解析几何中的范围问题
平面解析几何知识点总结
第一部分直线一、直线的斜率和倾斜角1.倾斜角α（1）定义：直线l 向上的方向与x 轴正方向所称的角叫直线的倾斜角（2）范围：1800<≤α2.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作αtan =k （1）倾斜角为 90的直线没有斜率（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直x 轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时应考虑到斜率的存在与不存在两种情况，否则会产生漏解。
（3）经过),(),,(2211y x B y x A 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，1212tan x x y y k --==α；当21x x =时， 90=α，斜率不存在（4）切线斜率的求法：设平面曲线的方程为0),(=y x F ，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)(')('00y F x F k -=，其中)('0x F 表示),(y x F 对x 求导得到的函数在0x x =下的值，)('0y F 表示),(y x F 对y 求导得到的函数在0y y =下的值。
若平面曲线方程为)(x f y =，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)('0x f k =，其中)('0x f 表示)(x f 对x 求导得到的函数在0x x =下的值。
若平面曲线的参数方程为)(),(t y y t x x ==，则该曲线在0t t =时的点的斜率为)(')('00t x t y k =，其中)('0t y 表示)(t y 对t 求导得到的函数在0t t =下的值,其中)('0t x 表示)(t x 对t 求导得到的函数在0t t =下的值。
3.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x.线性规划问题平面区域的非线性规划第二部分解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
高考数学复习第11关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题(解析版)
专题二 压轴解答题第11关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大．注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值．【典例解剖】类型一 离心率问题典例1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)43x y t t t+=>的左、右顶点为A ，B ，右焦点为F ．过点A 且斜率为k （0k >）的直线交椭圆C 于另一点P ．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若12k =，求22PA PB的值； （3）设直线l ：2x t =，延长AP 交直线l 于点Q ，线段BQ 的中点为E ，求证：点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上．【答案】（1）12（2）224513PA PB =（3）详见解析 【解析】【分析】第一问利用离心率的公式直接求解；第二问将直线AP 的方程为1(2)2y x t =+与椭圆C 的方程2223412x y t +=联立求出点P 的坐标，再利用两点间的距离公式即可求出22PA PB的值；第三问先求出Q 点的坐标，再利用中点坐标公式求出点E 的坐标，然后求出点P 的坐标及直线PF 的斜率、直线EF 的斜率，最后根据tan tan 2PFB θ∠=得出2PFB EFB ∠=∠即可证明．【详解】（1）∵椭圆C ：2222143x y t t +=，∴224a t =，223b t =，22c t =．又0t >，∴2a t =，c t =，∴椭圆C 的离心率12c e a ==． （2）∵直线AP 的斜率为12，且过椭圆C 的左顶点(2,0)A t -，∴直线AP 的方程为1(2)2y x t =+．代入椭圆C 的方程2223412x y t +=，得2223(2)12x x t t ++=，即2220x tx t +-=，解得x t =或2x t =-（舍去），将x t =代入1(2)2y x t =+，得32y t =，∴点P 的坐标为3,2t t ⎛⎫⎪⎝⎭．又椭圆C 的右顶点B （2t ，0），∴2222345(2)024PA t t t t ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭，2222313(2)024PB t t t t ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴224513PA PB =． （3）直线AP 的方程为(2)y k x t =+，将2x t =代入(2)y k x t =+，得4y kt =，∴(2,4)Q t kt ．∵E 为线段BQ 的中点，∴(2,2)E t kt ，∵焦点F 的坐标为（t ，0），∴直线EF 的斜率2EF k k =．联立222(2)3412y k x t x y t =+⎧⎨+=⎩，，消y 得，()()2222234164430k x k tx k t +++-=．由于()22244334A P k t x x k -=+，2A x t =-，∴()2223434P k t x k -=+，∴点P 的坐标为()22223412,3434k t kt k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，∴直线PF 的斜率()222221242234141(2)23434PFktk kk k k k k ttk ⋅+===----+．而直线EF 的斜率为2k ，若设EFB θ∠=，则有tan tan 2PFB θ∠=，即2PFB EFB ∠=∠，∴点B 关于直线EF 的对称点在直线PF 上． 【名师点睛】本题主要考查离心率的求值、直线与椭圆的综合问题、点关直线对称问题等． 求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出,a c ，代入公式c e a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 化转为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e （e 的取值范围）． 【举一反三】（2020·陕西渭南期末考试）如图，12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，123F AF π∠=．（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值．【答案】（1）12；（2）10,a b ==【解析】【分析】（1）由题意可知，12AF F ∆为等边三角形，2a c ＝，∴1=2e ；（2）已知1AF B ∆的面积为,a b 的值． 【详解】（1）由题意，A 是椭圆C 的顶点，可知12=AF AF ，又123F AF π∠=，∴12AF F ∆ 为等边三角形，2a c ＝，∴1==2c e a ． （2）由（1）可得224a c ＝，又222+a b c ＝，2234b a ＝．直线AB 的倾斜角为23π，斜率为AB 的方程为 )y x c =-．将其代入椭圆方程 2223412x y c ＋＝，解得 8,5B c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，∴ 81680555AB c c a =-==，1AF a =，由1211118sin 225AF B S AF AB F AB a a ∆=⋅∠=⋅==10a =，b =类型二 最值、范围问题典例2．（2020上海南模中学月考）某景区欲建两条圆形观景步道12,M M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米），要求圆M 与,AB AD 分别相切于点B ，D ，圆2M 与,AC AD 分别相切于点C ，D ．（1）若BAD 3π∠=，求圆12,M M 的半径；（结果精确到0．1米）（2）若观景步道12,M M 的造价分别为每米0．8千元与每米0．9千元，则当BAD ∠多大时，总造价最低？最低总造价是多少？（结果分别精确到0．1°和0．1千元） 【答案】（1）34．6米，16．1米；（2）263．8千元． 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质即可得出圆的半径；（2）设∠BAD ＝2α，则总造价y ＝0．8•2π•60tanα+0．9•2π•60tan （45°﹣α），化简，令1+tanα＝x 换元，利用基本不等式得出最值． 【详解】（1）连结M 1M 2，AM 1，AM 2，∵圆M 1与AB ，AD 相切于B ，D ，圆M 2与AC ，AD 分别相切于点C ，D ， ∴M 1，M 2⊥AD ，∠M 1AD ＝12∠BAD ＝6π，∠M 2AD ＝12π，∴M1B ＝ABtan ∠M1AB ＝60×3＝．6（米），∵tan6π＝22tan121tan12ππ-tan 12π＝2，同理可得：M 2D ＝60×tan12π＝60（2≈16．1（米）．（2）设∠BAD ＝2α（0＜α＜4π），由（1）可知圆M 1的半径为60tanα，圆M 2的半径为 60tan （45°﹣α），设观景步道总造价为y 千元，则y ＝0．8•2π•60tanα+0．9•2π•60tan （45°﹣α）＝96πtanα+108π•1tan 1tan αα-+，设1+tanα＝x ，则tanα＝x ﹣1，且1＜x ＜2． ∴y ＝96π（x ﹣1）+108π（21x -）＝12π•（8x +18x﹣17）≥84π≈263．8， 当且仅当8x ＝18x 即x ＝32时取等号， 当x ＝32时，tanα＝12，∴α≈26．6°，2α≈53．2°．∴当∠BAD 为53．2°时，观景步道造价最低，最低造价为263．8千元．【名师点睛】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．例3．（2020上海高三模拟考试）已知圆：()，定点，，其中为正实数．（1）当时，判断直线与圆的位置关系；C 22(1)x y a ++=0a >(,0)A m (0,)B n ,m n3a m n ===AB C（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值； （3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．【答案】(1) 相离．(2) ，．(3)【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离和半径的关系即可得到判断；（2）利用两点间的距离公式进行化简整理，由点P 的任意性即可得实数m ，λ的值；（3）设出点P 和点N 的坐标，表示出中点M 的坐标，M 、N 满足圆C 的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P 满足直线AB 的方程，解出半径的取值范围． 【详解】解： (1) 当时，圆心为当时，直线方程为， ∴圆心到直线距离为（2）设点，则，∵，∴，，…………由得，，∴，代入得，，化简得，…………∵为圆上任意一点，∴……… 4a =C P PA PO λ=O ,m λ2,4m n ==AB P C ,M N M PN a 3m =2λ=1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭3a =()1,0-3m n ==AB 30x y +-=d ==<(),P x y PO =PA =PA PO λ=()()22222x m y xy λ-+=+()()222221120x y mx m λλ-+-+-=()2214x y ++=22230x y x ++-=2232x y x +=-()()2213220x mx m λ--+-=()()22221310m x m λλ-+-+-=P C ()22210,310,m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩又，解得，．