中值定理在不等式证明中的应用
部分微分中值定理在证明不等式中的应用
部分微分中值定理在证明不等式中的应用几何利用局部分微分中值定理，可以找到更容易证明的不等式。
首先，局部分微分中值定理可以定义为：如果在某个函数的某个区域内有分段连续的双射函数f(x)，当a≤x≤b时，则函数f(x)在该区间[a,b]中任意一点c都有f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)。
因此，在利用局部分式中值定理证明不等式时，可以避免复杂的微分运算。
1. 先通过复合诸不等式，将要证明的不等式转化为多个分段连续的双射函数；
2. 通过局部分微分中值定理，把多段双射函数转化为二阶微分函数，根据函数的导数及导数的符号，把二阶微分函数的大小关系还原到原不等式中；
3. 利用二阶微分函数的单调性，使用函数积分、极值定理及不动点定理等，得出结论。
以下是一个关于局部分微分中值定理证明不等式的例子：
求证：若f(x)在[a,b]内连续且具有一阶导数，则有f(b)≤f(a)+f'(c)(b-a)。
证明：
设f(x)在[a,b]内连续，由局部分微分中值定理可知，当a＜x＜b时有
f(b)－f(a)=f'(c)(b－a)，其中c为[a,b]内任意一点，即有f(b)－f(a)－
f'(c)(b－a)≤0
根据f'(x)＞0的单调性得f'(c)＞0，故f(b)－f(a)－f'(c)(b－a)＜0
即有f(b)≤f(a)+f'(c)(b－a)，即得证。
拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用
拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用作者：左代丽来源：《新校园(下)》2016年第03期摘要：本文首先介绍了拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用形式和应用范围，对拉格朗日中值定理予以三种方式证明，并结合相关证明不等式例题，介绍了拉格朗日中值定理在高中不等式证明中的巧妙运用。
关键词：拉格朗日中值定理；不等式；证明；应用拉格朗日中值定理是微积分中值定理（包含罗尔定理、柯西定理以及拉格朗日定理）中的一种，对于微积分理论构造有重要的作用。
不等式的证明作为高中数学中较为常见的题型，也是高考中较为常见的题型。
对于不等式证明的解题方式有很多，利用中值定理解不等式是一种常见的方式。
但高中生并没有深入学习微积分，对此种方法的理解不够深入，应用起来稍显笨拙。
一、拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用1.极限问题的求解。
极限问题是高中数学中极限学习的考察重点，在高中数学教学中，许多教师都向学生介绍了洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式等解题方式。
这些解题方式原理简单，解题思路顺畅，解题效果较好，极容易被学生吸收。
而利用拉格朗日中值定理来求解极限问题的教学比较少见，一方面，拉格朗日中值定理相对复杂，通常用来解决复杂的极限问题，另一方面，学生对于复杂的极限题目往往具有畏难心理，常常在解题过程中选择放弃。
实际上，利用拉格朗日中值定理来解决复杂的极限问题，其实质在于分解题目，实现对题型的转变，运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联，寻找两者之间的连接点，做好式子的简化，这样才能快速解题。
2.不等式证明的求解。
不等式证明题是不等式教学中最基本的题型之一，解决不等式证明的常规方法有许多，例如：数形结合、导数法等。
利用拉格朗日中值定理来解决不等式证明题，其核心在于对函数的构建，以及进一步探索导数与构建的函数之间的关系，利用这种关系，进一步确定在特定条件下函数成立，继而证明不等式。
常规方法证明较复杂的不等式需要耗费大量的演算时间，且容易在求解过程中产生思维冲突，不利于正确解题，但直接运用拉格朗日中值定理非常简单，能够快速求解。
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用拉格朗日中值定理（LagrangeMeanValueTheorem）是一种经典的微积分定理，它于1784年由法国数学家拉格朗日首次提出。
它有助于我们解决很多不等式计算问题，使这些问题更加容易推理出正确的结论。
在不等式证明中，拉格朗日中值定理可以作为一个重要的工具，帮助我们建立证明的逻辑链条，以验证不等式的正确性。
首先，让我们介绍拉格朗日中值定理的基本概念。
拉格朗日中值定理是指：给定一个定义在实数闭区间上的函数f，如果该函数在闭区间内连续，那么在这个闭区间内存在某个α，使得：f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
其中a为闭区间的左端点，b为闭区间的右端点。
既然介绍了拉格朗日中值定理背后的基本原理，那么我们就可以来看一看如何运用拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用。
如果要证明某一不等式，那么第一步必须是建立一个函数，用它来描述不等式。
拉格朗日中值定理告诉我们，当一个函数在闭区间上连续时，存在一点，使得函数f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)，那么我们就可以利用这一性质，来进行证明。
例如，我们有f(x) = x + x - 1，要证明f(x) 0，当-1 x 1时成立。
首先，将范围[-1,1]表示为[a,b]，根据拉格朗日中值定理，求出f(x)在[a,b]区间内的中点α，通过求导数等方法，使f(α)=(f(b)-f(a))/(b-a)，即有f(-1/2) = 5/32，由于f(-1/2) > 0，得出f(-1/2) 0，又因为f(x)在[a,b]区间内是连续的，即可知f(x)在[a,b]区间内也是连续的，由此可以说明f(x) 0，当-1 x 1时成立。
再如另一个例子，f(x) = 1-2x+x，要证明f(x) 0，当-1 x 1时成立。
按照上述方法，先找出f(x)的中点α，计算f(0) = 1，由于f(0) > 0，又因为f(x)在[a,b]区间内是连续的，所以f(x) 0，当-1 x 1时成立。
柯西中值定理在不等式证明与构造中的应用
柯西中值定理在不等式证明与构造中的应用柯西中值定理是一个重要的数学定理，在不等式证明与构造中有着广泛的应用。
首先，柯西中值定理在不等式证明中有着广泛的应用。
例如，我们可以使用柯西中值定理证明求和不等式。
对于一个等差数列{a, a + d, a + 2d, … , a + (n-1)d}，其平均数为$\frac{a+a+n-1}{n}=a+\frac{n-1}{2}d$。
我们可以使用柯西中值定理得到：$\frac{a+a+n-1}{n} \leq \frac{a(a + (n-1)d)}{2} = a +\frac{(n-1)d}{2}$。
将两边同乘2，得到$a + (n-1)d \geq 2(a + \frac{(n-1)d}{2})$，即$a \geq a + d$。
这就是求和不等式的证明。
柯西中值定理也可以用于构造数学问题的解。
例如，有一个数学问题，要求在数轴上构造出一段区间[x, y]，使得它的中点在数轴上，且[x, y]区间内所有整数的平方和等于n。
我们可以使用柯西中值定理来构造这个区间。
首先，设[x, y]区间内所有整数的平方和为S，则$S = \sum_{i=x}^{y} i^2 =\sum_{i=1}^{y} i^2 - \sum_{i=1}^{x-1} i^2$。
根据等差数列求和公式，有$S = \frac{y(y+1)(2y+1)}{6} - \frac{(x-1)x(2x-1)}{6}$。
将S代入原式，得到$\frac{y(y+1)(2y+1)}{6} - \frac{(x-1)x(2x-1)}{6} = n$。
解这个一元三次方程即可得到答案。
以上就是柯西中值定理在不等式证明与构造中的应用。
柯西中值定理是一个重要的数学定理，它可以帮助我们在数学中进行证明与构造。
不仅如此，柯西中值定理还有许多其他的应用，比如在几何、概率论、近似计算等领域都有广泛的应用。
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用
117科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION科 技 教 育DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.09.117拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用①陈海伟(商丘工学院教务处 河南商丘 476000)摘 要：拉格朗日中值定理揭示了函数在某区间内的整体性质和在该区间内某一点的导数之间的关系，是微分中值定理的核心定理之一。
通过典型例题的解析分析说明利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤和辅助函数的构造方法。
关键词：拉格朗日中值定理 辅助函数 不等式证明中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(c)-0117-02①作者简介：陈海伟（1983—），男，汉族，河南商丘人，本科，讲师，中级经济师，研究方向：决策最优化。
1 预备知识拉格朗日中值定理[1]：如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )内可导，则在内至少存在一点ξ，使得'()()()f b f a f a bξ−=−。
2 利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤[2]利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤可以总结为以下三步：（1）构造辅助函数()f x ；（2）选择恰当的应用区间(a ,b )；（3）考虑中值ξ的取值范围。
其关键点在于辅助函数的构造和应用区间的选择。
在实际应用中往往是根据需要证明的不等式来逐步逆推出需要构造辅助函数()f x 并选择恰当的应用区间(a ,b )。
下面通过典型例题的解析讲解来分析说明辅助函数的构造方法。
3 典型例题解析t例1 证明：当0x >时，ln(1)1xx x x<+<+。
分析：从ln(1)1x x x x<+<+逆推。
ln(1)1xx x x <+<+1ln(1)11x x x +⇒<<+ln(1)x x+，要逆推凑成()()f b f a a b−−，()()()f b f a f a bξ−=−、1()11f xξ<<+）（ξ选择合适的取值范围）。
(完整版)利用中值定理证明不等式
利用中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的证明过程是基于罗尔定理上的， 并将拉格朗日中值定理作为罗尔定理的推广， 找出辅助函数满足罗尔定理条件得证的:定理3.2［8] 罗尔定理： 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导， 且在区间端点的函数值相等， 即()()f a f b =那么在(),a b 内至少存在一点ζ使得函数在该点的导数值等于零. 即()'0f ζ=。
