近世代数习题第二章
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第二章 群论
近世代数习题第二章 第一组 1-13题；第二组 14-26题；第三组 27-39题；第四组 40-52
题，最后提交时间为11月25日
1、设G 是整数集，则G 对运算
4++=b a b a
是否构成群？
2、设G 是正整数集，则G 对运算
b a b a =
是否构成群？
3、证明：正整数对于普通乘法构成幺半群.
4、证明：正整数对于普通加法构成半群，不含有左右单位元.
5、G 是整数集，则G 对运算
1=b a
是否构成群？
6、设b a ,是群G 中任意两元素. 证明：在G 中存在唯一元素x ，使得b axba =.
7、设u 是群G 中任意取定的元素，证明：G 对新运算aub b a = 也作成群.
8、证：在正有理数乘群中，除1外，其余元素阶数都是无限.
9、证：在非零有理数乘群中，1的阶是1，-1的是2，其余元素阶数都是无限.
10、设群G 中元素a 阶数是n ，则
m n e a m |⇔=.
11、设群G 中元素a 阶数是n ，则 )
,(||n m n a m =.，其中k 为任意整数. 设（m,n ）=d,m=dk,n=dl,(k,l)=1. 则(a^m)^l=a^(ml)=a^(kdl)=(a^(n))^k=e. 设（a^m ）^s=e,，即a^(ms)=e,所以n|ms,则l|ks,又因为(l,k)=1，所以l|s,即a^m 的阶数为l.
12、证明：在一个有限群中，阶数大于2的元素个数一定是偶数.
13、设G 为群，且n G 2||=，则G 中阶数等于2的一定是奇数.
14、证明：如果群G 中每个元素都满足e x =2
，则G 是交换群.
对每个x ，从x^2=e 可得x=x^(-1)，对于G 中任一元x ，y ，由于（xy ）^2=e ，所以xy=（xy ）^(-1)=y^(-1)*x(-1)=yx.
或者 :(ab)(ba)=a(bb)a=aea=aa=e ，故(ab)的逆为ba ，又(ab)(ab)=e ，这是因为ab 看成G 中元素，元素的平方等于e. 由逆元的唯一性，知道ab=ba 15、证明：n 阶群中元素阶数都不大于n .
16、证明：p 阶群中有1-p 个p 阶元素，p 为素数.
17、设群G 中元素a 阶数是n ，则
)(|t s n a a t
s -⇔=.
18、群G 的任意子群交仍是子群.
19、设G 为群，G b a ∈,，证明：a a bab
bab k k =⇔=--11)(.
20、证明：交换群中所有有限阶元素构成子群.
21、证明：任何群都不能是两个真子群的并. 证明：任何群都不能是两个真子群的并. 可以用反证法，设G=HUK ，H 、K 均为真子群，存在a,b\in G, a\not\in H,b\not\in K ,从而a\in K, b\in H. ab\in G, 则ab\in H 或ab\in K. 若ab\in H 得出矛盾，ab\in K ，也可得出矛盾.
22、设G 为群，H a a G a G H n m ∈∈≤,,,，证明：若1),(=n m ，则H a ∈.
23、证明：整数加群是无限循环群.
24、证明：n 次单位根群为n 阶循环群.
25、证明：循环群的子群仍是循环群.