2017考研数学之微分方程解的结构分析
6.5线性微分方程的解的结构
1 1 例1 已知方程y y 2 y 0的一个 x x 特解为y1 x, 求与y1线性无关的另一特解y2 , 并求方程的通解.
解 :由Liouville 公式, 得与y1线性无关的解为 y2 y1 1 P ( x ) dx 1 e dx x 2 e 2 y1 x
积分可得
y1 f ( x ) c ( x ) , 2 w( x )
y2 f ( x) c1 ( x) dx, w( x)
y1 f ( x) c2 ( x) dx, w( x)
非齐次方程通解为
y C1 y1 C 2 y2 y1 y2 f ( x ) y1 f ( x ) dx y2 dx . w(( x ) y1 c ( x ) y c1 ( x ) y1 c2 ( x ) y 2 2
c1 ( x) y1 c2 ( x) y2 c1 ( x) y1 c2 ( x) y
y P( x) y Q( x) y f ( x)
n 个函数．如果存在 个不全为零的常数，使得
当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0 ，
I 那么称这n 个函数在区间 内线性相关．否则
称线性无关
例如 当x ( , )时， e x， x , e 2 x 线性无关 e
1， 2 x , sin2 x 线性相关 cos
(1) 若P ( x ) xQ( x ) 0,
可观察出 一个特解 特解 y x;
(2) 若1 P ( x ) Q( x ) 0, (3) 若1 P ( x ) Q( x ) 0,
特解 y e x ;
微分方程通解的结构
微分方程通解的结构
微分方程（differential equations）是一类重要的数学方程，主要用于描述物理、化学或其他学科中涉及的重要变化规律。
微分方程求解就是求出其解析式，即原方程的通解。
微分方程通解，解析式有其标准格式，即形如：Y＝Y（x）＝F(x)＋C的表达式，其中F(x)为
方程的特解，C为任意常数。
微分方程的求解需要对该微分方程进行分析。
如果该方程可以转化为多项或是偏微分方程，则可以运用积分方法以求解最终通解。
当方程不能转换为此类方程时，则需要利用隐函数法、伽玛函数变换等来求得通解。
此外，经典微分方程也可以利用分离变量法，将方程分解为两个简单的常微分方程，然后
求解出两个变量的解析表达式。
如果这类方程可以用解析函数法，线性方程组的求解等方
法求解，则可以得到原方程的通解。
在微分方程的求解中，特殊的方程有可能没有解析式，例如涉及微分隐函数的非线性方程，在此情况下可以采用数值解法，利用数学模型预测解析函数的曲线，以求得一个接近方程
的近似解。
总而言之，微分方程求解的核心内容是求得该方程的通解。
微分方程的通解包括两个内容，即求得原方程的特解和解析函数，求解的方法有积分、伽玛函数变换、分离变量法、数值
解法等，使用方法要基于方程的实际情况把握。
微分方程通解结构
微分方程通解结构
一、微分方程通解的基本结构
微分方程通解的基本结构是由三个要素组成的，即：（1）积分常数（2）特解，（3）非特解。
（1）积分常数：积分常数是指当对某非齐次微分方程求解一个通解时，随着解空间中不同积分路径极限所产生的定值，这些定值就是积分常数。
（2）特解：是指当对微分方程求解一个通解时，由方程右端所含的非线性特解形成的解空间的一部分。
（3）非特解：是指对某非齐次微分方程求解一个通解时，所得出的方程没有特解的解空间的一部分。
二、综合结构
微分方程通解综合结构的一般形式为：
y=C+y1+y2；
其中，C是积分常数；y1是非特解部分；y2是特解部分。
在实际计算中，根据方程的特殊性，还可以作出一些其他的结构，例如：
（1）y=C1+C2y1+C3y2；
（2）y=C1y1+C2y2；
（3）y=C1+C2y1+y2；
（4）y=C1y1+y2；
以上结构中，积分常数C1，C2要根据具体情况给定，而积分常
数C3由积分路径极限所产生，由此可见，微分方程通解结构的具体形式及其积分常数的取值都要根据方程的具体特性来确定。
微分方程解的结构
微分方程解的结构引言微分方程是数学中重要的研究对象，它描述了自然界中的变化和运动规律。
解微分方程是求解方程中未知函数的过程，它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
解微分方程的结构可以帮助我们理解问题的本质，找到问题的解析解或数值解，从而得到有意义的结果。
一阶微分方程的解的结构一阶微分方程是最简单的微分方程形式，它可以表示为：dy=f(x,y)dx其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y)是已知函数。
一阶微分方程的解的结构可以分为三类：显式解、隐式解和参数形式解。