(3.1）证明 由于()f x 在闭区间[],a b 上连续, 所以()f x 在[],a b 上一定取到最小值与最大值， 分别设为m 与M .（1)当m M =,则()f x 在[],a b 是常值函数,即()()[]',0,,f x m f x x a b =≡∈.因此，ξ可取(),a b 内任意一点，有()'0f ξ=。
（2)当m M <时,由于()()f a f b =，所以最大值、最小值至少有一个在内部取到，不妨设最大值M 在内部取到。
设()()',,a b f M ξξ∈=, 则()f ξ为极大值。
由()f x 在(),a b 内可导,知()'f ξ存在。
由费马定理知， ()'0f ξ=定理3.3［8] 拉格朗日中值定理: 如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续, 在开区间(),a b 内可导， 那么在(),a b 内至少存在一点使等式()()()()'f b f a f b a ζ-=- (3。
2）成立.证明 构造一个函数，设()()()()()()f b f a F x f x x a f a b a-=----, 由于()[]()(),,,F x C a b F x D a b ∈∈， 且()()0F a F b ==。
所以由罗尔定理知至少存在一点(),a b ξ∈， 使()'0F ξ=. 又()()()()''f b f a F x f x b a -=--， 所以()()()'0f b f a f b aξ--=-， 于是 ()()()'f b f a f b aξ-=- 例3.2[4]证明0,1x x e x ≠>+ 分析:因为0x ≠当0x >时， 将不等式1x e x >+ 改写成()()00,0,x e e e x x ζζ-=-∈ 当0x <时, 将不等式1x e x >+改写成()()00,,0x e e e x x ζζ-=-∈证明 令()x f x e =当0x > 时， 对()x f x e =在[]0,x 上应用拉格朗日中值定理。
柯西中值定理在高考中的应用
柯西中值定理在高考数学中的应用主要体现在证明不等式和判断函数的单调性等方面。
首先，柯西中值定理可以被用来证明不等式。
通过设定两个函数，并利用这两个函数在给定区间上的连续性和可导性，可以运用柯西中值定理得到一个等式。
然后，结合放缩法等其他数学技巧，可以将这个等式转化为所需证明的不等式。
这种方法在处理一些复杂的不等式证明问题时非常有效。
其次，柯西中值定理也可以用来判断函数的单调性。
如果一个函数在某区间上的导数始终为正（或负），那么该函数在该区间上就是单调递增（或递减）的。
通过运用柯西中值定理，我们可以得到函数在某一点处的切线斜率与该点所在区间上函数值变化量的关系，从而判断函数的单调性。
然而，需要注意的是，柯西中值定理本身并不是高考数学中的必考内容。
高考数学主要考察的是基础知识和基本方法，如导数的基本性质、函数的单调性、极值等。
因此，在高考中直接考察柯西中值定理的可能性并不大。
但是，通过对柯西中值定理的学习和理解，我们可以更深入地理解导数和函数的关系，提高解决复杂数学问题的能力。
总的来说，虽然柯西中值定理在高考中的直接应用并不多，但它对于提高数学素养和解决复杂问题具有重要的作用。
在学习过程中，我们应该注重理解定理的本质和思想，而不是仅仅记忆定理的形式和结论。
拉格朗日中值定理在分析证明不等式中的应用
厂 （ ）一 ，
少存在 一点 （ 口＜ ＜ ６ ）使
＞ ．４ ［］
证 明 作 辅助 函数
）一 ）＋ （ － ａ ｘ－ ）
从 而有
厂 （ ）＞ ，
Ｏ— ｄ
．
则 ｇ ）为形 如 Ａ （ ｘ＋Ｂ 的 函数 ． 因为 厂 ）不为形 如 Ａｘ＋ Ｂ 的函数 ， 以至 （ 所 少存在 一点 ｃ∈ （ ，） 使 ｎ６ ， 厂ｃ ≠ ｇｃ， ，口 （） （） 但 （ ）一 ｇ 口 ， （ ）一 ｇ ６ （）厂 ６ （） 情 形 一 （）＞ ｇ ｃ ， ｃ （） 此时
ａ 一 ｂ 一 （ 口一 ６ ）
至少 存 在 一 个 值 ， 厂（ 使 ｎ＋ Ｏｂ一 口 ）一 （ ）
Ｄ 一 口
因为 Ｘ 当Ｐ＞ １ 为单调增 函数 ， ＜ ＜ ａ 时 ｂ ，
所 以
６ ＜ ＜ ｎ川 ，
或 厂（） （ ） ６ 一厂 口 一 （ ＋ ６ ａ ） ６ （ － ） （
关 于拉格 朗 日中值 定理 的证明及 应用有 许多
专 门的研 究 ， 利用 拉格 朗 日中值定 理 证 明不 等 式 有许 多方便 之 处． 文 着重 介 绍 如何 利 用拉 格 朗 本 日中值定 理来分 析证 明一些 常见 的不 等式 。
又因为
ｆＯ 引≤ １ Ｓ Ｃ
所 以原式 成立 。
．
ａ
两边 同 时取绝对 值
ｌｉ —ｓ Ｉ Ｓ — Ｉ ｎ ｓ ｉ Ｙ — （ ） ｎ ｌ Ｃ Ｏ
即
证 明 设 ， ｚ （ ）＝ ｌｘ （ ｎ ，ｚ＞ Ｏ ， 其在 ［ ， ）则 口 ６ ］上连 续 ， 口 ６ 上 可导 ， ｆ （ ）＝ ． 在（ ，） 且 ｚ ： ： 由拉
拉格朗日中值定理的证明作用探析
拉格朗日中值定理的证明作用探析拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足条件：在[a，b]上连续；在（a，b）内可导，则在a与b之间至存在一点，使得上述等式是拉格朗日中值定理准确的增量形式，将该增量形式与的范围结合就可以用于不等式的证明中。
拉格朗日中值公式还有其他三种形式，这些形式从不同角度反映了它的作用。
（1）曲线上某点切线的斜率。
（2）函数的改变量与函数在某点的导数与自变量之积相等。
（3）函数与其导数之间的关系。
拉格朗日中值定理也称中值公式或拉格朗日公式，它是微分学中的一个基本定理，在理论和实际应用中具有极高的价值。
拉格朗日中值定理中数学中的应用有求极限、证明不等式、证明恒等式、证明等式、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛等。
下面主要讨论拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用。
1拉格朗日中值定理证明思想及求证不等式的步骤2.1拉格朗日中值定理的证明思想拉格朗日中值定理的证明思想是利用拉格朗日中值定理证明一切问题的主要依据。
拉格朗日中值定理的证明思想可具体分为如下几步：（1）将结论中的改为x，并通过化简整理使得等式右边为零，即（2）对等式右边关系式进行求导运算，即（3）设置辅助函数，并利用罗尔定理证明其结论成立，即设得到由此可知在[a，b]上满足罗尔定理，故至少存在一点，使得，进而可以推出2.2拉格朗日中值定理证明不等式的步骤（1）观察不等式，看其变形后是否能变成拉格朗日公式的形式。
（2）在满足上述变形要求的前提下，需要根据已知的题设出合理的函数。
（3）验证函数是否满足拉格朗日中值定理。
（4）利用满足的不等式求出要证明的不等式。
2拉格朗日中值定理在不等式中的应用3.1在含有绝对值不等式证明中的应用例1 求证成立。
证明令，则根据拉格朗日中值定理可知，对上式的两边同时取绝对值即同时由于因此可证得原式成立。
含绝对值的不等式可分为在证明过程中对等式两边同时取绝对值，然后利用已知条件中的不等关系证明含绝对值的不等式成立，以及类似的不等式（对于该类不等式的证明，可修改为形式的双边不等式）。
中值定理在高考中的应用
中值定理在高考中的应用
中值定理在高考数学中有着广泛的应用，特别是在处理一些证明题时。
以下是一些具体的例子：
1. 利用罗尔定理证明函数在某点的导数为零。
例如，如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，那么至少存在一点$c \in (a, b)$，使得$f'(c)=0$。
2. 利用拉格朗日中值定理证明等式或不等式。
例如，如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么至少存在一点$c \in (a, b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
3. 利用柯西中值定理证明函数的单调性。
例如，如果函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，且$g'(x) \neq 0$，那么存在一点$c \in (a, b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。
以上只是中值定理在高考数学中的一些应用，实际上，中值定理的应用非常广泛，掌握好中值定理的原理和方法可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
微分中值定理在不等式证明中的应用
微分中值定理在不等式证明中的应用作者：段胜忠杨国翠来源：《现代商贸工业》2017年第28期摘要：通过典型例子的解答，给出利用拉格朗日中值定理、柯西中值定理和带拉格朗日余项泰勒公式证明不等式的方法和步骤。
关键词：不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒公式；辅助函数中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/ki.16723198.2017.28.094不等式是初等数学和高等数学中的重要内容，在数学分析、泛函分析、非线性泛函分析和证明微分方程解的存在性方面有着非常重要的应用。
同时，不等式的证明由于题型特殊，证明的方法灵活多变，在培养学生的创新思维和创新能力上具有重要的作用。
微分中值定理反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系，是用导数来研究函数性态的理论基础，微分中值定理作为微分学应用的桥梁，在理论和实际中具有极高的研究价值。
本文通过典型例子的解答，希望进一步概括和总结微分中值定理在不等式证明中的方法和步骤，在加深学生对微分中值定理理解的同时，提升学生证明不等式能力。
1预备知识定理1.1 （拉格朗日中值定理）若函数fx满足如下条件：（1）在闭区间a，b上连续；（2）在开区间a，b内可导。
则在a，b内至少存在一点ξ，使得f′ξ=fb-fab-a 。
定理1.2（柯西中值定理）若函数f（x）与g（x）满足下列条件：（1）在闭区间a，b连续；（2）在开区间（a，b）可导，且x∈（a，b），有g′（x）≠0，则在（a，b）内至少存在一点c，使f′（c）g′（c）=f（b）-f（a）g（b）-g（a）。
定理1.3（带拉格朗日余项的泰勒公式）若函数f（x）在点a存在n+1阶导数，则x∈Uo （a）有f（x）=f（a）+f′（a）（x-a）+…+f（n）（a）n！（x-a）n+f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-a）n+1，其中ξ介于a与x之间。
2典型例子2.1利用拉格朗日中值定理证明不等式方法步骤：（1）构造恰当的辅助函数；（2）寻找合适的讨论区间；（3）考虑中值的取值范围，进行适当的放缩。
微分中值定理在不等式证明中的应用
微分中值定理在不等式证明中的应用微分中值定理是一种常见的数学定理，也被称为中值定理或差分定理，它被用来在不等式证明中提供用于比较函数中极值或峰值的一种工具。
它的特殊性在于，它可以在只使用一个简单的不等式就可以进行有效的比较。
微分中值定理的定义微分中值定理的定义如下：如果f是在闭区间[a,b]上连续且在[a,b]上具有一阶导数的函数，那么在闭区间[a,b]上有f(c)=0，其中c属于(a,b)。
