中国剩余定理
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
依定理译成算式解为： 70×2＋21×3＋15×2＝233 233－105×2＝23
一些关于中国剩余定理的定理：
定理1：几个数相加，如果只有一个加数， 不能被数a整除，而其他加数均能被数a整 除，那么它们的和，就不能被数a整除。
如：10能被5整除，15能被5整除，但7 不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5 整除。
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d)==4 && !(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)){
j++;
k=(i*a+p*b+e*c-d+21252)%(23*28*33);
if(k>0)
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",j,k);
X *= C;
if(X < 0) X += ((-X/B) + 1) * B;
else if(X > 0) X -= (X/B)*B;
printf("%I64d\n", X);
}
}
模板：
基础数： int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y) { int d; if(b == 0) {x = 1; y = 0; return a;} d = extended_euclid(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; }
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d
days.\n",j,k);
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252
days.\n",j);
}
return 0;
}
Hdoj 1730
现在人的解法：
用各除数的“基础数”法解。
基础数的条件：
（1）此数必须符合除数自身的余数条件； （2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。
第一步：
求各除数的最小公倍数
［3，5，7］＝105
第二步： 求各除数的基础数
（1）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵1×3＝3 21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵1×2＝2 ∴15×2＝［30］
A = n - m; B = l; C = x - y;
gcd = GCD(A, B);
if(C % gcd != 0) {
printf("Impossible\n"); continue;
}
A = A/gcd; B = B/gcd; C = C/gcd;
exp_gcd(A, B, X, Y);
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=13
70
跟PKU1006一样，只是要注意输入。
scanf("%d",&x);
while(x)
{
getchar();
x--;
}
Hdoj 1573
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?p id=1573
__int64 exGcd (__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y){
__int64 tmp, d;
if (b == 0){
x = 1; y = 0; d = a;
}
else {
d = exGcd (b, a % b, x, y);
scanf ("%I64d%I64d", &m1, &a1);
n--; flag = 0;
while (n--) {
scanf ("%I64d%I64d", &m2, &a2);
d = exGcd (m1, m2, x, y);
if ((a2 - a1) % d != 0) flag = 1;
__int64 m = 1;
while(m) {
m = a%b； a = b; b = m;
}
return a;
}
__int64 x, y, m, n, l, A, B, C;
__int64 gcd;
int main(){
while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &l) != EOF) {
第三步： 求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个）
128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）
这个步骤让我想起了韩信点兵：
传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部 下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵 分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结 果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人， 后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立 即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2）， 由于已经知道士兵总人数在2300?/FONT>2400 之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相 邻两数的间隔是105，便立即说出实际人数应是 2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3 余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官 十分敬佩，这
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/proble m?id=2891
大意： 给出K对整数，每对整数假设是A和B，则
一个数N，它除以A余B，求满足这K对整数 的整数N。 （直接用剩余定理）
代码：PKU2891
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int i,p,e,d,k,j=0;
wenku.baidu.com
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) && !(p==-1 && i==-1 &&
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252 days.\n",j);
}
return 0;
}
改进版：PKU1006
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
（1）21＋2=23 23÷5＝4……3
由此可以过一题：pku1006
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id= 1006
题目大意： 人的身体，情感，智力的高峰低谷都由周期，分
别是23天，28天和33天，现在给出身体，情感， 智力的起始天，请计算由此天开始的第几天会达 到三个方便的峰值，输出此峰值。 思路： 运用中国剩余定理解得基准数，次数再减去起始 天D，再加上23，28，33的最小公倍数21252， 其值就是答案。
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足： X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
0 < N <= 1000,000,000
Pku 2891
代码：PKU1061
#include <iostream>
using namespace std;
__int64 X, Y;
__int64 exp_gcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &X, __int64 &Y){
__int64 q, temp;
}
