高二上学期期末数学试卷(a卷)套真题
高二数学上学期期末考试 理 A 试题_1(共11页)
2021-2021学年度第一(dìyī)学期教学质量检测高二数学试题〔理科〕注意：本套试卷包括三道大题示范高中做的，普通高中不做；注明普通高中做的，示范高中不做，没有注明的，所有学生都做.一、选择题：每一小题只有一个正确结论，把正确结论前的代号填在选择题答题栏内，用机读卡的，直接涂卡.每一小题5分，一共60分.1.程序能做许多我们用纸和笔很难做的较大计算量的问题，这主要归功于算法语句的A．输入〔出〕语句 B．赋值语句C．条件语句D．循环语句2.某高中一共有人，其中高一年级人，高二年级人，高三年级人，现采用分层抽样抽取容量为的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A. ,,B. 15,15,15C. 10, ,D. 15, 5,3．“〞是“方程〞表示焦点在y轴上的椭圆〞的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4.〔普通高中做〕抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．〔示范高中做〕抛物线的焦点坐标为〔〕 .A． B． C． D．PRINT ，5.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是A ．B ．C ．D ．6．从装有个红球和2个黒球的口袋(k ǒu d ɑi)内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是A ．至少有一个黒球与都是黒球B ．至少有一个红球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 7．全称命题“，〞的否认是 A ．，254x x +=B ．x R ∀∈，C ．x R ∃∈，254x x +≠D ．以上都不正确8．某赛季甲、乙两名篮球运发动每场比赛得分的茎叶图如下图，那么甲、乙两人得分的中位数之和是 A.B.C.D.甲 乙8 4 6 3 3 6 8122 5 5 4 1 6 1 6 7 9A=10，S=S+2A=A-1输出SA ≤是 否 开场 完毕9.如图，该程序运行后输出的结果为A ．B ．C.D ． 6410.假设(ji ǎsh è)直线的方向向量为，平面的法向量为，那么A. l ⊥αB. l ∥αC. lα D. l 与α斜交的绳子拉直后在任意位置剪断,那么剪断后两段绳子的长度均不小于的概率为 A.B. C.D.不能确定 12.如图，在正方体中，是侧面内一动点，假设p 到直线与直线的间隔 相等，那么动点p 的轨迹所在的曲线是A.直线B. 圆C. 抛物线D. 双曲线二、填空题：每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上. 13. 比拟大小：;14．在区间中随机地取出两个数，那么两数之和小于的概率是_____________; 15.，，设在线段1M 2M 上的一点满足=，那么向量〔为坐标原点〕的坐标为 ;16.与椭圆有一共同焦点，且一条渐近线方程是的双曲线的方程是 .三、 解答(ji ěd á)题:本大题一一共个小题．一共分．解答要写出文字说明、证明过程或者解题步骤． 17.〔此题满分是10分〕为理解高一学生的体能情况,某校抽取局部学生进展一分钟跳绳次数的测试，将所得数据整理、分组后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小长方形面积之比为.假设第二组的频数为.(1) 求第二组的频率是多少？样本容量是 多少？ 〔2〕假设次数在以上〔含110次〕为达标，试估计该全体高一学生的达标率是多少？18.〔此题满分是12分〕命题p ：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，命题：是增函数，假设p 或者q 为真命题，p且q 为假命题，务实数的取值范围.90100 110 120 130 140 150o频率/组距19.〔普通高中做〕〔此题满分是12分〕抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴，抛物线上一点到焦点的间隔 为5,求m 的值及抛物线方程.〔示范(sh ìf àn)高中做〕〔此题满分是12分〕双曲线的离心率为，且双曲线上点到右焦点的间隔 与到直线的间隔 之比为3 (1) 求双曲线的方程；〔2〕直线与双曲线C 交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求m 的值.20.〔此题满分是12分〕袋中有质地、大小完全一样的5个球，编号分别为1、2、、、5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，假如两个编号的和为偶数算甲赢，否那么算乙赢。
2022-2023学年人教A版高二上数学期末试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期末试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知数列满足，且，则 A.B.C.D.2. 当时，式子的值是（ ）A.B.C.D.3. 在空间有三个向量、、，则 A.B.C.D.4. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是( )A.B.{}a n =1a 1=a n a n+12n +=a 12a 21()1086108812801536m =−12m +3−1012AB −→−BC −→−CD −→−++=(AB −→−BC −→−CD −→−)AC −→−AD −→−BD −→−0→+−4x −4y −10=0x 2y 2x +y −14=036186–√C.D.5. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（ ）A.B.C.D.6. 已知过点且与两坐标轴都有交点的直线与圆相切，则直线的方程为A.B.C.或D.或7. 已知椭圆的左、右焦点分别为过 的直线与椭圆交于，两点．