高中数学第二章平面向量1从位移速度力到向量学案北师大版必修
新教材高中数学第2章平面向量及其应用§1从位移速度力到向量学案含解析北师大版必修第二册
新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册:§1 从位移、速度、力到向量学 习 任 务核 心 素 养 1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.掌握共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)通过向量的有关概念的学习,培养数学抽象素养.(1)起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.(2)民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班.民航客机飞行一次,位移变化一次,由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.阅读教材,结合上述情境回答下列问题:问题1:上述情境涉及哪些物理量?其特点是什么? 问题2:在物理中,位移与路程是同一个概念吗?为什么? 问题3:平行向量一定是相等向量吗? 知识点1 向量的概念数学中,我们把既有大小又有方向的量统称为向量,而把那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、身高、体积等).两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗? [提示] 数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小. 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段,叫作有向线段.以A 为起点,B 为终点的有向线段,记作AB →,线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度,记作||AB→. (2)向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,即长度(也称模),记作|a |.箭头所指的方向表示向量的方向.知识点3 零向量与单位向量(1)长度为0的向量称为零向量,记作0或0→; (2)模等于1个单位长度的向量,叫作单位向量.1.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是________;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是________.[答案] 一条直线 两个点 知识点4 向量的基本关系(1)相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量,记作a =b .(2)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫共线向量;a 平行于b ,记作a ∥b ;规定零向量与任一向量共线.(3)相反向量:长度相等且方向相反的向量,叫作相反向量,a 的相反向量记作-a ; 规定零向量的相反向量是零向量.2.下列说法错误的是( )A .若a =0,则||a =0B .零向量是没有方向的C .零向量与任意向量平行D .零向量与任意向量垂直B [零向量的长度为0,方向是任意的,它与任何向量都平行、垂直,所以B 是错误的.] 知识点5 向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,在平面内选一点O ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角;(2)夹角的大小与向量共线、垂直的关系:θ=0°⇔a 与b 同向;θ=180°⇔a 与b 反向;θ=90°⇔a ⊥b ,规定:零向量与任一向量垂直.3.等边△ABC 中,AB →与AC →的夹角是________,AB →与BC →的夹角是________.[答案] 60° 120°类型1 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确,并说明理由.(1)a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ;(2)若AB →=DC →,则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点; (3)在平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →; (4)若向量a 与任一向量b 平行,则a =0.[解] (1)当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件,故(1)不正确.(2)AB →=DC →,A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上,故(2)不正确.(3)在平行四边形ABCD 中,|AB →|=|DC →|,AB →与DC →平行且方向相同,故AB →=DC →,(3)正确. (4)零向量的方向是任意的,与任一向量平行,(4)正确.1.向量共线即表示共线向量的有向线段在同一条直线上或平行.2.熟知向量的基本概念,弄清基本概念之间的区别与联系是解决向量概念辨析题的基础.[跟进训练]1.已知O 是△ABC 的外心,则AO →,BO →,CO →是( ) A .相等向量 B .平行向量 C .模相等的向量 D .起点相同的向量C [||AO →=||BO →=||CO →=r .] 类型2 向量的表示【例2】 (教材北师版P 75例1改编)一辆消防车从A 地去B 地执行任务,先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地,然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地,从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →,DC →,CB →,AB →; (2)求B 地相对于A 地的位置向量.[解] (1)向量AD →,DC →,CB →,AB →,如图所示. (2)由题意知AD →=BC →, ∴AD 与BC 平行且相等, ∴四边形ABCD 为平行四边形,∴AB →=DC →,∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°,6千米”.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.[跟进训练]2.在如图的方格纸中,画出下列向量.(每个小正方形的边长为1).(1)|OA →|=4,点A 在点O 正北方向;(2)|OB →|=22,点B 在点O 东偏南45°方向;(3)画一个以C 为起点的向量c ,使|c |=2,并说出c 的终点的轨迹是什么? [解] (1)(2)(3)的图象如图所示.(3)c 的终点轨迹是以C 为圆心,半径为2的圆. 类型3 共线向量与夹角【例3】 (教材北师版P 76例2改编)如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,(1)分别写出图中所示与OA →,OB →,OC →相等的向量; (2)分别求出AB →与OB →,AB →与FE →的夹角的大小.[解] (1)OA →=CB →=DO →;OB →=DC →=EO →;OC →=AB →=ED →=FO →. (2)AB →与OB →的夹角的大小为60°,AB →与FE →的夹角的大小为60°.1.例3中与OA →模相等的向量有多少? [解] 由图知与OA →的模相等的向量有23个.2.例3中向量OA →的相反向量有哪些?[解] 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →,BC →,FE →,AO →. 3.例3中与向量OA →共线的向量有哪些?[解] 与向量OA →共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →. 4.求出例3中AB →与OA →的夹角的大小 [解] AB →与OA →的夹角的大小为120°.判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,则只要判断它们是否同向或反向即可.[跟进训练]3.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.(1)写出与AF →、AE →相等的向量; (2)写出与AD →模相等的向量; (3)求AE →与CD →夹角的度数. [解] (1)AF →=BE →=CD →,AE →=BD →. (2)DA →,CF →,FC →.(3)因为CD →=AF →,所以AE →与CD →夹角为∠EAF =45°.1.下列结论正确的个数是( )①温度含零上和零下温度,所以温度是向量; ②向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量; ③若|a |>|b |,则a >b .A .0B .1C .2D .3B [①温度没有方向,所以不是向量,故①错;③向量不可以比较大小,故③错;②若a ,b 中有一个为零向量,则a 与b 必共线,故a 与b 不共线,则应均为非零向量,故②对.]2.(多选题)下列说法错误的是( ) A .若|a |=|b |,则a =±bB .零向量的长度是0C .长度相等的向量称为相等向量D .共线向量是在同一条直线上的向量ACD [对A ,当|a |=|b |时,由于a ,b 方向不一定相同,a =±b 未必成立,所以A 错误;对B ,零向量的长度是0,正确;对C ,长度相等的向量方向不一定相同,故C 错误;对D ,共线向量不一定在同一条直线上,故D 错误.故选ACD.]3.在四边形ABCD 中,AB →=DC →,且|AD →|=|AB →|,则这个四边形是( ) A .正方形 B .矩形 C .等腰梯形 D .菱形 D [由AB →=DC →可知AB ∥DC ,且|AB →|=|DC →|, 所以四边形ABCD 为平行四边形. 又|AD →|=|AB →|,所以平行四边形ABCD 为菱形.故选D.]4.设O 是正方形ABCD 的中心,则OA →,BO →,AC →,BD →中,模相等的向量是________. [答案] OA →与BO →,AC →与BD →5.如图所示的菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,∠DAB =60°,则DA →与CA →的夹角为________;DA →与BC →的夹角为________.30° 180° [由图知,DA →与CA →的夹角与∠DAO 是对顶角,又因∠DAB =60°,根据菱形的几何性质,知∠DAO =30°,故DA →与CA →的夹角为30°,DA →与BC →为相反向量,故DA →与BC →的夹角为180°.]回顾本节内容,自我完成以下问题: 1.向量与有向线段有怎样的联系与区别?[提示] 用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性,应该注意的是有向线段还是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.有向线段的起点、终点是确定的,而向量仅由大小和方向确定,与起点位置无关.2.向量的“平行”与平面几何中的“平行”含义是否相同?[提示]共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.。
