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数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法〔2021.4.21〕一、用数学归纳法证明与正整数有关命题步骤是：〔1〕证明当n 取第一个值0n 〔如01n =或2等〕时结论正确；〔2〕假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合〔1〕、〔2〕，……留意：数学归纳法运用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对随意自然数n 都成立．说明：这里要留意，当n =k +1时，要证目的是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．相识了这个目的，于是就可朝这个目的证下去，并进展有关变形，到达这个目的．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

数学归纳法

数学归纳法1．用数学归纳法证明1*，n>1)时，在证明过程的第二步从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加的项数是 ( )A ．2kB ．2k －1C ．1-2kD ．2k ＋1 2．则可归纳出式子（）3．用数学归纳法证明“”对于0n n ≥的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（） A. 1B. 3C. 6D. 104，且1)n >时，第一步应证明下述哪个不等式成立（）A ．12<B 5在验证1n =成立时,左边所得的项为 ( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++6．在用数学归纳法证明),1(111212*++∈≠--=++++N n a a a a a a n n 时，在验证当1=n 时，等式左边为（） A. 1 B. a +1 C. 21a a ++ D. 321a a a +++7．用数学归纳法证明=++++2321n ，则当n=k+1时左端应在n=k 的基础上增加（）A ．k 2+1B ．（k+1）2C ．D ．（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）28n=k+1与n=k 时相比，左边应添加( )9 A ．增加了1项B ．增加了2项CD10．用数学归纳法证明：从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（）A.k 2B.12-kC.12-kD.12+k当k n =时成立，则当A ．1 B ．2 C ．k D ．k 212由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（）A.B.C.D.13（,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式（）A C D列式子… … , _________________ _______________ 15．用数学归纳法证明“221n n >+对于0n n ≥的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取_____________．16．（本小题满分10，其中n 为正整数．（1）求)1(f ，)2(f ，)3(f 的值；（2）猜想满足不等式0)(<n f 的正整数n 的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．17．（本小题满分12分）归纳法证明：数列}{n a 的通项公式18．（12分）数列}{n a 满足n （1）写出432,,a a a ；（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明19．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，（Ⅰ）求5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.2021．在数列}{n a 中，（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式22．数列}{n a 中，，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n 23．在数列}{n a 中，，求数列}{n a 的通项公式 24．已知数列{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，对于一切*∈N n 均有n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项。

(完整版)高二数学归纳法经典例题

例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ．请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性．解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ，解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立．综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++ ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。

下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。

例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。

解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。

当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。

接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。

将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。

所以，当n=k+1时，等式也成立。

根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。

例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。

解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。

当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。

其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。

接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。

根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。

我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。

由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。

我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。

【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练(含答案)

【必刷题】2024高二数学上册数列与数学归纳法专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知数列{an}为等差数列，a1=3，a5=15，则公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 数列{an}的通项公式为an = 2n 1，则数列{an}的前5项和为（）A. 25B. 30C. 35D. 403. 若数列{an}满足an+1 = 2an，且a1=1，则数列{an}是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n1)=n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论1+3+5+…+(2n1)=n²5. 已知数列{an}的通项公式为an = n² + n，则数列{an+1 an}的前5项和为（）A. 20B. 25C. 30D. 356. 数列{an}为等比数列，a1=2，a3=8，则a5=（）A. 16B. 24C. 32D. 647. 已知数列{an}满足an+2 = an+1 + an，a1=1，a2=1，则a5=（）A. 3B. 4C. 5D. 68. 若数列{an}的通项公式为an = 3n 2，则数列{an}的前n项和为（）A. n(3n1)/2B. n(3n+1)/2C. n(3n2)/2D. n(3n+2)/29. 用数学归纳法证明等式2^n > n²，下列步骤中错误的是（）A. 验证n=1时等式成立B. 假设n=k时等式成立C. 证明n=k+1时等式成立D. 直接得出结论2^n > n²10. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列{an+1 / an}的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、判断题：1. 数列{an}的通项公式为an = n²，则数列{an}是等差数列。

