利用散点图判断两个变量之间的线性相关关系

C．身高在145.83 cm左右
D．身高在145.83 cm以下
相关关系 的两个变量进行统计分析的方 3．对具有__________ 法叫回归分析．
4．表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形 散点图 ． 叫做_______
利用散点图判断两个变量之间的线性相关关系 下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两 者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？ 年平均 12.51 12.84 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 气温(℃)
是(
解析：要求大致在一条直线上，但不是函数关系． 答案：B
了解回归直线方程的意义 为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、 乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性 回归的方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人得到的 试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s， t，那么下列说法正确的是( ) A．直线l1和l2一定有公共点(s，t) B．直线l1和l2相交，但交点不一定是(s，t) C．必有直线l1∥l2 D．l1和l2必定重合
3．如何认识线性回归模型？
解析：两个变量之间的相关性可以用一条直线或曲 线来进行拟合．如果两个变量之间的依赖关系是近似一 条直线，那么这两个变量就是线性相关的；如果两个变 量之间的依赖关系是近似一条曲线，那么这两个变量就 是非线性相关的；如果两个变量之间不存在明显的依赖 关系，那么这两个变量就是不相关的．
变量之间的相关关系及两个变量的线性相关
全州三中高数组 文新红
1．会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散
点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回 归方程系数公式建立线性回归方程．
基础梳理 1．相关系数：相关系数是描述两个变量关系程度和 方向的统计量，用r表示．相关系数的范围在－1到1之间， 即－1≤r≤1，当r＝1为完全正相关即两者之间具有函数关系， r＝－1，为完全负相关即两者之间具有函数关系，r＝0为 不相关，r的范围在0.3～0.5是低度正相关；r的范围在 0.5～0.8是中度正相关；r的范围在0.8以上是高度正相关； 只有显著相关以上才需要考察相关方程．r的计算不作要 求． 2．散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数 据的图形叫做散点图．
自测自评 1．两个变量之间关系如下， x y 2 3 4 4 6 8
回归直线一定经过点(
C )
B．(4,4)
D．(5,5)
A．(3,3)
C．(4,5)
源自文库
2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据(略)， 由此建立的身高与年龄的回归模型为 ∧ y ＝7.19x＋73.93， 用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述 是( C ) A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上
解析：设线性回归方程为 ^ y＝bx＋a，而 a＝ y －b x ， 即 a＝t－bs，t＝bs＋a. ∴(s，t)在回归直线上． ∴直线 l1 和 l2 一定有公共点(s，t)． 答案：A
^ b＝
i＝1

n
－ － xi－ x yi－ y ＝
i＝1
i＝1
－－ x y － n ii x y －2 2 xi －n x i＝1
n

n
－2 xi－ x

n
^ － ^－ － 1 n － 1n a＝ y －b x ， x ＝ xi， y ＝ yi ni＝1 ni＝1 ^ ^ ^ 所得到的直线方程y ＝bx＋a叫做回归直线方程，b是 ^ 回归方程的斜率，a是截距，相应的直线叫做回归直线．由 回归直线方程算出的结果仅为预测，非必然结果．
2．如何利用散点图判断两个变量之间是否具备相 关关系？ 解析：可根据散点图中对应点的离散程度来判断 两个变量是否具有相关关系．如果散点图中变量的对应 点分布在某条直线周围，我们就可以得出这两个变量具 有相关关系，如果点的分布大致在左下角到右上角的区 域，则为正相关，如果因变量随自变量的增大而减小， 则是负相关．如果变量的对应点分布没有规律，我们就 说这两个变量不具有相关关系．
年降雨 量(mn)
748
542
507
813
574
701
432
解析：以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得 相应的散点图如下图所示．
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不 具有相关关系，没必要用回归直线进行拟合，如果用公 式求得回归直线也是没有意义的．
跟踪训练 1．下列图形中，两个变量具有线性相关关系的 )
∧
思考应用 1．变量之间的相关关系与函数关系有何区别？ 解析：变量间的相互关系有两种，一种是函数关系， 变量之间的对应是确定的；另一种是变量间确实存在着 关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关 系带有随机性．相关关系分为两种：(1)正相关：两个变 量具有相同的变化趋势．(2)负相关：两个变量具有相反 的变化趋势．
例如：人的身高和体重的关系是相关关系还是函数 关系？ 相关关系
4．最小二乘法：在求回归直线时，公式中选取 的 a，b 使得误差 yi－y i 的平方和 Q＝ (yi－bxi－a)2
i＝1
∧
n
最小，也就是使得样本数据的点到它的距离的平方和最 小，这一方法称为最小二乘法．值得指出的是，讨论变 量是否线性相关，应先进行相关性检验，在确认线性相 关后，再求回归直线．相关性检验的有关概念、方法和 步骤，大纲不作考试要求． 5．回归直线：设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量， 且相应于 n 组观测值的 n 个点(xi，yi)(i＝1,2，…，n) 大致分布在一条直线附近，则由
例如：某产品产量与生产费用关系如表，画出相应 的散点图. 序号 1 2 2 3 3.1 4 3.8 5 5 6 6.1 7 7.2 8 8 产品产量 1.2 (千吨)x 生产费用 (万元)y
62
86
80
110
115
132
135
160
解析：相应的散点图如下
3．线性相关：当一个变量变动时，另一个变量也 相应发生大致均等的变动，两者之间叫做线性相关．相 关关系与函数关系的相同点均是指两个变量的关系；不 同点是：函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一 种非确定关系．