解析几何-三角形面积相关最值问题
28.三角形中的最值(或范围)问题
三角形中的最值（或范围）问题解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。
其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。
类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决例1.在△ABC 中 ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 解：已知2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，根据正弦定理，得22(2)(2)a b c b c b c =+++，即222a b c bc =++又2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =-，在△ABC 中可求得120A =故sin sin sin sin(60)B C B B +=+-=1sin sin(60)22B B B +=+ 故当30B =时，sin sin BC +的最大值为1变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值.解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC所以cosC=21，从而C=60故sin sin sin sin(120)OA B A A +=+-+A)所以当A=30时，sin sin A B +变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。
解析几何法巧解三角形的范围问题
b
n+1+c
n+1=
b
n+c 2
n
+a1，
所以b n+1+c n+1-2a1=
1（b 2
n+c
n-2a1）=…=
21n（b 1+c 1-2a1）=0援
所以bn+cn=2a1援 淤
因为bn+1-cn+1=- 12（bn-cn），所以{bn-cn}是以b1-c1为首
蓸 蔀 项，-
1 2
为公比的等比数列，bn-cn=（b1-c1） -
2
2
姨3 援 解法2院如图1，以A B的中点为
原点O，直线A B为x轴建立平面直 角 坐 标 系 ，则 A（-1，0），B（1，0）.
y C
A
B
-2 -1 O 1 x
设C（x，y）（y屹0），据题意，a=姨 3 b，
求 得 点 C 的 轨 迹 方 程 为（x +2）2+
图1
y2=3，S=
1 2
|A B||y|=|y|，易知x=-2时S取到最大值 姨
a1|yn|，故{Sn}为递增数列援
例4 （2016年咸阳市二模·理
16）如图5，在 吟A BC中，O是外 接 圆
的圆心，若OB·OC=- 1 ，A = 仔 ，则
2
3
B
吟A BC周长的最大值为_____援
解法1院设吟A BC外接圆的半径
A 仔 O3
a= 姨 3 C 图5
为R.由OB·OC=R2cos
b1>c
1，b 1+c 1=2a1，an+1=an，b n+1=
an+c n 2
怎样解答三角形中的最值问题
思路探寻解三角形中的最值问题一般与三角形的边、角、面积有关.要想顺利解答此类问题，同学们需首先根据题意，灵活运用正余弦定理、三角恒等变换的技巧求出并化简目标式，然后通过边角互化、构造几何图形、坐标运算等来求得最值.一、通过边角互化求最值通过边角互化，可将解三角形中的最值问题转化为三角函数最值问题，灵活运用三角恒等变换的技巧和三角函数的性质便可求得最值.例1.已知三角形ABC 的面积为S ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若10c 2+5a 2=4b 2，则20S15a 2+6b 2的最大值是.解：根据题意将10c 2+5a 2=4b 2进行变形可得15a 2+6b 2=10a 2+10b 2-10c 2，由余弦定理得10a 2+10b 2-10c 2=10(a 2+b 2-c 2)=20ab cos C ，所以20S 15a 2+6b 2=10ab sin C 20ab cos C =12tan C，而cos C =a 2+b 2-c 22ab =32a 2+35b 22ab ，所以cos C ≥310，当且仅当5a 2=2b 2时，“=”成立，所以tan C ≤13，故20S 15a 2+6b 2=12tan C ≤16，即20S 15a 2+6b2的最大值是16.在解答本题时，我们需将已知关系式与目标式关联起来，根据余弦定理将边化为角.在得到角C 的表达式后，根据基本不等式求得cos C 的最值，进而求得目标式的最值.二、通过构造几何图形求最值.在解答解三角形最值问题时，我们可以根据题意，构造出合适的几何图形，通过解直角三角形来求得问题的答案.很多解三角形问题都可通过作高构造直角三角形来求解，这样能使问题得以简化.例2.在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ,则1tan A +1tan B +1tan C 的最小值为.解析：我们可以根据题意画出三角形，作出高线，将斜三角形化为直角三角形，根据三角函数的定义把对应的正弦、正切值表示出来，利用两角和的正切公式和基本不等式求得最值.解：由正弦定理得2a 2+b 2=2c 2.如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD =x ,CD =y ,BD =h .因为2a 2+b 2=2c 2，所以2()y 2+h 2+()x +y 2=2()x 2+h 2，化简得x =3y .又1-tan A tan C tan A -tan C =-1tan B ，则1tan A +1tan B +1tan C=1tan A +1tan C +tan A tan C -1tan A +tan C=x h+y h +h 2xy -1h x +h y=13y 4h +h 4y ≥当且仅当13y 2=h 2时等号成立.三、通过坐标运算求最值.通过坐标运算求解三角形中最值问题的关键是根据题意建立合适的直角坐标系.一般需结合三角形的特点，如等边、等腰三角形的对称性、直角三角形的两条直角边垂直等来建立坐标系.通过坐标运算，可将问题转化为解析几何问题.例3.在ΔABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a 2+b 2+2c 2=8，则ΔABC 的面积的最大值为.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设A æèöø-c 2,0,B æèöøc2,0,C ()x ,y ,由a 2+b 2+2c 2=8，得æèöøx -c 22+y 2+æèöøx +c 22+y 2+2c 2=8，即x 22=4-54c 2，所以点C 在以原点()0,0为圆心为半径的圆上，所以S ≤=ùûúæèöø4-54c 2+54c 2≤.我们通过坐标运算求得A 点的轨迹，然后根据圆的性质和基本不等式即可求得ΔABC 的面积的最大值.我们可以通过边角互化、构造几何图形、坐标运算来将问题转化为三角函数、平面几何、解析几何问题，借助三角函数的性质、平面几何和解析几何知识来求得最值.（作者单位：福建师范大学第二附属中学）D x y54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数的积分与面积解析几何的面积计算
三角函数的积分与面积解析几何的面积计算在数学领域中，三角函数的积分和面积解析几何的面积计算是重要的概念和计算方法。
本文将分别探讨三角函数的积分和解析几何的面积计算，并介绍它们的应用。
一、三角函数的积分三角函数的积分是计算三角函数的积分值的过程。
在微积分中，三角函数积分的结果常用于求解曲线的长度、旋转体的体积以及弧长等问题。
一种常见的三角函数是正弦函数sin(x)，它代表了一个周期性的曲线。
当我们需要计算sin(x)在一定区间上的积分时，可以使用积分定义式或直接使用积分表进行计算。
三角函数的积分公式如下所示：1. ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C其中C是积分常数。
类似地，对于余弦函数cos(x)，其积分公式如下所示：2. ∫ cos(x) dx = sin(x) + C这些积分公式可以帮助我们求解三角函数的积分值，并在实际问题中得到应用。
二、面积解析几何的面积计算在解析几何中，面积计算是通过确定平面上的点和形状的位置关系来计算其面积的过程。
解析几何的面积计算方法广泛应用于计算平面图形的面积，如矩形、三角形、圆形等。
1. 矩形的面积计算矩形是最简单的图形之一，其面积可以通过长宽相乘来计算。
设矩形的长为a，宽为b，则矩形的面积S为：S = a * b2. 三角形的面积计算三角形的面积计算涉及到三角形的底和高。
设三角形的底为b，高为h，则三角形的面积S为：S = 0.5 * b * h3. 圆形的面积计算圆形是一个圆心在平面上的所有点到圆心的距离都相等的图形。
设圆形的半径为r，则圆形的面积S可以通过如下公式计算：S = π * r^2其中π是一个常数，约等于3.14159。
这些面积计算公式可以帮助我们快速准确地计算各种平面图形的面积，是解析几何中重要的计算方法。
结论本文分别论述了三角函数的积分和解析几何的面积计算。
在求解三角函数的积分时，我们可以使用积分公式来计算，得到函数在特定区间的积分值。
一题多解求三角形面积的最大值
得 ：ｙ２＝１２－２ｘ２，所 以 Ｓ△ＡＢＣ ＝ ２１ＢＣ·ＡＥ＝
槡 槡 ｘ ·
２
ｙ２
－ｘ４２
＝
１ ２
ｘ２（１２－２ｘ２）－ｘ４２ ，
槡 化
简 得 ：Ｓ△ＡＢＣ
＝
１ ２
－
９ ４
（ｘ２－
８ ３
）２＋１６，当
ｘ２
＝
８ ３
时
三
角形面积最大为２，此时 ＡＢ＝２ ３槡１５，ＢＣ＝２３槡６。
角Ａ 表示，从而求出其最大值。
解法 二：设 ＡＤ ＝ＤＣ＝ｍ，则 ＡＢ＝２ ｍ，由 余 弦 定 可 得 理：
ｃｏｓ Ａ＝５ ｍ４ ｍ２ －２ ３，则
ｍ２
＝５－４３ｃｏｓ Ａ，Ｓ△ＡＢＣ
＝
１ ２
ＡＢ
·ＡＣｓｉｎＡ
＝
２ ｍ２ｓｉｎＡ＝５－６ｓ４ｉｃｎｏＡｓ Ａ，设 ｆ（Ａ）＝５－６ｓ４ｉｃｎｏＡｓ Ａ，Ａ∈ （０，π）；可 利 用 导
的长度，可以建立适当的直角坐标系，设出各点坐标，并 将 三 角 形
面积和腰上的中点用坐标表示，并根据中线长度写出坐 标 之 间 的
解后反思：三角问题 和 向 量 问 题 之 间 可 以 互 相 转 化，很 多 三 角问题可以从向量的角度去思考，很多时候利用向量问 题 有 助 于 优化计算过 程。 解 法 五 与 解 法 一、二 比 较 起 计 算 过 程 明 显 得 到 优化。
策 略 三 ：坐 标 法 分析 四：根 据 题 意 △ＡＢＣ 面 积 是 △ＡＢＤ 面 积 的 两 倍，而
出不同的解题方法，教师应引导学生善于观察，善于思考，拓宽思 路，培 养 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力 。 在 高 三 复 习 中，笔 者 曾 遇
重难专攻(四) 三角函数与解三角形中的最值(范围)问题
3π
π
＝ .因为f
2
2
＝cos
π
π
＋
2
2
3π
1＝－ ，又f（0）＝cos
2
π
x.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去），x＝ 或x
2
+ 1 sin
π
π
3π
＋1＝2＋ ，f
2
2
2
+ 1 sin
3π
＋
2
0＋（0＋1）sin 0＋1＝2，f（2π）＝cos 2π＋（2π＋
增.∴当cos
1
x＝ 时，f（x）有最小值.又f（x）＝2sin
2
x），∴当sin x＝－
3 3
－ .