数学归纳法

数学归纳法一、选择题(每小题5分，共20分) 1．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1 ≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k(k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2 <（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2 ＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【解析】选D.n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．2．用数学归纳法证明等式1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a ⎝⎛⎭⎫a≠1，n ∈N * ，在验证n ＝1成立时，左边需计算的项是( ) A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3【解析】选A 当n ＝1时，等式左边＝1.3．凸n 边形有f(n)条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f(n ＋1)为( )A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2【解析】选C.增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.4．设S k＝1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k，则S k＋1为()A．S k＋12k＋2B．S k＋12k＋1＋12k＋2C．S k＋12k＋1－12k＋2D．S k＋12k＋2－12k＋1【解析】选C.因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k＝1k＋1＋1 k＋2＋…＋12k，①得S k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12（k＋1）.②由②－①，得S k＋1－S k＝12k＋1＋12（k＋1）－1k＋1＝1 2k＋1－12（k＋1）.故S k＋1＝S k＋12k＋1－12（k＋1）.二、填空题(每小题5分，共10分)5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n（2n2＋1）3(n∈N*)时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应增加的式子是__________________．【解析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n＝k，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，比较两式，可知等式左边应增加的式子是(k ＋1)2＋k 2. 答案：(k ＋1)2＋k 26．设f(x)＝2xx ＋2 ，x 1＝1，x n ＝f(x n －1)(n≥2，n ∈N *).则x 2＝________；数列{x n }的通项公式为________，【解析】(1)x 2＝f(x 1)＝23 ，x 3＝f(x 2)＝2×2323＋2 ＝12 ＝24 ，x 4＝f(x 3)＝2×1212＋2 ＝25 .(2)根据计算结果，可以归纳出x n ＝2n ＋1.证明：①当n ＝1时，x 1＝21＋1 ＝1，与已知相符，归纳出的公式成立．②假设当n ＝k(k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1 ，那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2 ＝2×2k ＋12k ＋1＋2 ＝42k ＋4＝2（k ＋1）＋1 ，所以当n ＝k ＋1时，公式也成立．由①②知，当n ∈N *时，x n ＝2n ＋1.答案：23 x n ＝2n ＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．用数学归纳法证明1＋n 2 ≤1＋12 ＋13 ＋…＋12n ≤12 ＋n(n ∈N *).【证明】(1)当n ＝1时，左式＝1＋12 ，右式＝12 ＋1，所以32 ≤1＋12 ≤32 ，命题成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N *)时，命题成立，即1＋k 2 ≤1＋12 ＋13 ＋…＋12k ≤12 ＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12 ＋13 ＋…＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋…＋12k ＋2k>1＋k2 ＋2k·12k＋1＝1＋k ＋12 . 又1＋12 ＋13 ＋…＋12k ＋12k ＋1 ＋12k ＋2 ＋…＋12k ＋2k <12 ＋k ＋2k·12k ＝12 ＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N *都成立．8．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)，求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测数列{a n }，{b n }的通项公式，证明你的结论．【解析】由题意得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1 ＝b n b n ＋1，由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，n ∈N *. 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，由a 1＝2，b 1＝4可得结论成立． ②假设当n ＝k(k≥2且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k(k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1 b k ＝（k ＋1）2（k ＋2）2（k ＋1）2 ＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a n ＝n(n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切n ∈N *都成立．【拓展提升】应用数学归纳法证题时应注意(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用数学归纳法证明“凸n(n≥3，n ∈N *)边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1内角和增加了( )A ．π2B ．πC ．3π2 D ．2π【解析】选B.如图，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，凸n 边形的内角和增加的是∠1＋∠2＋∠3＝π.2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从n ＝k 到n ＝k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1【解析】选B.当n ＝k 时，等式左边为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k)，而当n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)·…·(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)·(k ＋3)·…·(k ＋k ＋2)，前边少了一项(k ＋1)，后边多了两项(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)，故增乘的代数式为（k ＋k ＋1）（k ＋k ＋2）k ＋1＝2(2k ＋1).3．当n ＝1，2，3，4，5，6时，比较2n 和n 2的大小并猜想得到的结论为( ) A ．n≥1时，2n >n 2 B ．n≥3时，2n >n 2 C ．n≥4时，2n >n 2 D ．n≥5时，2n >n 2【解析】选D.当n ＝1时，21>12，即2n >n 2；当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2；当n ＝3时，23<32，即2n <n 2；当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2；当n ＝5时，25>52，即2n >n 2；当n ＝6时，26>62，即2n >n 2；…猜想当n≥5时，2n >n 2；下面我们用数学归纳法证明猜想成立，(1)当n ＝5时，由以上可知猜想成立， (2)设n ＝k(k≥5)时，命题成立，即2k >k 2，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时，命题成立，由(1)和(2)可得n≥5时，2n >n 2；故当n ＝2或4时，2n ＝n 2；n ＝3时，2n <n 2；n ＝1及n 取大于4的正整数时，都有2n >n 2.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A．30 B．26 C．36 D．6【解析】选C.因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明：当n＝1，2时，由上得证，设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k －(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)⇒f(k＋1)能被36整除．因为f(1)不能被大于36的数整除，所以所求的最大的m的值等于36.二、填空题(每小题5分，共20分)5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝__________时，命题为真.【解析】因为n为正奇数，所以奇数2k－1之后的奇数是2k＋1.答案：2k＋16．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……按照以上式子的规律：则第5个等式为________，猜想第n⎝⎛⎭⎫n∈N*个等式________；【解析】(1)第5个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92.第n个等式为n ＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*.证明：①当n＝1时，等式左边＝1，等式右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立．②假设n＝k时，命题成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，则当n＝k＋1时，(k＋1)＋[(k＋1)＋1]＋[(k＋1)＋2]＋…＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)＋(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(3k＋1)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k＝(2k－1)2＋8k＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，即n＝k＋1时等式成立．根据①和②，可知对任意n∈N*等式都成立．答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*7．在用数学归纳法证明“34n＋2＋52n＋1(n∈N*)能被14整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________.答案：(34k＋2＋52k＋1)34＋52k＋1(52－34)8．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________.【解析】采取凑配法，凑出归纳假设k3＋5k来，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k ＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.答案：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6三、解答题(每小题10分，共20分)9．求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.【证明】(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k ＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[a k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．10．数列{}a n满足S n＝2n－a n(n∈N*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．【解析】(1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝158，由此猜想a n＝2n－12n－1；(2)当n＝1时，a1＝1，结论成立；假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)，结论成立，即a k＝2k－12k－1，当n＝k＋1(k≥1，且k∈N＋)时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2⎝⎛⎭⎫k＋1－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，即2a k＋1＝2＋a k，所以a k＋1＝2＋a k2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明当n＝k＋1时，结论成立，综上所述，a n ＝2n －12n －1 ⎝⎛⎭⎫n ∈N ＋ .。

