建筑力学第三章 力系简化的基础知识
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哈工大建筑力学第3章(第2 3节) 力偶 力偶矩(2学时)
第三章力系简化的基础知识林国昌§3-2 力对点的矩A o o4力对物体具有转动效果，转动效果与三个因素有关：（1）力F 的大小;（2）转动中心O 到力F 作用线的距离d ;（3）力F 使扳手转动的方向。
注意：距离d 是转动中心O 到力F 作用线的垂直距离。
5力对点的矩:力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量，它是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂之积。
正负规定:力使物体绕矩心逆时针转动时取正号，反之取负号。
符号表示:)(F M O Fd=±力矩的单位：牛顿•米(N •m)1.在门位置上施力，门很容易转动2.从门位置依序至位置施力，转动越不易ABC转轴OO ＇OO’C B A 3-2 力对点的矩转动效果与三个因素有关：（1）力F 的大小;（2）转动中心O 到力F 作用线的距离d ;（3）力F 使扳手转动的方向。
7M O (F ) = ±2ΔOAB 面积=±Fd力对点的矩还可以用矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的2倍来表示，即：三角形ΔOAB 底边：力矢量F 三角形ΔOAB 的高：力臂d 力矩的单位：牛顿•米(N •m)注意：距离d 是转动中心O 到力F 作用线的垂直距离。
§3-3 力偶· 力偶矩林国昌103-3 力偶· 力偶矩一、力偶(F ,F ′)FF ′力偶实例由物理学可知：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为作用在该点的合力。
合力：是作用在同一点上的各力的矢量和。
13a)力偶没有合力；b)力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡；c)力偶只能与力偶等效,也只能与力偶平衡。
力偶的性质1：力偶与力同属于机械作用的范畴，但又不同于力。
力与力偶分别是力学中的两个基本参量！3-3-1力偶•力偶的第一个性质143-3-1力偶•力偶的第二个性质力对物体具有转动效果，力使物体绕点转动的效果用力对点的矩来度量。
力偶对物体也有转动效果，力偶使物体转动的效果用力偶矩来度量。
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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建筑力学
（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
建筑力学3力系简化的基础知识
倾覆力矩（Mq）：使结构或构件产生倾覆的力矩。 抗倾覆力矩（Mk）：抵抗结构或构件倾覆的力矩。 K=抗倾覆安全系数
MK K Mq
规范规定：钢筋砼构件的抗倾覆安全系数 K≥1.5
如图示，一钢筋混凝土梁BC置于砖墙上，挑出1.5m， 顶端C作用一集中力P=1kN，梁自重q=1.2kN/m，取 抗倾覆安全系数κ=1.5，试求BA段的长度a。
§3-2 力对点的之矩 ：
F G
力可以使刚体移动，也可以使刚体转动。力对刚体的转 动效应取决于什么呢？ 力矩—力和力臂的乘积 力F对O点的矩 ：mO（F）=Fd，单位：N· m（牛顿· 米）； 其中，d为O点到力F作用线的（垂直）距离。
F
矩心O 力臂d
力矩的性质： B •力通过矩心，其矩为零； •力沿作用线移动，不改变其 矩； •等值、反向、共线的两力对 F 同一点矩之和为零； •相对于矩心作逆时针转动的 力矩为正；反之为负。 A •力矩的数学定义： m O（F）=h × F m O（F）=±2⊿OAB面积
60° 45° 30°
R=(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN =arc cos[(-0.549)/3.423]=260.8 ° (R指向第三象限） x F2
F3
三、平面汇交力系的平衡条件及应用 •平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合 力为零，即力系的矢量和为零。合力在任意两个不平行 方向上投影同时为零，或各力矢量分别在该二方向上的 投影的代数和同时为零。
•例3－4 P25
合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系平面内任一 点的矩，等于力系中各力对同一点之矩的代数和。
例：按图中给定的条件，计算力F对A点的矩。
建筑力学D03力系简化的基本知识
力的平移
将力平移到同一作用点或 同一物体上，以简化力的 作用方式。
力的简化
利用力的平行四边形法则 或三角形法则，将复杂力 系简化为简单、易于分析 的力系。
02
力系简化的基本原理
力的平移定理
总结词
力的平移定理是指力在刚体内可以平移，即力的作用点在刚体内任意平移时，该 力对刚体的作用效果不变。
详细描述
力系简化的目的
01
02
03
简化分析过程
通过将复杂的力系简化为 简单的力系，可以降低分 析难度，提高计算效率。
提高精度
在简化过程中，可以消除 一些次要因素，提高计算 结果的精度。
便于设计
简化后的力系更易于应用 于实际工程设计，提高设 计的可靠性和经济性。
力系简化的方法
力的合成与分解
通过力的合成与分解，将 多个力合成一个或一个力 分解为多个力，以达到简 化力系的目的。
05
总结与展望
力系简化的重要性
简化复杂问题
力系简化是解决复杂力学问题的关键步骤，通过简化可以将复杂问 题分解为更简单、易于分析的部分，提高解决问题的效率。
提高设计精度
准确的力系简化能够提高工程设计的精度，减少因简化不当导致的 误差，从而保证工程的安全性和稳定性。
促进技术创新
力系简化的深入研究能够推动相关领域的技术创新，促进工程实践的 发展和进步。
机械设计
在机械设计中，需要通过力系简化 来分析机器的运转情况和受力情况， 以确保机器的正常运转和安全性。
04
力系简化的注意事项
力的单位与方向
力的单位
国际单位制中，力的单位是牛顿 （N），根据牛顿第二定律，力等 于质量乘以加速度。
力的方向
建筑力学D03力系简化的基本知识
O
A
MO (F ) Fd
M O (F ) 2OAB
F
O
B
例4 矩形板，边长 a=0.3m,b=0.2m. F1=40N，F2=50N,求二力对A点的矩
M A ( F1 ) F1d1 F1a sin 30 40 0.3 0.5 6 Nm
30
FR 3
y