2
3 3
答案：－
2
x＋sin 2x＝2sin x（1＋cos
3
时，f（x）有最小值，即f（x）min＝2×
2
−
3
2
× 1+
1
2
＝
利用三角函数性质求某些量的最值（范围）
【例3】 （1）已知函数f（x）＝asin x－2 3cos
重难专攻（四）
三角函数与解
三角形中的最值（）问题是高考的热点，主要涉及：
（1）三角函数式的最值（范围）问题；（2）利用三角函数性质求某些量的最
值（范围）；（3）三角形中的最值（范围）（周长、面积等），其求解方法多
样，一般常用方法有：（1）利用三角函数的单调性（正、余弦函数的有界性）
x＝
，而－1≤sin
+1
2−5
x≤1，所以－1≤
≤1，
+1
【高考数学经典题型】抛物线与圆,求三角形面积最值(一题多解)
1/ 5试题出处：2020届湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联考（改编）抛物线与圆，求三角形面积最值若点P 是抛物线22x y =上的动点,点,M N 在x 轴上，圆22(1)1x y +−=内切于,PMN ∆求PMN ∆面积的最小值. 答案：8解法一：动点设一个参数，利用勾股定理列等式如图,不妨设点2(2,2)P t t (1)t >,圆心为C ,两切点为,D E .分别过点P 作PH x ⊥,作PG x 轴,过点M 作x 轴垂线与PG 交于点G ，且,OM m ON n ==. 在Rt PCE ∆中，由勾股定理得，22222244(21)14PE PC CE t t t =−=+−−=，即22PE t =.在Rt PNH ∆中，由勾股定理得222,PN PH NH =+ 即()224224(2)t n t t n +=+−，可得1t n t =+. 在Rt PMG ∆中，由勾股定理得222,PM PG GM =+ 即()224224(2)t m t t m +=++，可得1t m t =−. 42224122()21121PMNt S m n t t t t ∆∴=⋅+⋅==−− 又2242111111()244t t t −=−−+≥ ∴当22t =时，PMN S ∆有最小值8.2 / 5解法二：动点设两个参数，利用直线与圆相切列等式 设00(,),(,0),(,0)P x y M a N b ，其中02y >且a b <.∴直线PN 的方程为：00()y y x b x b=−−， 直线PN 与圆相切，∴圆心(0,1)到直线PN 的距离为1， ∴1=∴()2000220y b x b y −+−= 同理可得，()2000220y a x a y −+−=.∴实数,a b 是关于x 的一元二次方程()2000220y x x x y −+−=的两根， ∴0000222x a b y y a b y −⎧+=⎪−⎪⎨−⎪⋅=⎪−⎩, ∴()()()22220002044842x y y a b a b ab y +−−=+−=−,2002x y =∴()()2202042y a b y −=−，0022y a b y −=− 20000014()248222PMNy S b a y y y y ∆∴=⋅−⋅==−++≥−− ∴当04y =时，PMN S ∆有最小值8.解法三：动点设两个参数，利用内切圆性质列等式 设点00(,),(,0),(,0)P x y M a N b −圆心为(0,1)C ,两切点为,D E . 在Rt PCD ∆中，PD =2002x y =，∴0PD y = PM PD DM PD MO =+=+3 / 5∴0y a =+，化简得20000002()x y MO a y x y x ===−−同理，可得20000002()x y NO b y x y x ===++0000000011()()22PMN y y S MO NO y y y x y x ∆∴=⋅+⋅=+⋅−+ 32000220000424822PMNy y S y y x y y ∆∴===−++≥−−− ∴当04y =时，PMN S ∆有最小值8.解法四：动点设一个参数、再设直线斜率，利用直线与圆相切列等式 设21(,)(2)2P m m m >，直线,PM PN 的斜率一定存在，分别设其为12,k k ，则直线PM 的方程为：211()2y m k x m −=−，1=，化简得：22342111(1)(2)04m k m m k m m −+−+−=……..① 同理可得：22342221(1)(2)04m k m m k m m −+−+−=……..②∴实数12,k k 是关于x 的一元二次方程223421(1)(2)04m x m m x m m −+−+−=的两根， ∴31224212221141m m k k m m m k k m ⎧−+=⎪−⎪⎨−⎪⋅=⎪−⎩， 分别令方程①，②中的0y =，得21,2M m x m k =−22,2N m x m k =−222112121122M N k k m m MN x x k k k k −=−=⋅−=2412121228PMNk k m m S MN k k ∆−∴=⋅⋅=⋅48m =4/ 5化简得4222116(48)82824PMNm S m m m ∆==−++≥−− ∴当28m =时，PMN S ∆有最小值8.解法五：动点设两个参数，利用内切圆性质列等式如图，设00(,),P x y 切点分别为,D E 且PMN ∆的内切圆半径1r = 则011()22PMN S MN y PM PN MN r ∆=⋅=++⋅1()2PM PN MN =++ 1()2PMN S OM PE ON PE MN MN PE ∆∴=++++=+MN MN ==0MN y MN =+≥012y MN ∴⋅≥ 016y MN ∴⋅≥0182PMN S y MN ∆∴=⋅≥ ∴PMN S ∆有最小值8.评论与赏析：圆锥曲线中求三角形面积的最值一直是考试的热点、难点问题.解法1跳出了解析几何的大量计算，两次用勾股定理将线段长用动点中的参数表示出.解法2利用直线与圆相切的性质及韦达定理找到线段整体与动点中的参数的关系.解法3利用三角形内切圆的性质和坐标运算将线段长用动点中的参数表示出来.解法4设切线斜率利用韦达定理找到线段与动点中的参数的关系.解法5巧妙利用三角形内切圆性质、这一题的数量特点及基本不等式直接得出面积的最值.5 / 5推广：过抛物线22(0)x py p =>上一点000(,)(2)P x y y p ≥作圆222:()C x y p p +−=的两条切线，分别与x 轴交于,M N 两点，则PMN ∆的最小值为28p .相似题：在平面直角坐标系xoy 中，过点2(2,21)P t t +作圆22:(1)(1)1E x y −+−=的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N .当(1,)t ∈+∞时，设切线,PM PN 与y 轴分别交于点,,B C 求PBC ∆面积的最小值. 答案：8。
高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
解析几何三角形面积最值问题-解析版
解析几何三角形面积最值问题未命名一、解答题1．（2019·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三开学考试（文））已知(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF,O 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ,Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求直线l 的方程.【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =-或22y x =--【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得a,b,c.(2) 设:2l y kx =-，与椭圆组方程组，由弦长公式，点到距离公式，求得三角形面积． 试题解析：(1)设(),0F c，由条件知，2c c =⇒=又22c a b a =⇒==， 故椭圆E 的方程为22182x y +=；(2)当l x ⊥轴时，不合题意，故可设:2l y kx =-，()22222,1416801,82y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩， ()221164104k k ∆=->⇒>， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，121222168,1414k x x x x k k +==++，241PQ k ==+又点O 到直线l 的距离d =∴△OPQ 的面积12OPQS PQ d ∆==，t =，则0t >， ∴2OPQ S t t∆==≤+，当且仅当2t t t =⇒=k =时等号成立，满足0∆>，∴当k =±时，△OPQ 的面积取得最大值2，此时直线l 的方程为2y x =-或2y x =-. 【点睛】弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y ，所以12AB x =-或12AB y =-2．（2020·江苏高二单元测试）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）由离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为222,ce a b c a==+,列方程组求得,a b 的值，即可求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）点()4,M t ，直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t xt x t +++-=，利用韦达定理解出P 点坐标，同理可求得Q 点的坐标，利用三角形面积公式将四边形面积表示为t 的函数，利用换元法结合函数单调性求解即可. 【详解】（Ⅰ）由题设知，2,2a c ab ==又222a b c =+，解得2,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）由于对称性，可令点()4,M t ，其中0t >.将直线AM 的方程()26t y x =+代入椭圆方程22143x y +=，得()222227441080t xt x t +++-=，由22410827A P t x x t -⋅=+，2A x =-得2225427Pt x t -=+，则21827P t y t =+. 再将直线BM 的方程()22t y x =-代入椭圆方程22143x y +=，得()2222344120t xt x t +---=，由224123B Q t x x t -⋅=+，2B x =得22263Q t x t-=+，则263Q t y t -=+. 故四边形APBQ 的面积为122P Q P Q S AB y y y y =⋅-=-= 221862273t t t t ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t t t tt t t t ++===+++++++.由于296t tλ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥，从而，有48612S λλ=≤+. 当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6.注:本题也可先证明”动直线PQ 恒过椭圆的右焦点()0,1F ”,再将直线PQ 的方程1x ty =+ (这里t R ∈)代入椭圆方程22143x y +=,整理得()2234690t y ty ++-=,然后给出面积表达式2P Q S y y =-==令211m t =+≥,则S =当且仅当6λ=即3t =时, max 6S =. 3．（2020·宁夏银川一中高二期中（理））已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点⎭.（1）求椭圆M 的标准方程；（2）直线l ：x ky n =+与椭圆M 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625. 【分析】（1）首先根据题意得到2b a =，再根据椭圆经过点⎭，即可得到答案.（2）首先设直线l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到()2224240ky kny n +++-=，根据0CA CB ⋅=得到所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，再计算ABC 面积的最大值即可. 