显式解显式解是指将未知函数y表示为x的函数的形式，即y=F(x)，其中F(x)是x的函数。
显式解可以通过分离变量、变量代换、积分等方法求解。
隐式解隐式解是指将未知函数y表示为x和y的关系式的形式，即F(x,y)=0，其中F(x,y)是x和y的函数。
隐式解通常不能直接求得解析解，但可以通过数值方法求得近似解。
参数形式解参数形式解是指将未知函数y表示为参数t的函数的形式，即y=F(t)，其中t是参数。
参数形式解可以通过变量代换、积分等方法求解。
二阶微分方程的解的结构二阶微分方程是常见的微分方程形式，它可以表示为：d2y dx2=f(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x,y,dydx)是已知函数。
二阶微分方程的解的结构可以分为四类：通解、特解、特殊解和奇点解。
通解通解是指包含了所有特解的解的集合。
对于二阶微分方程，通解一般包含两个任意常数，可以通过给定初始条件求得特解。
特解特解是指满足特定初始条件的解。
给定初始条件后，可以确定特解。
特殊解特殊解是指满足特定边界条件或特殊条件的解。
特殊解可以通过变量代换、积分等方法求解。
奇点解奇点解是指在某些点上解不存在或不唯一的情况。
奇点解的存在使得微分方程的解的结构更加复杂。
高阶微分方程的解的结构高阶微分方程是包含多个导数的微分方程，它的解的结构更加复杂。
高阶微分方程的解的结构可以通过降阶、变量代换等方法简化。
微分方程解的结构
微分方程解的结构微分方程是自然科学中的重要工具，它描述了许多自然现象和工程问题中的变化规律。
微分方程解的结构是微分方程理论研究的核心之一，本文将从微分方程解的概念、分类和求解方法等方面进行详细介绍。
一、微分方程解的概念1.1 微分方程微分方程是描述变化规律的数学模型，它包含未知函数及其导数或高阶导数，通常表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中x是自变量，y是因变量，y'、y''、...、y^(n)是y对x的一阶、二阶、...、n阶导数。
1.2 微分方程解微分方程解是使得微分方程等式成立的函数或函数组合。
通常情况下，一个微分方程可能有多个解。
二、微分方程解的分类2.1 通解通解是指包含所有特解（即满足特定初值条件）的一类函数族。
对于n阶线性齐次微分方程：a_n*y^(n)+a_(n-1)*y^(n-1)+...+a_0*y=0其中a_n,a_(n-1),...,a_0为常数系数，则它的通解形式为：y=c_1*y_1+c_2*y_2+...+c_n*y_n其中c_1,c_2,...,c_n为任意常数，y_1,y_2,...,y_n为n个线性无关的特解。
2.2 特解特解是指满足特定初值条件的微分方程解。
对于n阶非齐次线性微分方程：a_n*y^(n)+a_(n-1)*y^(n-1)+...+a_0*y=f(x)其中f(x)为已知函数，则它的通解形式为：y=y_h+y_p其中y_h为相应齐次方程的通解，y_p为非齐次方程的一个特解。
三、微分方程解的求解方法3.1 变量分离法变量分离法是求解一阶微分方程最常用的方法之一，它利用变量代换将微分方程转化为可直接积分的形式。
例如，对于以下一阶微分方程：dy/dx=f(x)g(y)可以通过变量代换u=y或v=x来实现变量分离，从而得到可直接积分的形式。
3.2 齐次方程法齐次方程法适用于形如dy/dx=F(y/x)或dx/dy=F(x/y)的一阶微分方程。
微分方程解的结构总结
微分方程解的结构总结微分方程是数学中重要的一门分支，它在物理学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
解微分方程的过程可以总结为以下几个结构。
1. 初值问题的解析解：对于一些简单的微分方程，我们可以通过一些数学方法求得其解析解。
例如，一阶线性常微分方程和二阶常系数齐次线性微分方程等。
这些解析解通常是一些基本函数的组合形式，如指数函数、三角函数等。
通过求解初值问题，我们可以得到具体的解。
2. 数值解的求解：对于一些复杂的微分方程，往往很难找到其解析解。
这时我们可以利用数值方法求解微分方程。
常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法（RK方法）等。
通过离散化微分方程，我们可以得到一系列近似解。
这些数值解可以通过计算机程序实现，对于一些无法使用解析解求解的问题提供了有效的工具。
3. 特解和通解的求解：对于一些非齐次线性微分方程，我们可以通过特解和通解的方法求解。
特解是非齐次项的一个特殊解，而通解则是齐次方程的解和特解的线性组合。
通过求解特解和通解，我们可以得到微分方程的所有解。