求F1,F2,… Fn合力的大小与方向。 在空间任取一点a。作力三角形求出 F1和F2的合力大小和方向为FR1； 再作力三角形合成F R 1 和F 3 得到 FR2，依次进行； 最后合成FR(n-2)和Fn得到FR。 形成一个多边形abcdef称为汇交 力系力多边形，矢量af 为力多边形 的封闭边，它表示汇交力系合力F R 的大小和方向。合力作用线仍通过 原汇交点A。各分力矢量首尾相接。 构成力多边形是一个有缺口不 封闭的力多边形，合力F R 矢量则 沿着相反方向连接此缺口，当改 变各分力的矢量的作图次序，可 以得到形状不同的力多边形。但 合力矢量保持不变。
力线平移定理的简单应用 攻丝时，必须两手握住扳手，而且用力应该相等。其 原因就是F的作用等效于F´和MO的作用效果。这个力偶的 作用是使丝锥转动，而力的作用使丝锥变形或折断。
O
A F
O
M
A F
B
B
O
A F
O
M
A
平面固定端约束
F
F
A
F
A
MA
A
A
F
FAx
FAy
定向支座约束
x Fx
Fi Fix Fiy Fix i Fiy j
n n n FR Fi Fix i Fiy j i 1 i 1 i 1
A
MO (F ) Fd
M O (F ) 2OAB
F
O
B
例4 矩形板，边长 a=0.3m,b=0.2m. F1=40N，F2=50N,求二力对A点的矩
M A ( F1 ) F1d1 F1a sin 30 40 0.3 0.5 6 Nm
30
FR 3
y
求F1,F2,… Fn合力的大小与方向。 在空间任取一点a。作力三角形求出 F1和F2的合力大小和方向为FR1； 再作力三角形合成F R 1 和F 3 得到 FR2，依次进行； 最后合成FR(n-2)和Fn得到FR。 形成一个多边形abcdef称为汇交 力系力多边形，矢量af 为力多边形 的封闭边，它表示汇交力系合力F R 的大小和方向。合力作用线仍通过 原汇交点A。各分力矢量首尾相接。 构成力多边形是一个有缺口不 封闭的力多边形，合力F R 矢量则 沿着相反方向连接此缺口，当改 变各分力的矢量的作图次序，可 以得到形状不同的力多边形。但 合力矢量保持不变。
力线平移定理的简单应用 攻丝时，必须两手握住扳手，而且用力应该相等。其 原因就是F的作用等效于F´和MO的作用效果。这个力偶的 作用是使丝锥转动，而力的作用使丝锥变形或折断。
O
A F
O
M
A F
B
B
O
A F
O
M
A
平面固定端约束
F
F
A
F
A
MA
A
A
F
FAx
FAy
定向支座约束
x Fx
Fi Fix Fiy Fix i Fiy j
n n n FR Fi Fix i Fiy j i 1 i 1 i 1
力系简化的基础知识课件
学仿真等。
05
力系简化的实例分析
平面力系的简化
总结词
平面力系简化的目标是将其化简为单一 的合力或若干个相互独立的力，以便于 分析和计算。
VS
详细描述
平面力系简化的方法主要包括力的合成与 分解、力的平移等。通过这些方法，可以 将平面力系简化为一个或几个独立的力和 力矩，从而简化分析过程。
空间力系的简化
03
力系简化的应用
静力学平衡问题
01 02
静力学平衡问题
力系简化在静力学平衡问题中有着广泛的应用。通过将复杂的力系简化 为简单的形式，可以更容易地分析物体的平衡状态，并确定支撑反力和 约束反力。
静力平衡方程
在静力学平衡问题中，力系简化可以帮助建立静力平衡方程。通过将力 系简化为一个或多个力的平衡，可以求解未知的力或位移。
力矩
力与力臂的乘积。力矩的作用效果是使物体绕某点旋转或产生转动效应。
力的向心力和离心力
向心力
物体做圆周运动时，受到指向圆心的 合力，称为向心力。向心力的大小与 速度和半径有关，方向始终指向圆心 。
离心力
物体做圆周运动时，受到远离圆心的 合力，称为离心力。离心力的大小与 速度和半径有关，方向始终远离圆心 。
力系简化的基础知识 课件
目录
• 力系简化的基本概念 • 力系简化的方法 • 力系简化的应用 • 力系简化的注意事项 • 力系简化的实例分析
01
力系简化的基本概念
力系简化的定义
定义
力系简化是指将复杂的力系通过 一定的方法简化为简单的力系， 以便于分析、理解和计算。
解释
力系简化是力学分析中的重要步 骤，通过简化可以更好地理解力 的作用方式和效果，简化计算过 程，提高分析效率。
05
力系简化的实例分析
平面力系的简化
总结词
平面力系简化的目标是将其化简为单一 的合力或若干个相互独立的力，以便于 分析和计算。
VS
详细描述
平面力系简化的方法主要包括力的合成与 分解、力的平移等。通过这些方法，可以 将平面力系简化为一个或几个独立的力和 力矩，从而简化分析过程。
空间力系的简化
03
力系简化的应用
静力学平衡问题
01 02
静力学平衡问题
力系简化在静力学平衡问题中有着广泛的应用。通过将复杂的力系简化 为简单的形式，可以更容易地分析物体的平衡状态，并确定支撑反力和 约束反力。
静力平衡方程
在静力学平衡问题中，力系简化可以帮助建立静力平衡方程。通过将力 系简化为一个或多个力的平衡，可以求解未知的力或位移。
力矩
力与力臂的乘积。力矩的作用效果是使物体绕某点旋转或产生转动效应。
力的向心力和离心力
向心力
物体做圆周运动时，受到指向圆心的 合力，称为向心力。向心力的大小与 速度和半径有关，方向始终指向圆心 。
离心力
物体做圆周运动时，受到远离圆心的 合力，称为离心力。离心力的大小与 速度和半径有关，方向始终远离圆心 。
力系简化的基础知识 课件
目录
• 力系简化的基本概念 • 力系简化的方法 • 力系简化的应用 • 力系简化的注意事项 • 力系简化的实例分析
01
力系简化的基本概念
力系简化的定义
定义
力系简化是指将复杂的力系通过 一定的方法简化为简单的力系， 以便于分析、理解和计算。
解释
力系简化是力学分析中的重要步 骤，通过简化可以更好地理解力 的作用方式和效果，简化计算过 程，提高分析效率。
工程力学课件力系的简化教学课件PPT
§2-1 力的平移定理
问题1：已知F＝50N，点到F作用线距离为10mm, 求力平移到O点的结果
F O
M
O F
§2-1 力的平移定理
问题2：已知F＝50N，M ＝450Nmm,求等效力F’及 其作用线到点O的距离h
h M 450 9mm F 50
M
FO
O
F
§2-2 平面力系的简化
经分析可知，平面力系向一点简化将得到： 一个主矢 大小与简化中心的选择无关
FRy
FR FR2x FR2y 24N
cos FRx 0.47 FR
61.2
§2-2 平面力系的简化
§2-2 平面力系的简化
§2-2 平面力系的简化
§2-2 平面力系的简化
§2-2 平面力系的简化
§ 2-3 空间力系的简化
➢ 重心：重力作用线有一特点，无论物体相对地 球如何放置，其作用线总通过同一点，该点称 为重心（惟一）
1. 重心的概念及其坐标公式
2.公式：（以对Y轴取矩为例）
或
1. 重心的概念及其坐标公式
