两个变量的线性相关课件
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变量之间的关系课件
家庭背景：影响个人性格、价值观、 社交能力等
社会文化：影响个人行为、观念、 生活方式等
心理学中的变量关系
心理测量：通过 测量变量来评估 个体的心理状态 和行为
心理实验：通过 控制变量来研究 心理现象和规律
心理治疗：通过 改变变量来调整 个体的心理和行 为
心理教育：通过 变量关系来提高 个体的心理素质 和适应能力
生物学中的变量关系
遗传学：基因型 与表现型的关系
生态学：物种与 环境的关系
生理学：激素水 平与生理功能的 关系
生物化学：酶活 性与底物浓度的 关系
社会学中的变量关系
社会经济地位：影响个人收入、教 育水平、职业选择等
社会网络：影响个人信息获取、资 源获取、机会获取等
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模型选择：根据实际应用场景选择 合适的模型
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模型优化：根据评估结果对模型进 行改进和优化
模型更新：根据新的数据和需求对 模型进行更新和维护
模型应用与推广
模型应用：在数据分析、预测、决 策等领域的应用
推广效果：提高模型的知名度和影 响力，吸引更多的用户和研究者
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变量之间的关系课件大 纲
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汇报人：PPT
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 变 量 关 系 的 表 示 方
法
05 变 量 关 系 的 实 际 应 用
02 变 量 关 系 的 基 本 概 念
04 变 量 关 系 的 分 析 方 法
散点图可以应用于各种领域， 如经济学、社会学、生物学 等。
变量之间的相关关系(必修优秀课件)_图文
x
年龄
y
脂肪含量
设回归方程为
40
35
30
25
A
20
15
B
10
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x
距离之和：
越小越好 年龄
y
脂肪含量
设回归方程为
40
35
30
25
A
20
15
B
10
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
x
点到直线距离的平方和：
年龄
求出回归直线的方程为：
Y^ =-2.352x+147.767
（4）当x=2时，y=143.063,因此，这天大约可以卖出143 杯热饮。
练习：
实验测得四组（x,y）的值如下表所示：
x
1
2
3
4
y
2
3
4
5
则y与x之间的回归直线方程为（海南理）对变量x,y观测数据（xi,yi)(i=1,2,...,10),得 散点图1；对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,...,10),得散点图2，
2112 2110.6
3、求和
解：1、设回归方程 2、求平均数
3、求和 4、代入公式求
的值
5、写出回归直线的回归方程
用“最小二乘法”求回归直线方程的步骤
1、设回归方程 2、求平均数 3、求和
4、代入公式求
的值
5、写出回归直线的方程
三、利用线性回归方程对总体进行估计
例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
高一数学必修3课件：2-3-1、2变量之间的相关关系和两个变量的线性相关
成才之路· 数学
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
第二章
统 计
第二章
统计
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
第二章
2．3 变量间的相关关系
第二章
统计
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
第二章
2．3.1 2．3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
由图可见，具有线性相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点 图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散 点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
第二章
2.3
)
D．①④
[答案] D
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
^ [解析] ^＝bx＋a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x y ^ ^ 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实 关系．故选D.
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
[答案] ①④
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
[解析]
①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一
条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的 分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
人教A版 ·必修3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
统 计
第二章
统计
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第二章
2．3 变量间的相关关系
第二章
统计
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第二章
2．3.1 2．3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关
由图可见，具有线性相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，„，10)，得散点 图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，„，10)，得散 点图(2)．由这两个散点图可以判断( )
第二章
2.3
)
D．①④
[答案] D
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
^ [解析] ^＝bx＋a表示y与x之间的函数关系，而不是y与x y ^ ^ 之间的函数关系．但它所反映的关系最接近y与x之间的真实 关系．故选D.
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
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[答案] ①④
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修3
[解析]
①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一
条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的 分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．
第二章
2.3
2.3.1 2.3.2
2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关
[例3] 炼钢是一个氧化降碳的过程,钢水含碳量的多少直接影响冶炼时 间的长短,故必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系.如果已测得炉料熔 化完毕时,钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间) 的一列数据如表所示.
x (0.01%)
104
180 190 177
147
134
150
191
204
121
学霸经验分享区 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,两 个变量具有相关关系是回归分析的前提. (2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于关系不 明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无相关关系,然后再 进行相关回归分析. (3)通过对散点图的观察,一般地,若图中数据大致分布在一条直线附 近,那么这两个变量近似成线性相关关系. (4)求线性回归方程,应注意到,只有大部分点分布在某条直线附近, 求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无 意义.