(完整版)数学归纳法练习题

2.3数学归纳法第1课时数学归纳法1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()．A．2 B．3 C．5 D．6解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.答案 C2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N＋)，验证n＝1时，左边应取的项是()．A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.答案 D3．设f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()．A.13n＋2B.13n＋13n＋1C.13n＋1＋13n＋2D.13n＋13n＋1＋13n＋2解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋13n－1，∵f(n＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n－1＋13n＋13n＋1＋13n＋2，∴f(n＋1)－f(n)＝13n＋13n＋1＋13n＋2.答案 D4．用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)25．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π6．用数学归纳法证明：1 1×2＋13×4＋…＋1(2n－1)·2n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n.证明(1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k.则当n＝k＋1时，1 1×2＋13×4＋…＋1(2k－1)·2k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋1(2k＋1)(2k＋2)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋1－12k＋2＋1k＋1＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1(k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋1(k＋1)＋k＋1(k＋1)＋(k＋1).即当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．7．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有()．A．命题对所有正整数都成立B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D．以上说法都不正确解析由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n ＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.答案 C8．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边增加的代数式为()．A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(2k)；n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(2k)(2k＋1)，故选B.答案 B9．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1(n∈N＋)的过程中的错误：证明假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N＋等式都成立．__________________.答案缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立10．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n ＝k＋1左边需要添加的因式是________．解析当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n ＝k ＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k ＋k )(k ＋1＋k ＋1)，由k 到k ＋1需添加的因式为：(2k ＋2)．答案 2k ＋2 11．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．12．(创新拓展)已知正数数列{a n }(n ∈N *)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋1a n ，用数学归纳法证明：a n ＝n －n －1. 证明 (1)当n ＝1时．a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1(a n >0)，∴a 1＝1，又1－0＝1， ∴n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2k a k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k (a n >0)， ∴n ＝k ＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n ∈N *都有a n ＝n －n －1.。

高二数学归纳法练习题

高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。

1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。

则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。

1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。

2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。

3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。

4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。

证明g(n) = (n+1)^2。

5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。

三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。

数学归纳法典型例题

数学归纳法是一种证明方法，用于证明与自然数有关的命题。

它分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。

基础步骤：证明当自然数n等于某个特定值时，命题成立。

归纳步骤：假设当自然数n等于某个特定值时，命题成立，然后证明当n等于下一个值时，命题也成立。

下面是一个典型的数学归纳法例题：
例题：证明对于任意正整数n，都有1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) / 2。

基础步骤：当n等于1时，左边的表达式为1，右边的表达式也为1，所以当n等于1时，命题成立。

归纳步骤：假设当n等于k时，命题成立，即1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2。

我们需要证明当n等于k+1时，命题也成立。

根据归纳假设，我们有1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1) / 2。

将等式两边都加上k+1，得到1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = k(k + 1) / 2 + (k+1)。

化简得到(k+1)(k+2) / 2 = k(k + 1) / 2 + (k+1)。

继续化简得到k^2 + 3k + 2 = k^2 + k + 2k + 2。

整理得到2k = k，显然这个等式不成立。

所以我们的归纳假设是错误的，即当n等于k+1时，命题不成立。

这说明我们的数学归纳法无法证明该命题对于任意正整数n都成立。

总结：数学归纳法是一种常用的证明方法，但并不是所有与自然数有关的命题都可以通过数学归纳法来证明。

在使用数学归纳法时，需要注意基础步骤和归纳步骤的正确性，以及是否存在反例。

(完整版)数学归纳法测试题及答案

选修2-2 2. 3 数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13＜2 C ．1＋12＋13＜3 D ．1＋12＋13＋14＜3 [答案] B[解析] ∵n ∈N *，n ＞1，∴n 取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13， 2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( ) A ．1 B ．1＋a ＋a 2 C ．1＋a D ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，a n ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.3．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2[答案] D[解析] f (n ＋1)－f (n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证() A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析]假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N *，都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A ．30B ．26C ．36D ．6[答案] C[解析] 因为f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36，所以f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，推测最大的m 值为36.9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n∴a n ＋1＝n n ＋2a n (n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110. 由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B. 10．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证法( )A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、填空题11．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n ＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n ＝1时，左≥右，不等式成立，∵n ∈N *，∴第一步的验证为n ＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)，通过计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，由此可猜测S n ＝________.[答案] n n ＋1 [解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 13．对任意n ∈N *,34n ＋2＋a 2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a ＝________.[答案] 5[解析] 当n ＝1时，36＋a 3能被14整除的数为a ＝3或5，当a ＝3时且n ＝3时，310＋35不能被14整除，故a ＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n (3n ＋1)＝n (n ＋1)2.(1)当n 0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n ＝k 时，等式左边共有________________项，第(k －1)项是__________________．(2)假设n ＝k 时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n ＝k ＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k ；(k －1)[3(k －1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]2；(k ＋1)[3(k ＋1)＋1]三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)．[证明] ①n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)2. 当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝－k (2k ＋1)－(4k ＋3)＝－(2k 2＋5k ＋3)＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n ∈N *都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)． [证明] ①当n ＝2时，左＝12>0＝右， ∴不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k －1>k －22成立．那么n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋12k －1 ＋12k －1＋1＋…＋12k －1＋2k －1>k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2k －12k ＝(k ＋1)－22， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n ∈N *且n ≥2时成立．17．在平面内有n 条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n 条直线将它们所在的平面分成n 2＋n ＋22个区域．[证明] (1)n ＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2)时，k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块不同的区域，命题成立．当n ＝k ＋1时，设其中的一条直线为l ，其余k 条直线将平面分成k 2＋k ＋22块区域，直线l 与其余k 条直线相交，得到k 个不同的交点，这k 个点将l 分成k ＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k ＋1块．从而k ＋1条直线将平面分成k 2＋k ＋22＋k ＋1＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋22块区域．所以n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2010·衡水高二检测)试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n ＋2与n 2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。

数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确．综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ．当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边．故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。