另外，它要求c处的函数具有由“其他特征”定义的行为，即函数在c处可能是极大值和极小值，也可能是可以有一个局部最大值。
微分中值定理在不等式证明中的应用微分中值定理可以通过不等式证明给出有关函数的具体结果。
例如，对于函数f，我们可以证明f(c)=0，其中c属于(a,b)。
然后，我们可以得出相应的不等式，即f(c)≤f(a)或f(c)≥f(b)。
这样，只使用一个不等式就可以比较函数f的不同极值，从而证明函数在特定点上是最大值或最小值。
另外，微分中值定理还可以用来证明函数的稳定性，例如，当f(c)=0时，函数f具有局部最大值和局部最小值。
因此，如果f(c)=0，则函数f的局部极值点c处的全局极值点不会改变。
最后，微分中值定理可以用来证明函数的单调性。
若f(c)=0，其中c属于(a,b)，但f(x)≠0或f(x)<0，其中x属于(a,c)或x属于(c,b)，则函数f在区间(a,b)上是单调的。
结论从上面可以看出，微分中值定理在不等式证明中有着重要的应用。
它提供了一种容易使用的工具，可以比较函数中极值或峰值，而且还可以用来证明函数的稳定性和单调性。
此外，微分中值定理还可以用来证明函数的其他性质，例如它的连续性和可导性。
因此，微分中值定理是一个非常有用的理论工具，可以帮助我们更好地理解和证明一个函数。
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用
泰勒公式与拉格朗日中值定理在证明不等式中的简单应用泰勒公式和拉格朗日中值定理是微积分中常用的重要工具，它们在证明不等式中有很多简单应用。
下面将分别介绍泰勒公式和拉格朗日中值定理，并给出一些简单的不等式应用例子。
一、泰勒公式泰勒公式是描述函数在一些点附近的近似表达式。
对于一个函数f(x)，如果它在一些点a处具有n+1阶可导，那么根据泰勒公式，我们可以得到以下的展开式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中，R_n(x)是拉格朗日余项，并且满足以下形式：R_n(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!泰勒公式的一个直接应用就是可以用它来证明不等式，我们可以通过展开函数，对比系数，再将恒等式转化为不等式，来获取我们想要的结论。
例如，我们想要证明在[0,1]区间上，e^x>=1+x+x^2/2，可以使用泰勒公式展开e^x，然后对比系数：e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+R_n(x)，(n≥2)对于n=2，展开式为：e^x=1+x+x^2/2+R_2(x)我们知道e^x是递增的函数，所以对于x∈[0,1]，e^x的取值在[1,e]之间。
而对于1+x+x^2/2，将x替换为1，可以得到2.5、所以我们只需要证明对于[0,1]区间内的x，有2.5>=e^x即可。
假设在[0,1]区间内存在一些点c，使得R_2(c)=e^c-(1+c+c^2/2)>0，即e^c>1+c+c^2/2、由于R_2(c)的形式具有e^c的余项特征，我们可以使用拉格朗日中值定理来讨论。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点d∈(0,c)，使得R_2(d)=R_2(c)-R_2(0)=e^c-(1+c+c^2/2)-2<=0。
利用中值定理证明不等式
利用中值定理证明不等式中值定理是微积分中的一条重要定理，常被应用于证明不等式。
下面我们通过一个具体的例子来说明如何利用中值定理证明不等式。
假设我们要证明的不等式为：对于任意实数x，有f(x)>g(x)。
首先，我们需要明确中值定理的内容。
中值定理的表述如下：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，那么在(a,b)上至少存在一点c，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
在证明不等式时，我们可以设h(x)=f(x)-g(x)，然后证明h'(x)>0。
若对于任意x，有h'(x)>0，则可得到f(x)>g(x)。
具体的证明步骤如下：步骤1：设h(x)=f(x)-g(x)，其中f(x)和g(x)是两个实数函数。
步骤2：在(a,b)上，我们先验证h(x)在[a,b]上连续。
根据函数的连续性定义，我们需要证明当x趋向于a或者b时，h(x)趋向于h(a)或者h(b)。
这一步可以通过利用f(x)和g(x)的连续性以及加减法的性质来完成。
步骤3：在(a,b)上，验证h(x)在(a,b)上可导。
根据函数可导的定义，我们需要证明当x趋向于a或者b时，h(x)的导数存在。
这一步可以通过利用f(x)和g(x)的可导性以及加减法的性质来完成。
步骤4：根据中值定理，存在至少一点c，满足h'(c)=(h(b)-h(a))/(b-a)。
步骤5：根据步骤4，我们可以得到h'(c)=(f(b)-g(b)-f(a)+g(a))/(b-a)=(f(b)-f(a))/(b-a)-(g(b)-g(a))/(b-a)。
根据前提假设f'(c)>0，我们可以得到h'(c)>0。
步骤6：根据步骤5，我们得到在(a,b)上存在至少一点c，使得h'(c)>0。
因此，根据导数的定义，我们可以得到在(a,b)上h(x)严格递增（h'(x)>0）。
利用微分中值定理证明不等式
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1 知识准备 (1)2 利用罗尔中值定理证明 (2)3 利用拉格朗日中值定理证明 (3)4 利用柯西中值定理证明不等式 (5)5 利用泰勒中值定理证明 (7)6 综合利用微分中值定理证明不等式........................................................ (10)参考文献 (11)利用微分中值定理证明不等式摘要:微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法,本文讨论了各个中值定理在证明不等式中的不同用法以及综合利用微分中值定理证明不等式.关键词:微分中值定理;不等式Using differential mean value theoremproving inequalityAbstract:Useing the mean value theorem to prove that inequality is a kind of important method , this paper discusses various of mean value theorems to proof inequality in the different usage, and proving inequality by useing comprehensive utilization differential mean value theorem.Key Words:differential mean value theorem;inequalities0前言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别.1知识准备微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1罗尔中值定理:如果函数()f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b内可导,且满足()()fξ'=.=,那么在(),a b内至少存在一点ξ,使得()0f a f b定理2拉格朗日中值定理:如果函数()f x在闭区间[],a b上连续,在开区间(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.2利用罗尔中值定理证明不等式罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理,这类内容会放在第六部分详细介绍, 这里就不再赘述. 3利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----,正是曲线()y f x =与弦线之差. 拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<;(2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<;(3) ()()(),0 1.f a h f a f a h θθ'+-=+<<值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.例1 (1)如果0x >,试证ln(1)1x x x x<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1x x ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ<<++,所以ln(1)1x x x x <+<+(0)x >. (2)当αβ=时,显然等号成立.当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈,由拉格朗日中值定理得,211arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈.则有 21()1arctg arctg αβαβξ-=-+ 所以 21()1arctg arctg αβαβαβξ-=-≤-+. 以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例2 当0x ≥时,函数()f x 在其定义域上可导,且()f x '为不增函数,又()0f x =, 0,1,2,...,,i x i n ≥=求证 11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.证明 用数学归纳法当1n =时,显然不等式成立.当2n =时,若12,x x 均为0,或者一个为0时,当一个为0时,显然有 1212()()()f x x f x f x +=+.设12,x x 均大于0,不妨设12x x ≤,在[]10,x 应用拉格朗日中值定理可得:()1111111()()(0)(),0,0f x f x f f x x ξξξ-'==∈-. 在[]212,x x x +上再次利用拉格朗日中值定理可得:()122122222121122()()()()(),,f x x f x f x x f x f x x x x x x x ξξ+-+-'==∈++- 显然12ξξ<,由题设知, 12()()f f ξξ''≥.所以 122111()()()f x x f x f x x x +-≤, 即 12122()()()f x x f x x f x +≤++.假设当n k =时不等式成立,即 11()()k ki i i i f x f x ==≤∑∑.取1111()()k ki i k i i f x f x x ++===+∑∑,显然10k x +=的情况不证而明,,所以只考虑10k x +>的情况.