return 0;
}
PKU 1061 青蛙的约会
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id= 1061
大意：青蛙A和青蛙B，规定纬度线上东经0度处 为原点，一条首尾相接的数轴由东往西为正方向， 单位长度1米。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B 的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B 一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。 纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后 才会碰面。（同一时间跳到同一点上 才算碰面）
t = m2 / d;
x *= (a2-a1) / d;
x = (x % t + t) % t;
a1 = a1 + m1 * x;
m1 = (m1 * m2) / d;
a1 = (a1 % m1 + m1) % m1;
}
if (flag) printf ("-1\n");
else printf ("%I64d\n", a1);
}
for(j=1;;j++){
if(28*33*j%23==1){
b=28*33*j;
break;
}
}
for(j=1;;j++){
if(23*33*j%28==1){
c=23*33*j;
break;
}
}
j=0;
printf("a=%d\tb=%d\tc=%d\n",a,b,c);
中国剩余定理
扩展欧几里德定理
看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒， 郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给他 们出了一题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数 之剩三：七七数之剩二。问物几何？”
黄蓉天资聪慧，哪里难得住她，她略微思考，答：23。
大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出这道 题的呢？
以上是韩信点兵的故事，就要确定K值了。
另外一种解法： 用枚举筛选法解 按除数3，7同余2，依次逐一枚举；随后用
除以5余3，进行筛选，便可获解。
摘录条件
3......2
（基准数） ÷ 5……3 同余 2
7......2
（一）求3和7的最小公倍数［3，7] ＝21
（二）进行枚举筛选
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
一、剩余问题 在整数除法里，一个数同时除以几个数，
整数商后，均有剩余；已知各除数及其对 应的余数，从而要求出适合条件的这个被 除数的问题，叫做剩余问题。
古代人的解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩 一，则置二十一；七七数之剩一则置十五； 一百六以上，以一百零五减之即得。
if(b == 0){
q = a; X = 1; Y = 0;
return q;
}else{
q = exp_gcd(b, a % b, X, Y);
temp = X; X = Y; Y = temp - (a / b) * Y;
return q;
}
}
__int64 GCD(__int64 a, __int64 b){
tmp = x; x = y; y = tmp - a / b * y;
}
return d;
}
int main (){
__int64 a1, m1, a2, m2, t, n, d, x, y;
int flag;
while (scanf ("%I64d", &n) != EOF){
一些关于中国剩余定理的定理：
定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或 缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也 同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必 小于除数）。
如：22÷7＝3……1 （22×4）÷7＝12……1×4（＝4） （要余2即 22×2÷7＝6……2） （22×9）÷7＝28……1×9-7（＝2） （想余5则22×5÷7＝15……5）
代码：PKU1006
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int p,e,i,d,j,k,a=1,b=1,c=1;
for(j=1;;j++){
if(23*28*j%33==1){
a=23*28*j; break;
}
一些关于中国剩余定理的定理：
定理1：几个数相加，如果只有一个加数， 不能被数a整除，而其他加数均能被数a整 除，那么它们的和，就不能被数a整除。
如：10能被5整除，15能被5整除，但7 不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5 整除。
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d)==4 && !(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1)){
j++;
k=(i*a+p*b+e*c-d+21252)%(23*28*33);
if(k>0)
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",j,k);
X *= C;
if(X < 0) X += ((-X/B) + 1) * B;
else if(X > 0) X -= (X/B)*B;
printf("%I64d\n", X);
}
}
模板：
基础数： int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y) { int d; if(b == 0) {x = 1; y = 0; return a;} d = extended_euclid(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; }
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d
days.\n",j,k);
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252
days.\n",j);
}
return 0;
}
Hdoj 1730
现在人的解法：
用各除数的“基础数”法解。
基础数的条件：
（1）此数必须符合除数自身的余数条件； （2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。
第一步：
求各除数的最小公倍数
［3，5，7］＝105
第二步： 求各除数的基础数
（1）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2 （2）［5］ 105 ÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3） ∵1×3＝3 21×3＝［63］ （3）［7] 105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2） ∵1×2＝2 ∴15×2＝［30］
A = n - m; B = l; C = x - y;
gcd = GCD(A, B);
if(C % gcd != 0) {
printf("Impossible\n"); continue;
}
A = A/gcd; B = B/gcd; C = C/gcd;
exp_gcd(A, B, X, Y);
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=13
70
跟PKU1006一样，只是要注意输入。
scanf("%d",&x);
while(x)
{
getchar();
x--;
}
Hdoj 1573
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?p id=1573
__int64 exGcd (__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y){
__int64 tmp, d;
if (b == 0){
