2018版高中数学北师大版必修四学案:第二章 1 从位移、速度、力到向量
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学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示,了解有向线段与向量的联系与区别,会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一向量的概念
思考1在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别?
思考2两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗?
梳理向量与数量
(1)向量:既有________,又有________的量统称为向量.
(2)数量:只有________,没有________的量称为数量.
知识点二向量的表示方法
思考1向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来?
思考20的模长是多少?0有方向吗?
思考3 单位向量的模长是多少?
梳理 (1)向量的表示
①具有________和长度的线段叫作有向线段,以A 为起点,以B 为终点的有向线段记作________,线段AB 的长度也叫作有向线段AB →
的长度,记作________.
②向量可以用____________来表示.有向线段的长度表示____________,即长度(也称模).箭头所指的方向表示____________.
③向量也可以用黑体小写字母如a ,b ,c ,…来表示,书写用a →
, b →
, c →
,…来表示. (2)________的向量叫作零向量,记作______________;______________________________的向量,叫作a 方向上的单位向量,记作a 0. 知识点三 相等向量与共线向量
思考1 已知A ,B 为平面上不同两点,那么向量AB →和向量BA →
相等吗?它们共线吗?
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗?
思考3 若a ∥b ,b ∥c ,那么一定有a ∥c 吗?
梳理 (1)相等向量:____________且____________的向量叫作相等向量.
(2)平行向量:如果表示两个向量的有向线段所在的直线______________,则称这两个向量平行或共线.
①记法:a 与b 平行或共线,记作________. ②规定:零向量与____________平行.
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是( ) A .向量AB →与向量BA →
的长度相等
B .两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同
C .零向量没有方向
D .任意两个单位向量都相等
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有________. ①若|a |=|b |,则a =b 或a =-b ;
②向量AB →与CD →
是共线向量,则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上; ③向量AB →与BA →
是平行向量. 类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示,△ABC 的三边均不相等,E 、F 、D
分别是AC 、AB 、BC 的中点. (1)写出与EF →
共线的向量; (2)写出与EF →
的模大小相等的向量; (3)写出与EF →
相等的向量.
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线. 跟踪训练2
如图所示,O 是正六边形ABCDEF 的中心.
(1)与OA →
的模相等的向量有多少个?
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个? (3)与OA →
共线的向量有哪些?
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点,然后又改变方向,向西偏北50°的方向走了200 km 到达C 点,最后又改变方向,向东行驶了100 km 到达D 点.
(1)作出向量AB →、BC →、CD →
; (2)求|AD →|.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3 在如图的方格纸上,已知向量a ,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ,使b =a ;
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ,使|c |=5,并说出向量c 的终点的轨迹是什么?
1.下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度,所以温度是向量; ②向量的模是一个正实数;
③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量; ④若|a |>|b |,则a >b . A .0 B .1 C .2
D .3
2.下列说法错误的是( ) A .若a =0,则|a |=0 B .零向量是没有方向的 C .零向量与任一向量平行 D .零向量的方向是任意的
3.如图所示,梯形ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB →与DC →
的关系是( )
A.AB →=DC → B .|AB →|=|DC →| C.AB →>DC → D.AB → 4.如图所示,在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与AF →、AE → 相等的向量; (2)写出与AD → 的模相等的向量. 1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然,同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量,零向量与任何向量都平行,单位向量有无穷多个,起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.