从位移、速度、力到向量

第二章 平面向量
§１ 从位移、速度、力到向量
一、向量的概念 二、向量的表示方法 三、向量的相关概念
C
A
B
思考？
嘻嘻!大笨 猫!
老鼠由A向东北逃窜，猫在 B处向东追去。猫能否追到 老鼠？
A A B
唉, 哪儿去了?
B 不能，因为方向错了。
一、向量的概念
请举出物理中的标量和矢量的实例，并进行比较。
标量：距离、身高、质量、时间、路程、密度等； 矢量：位移、力、速度、加速度、动量、力矩等。 物理中的标量和矢量在数学中分别叫做数量和向量.
（4）如图，方向相同或相 反的非零向量叫平行向量 （也叫共线向量）。
a
b
规定零向量与任何向量平行
c
d
C
思考：如图
AB// BC
吗？
B A
（5）相等向量：长度相等，方向相同的两个向量。
b
a
ab
思考：
• 1、若两个向量相等，则它们的起点和终点 分别重合吗？ • 2、向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、 C、D四点必在一直线上吗？ • 3、平行于同一个向量的两个向量平行吗？ • ４、若四边形ABCD是平行四边形，则有 A AB ＝ DC 吗? B
D C
)
C
D. 3
D
变：若 a ∥ b， b ∥ c, 则a ∥c
A B B
当b ≠ 0时成立。
A
四、例题
例1：判断下列各命题是否正确？ （） 1 a b , 则a b; (2)若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； （3）若 AB CD, 则四边形ABCD是平行四边形； （4）若a b, b c, 则a c; (5)若a // c, b // c, 则a // b
向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、 比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
本书中我们研究平面向量，在立体几何中我们将研究空间向量
二、向量的表示方法 1.几何表示法：
用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭 头所指的方向表示向量的方向。
B A 上面的向量记为AB, A为向量的起点， B为向量的终点；
也可记为a
有向线段的三要素：起点、方向、长度 向线段的起点和终点字母表示，如 AB .
特别注意：把有向线段（即向量）任意 平移，向量不变，即看作同一向量，因 为向量的大小和方向没有改变。
a
c 等小写字母表示；或用表示有 2.字母表示法： 用 a、 b、
（1）错 （4）对
（2）错 （5）错
（3）错
例2：已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中 所标出的向量中：
（ 1 ）试找出与FE共线的向量；
（2）确定与FE相等的向量；
（3） OA与BC相等吗？
解：（ 1 ） OA, BC (2) BC (3)因为方向相反，所以不 相等。
E
D
F A
O
B
C
例3：在4 5达到方格中有一个向量 AB,以图中 的格点为起点和终点作 向量，其中与AB相等的
1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 仅对向量的大小明确规定，而 没有对向量的方向明确规定 4.单位向量: 5.平行向量: 仅对向量的方向明确规定，而 没有对向量的大小明确规定 6.共线向量: 7. 相等向量: 对向量的大小和方向都明确规定
练习： （1）下列各量中是向量的是（ A ） A．加速度 B．路程 C．质量 D．长度
（1）若a = b，b = c，则a = c。
（2）若|a|=0，则a = 0
（3）若|a|=|b|，则a = b （4）两个向量a、b相等的充要条件是 |a|=|b| a ∥b （5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
其中正确的个数是( A．0 B. 1 C. 2
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF
D．EP PF
相等 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 相反 且方向_________ 的共线向量
×
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请 简述理由. ①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上； (× ) ②单位向量都相等；
(× )
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相 反的向量)不相等； (× ) ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
(× )
2.下面几个命题：
D C
判断下列命题真假或给出问题的答案： （1）平行向量的方向一定相同． ×
（2）不相等的向量一定不Biblioteka Baidu行．
×
零向量 零向量
（3）与零向量相等的向量是什么向量？ （4）存在与任何向量都平行的向量吗？ 么向量？ 平行向量（共线向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什
（6）共线向量一定在同一直线上．
三、向量的相关概念
（）向量 1 AB大小称为向量的长度（也叫模），记为 AB
（2）长度为0的向量叫零向量，记为0 ，它的方向是任意的。
0与 0 相等吗？ 思考：
（3）长度为 1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的起 点集中于一点O，问它们终点 的轨迹是什么？ 答：如图：轨迹是以O为圆心，半径为1的圆。
(6).某人从A点出发向西走了200m到达B点,然后 改变方向向西偏北60°走了450m到达C点,最 后又改变方向,向东走了200m到达D点. (1)作出向量 AB 、 BC 、 CD 的模 (2)求 DA
C D
B
A
第二章 平面向量
课堂广角
向量及向量符号的由来
• 向量最初被应用于物理学，被称为矢 量．很多物理量，如力、速度、位移、电 场强度、磁场强度等都是向量。 • 大约公元前３５０年，古希腊著名学 者亚里士多德就知道了力可以表示为向 量．向量一词来自力学、解析几何中的有 向线段。 • 最先使用有向线段表示向量的是英国 大科学家牛顿。
(4).下列说法正确的是 ( A ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是 0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量.
(5).已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的充分不必要条件是①③④ _____.
向量有多少个？与 AB长度相等的共线向量有 多少个？
B
相等的有 7个
A
长度相等 的有15个
例4：思考下列问题,并回答
下列命题正确的是 （1）共线向量都相等 （2）单位向量都相等 （3）平行向量不一定是共线向量 （4）零向量与任一向量平行
小结：
1.向量的概念: 既有大小又有方向的量 2.向量的表示: 1.几何表示 2.字母表示 3.零向量: 长度为零的向量 4.单位向量: 长度为1个单位的向量 1.方向相同或相反的非零向量 5.平行向量: 2.零向量与任一向量平行 6.相等向量: 长度相等且方向相同的向量 7.共线向量: 平行向量就是共线向量