x = 1; y = 0; d = a;
}
else {
d = exGcd (b, a % b, x, y);
scanf ("%I64d%I64d", &m1, &a1);
n--; flag = 0;
while (n--) {
scanf ("%I64d%I64d", &m2, &a2);
d = exGcd (m1, m2, x, y);
if ((a2 - a1) % d != 0) flag = 1;
__int64 m = 1;
while(m) {
m = a%b； a = b; b = m;
}
return a;
}
__int64 x, y, m, n, l, A, B, C;
__int64 gcd;
int main(){
while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &l) != EOF) {
第三步： 求各基础数的和 35+63+30＝128 第四步： 求基准数（最小的，只有一个）
128-105=23 第五步： 求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）
这个步骤让我想起了韩信点兵：
传说西汉大将韩信，由于比较年轻，开始他的部 下对他不很佩服。有一次阅兵时，韩信要求士兵 分三路纵队，结果末尾多2人，改成五路纵队，结 果末尾多3人，再改成七路纵队，结果又余下2人， 后来下级军官向他报告共有士兵2395人，韩信立 即笑笑说不对（因2395除以3余数是1，不是2）， 由于已经知道士兵总人数在2300?/FONT>2400 之间，所以韩信根据23，128，233，------，每相 邻两数的间隔是105，便立即说出实际人数应是 2333人（因2333=128+20χ105+105，它除以3 余2，除以5余3，除以7余2）。这样使下级军官 十分敬佩，这
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/proble m?id=2891
大意： 给出K对整数，每对整数假设是A和B，则
一个数N，它除以A余B，求满足这K对整数 的整数N。 （直接用剩余定理）
代码：PKU2891
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int i,p,e,d,k,j=0;
wenku.baidu.com
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) && !(p==-1 && i==-1 &&
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252 days.\n",j);
}
return 0;
}
改进版：PKU1006
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
（1）21＋2=23 23÷5＝4……3
由此可以过一题：pku1006
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id= 1006
题目大意： 人的身体，情感，智力的高峰低谷都由周期，分
别是23天，28天和33天，现在给出身体，情感， 智力的起始天，请计算由此天开始的第几天会达 到三个方便的峰值，输出此峰值。 思路： 运用中国剩余定理解得基准数，次数再减去起始 天D，再加上23，28，33的最小公倍数21252， 其值就是答案。
求在小于等于N的正整数中有多少个X满足： X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
0 < N <= 1000,000,000
Pku 2891
代码：PKU1061
#include <iostream>
using namespace std;
__int64 X, Y;
__int64 exp_gcd(__int64 a, __int64 b, __int64 &X, __int64 &Y){
__int64 q, temp;
}
return 0;
}
PKU 1061 青蛙的约会
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id= 1061
大意：青蛙A和青蛙B，规定纬度线上东经0度处 为原点，一条首尾相接的数轴由东往西为正方向， 单位长度1米。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B 的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B 一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。 纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后 才会碰面。（同一时间跳到同一点上 才算碰面）
t = m2 / d;
x *= (a2-a1) / d;
x = (x % t + t) % t;
a1 = a1 + m1 * x;
m1 = (m1 * m2) / d;
a1 = (a1 % m1 + m1) % m1;
}
if (flag) printf ("-1\n");
else printf ("%I64d\n", a1);
}
for(j=1;;j++){
if(28*33*j%23==1){
b=28*33*j;
break;
}
}
for(j=1;;j++){
if(23*33*j%28==1){
c=23*33*j;
break;
}
}
j=0;
printf("a=%d\tb=%d\tc=%d\n",a,b,c);
中国剩余定理
扩展欧几里德定理
看过《射雕英雄传》的同学应该记得，当年黄蓉身中奇毒， 郭靖将她送到瑛姑那里救治，进入瑛姑茅舍，瑛姑就给他 们出了一题：
“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数 之剩三：七七数之剩二。问物几何？”
黄蓉天资聪慧，哪里难得住她，她略微思考，答：23。
大家是不是很好奇，黄蓉是怎么解出这道 题的呢？
以上是韩信点兵的故事，就要确定K值了。
另外一种解法： 用枚举筛选法解 按除数3，7同余2，依次逐一枚举；随后用
除以5余3，进行筛选，便可获解。
摘录条件
3......2
（基准数） ÷ 5……3 同余 2
7......2
（一）求3和7的最小公倍数［3，7] ＝21
（二）进行枚举筛选
其实，这就是享誉中外的《中国剩余定理》。
一、剩余问题 在整数除法里，一个数同时除以几个数，
整数商后，均有剩余；已知各除数及其对 应的余数，从而要求出适合条件的这个被 除数的问题，叫做剩余问题。
古代人的解法：
凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩 一，则置二十一；七七数之剩一则置十五； 一百六以上，以一百零五减之即得。
if(b == 0){
q = a; X = 1; Y = 0;
return q;
}else{
q = exp_gcd(b, a % b, X, Y);
temp = X; X = Y; Y = temp - (a / b) * Y;
return q;
}
}
__int64 GCD(__int64 a, __int64 b){
tmp = x; x = y; y = tmp - a / b * y;
}
return d;
}
int main (){
__int64 a1, m1, a2, m2, t, n, d, x, y;
int flag;
while (scanf ("%I64d", &n) != EOF){
一些关于中国剩余定理的定理：
定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或 缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也 同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必 小于除数）。
如：22÷7＝3……1 （22×4）÷7＝12……1×4（＝4） （要余2即 22×2÷7＝6……2） （22×9）÷7＝28……1×9-7（＝2） （想余5则22×5÷7＝15……5）
代码：PKU1006
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int p,e,i,d,j,k,a=1,b=1,c=1;
for(j=1;;j++){
if(23*28*j%33==1){
a=23*28*j; break;
}