同理
2.均质物体的重心
2.均质物体的重心
2.均质物体的重心
3 确定物体重心的方法
例：均质平面薄板的尺寸如图，求其重心坐标。
y
x o
解：
xc 0
三块面积叠加： yc
Ai yi 1080 5 (100 20 50) 2 42.5
Ai
1080 (100 20) 2
去除中间面积： yc
Ai yi 100120 50 (80 90 55) 42.5
Ai
100120 (80 90)
作业 思考题 习题 1、3、5、2-6(a) 、7
理论力学课件-第二篇 第三章 任意力系的简化(基本知识点)
Байду номын сангаас
�
第三章
任意力系的简化
基本知识点
1.力系的简化的定义 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成. 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成. 2.力的平移定理 若将作用于刚体上的力F平移至同一刚体上不在力F 若将作用于刚体上的力 F平移至同一刚体上不在力 F的作用线 上的其它点o 则必须相应增加一个附加力偶,其力偶矩M 上的其它点o, 则必须相应增加一个附加力偶, 其力偶矩M等于 原力F 对平移点o 的矩, 才能保证原力对刚体的作用效果. 原力 F 对平移点 o 的矩 , 才能保证原力对刚体的作用效果 . 这一 结论称为力的平移定理.显然M垂直于由点o与原力F 结论称为力的平移定理.显然M垂直于由点o与原力F的作用线所 作出的平面. 作出的平面. 上述定理的逆定理也成立,即当作用于刚体上某点o 上述定理的逆定理也成立 , 即当作用于刚体上某点 o的某个 与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时, 力F1与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时,则该力和 力偶可以合成为一个力F 其力矢与原长F 相同, 力偶可以合成为一个力F,其力矢与原长F1相同,平移的垂直方 向为F 方向,平移和垂直距离为M/F 向为F1×M方向,平移和垂直距离为M/F1. 力的平移定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶. 力的平移定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶. 而其逆定理则表明, 而其逆定理则表明,可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效 于一个力.力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础. 于一个力.力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础.
3,刚体的重心 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系,它们必存在合力, 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系,它们必存在合力, 刚体重力系的中心称为刚体的重心. 刚体重力系的中心称为刚体的重心.刚体的重心在刚体内或其延拓部分占有 确定位置,该位置与刚体在空间的放置情况无关. 确定位置,该位置与刚体在空间的放置情况无关.当刚体的质量分布不均匀 其重心和几何中心(形心)不重合. 时,其重心和几何中心(形心)不重合.只有均质刚体的重心才与其形心重 通常用分割法或负面积法(或负体积法)求组合体的重心. 合.通常用分割法或负面积法(或负体积法)求组合体的重心. 4,线分布载荷的简化 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷, 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷,其大小和方向用载荷集度 表示.线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度( 表示.线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度(该术语在极限意义 下使用)上的力的大小和方向,其单位为N/m. 下使用)上的力的大小和方向,其单位为N/m.几种常见的线分布载荷的合 力大小及其作用线位置如下: 力大小及其作用线位置如下:
�
第三章
任意力系的简化
基本知识点
1.力系的简化的定义 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成. 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成. 2.力的平移定理 若将作用于刚体上的力F平移至同一刚体上不在力F 若将作用于刚体上的力 F平移至同一刚体上不在力 F的作用线 上的其它点o 则必须相应增加一个附加力偶,其力偶矩M 上的其它点o, 则必须相应增加一个附加力偶, 其力偶矩M等于 原力F 对平移点o 的矩, 才能保证原力对刚体的作用效果. 原力 F 对平移点 o 的矩 , 才能保证原力对刚体的作用效果 . 这一 结论称为力的平移定理.显然M垂直于由点o与原力F 结论称为力的平移定理.显然M垂直于由点o与原力F的作用线所 作出的平面. 作出的平面. 上述定理的逆定理也成立,即当作用于刚体上某点o 上述定理的逆定理也成立 , 即当作用于刚体上某点 o的某个 与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时, 力F1与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时,则该力和 力偶可以合成为一个力F 其力矢与原长F 相同, 力偶可以合成为一个力F,其力矢与原长F1相同,平移的垂直方 向为F 方向,平移和垂直距离为M/F 向为F1×M方向,平移和垂直距离为M/F1. 力的平移定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶. 力的平移定理表明,一个力可以等效于一个力和一个力偶. 而其逆定理则表明, 而其逆定理则表明,可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效 于一个力.力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础. 于一个力.力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础.