取1ki i u x ==∑,由前面已证的结论有11()()()k k f u x f u f x +++≤+,再用归纳假设可得 1111()()k k i i i i f x f x ++==≤∑∑,即当1n k =+时结论成立.所以11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.4利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数(),()f x g x 的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为()g x )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()g x x =.(),()f x g x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,且()g x '在[]0,(0)x x >内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:ln(1)ln(1)1(1)11x x ξ+-=+-+,(0,)x ξ∈ 则有 ln(1)ln(1)1x x ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设0x >,对01α<<的情况,求证: 1x x ααα-≤-.(2)设0x >，求证: sin 1x x e <-.证明 (1)设()f t x α=,()g t x α=.当1x =时结论显然成立.当1x ≠时,取[],1x 或[]1,x ,(),()f x g x 在闭区间[],1x 或[]1,x 上连续,在开区间(),1x 或()1,x 可导,且()g x '在内(),1x 或()1,x 每一点均不为零,由柯西中值定理可得:()(1)()()(1)()f x f fg x g g ξξ'-='-,(,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈ 即 111x x ααααξξααα---==-. 所以1x x ααα-≤-得证.(2)设()sin f t t =,()t g t e =,[]0,t x ∈,(),()f x g x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,x 内可导,且()g x '在()0,x 内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:()(0)()()(0)()f x f fg x g g ξξ'-='-,()0,x ξ∈. 即sin cos 1t x e e ξξ=-,()0,x ξ∈. 因为10x e ->,10e ξ>>,所以sin cos 11t x e eξξ=<-. 即 sin 1x x e <-.注意:例3中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 4 如果函数()f x 满足两个条件:(1)在闭区间[],a b 上有二阶导数()f x '';(2) ()()0f a f b ''==.试证明:在开区间(),a b 内至少存在一点c ,使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--. 证明 令24()()()k f b f a b a =--.在此我们利用用反证法来证明本题, 我们不妨假设()f x k ''<,a x b <<.对于构造的辅助函数[]000()()()()()F x f x f x f x x x '=-+-及20()()G x x x =-(其中0x 是[],a b 中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:200001()()()()()()2f x f x f x x x x x f ξ'''=+-+- 其中ξ介于0x 与x 之间(即0x x ξ<<或0x x ξ<<),x 为[],a b 上任意点,特别地,在上式中取0x a =,2a b x +=,并利用已知条件()0f a '=,则有: 21()()()()28a b b a f f a f c +-''=+,其中1c 满足12a b a c +<<, 于是 2()()()28a b b a f f a k +--<. 同理再取0x b =,2a b x +=,并利用已知条件()0f b '=,则得: 22()()()()28a b b a f f b f c +-''=+,其中2c 满足22a b c b +<<. 于是: 2()()()28a b b a f b f k +--<. 因此,2()()()()()()()()()224a b a b b a f b f a f b f f f a k f b f a ++--≤-+-<=-. 这是不可能的.所以在区间(),a b 内至少存在一点c ,使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--. 5利用泰勒中值定理证明不等式泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数()f x 的假设条件较少,只需函数()f x 在0x 处n 阶可导,不需要1n +阶可导,也不需要在0x 的邻域内存在n 阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好.利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:(1)根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式.(2)根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.下面举例来说明:例5 当02x π<<时,求证:2221200(1)sin (1)(21)!(21)!k k k kn n k k x x x k x k -==--<<++∑∑. 分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明sin 01x x<<, 而利用泰勒中值定理时,当1n =时,不等式为:224sin 113!3!5!x x x x x -<<-+. 显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着n 的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令()sin f x x =,那么函数()f x 在00x =点展开前2n 项的泰勒公式,余项取拉格朗形式,那么有:212430(1)sin ()(21)!k k nn k x x R x k ++=-=++∑43434343433sin()sin cos 2()(43)!(43)!(43)!n x n n n n x R x x x x n n n ξπξξ+=+++++-===+++. 因为02x πξ<<<,所以cos 0ξ>,从而21()0n R x +<,所以有 2120(1)sin (21)!k k n k x x k +=-<+∑.即 220(1)sin (21)!k knk x x k =-<+∑. 同理,因为412sin()2()0(41)!n n R x x n πξ++=>+,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例4的另一种证法:由题设条件,应用泰勒展开式有:211()()()()()2222a b b a b a f f a f a f ξ+--'''=++,221()()()()()2222a b a b a b f f b f b f ξ+--'''=++, 其中1ξ介于a 与2a b +之间,2ξ介于2a b +与b 之间. 上述两式相减,且有()()0f a f b ''==,得:2211()()()[()()]22a b f b f a f f ξξ-''''-=⋅-, ()221()()()()()8a b f b f a f f ξξ-''''-≤+. 令21max{(),()}()f f f ξξξ''''''=,(,)a b ξ∈,则有:2()()()()4a b f a f b f ξ-''-≤,(,)a b ξ∈. 即 24()()()()f f b f a b a ξ''≥--. 例6 设函数()f x 在[],a b 上二阶可导,且()0f x ≥,()0f x ''<.求证:对任意的[],x a b ∈,有2()()b a f x f t b a≤-⎰. 证明: 对任意的[],x a b ∈,将()f x 在t 点展开[](,)t a b ∈.2()()()()()()2!f f x f t f t x t x t ξ''=+-+-(其中ξ介于x 与t 之间). 注意到()0f x ''<,所以有()()()f x f t f x t '≤+-.对上述不等式的两边对t 积分,得:()()()()bb b a a af x dt f t dt f t x t dt '≤+-⎰⎰⎰ ()()()()()()b bb a a a b a f x f t dt f x x t f t dt -≤+-+⎰⎰2()()()()()ba f t dt fb x b f a x a =+---⎰ 因为()0()()()()0f x f b x b f a x a ≥⇒---≤.所以2()()b a f x f t b a≤-⎰. 6综合利用微分中值定理证明不等式 利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则有:(1)如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '>,则函数()f x 在[],a b 上单调增加;(2) 如果在在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '<,则函数()f x 在[],a b 上单调减少.另外,函数()f x 在(),a b 内除有个别点外,仍有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在[],a b 上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数()f x 的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()f x 连续但()f x '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()f x '的符号变化情况,确定函数()f x 的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例7 求证 (1)当0x >时,证明2ln(1)2x x x +>-成立. (2)当(0,)2x π∈时,证明tan sin x x x x>成立. 证明 (1)令2()ln(1)2x f x x x =+>-,因为函数()f x 在[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 21()111x f x x x x'=-+=++. 