名师点津 对回归直线方程的几点说明 (1)a,b的上方加“^ ”,表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值.
(2)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的( x , y )在回归直线上.
(3)由回归直线方程知 x 处的估计值为 yˆ = aˆ + bˆ x.
(4)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小. (5)求回归直线方程,计算量大,一般应学会使用计算器求解. (6)利用回归直线方程可以对总体进行估计.
解:散点图分别如图(1)(2)所示.
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条直线附近,因此两对变量 都具有相关关系. 图(1)中A的值由小变大时,B的值却是由大变小,即A和B成负相关; 图(2)中C的值由小变大时,D的值也是由小变大,即C和D成正相关.
x (0.01%)
104
180 190 177
147
134
150
191
204
121
学霸经验分享区 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法,两 个变量具有相关关系是回归分析的前提. (2)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的,对于关系不 明确的两组数据,可先作散点图,在图上看它们有无相关关系,然后再 进行相关回归分析. (3)通过对散点图的观察,一般地,若图中数据大致分布在一条直线附 近,那么这两个变量近似成线性相关关系. (4)求线性回归方程,应注意到,只有大部分点分布在某条直线附近, 求出的线性回归方程才有实际意义,否则,求出的线性回归方程毫无 意义.
名师点津 对回归直线方程的几点说明 (1)a,b的上方加“^ ”,表示是由观察值按最小二乘法求得的估计值.
(2)(xi,yi)(i=1,2,…,n)的( x , y )在回归直线上.
(3)由回归直线方程知 x 处的估计值为 yˆ = aˆ + bˆ x.
(4)回归直线使得样本数据中的点到它的距离的平方和最小. (5)求回归直线方程,计算量大,一般应学会使用计算器求解. (6)利用回归直线方程可以对总体进行估计.
解:散点图分别如图(1)(2)所示.
从图中可以看出两图中的点各自分布在一条直线附近,因此两对变量 都具有相关关系. 图(1)中A的值由小变大时,B的值却是由大变小,即A和B成负相关; 图(2)中C的值由小变大时,D的值也是由小变大,即C和D成正相关.
《线性相关关系》课件
04
CATALOGUE
多元线性回归分析
多元线性回归模型
定义
多元线性回归模型是用来 描述因变量与两个或两个 以上的自变量之间的线性 关系的模型。
公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
假设
误差项 ε 满足独立同分布 ，且均值为0，方差恒定。
最小二乘法估计参数
线性相关关系强调的是变量之间的关 联程度和变化趋势，而不是确定性的 数学关系；函数关系则强调变量之间 的确定性和规律性。在线性相关关系 中，两个变量的值可以相互影响，而 在函数关系中，一个变量的值是由另 一个变量的值确定的。
在某些情况下，线性相关关系可以转 化为函数关系，例如通过最小二乘法 拟合直线。但是，线性相关关系更广 泛，它可以包括非线性的情况，即两 个变量之间存在曲线或其他非线性关 系。
模型检验
在建立回归模型后，需要对模型进行检验，以确保其有效 性。常见的检验包括残差分析、回归系数检验和整体模型 显著性检验等。
预测
使用回归模型可以对未来的数据进行预测。通过将自变量 代入模型中，可以计算出对应的因变量的预测值。
注意事项
在使用回归模型进行预测时，需要考虑模型的适用范围和 局限性，以及数据的变化趋势和异常值对预测结果的影响 。
变量进行变换等。
05
CATALOGUE
线性相关关系的应用实例
经济学中的线性相关关系分析
总结词
在经济学中，线性相关关系被广泛应用于市场分析、经济预测和政策制定等方面。
详细描述
经济学家通过研究不同经济指标之间的线性相关关系，可以深入了解经济运行规律，预测未来经济趋势，为政策 制定提供科学依据。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，可以分析经济周期和政策效果。
新人教版高中数学选择性必修一课件：8.1.1变量的相关关系
sy
sx
( xi x) 上
说明成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系
新人教A版高中数学精品教学课件
由此可见，样本相关系数r的取值范围为[-1，1].样本相关系数
r的绝对值大小可以反映成对数据之间线性相关的程度。
问题5：样本相关系数r的取值与成对样本数据的相关程度
有什么内在联系？
答 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强;
也呈现减少的趋势
线性相关：两个变量呈正相关或负相关，且散点图落在一条直线附近
新人教A版高中数学精品教学课件
40
35
脂肪含量%
30
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
40
50
结论：脂肪含量与年龄成线性正相关关系
60
70
年龄/岁
练习.下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是（ D ）
新人教A版高中数学精品教学课件
新人教A版高中数学精品教学课件
解：先画出散点图,可以看出样本点都集中在一条直线附近，
由此推断脂肪含量和年龄线性相关。
∴ ≈
19403.2 − 14 × 48.07 × 27.26
34181 − 14 ×
48.072
× 11051.77 − 14 ×
27.262
≈ 0.97
类似于平面或空间向量的坐标表示，对于向量
a (a1 , a2 ,, an )
b (b1 , b2 ,, bn )
我们有 a b a1b1 a2b2 anbn
设“标准化”处理后的成对数据 ( x , y ), ( x2 , y2 ),, ( xn , yn )
人教版数学选择性必修三8.1.1变量的相关关系课件
这种关系称为相关关系．
2．正相关、负相关
• 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也
增加
呈现______的趋势，我们就称这两个变量正相关；
减少
• 如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现______的趋
势，则称这个两个变量负相关．
3．线性相关
• 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点
子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有
