抛物线中a,b,c的几何意义

1.（2014·贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；② b2-4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中 正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（2012·玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图 象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论： ①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程 ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正 确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
解： (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；
判断b的符号
(2) ∵对称轴在y轴右侧，
∴

b 2a

0
，而a＜0，
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∴b＞0；
判断c的符号
(3) ∵抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴的正半轴 ∴c＞0；
3.(2014·陕西)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如
图所示，则下列结论中正确的是( )
A.c>-1
B.b>0
C.2a+b≠0
D.9a+c>3b
4.（2014·烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分 图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴 为直线x=2.下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④ 当x＞－1时，y的值随x的值的增大而增大.其 中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
x
a＜0 b＜0
x
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c中
c的大小决定抛物线与y轴交点的位置。
当x＝0时，y＝c， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点是(0，c)，
①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
判断b2－4ac的符号
(4) ∵抛物线与x轴有两个交点 ∴ b2 4ac 0
。
判断2a＋b的符号
(5) ∵顶点横坐标小于1，即
b 1 ，且a＜0，
2a
∴－b＞2a， ∴ 2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6) ∵x=1时，y＞0， 即a·12＋b·1＋c＞0， ∴a＋b＋c＞0；
5.(2012·南宁)已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数
y=k(x-1)-
k2 4
，若它们的图象对于任意的非零
实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别
为( )
A.a=1,b=2 C.a=-1,b=2
B.a=1,b=-2 D.a=-1,b=-2
6.（2014·柳州模拟）已知函数y=x2+bx+（m2－1）图 象如图,则m＝ .
y ax2 bx c
1.抛物线y＝ax2＋bx＋c中
a决定抛物线开口大小及开口方向
a 越大，抛物线开口越小。 a 相等，则抛物线形状相同。
①a＞0开口向上；
②a＜0开口向下。
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c中
a和b共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线
一平面直角坐标系中的图像大致是 （ D ）
y
y
0
x
A y
0
x
B
y
0
x
C
0
x
D
5、二次函数的图象 y ax2 bx c 如图所示，则一
次函数 y bx b2 4ac 与反比例函数 y a b c 在同 x
一坐标系内的图象大致为（ D ）
y
y
y
y
y
x O1
x O
A．
7.(2013·贺州)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②
abc＞0；③2a-b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜
0，其中结论正确的是
.(填正确结论的
序号)
判断a－b＋c的符号
(7) ∵x=－1时，y＜0， 即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0， ∴故a－b＋c＜0．
1.已知二次函数 y ax2 bx c（a 0）
的图象如图所示，有下列四个结论：
①a 0 ②c 0 ③b2 4ac＜0 ④a b c＜0
⑤5a＜c ⑥b＞0 ⑦4a 2b c＜0
象过点 A（4，0），对称轴为直线x=1。给出四
个结论： ① b2>4ac； ② ab＜0 ；
③ a-b+c＞0 ； ④4a 2b c 0 ； ⑤ 2a+b=0 ；
⑥ 5a<b；⑦ 当 y=2时，一定有x＜0. x=1 y
其中正确结论是 ①②⑤。
y=2
2.
(-2,0)
0
（4，0） x
4. y ax2 bx c与一次函数 y ax c在同
其中正确的有 ①②⑤⑦ 。
y
-3 O 1 x
4
28.请比较a1与a2的大小 2
6
y=a1x2
-10
-5
5
y=a2x2 4
y=a2x2 -2
2
y=-4 a1x2
-5
5
10
15
a1 ＞-2 a2
a1＞-4 a2
-6
a1
＞
a-6 2
a1＜a-28
-8
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图
x O
B．
x O
C．
x O
D．
字母的符号
图像的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0（a、b同号） 对称轴在y轴左侧
ab＜0（a、b异号） 对称轴在y轴右侧
c＞0 c
c＜0
b2 4ac 0
b2 4ac b2 4ac＞0
b2 4ac＜0
与y轴交于正半轴 与y轴交于负半轴 与x轴有一个交点 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
x b ，故
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
左同 右异
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
a＞0
b ＞0 2a
b ＜0 a
即 a，b异号。 ∴b＜0
a＜0 b＞0
y
x b 2a
0
x
y
x b
2a
0
x
x b 2a
y
0 x b y
2a
0
a＞0 b＞0