4. 线性微分方程的叠加原理：对于一些复杂的微分方程，我们可以将其分解为一系列简单的微分方程的叠加。
这是因为线性微分方程具有叠加原理，即线性微分方程的解可以通过每个分量的解的线性组合得到。
这种叠加原理使得我们可以将复杂的微分方程简化为一系列简单的微分方程的求解。
5. 边界值问题的求解：除了初值问题，还有一类微分方程称为边界值问题。
边界值问题是在给定的边界条件下求解微分方程的解。
这些边界条件可以是函数值在一些点上的给定，也可以是函数的导数在一些点上的给定。
对于边界值问题，我们通常使用分离变量法、变分法等方法求解。
通过以上几个结构，我们可以解决许多实际问题。
微分方程作为数学的一个重要分支，不仅有着丰富的理论基础，而且在实际应用中具有广泛的应用价值。
无论是物理学中的运动学问题、电路中的电流电压问题，还是经济学中的增长模型，都可以通过微分方程来描述和求解。
常系数线性微分方程的解的结构分析
解得
所求方程的特解 ~y 1 x3 3 x2 19 x 4 16 32
(3)如果 p＝0，q＝0，则方程变为 ~y2 ＝ p n(x)，此时特解是一个(n＋2)次多项式，可设 ~y ＝x2Qn(x)，代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。 下面讨论当 a ≠0时，即当 f(x)＝pn(x)eαx 时方程
(1)若特证方程(3.2)有两个不相等的实根 r１，r2，此时 er1x ， er2x 是方程(3.1)的两个特解。
因为 er1x e r2 x
e = (r1 r2 ) x
常数
所以 er1x，er2x 为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(3.1)的通解为
y c1er1x c2er2x
(2)若特征方程(3.2)有两个相等的实根 r1＝r2，此时 p2－4q＝0，即
例1.
求
d2y dx2
dy dx
2
y
x2
3 的一个特解。
解 自由项 f(x)＝x2－3是一个二次多项式，又 q＝2≠0，则可设方程的特解为
~y a0 x2 a1x a2
求导数
~y 2a0 x a1
~y 2a0
代入方程有2 a0 x2＋(2 a0 ＋2 a1 )x＋（2 a0 ＋ a 1＋2 a ２）＝x2－3比较同次幂系数
dy ，y 各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数 y，其 d 2 y ， dy ，y 之间只
dx
dx2 dx
相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(3.1)的特解，在初等函数中，指数函数 erx， 符合上述要求，于是我们令
y＝erx(其中 r 为待定常数)来试解
将 y＝erx， dy ＝rerx， d 2 y ＝r2erx 代入方程(3.1)
微分方程的解析与数值解法
微分方程的解析与数值解法微分方程既是数学分析的重要分支，也是许多学科领域的基础。
在实际问题的求解中，我们常常需要寻找微分方程的解析解或者数值解。
本文将围绕微分方程的解析和数值解法展开讨论。
一、微分方程的解析解解析解指的是通过代数计算得到的方程的解。
对于某些简单的微分方程，我们可以通过分离变量、变量代换等方法得到解析解。
下面以一阶线性常微分方程为例，讨论解的求解过程。
考虑一阶线性常微分方程形式如下：$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$为已知函数。
我们可以通过以下步骤求解该微分方程：1. 将方程改写为标准形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y - Q(x) = 0$2. 求解齐次线性微分方程：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = 0$。
记其解为$y_h$，即$y_h = Ce^{-\int P(x)dx}$，其中$C$为常数。
3. 利用常数变易法，假设原方程的解为$y = u(x)y_h$，其中$u(x)$为待定函数。
4. 将$y = u(x)y_h$代入原方程，得到关于$u(x)$的方程。
5. 求解$u(x)$的方程，得到$u(x)$的表达式。
6. 将$u(x)$代入$y = u(x)y_h$，得到原方程的解析解。
上述过程就是一阶线性常微分方程求解的一般步骤。
对于其他类型的微分方程，也有相应的解析解求解方法。
但并非所有微分方程都存在解析解。
二、微分方程的数值解法对于一些复杂的微分方程，无法找到解析解，此时我们需要借助数值方法求解。
常见的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是一种较为简单的数值解法，其基本思想是通过离散化微分方程，将微分方程转化为差分方程。