………………… (3)法一：直线的方程为，设()，， ∵点是线段的中点，∴，又都在圆：上，∴ 即…………………… ∵该关于的方程组有解，即以为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，∴，又为线段上的任意一点，∴对所有成立．而 在上的值域为， ∴∴．……… 又线段与圆，∴． 故实数的取值范围为．……………法二：过圆心作直线的垂线，垂足为，设，，则则消去得，，,0m λ>3m =2λ=AB 124x y+=(),42P t t -02t ≤≤(),N x y M PN ,222x ty M t +⎛⎫-+⎪⎝⎭,M N C ()221x y a ++=()22221,12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩()()()22221,2424,x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩,x y ()1,0-()2,24t t ---()()221249a t t a ≤++-≤P AB ()()221249a t t a ≤++-≤02t ≤≤()()()22124f t t t =++-2736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭[]0,236,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦36,5917,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩173695a ≤≤AB C <365a <a 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭C MN H CH d ==MN l 222221232d l a d l PC ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩l [)2290,88PC d a a =-∈∴(]2,9PC a a ∈直线方程为 点到直线且为线段上的任意一点， …，，故实数的取值范围为．【举一反三】1．（2020上海高三模拟考试）如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A 相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切．（1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长； （2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长． 【答案】(1) 3千米．(2) 【解析】 【分析】（1）先建立以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．设直线方程为：，由，运算即可得解；（2）设，，由PQ 与圆A 相切，得，再结合重要不等式即可得解． 【详解】解：（1）以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度，AB 240x y +-=∴C AB =3,CA CB ==P AB ∴236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(]36,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦361795a a ∴<<≤a 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭2+14x yb+=1=(,0)P a (0,)Q b (2,2)a b >>2()2ab a b =+-则圆A 的方程为， 由题意可设直线PQ 的方程为，即，， ∵PQ 与圆A，解得，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米． （2）设，， 则直线PQ 方程为，即． ∵PQ 与圆A，化简得，即； 解法一：因此∵，，∴，于是．又，解得，或∵，∴，当且仅当时取等号，∴PQ 最小值为，此时．答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法二：化简得，即．∵22(1)(1)1x y -+-=14x yb+=440bx y b +-=(2)b >1=3b =(,0)P a (0,)Q b (2,2)a b >>1x ya b+=0bx ay ab +-=1=202()a ab b -++=2()2ab a b =+-PQ ====2a >2b >4a b +>()2PQ a b =+-22()22a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭04a b <+≤-4a b +≥+4a b +>4a b +≥+()22PQ a b =+-≥+2a b ==2+2a b ==2+202()a ab b -++=2(1)2222a b a a -==+--PQ ====∵，∴． 当且仅当，即时取到等号， 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法三：设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ，设， 则，，且，∴，又∵，∴，∴（当且仅当取等号）答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为PQ 最短． 解法四：设PQ 与相切于点B ，设，，则，，，在中，由得：，化简得：，∴，解得：或（舍）=2(2)22a a ==-++-2a >2(2)2222PQ a a =-++≥+=-222a a -=-2a b ==+2+OPA θ∠=APB APO ∠=∠BQA OQA ∠=∠2OPQ OQP π∠+∠=4AQB πθ∠=-AB PQ ⊥1tan PB θ=10,4tan 4BQ πθπθ⎛⎫=∈ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭111111tan 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan 4PQ θθπθθθθθθ+=+=+=+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭12121(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ⎛⎫=+-=++-- ⎪--⎝⎭1tan 2tan 12122tan 1tan θθθθ-=+++-≥+=+-tan 1θ=2+A BP x =(0,0)BQ y x y =>>1OP x =+1OQ y =+PQ x y =+RT OPQ ∆222OP OQ PQ +=222()(1)(1)x y x y +=+++1xy x y =++212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭2x y +≥+2x y +≤-（当且仅当时等号成立），∴当时，PQ有最小值．答：当P、Q两点距离公路交点O都为PQ最短．2．已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的离心率3e=，左、右焦点分别为12,F F，且2F与抛物线24y x=的焦点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过1F的直线交椭圆于,B D两点，过2F的直线交椭圆于,A C两点，且AC BD⊥，求AC BD+的最小值．【答案】（1）椭圆的标准方程为22132x y+=；（2）AC BD+．【解析】（1）抛物线24y x=的焦点为()1,0，∴1c=，又∵13cea a===，∴a=22b=，∴椭圆的标准方程为22132x y+=．12BD x x=-=)22132kk+=+．易知AC的斜率为1k-，∴)222211112332kkACkk⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+．()222114313223AC BD kk k⎛⎫+=++⎪++⎝⎭()()()()()()22222222220312031322332232k kk k k k++=≥++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦1x y==+2OP OQ==+2+)()222212514k k +==+． 当21k =，即1k =±时，上式取等号，故AC BD +的最小值为1635． （ii ）当直线BD的斜率不存在或等于零时，易得AC BD +=>综上：AC BD +． 类型三 面积问题典例3．（2020上海松江区一模）设抛物线的焦点为，经过轴正半轴上点的直线交于不同的两点和．（1）若，求点的坐标；（2）若，求证：原点总在以线段为直径的圆的内部；（3）若，且直线∥，与有且只有一个公共点，问：△的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，最小值2，． 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程以及抛物线定义，根据求出横坐标，代入，即可得出点的坐标； （2）设，，设直线的方程是：，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，以及向量数量积运算，得到，推出恒为钝角，即可得结论成立； （3）设，则，由得，推出直线的斜率．设直线2:4y x Γ=F x (,0)M m lΓA B ||3FA =A 2m =O AB ||||FA FM =1l l 1l ΓE OAE M (2,±(3,0)M ||3FA =24y x =()11,A x y ()22,B x y AB 2x my =+12120OA OB x x y y ⋅=+<AOB ∠()11,A x y 110≠x y ||||FA FM =1(2,0)+M x AB 12=-AB y k的方程为，代入抛物线方程，根据判别式等于零，得．设，则，，由三角形面积公式，以及基本不等式，即可求出结果． 【详解】（1）由抛物线方程知，焦点是，准线方程为，设，由及抛物线定义知，，代入得，∴点的坐标或 （2）设，， 设直线的方程是：，联立，消去得：，由韦达定理得， ∴，故恒为钝角，故原点总在以线段AB 为直径的圆的内部． （3）设，则，∵，则，由得，故，故直线的斜率． ∵直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得． 设，则，，，当且仅当，即时等号成立， 1l 12y y x b =-+12b y =-(),E E E x y 14E y y =-21141E x y x ==(1,0)F 1x =-()11,A x y ||3FA =12x =24y x=y =±A (2,A (2,A -()11,A x y ()22,B x y AB 2x my =+224x my y x =+⎧⎨=⎩x 2480y my --=121248y y m y y +=⎧⎨=-⎩1212OA OB x x y y ⋅=+22212121212()4804416y y y y y y y y =⋅+=+=-<AOB ∠O ()11,A x y 110≠x y ||||FA FM =111-=+m x 0m >12=+m x 1(2,0)+M x AB 12=-AB y k 1l AB 1l 12y y x b =-+211880b y y y y +-=21164320b y y ∆=+=12b y =-(),E E E x y 14E y y =-21141E x y x ==11111111014111222141OAE y x S x y x y x y ∆==+≥-11114y x x y =22114y x =由得，解得或（舍），∴点的坐标为，． 