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制
北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案扶风县法门高中姚连省第一课时 2.1从位移、速度、力到向量一、教学目标1.知识与技能:(1)理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别;(2)理解向量的实际背景与基本概念,理解向量的几何表示,并体会学科之间的联系.(3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法:通过力与力的分析等实例,引导学生了解向量的实际背景,帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示;最后通过讲解例题,指导学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.3.情感态度价值观:通过本节的学习,使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识;激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二.教学重、难点:重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法.三.学法与教法学法:(1)自主性学习+探究式学习法:(2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究交流法.四.教学过程(一)、创设情境实例:老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去。
问:猫能否追到老鼠?(画图)结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了.(二)、探究新知1.学生阅读教材思考如下问题A B[展示投影](学生先讲,教师提示或适当补充)(1). 举例说明什么是向量?向量与数量有何区别?既有大小又有方向的量叫向量。
例:力、速度、加速度、冲量等。
注意:①数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.向量的表示方法有哪些?①几何表示法:有向线段有向线段:具有方向的线段叫做有向线段。
高中数学 第2章《平面向量》1从位移、速度、力到向量导学案 北师大版必修
陕西省榆林育才中学高中数学第2章《平面向量》1从位移、速度、力到向量导学案北师大版必修4使用说明1.根据学习目标,课前认真阅读课本第71页到第73页内容,完成预习引导的全部内容.2.在课堂上(最好在课前完成讨论)发挥高效学习小组的作用,积极讨论,大胆展示,完成合作探究部分.学习目标1.了解向量的实际背景,理解向量的概念.2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量等概念.学习重点向量、零向量、单位向量、平行向量的概念.学习难点向量的概念,零向量、单位向量、平行向量的判断自主学习一、自主预习1.我们把______________________的量叫做向量;把____________ 的线段叫做有向线段,以A为起点,B为终点的有向线段记作____,线段AB的长度叫做有向线段AB的长度,记作_______,2.向量可以用有向线段表示,向量AB的长度(或称____)记作_____,长度为零的向量叫做____向量,记作0,长度等于1个单位的向量,叫做__ 向量;有向线段包括三要素____、____、____;数学中我们研究的向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量。
向量也可以用黑体小写字母如a,b,c,…来表示,书写用,c,b,a来表示.3.______________________的非零向量叫做平行向量,向量a与b平行,记作______,规定0与任一向量平行,即对任意向量a都有___ ;4._______________________的向量叫做相等向量;若a与b相等,记作___ ;5.由于任一组平行向量可以移动到同一直线上,平行向量也叫_______向量.【预习自测】1.(向量的概念)下列各量中不是向量的是()A. 浮力B.风速C.位移D.密度E.温度F.体积2.下列说法中错误的是( )(A )零向量是没有方向的; (B )零向量的长度为0;(C) 零向量与任一向量平行; (D) 零向量的方向是任意的.3.给出下列命题:○1向量AB 和向量BA 的长度相等;○2方向不相同的两个向量一定不平行;○3向量就是有向线段;○4向量0=0;○5向量AB 大于向量CD 。
高中数学2.1《从位移、速度、力到向量》学案(北师大版必修4)
CB《从位移、速度、力到向量》课堂练习Ⅰ.合作交流,感知概念Ⅱ、判断对错,理解概念⑴若向量AB 与CD 是共线向量,则,,,A B C D 四点共线.⑵若四边形ABCD 是平行四边形,则AB DC =;反之,若AB DC =,则A 、B 、C 、D 四点必能组成平行四边形. ⑶若,,a b b c ==则a c = ⑷若//,//,a b b a 则//a cⅢ.应用迁移,巩固提高如图,,,D E F 依次为等边三解形ABC 的边,,AB BC AC ,,,,,A B C D E F 为起点或终点的向量中,⑴找出与DE 相等的向量。
⑵找出与DF 共线的向量。
Ⅳ.创新应用,提升能力请你当一回老师,考考你的搭档,在方格中画出一些向量(要求所画向量的起点和终点必须在方格的格点处),让其辩认出是否存在共线向量、相等相量?若存在,请一一举出。
Ⅴ.回顾历史,感受文化Ⅵ. 总结反思,布置作业数学诗《我的向量》1、小结给你一个方向,你就成为我的向量2、作业给你一个坐标系,你就在我心空飞翔⑴课本73页第4题.给你一个基底,带着我,征途启航⑵请同学们逐步积累资料,在学完繁复的几何关系,变成纯代数的情疡《平面向量》一章后,以《话说“优美的动态结构,没有人情冷暖世态炎凉向量”》为题,写一篇数学短文,不管起点在哪里,你始终在水一方谈谈你对向量知识的理解.哪怕山高路远,哪怕风雨苍茫(参考网址:)啊,我的向量,你是一股力量溶进了我的身体,在我的血管量,静静地流淌Ⅶ.数学日记姓名:日期:今天数学课的课题:;今天所学的重要数学知识:;理解得最好的地方:;不明白或还需要进一步理解的地方:;你对什么问题还有不同见解:;今天你独立或和谁一起合作解决了什么问题:;所学内容能否应用在日常生活中,请举例说明:;自我评价:;教师评价:;。
高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量课堂导学案北师大版必修4
2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图,四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.(1)用有向线段表示与向量相等的向量;(2)用有向线段表示与向量AB共线的向量.思路分析:寻找相等向量时要从大小和方向两个方面来考虑,寻找共线向量只考虑方向即可,两向量方向相同或相反就是共线向量.解:(1)与向量AB相等的向量是、;(2)与向量AB共线的向量是、DC、CE.友情提示用有向线段表示向量是数形结合思想的具体运用,利用图形的直观性、向量之间的关系(共线向量、相等向量等)可通过图形的几何特征得到.各个击破类题演练 1如右图,四边形ABCD为正方形△BCE为等腰直角三角形,(1)图中与AB共线的向量有____________;(2)图中与AB相等的向量有____________;(3)图中与AB模相等的向量有____________;(4)图中与相等的向量有____________.解:(1)DC、、、、、、(2)DC,BE(3)BA、BE、EB、DC、CD、、、、(4)变式提升 1如右图,B、C是线段AD的三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_______个互不相等的非零向量.解析:可设AD的长度为3,那么长度为1的向量有6个,其中AB=BC=CD,BA=CB=DC;长度为2的向量有4个,其中=BD,=;长度为3的向量有2个,分别是AD和DA,所以最多可以写出6个互不相等的向量.答案:62.共线向量(平行向量)的判断【例2】给出以下五个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量,其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析:利用向量共线的定义,抓住方向相同或相反的条件,但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线,②不能使a与b共线成立;单位向量不一定是共线向量,⑤不能使a与b共线成立.①③④都是正确的.答案:①③④友情提示注意区分相等向量与共线向量的联系与区别,相等向量一定是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.类题演练 2有下列说法:①两个有公共起点且长度相等的向量,其终点可能不同②若非零向量AB与CD是共线向量,则A、B、C、D四点共线③若a∥b且b∥c,则a∥c④当且仅当AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:①正确.②不正确.这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.③不正确.假设向量b为零向量,因为零向量与任何一个向量都平行,符合a∥b且b∥c 的条件,但结论a∥c却不能成立.④正确.综上可知应选C.答案:C变式提升 2下列命题中,正确的是()A.|a|=|b|a=bB.|a|>|b| a>bC.a=b⇒a∥bD.|a|=0⇒a=0解析:(排除法)由向量的定义知:向量既有大小,又有方向,由向量具有方向性可排除A、B.零向量、数字0是两个不同的概念,零向量是不等于数字0.∴应排除D.答案:C3.零向量的应用【例3】下列说法正确的有几个()①零向量是没有方向的向量②零向量与任一向量共线③零向量的方向是任意的④零向量只能与零向量共线A.0个B.1个C.2个D.3个思路分析:从零向量的概念来判断是否正确.解析:由零向量的特点可知②③对.答案:C友情提示容易把零向量当成是没有方向的向量,对于零向量我们应从大小与方向两个角度来理解,把它同实数中的零进行类比.类题演练 3下列四个说法:①若|a|=0;则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0,其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由向量的有关定义知①②③错误,④正确.故选A.答案:A变式提升 3下列条件中能得到a=b的是()A.|a|=|b|B.a,b同向C.a=0,b任意D.a=0,b=0答案:D内容总结(1)2.1 从位移、速度、力到向量课堂导学三点剖析1.向量、相等向量、共线向量的概念【例1】如右图,四边形ABCD与四边形ABEC都是平行四边形.(1)用有向线段表示与向量相等的向量(2)⑤a与b都是单位向量,其中能使a与b共线成立的是____________.思路分析:利用向量共线的定义,抓住方向相同或相反的条件,但不要忽视零向量.解析:模相等的向量不一定共线,②不能使a与b共线成立。