当0x >时,2()01x f x x'=>+,所以当0x >时,函数()f x 是单调递增的.故当0x >时,有:()(0)0f x f >=,即()0f x >,从而 2ln(1)2x x x +>-成立. (2)因为(0,)2x π∈,所以sin 0x >,tan 0x >.令函数2()sin tan f x x x x =-,则有: 21()sin sec sin 2tan (cos )cos f x x x x x x x x'=+-=+因为(0,)2x π∈时, 1cos 2cos x x +>,tan x x >,所以()0f x '>.即()f x 在(0,)2x π∈时严格递增的,又因为()0f x =,所以()0((0,))2f x x π>∈,即tan sin x x x x>成立. 例8 设函数()f x 在闭区间[],a b 上二次可微,且满足()0f x ''>,试证:当a x b <<时,有不等式: ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 证明 令()()()f x f a x x a ϕ-=-,那么()()()()f x f x a x x aξϕξ''-'=<<-. 由于()0f x ''>,可知()f x '在闭区间[],a b 上是严格递增的,即()()f x f ξ''>,从而有 ()0x ϕ'>,故函数()x ϕ在闭区间[],a b 上也是严格递增的,于是当[],x a b ∈时,有:()()x b ϕϕ<,即 ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 参考文献[1]D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社.1987.[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.2006．[3]Ｒ.科朗等.微积分和数学分析引论[M].北京:科学出版社.2002.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1994.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.[7]林丽绿.利用微分中值定理证明不等式[J].泉州师专学报,1997,第一卷.[8]赵文祥.微分中值定理与不等式[J].天津电大学报,2007,增刊.[9]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究,2008,第28卷第10期.。
中值定理在不等式证明中的应用
本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍•关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式AbstractThis paper idea wrote in in equality proof of use freque ntly duri ng several of the mea n value theorem, which in the Lagra nge mea n value theorem proving in equality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to con struct auxiliary fun ctio n. in the applicati on of proof in equalities of the Taylor mea n value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the fun cti on extreme value point or the most value point, the in terval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify in equality. And Cauchy mid-value theorem and in tegral mea n value theorem in the applicati on process to prove the in equality were briefly discussedKey words:The Lagrange Mean Value Theorerp Taylor's Formula； Cauchy Mean Value Theorem； In equality ；The Mean Value Theorem for In tegrals摘要 (I)Abstract (I)1引言 (1)2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (2)2.1拉格朗日中值定理 (2)2.2利用拉格朗日中值定理证明不等式 (2)2.2.1 直接公式法( 2) 2.2.2 变量取值法( 4) 2.2.3 辅助函数构造法 (5)3泰勒中值定理在不等式证明中的应用 (7)3.1 泰勒中值定理............................... ( 7) 3.2利用泰勒公式证明不等式( 7) 3.2.1 中点取值法( 7) 3.2.2 端点取值法( 9) 3.2.3 极值取值法( 9) 3.2.4 任意点取值法(11)4柯西中值定理在不等式证明中的应用 (14)4.1柯西中值定理 (14)4.2利用柯西中值定理证明不等式 (14)5积分中值定理在不等式证明中的应用 (16)5.1 积分中值定理(16)5.2利用积分证明不等式 (16)结束语 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1引言不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理（也称微分中值定理）为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态. 此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.2拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1拉格朗日中值定理拉格朗日（grange , 1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）• 拉格朗日中值定理设函数f x在闭区间［a,b］上连续，在开区间a,b内可导，则在开区间（a,b）内至少存在一点X。
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用
拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用拉格朗日中值定理（Lagrange Interpolation Theorem）是一个多项式插值定理，其证明用到了不等式的技巧。
它的应用非常广泛，在数学、物理、工程等多个领域都发挥着重要作用。
在不等式证明中，拉格朗日中值定理也可以发挥作用。
首先，我们来看拉格朗日中值定理的描述：如果在区间[a, b]上有n + 1个不同的点x0, x1, ..., xn，则存在一个多项式P(x)，使得对于任意的i，有P(xi)=f(xi)。
这里，f(x)是在[a, b]上定义的函数。
拉格朗日中值定理有很多应用，其中之一就是在不等式证明中的应用。
下面我们来看一个例子，证明 f(x) = x2 + x + 1在满足 0 < x < 1 的所有 x 上都大于 0。
首先，我们将 [0, 1] 划分成 n 个相等的小区间，即[0, 1/n], (1/n, 2/n]，…，((n-1)/n, 1]，然后求出每个小区间内的端点，得到 x0=0, x1=1/n, x2=2/n,...，xn=1。
我们记 f(x) 的值在每个端点 xi 上的值为 yi，即y0=f(0)=1, y1=f(1/n), y2=f(2/n)...，yn=f(1)=2。
根据拉格朗日中值定理，我们知道在 [0,1] 上存在一个多项式 P(x)，使得 P(xi)=yi，即 P(0)=1,P(1/n)=f(1/n), P(2/n)=f(2/n)...，P(1)=2。
由 Taylor 展开式，我们知道 P(x) 的形式为P(x)=y0+y'0(x-x0)+y''0(x-x0)(x-x1)+...+y^(n-1)0(x-x0)...(x-x_n-1)因此，可以求出 P(x) 的表达式，其中的系数可以用分母为n!的组合数表示，即P(x)=sum_{i=0}^ny_iC_i(x)只要把 C_i(x) 表示出来，就可以求出 P(x) 的表达式。
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摘要本文主要写在不等式证明过程中常用到的几种中值定理，其中在拉格朗日中值定理证明不等式的应用中讲了三种方法：直接公式法、变量取值法、辅助函数构造法.在泰勒中值定理证明不等式的应用中，给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点、已知区间的两端点、函数的极值点或最值点、已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好的运用泰勒中值定理证明不等式.并对柯西中值定理和积分中值定理在证明不等式过程中的应用问题作简单介绍.关键词：拉格朗日中值定理；泰勒公式；柯西中值定理；积分中值定理；不等式AbstractThis paper idea wrote in inequality proof of use frequently during several of the mean value theorem, which in the Lagrange mean value theorem proving inequality in the application of the three methods to speak: direct formula method, variable value method, the method to construct auxiliary function. in the application of proof inequalities of the Taylor mean value theorem , which gave Taylor formula on the point in several ways: the point of the interval, the interval of two known extreme, the function extreme value point or the most value point, the interval of known at any point. And the application range of of all kinds of situation and characteristics that were explained, in order to better use Taylor of the mean value