【详解】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -， 则12B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=， 解得2a =，1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky n =+，联立2214x y x ky n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kny n +++-=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224kn y y k -+=+，212244n y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=， 将11x ky n =+，22x ky n =+代入上式，并整理得()()()()2212121220k y y k n y y n ++-++-=，则()()()()22222214222044kn k n n n k k +---++-=++， 化简得()()5620n n --=，解得65n =或2n =，因为直线x ky n =+不过点()2,0C ， 所以2n ≠，故65n =.所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121||||2ABC S DC y y =⋅-△16225⎛=⨯-= ⎝=， 设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABCS=10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增， 当14t=时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，属于难题.本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出12y y +，12y y ⋅，然后利用0CA CB ⋅=得到直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭为解题的关键，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力． 4．（2021·安庆市第十中学高二期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12F F 、分别是椭圆C 的左､右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A B 、，求1F AB 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【分析】（1）由题意,列出方程组，求得2,a b ==，即可得到椭圆的标准方程； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，根据根与系数的关系，求得1212,y y y y +，结合三角形的面积公式，得到1121212F ABSF F y y =⋅-=，利用换元法，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由题意, 椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为12e =．可得222212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2,a b ==，故椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++， 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆>，即()22(6)36340,m m m R ++>∈，则112121221234F ABSF F y y y y m =⋅-=-==+，令t =，则1t ≥，则12124113132F ABt St t t ===++．令13()f t t t=+，由函数的性质可知，函数()ft 在⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数， 即当1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此有4()(1)3f t f ≥=，所以13F AB S ≤△，即当1,0t m ==时，1F ABS最大，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB 面积的最大值为3． 【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.5．（2021·全国高二课时练习）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b+= (a >b >0)的离心F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）22y x =±-【解析】试题分析：设出F ，由直线AF c ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求.试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF ，()0,2A -所以2c =c =又222c b a c a ==-解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l 的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t=2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l 的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.6．（2020·黑龙江建三江分局第一中学高二期中（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>倍，且经过点).（1）求C 的标准方程；（2）C 的右顶点为A ，过C 右焦点的直线l 与C 交于不同的两点M ，N ，求AMN ∆面积的最大值.【答案】（1）22142x y +=；（2）2- 【分析】（1）利用已知条件，结合椭圆方程求出,a b ，即可得到椭圆方程．（2）设出直线方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理，弦长公式，列出三角形的面积，再利用基本不等式转化求解即可． 【详解】（1）解：由题意22,211,a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得2a =，b = 所以椭圆的标准方程为22142x y +=．（2）点(2,0)A，右焦点)F，由题意知直线l 的斜率不为0，故设l的方程为x my =+()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程得22142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，整理得22(2)20m y ++-=，∴216(1)0m ∆=+>，12y y +=，12222y y m =-+，()()()21212122222222)224281m y y y y y y m m m ⎛⎫∴--=+ ⎪ ⎪+=+=++⎝+⎭16（1222y y m ∴-=+(12122AMNS y y ∆∴=⨯⨯-(22=(()122221=-，当且仅当0m =时等号成立，此时l ：x = 所以AMN 面积的最大值为2- 【点睛】本题考查椭圆的性质和方程的求法，考查联立直线方程和椭圆方程消去未知数，运用韦达定理化简整理和运算能力，属于中档题．7．（2021·浙江高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）C ，D 为M 上的两点，若四边形ABCD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(Ι) 22163x y +=（Ⅱ）12AB CD ⋅=【分析】(1)把右焦点()c,0代入直线方程可求出c ，设()11,,A x y ()22,B x y ，线段AB 的中点()00,P x y ，利用“点差法”即可得出a,b 的关系式，再与222a b c =+联立即可求出a,b ，进而可得椭圆方程；(2)由CDAB ⊥，可设直线CD 方程为y x m =+,与椭圆方程联立可得根与系数关系，即可得到弦长CD ，把直线0x y AB +=与椭圆的方程联立得到根与系数关系，即可得到弦长，利用ABCD 1S 2AB CD =⋅四边形即可得到关于m 的表达式，利用二次函数的单调性即可求出其最大值. 【详解】(Ι)设()11,,A x y ()22,,B x y 则()22112211x y a b +=，()22222212x y a b+=，（1）－（2）得：()()()()12121212220x x x x y y y y ab-+-++=，因为12121y y x x -=--，设()00,P x y ，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以0012y x =，即()121212y y x x +=+，所以可以解得222a b =，即()2222a a c=-，即222ac =，又因为c =，所以26a =，所以M 的方程为22163x y +=.（Ⅱ）因为CD AB ⊥，直线AB 方程为0x y +=，所以设直线CD 方程为y x m =+，将0x y +=代入22163x y +=得：230x -=，即(A 、B ⎝⎭，所以可得AB =；将y x m =+代入22163x y +=得：2234260x mx m ++-=，设()33,,C x y ()44,,D x y 则CD =()221612260m m ∆=-->，即33m -<<，所以当0m =时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12AB CD ⋅= . 【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.8．（2021·长春市第二十九中学高二期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为()1F，)2F，且经过点)M．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为2的直线与椭圆C 交于,A B 两点，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．【答案】（1）22142x y +=；（2． 【分析】（1）根据椭圆的定义求得a ，由此求得b ，从而求得椭圆C 的标准方程；（2）设出直线AB 的方程2y x m =+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，化简后写出根与系数关系，求出弦长AB ，表示出AOB 的面积，利用不等式求出最值即可． 【详解】（1）由椭圆的定义，可知12214a MF MF =+==．解得2a =．又2222b a =-=．所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=．（2）设直线l 的方程为2y x m =+， 联立椭圆方程，得2298240x mx m ++-=，2264721440m m ∆=-+>，得m -<<设()11,A x y ，()22,B x y ，1289m x x ∴+=-，212249m x x -=，12AB x x ∴=-=== 点()0,0O 到直线:20l x y m -+=的距离d=11||22AOBS AB d ∴=⋅⋅=⋅△=≤=当2218m m-=即29m=，3m=±时取等；所以AOB．【点睛】方法点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生逻辑思维能力和计算能力，直线y kx b=+上两点()()1122,,,A x yB x y间的距离公式为：1.12AB x x=-；2.12A yB y=-；3.若AB过焦点，也可以使用焦半径公式．9．（2019·广东中山市·中山纪念中学高三月考（文））已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F1F的直线l与C交于A，B两点，2ABF的周长为()1求椭圆C的方程；()2当2ABF的面积最大时，求l的方程．【答案】(1)2212xy+=；(2)1x=-.