新教材高中数学第2章平面向量及其应用1从位移速度力到向量素养作业北师大版必修第二册
第二章 1A 组·素养自测一、选择题1.下列说法正确的是( C ) A .若|a |>|b |,则a >b B .若|a |=|b |,则a =b C .若a =b ,则a ∥bD .若a ≠b ,则a 与b 不是共线向量[解析] A 中向量不能比较大小,B 中向量模相等,可能方向不同,D 中不相等的向量可能方向相同或相反,可以是共线向量,于是A,B,D 都是错误的,C 显然正确.2.某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进1003米,则此人位移的方向是( C )A .南偏东60°B .南偏东45°C .南偏东30°D .南偏东15°[解析] 如图所示,此人从点A 出发,经由点B ,到达点C , 则tan ∠BAC =1003100=3,∴∠BAC =60°,即位移的方向是东偏南60°,即南偏东30°,应选C .3.正n 边形有n 条边,它们对应的向量依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ,则这n 个向量( D ) A .都相等 B .都共线 C .都不共线D .模都相等[解析] 正n 边形n 条边相等,故这n 个向量的模都相等. 4.设O 是正方形ABCD 的中心,则向量AO →,BO →,OC →,OD →是( D ) A .相等的向量 B .平行的向量 C .有相同起点的向量D .模相等的向量[解析] 这四个向量的模相等.5.如图,在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别是AB ,CD 的中点,图中与AE →平行的向量有( C )A .1个B .2个C .3个D .4个[解析] 根据向量的基本概念可知与AE →平行的向量有BE →,FD →,FC →,共3个. 6.下列说法正确的是( C )A .平行向量就是向量所在直线平行的向量B .长度相等的向量叫相等向量C .零向量的长度为0D .共线向量是在一条直线上的向量[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合,故A 错;长度相等,方向不同的向量不是相等向量,故B 错;共线向量即平行向量,不一定在同一条直线上,故D 错.故选C .二、填空题7.零向量与单位向量的关系是 共线 (填“共线”“相等”“无关”).8.如图,B ,C 是线段AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点,最多可以写出 6 个互不相等的非零向量.[解析] 模为1个单位的向量有2个,如AB →,DC →;模为2个单位的向量有2个,如AC →,DB →;模为3个单位的向量有2个,如AD →,DA →,故共有6个.9.如图,已知四边形ABCD 为正方形,△CBE 为等腰直角三角形,回答下列问题:(1)图中与AB →共线的向量有 BA →,BE →,EB →,AE →,EA →,CD →,DC →; (2)图中与AB →相等的向量有 DC →,BE →;(3)图中与AB →模相等的向量有 BA →,BE →,EB →,DC →,CD →,AD →,DA →,BC →,CB →. 三、解答题10.如图所示,4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB →相等的向量共有几个;(2)与AB →平行且模为2的向量共有几个? (3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个?[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身). (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个. (3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个.B 组·素养提升一、选择题1.等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点P ,点E ,点F 分别在两腰AD ,BC 上,EF 过点P 且EF ∥AB ,则下列等式正确的是( D )A .AD →=BC →B .AC →=BD → C .PE →=PF →D .EP →=PF →[解析] 由相等向量的定义,显然EP →=PF →.2.已知A ={与a 共线的向量},B ={与a 长度相等的向量},C ={与a 长度相等,方向相反的向量},其中a 为非零向量,则下列命题中错误的是( B )A .C ⊂AB .A ∩B ={a }C .C ⊂BD .A ∩B{a }[解析] 因为A ∩B 中还含有a 方向相反的向量,所以B 错. 3.锐角三角形ABC 中,关于向量夹角的说法正确的是( B ) A .AB →与BC →的夹角是锐角 B .AC →与AB →的夹角是锐角 C .AC →与BC →的夹角是钝角 D .AC →与CB →的夹角是锐角[解析] 由两向量夹角的定义知,AB →与BC →的夹角的大小是180°-∠B ,为钝角,AB →与AC →的夹角是∠A ,为锐角,AC →与BC →的夹角与∠C 的大小相等,为锐角,AC →与CB →的夹角的大小是180°-∠C ,为钝角.4.(多选)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB =120°,则以下说法正确的是( ABC )A .与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B .与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C .BD →的模恰好为DA →的模的3倍 D .CB →与DA →不共线 [解析]与AB →相等的向量只有DC →,A 正确;由已知条件可得|AB →|=|BA →|=|BC →|=|CB →|=|AC →|=|CA →|=|DC →|=|CD →|=|DA →|=|AD →|,B 正确;如图,过点B 作DA 的垂线交DA 的延长线于E ,因为∠DAB =120°,四边形ABCD 为菱形,所以∠BDE =∠ABE =30°,在Rt △BED 中,|DB →|=|DE →|cos 30°,在Rt △AEB 中,|AE →|=12|AB →|=12|AD →|,所以|DB →|=32|DA →|32=3|DA →|,C 正确;CB →与DA →方向相同,大小相等,故CB →=DA →,CB →与DA →共线,D 错误.故选ABC .二、填空题5.把同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的起点,移到同一点O ,则这些向量的终点构成的图形的面积等于 3π .[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π. 6.有下列说法:①若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;②若AB →=DC →,则A ,B ,C ,D 四点是平行四边形的四个顶点;③在□ABCD 中,一定有AD →=BC →; ④若a =b ,b =c ,则a =c ;⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量. 其中,正确的说法是 ③④⑤ .[解析] ①两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a 与b 有共线的可能,故①不正确;②A ,B ,C ,D 四点可能在同一条直线上,故②不正确;③在平行四边形ABCD 中,|AD →|=|BC →|,AD →与BC →平行且方向相同,所以AD →=BC →,故③正确;④a =b ,则|a |=|b |,且a 与b 方向相同;b =c ,则|b |=|c |,且b 与c 方向相同,所以a 与c 方向相同且模相等,故a =c ,故④正确;⑤南偏西60°和北偏东60°是两个共线,方向相反,所以两个向量是共线向量,故⑤正确.三、解答题7.如图所示,已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形.(1)与AB →相等的向量有哪些? (2)与AB →共线的向量有哪些? (3)若|AB →|=1.5,求|CE →|的大小.[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量,有ED →,DC →.(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量,有BA →,ED →,DC →,EC →,DE →,CD →,CE →. (3)若|AB →|=1.5,则|CE →|=|EC →|=|ED →|+|DC →|=2|AB →|=3.8.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC →|= 5.(1)画出所有的向量AC →; (2)求|BC →|的最大值与最小值.[解析] (1)画出所有的向量AC →如图所示.(2)由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC →|取得最小值12+22=5; ②当点C 位于点C 5或C 6时,|BC →|取得最大值42+52=41. ∴|BC →|的最大值为41,最小值为 5.。
高中数学第二章平面向量2.1从位移、速度、力到向量导学案北师大版必修4