关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此
二者之间具有相关关系；
题型一
[例1]
相关关系的理解
判断以下两个变量之间是否具有相关关系？
(3)学生的学号与身高；
学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；
(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．
跟踪训练
1. (多选题)下列说法正确的是( ABD )
√ A．闯红灯与交通事故产生率的关系是相关关系
闯红灯与产生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系.
√ B．同一物体的加速度与作用力是函数关系
物体的加速度与作用力的关系是函数关系.
× C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系
产品的成本与产量之间是相关关系.
√ D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系
广告费用与销售量之间是相关关系.
题型二
[例2]
散点图与相关性
某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄
2
3
4
5
6
7
8
体积
30
34
40
60
55
62
70
(1)请作出这些数据的散点图；
2．正相关、负相关
• 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也
增加
呈现______的趋势，我们就称这两个变量正相关；
减少
• 如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现______的趋
势，则称这个两个变量负相关．
3．线性相关
• 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点
子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有
关，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此
二者之间具有相关关系；
题型一
[例1]
相关关系的理解
判断以下两个变量之间是否具有相关关系？
(3)学生的学号与身高；
学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；
(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系．
跟踪训练
1. (多选题)下列说法正确的是( ABD )
√ A．闯红灯与交通事故产生率的关系是相关关系
闯红灯与产生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系.
√ B．同一物体的加速度与作用力是函数关系
物体的加速度与作用力的关系是函数关系.
× C．产品的成本与产量之间的关系是函数关系
产品的成本与产量之间是相关关系.
√ D．广告费用与销售量之间的关系是相关关系
广告费用与销售量之间是相关关系.
题型二
[例2]
散点图与相关性
某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄
2
3
4
5
6
7
8
体积
30
34
40
60
55
62
70
(1)请作出这些数据的散点图；
高中数学精品课件 2.3.1 变量之间的相关关系--2.3.2 两个变量的线性相关
房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 49.6 43.2 38.8 58.4 44
①画出数据对应的散点图； ②判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果 有相关关系，是正相关还是负相关？
解 ①数据对应的散点图如图所示.
②通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋 面积之间具有相关关系，并且是正相关.
x0123 y1357 则 y 与 x 的线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ 必过点( )
A.(2,2)
B.(1,2)
C.(1.5,0)
D.(1.5,4)
解析 易得－x＝1.5，－y＝4，由于回归直线过样本点的中心(－x，
－y)，故选 D. 答案 D
4.小学生身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为y^＝8.8x＋65， 预测一名 10 岁的小学生的身高为________. 解析 当 x＝10 时，y^＝8.8×10＋65＝153. 答案 153
题型三 利用回归方程对总体进行估计 【例3】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
年份
2008 2010 2012 2014 2016
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝b^ x＋ a^ ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量.
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函 ①函数关系中两个变量间是一种确定性 ①在一定的条件下可以相
①画出数据对应的散点图； ②判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系，如果 有相关关系，是正相关还是负相关？
解 ①数据对应的散点图如图所示.
②通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋 面积之间具有相关关系，并且是正相关.
x0123 y1357 则 y 与 x 的线性回归方程为y^＝b^ x＋a^ 必过点( )
A.(2,2)
B.(1,2)
C.(1.5,0)
D.(1.5,4)
解析 易得－x＝1.5，－y＝4，由于回归直线过样本点的中心(－x，
－y)，故选 D. 答案 D
4.小学生身高 y 与年龄 x 之间的线性回归直线方程为y^＝8.8x＋65， 预测一名 10 岁的小学生的身高为________. 解析 当 x＝10 时，y^＝8.8×10＋65＝153. 答案 153
题型三 利用回归方程对总体进行估计 【例3】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数
据：
年份
2008 2010 2012 2014 2016
需求量/万吨 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝b^ x＋ a^ ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2018 年的粮食需求量.