【解析】试题分析：()1根据椭圆定义及2ABF∆的周长为得出a=cea=知1c ea==，求出21b=，进而得到椭圆C的方程；()2将三角形分割，以12F F为底，A B、两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积，运用基本不等式求得结果解析：（1）由椭圆的定义知4a=，a=由cea=知1c ea==2221b a c =-=所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）由（1）知()()121,0,1,0F F -，122F F = 设()()1122,,,A x y B x y ，:1l x my =-联立1x my =-与2212x y +=得到()222210m y my +--=，12y y -=2ABF S ==当211,0m m +==时，2ABF S ∆，:1l x =-点睛：在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割，转化为两点纵坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程1x my =- 10．（2016·云南昆明市·高三一模（理））已知离心率为√22的椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)经过点A(1,√22). （1）求椭圆E 的方程； （2）若不过点A 的直线l:y =√22x +m 交椭圆E 于B,C 两点，求ΔABC 面积的最大值.【答案】（1）x 22+y 2=1，（2）√22【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为√22，可得c a=√2,可设椭圆方程为x 22n 2+y 2n 2=1，再代入点A 的坐标得代入设出的椭圆的方程，即可得椭圆E 的方程（Ⅱ）先设点B ，C 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，将直线方程与椭圆的方程联立：消去一个元，得到一个一元二次方程.再求解判别式：写出根与系数的关系.计算点A 到直线l 的距离，得到用m 表示ΔABC 的面积，利用基本不等式求出ΔABC 面积的最大值. 试题解析：（Ⅰ）因为ca =√2,所以设a =√2n ，c =n ，则b =n ，椭圆E 的方程为x 22n 2+y 2n 2=1. 代入点A 的坐标得12n 2+12n 2=1，n 2=1，所以椭圆E 的方程为x 22+y 2=1.（Ⅱ）设点B ，C 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，由{y =√22x +m x 2+2y 2=2得x 2+2(12x 2+√2mx +m 2)=2，即x 2+√2mx +m 2−1=0， x 1+x 2=−√2m ，x 1⋅x 2=m 2−1 Δ=2m 2−4(m 2−1)>0，m 2<2.|BC|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√32[2m 2−4(m 2−1)] =√32(4−2m 2)，点A 到直线l 的距离d =√32，ΔABC 的面积S =12|BC|⋅d =12√32(4−2m 2)√32=√22√m 2(2−m 2)≤√22⋅m 2+2−m 22=√22，当且仅当m 2=2−m 2，即m 2=1时等号成立.所以当m =±1时，ΔABC 面积的最大值为√22.考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题.【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.。
微专题椭圆中三角形面积最值问题探究
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四、问题的一般形式
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例4 已知椭圆E:〒+ y2 = 1,直线= kx +
中学数学研究
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2019年第6期
此时"吐间的距离"芳，直线与椭圆联立
方程得
卩=尽 + "*22 lx2 + 4y2 = 4
+ %血皿 +4m*2 -4 = 0.
由 A = ( - 8Qm) - 36(4m2 -4) > OnO < m _ &匹m
< 3.由韦达定理知衍+ % = ―g ，光1%2 二
4(m2_~ ,AB = ^3 \ xx -x2
AB = a/1 + ni I Ji -y21 ,</ = 1* 1* ,S^Oab = V
71 + m2*
2
⑷.」心严)[联立 7f+ry,消去“,
2
■x + 4y = 4
得到(m2 + 4)y2 + 2mty + i2 - 4 = 0, A = 4m2f2 -
4)(i2 -4) >0 9 4 > f2，由韦达定理知
若 c <0,令 a = - ctan0,b = c2 sec20,由 abc
2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01-与解三角形有关的最值问题
2020江苏高考数学二轮热点难点微专题突破-微专题01 与解三角形有关的最值问题与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函数求解最值；二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消元后再用上述方法求解．如2018年T14就是与解三角形有关的最值问题．【例1】在△ABC 中，已知A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为________． 答案：255解析：(解法1)因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－8－a 2－b 222ab ＝3(a 2＋b 2)－84ab ≥3ab －42ab，所以ab ≤43－2cos C ，从而S ＝12ab sin C ≤2sin C 3－2cos C .设t ＝2sin C3－2cos C，则3t ＝2sin C ＋2t cos C ＝2t 2＋1·sin(C ＋φ)，其中tan φ＝t ，故3t ≤2t 2＋1，解得t ≤255，所以S max ＝255，当且仅当a ＝b ＝2155且tan C ＝52时，等号成立．(解法2)以AB 所在的直线为x 轴，它的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－c 2，0，B ⎝⎛⎭⎫c 2，0，C (x ，y )，则由a 2＋b 2＋2c 2＝8得⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＋⎝⎛⎭⎫x ＋c22＋y 2＋2c 2＝8，即x 2＋y 2＝4－5c 24，即点C 在圆x 2＋y 2＝4－5c 24上，所以S ≤c 2r ＝c 24－54c 2＝12·－54⎝⎛⎭⎫c 2－852＋165≤255，当且仅当c 2＝85时取等号，故S max ＝255.【方法规律】1. 注意到a 2＋b 2＋2c 2＝8中a ，b 是对称的，因此将三角形的面积表示为S ＝12ab sin C ，利用余弦定理将ab 表示为C 的形式，进而转化为三角函数来求它的最值．2. 将c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点C 所满足的条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件a 2＋b 2＋2c 2＝8得到点C 的轨迹方程，进而来求出边AB 上的高所满足的条件．3. 解法1是从将面积表示为角C 的形式来加以思考的，而解法2则是将面积表示为边c 的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式a 2＋b 2＋2c 2＝8中的a ，b 是对称关系．解法2则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法1是一种常规的想法，是必须要认真体会的，而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．【例2】在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B.(1) 求角C 的大小；(2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2＋c 2的取值范围． 解析：(1) 因为tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，即sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，所以sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin C cos A －cos C sin A ＝cos C sin B －sin C cos B ，所以sin(C －A )＝sin(B －C )． 所以C －A ＝B －C 或C －A ＝π－(B －C )(不成立)，即2C ＝A ＋B ，所以C ＝π3.(2) (解法1)由C ＝π3可得c ＝2R sin C ＝1×32＝32，且a ＝2R sin A ＝sin A ，b ＝2R sin B ＝sin B .设A ＝π3＋α，B ＝π3－α，0<A <2π3，0<B <2π3，知－π3<α<π3.所以a 2＋b 2＋c 2＝34＋sin 2A ＋sin 2B ＝34＋1－cos2A 2＋1－cos2B 2＝74－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－2π3<2α<2π3，－12<cos2α≤1，故32<a 2＋b 2＋c 2≤94.(解法2)因为C ＝π3，所以c ＝2R sin C ＝1×32＝32.又因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以34＝a 2＋b 2－ab ≥a 2＋b 22，故a 2＋b 2≤32.又a 2＋b 2＝34＋ab >34，故a 2＋b 2＋c 2∈⎝⎛⎦⎤32，94.【方法规律】点评：本题的第(2)问是一种典型问题即三角形中有一个边以及对角为定值，求与两个边或两个角有关系的最值问题．如本题中C ＝π3，c ＝32，可以求a 2＋b 2，a ＋b ，ab ，sin A ＋sin B ，sin A sin B ，cos A ＋cos B ，cos A cos B 的取值范围．方法有二：一是利用A ＋B ＝2π3，进行消元(代入消元或中值换元(如本题解法一))，转化为三角函数值域求解；二是利用基本不等式，但基本不等式比较适合求一种最值，求范围有时不适合．本题如果加大难度，可以将三角形改成锐角三角形，这时基本不等式就不太适合了．（通过本课题的学习，你学到了什么？你还有其它疑惑吗？）A 组1．在△ABC 中，已知2cos 2A 2＝33sin A ，若a ＝23，则△ABC 周长的取值范围为________．答案：(43，4＋23]解析：由2cos 2A 2＝33sin A ，可得cos A ＋1＝33sin A ，则233sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝32，又0＜A ＜π，可解得A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝4，即b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，从而a ＋b＋c ＝23＋4sin B ＋4sin C ＝23＋4sin B ＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－B ＝23＋4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3.又0＜B ＜π3，所以π3＜B ＋π3＜2π3，可得43＜23＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3＋B ≤4＋23，即a ＋b ＋c ∈(43，4＋23]．2．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A cos B ，则cos 2A ＋cos 2B 的最大值为________． 答案：2＋12解析：(解法1)因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin(A ＋B )＝2cos A cos B ，化简得tan A ＋tan B ＝2， cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A sin 2A ＋cos 2A ＋cos 2B sin 2B ＋cos 2B＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝tan 2A ＋tan 2B ＋2(tan A tan B )2＋tan 2A ＋tan 2B ＋1＝(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋2(tan A tan B )2＋(tan A ＋tan B )2－2tan A tan B ＋1 ＝6－2tan A tan B(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5.