【名师点睛】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键．典例4．（2020上海吴淞中学月考）已知椭圆，是它的上顶点，点各不相同且均在椭圆上．（1）若恰为椭圆长轴的两个端点，求的面积； （2）若，求证：直线过一定点；（3）若，的外接圆半径为，求的值． 【答案】（1）2（2）证明见解析（3） 【解析】【分析】（1）求得，由三角形的面积公式，即可求解面积；（2）设，联立方程组，求得，又由，求得，得到，即可得到答案；（3）由题意得：，求得线段的中垂线方程，求得外接圆圆心的纵坐标为，即可求解． 【详解】（1）由题意，椭圆，可得，故的面积为． （2）根椐对称性，定点必在轴上，利用特殊值可计算得定点为， 设，，，221121144y x y x ⎧=⎨=⎩21144x x =11x =10x =M (3,0)M min ()2OAE S ∆=2214x y +=A ()*,n n P Q n N∈11,P Q 11APQ∆0n n AP AQ ⋅=n n P Q 11n n P Q y y n==-n n AP Q ∆n R lim n n R →∞411(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -11APQ ∆():1n n P Q y l kx m m =+≠1212,x x x x +0n n AP AQ ⋅=35m =-3:5n n P Q y kx l =-22112,1n P n nn ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭n AP 332y n=-+2214x y +=11(0,1),(2,0),(2,0)A P Q -11APQ ∆11422⨯⨯=y 30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭():1n n P Q y l kx m m =+≠()11,n P x y ()22,n Q x y联立方程组，整理得，可得， ∵，所，即， 可得， 即，可得，又∵，∴，∴，可得必过定点．（3）易知是等腰三角形，外接圆圆心在轴上，由题意得：，线段的中垂线为： 故外接圆圆心的纵坐标为：，∴，∴． 【举一反三】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左、右焦点，点()2,3A --在椭圆M 上，且离心率为12e =．(1)求椭圆M 的方程；(2)若12F AF ∠的角平分线所在的直线l 与椭圆M 的另一个交点为,B C 为椭圆M 上的一点，当ABC 面积最大时，求点C 的坐标．【答案】(1)2211612x y +=(2) 1919⎛- ⎝⎭【解析】(1)由椭圆M 经过点()2,3A --，离心率12e =，可得22491a { 12b c a +==，解得2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()()222148410k x kmx m +++-=()122212208144114km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-⎪=+⎩90n n P AQ ∠=︒0n n AP AQ ⋅=12121210x x y y y y +--+=()()()()12121210x x kx m kx m kx m kx m +++-+-++=()()()()2212121110kx xk m x x m ++-++-=()()5310m m +-=1m ≠35m =-3:5n n P Q y kx l =-30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭n n AP Q ∆y 1n P n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭nAP 112y x n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭332y n =-+3313422n R n n ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭3lim lim 442n n n R n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭2216,12a b ==，∴椭圆的标准方程为2211612x y +=∴直线l 的方程为210x y -+=，设过C 点且平行于l 的直线为20x y m -+=由221{ 161220x y x y m +=-+=，整理得()2219164120x mx m ++-= 由()()22164194120m m =-⨯⨯-=，解得276m =，∵m 为直线20x y m -+=在y 轴上的截距，依题意，0m <，故m =-解得x =，y =，∴C点的坐标为⎝⎭ 【精选名校模拟】1．（2020·上海闵行区期末考试）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2222:1(3)9x yC a a a +=>-．(1)过椭圆C 的左焦点，作垂直于x 轴的直线交椭圆C 于M 、N 两点，若||9MN =，求实数a 的值； (2)已知点(1,0),6T a =，A 、B 是椭圆C 上的动点，0TA TB ⋅=，求TA BA ⋅的取值范围； (3)若直线:13x yl a a +=-与椭圆C 交于P 、Q 两点，求证：对任意大于3的实数a ，以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求该定点的坐标．【答案】(1)6a =；(2)[24,49]；(3)证明见解析，(3,0)-． 【解析】【分析】（1）由椭圆的方程可得左焦点坐标，再由MN 的长可得纵坐标，即椭圆过9(3,)2-，代入椭圆的方程求出a 的值；（2）6a =代入椭圆可得椭圆的标准形式，设A 的坐标，TA BA 中的BA 用,TA TB 向量表示，再由题意可得关于A 的坐标的关系，由A 的坐标的范围求出数量积TA BA 的取值范围；（3）将直线l 与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出PQ 的中点的坐标，及弦长PQ ，求出以线段PQ 为直径的圆的方程，整理出关于a 的二次三项式恒为0，可得a 的所有系数都为0，可得x ，y 的值，即圆恒过的定点坐标．【详解】（1）由题意可得：222(9)9c a a =--=，即左焦点为：(3,0)-，若||9MN =，∴9||2y =，将3x =，9||2y =代入椭圆可得：229181149a a +=-，又3a >解得：6a =． （2）6a =时，椭圆的方程为：2213627x y +=，设(,)A x y ，66x -，2()||TA BA TA TA TB TA TA TB =-=-，由题意可得：222222211||(1)(1)27(1)228(4)243644x TA BA TA x y x x x x ==-+=-+-=-+=-+，由66x -，∴[24TA BA ∈，49]．（3）联立直线l 与椭圆的方程可得：22(9)0ay a y --=，解得10y =，229a y a-=，设(,0)P a ，29(3,)a Q a--，∴PQ 的中点为：3(2a -，29)2a a -，22229||(3)()a PQ a a -=++， ∴以线段PQ 为直径的圆的方程为：2222223919()()[(3)()]224a a a x y a a a ----+-=++，整理可得：22222222239939(3)()()()()2222a a a a a x a x y y a a a---+---++-+=+，即2229(3)30a x a x y y a a---+--=，整理可得：22(3)(3)90x y a x x y a y -++++++=，对于任意的3a >，关于a 的二次三项式22(3)(3)9x y a x x y a y -++++++恒为0， ∴二次项，一次项和常数项的系数均为0，即2(3)390x y x x y y -++=++==， ∴3x =-，0y =，即定点坐标为(3,0)-．2．（2019·上海南模中学高三月考）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称．（1）若已知10,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，M 为椭圆上动点，证明：2MC ≤； （2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）证明见解析；（2）6,,⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2． 【解析】【分析】（1）设点(),M x y ，则有11y -≤≤，代入椭圆的方程得出2212x y =-，然后利用两点间的距离公式和二次函数的基本性质可求出MC 的最大值2，从而证明2MC ≤； （2）由A 、B 关于直线()102y mx m =+≠对称，可得出直线AB 与直线12y mx =+，从而可得出直线AB 的斜率为1m -，设直线AB 的方程为1y x b m=-+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆方程联立，得出>0∆，并列出韦达定理，求出线段AB 的中点M ，再由点M 在直线上列出不等式，结合>0∆可求出m 的取值范围； （3）令1t m-=，可得出直线AB 的方程为y tx b =+，利用韦达定理结合弦长公式计算出AB ，利用点到直线的距离公式计算出AOB ∆的高d 的表达式，然后利用三角形的面积公式得出AOB ∆面积的表达式，利用基本不等式可求出AOB ∆面积的最大值．【详解】（1）设(),M x y ，则2212x y +=，得2222x y =-，于是MC ====因11y -≤≤，∴当12y时，max MC =，即MC ≤ （2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22121x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222222102m b x x b m m +-+-=．∵直线1y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点，∴224220b m ∆=-++>，即2221b m <+，①由韦达定理得12242bm x x m +=+，()22122212b m x x m -=+，2122212222y y bm bm b m m m +=-⋅+=++，∴线段AB 的中点2222,22mb bm M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭．将AB 中点2222,22mb m b M m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭代入直线方程12y mx =+，解得2222m b m +=-②， 将②代入①得22222222m mm m ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭，化简得223>m ．解得3m <-或3m >，因此，实数m 的取值范围是6,,33⎛⎛⎫-∞-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）令160,t m ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即230,2t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2212t b +=-． 则122421tb x x t +=-+，21222221b xx t -=+， 则12AB x x =-=221t==+==，且O到直线AB的距离为2d=设AOB∆的面积为()S t，∴()124S t ABd=⋅=()()222132422t t++-≤⋅=，当且仅当212t=时，等号成立，故AOB∆．