函数关系
变量之间的关系可以用函数表示
相关关系 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数表示
2.相关关系与函数关系的区别与联系
类别
区别
联系
函 ①函数关系中两个变量间是一种确定性 ①在一定的条件下可以相
人教A版高中数学必修三课件2.3.2两个变量的线性关系
练习：书P86A组1、3
作业：P86A组2
高中数学课件
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2.3.2两个变量的线性关系
.
复习引入：
1、前面我们学习了现实生活中存在许多相关 关系：商品销售与广告、粮食生产与施肥量、 人体的脂肪量与年龄等等的相关关系.
•2、通过收集大量的数据，进行统计，对数据分析， 找出其中的规律，对其相关关系作出一定判断.
.3、由于变量之间相关关系的广泛性和不确定性，所 以样本数据应较大，和有代表性.才能对它们之间的关 系作出正确的判断.
探究：
.
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61 脂肪 35.2 34.6
如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？
我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强， 人们经过长期的实践与研究，已经找到了 计算回归方程的斜率与截距的一般公式:
n
n
y (xi x)(yi y)
xi
nxy
i
b i1 n
(xi x)2
i1 n
xi2 nx2
,
i1
i1
a ybx
以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原 理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最 小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P80）
高中数学 第二章 统计 2.3.1-2.3.2 变量之间的相关关系 两个变量的线性相关课件 新人教
A .1 B .1 C .1 D .1 1 6 8 4 2
35
【思路导引】利用回归直线方程必过样本点的中心求解.
【解析】选B.依题意可知样本点的中心为 ( 3 , ，3 )
48
则3
8
= 1×
3
+3
4
，a 解得
=a .
1 8Βιβλιοθήκη 36【拓展延伸】相关关系的强弱
(1)若相应于变量x的取值xi，变量y的观测值为yi(1≤i≤n)，称r=
6
(2)你能举例说明你对正相关与负相关的理解吗？ 提示：随自变量的变大(或变小)，因变量也随之变大(或变小)，这种带有随机性 的相关关系，我们称为正相关.例如，人年龄由小变大时，体内脂肪含量也由少 变多. 随自变量的变大(或变小)，因变量却随之变小(或变大)，这种带有随机性的相关 关系，我们称为负相关.例如，汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程就 越短.
n
n
x i2，
xi y，i
i1
i1
30
(5)代入公式计算
b ，a，公式为
n
x iyi n x y
b
i1
n
x
2 i
n
x
2
i1
，
a y b x .
(6)写出回归直线方程 = x+ .
yb a
31
【跟踪训练】 已知变量x，y有如下对应数据：
x1234 y1345
(1)作出散点图. (2)用最小二乘法求关于x，y的回归直线方程.
42
【思路导引】(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标， 在平面直角坐标系内画散点图. (2)应用计算公式求得线性相关系数 bˆ ， aˆ 的值. (3)实际上就是求当x=100时，对应的 yˆ 的值.
变量间的相关关系-PPT课件
.
8
二、合作探索，直观感知
• 问题探究:
在一次对人体年龄关系的研究中,研究人员获得了一 组样本数据: 根据数据,人体的脂肪含量与年龄之间有 怎样的关系？(同学们交流)
年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年龄 53 54 56 57 58 60 61
• 无相关性：因变量与自变量不具备相关性
小结：两个变量间的相关关系，可以借助散点
图直观判断
.
16
思考：在各种各样的散点图中，有些散点图 中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的 分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量 的样本数据的散点图中的点的分布有什么特 点？
40 35 30 25 20 15 10
.
7
变量间相关关系的概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随 机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系
请同学们回忆一下,我们以前是否学过变量间的关系呢?
两个变量间的函数关系.
相关关系与函数关系的异同点: 相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关 系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果 关系,也可能是伴随关系.
②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力，引出利用计 算机等现代化教学工具的必要性。 3、情感、态度与价值观： 类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直 线方程对实际问题进行分析和预测的意识,让学生动手操作，合作交流,激 发学生的学习兴趣。
.