3,刚体的重心 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系,它们必存在合力, 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系,它们必存在合力, 刚体重力系的中心称为刚体的重心. 刚体重力系的中心称为刚体的重心.刚体的重心在刚体内或其延拓部分占有 确定位置,该位置与刚体在空间的放置情况无关. 确定位置,该位置与刚体在空间的放置情况无关.当刚体的质量分布不均匀 其重心和几何中心(形心)不重合. 时,其重心和几何中心(形心)不重合.只有均质刚体的重心才与其形心重 通常用分割法或负面积法(或负体积法)求组合体的重心. 合.通常用分割法或负面积法(或负体积法)求组合体的重心. 4,线分布载荷的简化 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷, 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷,其大小和方向用载荷集度 表示.线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度( 表示.线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度(该术语在极限意义 下使用)上的力的大小和方向,其单位为N/m. 下使用)上的力的大小和方向,其单位为N/m.几种常见的线分布载荷的合 力大小及其作用线位置如下: 力大小及其作用线位置如下:
《建筑力学》第三章平面一般力系
VS
产生条件
摩擦力的产生需要满足三个条件，即接触 面粗糙、接触面间有正压力和物体间有相 对运动或相对运动趋势。
考虑摩擦时物体平衡问题解决方法
01
02
03
静力学方法
通过受力分析，列出平衡 方程，考虑摩擦力对物体 平衡的影响。
动力学方法
分析物体的运动状态，根 据牛顿第二定律列出动力 学方程，考虑摩擦力对物 体运动的影响。
静定结构特性分析
1 2 3
内力与外力关系
静定结构的内力与外力之间存在一一对应的关系， 即外力的变化会直接导致内力的变化。
变形与位移
在荷载作用下，静定结构会产生变形和位移，但 变形和位移的大小与材料的力学性质有关，与结 构的超静定性无关。
稳定性分析
静定结构在受到微小扰动后，能够自动恢复到原 来的平衡状态，具有良好的稳定性。
求解未知数
通过解平衡方程，求解出未知 的力或力矩。
确定研究对象
根据问题要求，确定需要研究 的物体或物体系统。
列平衡方程
根据平面任意力系的平衡条件， 列出物体系统的平衡方程。
校验结果
将求解结果代入原方程进行校 验，确保结果的正确性。
05 静定结构内力计算
静定结构基本概念和分类
静定结构定义
静定结构是指在外力作用下，其反力和内力都可以用静力学平衡方程求解，且解答唯一确定的结构。
02 平面汇交力系分析
汇交力系几何法求解合力
几何法概念
利用力的平行四边形法则或三角形法则求解汇交力系的合 力。
求解步骤
首先确定各分力的方向和大小，然后选择合适的几何图形 （如平行四边形或三角形）进行力的合成，最后根据图形 求解合力的大小和方向。
注意事项
建筑力学 第三章 力系的简化
力矩.力偶的概念： §3-2 力对点的矩 定义：力对点的矩是力使物体绕点转动效 果的度量，它是一个代数量，其绝对值等 于力的大小与力臂之积， 其正负规定： 力使物体绕矩心逆时针 转动为正，反之为负。 m0（F）=±Fd （3-8）
问题： 1．当力的作用线通过矩心时，力臂d等于零， 则力对点的矩为？ 2．力矩的单位——？ 单位：牛顿·米（N · m）
相似处：
在物理意义和数学定义上——相似。
不同处：
力对点的矩——与矩心的位置有关，对不同 的矩心力的转动效果不同。 力偶矩——使物体绕不同点的转动效果相同。
二．力偶的性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡， 性质 ：力偶既没有合力，本身又不平衡，是 一个基本力学量。 一个基本力学量。 性质2： 性质 ：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等 于力偶矩，而与矩心的位置无关， 于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶 对刚体的效应用力偶矩度量。 对刚体的效应用力偶矩度量。
Rx = F x + F2x − F4x = ∑Fix 1
R y = − F1 y + F2 y + F3 y + F4 y = ∑ Fiy
R x = ∑ Fix
轴上投影的代数和。 轴上投影的代数和。
R y = ∑ Fiy
合力投影定理：合力在任一轴上的投影， 合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
e d
二.平面汇交力系合成的解析法 平面汇交力系合成的解析法
1．力在坐标轴上的投影
Fx=F·cosα ：
Fy
Fy=F·sinα=F ·cosβ
F = Fx + Fy
2 2
Fx
Fx cos α = F
cos β =
第3章——力系简化的基础知识
建筑力学
若干个力偶(Couple)（一对大小相等、指向相反、作用 若干个力偶 Couple) 一对大小相等、指向相反、 线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。 线平行的两个力称为一个力偶）组成的力系。
第 3 章 力系简化的基础知识 平面力系的分类
建筑力学
（3）平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面平行力系：各力作用线平行的力系。 平面一般力系：平面汇交力系、平面力偶系、 （4）平面一般力系：平面汇交力系、平面力偶系、 平面平行 力系之外的平面力系。各力作用线既不汇交 力系之外的平面力系。 又不平行的平面力系。 又不平行的平面力系。
量，其又分为三类：
♦ 第一类代数量(纯代数量)：既有大小，又有正负。如功、功率等； ♦ 第二类代数量(角代数量)：既有大小，又有旋转方向。如：力矩、角
速度等；
♦ 第三类代数量(线代数量)：即投影量，既有大小，又有沿某轴线的单
一方向。如沿两正交x、y轴的速度Vx，Vy，力Fx，Fy投影等。
第 3 章 力系简化的基础知识
第 3 章 力系简化的基础知识
建筑力学
解：
FX 1 = F1 cos 45o = 100 × 0.707 = 70.7 N
FX 2 = − F2 cos 60o = −100 × 0.5 = −50 N
FY 1 = F1 sin 45o = 100 × 0.707 = 70.7 N
FY 2 = F2 sin 60o = 100 × 0.866 = 86.6 N
这两个轴上的投影Fx和Fy的绝对值。