3．（2020·上海南模中学期末）已知定点()1,0F，动点P在y轴上运动，过点P作直线PM交x轴于点M，延长MP至点N，使0PM PF⋅=．||||PM PN=点N的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若S，T是曲线C上的两个动点，满足0OS OT⋅=，证明：直线ST过定点；（3）若直线l与曲线C交于A，B两点，且4OA OB⋅=-，||430AB≤≤l的斜率k的取值范围．【答案】(1) ()240y x x=>；(2) 直线ST过定点()4,0；(3)111,,122k⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】(1)设出动点N ，则,M P 的坐标可表示出，利用0PM PF ⋅=，可求得,x y 的关系式，即N 的轨迹方程；(2)设直线:ST x ty m =+，联立直线与(1)中所得抛物线的方程，利用韦达定理表示0OS OT ⋅=，进而求得m 即可；(3)设出直线l 的方程，A ，B 的坐标，根据12124x x y y +=-推断出128y y =-，把直线与抛物线方程联立消去x 求得12y y 的表达式，进而求得2b k =-，利用弦长公式表示出2AB ，再根据AB 的范围，求得k 的范围．【详解】(1)设动点(),N x y ，则(),0M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭，0x >，∵0PM PF ⋅=，即,1,022y y x ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()240y x x =>． (2)设直线:ST x ty m =+，联立()2240440y x x y ty m x ty m⎧=>⇒--=⎨=+⎩． 设()()1122,,,S x y T x y ，则124y y m ⋅=-，()22212212124416y y y y x x m ⋅⋅=⋅==．又0OS OT ⋅=，故由题有12120x x y y +=，即240m m -=．由题意可知0m ≠，故4m =．故直线:ST 4x ty =+，恒过定点()4,0． (3)设直线l 方程为y kx b =+，l 与抛物线交于点()()1122,,,A x y B x y ，则由4OA OB ⋅=-，得12124x x y y +=-，即221212444y yy y ⋅+=-，∴()2121216640y y y y ++=，解得128y y =-，由()()2240440,0y x x ky y b k y kx b⎧=>⇒-+=≠⎨=+⎩，∴12482by y b k k ==-⇒=-， 当216160120kb k ∆=->⇒+>恒成立，()()222121212222211116161141b AB yy y y y y k k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+-=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22416112k k k ++=． 由题意，||430AB ≤≤()()224161121661630k k k++⨯≤≤⨯，即2422132513121428424k k k ⎛⎫≤+≤⇒≤+≤⎪⎝⎭， ∵21302k +>，故2251311114222k k ≤+≤⇒≤≤，解得2114k ≤≤，∴112k ≤≤或112k -≤≤-． 即所求k 的取值范围是111,,122⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 4．（2020·上海南模中学期末）教材曾有介绍：圆222x y r +=上的点()00,x y 处的切线方程为200x x y y r +=．我们将其结论推广：椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，在解本题时可以直接应用．已知，直线0x y -+=与椭圆()222:11x E y a a+=>有且只有一个公共点．（1）求a 的值；（2）设O 为坐标原点，过椭圆E 上的两点A 、B 分别作该椭圆的两条切线1l 、2l ，且1l 与2l 交于点()2,M m ．当m 变化时，求OAB ∆面积的最大值；（3）在（2）的条件下，经过点()2,M m 作直线l 与该椭圆E 交于C 、D 两点，在线段CD 上存在点N ，使CN MCND MD=成立，试问：点N 是否在直线AB 上，请说明理由．【答案】（1）a =2）2（3）见解析 【解析】【分析】（1）将直线y ＝x x 的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a 的值；（2）设切点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得切线1l ，22x xy y 12+=，CN MC ND MD =，再将M 代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB 的方程为x+my ＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB 的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点N 在直线AB 上，∵()C C C x ,y设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-，于是C D0x λx x 1λ+=+，向量坐标化，得C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，将()CN λND λ0,λ1=>≠代入椭圆方程，结合()D D D x ,y 、()00N x ,y 在椭圆上，整理化简得2223x y 1ay x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，即N 在直线AB 上．【详解】（1）联立2211x 20(1)a a ⎛⎫+++=> ⎪⎝⎭，整理得(2214120a a ⎛⎫-⋅+⋅=⇒= ⎪⎝⎭依题意Δ0=，即()11A x ,y ． （2）设()22B x ,y 、11x xy y 12+=，于是直线1l 、2l 的方程分别为()M 2,m 、CN MC ND MD =，将11x my 10+-=代入1l 、2l 的方程得22x my 10+-=且x my 10+-=，∴直线AB 的方程为()222210m 2y 2my 10x y 12x my +-=⎧⎪⇒+--=⎨+=⎪⎩， 联立1221y y m 2=-+， 显然Δ0>，由1y ，2y 是该方程的两个实根，有1222my y m 2+=+，ΔOAB ， 121S y y 2=-面积()()()()222121222222m 1121S y y 4y y 142m 2m12m 1+⎡⎤=+-==≤⎣⎦+++++，即22C C x y 12+=，当且仅当m 0=时，“=”成立，S取得最大值2． （3）点N 在直线AB 上，∵()C C C x ,y ，设()D D D x ,y 、()00N x ,y 、()CN λND λ0,λ1=>≠，且CM λMD =-， 于是C D 0x λx x 1λ+=+，即C D 0y λy y 1λ+=+、C D x λx 21λ-=-、C Dy λy m 1λ-=-、00x my 10+-=，又22222222C D DD C D x x x y 1y λy 1λ222⎛⎫+=⇒+-+=- ⎪⎝⎭C D C D C D C D x λx x λx y λy y λy 1121+λ1λ1+λ1λ+-+-⇒⋅⋅+⋅=--00001x 2y m 1x my 102⇒⋅⋅+=⇒+-=， ()()()()()f 2,j f 1,j f 1,j 12f 1,j 48j 4j 1,2,,n 1=++=+=+=-，即N 在直线AB 上．5．（2020·上海普陀区一模）已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形．（1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．【答案】（1）2213x y -=；（2）15((,3)33-；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证．【详解】（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=．（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，即223503m m -<-，则3m <<-或3m <<， 即实数m的取值范围15((,3)． （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -．设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD 的中点，则点00()22x y P+， 直线BD，直线AD ，又BDPQ ⊥，则直线PQ的方程为0000(22y x x yx y -=-，即200000322x x y y x y y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-，代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=+，即02(1(33x xx +-+=+，则024x x =，即点Q 的横坐标为024x ，则p q x x -==．故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值．6．（2020·上海金山中学期末）已知椭圆C ：2221tan y x α+=，其中04πα<<，点A 是椭圆C 的右顶点，射线l ：(0)y x x =≥与椭圆C 的交点为B ． （1）求点B 的坐标；（2）设椭圆C 的长半轴、短半轴的长分别为a 、b ，当ba的值在区间0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中变化时，求α的取值范围； （3）在（2）的条件下，以A 为焦点，(,0)D m 为顶点且开口方向向左的抛物线过点B ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(sin , sin )B αα；（2）06πα<<；（3）314m +<<． 【解析】【分析】（1）联立方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，再求解即可；（2）由椭圆的几何性质可得1a =，tan b α=，再解不等式040tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即可；（3）先求出抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，由点(sin ,sin )B αα在抛物线上可得2sin 4(1)(sin )m m αα=---，再令sin t α=，则2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，则问题可转化为抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，再求解即可．