高三数学复习试题：数学归纳法-word

高三数学复习试题：数学归纳法【】鉴于大家对查字典数学网十分关注，小编在此为大家整理了此文高三数学复习试题：数学归纳法，供大家参考! 本文题目：高三数学复习试题：数学归纳法数学归纳法(理)但因为测试新人教B版1.(2019威海模拟)在用数学归纳法证明2nn2对从n0开始的所有正整数都成立时，第一步验证的n0等于()A.1B.3C.5D.7[答案] C[分析] n的取值和2n，n2的取值如下表：n 1 2 3 4 5 62n 2 4 8 16 32 64n2 1 4 9 16 25 36由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4时恒有2nn2.2.(2019厦门月考、日照模拟)用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)(n+n)=2n13 (2n-1)，从n=k到n=k+1左端需增乘的代数式为()A.2k+1B.2(2k+1)C.2k+1k+1D.2k+3k+1[答案] B[分析] n=k时，左端为(k+1)(k+2)(k+k);n=k+1时，左端为[(k+1)+1][(k+1)+2][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k +1)(k+k+2)=2(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)，故左端增加了2(2k+1).3.若f(n)=1+12+13+14++16n-1(nN+)，则f(1)为()A.1B.15C.1+12+13+14+15D.非以上答案[答案] C[分析] 注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n-1的自然数，故f(1)=1+12+13+14+15.4.某个命题和自然数n有关，若n=k(kN*)时命题成立，则可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时，该命题不成立，那么可以推得()A.n=6时该命题不成立B.n=6时该命题成立C.n=4时该命题不成立D.n=4时该命题成立[答案] C[分析] ∵若n=k(kN*)时命题成立，则当n=k+1时，该命题也成立，故若n=4时命题成立，则n=5时命题也应成立，现已知n=5时，命题不成立，故n=4时，命题也不成立. [点评] 可用逆否法判断.5.观察下式：1+3=221+3+5=321+3+5+7=421+3+5+7+9=52据此你可归纳猜想出的一般结论为()A.1+3+5++(2n-1)=n2(nN*)B.1+3+5++(2n+1)=n2(nN*)C.1+3+5++(2n-1)=(n+1)2(nN*)D.1+3+5++(2n+1)=(n+1)2(nN*)[答案] D[分析] 观察可见第n行左边有n+1个奇数，右边是(n+1)2，故选D.6.一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2);如此继续下去则第n个图共挖去小正方形()A.(8n-1)个B.(8n+1)个C.17(8n-1)个D.17(8n+1)个[答案] C[分析] 第1个图挖去1个，第2个图挖去1+8个，第3个图挖去1+8+82个第n个图挖去1+8+82++8n-1=8n-17个. 7.(2019徐州模拟)用数学归纳法证明命题当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除，第二步假设n=2k-1(kN+)命题为真时，进而需证n=________时，命题亦真.[答案] n=2k+18.(2019吉林市检测、浙江金华十校联考)观察下列式子：1+12232，1+122+13253，1+122+132+14274，，则可以猜想：当n2时，有__________________.[答案] 1+122+132++1n22n-1n(n2)[分析] 观察式子左边都是自然数的平方的倒数求和，右边分母为左边的项数，分子为项数的2倍减1，故右边表达式为2n-1n.9.已知点列An(xn,0)，nN*，其中x1=0，x2=a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An-2An-1的中点，，(1)写出xn和xn-1、xn-2之间的关系式(n(2)设an=xn+1-xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明.[分析] (1)当n3时，xn=xn-1+xn-22.(2)a1=x2-x1=a，a2=x3-x2=x2+x12-x2=-12(x2-x1)=-12a，a3=x4-x3=x3+x22-x3=-12(x3-x2)=14a，由此推测an=(-12)n-1a(nN*).证法1：因为a1=a0，且an=xn+1-xn=xn+xn-12-xn=xn-1-xn2=-12(xn-xn-1)=-12an-1(n2)，所以an=(-12)n-1a.证法2：用数学归纳法证明：(1)当n=1时，a1=x2-x1=a=(-12)0a，公式成立.(2)假设当n=k时，公式成立，即ak=(-12)k-1a成立.那么当n=k+1时，ak+1=xk+2-xk+1=xk+1+xk2-xk+1=-12(xk+1-xk)=-12ak=-12(-12)k-1 a=(-12)(k+1)-1a，公式仍成立，根据(1)和(2)可知，对任意nN*，公式an=(-12)n-1a成立.10.已知正项数列{an}中，对于一切的nN*均有a2nan-an+1成立.(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1;(2)探究an和1n的大小，并证明你的结论.[分析] (1)由a2nan-an+1得an+1an-a2n.∵在数列{an}中an0，an+10，an-a2n0，0故数列{an}中的任何一项都小于1.(2)解法1：由(1)知0那么a2a1-a21=-a1-122+1412，由此猜想：an1n.下面用数学归纳法证明：当n2，nN时猜想正确.①当n=2时，显然成立;②假设当n=k(k2，kN)时，有ak12成立.那么ak+1ak-a2k=-ak-122+14 -1k-122+14=1k-1k2=k-1k2 当n=k+1时，猜想也正确.综上所述，对于一切nN*，都有an1n.解法2：由a2nan-an+1，得0∵01ak+1-1ak11-ak1.令k=1,2,3，，n-1得：1a2- 1a11，1a3-1a21，，1an-1an-11，1an1a1+n-1n，an1n.。

数学归纳法经典例题及参考答案

由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立．题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
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n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时，原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立，即 Tk＝成立那么，当 n＝k＋1 时，左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝＝＝右边．故当 n＝k＋1 时，等式成立．综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．

数学归纳法习题

数学归纳法双基训练*1.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…(2n-1)(n ∈N*)时，从“k 到k+1”左边需增乘的代数式是( )。