2
第七章线性相关分析PPT课件
▪ 圆的面积(S)与半径之间的关系
可表示为 S = R2
（二）相关关系
特点: 1、一个变量的取值不是完全由另一个(或一组)
变量唯一确定。 2、当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有
几个，不是一一对应关系
概念：相关关系是变量之间确实存在着的数量上 的相互依存关系，但关系值是不固定的。
相关关系示图
947
1993
2099.5
1148
解：根据样本相关系数的计算公式有
r
nxyxy
nx2x2 ny2y2
1391561.9793128.2577457
1316073.73723128.2572 13522639794527
0.9987
人均国民收入与人均消费金额之间的相 关系数为 0.9987
相关分析的不足：
当只涉及一个自变量时称为一元回归， 若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称 为一元线性回归。
（二）一元线性回归模型形式
Æ 只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示 为：
yc abx
(三)参数 a 和 b 的最小二乘估计
y 使因变量的观察值（y）与估计值（
)
c
之间的离差平方和达到最小来求回归方程中的待
关关系。可分解为多个单相关 进行分析。
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
不相关
三、相关分析
（一）概念：
就是对变量之间的相关关系进行分析。 分析 一个变量与另外一个（或一组）变 量之间的相关关系的密切程度和方向的一 种统计分析方法。
（二）方法
1、相关表： 例：教材P246页表9.1
第一节 相关关系与相关分析
可表示为 S = R2
（二）相关关系
特点: 1、一个变量的取值不是完全由另一个(或一组)
变量唯一确定。 2、当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有
几个，不是一一对应关系
概念：相关关系是变量之间确实存在着的数量上 的相互依存关系，但关系值是不固定的。
相关关系示图
947
1993
2099.5
1148
解：根据样本相关系数的计算公式有
r
nxyxy
nx2x2 ny2y2
1391561.9793128.2577457
1316073.73723128.2572 13522639794527
0.9987
人均国民收入与人均消费金额之间的相 关系数为 0.9987
相关分析的不足：
当只涉及一个自变量时称为一元回归， 若因变量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称 为一元线性回归。
（二）一元线性回归模型形式
Æ 只涉及一个自变量的简单线性回归模型可表示 为：
yc abx
(三)参数 a 和 b 的最小二乘估计
y 使因变量的观察值（y）与估计值（
)
c
之间的离差平方和达到最小来求回归方程中的待
关关系。可分解为多个单相关 进行分析。
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
不相关
三、相关分析
（一）概念：
就是对变量之间的相关关系进行分析。 分析 一个变量与另外一个（或一组）变 量之间的相关关系的密切程度和方向的一 种统计分析方法。
（二）方法
1、相关表： 例：教材P246页表9.1
第一节 相关关系与相关分析
课件_人教版高中数学必修三变量之间的相关关系课件PPT课件_优秀版
（1）.球的体积与该球的半径;
（2）.粮食的产量与施肥量; （3）.小麦的亩产量与光照; （4）.匀速行驶车辆的行驶距离与时间; （5）.角α与它的正切值
练习2、 下列两个变量之间的关系,哪
个不是函数关系（ D）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高
第三步，写出回归方程
1、线性相关关系:散点图中点的分布从整体上看
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
练习1、探究下面变量间的关系是函数关
系还是相关关系。
第三步，写出回归方程
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
第一步，画散点图，判断变量是否线性相关。
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
（1）相关关系与函数关系的异同点？
（2）请举出生活中具有相关关系 的两个变量的例子。
相关关系与函数关系的异同点
相同点： 两者均是指两个变量间的关系。
不同点：（1）函数关系是一种确定关系， 相关关系是一种非确定的关系。
（2）函数关系是一种因果关系， 相关关系不一定是因果关系。
练习1、探究下面变量间的关系是函数关 系还是相关关系。
脂肪含量
20.9%
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
i1 n
（2）.粮食的产量与施肥量; （3）.小麦的亩产量与光照; （4）.匀速行驶车辆的行驶距离与时间; （5）.角α与它的正切值
练习2、 下列两个变量之间的关系,哪
