解析几何中的最值问题

2 2
的最值。 求： S = x − 2y 的最值。
解：
Y
由 S = x −2y 得
y= 1x− 1S 2 2
O
− 1 s 为直线在 轴上的截距。 为直线在y轴上的截距 轴上的截距。 2 取最小时,S 取最大值。 当 − 1 s 取最小时 取最大值。 2
此时，直线与圆相切。 此时，直线与圆相切。 .
设右准线为 L , 则 L 的方程是 x =
又设 P 到 L 的距离为 PB ，则
4 3
L
B
PF =e PB
P
A
F
PF 2 即 PB = = PF e 3
B1 P1
2 ∴ PA + PF = PA + PB 3 当且仅当 A、P、B共线时， + PB 最小。 共线时， PA 最小。
X=
4 3
4 8 此 小 为 − = 最 值 4 3 3
小 结
代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段 讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 1 用代数方法讨论几何问题是解析几何的特点和手段。 对于解析几何中的极值问题的解决 首先应注意函数方法 参数法）的运用， 函数方法（ 首先应注意函数方法（参数法）的运用， 将所求对象表示成某个变量的函数， 将所求对象表示成某个变量的函数， 利用代数方法来解决。 利用代数方法来解决。
X
圆心（1、-2）到直线的距离等于 5 圆心（ 、 ）
− 1s 2
1 + 2 − S 2 2 = 5 4
5
⇒
S最小值 = 0
S最大值 = 10
例4、已知：实数 x、y 满足 (x − 1) + (y + 2) = 5 。 、已知： 、
2 2
的最值。 求： S = x − 2y 的最值。
解：
(x − 1) + (y + 2)
注意！ 注意！
2
作为几何中的最值问题，往往利用 作为几何中的最值问题， 平面几何知识或图形意义， 平面几何知识或图形意义，采取 数形结合或不等式的方法求解 的方法求解， 数形结合或不等式的方法求解， 可以避开代数形式的复杂运算。 可以避开代数形式的复杂运算。 反过来，通过建立坐标系， 反过来，通过建立坐标系，构造图形 也可使某些不易处理的代数极值问题 得到解决。 得到解决。
(
)
一动点M在椭圆上移动， 一动点 在椭圆上移动，则 |AM| + 2 | MF | 的 在椭圆上移动 最小值为_____. 最小值为 10
x2 y2 例 13.已 知 双 曲 线 − = 1， F 为 其 右 焦 点 ， A ( 4,1 ) 为 定 点 ， 4 5 2 点 P为 双 曲 线 上 的 点 ， 求 PA + PF 的 最 小 值 . 3 c 3 解 Q a = 2, c = 3 ∴ e = = a 2
O
X
=
∴ d max = 2( 5 + 2), d min = 2( 5 − 2).
已知方程: 例 8、 已知方程:
(x − 2)
2
+ y2 = 3
求：满足这个方程的实数对（x，y）中， 满足这个方程的实数对（
y 的最值。 的最值。 x
设：
建立几何模型： 建立几何模型：
y k = ⇒ y = kx x
解：
解方程组
y2 = 4x x + y + m = 0 ⇒ y2 + 4y + 4m = 0
Y A
∆ = 16 − 16 m = 0 ⇒ m = 1
当 m=1 时， 直线 L 到直线 AB 的距离为最大， 的距离为最大， 的距离最大。 也是点 C 到直线 AB 的距离最大。 代入得： 把 m=1 代入得：
x-y+1=0
P(0,1)
x2 + y2 = 1 上点 到直线 L：y=2x-10 的距离 上点P到直线 ： 例7 、求椭圆 9 4
的最大值与最小值。 的最大值与最小值。
Y
L2
P (3cos θ , 2sin θ ) ⇒ d=
L1 L
6 cos α − 2sin α − 10 5 2 10 sin(θ + ϕ ) − 10 5
− 1 2
1 2
= −1 ⇒ x = 1, y = −2.