若，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.8. 已知数列，欲使它的前项的乘积大于，则的最小值为（ ）A.62–√52–√121323131656P (2,2)l 1+=1(x −1)2y 2l 1( )3x −4y +2=04x −3y −2=03x −4y +2=0x =24x −3y −2=0x =2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F 1F 2F 2C A B |AB|=||,|A|=|B|F 1F 2F 112F 1C 1+145−−−√20−1145−−−√20−1145−−−√181+145−−−√18{}n +2n n 36n 7B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是( )A.的焦点在轴上B.C.的实轴长为D.的离心率为10. 以下结论不正确的是（ ）A.对立事件一定互斥B.事件与事件的和事件的概率一定大于事件的概率C.事件与事件互斥，则有D.事件，满足，则，是对立事件11. 在正方体中，过作一垂直于直线的平面交平面于直线，动点在直线上，则下列选项正确的是（ ）A.B.．C.点到平面的距离等于线段的长度D.直线与直线所成角的余弦值的最大值是12. 已知点是抛物线的焦点，，是经过点的弦且，的斜率为，且，，两点在轴上方. 则下列结论中一定成立的是 A.B.四边形面积最小值为C.8910E :−=1(m >0)x 2m y 24x +3y =0E x m =49E 6E 10−−√3A B A A B P (A)=1−P (B)A B P (A)+P (B)=1A B ABCD −A 1B 1C 1D 1AB C B 1ADD 1A 1l M l C//l B 1C ⊥l B 1M BCC 1B 1AB M B 1CD 5–√3F =2px (p >0)y 2AB CD F AB ⊥CD AB k k >0C A x ()⋅=−OC −→−OD −→−34p 2ACBD 16p 2+=1|AB|1|CD|12p |AF|⋅|BF|=42−–√D.若，则直线的斜率为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为________．14. 圆与圆的位置关系为________.15. 设数列满足，则________.16. 设平面向量则________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和，是递增等比数列，且，．求数列和的通项公式；若，求数列的前项和 18.某电视台为宣传本市，随机对本市内岁的人群抽取了人，回答问题“本市内著名旅游景点有哪些”，统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组分别求出,，，，的值；根据频率分布直方图估计这组数据的中位数(保留小数点后两位)和平均数；|AF|⋅|BF|=4p 2CD −3–√1312：++2x +8y −8=0C 1x 2y 2：+−4x +4y −8=0C 2x 2y 2{}a n +3+⋯+(2n −1)=2n a 1a 2a n =a n {}a n n =(n ∈)S n n 2N ∗{}b n =b 1a 1=b 3a 5(1){}a n {}b n (2)=⋅(n ∈)c n a n b n N ∗{}c n n .T n 15∼65n 1[15,25)a 0.52[25,35)18x 3[35,45)b 0.94[45,55)90.365[55,65)3y(1)n a b x y (2)(3)若第组回答正确的人员中，有名女性，其余为男性，现从中随机抽取人，求至少抽中名女性的概率.19. 已知圆经过 ，并且圆心在直线 上.求圆的标准方程；过点的直线与圆交于两点，若，求直线的方程.20. 在四棱锥中， 平面，底面是边长为的菱形， ，是的中点．求证：平面平面；若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．21. 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，右焦点为，且的面积为， . 求的方程；过点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点，轴上存在点满足，求点纵坐标的取值范围 .22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．(3)1221C A (2,1),B (−2,−3)C 2x +y =0(1)C (2)D(3,−1)l C M,N |MN|=26–√l P −ABCD PD ⊥ABCD ABCD 2∠DAB =60∘E AD (1)PBE ⊥PAD (2)PB PAD 30∘C −PE −D C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2,A 1A 2B F △B A 1A 242–√⋅=−4B A 1−→−B A 2−→−(1)C (2)F l x C M N y P |PM|=|PN|P F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】数列递推式【解析】利用递推式逐步求解即可．【解答】解：因为 所以令时， ,所以, .故选．2.【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.=,a n a n+12n ⋅=,a n+1a n+22n+1=2,a n+2a nn =1=2,a 1a 2=2a 2=2×==64a 122526=1×=1024,a 21210+=64+1024=1088a 12a 21B【答案】B【考点】空间向量的加减法【解析】首先根据题意作图，然后由三角形法则，即可求得向量 、、的和向量．【解答】解：如图：．故选．4.【答案】C【考点】直线与圆相交的性质点到直线的距离公式【解析】先看直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径；相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求．