个不是函数关系（ D）
A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高
第三步，写出回归方程
1、线性相关关系:散点图中点的分布从整体上看
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
练习1、探究下面变量间的关系是函数关
系还是相关关系。
第三步，写出回归方程
匀速行驶车辆的行驶距离与时间;
第一步，画散点图，判断变量是否线性相关。
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
（1）相关关系与函数关系的异同点？
（2）请举出生活中具有相关关系 的两个变量的例子。
相关关系与函数关系的异同点
相同点： 两者均是指两个变量间的关系。
不同点：（1）函数关系是一种确定关系， 相关关系是一种非确定的关系。
（2）函数关系是一种因果关系， 相关关系不一定是因果关系。
练习1、探究下面变量间的关系是函数关 系还是相关关系。
脂肪含量
20.9%
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
例：有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气 温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
i1 n
《变量的相关性》课件
除了相关性分析外，还需要结合其他 统计方法和领域知识来进行因果关系 推断，以得出更准确的结论。
CHAPTER
05
变量相关性分析的局限性
数据质量对相关性分析的影响
数据来源
数据来源的可靠性、准确性和完 整性对相关性分析结果的影响较 大。如果数据存在误差或偏差， 分析结果可能不准确。
数据处理
数据处理过程中的错误，如数据 清洗、异常值处理等，也可能影 响相关性分析的结果。
。
Kendall tau系数：衡量两个 变量的排序相关性。
偏相关系数：在控制其他变量 的影响下，衡量两个变量之间
的相关性。
CHAPTER
02
线性相关
线性相关的定义
线性相关是指两个或多个变量之间存在一种关系，当一个变 量变化时，另一个变量也随之变化，这种关系可以用一条直 线近似表示。
线性相关关系可以分为正相关和负相关两种类型，正相关表 示一个变量随着另一个变量的增加而增加，负相关表示一个 变量随着另一个变量的增加而减少。
非线性相关的度量-Spearman秩相关系数
Spearman秩相关系数是一种用于度 量两个变量之间非线性关系的统计方 法。
Spearman秩相关系数的值介于-1和1 之间，其中正值表示正相关，负值表 示负相关，绝对值越大表示相关性越 强。
它通过比较两个变量的秩次（即数据 值排序后的位置）来计算相关系数， 从而能够揭示出两个变量之间的非线 性关联程度。
线性相关的判定
判定两个变量是否线性相关需要进行线性相关检验，常用的方法有散点 图法和计算Pearson相关系数法。
通过散点图可以直观地观察到两个变量之间是否存在线性相关趋势，如 果散点大致分布在一条直线的两侧，则说明两个变量之间存在线性相关
CHAPTER
05
变量相关性分析的局限性
数据质量对相关性分析的影响
数据来源
数据来源的可靠性、准确性和完 整性对相关性分析结果的影响较 大。如果数据存在误差或偏差， 分析结果可能不准确。
数据处理
数据处理过程中的错误，如数据 清洗、异常值处理等，也可能影 响相关性分析的结果。
。
Kendall tau系数：衡量两个 变量的排序相关性。
偏相关系数：在控制其他变量 的影响下，衡量两个变量之间
的相关性。
CHAPTER
02
线性相关
线性相关的定义
线性相关是指两个或多个变量之间存在一种关系，当一个变 量变化时，另一个变量也随之变化，这种关系可以用一条直 线近似表示。
线性相关关系可以分为正相关和负相关两种类型，正相关表 示一个变量随着另一个变量的增加而增加，负相关表示一个 变量随着另一个变量的增加而减少。
非线性相关的度量-Spearman秩相关系数
Spearman秩相关系数是一种用于度 量两个变量之间非线性关系的统计方 法。
Spearman秩相关系数的值介于-1和1 之间，其中正值表示正相关，负值表 示负相关，绝对值越大表示相关性越 强。
它通过比较两个变量的秩次（即数据 值排序后的位置）来计算相关系数， 从而能够揭示出两个变量之间的非线 性关联程度。
线性相关的判定
判定两个变量是否线性相关需要进行线性相关检验，常用的方法有散点 图法和计算Pearson相关系数法。
通过散点图可以直观地观察到两个变量之间是否存在线性相关趋势，如 果散点大致分布在一条直线的两侧，则说明两个变量之间存在线性相关
人教课标版高中数学必修3《变量间的相关关系》参考课件
2．回归直线方程问题
(1)回归直线方程^y ＝^b x＋^a 的理解
这里在 y 的上方加记号“^ ”是为了区别实际值 y，表示当 x 取值
xi(i＝1,2，…，n)时，y 相应的观察值为 yi，而直线上对应于 xi 的纵坐标是y^i＝a＋bxi. (2)求回归直线方程的原理——最小二乘法．
设 x、y 的一组观察值为(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，且回归直线方 程为y^＝^a＋^bx.