♦ 但当x,y两轴不相互垂直时，则沿两轴的分力F’x和F‘y ，在数值上不
等于力F在此两轴上的投影Fx和Fy。
♦ 注意：力F在轴上的投影Fx和Fy是代数量； ♦
理论力学_力系简化的基础知识.ppt
m0（F） = ±2Δ面积
力系简化的基础知识
平面汇交力系的合成与平衡条件 力对点的矩 力偶·力偶矩 平面力偶系的合成与平衡条件
力的等效平移
力偶和力偶矩
力偶(Couple ) —— 大小相等的二个反向平行力称
之为一个力偶。
力偶的作用效果是引起物体的转动，和力矩一样，
产生转动效应。
讨论力的转动效应时，主 要关心力矩的大小与转动 方向，而这些与力的大小、 转动中心（矩心）的位置、 动中心到力作用线的垂直 距离（力臂）有关。
力矩
力的转动效应——力矩 M 可由下式计算：
m0（F） = ± F · h
式中：F 是力的数值大小，h 是力臂，常 用单位是 KN-m 。力矩用带箭头的弧线段 表示。 集中力引起的力矩直接套用公式进行计 算；对于均布线荷载引起的力矩，先计 算其合力，再套用公式进行计算。
F F c o s 3 0 1 0 0 0 . 8 6 6 8 6 . 6 N X 3 3
F F s i n 3 0 1 0 0 0 . 55 0 N Y 3 3
平面汇交力系的合成
例3.1题解：
FF c o s 6 0 1 0 0 0 . 5 5 0 N X 4 4
二汇交力的合成
力的平行四边形法则 (Parallelogram of forces )
作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作 用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以原来 的两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量 来表示。
平面汇交力系的合成
1、平面汇交力系合成的几何法 设任意的力F1、F2、F3、F4 的作用线汇交于A 点，构成一个 平面汇交力系。由力的平行四边
第三章 静力学力系简化的基本知识
力的等效平移定理是力系简化的基础。
力的等效平移：在同一刚体上A点的力F可以等 效地平移到任意一点O。但必须附加一个力偶， 其力偶矩等于F对作用点O的之矩。 如图所示：
F
d
A
刚 体
B
A
刚 体
F´
B 附加力偶m
作用在刚体上A点的力F可以等效地平移到此刚体上的任 意一点B，但必须附加一个力偶m，且：m=MB(F)=Fd。
m2
m1
B
a
C a D 600 A
A
。
A： m2 = m1; B： m2 = 4 m1 / 3; C： m2 = 2 m1。
F = F1 + F2
§3-1 平面汇交力系合成与平衡条件
二、平面汇交力系合成
F4 F3 F3 F2 F1 FR F23 FR
F4 F2
F12
F1
®力的平行四边形法则
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用 力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。 给实际作图带来困难。 R=F1+F2+F3+…+Fn=∑F
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
y
F F
x y
0 S BC con 30 S AB Q sin 30 0 0 S BC cos 60 P Q cos 30 0
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
SBC
Q
3、平面汇交力系合成的解析法： 根据合力投影定理得
力的等效平移：在同一刚体上A点的力F可以等 效地平移到任意一点O。但必须附加一个力偶， 其力偶矩等于F对作用点O的之矩。 如图所示：
F
d
A
刚 体
B
A
刚 体
F´
B 附加力偶m
作用在刚体上A点的力F可以等效地平移到此刚体上的任 意一点B，但必须附加一个力偶m，且：m=MB(F)=Fd。
m2
m1
B
a
C a D 600 A
A
。
A： m2 = m1; B： m2 = 4 m1 / 3; C： m2 = 2 m1。
F = F1 + F2
§3-1 平面汇交力系合成与平衡条件
二、平面汇交力系合成
F4 F3 F3 F2 F1 FR F23 FR
F4 F2
F12
F1
®力的平行四边形法则
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用 力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。 给实际作图带来困难。 R=F1+F2+F3+…+Fn=∑F
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
3. 列出平衡方程：
y
F F
x y
0 S BC con 30 S AB Q sin 30 0 0 S BC cos 60 P Q cos 30 0
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
SBC
Q
3、平面汇交力系合成的解析法： 根据合力投影定理得
第三章建筑力学
物理量分类 可以将物理量重新分为三大类： (l) 标量：只有大小无方向或正负之分的物理量如质量、时间等。 (2) 矢量：既有大小又有方向的物理量。如：力、位移、动量等。 (3) 代数量（Alegbraic Quantities）：介于标量和矢量之间的
一种物理量，其又分为三类： 第一类代数量(纯代数量)：既有大小，又有正负。如功、功率等； 第二类代数量(角代数量)：既有大小，又有旋转方向。如：力矩、
用代数量进行运算时，必须先引入一个参考正方 向的概念，有了正方向，就可以把代数量的实际 方向与之相比较，当两者方向相同时，代数量为 正，当两者方向相反时，代数量为负。对于待求 的代数量，则只需假定一个正方向，运算得出的 结果为非负数，则表示该待求量的实际方向与参 考正方向相同，否则相反。
矢量投影变为一组代数量，有大小、还有正负。
平衡汇交力系求解未知力例题
(1)取铰B为分离体，其受力图 如图所示。因为只需要求反力 FBC所以，选取x轴与不需求的 约束力FBA垂直。建立平衡方 程并求解
Fx 0 F1 cos 45 FBC cos 45 0 FBC F1
平衡汇交力系求解未知力例题
(2)取铰C为分离体，其受力 图如图所示。图上力FCB的 大小是已知的，即FCB ＝ FBC ＝-F1。为求力F2的大小， 选取x轴与反力FCD垂直，建 立平衡方程求解。
由力偶系平衡方程求出未知 力。
n
Mi 0 M 2aFA 0
i 1
FA FB M / 2a