具体步骤如下：将求解区间$[a, b]$等分成$n$个小段，步长为$h = \frac{b-a}{n}$。
利用微分方程的导数定义，将微分方程转化为差分方程，即$y_{i+1} = y_i + h \cdot f(x_i, y_i)$，其中$f(x, y)$为微分方程右端的函数。
微分方程-线性微分方程通解的结构
如果 y1(x) 与 y2(x) 是方程(6.1)的两个线性无关的 特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(6.1)的通解. 推论 设 yi ( x ) ( i = 1, 2, L , n)是n阶齐次线性微分 方程： y(n) + p1( x) y(n1) + L+ pn1( x) y′ + pn ( x) y = 0 n个线性无关的特解，则此方程的通解为
( i = 1, 2, L, n)
的解，则
y + p( x ) y + q( x ) y = f=1x ) i( 的解，其中 c1 , c2 ,L , c n均为常数 .
注 性质1 ~ 性 质4可推广到 i =1 y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = 0 n ( 6.1) n阶线性微分 y ′′ + p( x ) y ′ + q ( x ) y = ∑ c i f i ( x ) 方程的情形. ′ ′′
n 阶线性微分方程：
y ( n ) + p1 ( x ) y ( n1) + L + pn1 ( x ) y′ + pn ( x ) y = f ( x ).
(二) 二阶线性微分方程解的性质
二阶线性微分方程解的性质
y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = 0 y′′ + p( x ) y′ + q( x ) y = f ( x ) ( 6.1) ( 6 .2 )
(6.7)
′ ′ ′ ′ ′ ′′ 则 y ′′ = c1 ( x ) y1 + c 2 ( x ) y 2 + c1 ( x ) y1′ + c 2 ( x ) y 2
常微分方程解的结构
实根 r 复根 r
1, 2
= α ± iβ
y = C1e r x + C 2 e r x y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y′′ + py′ + qy = f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
1 A = 2 , 代入方程, 得 2 Ax + B + 2 A = x ∴ 1 B = − 1 2x
2x λ = 2 是单根，设 y = x ( Ax + B )e ,
2
二、 f ( x ) = e [ Pl ( x ) cos ωx + Pn ( x ) sin ωx ] 型
0 λ ± iω不是根 , k= 1 λ ± iω是单根
例2 求方程 y ′′ + y = 4 sin x 的通解. 解 对应齐方通解 Y = C1 cos x + C 2 sin x , 作辅助方程
λ = i 是单根 ,
y′′ + y = 4e ix ,
故 y* = Axe ix ,
∴ A = −2i ,
r2 x
(2) 有两个相等的实根 ( ∆ = p 2 − 4q = 0)
p r1 x 特征根为 r1 = r2 = − , 一特解为 y1 = e , 2
另一特解 y = xe r x ;
2
所以齐次方程的通解为
y = (C 1 + C 2 x )e r1 x ;
(3) 有一对共轭复根 ( ∆ = p 2 − 4q < 0) 特征根为
y = x e [ R ( x ) cos ωx + R ( x ) sin ωx ];
5.4线性微分方程的解的结构
解的叠加原理
三、降阶法与常数变易法
1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法 齐次线性方程求线性无关特解------
令 y2 = u(x)y1
代入(1)式, 得 代入 式
y1 f ( x) = −1, w( x)
y2 f ( x) x(1 − x) = x = − xe − x , w( x) e ( x − 1)
则y* = − y1 ∫ =e
x
y2 f ( x) y1 f ( x) dx + y2 ∫ dx w( x) w( x)
−x
∫ xe
2
dx + x ∫ − 1 ⋅ dx = e (− xe − e ) − x
理2 如 (1)的 定 2： 果y1(x)与y2(x)是 程 的 个 理 方 (1) 两 线 性 关 特 , 那 y = C1 y1 +C2 y2就 方 (1) 无 的 解 么 是 程 通 . 的 解