方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的
_平__方__和__最__小__的方法叫做最小二乘法．
回归直线通过样本点的中心，对照平均数与样本数据 之间的关系，你能说说回归直线与散点图中各点之间的关 系吗？ 提示 假设样本点为(x1，y1)(x2，y2)，…，(xn，yn)，记 x ＝
n1i＝n1xi， y ＝n1i＝n1yi，则( x ， y )为样本点的中心，回归直线一
规律方法 (1)函数关系是一种确定性关系，如匀速直线 运动中路程s与时间t的关系；相关关系是一种非确定性关 系，如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． (2)判断两个变量是否是相关关系的关键是看这两个变量 之间是否具有不确定性．
【变式1】下列关系中，带有随机性相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量 之间的关系；③人一生的身高与年龄之间的关系；④某餐 点热饮销售的数量与气温的关系． 解析 ①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；② 水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是 具有相关性，因而是相关关系；③人的身高与年龄之间的 关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达 到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相 关关系；④一般来说，气温越高，售出的热饮越少．因此 填②④. 答案 ②④
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距离之和：
q q1 q2 qn y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
越小越好
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算回归方程的较为科学的方法:
点到直线距离的平方和：
Q (y1 bx1 a)2 y2 bx2 a2 yn bxn a2
n
n
3、计算 x , y, xi2 , xi yi
i1 i1
4、代入公式求 b, a 的值
5、写出回归直线的回归方程
例1、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究
气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
0 10 15 20 25 30 35 40
销售总额
y
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5 1
0 10 15 20 25 30 35 40
销售总额
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算y回归方程的较为科学的方法:
y bxa
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
0 10 15 20 25 30 35 40
角的区域内，称它们
成负相关.
思考：当销售总额增加时，公司利润到底
是以什么方式增加的呢？ y
这些点大致分
布在一条直线附近, 像这样如果散点图
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
中的点的分布从整 体上看大致在一条 直线附近我们就称 这两个变量之间具 有线性相关关系, 这 条直线叫做回归直 线, 这条直线的方程 叫做回归方程
y
x 10 15 17 20 25 28 32
y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
0 10 15 20 25 30 35 40
x
销售总额
下面直角坐标系, 作出各个点, 称该图为散点图。
图像有什么特点呢？
y
销售总额越
大,公司利润 越高，点的
取最小值
人们经过长期的实践与研究,已经找到了
计算回归方程的较为科学的方法:
n
(xi x)(yi y)
n
xi yi nx y
b i1 n
(xi x)2
i1
i1 n
xi2
2
nx
,
i1
a y b x
回归方程为 y b x a (斜率.截距)
探究：
某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位： 千万元)之间有如下表对应的数据：
x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3
在平面直角坐标系中作出x与y的关系图，观 察y与x有怎样的关系？
下面建立直角坐标系, 作出各个点, 称该图为散点图。
解：
1、各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此， 气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。
2、回归方程为：y 2.352x 147.767
3、当x=2时， y 143.063 因此，某天的
气温为2摄氏度时，这天大约可以卖出143杯 热饮。
练习：
实验测得四组（x,y）的值如下表所示：
x
1
2
3
4
y
2
3
4
5
则y与x之间的回归直线方程为（ A ）
4
4
（参考数值：x 2.5, y 3.5, xi2 30, xi yi 40 ）
25
28
32
yi
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
xiyi
10
19.5
30.6
40
65
75.6 105.6
3、计算
x 21, y 2.1
7
7
xi2 3447, xi yi 346.3
i 1
i 1
4、代入公式求 b, a 的值
b
7
xi yi 7x y
销售总额
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算y回归方程的较为科学的方法:
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
A xi , yi
B xi ,bxi a
0 10 15 20 25 30 35 40
qi yi (bxi a) yi bxi a
销售总额
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算回归方程的较为科学的方法:
利 4.5 润4
3.5 3
2.5
2 1.5
位置散布在 从左下角到 右上角的区 域。称它们 成正相关
1
0 10 15 20 25 30 35 40
销售总额
思考： 两个变量成负相关，散点图有什么特点？
如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海
平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出
散点图发现，它们散
布在从左上角到右下
i 1
7
xi2
2
7x
i 1
346.3-308.7 3447-3087
1.04
a y b x 2.11.04 21 19.74
5、写出回归直线的回归方程
y 1.04x 19.74
求回归直线方程的步骤
1、画出散点图，判断是否有相关关系。
2、设回归方程
40
20
0
x
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
1、从散点图中发现气温与热饮
销售杯数之间关系的一般规律；
2、求回归方程；
（已知：x 15.364, y 111.636
11
11
xi2 4335, xi yi 14778 ）
i 1
i 1
3、如果某天的气温是2摄氏度， 预测这天卖出的热饮杯数。
以上公式的推导较复杂，故不作推导，
这一方法叫最小二乘法。
思考：当销售总额增加时，公司利润到底 是以什么方式增加的呢？
x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3
解：1、设回归方程 2、列表
y bxa
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
10
15
17
20
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
y
180
热饮杯数
160
140
120
100
80
热饮杯数
60
q q1 q2 qn y1 bx1 a y2 bx2 a yn bxn a
越小越好
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算回归方程的较为科学的方法:
点到直线距离的平方和：
Q (y1 bx1 a)2 y2 bx2 a2 yn bxn a2
n
n
3、计算 x , y, xi2 , xi yi
i1 i1
4、代入公式求 b, a 的值
5、写出回归直线的回归方程
例1、有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究
气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表：
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
0 10 15 20 25 30 35 40
销售总额
y
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5 1
0 10 15 20 25 30 35 40
销售总额
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算y回归方程的较为科学的方法:
y bxa
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
0 10 15 20 25 30 35 40
角的区域内，称它们
成负相关.