• 力的平移定理可用来解释一 些实际问题。如图所示一厂房 立柱，牛腿处（支柱的突出部 分）承受吊车梁施加的压力F。 力F与柱轴线的偏心距为e。按 力的平移定理，可将力F等效 地平移到立柱的轴线上，同时 附加一M=Fe的附加力偶。如图 所示。移动后可以清楚地看到 力F使柱产生压缩变形；力偶M 使立柱产生弯曲变形。说明力 F所引起的变形是压缩和弯曲 两种变形的组合。
力系简化的基础知识
M O (R) 2oAD oA od
M o (R) M o (F1 ) M o (F2 ) 证毕
§3-2 力对点的矩
力矩与合力矩的解析表达式
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
S AB 54.5kN S BC 74.5kN
即杆AB 实际上受拉力。
SBC
Q
30° P
b
反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
F
A
B
l
y
300
600
x
F
1）取梁为研究对象 2）取坐标 3）受力分析 4）分析力系：平面汇交力系 5）列平衡方程解未知力
F1 b
F2 c
z FR 2 F F 3 R1 d
a
F4
x
f FR
eFR 3 y F5
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
构成的力多边形是一个有缺口不封闭的力多边形， 合力FR矢量则沿着相反方向连接此缺口，当改变各分力 的矢量的作图次序，可以得到形状不同的力多边形。但 合力矢量保持不变。
根据合力投影定理得
Ry F1 y F2 y Fny Fy
合力的大小
R R R
2 x 2 y
F F
2 x y
2
合力R 的方向余弦
Ry Fy Rx Fx cos , cos R R R R
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
M o (R) M o (F1 ) M o (F2 ) 证毕
§3-2 力对点的矩
力矩与合力矩的解析表达式
M O F M O Fy M O Fx x F sin y F cos x Fy y Fx
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
S AB 54.5kN S BC 74.5kN
即杆AB 实际上受拉力。
SBC
Q
30° P
b
反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
F
A
B
l
y
300
600
x
F
1）取梁为研究对象 2）取坐标 3）受力分析 4）分析力系：平面汇交力系 5）列平衡方程解未知力
F1 b
F2 c
z FR 2 F F 3 R1 d
a
F4
x
f FR
eFR 3 y F5
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
构成的力多边形是一个有缺口不封闭的力多边形， 合力FR矢量则沿着相反方向连接此缺口，当改变各分力 的矢量的作图次序，可以得到形状不同的力多边形。但 合力矢量保持不变。
根据合力投影定理得
Ry F1 y F2 y Fny Fy
合力的大小
R R R
2 x 2 y
F F
2 x y
2
合力R 的方向余弦
Ry Fy Rx Fx cos , cos R R R R
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
《建筑力学》_李前程__第三章_力系简化的基础知识
2
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件 力系的分类: 平面力系 和 空间力系。 平面力系——力系中各力的作用线都在同一平面内的力系。 平面汇交力系——力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
简化
3
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件
一、二汇交力的合成
F2
1. 力的平行四边形法则 FR = F1 + F2
O
力的三角形法则 F1
FR = F1 + F2
F2
O 力的多边形法则
n
F R Fi
F1
i 1
FR O F1
FR Fn
FR
F1 FR
F2
Fi O
4
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件
一、二汇交力的合成
已知: F1, F2,
几何法求合力: 应用余弦定理
FR F12 F22 2F1F2 cos
Fy 0, FCA sin 30 FT sin 30 FT 0 (2)
解得：
FCA 300kN FCB 346.4kN
讨论：结果是正值说明力的实际方向与受力图中假定方向相同；
若是负值说明力的实际方向与受力图中假定方向相反。
14
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件
[例题4] 连杆机构由三个无重杆铰接组成,在铰B 处施加一已知的竖向力F1 , 要使机构处于平衡状态,试问在铰 C 处施加的力 F2 应取何值?
试画出 AB 和 BDC 杆的受力图
受力分析:
1. AB杆为二力杆;
2. BDC 杆的 A、B二处分别受有
一个方向虽然未知、但可以判断出 的力。
24
第五节 力的等效平移
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件 力系的分类: 平面力系 和 空间力系。 平面力系——力系中各力的作用线都在同一平面内的力系。 平面汇交力系——力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
简化
3
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件
一、二汇交力的合成
F2
1. 力的平行四边形法则 FR = F1 + F2
O
力的三角形法则 F1
FR = F1 + F2
F2
O 力的多边形法则
n
F R Fi
F1
i 1
FR O F1
FR Fn
FR
F1 FR
F2
Fi O
4
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件
一、二汇交力的合成
已知: F1, F2,
几何法求合力: 应用余弦定理
FR F12 F22 2F1F2 cos
Fy 0, FCA sin 30 FT sin 30 FT 0 (2)
解得：
FCA 300kN FCB 346.4kN
讨论：结果是正值说明力的实际方向与受力图中假定方向相同；
若是负值说明力的实际方向与受力图中假定方向相反。
14
第一节 平面汇交力系的合成与平衡条件
[例题4] 连杆机构由三个无重杆铰接组成,在铰B 处施加一已知的竖向力F1 , 要使机构处于平衡状态,试问在铰 C 处施加的力 F2 应取何值?