例如 y ′′ + y = 0,
y1 = cos x , y 2 = sin x ,
y = C cos x +C2 sin x. 1
y*
x 1 例 求 程y′′ + y′ − y = x −1的 解 方 通 . 1− x 1− x x 1 解 Q1 + − = 0, 1− x 1− x
y1 = e x , 由刘维尔公式 对应齐次方程的一特解为
1 − ∫ 1−xx dx x y2 = e ∫ 2 x e dx = x , e
对应齐方通解为
d y dy ( + P(x) +Q x)y = f (x) 2 dx dx
微分方程的基本概念和解法技巧
微分方程的基本概念和解法技巧微分方程是数学中重要的一种方程，它涉及到函数与它的导数之间的关系。
在物理学、工程学、经济学等领域中，微分方程广泛应用于描述各种变化和运动的规律。
了解微分方程的基本概念和解法技巧，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍微分方程的基本概念以及一些常见的解法技巧。
一、微分方程的基本概念1. 定义：微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
一般形式可以表示为 F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中 y 是未知函数。
2. 阶数：微分方程的阶数是指该方程中导数的最高阶数。
常见的阶数有一阶、二阶和高阶微分方程。
3. 解：微分方程的解是满足方程的函数。
一般来说，一个微分方程可以有无穷多个解。
4. 初值问题：初值问题是求解微分方程时给定一个或多个初始条件，根据这些条件确定方程的解。
初值问题通常涉及到一个点上的初始状态。
5. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程只涉及到一个自变量，而偏微分方程则涉及到多个自变量。
常微分方程的解是一类函数，而偏微分方程的解是一个函数族。
二、微分方程的解法技巧1. 变量可分离法：适用于可以将微分方程的变量分离开的情况。
通过将方程两边同时乘以不同变量的函数，使得方程可以变为两个积分的形式，从而得到解。
2. 齐次方程法：适用于可以通过变量代换将微分方程化为齐次方程的情况。
齐次方程中的未知函数可以表示为一个比值函数，通过变量代换后，方程可以化为一个仅依赖于一个变量的方程，从而得到解。
3. 一阶线性常微分方程：适用于形如 y' + p(x)y = q(x) 的一阶线性常微分方程。
通过乘以一个适当的积分因子将方程化为可积形式，然后求解积分得到方程的解。
4. 常系数线性微分方程：适用于形如 y⁽ⁿ⁾ + aₙy⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + a₁y' + a₀y =g(x) 的常系数线性微分方程。
通过猜测形式，得到特解和齐次方程的通解，从而得到方程的通解。
微分方程解的结构原理
微分方程解的结构原理微分方程解的结构原理一、微分方程的定义和分类微分方程是描述自变量与函数及其导数之间关系的方程，是数学中重要的一个分支。
根据方程中出现的最高阶导数的阶数和自变量的个数，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
二、初值问题和边值问题对于常微分方程来说，通常有两种求解方式：初值问题和边值问题。
初值问题是指在某一时刻给定函数及其导数在该时刻的取值，求解函数在其他时刻的取值；而边值问题则是在给定函数在某些时刻取值后，求解函数在这些时刻之间的取值。
三、微分方程解存在定理对于某些特定类型的微分方程来说，它们具有唯一可解性。
例如，对于一阶线性常微分方程y’+p(x)y=q(x)，如果p(x)和q(x)都是连续函数，则它有唯一一个解。
四、通解和特解对于大多数情况下无法直接求得精确解的微分方程来说，可以通过求出通解或者特解来近似地描述其行为。
通解是指包含所有可能形式的特殊解所构成的一组公式，而特解则是指满足特定条件的解。
五、线性微分方程的通解对于一阶线性常微分方程y’+p(x)y=q(x)，可以通过分离变量法求得通解。
首先将方程改写为dy/dx+p(x)y=q(x)，然后将y和q(x)看做两个未知函数，再将它们代入原方程中进行计算，最终得到通解y=e^(-∫p(x)dx)(∫q(x)e^(∫p(x)dx)dx+C)，其中C为常数。
对于高阶线性常微分方程来说，也可以采用类似的方式求得通解。
首先找到其对应的齐次线性微分方程的通解，然后加上一个特殊解即可得到非齐次线性微分方程的通解。
六、非线性微分方程的近似求解对于大多数情况下无法直接求得精确解的非线性微分方程来说，可以采用近似求解方法。