思考：当销售总额增加时，公司利润到底
是以什么方式增加的呢？ y
这些点大致分
布在一条直线附近, 像这样如果散点图
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
中的点的分布从整 体上看大致在一条 直线附近我们就称 这两个变量之间具 有线性相关关系, 这 条直线叫做回归直 线, 这条直线的方程 叫做回归方程
y
x 10 15 17 20 25 28 32
y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
0 10 15 20 25 30 35 40
x
销售总额
下面直角坐标系, 作出各个点, 称该图为散点图。
图像有什么特点呢？
y
销售总额越
大,公司利润 越高，点的
取最小值
人们经过长期的实践与研究,已经找到了
计算回归方程的较为科学的方法:
n
(xi x)(yi y)
n
xi yi nx y
b i1 n
(xi x)2
i1
i1 n
xi2
2
nx
,
i1
a y b x
回归方程为 y b x a (斜率.截距)
探究：
某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位： 千万元)之间有如下表对应的数据：
x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3
在平面直角坐标系中作出x与y的关系图，观 察y与x有怎样的关系？
下面建立直角坐标系, 作出各个点, 称该图为散点图。
解：
1、各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此， 气温与热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。
2、回归方程为：y 2.352x 147.767
3、当x=2时， y 143.063 因此，某天的
气温为2摄氏度时，这天大约可以卖出143杯 热饮。
练习：
实验测得四组（x,y）的值如下表所示：
x
1
2
3
4
y
2
3
4
5
则y与x之间的回归直线方程为（ A ）
4
4
（参考数值：x 2.5, y 3.5, xi2 30, xi yi 40 ）
25
28
32
yi
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
xiyi
10
19.5
30.6
40
65
75.6 105.6
3、计算
x 21, y 2.1
7
7
xi2 3447, xi yi 346.3
i 1
i 1
4、代入公式求 b, a 的值
b
7
xi yi 7x y
销售总额
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算y回归方程的较为科学的方法:
利 4.5 润4
3.5 3 2.5 2 1.5
1
A xi , yi
B xi ,bxi a
0 10 15 20 25 30 35 40
qi yi (bxi a) yi bxi a
销售总额
人们经过长期的实践与研究,已经找到了 计算回归方程的较为科学的方法:
利 4.5 润4
3.5 3
2.5
2 1.5
位置散布在 从左下角到 右上角的区 域。称它们 成正相关
1
0 10 15 20 25 30 35 40
销售总额
思考： 两个变量成负相关，散点图有什么特点？
如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海
平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出
散点图发现，它们散
布在从左上角到右下
i 1
7
xi2
2
7x
i 1
346.3-308.7 3447-3087
1.04
a y b x 2.11.04 21 19.74
5、写出回归直线的回归方程
y 1.04x 19.74
求回归直线方程的步骤
1、画出散点图，判断是否有相关关系。
2、设回归方程
40
20
0
x
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
1、从散点图中发现气温与热饮
销售杯数之间关系的一般规律；
2、求回归方程；
（已知：x 15.364, y 111.636
11
11
xi2 4335, xi yi 14778 ）
i 1
i 1
3、如果某天的气温是2摄氏度， 预测这天卖出的热饮杯数。
以上公式的推导较复杂，故不作推导，
这一方法叫最小二乘法。
思考：当销售总额增加时，公司利润到底 是以什么方式增加的呢？
x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3
解：1、设回归方程 2、列表
y bxa
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
10
15
17
20
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36
热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54
y
180
热饮杯数
160
140
120
100
80
热饮杯数
60