theorem to testify inequality. And Cauchy mid-value theorem and integral mean value theorem in the application process to prove the inequality were briefly discussedKey words :The Lagrange Mean Value Theorem；Taylor's Formula；Cauchy Mean Value Theorem；Inequality；The Mean Value Theorem for Integrals目录摘要 (I)Abstract (I)1 引言 (1)2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用 (2)2.1 拉格朗日中值定理 (2)2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 (2)2.2.1 直接公式法 (2)2.2.2 变量取值法 (4)2.2.3 辅助函数构造法 (5)3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用 (7)3.1 泰勒中值定理 (7)3.2 利用泰勒公式证明不等式 (7)3.2.1 中点取值法 (7)3.2.2 端点取值法 (9)3.2.3 极值取值法 (9)3.2.4 任意点取值法 (11)4 柯西中值定理在不等式证明中的应用 (14)4.1 柯西中值定理 (14)4.2 利用柯西中值定理证明不等式 (14)5 积分中值定理在不等式证明中的应用 (16)5.1 积分中值定理 (16)5.2 利用积分证明不等式 (16)结束语 (18)参考文献 (19)致谢 (20)1 引言不等式也是数学中的重要内容，也是数学中重要方法和工具.中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理以及积分中值定理等.以拉格朗日中值定理(也称微分中值定理)为中心，介值定理是中值定理的前奏，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西中值定理、泰勒中值定理及定积分中值定理则是它的推广.利用中值定理证明不等式，是比较常见和实用的方法.人们对中值定理的研究，从微积分建立之后就开始了以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，中值定理的主要作用在于理论分析和证明；应用导数判断函数上升、下降、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态.此外，在极值问题中有重要的实际应用.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论，它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间，对它的研究时有出现.特别是近十年来，我国对中值定理的新证明进行了研究，仅在国内发表的文章就近60篇.不等式的证明不仅形式多种多样，而且证明方式多变，常见的方法有：利用函数的单调性证明，利用微分中值定理证明，利用函数的极值或最值证明等，在众多方法中，利用中值定理证明不等式比较困难，无从下手，探究其原因，一是中值定理的内容本身难理解，二是证明不等式，需要因式而变，对中值定理的基础及灵活性要求较高.我们在日常教学中常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一，我们有必要把这类问题单独拿出来进行研究，找出它们的共性，以方便我们日后的教学研究工作的开展.2 拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用2.1 拉格朗日中值定理拉格朗日（grange ，1736-1813，法国数学家，力学家，文学家）.拉格朗日中值定理 设函数()x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间()b a ,内可导，则在开区间(b a ,)内至少存在一点0x ，使得()0'x f =ab b f a f --)()( (1) 或 ()()a f b f -=()()a b x f -0'. (2)拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，即罗尔定理是拉格朗日定理当()()b f a f =时的特殊情形.拉格朗日定理中，由于b x a <<0，因而可将0x 表示为)(0a b a x -+=θ，()10<<θ.这样（1）式还可表示为()b f =()a f +()[]a b a f -+θ'，()10<<θ. (3)若令h a b +=，则有()()a f h a f -+=()h h a f ⋅+θ'，()10<<θ. （4）一般称式（1）、（2）、（3）、（4）式为拉格朗日公式.2.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式2.2.1 直接公式法例2.1 证明不等式2121-sin -sin x x x x ≤成立.分析 首先要构造一个辅助函数()x f ；a 由欲证形式构成“形似”的函数区间.b 运用拉格朗日公式来判断.证明 设()()21,,sin x x x x x f ∈=.由拉格朗日公式（2）可得()()2121'sin -sin x x f x x -=δ ， ()21,x x ∈δ.等式两边同取绝对值，则有()2121-'sin sin x x f x x ⋅=-δ.而 ()δδδcos 'sin ===x x f .又因为 1cos 0≤≤δ.因此，就得到 2121-sin -sin x x x x ≤. 证毕.评注 此题如果单纯地应用初等数学的方法来证明，会难以得出结论，而应用了拉格朗日公式，再利用三角函数的简单知识，问题就游刃而解了.例2.2 证明不等式1212-arctan arctan x x x x ≤-，（12x x >）成立.分析 此题利用反三角函数的有关知识，构造一个辅助函数()x x f arctan =，再利用拉格朗日中值定理就可以轻轻松松地解出此题.证明 设()x x f arctan =,()x f 在[]21,x x 上满足拉格朗日定理的全部条件，因此有12arctan arctan x x -=2011x +（12x x -）， ()210,x x x ∈. 因为11120≤+x ，可得 ≤-12arctan arctan x x 12x x -.例2.3[3] 证明())0,1(,)(11>->-<-<---b a p b a pa b a b a pb p p p p .证明 设函数，p x x f =)(，则，p p b a b f a f -=-)()(．不难看出)(x f 在区间[]a b ,上满足拉格朗日定理条件，于是存在[]a b ,∈ξ，使)(')()()(ξf b a b f a f -=-.由于()1'-=p px x f ，所以1-)('p p f ξξ=，上式为1)(--=-p p p p b a b a ξ.因为p x 当1>p 时为单调增函数，a b <<ξ，所以1-1-1-p p p a b <<ξ.两边同时乘以()b a p -，则得)()()(111b a pa b a p b a pb p p p -<-<----ξ，即 )()(11b a pa b a b a pb p p p p -<-<---， 证毕.2.2.2 变量取值法例2.4 证明不等式aa b a b b a b -ln <<- 成立，其中()0>>a b . 分析 （1）根据题中式子构造一个相似函数，()x x f ln =和定义区间()b a ,.（2）利用对数的四则运算法则，将对数式整理成拉格朗日中值定理所满足的形式，从而得出结论.证明 设()x x f ln =，()b a x ,∈.由拉格朗日公式（3），则有()θa b a a b a b a b --ln -ln ln +==. （1） 由不等式10<<θ，可推得()b a b a a <⋅+<θ-及aa b a b a a b b a b -)(-<-+-<θ. 代入（1），即 aa b a b b a b -ln <<-. 证毕. 评注 解此题关健在于观察要证明的不等式中把对数式a b ln 拆开成a b ln -ln ，再利用拉格朗日的公式来轻松地得出结论.例2.4 证明不等式()h h hh <+<+1ln 1，对一切1->h ，0≠h 成立. 分析 此题首先利用对数的有关知识，构造了一个辅助函数x ln ，再利用拉格朗日中值定理解出此题.证明 由拉格朗日公式（4），令1=a ，x x f ln )(=.则有()()h hh h ⋅+=+=+θ11ln -1ln 1ln ，10<<θ.（1） 当0>h 时，由不等式 10<<θ ，可推得h h +<⋅+<111θ及h hh h h <⋅+<+θ11 . （2） 当01-<<h 时，由不等式10<<θ，可知0111>+>⋅+>h h θ.由于0>h ， 可推（2）式成立，将（2）式代入（1）式，就可知不等式成立.评注 证明此种不等式的关健是构造一个辅助函数，再利用初等数学的有关知识来证明不等式.例2.5 证明若0≠x ，则x e x +>1.证明 令x e x f =)(，则)(x f 在R 上连续、可导，且x e x f =)('.情形一 当0>x 时，由拉格朗日定理知）（x ,0∈∃ξ使 )0(0-=-x e e e x ξ.整理有x e e x ξ=.因为1>ξe ，所以有x e x >.情形二 当0<x 时，由拉格朗日中值定理知）（0,x ∈∃ξ，使)0(0x e e e x -=-ξ.整理有ξxe e x =.因为此时10<<ξe ，三边同时乘以x ，x xe >>ξ0所以x e x >成立.综上所述，当0≠x 时，x e x >成立.从以上例题可以发现：灵活构造“b a ,”的取值，不仅可使证明过程简单，有时甚至是解题的关键.2.2.3 辅助函数构造法例 2.6[4] 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，又)(x f 不为形如B Ax +的函数．证明至少存在一点）（b a <<ξξ，使ab a f b f f -->)()()('ξ. 证明 做辅导函数 )()()()()(a x ab a f b f a f x g ---+=， 则()x g 为形如B Ax +的函数．因为)(x f 不为形如B Ax +的函数，所以至少存在一点),(b a c ∈，使)()()()(),()(b g b f a g a f c g c f ==≠，但.情形一 )()(c g c f >，此时ab a f b f ac a f a c a b a f b f a f a c a g c g a c a f c f --=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=-->--)()()()()()()()()()()( 即 ab a f b f ac a f c f -->--)()()()(. 因为[][]b a c a ,,⊂，所以由中值定理知）（c a ,1∈∃ξ，使 ac a f c f f --=)()()('1ξ ， 从而有 a b a f b f f --=)()()('1ξ. 