试画出 AB 和 BDC 杆的受力图
受力分析:
1. AB杆为二力杆;
2. BDC 杆的 A、B二处分别受有
一个方向虽然未知、但可以判断出 的力。
24
第五节 力的等效平移
力系简化的基础知识.ppt
由余弦定理：
为力多边形
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
s
F1
in
s
R
in(180
)
§3.1 平面汇交力系的合成与平衡
结论： R F1 F2 F3 F4
即： R F
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。
3.平面汇交力系平衡的几何条件
§3.2 力对点的矩
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵mo (F1) 2oAB oA ob mo (F2 ) 2oAC oA oc mo (R ) 2oAD oA od
平面汇交力系平衡的充要条件是：
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是： 或
力多边形自行封闭
力系中各力的矢量和等于零
§3.1 平面汇交力系的合成与平衡
二、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos Y=Fy=F·sin=F ·cos
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
§3.5 力的等效平移
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
[证] 力F
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
为力多边形
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
s
F1
in
s
R
in(180
)
§3.1 平面汇交力系的合成与平衡
结论： R F1 F2 F3 F4
即： R F
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过各力的汇交点。
3.平面汇交力系平衡的几何条件
§3.2 力对点的矩
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R )mO (Fi )
i1
[证] 由合力投影定理有： od=ob+oc
又∵mo (F1) 2oAB oA ob mo (F2 ) 2oAC oA oc mo (R ) 2oAD oA od
平面汇交力系平衡的充要条件是：
R F 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是： 或
力多边形自行封闭
力系中各力的矢量和等于零
§3.1 平面汇交力系的合成与平衡
二、力在坐标轴上的投影
X=Fx=F·cos Y=Fy=F·sin=F ·cos
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300 N
§3.5 力的等效平移
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
[证] 力F
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
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力系简化的基础知识
结论:
n
M m 1m 2m n m i
i 1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和
等于零。
即
n
mi 0
i1
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
Mm1m2m3m4 4(15)60Nm
X0 R Aco s F CD co 40 s5 0
Y0 P R A si n F Cs D4 i0 n 5 0
④解平衡方程：
tgE AB B1 0..2 41 3
解得： FCD4.24kN RA3.16kN
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时 用几何法（解力三角形）比较简便。
第三章 力系简化的基础知识
2、汇交力系合成的几何法
为力多边形
结论： RF1F2F3F4
即： RF
汇交力系可合成为一个作用于汇交点的合力，合力的力 矢由多边形的封闭边表示。即：平面汇交力系的合力等于各 分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
几何法解题步骤：①选研究对象； ②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数
平面上的力在轴上的投影是代数量。
建筑力学电子教案
2、合力投影定理
第三章 力系简化的基础知识
力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于该力系中各个 分力在同一轴上的投影的代数和。
n
FRxFx1Fx2...Fxn Fxi i1
3、平面汇交力系合成的解析法
F ( Fx)2( Fy)2
cosF(R,i)
力偶的等效及性质
力偶的等效条件：
两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等，即两个 力偶矩矢相等的力偶等效。
力偶的性质：
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
性质2：力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效应。
性质3：保持力偶转向和力偶矩的大小（即力与力偶臂的乘积） 不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以改变，而不会 改变对刚体的作用效应。
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
§3–4 平面力偶系的 合成与平衡条件
平面力偶系的合成：设有两个力偶
d
d
m 1F1d1;
m2F2d2
又m1P1d
m2P2d
RAP1P2' RBP1' P2
合 M R A 力 d ( P 1 P 2 ') d P 矩 1 d P 2 'd m 1 m 2
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
§3–2 力对点的矩
力对物体可以产生 移动效应：取决于力的大小、方向； 转动效应：取决于力偶的大小、方向。
一、平面中力对点之矩
MO(F)Fd
+-
说明：① MO (F )是代数量,单位Nm。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ MO (F )是影响转动的独立因素。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊， 都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有 一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，
说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，
如果求出负值，说明物体受压力。
又∵M O(F1)2OA O BO Ab M O(F 2)2OA O C O Ac M O(R)2OA O D O Ad
现 m O (R )m O (F 1)m O (F 2)证
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
概念：
§3–3 力偶 力偶矩
力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力
力偶臂：二力作用线之间的距离
建筑力学电子教案
建筑力学
建筑力学电子教案
二、力的可传递性
第三章 力系简化的基础知识
作用于刚体上某一点的力，可沿其作用线移至同一刚体内 的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
增减平衡力系原理：在刚体上增加或者减去一组平衡 力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。
滑移矢量：只需表示出作用线而无需表示出作用点的 矢量。作用于刚体上的力是滑移矢量。
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ; ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
四、汇交力系合成的解析法（投影法）
1、力在轴上的投影
X=Fx=F·cos ;
Y=Fy=F·sin = F ·cos
F Fx2Fy2
cosXFx
FF
cosY Fy
FF
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
三、汇交力系合成的几何法（矢量法）
1、二力的合成
由力的平行四边形 法则作，也可用力 的三角形来作。
由余弦定理： co 1s8 ( 0 ) co s
R F12F222F1F2cos
合力方向可应用正弦定理确定： sFin1sin1(R80)
建筑力学电子教案
当F=0或d=0时，MO (F )=0。 ④ MO (F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
建筑力学电子教案
第三章 力系简化的基础知识
二、合力矩定理 定理：合力对任一点的矩矢等于所有各分力对同一点的矩
的矢量和。即：