2.1 从位移、速度、力到向量问题导学1.向量的有关概念活动与探究1给出下列几种说法:(1)温度、速度、位移这些物理量都是向量; (2)若|a|=|b|,则a =b 或a =-b ; (3)向量的模一定是正数;(4)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (5)向量AB →与CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点必在同一直线上. 其中正确的序号是________.迁移与应用判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)向量AB →与向量BA →的模相等;(2)两个有公共终点的向量,一定是共线向量; (3)数轴是向量; (4)零向量没有方向;(5)若向量a 与b 同向,且|a|>|b|,则a >b .关于向量有关概念的几点说明:(1)向量不同于数量,数量可以比较大小,而向量由模和方向确定,方向不能比较大小,因此向量也不能比较大小.(2)数学上所研究的向量是自由向量,可以平移,因此向量中的共线与平行是相同的,而直线或线段中的共线与平行是不同的.(3)零向量是特殊向量,方向可以看作是任意的. 2.向量的表示方法活动与探究2一运输汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点.(1)作出向量AB →,BC →,CD →;(2)求AD →.迁移与应用在如图所示的坐标系中(1个小方格表示1个单位长度),用直尺和圆规画出下列向量.(1)|OA →|=3,点A 在点O 正西方向;(2)|OB →|=32,点B 在点O 北偏西45°方向; (3)|OC →|=2,点C 在点O 南偏东60°方向.利用有向线段表示向量的基本步骤: (1)确定向量的起点;(2)确定向量的方向;(3)根据向量的模确定向量的终点.利用有向线段的起点和终点的字母表示向量时,必须是起点写在终点的前面. 3.相等向量与共线向量活动与探究3如图所示,△ABC 的三边均不相等,E ,F ,D 分别是AC ,AB ,BC 的中点.(1)写出与EF →共线的向量; (2)写出与EF →的模大小相等的向量;(3)写出与EF →相等的向量.迁移与应用如图所示,O 为正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED ,四边形OCFB 都是正方形.在图中所示的向量中:(1)分别写出与AO →,BO →相等的向量; (2)写出与AO →共线的向量; (3)写出与AO →的模相等的向量; (4)向量AO →与CO →是否相等?1.对共线向量与平行向量关系的认识 (1)平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).(2)共线向量是指平行向量,与是否真的画在同一条直线上无关.2.在平面图形中找相等向量、共线向量时,首先要注意分析平面图形中的相等、平行关系,充分利用平行四边形性质、三角形中位线定理等平面几何知识,然后转化为向量相等、平行.当堂检测1.下列关于向量的说法中,正确的是( ). A .长度相等的两向量必相等B .两向量相等,其长度不一定相等C .向量的大小与有向线段的起点无关D .向量的大小与有向线段的起点有关2.如图所示,在⊙O 中,向量OB →、OC →、AO →是( ).A .有相同起点的向量B .共线向量C .模相等的向量D .相等的向量3.两列火车从同一站台沿相反方向开去,走了相同的路程,设两列火车的位移向量分别为a 和b ,那么下列命题中错误的一个是( ).A .a 与b 为平行向量B .a 与b 为模相等的向量C .a 与b 为共线向量D .a 与b 为相等的向量4.如图所示,△ABC 的内角C 的角平分线CD 交AB 于D ,AC →的模为2,BC →的模为3,AD →的模为1,那么DB →的模为________.5.把平行于某一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是______.答案:课前预习导学 【预习导引】 1.大小 方向预习交流1 D 解析:质量、路程、密度、功只有大小而没有方向,不是向量. 2.(1)方向和长度 AB →(2)有向线段 向量的大小 向量的方向预习交流2 提示:有向线段不是向量,它只是向量的一种表现形式.3.|AB →| |a |预习交流3 提示:模是向量的长度,所以能比较大小,而向量不能,因为向量的大小即长度可以比较大小,但方向不能比较大小.4.(1)零向量 0 0→(2)同方向 单位1 a 0 (3)相等 相同 相等 (4)平行或重合 平行共线预习交流4 (1)提示:不相同,0是向量,模等于0,0是数量,无方向. (2)提示:不一定,也可能平行或在同一条直线上.(3)提示:不一定.因为单位向量的模虽然相等,但方向却不一定相同. 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (4) 解析:(1)错误,只有速度、位移是向量.(2)错误.由|a|=|b |仅说明a 与b 模相等,但不能说明它们方向的关系. (3)错误.0的模|0|=0.(4)正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同.(5)错误.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量AB →,CD →必须在同一直线上.迁移与应用 解:(1)正确.(2)不正确.两向量虽然有公共终点,但方向不一定相同或相反,故不一定是共线向量. (3)不正确.数轴是一条具有方向的直线,但是没有大小. (4)不正确.零向量不是没有方向,而是方向是任意的. (5)不正确.因为向量不能比较大小.活动与探究2 解:(1)向量AB →,BC →,CD →如下图所示.(2)由题意,易知AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →共线. 又|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB CD . ∴四边形ABCD 为平行四边形. ∴|AD →|=|BC →|=200 (km),且AD ∥BC . ∴AD →与BC →同向, 则AD →的方向也为西偏北50°,且|AD →|=200(km). 迁移与应用 解:活动与探究3 解:(1)因为E ,F 分别是AC ,AB 的中点,所以EF ∥BC ,且EF =12BC .又因为D 是BC 的中点,所以与EF →共线的向量有:FE →,BD →,DB →,DC →,CD →,BC →,CB →. (2)与EF →模相等的向量有:FE →,BD →,DB →,DC →,CD →. (3)与EF →相等的向量有:DB →,CD →. 迁移与应用 解:(1)AO →=BF →,BO →=AE →; (2)与AO →共线的向量为:BF →,CO →,DE →;(3)|AO →|=|CO →|=|D O →|=|BO →|=|BF →|=|CF →|=|AE →|=|DE →|; (4)AO →与CO →不相等. 【当堂检测】1.C 2.C 3.D 4.325.两个点。
2020年高中数学必修第二册: 位移、速度、力与向量的概念 导学案(北师大版)
第二章平面向量及其应用第1节从位移、速度、力到向量第1课时位移、速度、力与向量的概念⑴通过对位移、速度、力等实例的分析,形成平面向量的概念;⑵学会平面向量的表示方法,理解向量集形与数于一身的基本特征;1.通过实例分析,形成平面向量的概念.2.会表示向量,并理解向量的基本特征.1.向量的概念:既有_____又有______的量叫向量2.向量的两要素:_______、_________.3.向量AB(或a)的大小,即长度(也称______),记作:_______或________.4.模长为0的向量叫做________,记作:_______5.模长为1的向量叫做________,记作:_______一、情景引入,温故知新情景1:学校位于小明家北偏东60°方向,距离小明家2000m,从小明家到学校,可能有长短不同的几条路.无论走哪条路,位移都是向北偏东60°方向移动了2000m(如图2-1).θ=,出手速率为v=28.35m/s(如情景2:某著名运动员投掷标枪时,其中一次记录为:出手角度43.242图2-2).情景3:如图2-3,汽车沿倾斜角为 的坡路向上行驶,汽车的牵引力为F问题:1上面三个情境中反映的物理量有什么共同的特点?2.请再举出一些含有类似性质的物理量实例进行分析,与同学交流向量的历史大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.二、探索新知探究一向量的概念情境1. .老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去.猫能否追到老鼠?情境2. 民航从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班,这些航班的位移相同吗?情景3:起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时,物体即被吊起思考:1物理中,既有大小又有方向的量,叫作什么?.2.在数学中,既有大小又有方向的量又叫作什么呢?归纳新知:向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量向量的两要素:大小(模)、方向.(定义向量的模)问题1.现实生活中有哪些量既有大小又有方向?问题2.哪些量只有大小没有方向?例1.下列量中哪些是向量?悬挂物受到的拉力,压强,摩擦力,频率,加速度.问题:数量与向量的区别是什么?练习1:给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是( )A.①②③是数量,④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量,①③⑤是向量C.①④是数量,②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量,③⑥是向量例2.如图,某人上午从A到达了B,下午从B到达了C,请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.练习2.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000 km到达乙地,再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000。
高中数学第二章平面向量2.1从位移、速、力到向量学案北师大版必修4[1]
高中数学第二章平面向量2.1从位移、速、力到向量学案北师大版必修4[1]知识梳理1.概念(1)向量、数量的定义既有大小又有方向的量叫做向量(vector),物理学中常称为矢量.只有大小没有方向的量叫做数量,物理学中常称为标量.(2)向量与数量的区别向量具备两个要素:大小和方向,向量不能比较大小.数量只有一个要素:大小,数量没有方向,可以比较大小.2.平面向量的表示(1)有向线段一般地,在线段AB 的两个端点中,规定一个顺序,则线段AB 具有方向,具有方向的线段叫做有向线段.以A 为起点,B 为终点的有向线段记作AB .线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度,记作|AB |.有向线段包含三要素:起点、方向、长度.(2)向量的表示几何表示:用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向,线段的长度表示向量的模.字母表示:用单个黑斜体的小写英文字母表示,通常印刷体如a 、b 、c 等,而手写体用带箭头的小写字母表示如c b a ,,、…;还可用两个大写英文字母表示.3.相等向量与共线向量(1)向量的长度 向量AB 的大小,也就是向量AB 的长度(或模),记作|AB |.长度为零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定,是任意的.长度为单位1的向量叫做单位向量.(2)共线向量(平行向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫共线向量.规定:零向量与任一向量是平行向量,记作0∥a .任一向量与它本身都是平行向量,记作a ∥a .(3)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.知识导学学好本节一定要弄清概念,要用类比的方法学习向量的概念,还要注意向量与数量的区别. 疑难突破1.为什么两个向量不能比较大小?剖析:疑点是向量的模有大小,两个向量怎么不能比较大小,其突破口是从向量的定义来讨论.向量是既有大小又有方向的量,向量的模可以比较大小,但因为向量有方向,所以不能比较大小.例如:老鼠由A向西北逃窜,如果猫由A向正东方向追,猫的速度再快也不可能捉到老鼠,因为猫追的方向错了.所以在研究向量时,既要研究向量的大小,又要研究向量的方向.2.向量和数量有什么区别和联系?剖析:难点是对向量和数量混淆不清.其突破口是从向量的定义来分析.从定义上看,向量是规定了大小和方向的量,向量不同于数量,数量只有大小,而向量不仅有大小而且还有方向;数量是一个代数量,可以进行各种代数运算,数量之间可以比较大小,“大于”“小于”的概念对数量是适用的.由于向量具有方向,而方向不能比较大小,因此“大于”“小于”的概念对向量来说是没有意义的.。