【2】(A)2k+1 (B)2k+1k+1 (C)2(2k+1) (D)2k+3k+1*2.用数学归纳法证明：1+12+13+…+n 12-1<n(n>1)在验证n=2成立时，左式是( )。

【2】(A)1 (B)1+1/2(C)1+1/2+1/3 (D)1+1/2+1/3+1/4*3.某个与自然数n 有关的命题，若n=k 时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。

现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得( )。

【2】 (A)当n=6时该命题不成立 (B)当n=6时该命题成立 (C)当n=4时该命题不成立 (D)当n=4时该命题成立 *4.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+12n-1-12n =1n+1+1n+2+ (12)，第一步应验试左式是，右式是。

【2】*5.若要用数学归纳法证明2n>n 2(n ∈N*)则仅当n 取值范围是时不等式才成立。

【2】**6.用数学归纳法证明：1+a+a 2+…+a n+1=n+21-a 1-a(a ≠1)(n ∈N*).【3】**7.请用数学归纳法证明：1+3+6+…+n(n+1)2=n(n+1)(n+2)6(n ∈N*).【3】 **8.用数学归纳法证明：1(n 2-1)+2(n 2-22)+…+n(n 2-n 2)=2n (n-1)(n+1)4(n ∈N*).【4】**9.用数学归纳法证明：1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2)=n4(n+1)·( n+2)·(n+3)(n ∈N*).【4】**10.用数学归纳法证明：1·3+3·5+5·7+…+(2n-1)(2n+1)=21n(4n +6n-1)(n N*)3∈.【4】**11.用数学归纳法证明：1111n++++=(n N*)2446682n(2n+2)4(n+1)⋅⋅⋅∈⨯⨯⨯。

高二数学数学归纳法试题答案及解析

高二数学数学归纳法试题答案及解析1.观察下列各不等式：…（1）由上述不等式，归纳出一个与正整数有关的一般性结论；（2）用数学归纳法证明你得到的结论．【答案】（1）且；（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【解析】（1）由上述不等式，归纳出表达式的左侧的关系与右侧分子与分母的特征写出一个正整数，有关的一般性结论；（2）利用数学归纳法证明步骤，直接证明即可.试题解析：（1）观察上述各不等式，得到与正整数n有关的一般不等式为且.（2）以下用数学归纳法证明这个不等式．①当n=2时，由题设可知，不等式显然成立.②假设当n=k时，不等式成立，即那么，当n=k+1时，有.所以当n=k+1时，不等式也成立.根据①和②，可知不等式对任何且都成立.【考点】归纳推理；数学归纳法.2.设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）；（2）【解析】（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题；（2）用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（3)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写.试题解析：解：（1） 3分（2）猜想： 4分证明：①当时，成立 5分②假设当时猜想正确，即∴由于8分∴，即成立由①②可知，对成立 10分【考点】数学归纳法及其应用.3.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第4个“金鱼”图需要火柴棒的根数为A．24B．26C．28D．30【答案】B【解析】由图形间的关系可以看出，第一个图形中有8根火柴，第二个图形中有8+6根火柴，第三个图形中有8+26根火柴，第三个图形中有8+36根火柴，即26根火柴，故选B.【考点】归纳推理.4.是否存在常数使得对一切恒成立？若存在，求出的值，并用数学归纳法证明；若不存在，说明理由.【答案】【解析】先探求出的值，即令，解得.用数学归纳法证明时，需注意格式.第一步，先证起始项成立，第二步由归纳假设证明当n="k" 等式成立时，等式也成立.最后由两步归纳出结论.其中第二步尤其关键，需利用归纳假设进行证明，否则就不是数学归纳法.解：取和2 得解得 4分即以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证 6分（2）假设当n=k，时等式成立即 8分那么，当时有10分12分就是说，当时等式成立 13分根据（1）（2）知，存在使得任意等式都成立 15分【考点】数学归纳法5.已知，不等式，，，…，可推广为，则等于 .【答案】【解析】因为，……，所以该系列不等式，可推广为，所以当推广为时，.【考点】归纳推理.6.用数学归纳法证明（），在验证当n=1时，等式左边应为A．1B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【答案】D【解析】注意到的左端，表示直到共n+3项的和，所以，当n=1时，等式左边应为1+a+a2+a3，选D。

