/1(max2/n i an ik k≤≤∑=，s2=⎣⎦⎣⎦)2/(max12/n j n ajn k k≤≤∑+=，则s1+s2为最大子段和。
若然只在左边或右边，那就好办了，前者视s1为summax2,后者视s2 o summax2。
3）、合并：比较在划分阶段的3种情况下的最大子段和，取三者之中的较大者为原问题的解。
动态规划_多阶段决策问题的求解方法
动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。
使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段态的思维方法。
动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。
这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。
3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。
一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。
策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。
二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。
原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。
多段图的最短路劲问题,动态规划法 分析最优性原理
多段图的最短路劲问题,动态规划法分析最优性原理我们都知道，无论是初中还是高中，数理化的学习过程中都是非常重要的。
其中，最短路劲问题，是数学考试当中常考的题型之一。
它的难度在初中数学中是比较大的。
很多同学在学习该题的时候也十分头疼，因为该问题通常采用动态规划法求解即可。
所谓动态规划法，其实就是由求解方程组而得到结论最优的方法。
那么今天我们就来学习一下如何进行简单易操作并将其运用于实际之中吧！一、解题思路通过观察题目，我们可以得到题目中由图 a,图 b组成的最短路劲问题的求解法：求 a={a, b, c},其中 a、 b、 c表示两段图之间的相交点。
求 a最短路劲，我们可以根据不同的情况选择不同的方法来求解。
当我们在做题过程中遇到困难时，可以通过求解最短路劲问题来了解分析它所需要处理的基本数学原理，从而达到解决此题的目的。
根据题目中提供的信息可知，多段图对于图 b而言，最短路劲要求它具有不同的解题思路。
二、求最优解的基本方法最优解的求解方法有两种：一者为连续变量的最大值问题，二者为连续不变量。
这种问题的解决方法一般为：以图中 A点的起始位置（也就是 A与 B)作为计算基点，依次以 A点、 B 点进行一次求解方程组，再将方程组进行解析，得到最优解；或者以相同的方法求出各点的余数，得出最优解。
求解过程中需要注意两个问题：第一个问题是求方程组时不一定要选择整数、整列代入、整阶运算；第二个问题只要找到方程中关键的最优解即可。
所以在求最优解时需要掌握正确的方法，同时也要注意以下几个方面：三、动态规划法分析分析：将图中已知状态矩阵代入所求题中，可得到：设图中状态矩阵 B和状态矩阵 A是多段图中唯一正确状态的解，因此 B和 C是正确的解；设状态矩阵 A是已知状态矩阵-状态式解，则 AC和 AC是正确的解；由于状态矩阵 B和状态矩阵 A是正确方程组式外部分与状态矩阵 a、b、 c、 d四等分函数相关，因此 AC和 AC就是正确方程组。
多种方法求多段图的最短路径问题算法设计与分析课程设计
《算法设计与分析 B》 大作业
题目
学院 专业 班级 姓名 指导教师
多种方法解决多段图的最短 路径问题
计算机科学与技术学院
软件工程
2014 年 12 月 26 日
武汉理工大学《算法设计与分析》课程设计
多种方法解决多段图的最短路径问题
摘要
多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。本文主要描述的是分别用 动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况。文章首先阐述了 各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运 行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。文章最后讲述了若这几种方法运行到 有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建 议。
大二开设的《数据结构》课程中就包括最短路径这方面问题的讨论。当时老师介绍了 分别面向单源（Dijkstra 算法）与非单源（Floyd 算法）两种问题的算法——这是我们最早 的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。
在这学期的《算法设计与分析》课程中，我们学习了很多基本的算法设计技术，蛮力 法、分治法、减治法、动态规划法、贪心法、回溯法、分支限界法等，它们把以前学习的 诸多方法都命名并归纳分类起来，其中有多种算法都可以用来解决最短路径问题，并且该 问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大、本文将就不同算法在解决 该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。 由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制， 最后会对其它的图做一些拓展。
由于多段图将顶点划分为 k 个互不相交的子集，所以，可以将多段图划分为 k 段，每 一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段 内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为 n，则源点 s 的编号为 0，终点 t 的编 号为 n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点 u 的编号小于顶点 v 的编号。
动态规划_多阶段决策问题的求解方法
动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。
使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段态的思维方法。
动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。
这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。
3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。
一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。
策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。
二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。
任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。
这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。
原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。
多段图问题的动态规划算法与实现
多段图问题的动态规划算法与实现一、设计目的1.掌握有向网的成本邻接矩阵表示法；2.掌握多段图问题的动态规划递推算法；3.进一步掌握动态规划法的基本思想和算法设计方法；二、设计内容1．任务描述已知有向图有12个顶点，21条边，起点为S，终点为E，求从S到E的最小成本花费W。
(如图)起点终点花费起点终点花费起点终点花费1 2 9 4 8 11 9 12 41 3 7 5 7 11 10 12 21 4 3 5 8 8 11 12 51 52 6 9 62 6 4 6 10 52 7 2 7 9 42 8 1 7 10 103 6 2 8 10 153 7 7 8 11 162．主要数据类型与变量void ForwardShortestPath(int c[][N], int m)功能：运用动态规划的思想，逐级向后递推，找到最段的路径。
