高中数学人教版必修平面向量基本定理教案(系列五)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示

2.3.1 平面向量基本定理

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解

决实际问题的重要思想方法；

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.

教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、 复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0

2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λμ)a =λa μa ， λ(a b )=λa λb

3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =

λa .

二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a

=λ11e λ22e .

探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量

三、讲解范例：

例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e 32e .

例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a

，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是

任意一点，求证：OA OB OC OD =4OE

例4（1）如图，

OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R )用OA ，OB 表示OP .

（2）设OA 、

OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.

四、课堂练习：

1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )

A .e 1、e 2一定平行

B .e 1、e 2的模相等

C .同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1μe 2(λ、μ∈R )

D .若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1u e 2(λ、u ∈R )

2.已知矢量a = e 12e 2，b =2e 1e 2，其中e 1、e 2不共线，则ab 与c =6e 12e 2的关系

A .不共线

B .共线

C .相等

D .无法确定

3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x 4y )e 1(2x 3y )e 2=6e 13e 2，则xy 的值等于( )

A .3

B .-3

C .0

D .2

4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .

5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).

五、小结 平面向量基本定理平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e λ22e .

六、课后作业

已知 a =2e 13e 2，b = 2e 13e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 19e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.