(完整版)数学归纳法练习题

数学归纳法练习题一、选择题1. 用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a an N a a++-++++=∈≠-L ,在验证1n =成立时,左边所得的项为( ) A. 1 B. 1+a C. 21a a ++ D. 231a a a +++ 2. 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++L L *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )A.121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 112122k k -++ 3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,nnx y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写成( )A. 假设*21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确; B. 假设*21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确; D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.二、填空题4. 数列{}n a 中,111,21n n n a a a a +==+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是 5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为 6. 用数学归纳法证明“当*2351,12222n n N -∈+++++L 时是31的倍数”时,1n =时的原式是 ,从k 到1k +时需添加的项是三、解答题7. 求证:对于整数0n ≥时,2211112n n +++能被133整除. 8. 若*n N ∈,求证:23sin coscoscoscos 22222sin2n nnαααααα=L .9. 若*n N ∈,且2n ≥,求证:1111312224n n n +++>++L . 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明.11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39nf n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由.12. 正数数列{}n a 中,11()2n n nS a a =+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*n N ∈,试比较 3(1)!nn +和的大小.【答案】一、选择题1. C2. D3. B 二、填空题4. 11111,,,,23456. 11n a n =+(*n N ∈)5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-++-=-+++++L L6. 23412222++++, 55152535422222kk k k k ++++++++.三、解答题(略解)7. ① 0n =时,原式=21112133+=能被133整除;② 设n k =时,2211112k k +++ 能被133整除1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-⋅+=2212111(1112)12133k k k +++++⋅能被133整除.8. ① 1n =时,左=cos2α, 右=sin cos22sin2ααα=,左=右② 设n k =时, 23sin coscoscoscos 22222sin2k k kαααααα=L1n k =+时, 2311sin (coscoscoscos )cos cos2222222sin2k k k k kαααααααα++⋅=⋅L=111111sin sin cos22sincos2sin222k k k k k k αααααα++++++⋅=9. ① 2n =时,左=11713341224+=>② 设n k =时, 1111312224k k k +++>++L 1n k =+时, 左=1111222122k k k k +++++++L =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++L ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324.10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 1212n n n a --=① 1n =时,计算得11a =,结论成立;② 设n k =时, 1212k k k a --=, 则1n k =+时, 11111121[2(1)](2)2k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-∴11212k k ka ++-=.11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.② 设n k =正确即 ()(27)39kf k k =+⋅+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++⋅+=+⋅+-+⋅+13[(27)39]18(31)k k k -=+⋅++-能被36整除.12. ⑴ 11a =,21a =,3a = ⑵ 猜想: n a =① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即n a =则 1n k =+ 时111111[()2k k k k k a S S a a ++++=-=+--21110k k a ++⇒+-=,解得(取正值) 1k a +=13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!nn >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!nn <+① 4n = 时,显然成立;② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!kk <+ 则 1n k =+ 时1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=⋅<+⋅<+⋅+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )即 13(11)!k k +<++。

(完整版)数学归纳法经典例题及答案

数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；n 0n 01n =（2）假设当时结论正确，证明时结论也正确． 0(N ,)n k k k n *=∈≥1n k =+综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。

二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．31311=⨯=31121=+=②假设n =k 时，等式成立，即：．()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式 (n ∈N)．n n 2131211<++++ 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即．k k 2131211<++++那么当n =k +1时，11131211++++++k k 1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k 这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：1211131211+<++++++k k k ．12112+<++k k k 认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝a 22n －3.n (n ＋1)(n －1)3解：　(1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2)a 22n －3①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝＝2，左边＝右边，等式成立．2(2＋1)(2－1)3②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝成立k (k ＋1)(k －1)3那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝＋k (k ＋1)k (k ＋1)(k －1)3k (k ＋1)(k －1)3＝k (k ＋1)＝(k －13＋1)k (k ＋1)(k ＋2)3＝＝右边．(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝.n (n ＋1)(n －1)3。

【人教版】数学选修2-2《数学归纳法》课后练习(含答案)