因为(tan A tan B )2－2tan A tan B ＋5>0，所以令6－2tan A tan B ＝t (t >0)，则cos 2A ＋cos 2B ＝4tt 2－8t ＋32＝4t ＋32t－8≤4232－8＝2＋12(当且仅当t ＝42时取等号)． (解法2)由解法1得tan A ＋tan B ＝2，令tan A ＝1＋t ，tan B ＝1－t ，则cos 2A ＋cos 2B ＝1tan 2A ＋1＋1tan 2B ＋1＝1t 2＋2＋2t ＋1t 2＋2－2t ＝2(t 2＋2)(t 2＋2)2－4t 2，令d ＝t 2＋2≥2，则cos 2A ＋cos 2B ＝2dd 2－4d ＋8＝2d ＋8d－4≤228－4＝2＋12，当且仅当d ＝22时等号成立． (解法3)因为sin C ＝2cos A cos B ，所以sin C ＝cos(A ＋B )＋cos(A －B )，即cos(A －B )＝sin C ＋cos C ，cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B 2＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－cos C (sin C ＋cos C )＝12－12(sin2C ＋cos2C )＝12－22sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π4≤12＋22＝2＋12，当且仅当2C ＋π4＝3π2，即C ＝5π8时取等号．3．在锐角三角形 ABC 中，已知2sin 2 A ＋ sin 2B ＝ 2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1tan C的最小值为________． 答案：132解析：因为 2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，所以由正弦定理可得2a 2＋b 2＝2c 2. 由余弦定理及正弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝b 24ab ＝b 4a ＝sin B4sin A .又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以cos C ＝sin A cos C ＋cos A sin C 4sin A ＝cos C 4＋sin C4tan A，可得tan C ＝3tan A ，代入tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C 得tan B ＝4tan A3tan 2A －1，所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝1tan A ＋3tan 2A －14tan A ＋13tan A ＝3tan A 4＋1312tan A .因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tan A >0，所以3tan A 4＋1312tan A≥23tan A 4×1312tan A ＝132，当且仅当3tan A 4＝1312tan A ，即tan A ＝133时取“＝”．所以1tan A ＋1tan B ＋1tan C 的最小值为132.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，b )，n ＝(cos A ，cos B )，p ＝⎝⎛⎭⎫22sinB ＋C2，2sin A ，若m ∥n ，|p |＝3. (1) 求角A ，B ，C 的值；(2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f (x )＝sin A sin x ＋cos B cos x 的最大值与最小值． 解析：(1) 因为m ∥n ，所以a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得sin A cos B ＝sin B cos A ，所以sin(A －B )＝0. 又－π<A －B <π，所以A ＝B . 而p 2＝|p |2＝8sin 2B ＋C2＋4sin 2A ＝9， 所以8cos 2A 2＋4sin 2A ＝9，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，所以(2cos A －1)2＝0，所以cos A ＝12.又0<A <π，所以A ＝π3，所以A ＝B ＝C ＝π3.(2) f (x )＝sin x cos π6＋cos x sin π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 所以x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝12，x ＝π3时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1.B 组1．已知△ABC 中，B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为________． 答案：4＋42解析：(解法1)如图，设△ABC 的外接圆为圆O ，其直径2R ＝AC sin ∠ABC ＝4sin45°＝4 2.取AC的中点M ，则OM ＝Rcos45°＝2.过点B 作BH ⊥AC 于点H ，要使△ABC 的面积最大，当且仅当BH 最大．而BH ≤BO ＋OM ，所以BH ≤R ＋22R ＝22＋2，所以(S △ABC )max ＝⎝⎛⎭⎫12AC ·BH max＝12×4×(2＋22)＝4＋42，当且仅当BA ＝BC 时取等号．（解法2）如图，同上易知，△ABC 的外接圆的直径2R ＝4 2.S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝2R 2sin A sin B sin C ＝82sin A sin C ＝42⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫3π4－2C ＋22，当A ＝C ＝3π8时，(S △ABC )max ＝4＋4 2. 2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，则sin A ＋sin C 的最大值为________． 答案：3解析：因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B . 又sin B ≠0，故cos B ＝12.又B ∈(0，π)，故B ＝π3，即A ＋C ＝23π.设A ＝π3＋α，C ＝π3－α，0＜A ＜2π3，0＜C ＜2π3，知－π3＜α＜π3.故sin A ＋sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin π3cos α≤3(当α＝0即A ＝C 时取得)． 3．已知△ABC 的内角A, B, C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B －sin 2C a cos B ＋b cos A ＝sin A sin Bc ，若a ＋b ＝4，则c 的取值范围为________． 答案：[2,4)解析：因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C a cos B ＋b cos A ＝sin A sin B c ，由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2sin C ＝absin A cos B ＋sin B cos A＝ab sin (A ＋B )＝ab sin C ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，所以C ＝π3，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝16－3ab ≥16－3×⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，所以c ≥2.又三角形的两边之和大于第三边，所以2≤c ＜4.4．在△ABC 中，三边长分别是a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________． 答案：6417解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ＝2bc －2bc cos A ，所以sin A＝4(1－cos A )．又sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝⎛⎭⎫b ＋c 22＝6417.5．在锐角三角形ABC 中，BC ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，则中线AD 长的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎭⎫3，132 解析：设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由a ＝2，sin B ＋sin C ＝2sin A ，得b ＋c ＝4.因为△ABC 为锐角三角形，所以有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2>a 2，a 2＋c 2>b 2，a 2＋b 2>c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋(4－b )2>4，4＋(4－b )2>b 2，b 2＋4>(4－b )2，解得32＜b＜52，则bc ＝b (4－b )∈⎝⎛⎦⎤154，4.因为|AD →|2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(AB →＋AC →)2＝14⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2＋2bc ·b 2＋c 2－42bc ＝14(28－4bc )＝7－bc ∈⎣⎡⎭⎫3，134，即AD ∈⎣⎡⎭⎫3，132. 6．在斜三角形ABC 中，1tan A ＋1tan B ＋2tan C ＝0，则tan C 的最大值是__________．答案：－3解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B.又1tan A ＋1tan B ＋2tan C ＝0，有tan A ＋tan B tan A tan B －2(tan A ＋tan B )1－tan A tan B＝0. 若tan A ＋tan B ＝0，则tan C ＝0，不符合题意， 所以tan A ＋tan B ≠0，因此1tan A tan B －21－tan A tan B＝0，解得tan A tan B ＝13，因为A ，B ，C 中至多有一个钝角，所以tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－tan A ＋tan B 1－13＝－32(tan A ＋tan B )≤－32×2tan A tan B ＝－ 3.当且仅当tan A ＝tan B ＝33时，上式取等号．7．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． (1) 若BA →·BC →＝32，b ＝3，求a ＋c 的值；(2) 求2sin A －sin C 的取值范围．解析：(1) 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝π3.因为BA →·BC →＝32，所以ac cos B ＝32，所以12ac ＝32，即ac ＝3.因为b ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝3，即(a ＋c )2－3ac ＝3， 所以(a ＋c )2＝12，所以a ＋c ＝23 (2) 2sin A －sin C ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－C －sin C ＝2⎝⎛⎭⎫32cos C ＋12sin C －sin C ＝3cos C . 因为0＜C ＜2π3，所以3cos C ∈⎝⎛⎭⎫－32，3.所以2sin A －sin C 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，3.8．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0.(1) 求角B 的大小； (2) 若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．解析：(1) 因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，即cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4.所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，即AB →·CB →的最小值为－2.。