【详解】（1）解方程组2221tan y x y x α⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得sin x y α==，∴(sin , sin )B αα． （2）∵04πα<<，0tan 1α<<，∴椭圆的焦点在x 轴上，1a =，tan b α=，由条件0403b a πα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，得：040tan 3παα⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，∴06πα<<；（3）由题意得：1m ，且抛物线焦点A 与顶点D 的距离为1m -，设抛物线方程为：22()y p x m =--，那么2(1)p m =-，故抛物线的方程为24(1)()y m x m =---，∵点(sin ,sin )B αα在抛物线上，∴2sin 4(1)(sin )m m αα=---，2sin 4(1)sin 4(1)0m m m αα--+-=，设sin t α=，∵06πα<<，∴102t <<， 令2()4(1)4(1)f t t m t m m =--+-①，其中102t <<，抛物线①开口向上，其对称轴2(1)0t m =-<， 抛物线①在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上与椭圆有一个交点的充要条件是：(0)0102f f <⎧⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，即24(1)074604m m m m -<⎧⎪⎨-+<⎪⎩，∴0? 1m m m ⎧<<或m的取值范围是314m <<． 7．（2020·上海闵行区一模）已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F ．（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈，过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明：12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”【答案】（1）4；（2）；（3）见解析 【解析】【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形TAFB 的面积S =，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线l 的方程为2x =，分别求出M 、P 、Q 、N 四点坐标后即可证明12MP QN PQ ==；必要性：设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，由12MP QN PQ==可得1234y y y y +=+，即可得出t 与m 的关系，进而可得出直线l 的方程为2x =．【详解】（1）由2240x y x +-=可得：()22 24x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心()2,0到Γ的准线2x =-的距离为4．（2）四边形TAFB 的面积为：1222S =⨯⨯===，∴当[]1,4x ∈时，四边形TAFB 的面积的取值范围为．（2）证明(充分性) ：若直线l 的方程为2x =，将2x =分别代入28y x =2240x y x +-=得()2,4M ，()2,2P ，()2,2Q -，()2,4N -．∴122MP ON PQ ===，∴12MP QN PQ ==．(必要性) ：若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合，设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则1234y y y y +=+，将x ty m =+代入28y x =得2880y ty m --=，128y y t +=，264320t m ∆=+>即220t m +>，同理可得，()342221t m y y t-+=-+， ∴()22281t m t t--=+即0t =或242m t =--， 而当242m t =--时，将其代入220t m +>得2220t -->不可能成立；．当0t =时，由280y m -=得：1y =2y =- 将x m =代入2240x y x +-=得3y =4y =12MP PQ =，∴12=⋅，∴220m m -=，∴2m =或0m =（舍去），∴直线l 的方程为2x =，12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”．8．（2020·上海川沙中学期末考试）已知两点1(F、2F ，动点(,)M x y 满足12|||4|MF MF +=，记M 的轨迹为曲线C ，直线:l y kx =（0k ≠）交曲线C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交曲线C 于点G ． （1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么曲线； （2）若2k =，求△PQG 的面积； （3）证明：△PQG 为直角三角形．【答案】（1）22142x y +=，轨迹是以0)、(为焦点的椭圆；（2）4027；（3）证明见解析． 【解析】【分析】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，根据椭圆定义，即可求出方程；（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，可得111(,),(,0)Q x kx E x --，求出QE 方程，与椭圆方程联立求出G 点坐标，再将2y x =与椭圆方程联立，求出,,P Q G 坐标，即可求解； （2）根据（2）中G 点坐标求出PG 斜率，即可证明结论．【详解】（1）1212|||||4|MF MF F F +=>，M点轨迹就是以12(F F 为焦点的椭圆，其方程为22142x y +=．（2）设111(,),0,0P x kx x k >>，则111(,),(,0)Q x kx E x --，直线QE 方程为1()2ky x x =-， 联立122()2240k y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2222211(2)280k x k x x k x +-+-=，① 设221(,),G x y x -为方程①的解，222111121212222232,222k x k x k x x x x x x k k k +-=∴=+=+++，323111122122232(),(,)2222k x k x x k x ky x x G k k k +=-=+++， 联立22224y x x y =⎧⎨+=⎩，解得2343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2343x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2424148(,),(,),(,)333399P Q G --， 1414240()239327PQG S ∆=⨯+=．（3）由（2）得231112232(,)22k x x k x G k k +++，3112122111122123222PGk x kx kx k k k x x k x k x k -+===-+--+， PQ PG ∴⊥，即△PQG 为直角三角形．9．（2020·上海东昌中学期末考试）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆221:14x C y +=．（1）若椭圆222:1164x y C +=，判断2C 与1C 是否相似？如果相似，求出2C 与1C 的相似比；如果不相似，请说明理由；（2）写出与椭圆1C 相似且焦点在x 轴上、短半轴长为b 的椭圆b C 的标准方程；若在椭圆b C 上存在两点M 、N 关于直线1y x =+对称，求实数b 的取值范围；（3）如图：直线y x =与两个“相似椭圆”和分别交于点,A B 和点,C D ，试在椭圆M 和椭圆M λ上分别作出点E 和点F （非椭圆顶点），使CDF ∆和ABE ∆组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）【答案】（1） 相似比为2:1（2）b >（3）详见解析 【解析】【详解】（1）椭圆2C 与1C 相似．∵椭圆2C 的特征三角形是腰长为4，底边长为 而椭圆1C 的特征三角形是腰长为2，底边长为 因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1． （2）椭圆b C 的方程为：，设:MN l y x t =-+，点1122(,),(,)M x y N x y ，MN 中点为00(,)x y ，则2222{14y x tx y b b =-++=， ∴222584()0x tx t b -+-=，则12004,255x x t tx y +===， ∵中点在直线1y x =+上，∴有4155t t =+，53t =-，即直线MN l 的方程为：5:3MN l y x =--， 由题意可知，直线MN l 与椭圆b C 有两个不同的交点，即方程2225558()4[()]033x x b --+--=有两个不同的实数解，∴224025()454()039b ∆=-⨯⨯⨯->，即b > （3）作法1：过原点作直线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．作法2：过点A 、点C 分别做x 轴（或y 轴）的垂线，交椭圆M 和椭圆M λ于点E 和点F ，则CDF ∆和ABE ∆即为所求相似三角形，且相似比为λ．10．（2020·上海华师大附中月考）已知椭圆Γ的方程为22184x y +=，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于A 、B 两点，且3AB =，如图1．（1）求圆C 的方程；（2）如图1，过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于P 、Q 两点，求证：射线AB 平分PAQ ∠；（3）如图2所示，点M 、N 是椭圆Γ的两个顶点，且第三象限的动点R 在椭圆Γ上，若直线RM 与y 轴交于点1M ，直线RN 与x 轴交于点1N ，试问：四边形11MNN M 的面积是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）是， 【解析】【分析】（1）根据已知条件设出圆心坐标，半径为圆心纵坐标，利用弦长公式，可求出圆的方程；（2）先求出,A B 点坐标，设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得0AP AQ k k +=，命题得证；（3）设220000(,),28R x y x y +=，求出直线RM 、直线RN 方程，进而求出点1M 与点1N 的坐标，然后四边形11MNN M 的面积用点1M 与点1N 的坐标表示，计算可得定值．【详解】（1）依题意，设圆心(2,),C b r b =，||3AB ==，解得52r =， ∴所求的方程为()2225224x y 5⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． （2）0x =代入圆C 方程，得1y =或4y =，(0,1),(0,4)B A ∴， 若过点B 的直线l 斜率不存在，此时,,A P Q 在y 轴上，0PABQAB，射线AB 平分PAQ ∠，若过点B 的直线l 斜率存在，设其方程为1y kx =+，联立22281x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 得，22222(21)460,1624(21)8(83)0,k x kx k kk∆。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
解析几何法巧解三角形的范围问题
b
n+1+c
n+1=
b
n+c 2
n
+a1，
所以b n+1+c n+1-2a1=
1（b 2
n+c
n-2a1）=…=
21n（b 1+c 1-2a1）=0援
所以bn+cn=2a1援 淤
因为bn+1-cn+1=- 12（bn-cn），所以{bn-cn}是以b1-c1为首
蓸 蔀 项，-
1 2
为公比的等比数列，bn-cn=（b1-c1） -
2
2
姨3 援 解法2院如图1，以A B的中点为
原点O，直线A B为x轴建立平面直 角 坐 标 系 ，则 A（-1，0），B（1，0）.
