高中数学归纳法大全数列不等式精华版

§数学归纳法

1．数学归纳法的概念及基本步骤

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：

(1)验证：n＝n0 时，命题成立；

(2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．

根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．

2．归纳推理与数学归纳法的关系

数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，

需要特别注意：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.

2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在

由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题

形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．

3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数

有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须

依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．

4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有

某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行

严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．

6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：

(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的

正整数n 都成立；

(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．

数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通

过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，

是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题

对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两

步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证

明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是

假命题．

证明：12＋122＋123＋…＋12

n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即

12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－1

2k ，

那么当n ＝k ＋1时，

左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12

k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12

k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．

根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．

用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n

＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n . [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1

＝右边， ∴当n ＝1时，等式成立．

②假设n ＝k 时等式成立，即

1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，

左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2

＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2

＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2

) ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2

＝右边． ∴n ＝k ＋1时等式成立．

由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．

[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k ＋1变到1k ＋2.因此在证明中，右式中的1k ＋1应与－12k ＋2

合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．

证明不等式

用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式

⎝

⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2n ＋12成立． [证明] ①当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左＞右，

∴不等式成立．

②假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，

即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12， 那么当n ＝k ＋1时，

⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1[1＋12k ＋1－1]＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1

＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1

＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2k ＋1＋12，

∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．

∴对一切大于1的自然数n ，不等式成立．

[点评] (1)本题证明n ＝k ＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了

恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式k ＋12k ＋1

＞2k ＋1

＋12成立．

(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：

• 第①步p (n 0)成立是推理的基础;

• 第②步由p (k )⇒p (k ＋1)是推理的依据(即n 0成立，则n 0＋1成立，n 0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．

• 另一方面，第①步中，验证n ＝n 0中的n 0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .

(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：

1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2)．

[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．

[证明] 1°当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．

2°假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k