情形二 )()(c g c f >，此时ab a f b f a b ac a b a f b f a f b f c b c g b g c b c f b f --=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=-->--)()()()()()()()()()()(， 即 ab a f b fc b c f b f -->--)()()()(. 因为[][]b a b c ,,⊂，所以由拉格朗日中值定理，),(2b c ∈∃ξ使得 ()()()cb c f b f f --=2'ξ， 从而有 ()()()a b a f b f f -->2'ξ. 综上所述，在()b a ,内至少有一点ξ使原式成立. 证毕. 许多证明题都不能直接应用定理进行证明．利用拉格朗日中值定理证明问题时，如何构造辅助函数，是证明的关键.3 泰勒中值定理在不等式证明中的应用3.1 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数)(x f 在含有0x 的开区间()b a ,内有直到1+n 阶导数，则对任一点),(0b a x ∈，有10)1(02000)()!1()()(!))(()(!2)(''))((')()(++-++-+⋅⋅⋅+-+-+=n n n o o o x x n f x x n x n f x x x f x x x f x f x f ξ 其中ξ是0x 与x 之间的某个值，上式称为)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式.下面就泰勒中值定理中函数展开点),(b a x ∈的不同情况来证明不等式.3.2 利用泰勒公式证明不等式3.2.1 中点取值法选区间中点展开是较常见的一种情况，然后在泰勒公式中取x 为适当的值，通过两式相加，并对某些项进行放缩，便可将多余的项去掉而得所要的不等式.下面以实例说明.例3.1[5] 设在区间()b a ,内，)(''x f > 0，试证：对于()b a ,内的任意两个不同点1x 和2x ，有 2)()()2(2121x f x f x x f +<+. 证明 将)(x f 分别在a 及b 处展开，得 ()()()()()()20000!2'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ， 其中ξ是0x 与x 之间的某个值.上式中分别取1x x =及2x ，()()()()()()0120110101,,!2'''x x x x f x x f x f x f ∈-+-+=ξξ； ()()()()()()()20202202002,,!2'''x x x x f x x x f x f x f ∈-+-+=ξξ. 上面两式相加，得()()()()()()()202!2''!2''222011021x x f x x f x f x f x f -+-+=+ξξ. 因为0)(''>x f ，所以，()()()0212x f x f x f >+，即()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 注 (1)若题中条件“0)(''>x f ”改为“0)(''<x f ”，而其余条件不变，则结论改为 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+. (2)若例1的条件不变，则结论可推广如下： 对()b a ,内任意n 个不同点n x x x ⋅⋅⋅21,及1λ，2λ，)1,0(,∈⋅⋅⋅n λ且∑==ni 111λ，有()∑∑==<⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f x f 11λλ. 例3.2 设函数)(x f 在区间[a ，b]上二阶连续可导，且0)2(=+b a f ，证明 ()(),243a b M dx x f ab -≤⎰其中()x f M b x a ''max ≤≤=. 证明 将)(x f 在20b a x +=处展开，得 ()()()()()()20000!2'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ. 其中ξ是 0x 与x 之间的某个值. 因为0)2(=+b a f ，所以有 ()()()()()2000!2'''x x f x x x f x f -+-=ξ， 上式在[]b a ,作定积分，然后取绝对值 ()()()()()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=ba ab dx x x f x x x f dx x f 2000!2'''ξ ()()()()32020-24-2-''21a b M dx x x M dx x x f b a b a =≤=⎰⎰ξ.即 ()()324a b M dx x f ba -≤⎰.3.2.2 端点取值法当条件中出现0)(')('==b f a f ，而欲证式中出现厂)(''),(),(ξf b f a f ，展开点常选为区间两端点,,b a 然后在泰勒公式中取x 为适当的值，消去多余的项，可得待证的不等式.例3.3 函数)(x f 在区间[a ，b]上二阶可导，且0)(')('=+b f a f ，证明：在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()()()()24''a b a f b f f --≥ξ.证明 将)(x f 分别在a 及b 处展开，得()()()()()()()x a a x f a x a f a f x f ,,!2'''121∈-+-+=ξξ； ()()()()()()()b x b x f b x b f b f x f ,,!2'''222∈-+-+=ξξ. 上面两式中取2ba x +=，()()()212!2''2'2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+a b f a b a f a f b a f ξ；()()()222!2''2'2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+a b f a b b f b f a b f ξ.上面两式相减，并由0)(')('=+b f a f ，得()()()()()()()()122122''''8)(''''8ξξξξf f a b f f a b a f b f +-≤--=-. 记()()(){}21''''max ''ξξξf f f ⋅=. 其中，21ξξξ或=. 于是，有()()()()()()()()224'',''4a b a f b f f f a b a f b f --≥-≤-ξξ即.3.2.3 极值取值法当题中不等式出现函数的极值或最值项，展开点常选为该函数的极值点或最值点.例 3.4[6] 设函数)(x f )在区间()b a ,内二阶可导，且存在极值)(c f 及点),(b a p ∈，使0)()(<p f c f ，试证：至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)('')('<ξf c f .证明 将)(x f 在c x =0处展开，得 ()()()()()()22'''c p f c x c f c f x f -+-+=！ξ， 其中，ξ 介于c 与x 之间. 上式取p x =，并由0)('=c f ，得()()()()2!2''c p f c f p f -+=ξ， 其中ξ介于c 与p 之间. 两边同乘以)(c f ，得()()()()()()22!2''c p c f f c f c f p f -+=ξ， （1）当⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,0b a a x 时，上式取a x =，得()()()()()()02200,,''8!2''x a f a b x a f x f ∈-≤-=ξξξ. 即()()()028''x f a b f -≥ξ.（2）当⎪⎭⎫⎝⎛+∈2,0b a a x 时，上式取b x =，同理可得()()()()b x x f a b f ,,8''002∈-≥ξξ.由(1)及(2)得，存在),(b a ∈ξ，使得()()[]()x f a b f b a x ,2max 8''∈-≥ξ.再由)(''x f 的连续性，得[]()()[]()x f a b x f b a x b a x ,2,max 8''max ∈∈-≥注 (1)当题中条件“连续”去掉，而其他条件不变时，结论可改为在()b a ,内至少存在一点 ，使得()()[]()x f a b f b a x ,2max 8''∈-≥ξ成立(2)当题中条件添加[]0)(max ,≠∈x f b a x 时，结论可改为：在()b a ,内至少存在一点η，使得[])(max )(8)('',2x f a b f b a x ∈-≤η成立. 3.2.4 任意点取值法当题中结论考察)(''),('),(x f x f x f 的关系时，展开点常选为该区间内的任意点，然后在泰勒公式中取x 为适当的值，并对某些项作放缩处理，得所要的不等式.例3.5[7] 函数)(x f 在区间[]b a ,上二阶可导，且)(x f ≤A ，)(''x f ≤ B ，其中A ，B 为非负常数， 试证：()()a b Ba b A x f -+-≤22'，其中),(b a x ∈. 证明 将)(x f 在),(0b a x ∈处展开， ()()()()()()20000!2'''x x f x x x f x f x f -+-+=ξ， 其中ξ介于0x 与x 之间. 上式中分别取a x =及b ，()()()()()()()01201000,,!2'''x a x a f x x x f x f a f ∈-+-+=ξξ； ()()()()()()()b x x b f x x x f x f b f ,,!2'''02202000∈-+-+=ξξ. 上面两式相减，得()()()()()()()()[]2012020''''21'x a f x b f a b x f a f b f ---+-=-ξξ.即()()()()()()()()[]2012020''''21'x a f x b f a b a b a f b f x f -------=ξξ.故()()()()()()()()()[]2012020''''211'x a f x b f a b a f b f a b x f -+--++-≤ξξ ()()()[]202022a x x b a b Ba b A -+--+-≤()a b B a b A -2-2+≤.即()()a b Ba b A x f -+-≤22'，再由0x 的任意性， 故有()()a b Ba b A x f -+-≤22'，其中),(b a x ∈. 例3.6 函数)(x f 在区问[]b a ,上二阶可导，且0)()(==b f a f ，)(''max ],[x f M b a x ∈=，试证()()123a b M dx x f ba-≤⎰. 证明 将)(x f 在[]b a t ,∈处展开，()()()()()()2!2'''t x f t x t f t f x f -+-+=ξ， 其中车ξ于t 与x 之间. 