C[n]: 各节点到汇点的最短路径c[][N]：成本邻接矩阵, N为顶点数int m; /* 节点编号 */三、结果[输入要求]有多组测试数据，第一行输入S(1<=S<12)，其中S为起点，E=12为终点，[输出要求]每组测试数据对应一个输出，输出S到终点E最小成本花费W[样例输入]12[样例输出]16源代码：#include<stdio.h>#define M 21#define N 12void ForwardShortestPath(int c[][N], int m){int i,j;int C[N]; //各节点到汇点的最短路径for(i=0;i<=N-1;i++)C[i]=100;C[N-1]=0;for( i=N-1; i>=0; i--){for( j=i+1; j<=N-1; j++)if((c[i][j]>0)&&(c[i][j]+C[j]<C[i]))C[i]=c[i][j]+C[j];if(i==m-1) printf("%d\n", C[m-1]);}}void main(){int i,j,vs=0,ve=0,cost=0;//vs，ve 顶点，cost成本。
算法分析与设计作业参考答案
《算法分析与设计》作业参考答案作业一一、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
2.程序：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
二、简答题：1.算法需要满足哪些性质？简述之。
答：算法是若干指令的有穷序列，满足性质：（1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。
（2）输出：算法产生至少一个量作为输出。
（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。
（4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。
2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。
答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质； （3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
3.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。
答：将递归算法转化为非递归算法的方法主要有：（1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。
该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
（2）用递推来实现递归函数。
（3）通过Cooper 变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。
三、算法编写及算法应用分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i do if a[j]<a[j+1] then交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。
答：排序算法的基本运算步为元素比较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求比较次数与n 的关系。
（1）设比较一次花时间1；（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：∑-=-=in j i n 1)(1（3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计一个分治算法计算一棵二叉树的高度。
多段图最短路径_动态规划
多段图最短路径【源程序】//本程序测试用例为作业题#include <stdio.h>//#define LOCALconstint MAX = 10000;int c[100][100];//图的存储矩阵int cost[100], path[100];intCreateGraph(){#ifdef LOCALfreopen("data.in", "r", stdin);freopen("data.out", "w", stdout);#endif // LOCALinti, j, k;int weight;//权重intvnum, arcnum;//顶点数，边数printf("请输入顶点的个数和边的个数：");scanf("%d%d",&vnum, &arcnum);for(i=0; i<vnum; i++)//初始化图的代价矩阵for(j=0; j<vnum; j++){c[i][j]=MAX;}printf("请输入边的两个顶点和权值：\n");for(k=0; k<arcnum; k++)//建立图的代价矩阵{scanf("%d%d%d",&i, &j, &weight);c[i][j]=weight;}return vnum;}intBackPath(int n)//求n个顶点的多段图的最短路径{for(inti=0; i<n-1; i++)//初始化两个数组{cost[i]=MAX;path[i]=-1;}cost[n-1]=0;//对于最后一个顶点要进行特殊的初始化path[n-1]=-1;for(inti=n-2; i>=0; i--)for(int j=i+1; j<n; j++)if(c[i][j]+cost[j]<cost[i]){cost[i]=c[i][j]+cost[j];path[i]=j;}printf("最短路径为：\n");printf("0");inti=0;while(path[i]>=0){printf("->%d",path[i]);i=path[i];}printf("\n\n");return cost[0];}int main(){int a = CreateGraph();printf("最短路径长度为：%d\n\n", BackPath(a));printf("cost数组为：\n");for(inti=0; i<a; i++)printf("%3d",cost[i]);printf("\n\n");printf("path数组为：\n");for(inti=0; i<a; i++)printf("%3d",path[i]);printf("\n");return 0;}【运行结果】。
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d[i]=temp;
}
path[0]=0;//起点
path[k-1]=n-1;//最后的目标
for(i=1;i<=k-2;i++) (path[i])=d[path[i-1]];//将最短路径存入数组中
}
void printpath()
{ int i;
for(i=0;i<k;i++)
int path[k]; //存储最短路径的数组
void creatgraph() //创建图的(成本)邻接矩阵
{ int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
scanf("%d",&cost[i][j]);//获取成本矩阵数据
}
void printgraph() //输出图的成本矩阵
printf("%d ",path[i]);
}
int main()
{
creatgraph();
pri34;输出使用向前递推算法所得的最短路径:\n");
printpath();
printf("\n输出使用向后递推算法所得的最短路径:\n");
printpath();
实验三动态规划求多段图问题
实验项目算法实验动态规划实验
一、实验目的
1.掌握动态规划算法的基本思想
2.掌握多段图的动态规划算法
3.选择邻接表或邻接矩阵方式来存储图
4、分析算法求解的复杂度。
二、实验内容
4.掌握动态规划算法的基本思想
5.掌握多段图的动态规划算法
6.选择邻接表或邻接矩阵方式来存储图
4、分析算法求解的复杂度。
{ int i,j;
printf("成本矩阵:\n");
for(i=0;i<n;i++)
{ for(j=0;j<n;j++)
printf("%d ",cost[i][j]);
printf("\n");
}
}
//使用向前递推算法求多段图的最短路径
void FrontPath()
{ int i,j,length,temp,v[n],d[n];
三、实验环境
程序设计语言：c++
编程工具：microsoft visual studio 2010
四、算法描述和程序代码
#include "stdio.h"
#define n 7 //图的顶点数
#define k 4 //图的段数
#define MAX 23767
int cost[n][n]; //成本值数组
printf("\n");
return 0;
}
五、实验结果截图
六、实验总结
在做实验的过程中，要按部就班，首先明确实验目的，然后进行分析，写算法程序，最后调试运行，不能粗枝大叶，做的过程要细心谨慎，自己不会的通过向别人请教，总之上机实践的过程会学到很多。
for(i=0;i<n;i++) v[i]=0;
for(i=n-2;i>=0;i--)
{ for(length=MAX,j=i+1;j<=n-1;j++)
if(cost[i][j]>0 && (cost[i][j])+v[j]<length)
{length=cost[i][j]+v[j]; temp=j;}