高考解析几何中的最值问题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
分析：考虑几何特征：
利用定义、性质转化，
运用图形性质直接求解。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
四、本专题总圆结锥:曲线的最值问题
求解析几何中最值问题的基本方法：
1.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值 问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、 繁杂的问题化归为动态的形的问题，使问题解决.
2.由题中条件通过设参数建立目标函数，再利用函数法、 不等式法、导数法等方法求目标函数的最值.
＝x20＋4－2 x02＋2（4－ x02 x02）＋4＝x220＋x802＋4 (0＜x20≤4). ∵x220＋x802≥4(0＜x20≤4)，当且仅当 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|2≥8.
∴线段 AB 长度的最小值为 2 2.
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
圆锥曲线的最值问题
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值 常用方法有配方法、判别式法、不等式法及导数法等．
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛 物线上的一个动点，又知点Q(2,1), 则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为___.
解：设点P到准线x=-1的距离为d.
过点Q做准线x=-1的垂线，垂足为M.
y d
P
由抛物线定义得:∣PF∣=d.
M ∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣= d+ ∣PQ∣
Q x
F
≥∣QM∣=3
X=-1
∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为 3
例3. 已知点B在椭圆圆锥x曲2＋线2的y2＝最4值上问，题O为原点.
点A在直线y＝2上，且OA⊥OB，
求线段AB长度的最小值.
解：设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，又∵x20＋2y20＝4，
∵ OA⊥OB，∴ O→A·O→B＝0，即 tx0＋2y0＝0 得 t＝－2xy00. ∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋2xy00)2＋(y0－2)2
解：设直线AB的方程为：y=kx+1,
y
2x2
kx y2
1
得 2，
k2 2
x2 2kx 1 0，
SVABF2
1 2
|
F1F2
|gxA
xB
2
2
k k2
2 1 2
2
2
1 k2 1
1 k2 1
2 2 1 2.当且仅当 k 2 1 1 ，
2
k2 1
即k 0时，SVABF2有最大值为 2.
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y A
P
F1
F2 x
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y 分析：
（1）由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
转化
F1
A P
F2 x
（2）线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____. y
求线段AB长度的最小值.
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB， 求线段AB长度的最小值. 分析: （1）引入参数：设点A、B的坐标,
（2）由题中的条件找到参数之间的关系,
（3）建立起关于AB长度的目标函数，
（4）再求这个目标函数的最值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
分析： （1）引入参数：设直线AB的方程，
（2）建立目标函数：求出面积的函数，
（3）转化为求函数的最大值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
解： 由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
∴ ∣P F1 ∣+ ∣PA∣
F1
=4 +∣P F2 ∣+ ∣PA∣
≥4 +∣AF2 ∣
= 4 +5 = 9
A P
F2 x
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB，
圆锥曲线的最值问题
解析几何中的最值问题
强哥高中数学工作室
2020年5月5日
圆锥曲线的最值问题
一、高考地位:
解析几何中的最值问题几乎是高考的 必考点，可以在选择题或填空题中进行考 查，在解答题中也是考查的重点。
圆锥曲线的最值问题
二、解析几何中最值问题的解法:
（1）几何法：
若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义， 则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
分析：考虑几何特征：
利用定义、性质转化，
运用图形性质直接求解。
yP Q x
F
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛
四、本专题总圆结锥:曲线的最值问题
求解析几何中最值问题的基本方法：
1.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值 问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、 繁杂的问题化归为动态的形的问题，使问题解决.
2.由题中条件通过设参数建立目标函数，再利用函数法、 不等式法、导数法等方法求目标函数的最值.
＝x20＋4－2 x02＋2（4－ x02 x02）＋4＝x220＋x802＋4 (0＜x20≤4). ∵x220＋x802≥4(0＜x20≤4)，当且仅当 x20＝4 时等号成立， ∴|AB|2≥8.
∴线段 AB 长度的最小值为 2 2.
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
圆锥曲线的最值问题
（2）代数法：
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值 常用方法有配方法、判别式法、不等式法及导数法等．
三、典型例题圆: 锥曲线的最值问题
例1.已知F为抛物线 y2=4x上的焦点，P为此抛 物线上的一个动点，又知点Q(2,1), 则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为____.
物线上的一个动点，又知点Q(2,1),
则∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为___.
解：设点P到准线x=-1的距离为d.
过点Q做准线x=-1的垂线，垂足为M.
y d
P
由抛物线定义得:∣PF∣=d.
M ∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣= d+ ∣PQ∣
Q x
F
≥∣QM∣=3
X=-1
∴ ∣PF∣+ ∣PQ∣的最小值为 3
例3. 已知点B在椭圆圆锥x曲2＋线2的y2＝最4值上问，题O为原点.
点A在直线y＝2上，且OA⊥OB，
求线段AB长度的最小值.
解：设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，又∵x20＋2y20＝4，
∵ OA⊥OB，∴ O→A·O→B＝0，即 tx0＋2y0＝0 得 t＝－2xy00. ∴|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋2xy00)2＋(y0－2)2
解：设直线AB的方程为：y=kx+1,
y
2x2
kx y2
1
得 2，
k2 2
x2 2kx 1 0，
SVABF2
1 2
|
F1F2
|gxA
xB
2
2
k k2
2 1 2
2
2
1 k2 1
1 k2 1
2 2 1 2.当且仅当 k 2 1 1 ，
2
k2 1
即k 0时，SVABF2有最大值为 2.
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y A
P
F1
F2 x
例2.已知F1、F2是圆双锥曲曲线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____.y 分析：
（1）由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
转化
F1
A P
F2 x
（2）线线的x42最 值1y22问题1 的左右焦点，
定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，
则∣P F1 ∣+ ∣PA∣的最小值为____. y
求线段AB长度的最小值.
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB， 求线段AB长度的最小值. 分析: （1）引入参数：设点A、B的坐标,
（2）由题中的条件找到参数之间的关系,
（3）建立起关于AB长度的目标函数，
（4）再求这个目标函数的最值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
分析： （1）引入参数：设直线AB的方程，
（2）建立目标函数：求出面积的函数，
（3）转化为求函数的最大值。
例4.由已知F1、F圆2是锥椭曲圆线2的x2最+y值2=2问的题两个焦点， 过焦点F1的直线交此椭圆于A、B 两点， 求⊿ABF2面积的最大值.
解： 由双曲线的定义得到：
∣P F1 ∣- ∣P F2 ∣= 2a =4
∴ ∣P F1 ∣+ ∣PA∣
F1
=4 +∣P F2 ∣+ ∣PA∣
≥4 +∣AF2 ∣
= 4 +5 = 9
A P
F2 x
圆锥曲线的最值问题 例3. 已知点B在椭圆x2＋2y2＝4上，O为原点.
点A在直线 y＝2上，且OA⊥OB，
圆锥曲线的最值问题
解析几何中的最值问题
强哥高中数学工作室
2020年5月5日
圆锥曲线的最值问题
一、高考地位:
解析几何中的最值问题几乎是高考的 必考点，可以在选择题或填空题中进行考 查，在解答题中也是考查的重点。
圆锥曲线的最值问题
二、解析几何中最值问题的解法:
（1）几何法：
若题目的条件和结论能明显体现几何体特征及意义， 则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．