y C
A
B
-2 -1 O 1 x
设C（x，y）（y屹0），据题意，a=姨 3 b，
求 得 点 C 的 轨 迹 方 程 为（x +2）2+
图1
y2=3，S=
1 2
|A B||y|=|y|，易知x=-2时S取到最大值 姨
a1|yn|，故{Sn}为递增数列援
例4 （2016年咸阳市二模·理
16）如图5，在 吟A BC中，O是外 接 圆
的圆心，若OB·OC=- 1 ，A = 仔 ，则
2
3
B
吟A BC周长的最大值为_____援
解法1院设吟A BC外接圆的半径
A 仔 O3
a= 姨 3 C 图5
为R.由OB·OC=R2cos
b1>c
1，b 1+c 1=2a1，an+1=an，b n+1=
an+c n 2
解析几何中求参数取值范围的方法(精)
解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x 1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若 12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ<ARCTAN4< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<A<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<K<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中的取值范围问题
解析几何中的取值范围问题
在解析几何中，取值范围问题是非常重要的一个部分。
一般来说，我们需要根据题意来确定自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
下面是一些常见的取值范围问题的解决方法:
1. 明确函数的定义域：在求解函数值域时，我们需要明确函数的定义域。
通常情况下，函数的定义域是求解域的子集，但也可能会出现定义域不包含求解域的情况。
2. 分析函数的导数：在求解函数值域时，我们可以利用函数的导数来确定其值域。
一般情况下，函数的导数在区间端点处取值为零，但在一些特殊情况下，导数可能不为零。
3. 利用不等式来确定取值范围：在解析几何中，我们经常利用不等式来确定自变量的取值范围。
例如，利用均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。
4. 利用几何图形来确定取值范围：在解析几何中，几何图形是非常重要的一部分。
我们可以通过几何图形来直观理解自变量的取值范围，进而求解函数的值域或图像。
在实际应用中，取值范围问题是非常常见的。
因此，我们需要熟练掌握各种取值范围问题的解决方法，并能够灵活运用这些方法来解决实际的问题。
拓展:
在解析几何中，还有一种非常重要的取值范围问题，那就是参数方程的取值范围问题。
一般来说，参数方程的取值范围取决于参数的取值。
我们需要根据题意来确定参数的取值范围，进而求解参数方程的值域或图像。
在求解参数方程的值域或图像时，我们可以利用参数方程的导数和不等式等方法来确定其取值范围。
解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中参数范围问题的求解策略解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1、椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a by a x (12222=+>b >0)中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。
例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
例4、设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若32||2-=PF QF ，求直线PF 2的方程。
背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
解析几何中范围和最值问题的解法研究
．
ｌ Ｏ
’ 、
由 Ｄ在 ＡＢ上 ， ￣ ＇ ｌ ｆ Ｘ ｏ ＋２ ｋ ｘ ｏ ＝２ ， 得 知 一
所 以 一 一 １ ０
，
题意 Ｙ ， Ｙ ２ 不 同时为 ０ ，
’
． ．
上述条件等价 于 Ｙ 一 ２ ∞ｚ ； 一ｚ ； ∞（ １ ＋ ） （ ｚ ｌ ｚ ≠ｚ ２ ， ． ． 上述条件等价 于 ｚ １ ＋ ２ － － ０ ．
设 ＡＢ的中点 Ｎ 的坐标为（ Ｘ ｏ ， ｙ ｏ ） ， 则
Ｘ ｏ 一
】 ，
（ ｘｌ 十 ２ ） 一 一百 ， Ｙ ｏ 一 一 Ｘ Ｏ 十 ｍ・
．
、
］
】
．
由Ｎ Ｅ ｌ ， 得 志＋ 一 一 寺＋ ６ ， 于 是６ 一 素＋ 优 ・
・
。 ＞一１
．
３ ２ ． ６ ＞ 熹一 １ 一 ，
。
间 的等量关 系实现 变量之 间的相互 转化 ， 从 而构造 关于 未知变量 的不等式 ， 即可求变量 的取值 范围或最 值．
这就是说 ， 可 以用 函数 的观点 、 方程 的观点 、 不 等式
的方程 分别 为 ｚ＋２ ｙ ＝２ ， 一尼 ｚ ） ．
即得 ｚ 在 Ｙ轴 上截距 的取值 范围是（ ， ＋。 。 ） ．
评析 ： 第（ ２ ） 题解 法 的 实质 是 建立 关 于纵截 距 ｂ的
函数 ， 从 而将 问题 转 化 为 求 函数 的值 域 ．
即相 应变量之间的等量关系与不等量关系． 若将 变量间的等量关系看 成 函数 关系 ， 则 可 以将 等 量关 系式转换成 函数关系式 ， 然后 可 以用求 函数 的值 域
一
、
故 ＝－ －Ｘ ｌ －
例析09年高考解析几何中范围问题的求解策略
解 ： （ ）由题 意 知 ，双 曲线 Ｃ的顶 点 １
（ ，Ⅱ）到 渐 近 线 口 一 ｂ ０ ｙ＝０ 的 距 离 为
（ 一４ ＋ｙ ＝ｒ （ ＞０ ）一ｒ ６ ＝０ （ ） １．
抛物线 Ｅ：ｙ ＝ 与圆 Ｍ ：（ ２ 一４ ２ ）＋ｙ ＝ｒ
Ｂ （ 一ｎ，２ ） ｎ ，ｍ ＞０ ，ｎ＞０ ，由 ：
（ Ⅱ）略 ．
３ 构 造 函数转 化为值域 问题求解
— Ｐ Ｂ得 Ｐ 点 的坐 标为 （ ， ｛
） ，将 Ｐ点 的坐 标 代 入 ２
一
根 据 圆锥 曲线 的几何 性质 或圆锥 曲线 的
２
位置关 系 ，构 造关于参 数的 函数 ，并确 定其 定义域 ，将 问题转 化为 函数值 域求解 ．
根据 圆锥 曲线 的几 何性质 ，如 曲线上 的
对于直线 与 圆锥 曲线 或 曲线 与 曲线 的交 点问题 ，可将 方程联 立 ，将 交点 问题转 化为 方 程 的根的判 断 ，利 用根 的存在 条件 构造不 等式 （ ）求 解范 围 ． 组 例 ２ （ ０ ９高 ２０ 考 全 国卷 Ｉ） 如 图 １ ，
： ，
的功 能 ，因而成为 高考命题 的热点 ．由于在
这类 问题 中 ，既有变 量又有 参数 ，对能力要
由双 曲线 的几何 性
¨ 工 。
求 较高 ，因 而学 生 对 这 类 试 题 往 往 感 到 困 惑 ．本文 将 以 ０ ９年 高 考试 题 为 例 ，介 绍解
答 这类 问题 的几 种常用 策略 ，供大 家在复 习 和教学 中参考 ．
，
又 Ｉ Ａ ｌ ｍ， Ｉ Ｉ ４ ， ＝ Ｏ Ｄ ＝－ ５
心 雩 顶 到 近 的 离 半． 率 ： ，点 渐 线 距 为
63第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第1课时 范围、最值问题
第1课时 范围、最值问题
内容索引
NEIRONGSUOYIN
题型分类 深度剖析 课时作业
1 题型分类 深度剖析
PART ONE
师生共研
题型一 范围问题
例 1 (2016·天津)设椭圆ax22＋y32＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知|O1F|＋ |O1A|＝|F3Ae|，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.
3
2 4
y02 4x0
3
2.
因为 x20＋y420＝1(－1≤x0<0)，
所以 y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB 面积的取值范围是6 2，15410.