数学归纳法课后练习主讲教师：纪荣强北京四中数学教师题一：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为f (n )＝12n (n －3)(n ≥3)．题二：求证：6)12)(1(21222++=+++n n n n ．题三：用数学归纳法证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n ＜2n (n ∈N*)．题四：设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2，3，…(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式；(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，有a n ≥n ＋2．题五：在数列}{n a 中，33,2111+==+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式．题六：数列{a n } 满足 S n ＝2n －a n (n ∈N *)．(1)计算 a 1，a 2，a 3，a 4并由此猜想通项 a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．题七：设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ＝1,2，…)． (1)证明：a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立；(2)令b n ＝a n n(n ＝1,2，…)，判断b n 与b n ＋1的大小，并说明理由．题八：数列}{n a 中，)1(2,25211-==+n n n a a a a )(*∈N n ，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n ．题九：设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0．证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N *，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1．题十：是否存在常数a 、b 、c ，使等式2222(1)1223(1)()12n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对一切正整数n 都成立？证明你的结论．数学归纳法课后练习参考答案题一：见详解．详解：证明：(1)∵三角形没有对角线，∴n ＝3时，f (3)＝0，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥3)时，命题成立，即f (k )＝12k (k －3)，则当n ＝k ＋1时，凸k 边形由原来的k 个顶点变为k ＋1个顶点，对角线条数增加k －1条．∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1＝12k (k －3)＋k －1＝12(k ＋1)． ∴当n ＝k ＋1时命题成立，由 (1)，(2)可知对任何n ∈N 且n ≥3，命题恒成立．题二：见详解．详解：(1)当n =1时，左端=1 ，右端=16)12)(11(1=++⋅，左端=右端，等式成立； (2)假设n =k 时，等式成立，即6)12)(1(21222++=+++k k k k ，则 6]1)1(2][1)1)[(1()1(6)12)(1()1(2122222+++++=++++=+++++k k k k k k k k k 所以，当n =k +1时，等式仍然成立．由(1)(2)可知，对于n ∀∈*N 等式依然成立．题三：见详解．详解：证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2．左边＜右边，所以不等式成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)＜2k ．那么当n ＝k ＋1时，1＋ 12＋13＋…＋ 1k ＋1k ＋1 ＜2k ＋1k ＋1＝ 2k k ＋1＋1k ＋1＜k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1．这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．题四：（1）a 2＝3，a 3＝4，a 4＝5，a n ＝n ＋1(n ≥1)；（2）见详解．详解：(1)由a 1＝2，得a 2＝a 12－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 32－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式：a n ＝n ＋1(n ≥1)．(2)证明：用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3，也就是说，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2．根据①和②，对于所有n ≥1，都有a n ≥n ＋2．题五： 53+=n a n ．详解：,73,632121===a a ,93,8323==a a 猜想53+=n a n ．下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，215131=+=a ，猜想成立．（2）假设当n =k 时猜想成立，则13333533(1)535k k k a k a a k k +⋅+===+++++．当n =k +1时猜想也成立．综合（1）（2），对n ∈*N 猜想都成立．题六： (1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)；（2）见详解．详解：(1)a 1＝1，a 2＝32， a 3＝74，a 4＝158，由此猜想 a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)证明：当n ＝1时，a 1＝1, 结论成立．假设 n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么 n ＝k ＋1(k ∈N *)时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1．∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k，这表明 n ＝k ＋1 时，结论成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N * 都成立．∴a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．题七：（1）见详解；（2）b n ＋1＜b n ．详解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2＞2×1＋1，不等式成立．假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＞2k ＋1成立．那么当n ＝k ＋1时，a k ＋12＝a k 2＋1a k 2＋2＞2k ＋3＋1a k 2＞2(k ＋1)＋1． ∴当n ＝k ＋1时，a k ＋1＞2(k ＋1)＋1成立．综上， a n ＞2n ＋1对一切正整数n 都成立．(2)∵b n ＋1b n ＝a n ＋1n ＋1a n n＝()1＋1a n 2· n n ＋1＜⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋1· n n ＋1＝2(n ＋1)n (2n ＋1)n ＋1 ＝2n (n ＋1)2n ＋1＝()n ＋122－14n ＋12＜1．故b n ＋1＜b n ．题八：见详解．详解：(1) 当n = 1时，2251>=a ，不等式成立． (2)假设当n = k 时等式成立，即)(2*∈>N k a k ，则2)1(2221--=-+k k k a a a 0)1(2)2(2>--=k k a a ，21>∴+k a ． ∴当n = k +1时，不等式也成立．综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立．题九：见详解．详解：证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ．若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫()1a 1－1a 2＋()1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d · a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝ n a 1a n ＋1．再证充分性．(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N *都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3① 两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d ．假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，② 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，③ 将②代入③，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k ．将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd ．由数学归纳法原理知，对一切n ∈N *，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ．所以{a n }是公差为d 的等差数列．题十：存在a =3，b =11，c =10．详解：把n =1, 2 , 3代入得方程组2442449370a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得31110a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，猜想：等式2222(1)1223(1)(31110)12n n n n n n +⋅+⋅+++=++对一切n N *∈都成立，下面用数学归纳法证明： (1) 当n =1时，由上面的探求可知等式成立． (2) 假设n =k 时等式成立，即2222(1)1223(1)(31110)12k k k k k k +⋅+⋅+++=++则222222(1)1223(1)(1)(2)(31110)(1)(2)12k k k k k k k k k k +⋅+⋅++++++=+++++2(1)(35)(2)(1)(2)12k k k k k k +=+++++(1)(2)[(35)12(2)]12k k k k k ++=+++2(1)(2)[3(1)11(1)10]12k k k k ++=++++．所以当n = k +1时，等式也成立．综合（1）（2），对n N *∈等式都成立．。