高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量学案北师大版
§1 从位移、速度、力到向量1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点) 2.掌握共线向量、相等向量的概念.(难点) 3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)[基础·初探]教材整理 向量的概念阅读教材P 73~P75“练习”以上部分,完成下列问题. 1.向量的有关概念(1)定义既有大小,又有方向的量叫作向量. (2)有向线段具有方向和长度的线段叫作有向线段.其方向是由起点指向终点,以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →,线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度,记作|AB →|.(3)向量的长度|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小,即长度(也称模). (4)向量的表示法①向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.②向量也可以用黑体小写斜体字母如a ,b ,c ,…来表示,书写用a →,b →,c →…来表示.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数量同向量一样可以比较大小.( ) (2)向量AB →与向量BA →是相等向量.( )(3)两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行.( ) (4)向量就是有向线段.( )【解析】 (1)错误.向量不能比较大小. (2)错误.AB →与BA →方向相反不是相等向量. (3)错误.两条直线平行或重合.(4)错误.向量不能等同于有向线段,有向线段只是向量的一种直观表示. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________[小组合作型]①温度、速度、位移这些物理量都是向量; ②若|a |=|b |,则a =b 或a =-b ; ③向量的模一定是正数;④起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.其中说法正确的是________.(填序号)【精彩点拨】 解答时可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手,逐一判断对错.【自主解答】 ①错误,只有速度、位移是向量.②错误.|a|=|b|仅说明a 与b 模相等,但不能说明它们方向的关系. ③错误.0的模|0|=0.④正确.对于一个向量仅由大小和方向确定,与起点的位置无关. 【答案】 ④1.零向量是用向量的长度来定义的,共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的.相等向量是用向量的长度和方向共同定义的,要弄清这些概念的联系和区别.2.理解向量的有关概念时,注意区分向量与有向线段:只有起点、大小和方向均相同,才是相同的有向线段.对于向量,只要大小和方向相同,就是相等向量,而与起点无关.[再练一题]1.判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)若向量AB →与CD →是共线向量,则A ,B ,C ,D 必在同一直线上; (2)若向量a 与b 平行,则a 与b 的方向相同或相反; (3)向量AB →的长度与向量BA →的长度相等; (4)单位向量都相等.【解】 对于(1),考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上,有向线段共线要求线段必须在同一条直线上.而向量共线时,表示向量的有向线段可以是平行的,不一定在同一条直线上,所以(1)错;对于(2),由于零向量与任一向量平行,因此若a ,b 中有一个为零向量时,其方向是不确定的,所以(2)错;对于(3),向量AB →与BA →方向相反,但长度相等.所以(3)对;对于(4),需要强调的是:单位向量不仅仅指的是长度,还有方向,而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同,所以(4)错.(1)已知B 可以写出________个互不相等的非零向量.(2)一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点,最后改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点.①作出向量AB →,BC →,CD →; ②求|AD →|.【精彩点拨】 (1)根据向量的表示方法求解.(2)先作出表示东南西北的方位图及100 km 长度的线段,然后解答问题.【自主解答】 (1)设线段AD 的长度是3,则长度为1的向量有AB →=BC →=CD →,BA →=CB →=DC →,共2个互不相等的非零向量;长度为2的向量有AC →=BD →,CA →=DB →共有2个互不相等的非零向量,长度为3的向量有AD →,DA →,共2个互不相等的非零向量,综上知共6个互不相等的非零向量.【答案】 6(2)①向量AB →,BC →,CD →如图所示.②由题意,易知AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →共线, 又|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB 綊CD , ∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD →=BC →,∴|AD →|=|BC →|=200(km).1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.2.起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心,向量长度为半径的圆.[再练一题]2.小李离家从A 点出发向东走2 km 到达B 点,然后从B 点沿南偏西60°走4 km ,到达C 点,又改变方向向西走2 km 到达D 点.(1)作出AB →,BC →,CD →;(2)求小李到达D 点时与A 点的距离.【解】 作AB →,BC →,CD →,如图所示:(2)依题意,四边形ABCD 为平行四边形, ∴|AD →|=|BC →|=4,即小李到达D 点时离A 点4 km.[探究共研型]探究1 【提示】 方向相同或相反.探究2 相等向量和共线向量有怎样的关系?两个向量能比较大小吗?【提示】 相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量,两个向量不能比较大小.探究 3 平行四边形的对边有哪些性质?表示共线向量的有向线段所在的直线有什么位置关系?【提示】 平行四边形的对边平行且相等,表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合.探究4 如果非零向量AB →与CD →是共线向量,那么点A ,B ,C ,D 是否一定共线? 【提示】 不一定共线.如图2-1-1所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心,且OA →=a ,OB →=b ,OC →=c .图2-1-1(1)与a 的模相等的向量有多少个?(2)与a 的长度相等,方向相反的向量有哪些? (3)与a 共线的向量有哪些?(4)请分别一一列出与a ,b ,c 相等的向量. 【精彩点拨】 由题目可获得以下主要信息: ①六边形ABCDEF 是正六边形; ②OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ;③求各相应向量.解答本题要充分借助几何图形的性质及向量相关概念进行判断,从而解决相应问题. 【自主解答】 (1)与a 的模相等的向量有23个. (2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →,BC →,AO →,FE →. (3)与a 共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →. (4)与a 相等的向量有EF →,DO →,CB →; 与b 相等的向量有DC →,EO →,FA →; 与c 相等的向量有FO →,ED →,AB →.1.向量的模是用向量的长度来定义的,共线向量是用向量的方向来定义的,而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的,要弄清这三个概念的联系与区别.2.共线向量有四种情况方向相同且模相等;方向相同但模不等;方向相反但模相等;方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相等向量,而相等向量一定是共线向量.3.向量的平行与直线平行的关系两条直线平行时,直线上的有向线段平行,两向量平行时,表示向量的有向线段所在直线不一定平行,也可能重合.若直线m ,n ,l ,m ∥n ,n ∥l ,则m ∥l ;若向量a ,b ,c ,a ∥b ,b ∥c ,而a ,c 不一定平行.4.向量的相关概念性质与几何知识交汇,要注意联系几何图形的相关性质,使向量与几何图形有机地结合起来.[再练一题]3.如图2-1-2所示,O 为正方形ABCD 对角线的交点,四边形OAED ,OCFB 都是正方形.在图中所示的向量中:图2-1-2(1)分别写出与AO →,BO →相等的向量; (2)写出与AO →共线的向量.【解】 (1)∵|AO →|=|OC →|=|BF →|,且OC →,BF →与AO →的方向相同,∴与AO →相等的向量是OC →,BF →.同理,与BO →相等的向量是AE →.(2)∵AO ∥DE ∥BF ,A ,O ,C 三点共线, ∴与AO →共线的向量是DE →,OC →,BF →,CO →.[构建·体系]1.下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度;⑦功.其中不是向量的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【解析】 根据向量的概念知速度、力、加速度为向量. 