其中一种常见的方法是泰勒级数展开法。
首先将函数在某一点处展开成泰勒级数，然后截取前几项作为近似值代入原方程中进行计算。
七、总结微分方程是描述自变量与函数及其导数之间关系的重要工具，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
微分方程解的结构总结
微分方程解的结构总结一、常微分方程的解的结构常微分方程是指只涉及一个未知函数及其导数的微分方程。
在常微分方程的解的结构方面，我们有以下几个重要结论：1. 叠加原理：如果一个常微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
这意味着我们可以通过已知的解构造出新的解。
2. 初始条件的影响：常微分方程通常需要给定初始条件才能确定特定的解。
不同的初始条件会得到不同的解，这反映了解的结构的多样性。
3. 解的存在唯一性：对于某些常微分方程，解的存在唯一性是成立的，也就是说只有一个解满足给定的初始条件。
这种情况下，解的结构相对简单明确。
二、线性微分方程的解的结构线性微分方程是指未知函数及其导数的线性组合等于已知函数的微分方程。
线性微分方程的解的结构更加复杂，我们有以下重要结论：1. 叠加原理：对于线性微分方程，它的解也满足叠加原理。
如果一个线性微分方程有两个解，那么它们的线性组合也是该方程的解。
2. 齐次线性微分方程的解的线性空间性质：齐次线性微分方程是指其右端项为零的线性微分方程。
对于齐次线性微分方程，它的解构成一个线性空间。
这意味着我们可以通过已知的解构造出线性空间中的其他解。
3. 非齐次线性微分方程的解的结构：非齐次线性微分方程是指其右端项不为零的线性微分方程。
对于非齐次线性微分方程，它的解由齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和构成。
这可以通过叠加原理和线性空间性质得出。
三、特殊微分方程的解的结构除了常微分方程和线性微分方程外，还有一些特殊的微分方程，它们的解的结构也有一些特殊性质：1. 可分离变量的微分方程：可分离变量的微分方程可以通过分离变量的方法求解。
解的结构相对简单，可以通过分离变量再积分得到。
2. 齐次微分方程：齐次微分方程的右端项可以通过变量替换转化为常数项，从而得到其解的结构。
3. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程可以通过积分因子法求解。
解的结构可以通过积分因子的选择和积分的方法得到。
2017考研数学：n阶线性微分方程的通解公式分析
2017考研数学:n阶线性微分方程的通解公式分析
微分方程是高等数学中的一个重要章节，在实际中也有广泛的应用，对于考研数学来讲更是每年必考。
关于线性微分方程的通解公式，在一般高等数学教材中只是简单地做了些介绍，并没有进行详细的分析证明，因此有很多同学对其感到有些困惑，对其含义和作用也不能很好理解，为了帮助2017考研学子消除这些困惑，下面文都蔡老师对n阶线性微分方程的通解公式做些分析和证明，供同学参考。
一、通解的定义
定义：若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称这样的解为该微分方程的通解。
注：1)通解中若有多个任意常数，它们应该是相互独立的，也就是说它们不能相互合并而使任意常数的个数减少。
上面的分析证明可以知道，虽然微分方程的一般通解不一定包含其全部解，但对于n阶线性微分方程而言，上面的通解公式包含了方程的全部解，因此，只要我们知道了n阶线性齐次微分方程的n个线性无关的解，就知道了其全部解，对于n阶线性非齐次微分方程，只要知道了其一个特解和对应齐次方程的n个线性无关的解，也知道了其全部解。
6-4线性微分方程解的结构
′ ′ = C1 [ y1′ + P ( x ) y1 + Q ( x ) y1 ]
′ ′ + C 2 [ y2′ + P ( x ) y2 + Q( x ) y2 ]
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= 0 证毕
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问题: 例如, 但是
y = C1 y1 + C 2 y2一定是通解吗？
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例1 设线性无关函数 y1 , y2 , y3 都是二阶非齐次线 性方程 y′′ + P ( x ) y′ + Q( x ) y = f ( x )的解, C ,C 是任意 常数, 则该方程的通解是 ( D ( A) C1 y1 + C 2 y2 + y3 ; ).