多维探究
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，
A.[4,5]
√B.[7,8]
C.[6,7]
D.[5,6]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16.已知椭圆 C1： mx＋2 4－yn2＝1 与双曲线 C2：xm2＋yn2＝1 有相同的焦点， 求椭圆 C1 的离心率 e1 的取值范围.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C： y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
证明 设 P(x0，y0)，A41y21，y1，B41y22，y2. 因为PA，PB的中点在抛物线上， 所以 y1，y2 为方程y＋2y02＝4·14y22＋x0， 即 y2－2y0y＋8x0－y20＝0 的两个不同的实根. 所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
（ 求 抛 物 线 ｃ 的 Ｉ） 方程 ； （ 若 直线 ｚ ’一１ Ⅱ） ：，
＝
ｙ ＝６一ｂ ２ｙ ２ ２ ； ｝ ２ ＝６一ｂ
，
。
ｋ 一１ （ ≠０ 垂 直 平 （ ）ｋ ）
图２
从 而 由 一ｎ ｌ ０ 一０ ２ ， ≤ ≤ ， ≤ ≤Ⅱ 可得
＜ ＜ 二 。 。
．
・
． ．
ｍ ：２
＋１ 。
由
ｆ 一 ＋ ， ＝）１ 到 于 的 于 点 Ｊ（ Ｏ，）， 明 ：一旦 ＋ ｎ １≥ ， 关 一 （） ， 得 ＰＸ ０ 证 【 ｙ＝
，
元二次方程 ， 由其判别式等于 ０求得 ｍ＝６ ， 。 综上所得 ， —２ ≤ｍ＜１ ４ 或 ｍ＝６ １ ＋２ ３ 。 二、 构造含参不等式探求参数范 围 例 ２ 已知抛 物线 Ｃ 的顶 点 在 原 点 ， 双 曲线 以 ＼ ／
Ｉ ，
一
分 析 ： 证 Ｘ满 足 关 于 参 数 。 ｂ的 不 等 式 ， 欲 ０ 、 须 从 题 中找 出 不 等 关 系 。 由 椭 圆 的 性 质 可 知 ， 圆 上 椭 的 点 的 坐 标 满 足 如 下 条件 ： ≤ ≤ ， 一ｏ ａ 因此 问 题 转 化 为 寻 求 Ｘ与 的关 系 。 ｏ 简解 ： 由题 设 知 ， Ｐ在 线 段 Ａ 的 垂 直 平 分 线 点 Ｂ
图１
１ ｙ≥ １ 为 半 条 曲 （ ）
线， 若利用方程观点研究这类问题 ， 则需将之转化成 根 的分 布 问题 ， 样 做 较 麻 烦 且 易 出 错 。若 用 数 形 这 结合 的思想 来研 究 ， 则直 观 易解 。如 图 １ ｚ、２ ｆ ，１ ｚ、３ 是 直 线 系 ， 一 ＋ｍ 中 的三 条 直 线 ， 三 条 直 线 是 ， ＝ 这 直 线 系 中的 直 线 与 半 椭 圆 交 点 个 数 的 “ 线 ” 在 Ｚ 界 ， 与 ｆ之 间 的直 线 （ ｚ， 含 ｚ 及 １都 是 与 半 椭 圆 ２ 含 １不 ２ ） 只有 一 个 公 共 点 的 直线 ， ｍ 是 这 些 直 线 在 ｙ轴 上 而 的截 距 ， 由此 可 求 ｍ 的范 围 。 简 解 ：Ｉ （ ２ ３，） Ｚ过 一 ４ １ ，
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系摘要：在教学体制改革的背景下，高中数学教学面临一些新变。
传统教学方法逐渐落后于时代发展的潮流，教师需要更新教学模式，创新教学体系。
解析几何是高中数学的重要组成部分，在探讨解析几何的求解范围时，经常要分析不等关系。
本文将具体探讨解析几何中求解范围问题的特点，以及解析几何中求解范围问题的常用不等关系，希望能为相关人士提供一些参考。
关键词：解析几何；求解范围；不等关系引言：高中学生面临一定的升学压力，每个学生都设定了升学目标，希望在高考中乘风破浪，成功考入自己的理想学校。
教师是学生的引导者，担任着为学生传道受业解惑的重要任务，只有发挥教师的引导作用，才能促进学生健康成长。
数学成绩直接关系着学生升学目标的实现，数学教师需要提升学生的学习能力，让学生掌握高效的数学学习技巧。
解析几何求解范围问题是高中数学的常见考点，教师应该将着眼点放在此处，攻克解析几何难点问题，帮助学生形成解题思路。
1解析几何中求解范围问题的特点1.1知识抽象性强与其他类型的数学知识相比，解析几何中求解范围问题更加抽象。
将数学公式、数学概念和数学模型问题与解析几何中求解范围问题进行对比分析，可以发现数学公式、概念模型问题等采用了形象通俗的语言表达方式，而解析几何中求解范围问题采用了抽象高深的语言表达方式[1]。
学生的认知能力有限，对抽象知识点的吸收能力比较弱，对具象知识点的吸收能力比较强，在面对抽象知识点时，学生难免会出现畏难情绪。
1.2逻辑要求性高学生之所以会在数学学习过程中遇到阻碍，是因为高中数学思维方式非常难把握。
解析几何中求解范围问题的知识体系非常庞杂，仅仅依靠一种思维模式很难解答数学问题。
在传统教学过程中，教师习惯对类型题目进行划分，对题目进行优化分解，看题目是否能够套用公式。
这种思维定式的解题方法明显不适用于高中数学，解析几何中求解范围问题对学生的逻辑能力提出考验。
在面对抽象化的数学语言时，学生很难对已知信息进行转换，致使解题效率较低，做题失误不断。
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系
般情况下的解题思路是寻觅出（ 或直接利用 ） 相关 的不等 斤” 同学们请注意 ： 。 一不要对三角形 内心敬而生畏 ， 二不可总想 式， 进而通过对 这一不等式的演 变 ， 解出有关变量的取值范 围。 利用某一性 质。 沉着冷静地分析、 认知问题 ， 便会逐渐拨开云雾 ， 下面， 我们例析在解题时常用的几种不等关系。 寻出解题方 向。
－ ． 。 ’ ． ．
又 里ｘ １ 导） 这 ２ 一 ＝
・ ． ．
②
③
④
Ａ １ ）ＩＭＩ 厂 ， Ｍ到直线 Ａ （， ， ｏ Ａ ＝、 ２ 点 Ｐ的距离为 １ ， ＬＡ Ｑ的内切圆半径 ｒ ， ＸＰ ＝１
Ｐ ＡＭ ＝４ 。 ． ５
②代人①得 ｙ ＝
。椭 圆上 ， 故得 Ｏ ｙ ＜ ￣ｂ
Ｐｐｌ ｃ ｎｅ ｏｕａ Ｓｉ ｃ ｒ ｅ
科 学 大 众 ・ 学 教 育 科
２０ 年 第 ７期 ０９
例析解析几何中求解范围问题的常用不等关系
田会 艳
（ 皇岛开发 区燕大附中， 秦 河北省 ０ ６ ０ ） ６ ０４ 摘 要 ： 直线与 圆锥 曲线相交的问题 中， 在 常常遇到求直线的斜率或纵截距的取 值范 围、 圆锥 曲线的 离心率 、 求 长轴 长（ 或实轴 长） 短轴 长（ 、 或虚轴 长） 等有关参量的取 值范围， 这也是解析 几何 高考命题 以及备考复习的重点 问题。 关键词 ： 数学教学； 例析； 解析几何 中圈分类号 ： ３ ．６ Ｇ６ ３ ３ 文献标识码： Ａ 文章编号 ：０ ６ ３ １ （ ０ ９ ０ — ６ — ０ １０ — ３５ ２０ ７ ０６ ０ ２ Ｊ
・
． ．
・ ．
．
Ｋ ＝１ ＝一１不妨设点 Ｐ ， Ｋ （ 在第一象限）
高考解析几何中的范围问题
解析几何中的范围问题在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
对此，一般情况下的解题思路，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。
在这里，我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。
一、“题设条件中的不等式关系”之运用事物都是一分为二的。
对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，既可作为推导或求解的条件而增加难度，也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
在解决范围问题时，不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式，往往成为解题的关键环节.例1、已知双曲线中心在原点，右顶点为A（1，0），点P、Q在双曲线右支上，点M（m，0）到直线AP的距离为1.（1）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（2）当时，△APQ的内心恰好是点M，求此双曲线方程.分析：对于（1），已知直线AP的斜率k的取值范围，要求m的取值范围，首先需要导出k与m的关系式；对于（2），则要利用三角形内心的性质，三角形内心到三边距离相等；三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线；三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质，还要视题设条件的具体情况来定夺.解：（1）由已知设直线AP的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0∵点M到直线AP的距离为1∴①∵∴，解得或∴所求m的取值范围为.（2）根据已知条件设双曲线方程为当时，点M的坐标为（）.（不妨设点P在第一象限）∴直线PQ的方程为，直线AP的方程为y＝x－1 因此解得点P的坐标为（）将点P坐标代入双曲线方程得∴所求双曲线方程为即.点评：这里的（1），是题设条件中明显的不等关系的运用；这里的（2），审时度势的求解出点P坐标，恰如“四两拨千斤”.同学们请注意：一不要对三角形内心敬而生畏，二不可总想利用某一性质。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
解析几何中有关参数范围问题的求解策略曾庆宝解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容，但这一类题综合性强、变量多、涉及知识面广，是难点问题。
解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。
一. 运用数形结合探求参数范围例1. m 为何值时，直线y x m =-+与半椭圆()()xy y 22201511+-=≥只有一个公共点？分析：因为椭圆()()xy y 22201511+-=≥为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题，则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错。
若用数形结合的思想来研究则直观易解。
如图，l l l 123、、是直线系y x m =-+中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在l 1与l 2之间的直线（含l 1，不含l 2）及l 3都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而m 是这些直线在y 轴上的截距，由此可求m 的范围。
解：l 1过()-251，，则125251=+=-+m m ，l 2过()251，，则125251=-+=+m m ，由()()y x mx y y =-++-=≥⎧⎨⎪⎩⎪22201511得到关于x 的一元二次方程。
利用△＝0得m =6综上所得，125125-≤<+m 或m =6二. 构建函数关系探求参数范围例2. P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆x y 2221+=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点。
已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →共线，且PF MF →→=·0。