解析几何中的一些最值问题
OCCUPATION2011 7162解析几何中的一些最值问题文/王海滔最值问题遍及中学数学的代数、三角、立体几何及解析几何等学科内的各个分支，在生产实践当中广泛应用，解析几何中的最值问题也是历届各类考试的热点。
如何利用相关的数学方法，运用数形结合的思想解决这类问题，来提高学生分析问题和解决问题的能力，为进一步学好高等数学中的最值问题打下基础，是中学数学复习中不可忽视的问题。
下面，笔者结合具体的例子，对解析几何中的最值问题介绍几种解答方法。
一、利用对称性求最值（动点在直线上）动点在直线上求最值，解决的办法是把折线问题转化成直线问题，利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用两点间距离公式求出线段长的最值。
【例1】已知点P 在x 轴上运动，A (-2，2），B （1，3）（1）则│P A │+│PB │的最小值为多少？分析：作出A 点关于x 轴的对称点A'(-2，2），那么│P A │+│PB │=│P A'│+│PB │，利用三角形两边之和大于第三边，可得：│P A'│+│PB │≥│A'B │，当且仅当A'，P ，B 三点共线时取得最小值│A'B（2）则│PB │-│P A 分析：此题不用找对称点，利用三角形两边之差小于第三边，只要延长BA 交x 轴于P ，│PB │-│PA │此时得到的最大值为│BA小结：当动点在直线上时，（1）求线段长之和的最小值时，若定点是异侧，则两定点距离即为最小值。
若是同侧，作对称点即可解决。
（2）求线段长之差的最大值时，若定点是同侧，则两定点距离即为最大值。
若是异侧，就利用对称性，转化到同侧，也可解决。
二、利用圆锥曲线的定义求最值（动点在圆锥曲线上）动点在圆锥曲线上求最值，解决方法是先利用圆锥曲线定义对所求的问题进行转化，再利用平面内两点间直线段最短的公理，或利用点到直线的距离为垂线段最短，求出最值。
【例2】已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A （４，２），点P 是该抛物线上的一个动点，试求│PF │+│P A │的最小值为______。
阿基米德三角形面积最小值探讨
阿基米德三角形面积最小值探讨
摘要：解析几何中重点考查定值，定点，面积最值等问题。
阿基米德最早利用逼近的思想证明了抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积是阿基米德三角形面积的三分之二，进一步研究阿基米德三角形面积的最小值问题。
关键词：阿基米德三角形；面积
一阿基米德三角形定义[1]
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形，弦称为阿基米德三角形的底边。
以抛物线为例
二阿基米德三角形最小值探究
若阿基米德三角形顶点在直线（直线与抛物线相
离），则底边过定点，且当定点作为弦中点时，阿基米德三角形面积取得最小值。
当时，即，
即当定点作为弦中点时，阿基米德三角形面积取得最小值 .
参考文献：[1] 朱兆和.抛物线的阿基米德三角形的性质[J];数学通讯；1998年06期.
作者简介：苏章润（1985.12--），男，汉，安徽蚌埠，硕士研究生，蚌埠二中教师，中教一级，研究方向：应用数学。
高考数学常见解析几何中的一些最值问题
关于最值——常见解析几何中的一些最值问题摘要：有关解析几何中的最值问题，在中学数学中较为常见，相对高中数学的其他分科如代数、立体几何、三角中的最值问题，它亦占据了相当的比重，以下将从具体的实例出发，分析并介绍几种比较典型的解题方法，找出一般的解题程序与技巧。
关键词：最值；函数解析式；二次函数；自变量；已知量引言：中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各学科中，在生产实践当中也有广泛的应用，也是历届各类考试的热点。
学习如何利用一定的数学方法来解决这类问题，能够提高分析问题和解决问题的能力，也是进一步为学习高等数学中的最值问题打下基础。
下面将针对解析几何中的最值问题，作出几种具体分类讨论：一、利用二次函数的知识求最值关于二次函数： y=ax 2+bx+c （a≠0），x ∈R当x=-ab 2时，y=a b ac 442-为最值。
当a>0时，有y min当a<0时，有y max但通常二次函数有相应的定义域，自变量x 的具体取值X 围有所不同，讨论最值的方式也有所不同。
主要有两种情况：1、x ∈R ，当a>0，则有y min =ab ac 442- 当a<0，则有y max =ab ac 442- 2、当x 定义在闭区间，即x ∈[a ，b]（a,b 为常数），则应当看对称轴x=-ab 2 是否在此区间，如果x 在此区间，则函数同时有最大值与最小值，如果x 不在此区间，则函数的最大值与最小值必定分别取在该区间两个端点上（具体由函数单调性决定）。
当x 定义在一个含参数的闭区间即∈x [t, t+a]（t 为参数，a 为常数）时，需要对参数进行讨论。
例1.1 已知二次函数y=x 2-x 2sec α+αα2cos 22sin 2+（α为参数，cos α≠0） ①求证此抛物线系的顶点轨迹为双曲线。
②求抛物线y=x 2+2x+6到上述双曲线的渐近线的最短距离。
分析：由于该二次函数y 的定义域为R ，所以这道题应归结于上述类别1。
正方形内接正三角形的面积最大值
正方形内接正三角形的面积最大值正方形内接正三角形的面积最大值是如何确定的？可以通过解析几何的方法来解决这个问题。
首先，我们设正方形的边长为a。
因为正三角形内接于正方形，所以正三角形的顶点必定位于正方形的中心，记为O。
设正三角形的边长为x。
由于正三角形内接于正方形，所以正三角形的底边和正方形底边平行，且正三角形的高线与正方形的一边垂直。
设正三角形的高线长为h。
根据几何关系，正方形的对角线d等于x和a的和，即d = x + a。
根据勾股定理，正方形的对角线d的平方等于正方形的两边长的平方的和，即d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2。
因为正三角形的顶点O位于正方形的中心，所以正三角形的底边长度等于正方形的一边的一半，即x = a/2。
根据正方形的对角线与边长的关系，我们可以得到正方形边长a与对角线d之间的关系式：a^2 + a^2 = 2a^2。
化简得到a = d / √2。
由于正三角形的高线与正方形的一边垂直，所以正方形的一条边与三角形的高线和底边形成直角。
利用勾股定理：(a/2)^2 +h^2 = (x/2)^2。
代入a = d / √2和x = a/2，化简得到h = d / (2√3)。
正三角形的面积可以通过底边和高线的乘积除以2来计算，即S = (x * h) / 2。
代入x = a/2和h = d / (2√3)，化简得到S = (a * d) / (8√3)。
为了最大化正三角形的面积S，我们需要最大化a和d的乘积。
由于根据上述推导，a = d / √2，所以S = (a * d) / (8√3) = (d^2)/ (8√6)。
我们注意到，面积S与正方形的对角线d的平方成正比。
因此，当对角线d取得最大值时，正三角形的面积S也会取得最大值。
由于我们要使正方形内接正三角形的面积最大，所以正三角形应该恰好占满正方形的面积。
在这种情况下，正方形的对角线d等于正方形的边长a，即d= a。
代入面积S的表达式，可以得到S的最大值为S = (d^2) / (8√6) = (a^2) / (8√6)。
椭圆中有关顶点在原点的三角形面积问题
椭圆中有关顶点在原点的三角形面积问题近几年高考中的很多解析几何试题的背景是圆锥曲线的性质，对这些性质采用特殊化的处理可命制出鲜活的高考题.由于以椭圆中顶点在原点的三角形面积为背景的试题往往与图形的本质特性和运动不变性有关，涉及定值、最值、轨迹等问题，所以这类问题常成为解析几何中的热点.在2011年山东卷（理科）、2013山东卷（文科）、2014年全国卷（新课标Ⅰ理科）和2015年山东卷（理科）中均有考察.本文将针对这类问题进行探究.问题提出： 例1已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点3(1,)2M . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆交于不同两点A 、B ，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．例2（2014年全国卷（新课标Ⅰ理科））已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．例3（2015年山东卷（理科））平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． (ⅰ)求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．说明：本题中3ABQ OAB S S ∆∆=,可先求△OAB 面积.例4（2013山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为4的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP ＝tOE ，求实数t 的值．例5（2011年山东卷（理科））已知直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y ,Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积S=其中O 为坐标原点.（Ⅰ）证明x 12+x 22和y 12+y 22均为定值（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点D,E,G ，使得S △ODE =S △ODG =S △OEG. 若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.以上题目均涉及到椭圆中顶点在原点的三角形面积的求解问题，例1中给出了直线l 的斜率，例2中给出了直线l 在y 轴上的截距，例3中的直线为y=kx+m ，例4、例5均以三角形的面积值作条件.那么该类问题如何求解，是否存在通法，三角形的面积表示是否存在统一的表达式，其形式又是怎样的呢？探究一：为解决上面提出的问题，我们从一般性出发，给出下面的问题：已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点. 求三角形OAB 的面积S ∆OAB .解：由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+-当>0时，222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b --+=⋅=++，2222(0,1)m a k b∈+.12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==.利用上面的结果，例1、例2中三角形面积的最大值可用均值不等式求得，即22222222+12m m a k b a k b ab⎛⎫- ⎪++⎝⎭≤=12ab ，当且仅当22221=2m a k b +时三角形面积取得最大值.但在例3中222214m a k b ≤+,用均值不等式求解时等号不成立，无法求得三角形面积的最大值.为了解决例3中均值不等式失效的问题，设2222m a k b λ=+,由题意可求得10,4λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以三角形OAB 的面积S ∆OAB 1)λ==<<，当且仅当1=4λ三角形面积取得最大值. 我们不难发现，令2222m a k b λ=+是求解顶点在原点的三角形面积最值及取值范围的通法，它可将三角形面积最值及取值范围问题转化为求解2222m a k b λ=+的取值范围问题，二者通过S ∆OAB =1)λ=<<……(*)建立等量关系.补充说明一点，当不过原点O 的直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为(0)x n n =≠,记22,n aλ=上述(*)式仍然成立.同样利用(*)式，例4中的三角形面积可转化为3144λλ==或，例5中的三角形面积可转化为12λ=. 