n
mO(R) mO(Fi) i1
[证] 由合力投影定理有： Od=Ob+Oc
Fx FR
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第三章 力系简化的基础知识
五、平面汇交力系的平衡条件
汇交力系平衡的充要条件是该力系合力的大小为零，即：
Rx Fx X0 Ry Fy Y0
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第三章 力系简化的基础知识
[例] 已知 P=2kN ，求FCD , RA 。 解：①研究AB杆；
②画出受力图；
③列平衡方程
力偶作用面
力偶矩
力偶对刚体只产生转动效应，而力偶矩矢是对刚体 转动效应的度量。
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第三章 力系简化的基础知识
F
B
Ad
x
F'
m O (F ) m O (F ') F (x d ) F 'x
FdmO(R)
由于O点是任取的
O
m F d
+
—
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第三章 力系简化的基础知识
结论:
n
M m 1m 2m n m i
i 1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和。
平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和
等于零。
即
n
mi 0
i1
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第三章 力系简化的基础知识
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径
的孔,每个钻头的力偶矩为 m 1 m 2 m 3 m 4 1N 5 m 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为
Mm1m2m3m4 4(15)60Nm
X0 R Aco s F CD co 40 s5 0
Y0 P R A si n F Cs D4 i0 n 5 0
④解平衡方程：
tgE AB B1 0..2 41 3
解得： FCD4.24kN RA3.16kN
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第三章 力系简化的基础知识
解题技巧及说明：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时 用几何法（解力三角形）比较简便。
第三章 力系简化的基础知识
2、汇交力系合成的几何法
为力多边形
结论： RF1F2F3F4
即： RF
汇交力系可合成为一个作用于汇交点的合力，合力的力 矢由多边形的封闭边表示。即：平面汇交力系的合力等于各 分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
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第三章 力系简化的基础知识
几何法解题步骤：①选研究对象； ②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数
平面上的力在轴上的投影是代数量。
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2、合力投影定理
第三章 力系简化的基础知识
力系的合力在任一坐标轴上的投影，等于该力系中各个 分力在同一轴上的投影的代数和。
n
FRxFx1Fx2...Fxn Fxi i1
3、平面汇交力系合成的解析法
F ( Fx)2( Fy)2
cosF(R,i)
力偶的等效及性质
力偶的等效条件：
两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等，即两个 力偶矩矢相等的力偶等效。
力偶的性质：
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
性质2：力偶可在其作用面内任意转移，或移到另一平行平 面，而不改变对刚体的作用效应。
性质3：保持力偶转向和力偶矩的大小（即力与力偶臂的乘积） 不变，力偶中的力和力偶臂的大小可以改变，而不会 改变对刚体的作用效应。
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第三章 力系简化的基础知识
§3–4 平面力偶系的 合成与平衡条件
平面力偶系的合成：设有两个力偶
d
d
m 1F1d1;
m2F2d2
又m1P1d
m2P2d
RAP1P2' RBP1' P2
合 M R A 力 d ( P 1 P 2 ') d P 矩 1 d P 2 'd m 1 m 2
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第三章 力系简化的基础知识
§3–2 力对点的矩
力对物体可以产生 移动效应：取决于力的大小、方向； 转动效应：取决于力偶的大小、方向。
一、平面中力对点之矩
MO(F)Fd
+-
说明：① MO (F )是代数量,单位Nm。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ MO (F )是影响转动的独立因素。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊， 都用解析法。
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有 一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负值，
说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，
如果求出负值，说明物体受压力。
又∵M O(F1)2OA O BO Ab M O(F 2)2OA O C O Ac M O(R)2OA O D O Ad
现 m O (R )m O (F 1)m O (F 2)证
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第三章 力系简化的基础知识
概念：
§3–3 力偶 力偶矩
力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力
力偶臂：二力作用线之间的距离
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二、力的可传递性
第三章 力系简化的基础知识
作用于刚体上某一点的力，可沿其作用线移至同一刚体内 的任一点，而不改变该力对刚体的作用效应。
增减平衡力系原理：在刚体上增加或者减去一组平衡 力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。
滑移矢量：只需表示出作用线而无需表示出作用点的 矢量。作用于刚体上的力是滑移矢量。
几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ; ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
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第三章 力系简化的基础知识
四、汇交力系合成的解析法（投影法）
1、力在轴上的投影
X=Fx=F·cos ;
Y=Fy=F·sin = F ·cos
F Fx2Fy2
cosXFx
FF
cosY Fy
FF
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第三章 力系简化的基础知识
三、汇交力系合成的几何法（矢量法）
1、二力的合成
由力的平行四边形 法则作，也可用力 的三角形来作。
由余弦定理： co 1s8 ( 0 ) co s
R F12F222F1F2cos
合力方向可应用正弦定理确定： sFin1sin1(R80)
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当F=0或d=0时，MO (F )=0。 ④ MO (F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
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二、合力矩定理 定理：合力对任一点的矩矢等于所有各分力对同一点的矩
的矢量和。即：
n
mO(R) mO(Fi) i1
[证] 由合力投影定理有： Od=Ob+Oc
Fx FR
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五、平面汇交力系的平衡条件
汇交力系平衡的充要条件是该力系合力的大小为零，即：
Rx Fx X0 Ry Fy Y0
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第三章 力系简化的基础知识
[例] 已知 P=2kN ，求FCD , RA 。 解：①研究AB杆；
②画出受力图；
③列平衡方程
力偶作用面
力偶矩
力偶对刚体只产生转动效应，而力偶矩矢是对刚体 转动效应的度量。
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第三章 力系简化的基础知识
F
B
Ad
x
F'
m O (F ) m O (F ') F (x d ) F 'x
FdmO(R)
由于O点是任取的
O
m F d
+
—
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第三章 力系简化的基础知识