X
例2、直线 x+y-3=0 和 抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。 x+y两点。 的面积最大。 在抛物线 AOB 上求一点 C ，使 △ABC 的面积最大。 x+y+m=0与直线AB：x+y-3=0平行且为抛物线的切线 与直线AB 平行且为抛物线的切线。 设L：x+y+m=0与直线AB：x+y-3=0平行且为抛物线的切线。 为切点。 点 C 为切点。
O
D
X C B
∴ C ( ,− 2 ) 1
L
），它在两坐标轴上的截 例3、直线 L 过点 P（2，1），它在两坐标轴上的截 距均为正值，若截距之和最小， 的方程。 距均为正值，若截距之和最小，求 L 的方程。
解： 设：点斜式方程 y − 1 = k(x − 2)
Y L B
• (2 ,1 )
O A X
( )
例10、求函数 s = 、
x4 −5x2 −8x + 25− x4 −3x2 + 4
的最大值。 的最大值。
2 2
提示： 提示：
s=
(x − 4) + (x
2
2
2
− 3) − x + (x − 2)
2 2
2
为抛物线) 设 y=x2 (为抛物线)
∴s =
(x − 4) + (y − 3)
−
(x − 0) + (y − 2)
3
2 2
2
的值。 求：使 S 最小的 x 与 y 的值。 两点间的距离。 分析： 由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离 分析： 由题设的代数结构，联想到平面上两点间的距离。 可设：四个根号的几何意义分别为点P 可设：四个根号的几何意义分别为点P（x，y）到点O（0，0）、 到点O ）、C ）、B 四点的距离。 A（1、0）、C（0，1）、B（1，1）四点的距离。 建立几何模型： 建立几何模型： 原来的问题化归为：求到正方形四个顶点距离之和最小的点。 原来的问题化归为：求到正方形四个顶点距离之和最小的点。 Y C P O A 易知： AC上 易知：到 A、C两点距离之和最小的点在线段 AC上。 B 到 O、B两点距离之和最小的点在线段 OB上。 OB上 ∴ 所求的点就是 AC 与 OB 的交点P 1 , 1 的交点P 2 2 X
X
O A( 1，0) ，
x-y+1=0
1 4 P( , ) 3 3
例6. 在直线 x-y+1=0 上找一点 p ，使 p 点到点 A（1，5）、 B（8，3）的距离之差的绝 （ ， ）、 （ ， ） 对值最大。 对值最大。
Y
A( 1，5) ， P1 B( 8，3) ， A1( 4，2) ， P
O
X
∴ AB = (x − 0 ) + (y − 1)
2 2
2
∵ B（x，y）在椭圆上， ∴ x 2 = 4(1 − y2 ) （ ， ）在椭圆上， 代入得： 代入得： AB = 4(1 − y2 ) + (y − 1)
2 2
Y
A（0，1） （ ， ）
= −3 y + 1 + 16 3 3
∴ 当 y = - 1 时，AB 3
M F 1 P F = e,∴M = M M P e 1 a = 4, b = 2 3, c = 2, e = 2
y M A
O
P F x
∴M = 2M P F A F A P ∴M + 2M = M + M ≥ AP
当点M、A P共线时，等号成立。 M(2 3, 3) 、
x2 y2 思考:已知点 的左焦点， 思考 已知点 A 2， 3 ，F是椭圆 是椭圆 + = 1 的左焦点， 16 12
的最大值。 求：弦长 AB 的最大值。 ），则 设 B（x，y），则 AB = (x − 0) + (y − 1) 。 （ ， ）， 代入,得出关于 把 x 2 = 4(1 − y 2 ) 代入 得出关于 y
2 2 2
解题思路: 解题思路:
的二次函数，配方后求出的最大值。 的二次函数，配方后求出的最大值。 设 B（x，y）为椭圆上的一点。 （ ， ）为椭圆上的一点。
max
( )
O
2
(−1≤ y ≤1)
X B
= 4 3 3
x+y两点。 例2、直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点。 在抛物线 AOB 上求一点 C ， 的面积最大。 使 △ABC 的面积最大。
Y A D O C B
y 2 = 4 x ⇒ y = −2 x ,求导得: y′=-x
= 3+ − 1 + (− 2k) ≥ 3+ 2 2 k
− 1 = −2k ⇒ k = ± 2 k 2 2 (x − 2) y −1 = − 2
A 2 − 1 ,0 B(0,1 − 2k) k s = 2 − 1 + 1 − 2k k
(
)
k <0
( )
例4、已知：实数 x、y 满足 (x − 1) + (y + 2) = 5 。 、已知： 、
半径： 半径：r =
Y
圆心：（2 圆心：（2，0） ：（
3
当直线与圆相切时，斜率取到最值。 当直线与圆相切时，斜率取到最值。
O X
2k − 0 = 2 1+ k