至此，每个例题中的三角形面积问题得以完美求解和转化,但新的问题又出现了，在这么完美的换元方式背后，2222m a k bλ=+是否存在几何意义呢，它又是怎样的呢？ 探究二：受益于例4这道高考试题的启发，我得到提出如下问题：已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点.设线段AB 的中点为P,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于点Q ，求22OPOQ的值. 解：由22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+-当>0时，222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b --+=⋅=++，2222(0,1)m a k b ∈+. 设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.∴21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b =+=+.∴22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k mb m a k b a k b =+=++2222m a k b +.……①又224422x y a b+=1， ∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b a b μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭.……② 由①，②知22222m a k bμ=+又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+.解：由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+->0，2222(0,1)m a k b λ∴=∈+. 又222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b--+=⋅=++. 12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==1)λ==<<.结论2：设线段AB 的中点为P ,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>于点Q ，则22OP OQλ=. 证明：设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.由结论1的证明知，21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b=+=+. 所以22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k mb m a k b a k b =+=++2222m a k b λ=+. 224422x y a b +=1，∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b ab μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭=λ.又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+.解：（1）略，E 的方程为2214x y +=. (2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2．2441k λ=+，∴由结论1知S △OPQ==≤1(01)λ<<，当且仅当λ＝12，即k ＝±72时等号成立. 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.1.两个结论，揭示本质已知不过原点O 的直线:(0)l y kx m m =+≠与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>交于11(,),A x y 22(,)B x y 两不同点，设2222m a k bλ=+. 结论1：三角形OAB的面积1)S λ∆=<<OAB .证明：由22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22222222()2()0a k b x a kmx a m b +++-=.2222224()a b a k b m ∆=+->0，2222(0,1)m a k b λ∴=∈+.又222212122222222(),a km a m b x x x x a k b a k b--+=⋅=++. 12x x ∴-==. 1212OABS m x x ∆∴=⋅-12m ==1)λ=<<.结论2：设线段AB 的中点为P,射线OP 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>于点Q ，则22OP OQλ=. 证明：设OP OQ μ=，3344(,),(,)P x y Q x y ，则OP =33(,)x y ，OQ =44(,)x y.33(,)x y =μ44(,)x y =44(,)x y μμ，∴3434,x x y y μμ==.由结论1的证明知，21232222x x a km x a k b +-==+，233222b my kx m a k b =+=+. 所以22222233222222222211x y a km b m a b a a k b b a k b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2222222222222()()a k m b m a k b a k b =+=++2222m a k b λ=+. 224422x y a b +=1，∴()()22222244223344222222x y x y x y a b a b ab μμμμ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭=λ.又OP OQ μ=，∴2222222OPm a k b OQμ==+. 2.三年高考，提炼通法例1（2014年全国卷（新课标Ⅰ理科））已知点A(0，－2)，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：（1）略，E 的方程为2214x y +=. (2) 当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2．2441k λ=+，∴由结论1知S △OPQ2=≤1(01)λ<<，当且仅当λ＝12，即k ＝±72时等号成立. 所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.例2（2015年山东卷（理科））平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是F 1，F 2，以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ． （i ）求OQ OP的值；（ii ）求△ABQ 面积的最大值．解：（Ⅰ）略，椭圆C 的方程为22 1.4x y += （Ⅱ）（i ）略，OQ OP的值为2.（ii ）椭圆E 的方程为221164x y +=.22(01),164m k λλ=<<+∴由结论1知S △OAB ==.（不可用均值不等式）将直线y=kx+m 代入椭圆C 的方程，可得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，由△2≥0可得m 2≤1+4k 2，所以221.1644m k λ=≤+所以S △OAB ≤当且仅当λ＝14等号成立.由（i ）知，△ABQ 的面积为3S △OAB ，即△ABQ 面积的最大值为点评：通过例1和例2的解答可知在用常规方法得到△OPQ 与△OAB 的面积表达式之后可统一采用换元法，即令2222m a k bλ=+，可转化为结论1中的二次函数配方求解. 例3（2013山东卷（文科））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 为椭圆C 上满足△AOB的面积为4E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP ＝tOE ，求实数t 的值．解：（Ⅰ）略,椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.（Ⅱ）当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x ＝n，由题意＜n ＜0或0＜n将x ＝n 代入椭圆方程22x ＋y 2＝1，得|y|所以S △AOB ＝=.解得n 2＝32或n 2＝12. 又OP ＝tOE ＝()12t OA OB +＝12t (2n,0)＝(nt,0)，且P 为椭圆C 上一点，所以22nt ()＝1.由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t.当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m.由结论1知S △OAB=解得3144λλ==或.由结论2知λ=222221=.OE OE t OP tOE = 所以t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t.综上所得t ＝2或t＝3.点评：通过例3的解答可知△AOB 的面积为43144λλ==或，再用结论2中λ的几何意义求解.，而换元法正是解决这类问题的通法.文中参数λ与三角形面积取值范围之间的相互转化是解决这类问题的关键，希望大家复习中要引起足够的重视.同时也提醒我们要加强对高考试题的研究，提炼通法.最后作一点说明,当不过原点O 的直线l 的斜率不存在时，可设直线l 的方程为(0)x n n =≠,记22,n aλ=结论1和结论2仍然成立.已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．(1) 求椭圆的方程；(2) 过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值； (3) 在（2）的条件下，求面积的最大值．C )0(12222>>=+b a by a x 362C O A B O AB OAB ∆解：（1） ………………………… 3分（2） 设，，若k 存在，则设直线AB ：y ＝kx ＋m.由，得 ……………………………5分 △ ＞0， ……………………………6分 有OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(k x 1＋m ) (k x 2＋m )＝(1＋k 2) x 1x 2＋k m (x 1＋x 2)＝0 ………………………8分代入，得4 m 2＝3 k 2＋3原点到直线AB 的距离d. ………………9分当AB 的斜率不存在时，,可得，依然成立． 所以点O 到直线的距离为定值……………………………10分 说明：直接设直线OA 的斜率为K 相应给分（3）＝ ＝≤4 …………………12分当且仅当，即时等号成立. ……………………………13分 当斜率不存在时，经检验|AB |＜2.所以≤综合得：面积的最大值为 ………………………14分1322=+y x 11()A x y ，22()B x y ，2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩222(13)6330k x kmx m +++-=12221226133313km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩=11x y =12x d ==AB 22222221222633(1)()(1)()41313km m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⨯⎢⎥++⎣⎦42242423(9101)123961961k k k k k k k ++=+++++22123196k k+++2219k k =k =OAB S ∆122⨯=OAB ∆23已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，离心率(1)求椭圆标准方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m ，直线与(1)中的椭圆有两个不同的交点M 、N ，求m 的取值范围； （3）直线：与(1)中的椭圆有两个不同的交点，当的面积取到最大值时，求直线的方程。
解析几何最值问题
对于旋转体等特殊图形，可利用相应公式和不等式求解； 对于一般图形，可通过变量替换和不等式等方法转化为更 易处理的问题。