【答案】 D2.下列说法中正确的是( ) A .零向量没有方向 B .零向量的模等于零 C .单位向量的模等于1厘米 D .单位向量的方向都相同【解析】 零向量也有方向,其方向是任意的,因此A 错误;单位向量的模等于1个单位长度,而不是具体的1厘米,因此C 错误;单位向量的方向要因具体情况而定,因此D 错误.所以只有B 是正确的.【答案】 B 3.给出下列命题:①若|a |>|b |,则a >b ;②若a =b ,则a ∥b ;③若|a |=0,则a =0;④0=0;⑤向量AB→大于向量CD →;⑥方向不同的两个向量一定不平行.其中,正确命题的序号是________.(把你认为正确的命题序号都填上)【导学号:66470038】【解析】 ①不正确.向量不能比较大小;②正确.共线向量是指方向相同或相反的向量,相等向量一定共线;③正确;④不正确.0是一个向量,而0是一个数量,应|0|=0;⑤不正确.因为向量不能比较大小,这是向量与数量的显著区别,向量的模可以比较大小;⑥不正确.因为平行向量包括方向相同和方向相反两种情况.【答案】 ②③4.设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K ,L ,M ,N 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,在以已知各点为起点和终点的向量中,与向量KL →相等的向量是________.【解析】 因为K ,L 分别是AB ,BC 的中点,所以KL ∥AC ,KL =12AC ,同理MN 綊12AC ,所以KL ∥MN .KL =MN ,所以KL →=NM →.【答案】 NM →5.如图2-1-3所示,四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形.图2-1-3(1)用有向线段表示与向量AB →相等的向量; (2)用有向线段表示与向量AB →共线的向量. 【解】 (1)与向量AB →相等的向量是向量CE →,DC →. (2)与AB →共线的向量为BA →,DC →,CD →,CE →,EC →,ED →,DE →.我还有这些不足:(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案:(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
高中数学第二章平面向量从位移速度力到向量学案北师大版必修
§1 从位移、速度、力到向量内容要求 1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景.2.理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示的意义和方法.知识点1 向量的概念数学中,我们把既有大小,又有方向的量统称为向量,而把那些只有大小,没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量.注意 ①向量的两个要素:大小和方向,缺一不可.解题时,注意从两个要素出发考虑问题. ②数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小. 【预习评价】 已知下列各量:①力;②功;③速度;④质量;⑤温度;⑥位移;⑦加速度;⑧重力;⑨路程;⑩密度. 其中是数量的有②④⑤⑨⑩,是向量的有①③⑥⑦⑧. 知识点2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段,叫作有向线段.以A 为起点,以B 为终点的有向线段记作AB →,线段AB 的长度也叫作有向线段AB →的长度,记作|AB →|.(2)向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,即长度(也称模).箭头所指的方向表示向量的方向.(3)向量也可以用黑体小写字母如a ,b ,c ,…来表示,书写用a →,b →,c →,…来表示. 【预习评价】两个向量能比较大小吗?有向线段是向量吗?提示 两个向量不能比较大小,因为向量既有大小也有方向.有向线段表示向量,但有向线段不是向量.知识点3 与向量有关的概念(1)向量的两个要素是大小与方向.(√) (2)长度相等的向量是相等向量.(×) (3)方向相同的向量是共线向量.(√)题型一 向量的有关概念【例1】 判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)若a ≠b ,则a 一定不与b 共线;(2)若AB →=DC →,则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点; (3)在平行四边形ABCD 中,一定有AB →=DC →; (4)若向量a 与任一向量b 平行,则a =0; (5)若a =b ,b =c ,则a =c ;解 两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a 与b 有共线的可能,故(1)不正确.(2)AB →=DC →,A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上,故(2)不正确.(3)在平行四边形ABCD 中,|AB →|=|DC →|,AB →与DC →平行且方向相同,故AB →=DC →,(3)正确.(4)零向量的方向是任意的,与任一向量平行,(4)正确.(5)a =b ,则|a |=|b |且a 与b 方向相同;b =c ,则|b |=|c |且b 与c 方向相同,则a 与c 方向相同且模相等,故a =c ,(5)正确. 规律方法 对于命题判断正误题,应熟记有关概念,看清、理解各命题,逐一进行判断,有时对错误命题的判断只需举一反例即可.【训练1】 下列说法正确的有________(填序号). ①若|a |=|b |,则a =b 或a =-b ;②向量AB →与CD →是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上; ③向量AB →与BA →是平行向量; ④任何两个单位向量都是相等向量.解析 ①错误.由|a |=|b |仅说明a 与b 模相等,但不能说明它们方向的关系.②错误.共线向量即平行向量,只要方向相同或相反,并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上,因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上. ③正确.向量AB →和BA →是长度相等,方向相反的两个向量.④错误.单位向量不仅有长度,而且有方向;单位向量的方向不一定相同,而相等向量要求长度相等,方向相同.答案 ③题型二 向量的表示【例2】 一艘军舰从基地A 出发向东航行了200海里到达基地B ,然后改变航线向东偏北60°航行了400海里到达C 岛,最后又改变航线向西航行了200海里到达D 岛. (1)试作出向量AB →,BC →,CD →; (2)求|AD →|.解 (1)建立如图所示的直角坐标系,向量AB →,BC →,CD →即为所求. (2)根据题意,向量AB →与CD →方向相反,故向量AB →∥CD →.又|AB →|=|CD →|,∴在四边形ABCD 中,AB 綊CD ,四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD →=BC →,∴|AD →|=|BC →|=400(海里).规律方法 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和终点,三者缺一不可.2.起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆. 【训练2】 一辆消防车从A 地去B 地执行任务,先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地,然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地,从C 地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B 地.(1)在如图所示的坐标系中画出AD →,DC →,CB →,AB →; (2)求B 地相对于A 地的位置向量.解 (1)向量AD →,DC →,CB →,AB →如图所示.(2)由题意知AD →=BC →, ∴AD 綊BC ,∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴AB →=DC →,∴B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°,6千米”.【例3】 如图,设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示与OA →,OB →,OC →相等的向量.解 OA →=CB →=DO →;OB →=DC →=EO →; OC →=AB →=ED →=FO →.【迁移1】 例3中与OA →模相等的向量有多少? 解 由图知与OA →的模相等的向量有23个.【迁移2】 例3中与向量OA →的长度相等方向相反的向量有哪些? 解 与向量OA →长度相等方向相反的向量有OD →,BC →,FE →,AO →. 【迁移3】 例3中与向量OA →共线的向量有哪些?解 与向量OA →共线的向量有EF →,BC →,OD →,FE →,CB →,DO →,AO →,DA →,AD →.规律方法 判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,则只要判断它们是否同向或反向即可.课堂达标1.下列说法错误的是( )A .若a =0,则|a |=0B .零向量是没有方向的C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的解析 零向量的长度为0,方向是任意的,它与任何向量都平行,所以B 是错误的. 答案 B2.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →=DC → B .|AB →|=|DC →| C.AB →>DC →D.AB →<DC →解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度,故相等. 答案 B3.把平行于某一条直线的所有向量归结到共同的起点,则终点构成的图形是________;若这些向量是单位向量,则终点构成的图形是________.解析 因为向量平行,且表示它们的有向线段有共同的起点,所以终点在一条直线上;而对于单位向量,其大小都是一个单位,所以它们的终点在起点的两侧,且距起点一个单位,所以终点构成的图形是两个点. 答案 一条直线 两个点4.设O 是正方形ABCD 的中心,则OA →,BO →,AC →,BD →中,模相等的向量是________. 答案 OA →与BO →,AC →与BD →5.如图所示,以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.(1)写出与AF →、AE →相等的向量; (2)写出与AD →模相等的向量.解 (1)AF →=BE →=CD →,AE →=BD →.(2)DA →,CF →,FC →.