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2.3 数学归纳法
第 1 课时数学归纳法
1．用数学法明“ 2n
>n 2
＋1 于 n ≥n 0 的自然数 n 都成立” ，第一步
明中的起始 n 0 取
(
)．
A ．2
B ． 3
C ． 5
D ．6
解析当 n 取 1、2、3、4 2
n
2＋
1 不成立，当＝，
5＝
2
＋＝
>n
n 5 2
32>5 1
26，第一个能使 2n
>n 2
＋1 的 n5，故 C.
答案 C
n ＋ 3 n ＋4
2．用数学法明等式
1＋ 2＋ 3＋⋯＋ (n ＋ 3)＝
(n ∈ N ＋ )， n
2
＝ 1 ，左取的是
(
)．
A ．1
B ． 1＋ 2
C ．1＋2＋3
D ． 1＋ 2＋ 3＋ 4
解析等式左的数是从 1 加到 n ＋3.
当 n ＝1 ， n ＋3＝4，故此左的数从 1 加到 4. 答案 D
1 1
1 (n ∈N ＋ )，那么 f(n ＋1)－ f(n)等于
3． f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋
－
3n
1
(
)．
1
1
1
A.
3n ＋2
B.3n ＋ 3n ＋1
C. 1 ＋ 1
1 1 ＋ 1 ＋＋ 2
D.3n ＋＋＋
2 3n 1 3n
3n
1 3n
1
1 1 解析
∵f(n)＝1＋2＋3＋⋯＋
，
3n －1
1 1
1 1
1
1
∵f(n ＋ 1)＝1＋2＋3＋⋯＋
＋3n ＋
＋
，
3n －1
3n ＋ 1 3n ＋2
∴f(n ＋ 1)－f(n)＝ 1 1 1
＋＋.
3n 3n ＋ 1 3n ＋2
答案
D
4．用数学法明关于 n 的恒等式，当
n ＝k ，表达式
1×4＋2×7＋⋯
＋ k(3k ＋1)＝ k(k ＋ 1)2，当 n ＝k ＋1 ，表达式 ________．
答案 1×4＋2×7＋⋯＋ k(3k ＋1)＋ (k ＋1)(3k ＋4)＝ (k ＋1)(k ＋2)2 5．凸 k 形的内角和
f(k)，凸 k ＋ 1 形的内角和 f(k ＋ 1)＝f(k)＋________.
解析
由凸 k 形凸 k ＋1 形，增加了一个三角形形，故
f(k ＋ 1)
＝ f(k)＋ π.
答案 π 6．用数学法明：
1 ＋ 1
＋⋯＋
1
＝
1
＋
1
＋⋯＋
1
1×2 3×4
2n －1 ·2n n ＋1
n ＋2
n ＋n
.
明
(1)当 n ＝1 ，左＝
1
＝
1
，右＝
1
，等式成立．
1×2
2
2 (2)假当 n ＝k(k ∈N * ) ，等式成立，即
1
1
1 1
1
1
× ＋ ×
＋⋯＋
－
＝
＋ k ＋＋⋯＋ 2k .
1 2 3 4 2k 1
·2k k ＋ 1 2
当 n ＝k ＋1 ，
1 ＋ 1
＋⋯＋
1 ＋
1 1×
2 3×4
2k － 1 ·2k 2k ＋1 2k ＋2
＝
1
＋
1
＋⋯＋ 1 ＋ 1
k ＋1 k ＋2 2k
2k ＋ 1 2k ＋ 2 ＝ 1 ＋ 1 1 ＋ 1 1 1
＋⋯＋ 2k ＋ 1－ 2k ＋2 ＋
k ＋2 k ＋3 1 k
＝
1
＋
1
＋⋯＋ 1 ＋ 1 ＋ 1
k ＋2 k ＋3
2k
2k ＋
1
＋ 2
2k 1 1
1
1
.即当 n ＝k ＋1
＝
k ＋1 ＋1
＋
k ＋ 1 ＋2
＋⋯＋
k ＋1 ＋k
＋
k ＋ 1 ＋ k ＋1 ，
等式成立．
根据 (1)(2)可知，一切 n ∈N * ，等式成立．
7．若命 A(n)(n ∈N * )在 n ＝k(k ∈N * ) 命成立，有 n ＝k ＋ 1 命成立．
知命 n＝ n0(n0∈ N* )命成立，有
()．A．命所有正整数都成立
B．命小于 n0的正整数不成立，大于或等于n0的正整数都成立
C．命小于 n0的正整数成立与否不能确定，大于或等于n0的正整数都成立
D．以上法都不正确
解析由已知得 n＝n0 0∈*
) 命成立，有
n
＝0＋
1
命成立；在
n
(n N n
＝ n0＋1 命成立的前提下，又可推得n＝ (n0＋1)＋1 命也成立，依此
推，可知 C.
答案 C
8．用数学法明 (n＋1)(n＋ 2)(n＋3)⋯(n＋n)＝2n·1·3·⋯·(2n－1)(n∈N* )，从n＝k 到 n ＝ k＋ 1，左增加的代数式
( )．A．2k＋1 B．2(2k＋ 1)
2k＋1 2k＋ 3
C. k＋ 1
D. k＋1
解析n＝ k ，左＝ (k＋ 1)(k＋ 2)⋯(2k)； n＝k＋1 ，左＝ (k＋2)(k＋
3)⋯ (2k＋ 2)＝2(k＋1)(k＋2)⋯(2k)(2k＋1)，故 B.
答案 B
9．分析下述明 2＋4＋⋯＋ 2n＝ n2＋n＋1(n∈N＋ )的程中的：
明假当 n＝k(k∈N＋ )等式成立，即2＋ 4＋⋯＋ 2k＝k2＋k＋1，那么 2 ＋4＋⋯＋ 2k＋ 2(k＋ 1)＝k2＋ k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)＋1，即当 n＝k ＋1 等式也成立．因此于任何 n∈N＋等式都成立． __________________.
答案缺少步奠基，上当n＝ 1 等式不成立
10．用数学法明 (1＋ 1)(2＋2)(3＋ 3)⋯(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)，从 n＝k 到 n ＝ k＋1 左需要添加的因式是________．
解析当 n＝ k ，左端： (1＋1)(2＋2)⋯(k＋k)，
当 n＝k＋ 1 ，
左端： (1＋1)(2＋2) ⋯(k＋k)(k＋ 1＋k＋1)，由 k 到 k＋1 需添加的因式： (2k＋2)．
答案2k＋ 2
11．用数学法明
2＋22＋⋯＋n2＝n n＋1
2n＋1 ∈*
)
．
1
6 (n N 明(1)当 n＝1 ，左＝ 12＝1，
右＝1× 1＋ 1 × 2×1＋1
6 ＝ 1，
等式成立．
(2)假当 n＝k(k∈N* )等式成立，即12＋22＋⋯＋k2＝
k k＋12k＋1
6
那么，
12＋ 22＋⋯＋ k2＋(k＋1)2
＝k k＋1 2k＋1
＋(k＋1)2
6
k k＋ 1 2k＋ 1 ＋6 k＋1 2
＝
6
k＋1 2k2＋7k＋6
＝
6
＝k＋1 k＋2 2k＋3
6
＝k＋1 [ k＋ 1 ＋1][2 k＋ 1 ＋1]，
6
即当 n＝k＋1 等式也成立．
根据 (1)和 (2)，可知等式任何n∈N*都成立．
12．(新拓展 )已知正数数列
n * n nn
1
n，用{a }( n∈ N )中，前 n 和 S ，且 2S ＝ a ＋a
数学法明： a n＝－－
n n 1. 明 (1)当 n＝1 ．
1 1
a1＝ S1＝2 a1＋a1，
2
∴ a1＝1(a n>0)，
∴ a1＝1，又1－0＝1，
∴ n＝ 1 时，结论成立．
(2)假设 n＝ k(k∈ N* )时，结论成立，即a k＝ k－ k－1.
当 n＝k＋ 1 时，
a k＋1＝ S k＋1－S k
＝1
a k＋1＋ 1 －
1
a k＋1
a a
2 2
k＋ 1 k
＝1 k＋1 1 1 k－ k－1＋ 1
2
a ＋
a k＋1
－
2 k－ k－1 1 1
＝2 a k＋1＋a k＋1－ k
2
∴ a k＋1＋2 ka k＋1－ 1＝ 0，解得 a k＋1＝ k＋1－k(a n>0)，∴ n＝ k＋1 时，结论成立．
由 (1)(2)可知，对 n∈N*都有 a n＝n－n－1.。