条件面积（体积）最值
在给定条件下求平面图形或空间图形的面积（体积）最值， 常结合不等式和等式约束条件进行求解。
05
典型案例分析
平面曲线最值问题案例
案例一
01
求点到直线的最短距离
案例二
02
求两圆之间的最短距离
案例三
03
求椭圆上一点到直线的最大距离
空间曲线最值问题案例
案例一
求空间一点到直线的最短距离
案例二
求空间一点到平面的最短距离
案例三
求空间两异面直线之间的最短距离
曲面最值问题案例
案例一
求曲面上一点到平面的最短距离
案例二
求曲面上两点之间的最短距离
案例三
求曲面上的最值点坐标
06
总结与展望
研究成果总结
解析几何最值问题的基本理论和 方法的梳理和归纳，包括最值问 题的定义、性质、求解方法等。
针对不同类型的解析几何最值问 题，提出了相应的求解策略和方 法，如线性规划、二次规划、动
态规划等。
通过实例分析和数值计算，验证 了所提方法的有效性和实用性， 为解决实际问题提供了有力支持。
THANKS
感谢观看
04
解析几何在最值问题中的应用
曲线与曲面的最值问题
曲线上的最值点
通过求导找到曲线的极值点，比 较各极值点和端点的函数值来确
定最值。
曲面的最值点
对于二元函数表示的曲面，分别 求偏导数并令其为零，解方程组 得到可能的极值点，进一步判断
最值。
条件极值
在给定条件下求曲线或曲面的最 值，常用拉格朗日乘数法。
过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题
过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题1.引言在平面解析几何中，经常会遇到求解围成的三角形面积的问题。
本文将围绕着过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题展开讨论。
我们将从基本原理开始，逐步推导出解决该问题的方法。
2.问题描述给定一个坐标轴上的一点P(x,y)，以及坐标轴上的两个端点A(0,0)和B(a,0)，其中a为正实数。
我们的目标是找到通过点P的直线与坐标轴围成的三角形A BC，使得该三角形的面积最小。
3.解决方法为了解决这个问题，我们可以按照以下步骤进行推导。
3.1建立坐标轴表示首先，我们可以将问题抽象为在坐标系中求解面积最小的三角形。
我们以P点在坐标系的位置为起点，建立坐标轴表示。
3.2确定点B的坐标由于点B在坐标轴上，且横坐标为a，纵坐标为0，我们可以确定B的坐标为B(a,0)。
3.3确定点C的坐标为了求得面积最小的三角形A BC，我们需要确定点C在坐标系中的位置。
由于P点在过点C的直线上，我们可以假设点C的坐标为C(c,0)，其中c为正实数。
3.4确定三角形面积根据解析几何的面积公式，我们可以计算出三角形AB C的面积S为：S=0.5*|x*0-0*c+a*c-x*0|经过计算化简，可以得到：S=0.5*a*c3.5最小化面积为了使三角形AB C的面积最小，我们需要找到使S最小的c值。
由于c为正实数，所以我们可以对S进行求导，然后令导数为0，解得最小值。
3.6求解最小面积对S=0.5*a*c求导，并令导数为0，我们可以得到c的值：0.5*a*c'=0解得c'=0，即c为任意的正实数。
这说明无论c取多少，都不会改变S的最小值。
3.7结论根据上述推导，我们可以得出结论：过定点与坐标轴围成的三角形面积最小的条件是无论c取多少，c为任意的正实数。
4.总结通过以上推导，我们解决了过定点与坐标轴围成的三角形面积最小问题。
我们发现，无论点C在坐标系中的位置如何，三角形A BC的面积都不会改变。
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✧ 难度：★★
✧ 特点：已知高（作为一个限制弦的条件），求弦长的最大值
✧ 来源：07陕西高考
已知椭圆C :2222b
y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3，求△AOB 面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，
依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=. （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，.（1）当AB x ⊥
轴时，AB =.（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+.
=，得223(1)4
m k =+.把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631
km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+.2
2221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222
12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤. 当且仅当2219k k
=，
即k =时等号成立.当0k =
时，AB =综上所述max 2AB =. ∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 12S AB =⨯=. ✧ 难度：★★
✧ 特点：椭圆已知，直线过定点（由椭圆定），求三角形面积的最大值
✧ 来源：
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.
解：设椭圆方程为).(0b a 1b y a x 2222>>=+（I ）由已知得2222
c
b a 4
c 2a c
b +===⇒1
c 1b 2
a 222=== ∴所求椭圆方程为.1y 2
x 22
=+
（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A 由1y 2x 2
kx y 22
=++=消去y 得关于x 的方程：068kx x 2k 122=+++)(
由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 022>+-⇒>)(，
解得23k 2>，又由韦达定理得2212212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+ 2
12212212x 4x x x k 1x x k 1AB -++=-+=∴)(2416k 2k 1k 122
2
-++=. 原点O 到直线l 的距离2
k 12
d +=2222ADB 2k
132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆ 所以，所求直线方程为：042y x 14=+-±.
解法2：令)(0m 32k m 2>-=，则3m 2k 22+=，222m
4m 224m m 22S 2≤+=+=
∴. 当且仅当m
4m =即2m =时，22S ma x =此时214k ±=.所以，所求直线方程为042y x 14=+-±.
解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.
设直线l 的方程为2kx y +=，)(11y ,x A ，)(22y ,x B
则直线l 与x 轴的交点),(0k
2D - 由解法一知：23k 2>且2212212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+
解法1：2kx 2kx k 221y y OD 21S 2121AOB --+⋅=-⋅=
∆ 解法2：POA POB AOB S S S ∆∆∆-=
✧ 难度：★★
✧ 特点：椭圆差一个条件，直线过定点（由椭圆定），已知三角形面积的最大值确定椭圆 ✧ 来源：
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为
2
2，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程. 解：由e ＝2
2得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c y x =+设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222c
y x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m 0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m 设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根 由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m mc y y 所以21224)(22212
2121++=-+=-m m c y y y y y y c c y y F F S ABF 222
121212∙=-=∆2122++m m ＝22222221221
1122c c m m c =∙≤+++ 当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号1,222==∴c c 所以，所求椭圆方程为12
22
=+y x ✧ 难度：★★
✧
特点：椭圆方程已知，直线过定点，已知面积确定直线
✧ 来源：
已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||F F =2点3(1,)2
在该椭圆上。
（I ）
求椭圆C 的方程； （II ） 过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
✧ 难度：★★★
✧ 特点：将三角形面积表示为某个变量的函数
✧ 来源：石室高2015届周练2014-4-10 如图，椭圆Q ：（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点
（1） 求点P 的轨迹H 的方程
（2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x
动到什么位置时，三角形ABD
解：如图，（1）设椭圆Q ：（a >b >0上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P （x ，y ），则
1︒当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2，
由（1）－（2）得b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0
∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)
2︒当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3）故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0
（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝，原点距l 22
22x y 1a b
＋＝2
π22
22x y 1a b
＋＝2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2⎧⎪⎨⎪⎩＋＝…………（）＋＝…………（）212212y y b x y x x a y x c ∴－＝－＝－－2
a c
的距离为，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤） 则
＝2sin （＋） 当θ＝时，上式达到最大值。
此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1 设椭圆Q ：上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积 S ＝|y 1|＋|y 2|＝|y 1－y 2|设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0由韦达定理得y 1＋y 2＝，y 1y 2＝， 4S 2＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2
－4 y 1y 2＝ 令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝，当t ＝1，k ＝0时取等号。
因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大。
2
a c
2π2a c ＋＋2θ4π2
π2
2x y 12
＋＝1212122
2x y 12
＋＝22k 2k －＋212k
－＋2228k 1k 2（＋）（＋）28t 8821t 14t 2t
≤＝＝（＋）＋＋。