上式中分别取a x =及b ，()()()()()()()t a t a f t x t f t f a f ,,!2'''121∈-+-+=ξξ； ()()()()()()()b t t b f t x t f t f b f ,,!2'''222∈-+-+=ξξ.上边两式相加，得()()()()()()()[]2221''''412'21t b f t a f t b a t f t f -+---+-=ξξ. 上式两端在[]b a ,上对t 作积分，()()()()()()()[]⎰⎰⎰-+---+-=b ab a badt t b f t a f dt t b a t f dt t f 2221''''412'21ξξ()()()()()[]d t t b f t a f dt t f b ab a ⎰⎰-+---=2221''''41ξξ.于是有()()()()()[]d t t b f t a f dt t f b ab a⎰⎰-+--=2221''''81ξξ，()()()[]()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⎰⎰⎰bab a badt t b f dt t a f dt t f ]''[''812221ξξ ()()()128322a b M dt t b dt t a M bab a -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤⎰⎰. 即()()123a b M dx x f ba-≤⎰. 注 从不等式的特点出发，应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况：区间的中点，已知区间的两端点，函数的极值点或最值点，已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明，以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.4 柯西中值定理在不等式证明中的应用4.1 柯西中值定理柯西中值定理 设函数()x f ，()x g 满足 （1）在闭区间[]b a ,上连续； （2）在开区间()b a ,内可导； （3）对任一()b a x ,∈有()0≠x g ，则存在()b a ,∈ξ， 使得()()[]a f b f -/()()[]a g b g -=()ξ'f /()ξ'g . 4.2 利用柯西中值定理证明不等式例4.1 设函数()x f 在()11,-内可微，()()1',00==x f f ，证明：在()1,1-内，()1f x <.证明 引入辅助函数(),g x x =在[][]()()()0,,1,1x x o x ∈-或上应用柯西中值定理，得()()()()()().'1'0-0-ξξf f g x g f x f ==因为()()()00,00,1,f g f x '==≤且所以()()()()1 1.f x f f x x g x ξ'=≤⇒≤≤例4.2[8] 证明不等式()1ln 0.x x x +>>证明 令()(()ln ,1,f x x x g x ==则上式转化为()()()0.f x g x x >>由于上应用柯西中值定理，得()()()()()()()()0,0f x f x f f g x g x g g ξξ'-=='-于是()()x g x f >又转化为()()ξξ''g f >.因为()()(ln 1f g ξξξξξ+'==+'而当(00,x ξξ>>>所以()()()()()()1,f f g f x g x g ξξξξ'''>⇒>⇒>'即(1ln x x ++>例4.3[9] 若1202x x π<<<，求证：()21112cos cos .x x x e e x x e ->-证明 证明()21112cos cos x x x e e x x e ->-，实际上只需证21112cos cos x x x e e e x x ->-， 设()()()()[]12,cos ,,,t f t e g t t f t g t x x ==则在上，满足柯西中值定理条件， 所以()()()()()()2121''f x f x f c g x g x g c -=- ()12,c x x ∈. 即 2121cos cos sin x x ee e e x x c-=-- 1202x c x π<<<<. ()()()2111212121cos cos cos cos cos cos sin x x x cc e e x x e x x e x x e c-=->->-. 其中用到11sin x e c>及是单调增加函数.5 积分中值定理证明不等式5.1积分中值定理定理5.1(积分第一中值定理) 若()x f 在区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上至少存在一点ξ使得()()().,a b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ定理5.2(推广的积分第一中值定理) 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续，且()x g 在[]b a ,上不变号，则在[]b a ,至少存在一点ξ，使得()()()()b a dx x g f dx x g x f bab a≤≤=⎰⎰ξξ,.5.2 利用积分中值定理证明不等式 例5.1[11]证明10112101109<+<⎰dx xx . 证明 估计积分()()dx x g x f ba⎰的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M和最小值m ，又若()0≥x g ，则()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m bababa⎰⎰⎰≤≤.本题中令()()()100,119≤≤≥=+=x x x g xx f ，. 因为[]1,011121∈≤+≤x x ，. 所以1011212101109109109=<+<=⎰⎰⎰dx x dx xx dx x . 例5.2 证明2241222e dx e ex x ≤≤⎰--.证明 在区间[]2,0上求函数()x x e x f -=2的最大值M 和最小值m .()()xx ex x f --='212，令()0='x f ，得驻点21=x . 比较⎪⎭⎫⎝⎛21f ，()0f ，()2f 知4121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e f 为()x f 在[]20，上的最小值，而()22e f =为()x f 在[]20，上的最大值.由积分中值定理得()()0202220412-≤≤-⎰--e dx e ex x ，即2241222e dx e e x x ≤≤⎰--.注 由于积分具有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时，也常考虑用积分中值定理，以便去掉积分符号，若被积函数是两个函数之积时，可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如1和2例题时，可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.结束语中值定理是一条重要定理，它在微积分中占有重要的地位，起着重要的作用，深入挖掘渗透在这一定理中的数学思想，对于启迪思维，培养创造能力具有重要意义.伟大的数学家希尔伯特说“数学的生命力在于联系”．数学中存在着概念之间的亲缘关系，存在着理论结构各要素之间的联系，存在着方法和理论之间的联系，存在着这一分支邻域与那一分支邻域等各种各样的联系，因此探索数学中各种各样的联系乃是指导数学研究的一个重要思想．实际上，具体地分析事物的具体联系，是正确认识和改造客观世界必不可少的思维方式在一定的意义上说，数学的真正任务就在于揭示数学对象之间、数学方法之间的内在固有联系，这一任务的解决不断推动数学科学向前发展．中值定理在一些等式的证明中，我们往往容易思维定式，只是对于原来的式子要从哪去证明，很不容易去联系其它，只从式子本身所表达的意思去证明.今后应当注重研究中值定理各定理之间的联系，更好的应用中值定理解决不等式的证明.参考文献[1] 高尚华.华中师范大学第三版.数学分析(上)[M].北京:高等教育出版社，2001，(06).[2] 董焕河、张玉峰.高等数学与思想方法[M].陕西:西安出版社，2000，(09).[3] 高崚峰.应用微分中值定理时构造辅助函数的三种方法[J].四川:成都纺织高等专科学校学报.2007，(07):18-19.[4] 张太忠、黄星、朱建国.微分中值定理应用的新研究[J].江苏:南京工业职业技术学院学报.2007，(8):12-14.[5] 张元德、宋列侠.高等数学辅导30讲[M]. 清华大学出版社，1994，(6).[6]AI Jing-hua.Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University， Vol.17，No.2，Jun.2003:132-136.[7] 钟朝艳.Cauchy中值定理与Taylor定理得新证明[J].云南:曲靖师专学报.1998，(9):9.[8] 荆天.柯西中值定理的证明及应用[J].北京:科技信息(学术版).2008，(06):14.[9] 葛健牙、张跃平、沈利红.再探柯西中值定理[J].浙江:金华职业技术学院学报.2007，(06):23.[10]刘剑秋、徐绥、高立仁.高等数学习题集(上)[M].天津:天津大学出版社，1987，(07).[11] 刘法贵、左卫兵.证明积分不等式的几种方法[J].高等数学研究，2008，(06).[12] 蔡高厅.高等数学[M].天津大学出版社，1994，(06).[13] W. Rmdin， Principle of Mathematical Analysis （Second edition）[J]. Mc Graw-Hill ， New York， 1964，(09):96-102.致谢从2008年9月到现在，我在黄淮学院已经渡过接近四年的时光．在论文即将完成之际，回想起大学生活的日日夜夜，百感交集.在大学学习的四年时间里，正是老师们的悉心指导、同学们的热情关照、家人的理解支持，给了我力量，从而得以顺利完成学业．在此对他们表示诚挚的谢意!本论文是在导师钟铭的悉心指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.他对数学理论在经济，金融领域中的应用的想法和建议，使学生受益匪浅、铭刻终生.本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血.在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！感谢数学科学系其他老师讲授的数学基础课程，为我夯实了数学研究的理论基础，他们是李东亚老师、魏本成老师、庞留勇老师、侯亚林老师等．感谢数学系全体领导、老师、同学创造了一个宽松，自由的学习环境.此外我还感谢室友冯克飞、王宁对我的论文完成过程中给我的指导，她们深厚的数学功底以及对数学应用软件操作等方面的知识给了我很大的帮助．最后深深地感谢我的父母，把最诚挚的感谢送给他们，感谢他们无微不至的关心和支持，感谢他们的无私奉献以及为我所做的一切．。