求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值。
分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。
解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F （0，1），且PQ ⊥MN ，直线PQ 、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为k ，又PQ 过点F （0，1），故PQ 方程为y kx =+1。
解析几何中参数范围的求法
ｉ Ｆ ｌ＋ ｌ Ｆ ｌ ２ １ ＯＩ ｌ ） ２ ５ ＋ Ｐ Ｐ ＝ （ Ｐ ＋ Ｏｌ ＜ （ Ｆ
性 可 知 Ａ Ｃ 为等 腰 梯 形 ， Ｃ Ｄ关 于 轴 对 称 ， ＢＤ 故 、 依 题 意设 ： ～ｃ ｏ ， （ ，）ｃ ， ）Ｅ ，） Ａ（ ，）Ｂ Ｃ ｏ ， （ ＾ ， （
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。 Ｅ分
所 成 的 比为
仁 （ ２ Ａ 一 ＋ ２ １ ） Ｃ ’
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高 考 数 学
双 曲线方程 ～告 ＝１ ａ ，＞ ０ ， （ ＞０ ６ ） 则离 ｎ Ｄ—
Ｃ ｎ
Ｃ、 在 双 曲 线 上 ， Ｅ
个 例 子 谈 谈 这 类 问 题 的 常 用 解决 方 法 ．
一
、
建 立 函 数 关 系求 函数 值 域
利 用 这 种 方 法 求 范 围 时 ， 键 是 寻 找 变 量 间 关 的等 量 关 系 ， 以确 立 函数 解 析 式 、 义 域 ， 而 求 定 进 值域．
４ ８ 倍 数外学习》０８ ６ ２０年 月号中 旬刊
（ 第 ３ 期） 总 １５
＋ 一 ０对 称 的 不 同两 点 ， 实 数 ａ的 取 值 范 围 ． 求
【 析 】 方 法 （ ） 设 两 点 为 Ｐ、 则 直 线 分 一 Ｐ， Ｐ 方程可设为 ｙ Ｐ的 —ｚ＋６且 Ｐ 抛 物 线 有 两 ， Ｐ与
【 １ 已知 梯 形 ＡＢ Ｄ 中 ，ＡＢｌ ＤＩ 例 】 Ｃ Ｉ 一２ ｌ Ｃ ，
点 Ｅ分 有 向线 段
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所 成 的 比为 ， 曲线 过 点 ｃ、 双
ｏ ０
０
Ｄ、 且 以 Ａ、 为 焦 点． 图 ， ÷ ≤ ｏ时 ， Ｅ， Ｂ 如 当 ≤ 求 其离心率 ｅ 的取 值 范 围 ． 【 】 如 图建 系 ， Ｃ ／ Ｂ及 双 曲线 的 对 称 解 由 Ｄ／Ａ
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k 的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得-2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
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解析几何中的范围问题一般解题思路是，首先寻觅出（或直接利用）相关的不等式，进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。
一、“题设条件中的不等式关系”题设条件中明朗或隐蔽的不等关系，可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。
例1、（2004全国卷 I ）椭圆 的两个焦点是，且椭圆上存在点P 使得直线垂直.求实数m 的取值范围；分析：对于（1），要求m 的取值范围，首先需要导出相关的不等式，由题设知，椭圆方程为标准方程，应有 ，便是特设条件中隐蔽的不等关系. 解：（1）由题设知设点P 坐标为 ，则有 得①将①与 联立，解得∵m>0，且 ∴m≥1 即所求m 的取值范围为 .二、“圆锥曲线的有关范围”椭圆、双曲线和抛物线的“范围”，是它们的第一几何性质。
例2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线x y 162=的焦点P为其一个焦点，以双曲线191622=-y x 的焦点Q 为顶点。
(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(B A -，且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的动点，求BM AM ⋅的取值范围。
解：(1)抛物线x y 162=焦点P 为(4，0)，双曲线191622=-y x 的焦点Q 为(5，0) ∴可设椭圆的标准方程为12222=+by a x （a>b>0），且a=5，c=4916252=-=∴b ，∴椭圆的标准方程为192522=+y x (2)设),(00y x M ，线段CD 方程为135=+yx ，即353+-=x y )50(≤≤x点M 是线段CD 上，∴35300+-=x y )50(0≤≤x),1(00y x AM +=，),1(00y x BM -=，12020-+=⋅∴y x AM ，将35300+-=x y )50(0≤≤x 代入得BM ⋅1)353(2020-+-+=x x BM AM ⋅⇒85182534020+-=x x 34191)3445(253420+-=x 500≤≤x ，BM AM ⋅∴的最大值为24，BM AM ⋅的最小值为34191。
BM AM ⋅∴的范围是]24,34191[。
三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”在直线与曲线相交问题中，直线与某圆锥曲线相交的大前提，往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。
因此，对于有关一元二次方程的判别式△>0，求某量的值时，它是去伪存真的鉴别依据，求某量的取值范围时，它是导出该量的不等式的原始不等关系。
例3、如图，直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足EC 21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，则 A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+b y a x 令cb y C x 20=⇒=∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x 。
（2）1(02EC AB E =⇒，)21，l ⊥AB 时不符，设l ：y ＝kx ＋m （显然k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒① 设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ）∴ 22104342k kmx x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121||||22200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒= 代入① ∴ 222)243(34k k +-≥+ ∴ 4342≤+k ∴ 102≤<k ∴ 11≤≤-k 且0≠k∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．四、“点在圆锥曲线内部的充要条件”所给问题中的某些点，注定要在相关圆锥曲线的内部。
比如圆锥曲线的弦的内分点，又如圆锥曲线任意两弦的交点等。
因此，点在圆锥曲线内部的充要条件，便成为寻求某量的取值范围的基本依据之一。
其中，常用的充要条件为： 12、3、4、例4、求使抛物线()2:10C y ax a =-≠上有不同两点关于直线:0l x y +=对称。
求实数a 的取值范围。
解：设()11,A x y ， ()22,B x y 是C 上关于:0l x y +=对称的两点，易知0a >，()00,M x y 是A ，B 的中点。
则有2111y ax =-，2221y ax =- 两式相减得()()121212y y a x x x x -=-+ 又12121y y x x -=- 且 1202x x x +=021ax ∴= ， 012x a =， 012y a=-。
因为M 在抛物线内部所以2001y ax >-， 即 211124a a a ->⋅- 得34a >练习：1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以双曲线x 23－y 2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点． ①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA ，MB 与直线x ＝4分别交于点P ，Q ，求线段PQ 长度的最小值．解：(1)易知双曲线x 23－y 2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为23，则在椭圆C 中a ＝2，e ＝32，故在椭圆C 中c ＝3，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，点M 在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1由题易知A (－2,0)，B (2,0)，则k MA ＝y 0x 0＋2，k MB ＝y 0x 0－2， 故k MA ²k MB ＝y 0x 0＋2²y 0x 0－2＝y 20x 20－4，由x 204＋y 2＝1，有y 20＝1－x 204＝－14(x 20－4)，故k MA ²k MB ＝y 20x 20－4＝－14，即直线MA ，MB 的斜率之积为定值－14． ②设直线MA 的斜率为k ，则直线MA 方程为y ＝k (x ＋2)，从而P (4,6k )，由①知直线MB 的斜率为－14k ，则直线MB 方程为y ＝－14k (x －2)，故得Q (4，－12k )，故|PQ |＝|6k ＋12k |≥23，当且仅当k ＝±36时等号成立，即|PQ |有最小值2 3.2、设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；解：解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ② 且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ ∴λ的取值范围是（12，+∞）. 直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x +y －4=0.3、已知椭圆的一个顶点A(0,－1)，焦点在x 轴上，且右焦点到直线的距离为3，若斜率不为0的直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，使M 、N 关于过A 点的直线对称，求直线l 的斜率取值范围。
解：（既设又解）设右焦点F(c,0)，则由又b ＝1，∴∴椭圆方程为①设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ②将②代入①得由题意③且④ ∴∴点P坐标为又M、N关于直线AP对称，故有⑤代入③得所求k的取值范围为 .。