课堂小结1.向量的模可以比较大小,但因为向量有方向,所以不能比较大小.2.用有向线段来表示向量,显示了图形的直观性,应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.有向线段的起点、终点是确定的,而向量仅由大小和方向确定,与起点位置无关.3.共线向量也就是平行向量,其要求是几个非零向量的方向相同或相反,当然向量所在的直线可以平行,也可以重合,其中“平行”的含义不同于平面几何中“平行”的含义.基础过关1.下列条件中能得到a =b 的是( ) A .|a |=|b |B .a 与b 的方向相同C .a =0,b 为任意向量D .a =0且b =0答案 D2.下列说法正确的是( )A .若a ∥b ,则a 与b 的方向相同或相反B .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC .若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等D .若a =b ,b =c ,则a =c 答案 D3.如图,在四边形ABCD 中,若AB →=DC →,则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →解析 ∵AB →=DC →,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC 、BD 互相平分,∴AO →=OC →. 答案 D4.若对任意向量b ,均有a ∥b ,则a 为________. 答案 零向量5.在四边形ABCD 中,AB →=DC →且|AB →|=|AD →|,则四边形的形状为________. 解析 ∵AB →=DC →,∴AB 綊DC ∴四边形ABCD 是平行四边形,∵|AB →|=|AD →|,∴四边形ABCD 是菱形. 答案 菱形6.在平面直角坐标系中,画出下列向量.(1)|a |=2,a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°,与y 轴正方向的夹角为30°; (2)|a |=4,a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°,与y 轴正方向的夹角为120°; (3)|a |=42,a 的方向与x 轴正方向的夹角为135°,与y 轴正方向的夹角为135°. 解7.如图,四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形.(1)写出与向量ED →相等的向量; (2)写出与向量ED →共线的向量;解 (1)∵四边形ABDE 和四边形ABCD 都是平行四边形, ∴AB 綊ED ,AB 綊DC , ∴AB →=ED →,AB →=DC →,∴ED →=DC →. 故与向量ED →相等的向量是AB →,DC →.(2)由共线向量的条件知,与ED →共线的向量有DE →,AB →,BA →,DC →,CD →,EC →,CE →.能力提升8.若a 为任一非零向量,b 为模为1的向量,下列各式:①|a |>|b |;②a ∥b ; ③|a |>0;④|b |=±1,其中正确的是( ) A .①④ B .③ C .①②③D .②③解析 a 为任一非零向量,故|a |>0. 答案 B9.下列命题中不正确的命题个数为( ) ①若向量a 与b 同向,且|a |>|b |,则a>b ;②若|a |=|b |,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; ③对于任意|a |=|b |,且a 与b 的方向相同,则a =b ; ④向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 方向相同或相反. A .1 B .2 C .3D .4解析 ①不正确.因为向量是不同于数量的一种量.它由两个因素来确定,即大小与方向,所以两个向量不能比较大小,故①不正确.②不正确.由|a |=|b |只能判断两向量长度相等,并不能判断方向. ③正确.因为|a |=|b |,且a 与b 同向.由两向量相等的条件可得a =b . ④不正确.因为向量a 与向量b 若有一个是零向量,则其方向不确定. 答案 C10.给出以下5个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 的方向相反;④|a |=0或|b |=0;⑤a 与b 都是单位向量.其中能使a ∥b 成立的是________(填序号).解析 相等向量一定是共线向量,①能使a ∥b ;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a ∥b ;零向量与任一向量平行,④成立. 答案 ①③④11.已知在边长为2的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,则|BD →|=________.解析 易知AC ⊥BD ,且∠ABD =30°,设AC 与BD 交于点O ,则AO =12AB =1.在Rt △ABO 中,易得|BO →|=3,∴|BD →|=2|BO →|=2 3. 答案 2 312.如图,在四边形ABCD 中,AB →=DC →,N 、M 分别是AD 、BC 上的点,且CN →=MA →.求证:DN →=MB →.证明 ∵AB →=DC →,∴|AB →|=|CD →|且AB ∥CD , ∴四边形ABCD 是平行四边形, ∴|DA →|=|CB →|,且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同,∴CB →=DA →.∵CN →=MA →,四边形CNAM 是平行四边形, ∴CM →=NA →.∵|CB →|=|DA →|,|CM →|=|NA →|, ∴|DN →|=|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同, ∴DN →=MB →.13.(选做题)如图,A ,B ,C 三点的坐标依次是(-1,0),(0,1),(x ,y ),其中x ,y ∈R .当x ,y 满足什么条件时,向量OC →与AB →共线(其中O 为坐标原点)?解 由点A 、B 的坐标分别是(-1,0),(0,1)得∠BAO =45°.①当点C 的坐标满足x =y =0时,点C 与点O 重合,则有|OC |=0,即|OC →|=0,所以OC →=0,这时OC →与AB →共线(零向量与任一向量都共线);②当点C 的坐标满足xy ≠0,且x =y ,即点C 在第一、三象限角平分线上时,有AB ∥OC ,这时OC →与AB →共线.综上可知,当x =y 时,OC →与AB →共线.。
北师大版数学高一(北师大)必修4学案 2.1 从位移、速度、力到向量
第二章第一节从位移、速度、力到向量课标聚焦:1.了解向量的实际背景;2. 理解平面向量的概念和向量的几何表示;3. 掌握零向量、相等向量、平行向量(共线向量)等概念.基础强化1. 下列各量中可以是向量的是 ( )①质量 ②密度 ③距离 ④位移 ⑤浮力 ⑥电流强度 ⑦风速 ⑧功 ⑨温度 A. ③④⑤B. ④⑤⑥C. ④⑤⑦D. ⑦⑧⑨2. 以下关于零向量的叙述错误的是 ( ) A. 零向量是长度为零的向量 B. 零向量与任一向量平行C. 00=D. 零向量的方向是任意的3. 如图,四边形ABCD 中,已知AB DC =,则以下相等的向量是 ( ) A. AD CB 与 B. OA OC 与 C. AC DB 与D. DO OB 与4. 下列说法正确的个数为 ( )(1). 两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同.(2). 若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A B C D 、、、四点共线. (3). 若非零向量a 与b 共线,则a b =.(4). 向量a 与b 平行,则a 与b 的方向相同或相反. A. 0B. 1C. 2D. 35. 如果||||AB AD =且BA CD =,则四边形ABCD 的形状为 ( ) A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 等腰梯形6. 设O 为ABC ∆的外心,则AO ,BO ,CO 是 ( ) A. 相等向量 B. 平行向量 C. 模相等的向量 D. 起点相同的向量7. 下列四个命题(1). 若||0a =,则0a = (2). 若||||a b =,则a b =或a b =- (3). 若a b =,则||||a b = (4). 若0a =,则0a -=其中正确命题的个数为 ( ) A. 1B. 2C. 3D. 48. 四边形ABCD 为矩形的条件是 ( ) A. AD BC =B. ||||AC BD =C. AD BC =且||||AC BD =D. AD BC =且AD AB =9. 如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 中点,且AB 边长为4,AD 边长为2,图中的7个向量:,,,,,,DA AE EF FD FC CB BE ,设,CB a =FC b =,则(1). 与||b 相等的向量有 (2). 与a 平行的向量有10. 给出下列结论: (1). 若||||a b =,则a b =. (2). 若||||a b >,则a b >. (3). 若a b ∥,则a b =. (4). 若a b =,则a b ∥. 其中正确结论的序号是 .能力提升:1. 如图,四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形, (1) 与向量ED 相等的向量为 . (2) 若||3AB =,则向量EC 的模等于 .2. 如图,四边形ABCD 中,AB DC =,,N M 是线段AD 、BC 上的点,且CN MA =.求证:DN MB =3. 在平面直角坐标系中,(1,2),(sin ,2sin )A B αα-()R α∈,求||AB 的最小值. (提示:在直角坐标系中,若11(,)A x y ,22(,)B x y ,则||AB =4. 已知飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2000km 到达乙地,再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km 到达丙地,再从丙地按西南方向飞行达到丁地,问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?答案基础强化1. C2. C3. D4. A5. B6. C7. C8. C9. (1) DAAE EF 、、等6个向量 (2) DA EF 、 10. (4)能力提升1. (1) AB DC 、(2) 6 2. 提示:证明四边形CNAM 为平行四边形.3.5,提示:||||AB AB ===4.丁地在甲地的东南方向,丁地距甲地 提示:△ABC 为正三角形,△ACD 为等腰直角三角形。
北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 位移、速度、力与向量的概念
4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相
反向量仍是零向量.