因此，若在 I 上有
y1 ( x ) ≠ 常数， y2 ( x )
则函数 y1 ( x )与 y2 ( x ) 在 I 上线性无关.
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定理 2： （二阶齐次线性微分方程解的结构） 如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关的特 解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(1)的通解.
1 2
( B ) C1 y1 + C 2 y2 + ( C1 + C 2 ) y3 ; (C ) C1 y1 + C 2 y2 − ( 1 + C1 + C 2 ) y3 ; ( D ) C1 y1 + C 2 y2 + ( 1 − C1 − C 2 ) y3 .
第七节线性微分方程解的结构
（**）两端乘以e r2x 得
ze r2x r2 ze r2x f (x)e r2x
得
ze r2x f (x)e r2x
ze r2x f (x)e r2x 得 ze r2x x f (t)e r2tdt, 即 a
z e r2x x f (t)e r2tdt a
a 0: a 0: a 0:
通解为 y C1 C2 x 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x 通解为 y C1 e a x C2 e a x
二 常系数线性非齐次方程
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
p x
ye 2
xxt
f
(t)e
pt
2 dt
a
（二 ） 待定系数法
上面求解出的公式使用不方便 根据f (x)的特殊形式 ,
给出特殊解 y *的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以
确定待定系数 .
待定系数法
接下来给出
f (x) e xPm (x) 与
f (x) e x Pl (x) cos x Pn (x)sin x
Q (x) 应为 m 次待定系数多项式，从而方程有特解如下
y* am xm am1xm1 a1x a0 e x
(2) 若不是特征方程的根,即 2 p q 0,2 p 0 ,
Q (x)应为m+1次待定系数多项式，从而方程有特解如下
y* x am xm am1xm1 a1x a0 e x
以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
推广:
y(n) a1 y(n1) an1 y an y 0 ( ak 均为常数) 特征方程: r n a1 r n1 an1r an 0
常微分方程解的结构
y
x
k
e
x
[
R(1) m
(x)来自cosx
R(2) m
(
x
)
sin
x];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x
的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x（重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
y( x) Y ( x) y*( x),
定理 如果 y1( x) 与 y2( x) 分别为方程 y py qy f1( x), 和 y py qy f2( x)
的特解，Y 是方程
y py qy 0, 的通解，则
y( x) Y ( x) y1*( x) y2*( x) 是方程 y py qy f1( x) f2( x) 的通解.
e x [ Pl
e ix
eix 2
Pn
e ix
eix ]
2i
( Pl Pn )e( i ) x ( Pl Pn )e( i ) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i )x P ( x)e(i )x ,
设 y py qy P( x)e(i )x , y1 xkQme(i )x ,
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第 1 页 共 1 页 2017考研数学之微分方程解的结构分析
微分方程是高等数学的重要组成部门，无论对于数一数二，还是数三，每一年都会考察，并且题型不定，会出现选择题，填空题，也会出现解答题。
对于微分方程这一部分，总的解题思路是首先判断微分方程的形式和结构，如是否为线性方程，齐次方程等等，是一阶、二阶还是更高阶的方程；然后根据方程的形式和结构来求解方程。
因为考试大纲上要求的就那么几种，而且每种类型的方程解法都已经固定下来了，记住套路，这一类的方程就好处理了。
当然，以上针对的是纯粹的微分方程的求解，还有的题目会结合幂级数或多元函数来考察。
不过我们还是先了解纯粹的微分方程的求解，后一部分在今后的学习中再来处理。
下面先来看看今年的一个真题：
本题知识结构较简单，只涉及到微分方程，而没有涉及到其它章节和学科的知识。
而且，计算量不大。
当然了，前提是要能够分析清楚，解的结构这一部分知识，对于有些同学来讲可能比较抽象。
在今后复习过程中，可以举一些具体的例子来理解。
关于微分方程的知识，先就介绍到这里。