名师点睛
1.共线向量
(1)向量共线时,向量所在的直线平行或重合.
(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量
有四种情况:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;
(2)注意事项.
①向量的夹角是针对非零向量定义的;②向量的夹角和直线的夹角范围是
π
不同的,它们分别是[0,π]和[0, ].
2
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“ ”,错误的画“×”)
(1)两个向量的夹角为锐角或直角.( × )
(2)在△ABC中,角B为向量 与 的夹角.( × )
(3)零向量与任一向量既平行又垂直.(
箭头表示这些量的方向,线段长度表示这些量的大小.在数学中,这种具有
方向和长度的线段称为 有向线段 .(如图)以A为起点,B为终点的有向线段,
记作 .线段AB的长度称为有向线段 的长度,记作 | |.
2.向量的表示方法
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的
解析 向量不能比较大小,故A错误;向量的模是一个数量,可以比较大小,故
B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C错误;规定零向量与任意向量
平行,故D错误.
探究点二
向量的表示
【例2】 一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B,然后又改
变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C,最后又改变方向,向正东行驶
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确
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1 从位移、速度、力到向量
学习目标1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一向量的概念
思考1在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别?
思考2两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?
梳理向量与数量
(1)向量:既有________,又有________的量统称为向量.
(2)数量:只有________,没有________的量称为数量.
知识点二向量的表示方法
思考1向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来?
思考20的模长是多少?0有方向吗?
思考3单位向量的模长是多少?
梳理(1)向量的表示
①具有________和长度的线段叫作有向线段,以A 为起点,以B 为终点的有向线段记作________,线段AB 的长度也叫作有向线段AB →
的长度,记作________.
②向量可以用____________来表示.有向线段的长度表示____________,即长度(也称模).箭头所指的方向表示____________.
③向量也可以用黑体小写字母如a ,b ,c ,…来表示,书写用a →
, b →
, c →
,…来表示. (2)________的向量叫作零向量,记作______________;______________________________的向量,叫作a 方向上的单位向量,记作a 0. 知识点三相等向量与共线向量
思考1已知A ,B 为平面上不同两点,那么向量AB →和向量BA →
相等吗?它们共线吗?
思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?
思考3若a ∥b ,b ∥c ,那么一定有a ∥c 吗?
梳理(1)相等向量:____________且____________的向量叫作相等向量.
(2)平行向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________,则称这两个向量平行或共线.
①记法:a 与b 平行或共线,记作________. ②规定:零向量与____________平行.
类型一向量的概念 例1下列说法正确的是() A .向量AB →与向量BA →
的长度相等
B .两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C .零向量没有方向
D .任意两个单位向量都相等
反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1下列说法正确的有________. ①若|a |=|b |,则a =b 或a =-b ;
②向量AB →与CD →
是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上; ③向量AB →与BA →
是平行向量. 类型二共线向量与相等向量
例2如图所示,△ABC 的三边均不相等,E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点. (1)写出与EF →
共线的向量; (2)写出与EF →
的模大小相等的向量; (3)写出与EF →
相等的向量.
反思与感悟(1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线. 跟踪训练2
如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心. (1)与OA →
的模相等的向量有多少个?
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个?
(3)与OA →
共线的向量有哪些?
类型三向量的表示及应用
例3一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →
;
反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3在如图的方格纸上,已知向量a ,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ,使b =a ;
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ,使|c |=5,并说出向量c 的终点的轨迹是什么?
1.下列结论正确的个数是()
①温度含零上和零下温度,所以温度是向量; ②向量的模是一个正实数;
③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量; ④若|a |>|b |,则a >b . A .0 B .1 C .2
D .3
2.下列说法错误的是() A .若a =0,则|a |=0 B .零向量是没有方向的 C .零向量与任一向量平行 D .零向量的方向是任意的
3.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB →与DC →
的关系是()
B .|AB →|=|D
C →| C.AB →>DC → D.AB →<DC →
4.如图所示,在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中.
(1)写出与AF →、AE →
相等的向量; (2)写出与AD →
的模相等的向量.
1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用.
2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量.
3.注意两个特殊向量零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
答案精析
问题导学 知识点一
思考1 面积、质量只有大小,没有方向;而速度和位移既有大小又有方向. 思考2数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小. 梳理(1)大小方向(2)大小方向 知识点二
思考1可以用一条有向线段表示. 思考20的模长为0,方向任意. 思考3单位向量的模长为1个单位长度.
梳理(1)①方向AB →|AB →
|②有向线段向量的大小向量的方向(2)长度为00或 0→
与向量a 同方向,且长度为单位1 知识点三
思考1因为向量AB →和向量BA →
方向不同,所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上,所以两向量共线.
思考2不相同,由相等向量定义可知,向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上,所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行,也可以重合.
思考3不一定.因为当b =0时,a ,c 可以是任意向量. 梳理(1)长度相等方向相同(2)平行或重合①a∥b ②任一向量 题型探究 例1A 跟踪训练1③
例2解(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点, 所以EF 綊1
2
BC .又因为D 是BC 的中点,
所以与EF →共线的向量有FE →,BD →,DB →,DC →,CD →,BC →,CB →. (2)与EF →模相等的向量有FE →,BD →,DB →,DC →,CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →,CD →.
跟踪训练2解(1)与OA →
的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB ),而每一条线段可以有两个向量,所以这样的向量共有23个.
(2)存在.由正六边形的性质可知,BC ∥AO ∥EF ,所以与OA →
长度相等、方向相反的向量有AO →,OD →,FE →,BC →
,共4个.
(3)由(2)知,BC ∥OA ∥EF ,线段OD ,AD 与OA 在同一条直线上,所以与OA →共线的向量有BC →
,CB →,EF →,FE →,AO →,OD →,DO →,AD →,DA →
,共9个. 例3解(1)向量AB →、BC →、CD →
如图所示.
(2)由题意易知,AB →与CD →方向相反,故AB →与CD →
共线. 又∵|AB →|=|CD →|,
∴在四边形ABCD 中,AB 綊CD , ∴四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD →=BC →,∴|AD →|=|BC →
|=200 km.
跟踪训练3解(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a 平行,且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知,所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心,5为半径的圆(作图略). 当堂训练 1.B2.B3.B
4.解(1)AF →=BE →=CD →,AE →=BD →
. (2)与AD →的模相等的向量有DA →,CF →,FC →.。