【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆心到到直线的距离为，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.故选．5.【答案】A【考点】互斥事件的概率加法公式AB −→−BC −→−CD −→−++=+=AB −→−BC −→−CD −→−AC −→−CD −→−AD −→−B +−4x −4y −10=0x 2y 2(2,2)32–√x +y −14=0=5>3|2+2−14|2–√2–√2–√2R =62–√C相互独立事件的概率乘法公式【解析】对立事件的概率之和为，相互独立事件的概率用乘法法则．【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为，∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为．故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，代入直线方程即可.【解答】解：由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，即.因为直线与圆相切，则，解得，故直线方程为，即.故选.7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理1(1−)×(1−)=1213131−=1323A l 1l 1y −2=k(x −2)kx −y +2−2k =0l 1+=1(x −1)2y 2=1|k +2−2k|+(−1k 2)2−−−−−−−−−√k =34x −y +2−=034323x −4y +2=0A根据题意利用椭圆的定义及余弦定理即可求得结果.【解答】设，则，，由于，所以，①由图可得，又由于所以，整理可得：，②将①代入②化简得等式左右两边同除可得，又结合椭圆的离心率的取值范围光解得.故选． 8.【答案】B【考点】数列的应用【解析】根据题设条件可知，数列的前项的乘积．由此能够导出的最小值．【解答】解：由题意可知，数列的前项的乘积．当时，或（舍去）．∵，∴的最小值为．|A|=x F 1|B|=2x F 1|A|=2a −x,|B|=2a −2x F 2F 2|AB|=||F 1F 22a −x +2a −2x =4a −3x =2c cos ∠A =,cos ∠B =F 2F 1+4−(2a −x)2c 2x 24a (2a −2)F 2F 1+4(2a −2x)2c 24(2a −2x)∠A +∠B =πF 2F 1F 1F 2F 1cos ∠A +cos ∠B =0F 2F 1F 2F 2+=04−4ax +4a 2c 22a −x 2−4ax +2ca 2a −x9−ac −4=0c 3a 2a 29−e −4=0e 3(0,1)e =1+145−−−√18D {}n +2nn =×××…×××=T n 314253n n −2n +1n −1n +2n (n +1)(n +2)2n {}n +2nn =×××…×××=T n 314253n n −2n +1n −1n +2n (n +1)(n +2)2=>36T n (n +1)(n +2)2n >7n <−10n ∈N ∗n 8二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故确；根据题意得，所以，故错误；双曲线的实轴长为，故错误；双曲线的离心率 ，故正确．故选．【解答】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故正确；双曲线的一条渐近线方程为，即，根据题意得，所以，故错误；双曲线的实轴长为，故错误；双曲线的离心率，故正确．故选．10.【答案】B,C,D【考点】互斥事件与对立事件【解析】由互斥事件及对立事件的概念及性质对选项逐一判断即可.【解答】m ＞0E x A ==b a 2m −−√13m =36B E 2=12m−−√C E e ====e a m +4−−−−−√m −−√10−−√3D AD m >0E x A E :−=1(m >0)x 2m y 24x +3y =0y =−x 13==b a 2m −−√13m =36B E 2=12m−−√C E e ===c a m +4−−−−−√m −−√10−−√3D AD A A解：，对立事件一定互斥，故正确，不符合题意；，当事件包含事件时，事件与的和事件的概率等于事件的概率，故错误，符合题意；，当事件与对立时，有，故错误，符合题意；，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，所以“”是“与是对立事件”的必要不充分条件，故错误，符合题意.故选.11.【答案】B,C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】解：12.【答案】A,C,D【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的性质圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题可知，直线的方程为，联立消去可得，，A A B A B A B A B C A B P(A)=1−P(B)C D P(A)+P(B)=1A B D BCD A(,),B(,),C(,),D(,)x 1y 1x 2y 2x 3y 3x 4y 4CD y =−(x −)1k p 2{y =−(x −)，1k p 2=2px ，y 2y −(+2p)x +=01k 2x 2p k 2p 24k 22，，，故正确；直线，联立得，，，由抛物线的定义得，，同理，， 四边形的面积，故错误；由上可知，，故正确；，，当时，，又，解得，直线的斜率为，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】∴+=p(1+2)x 3x 4k 2=x 3x 4p 24∴⋅=+OC −→−OD −→−x 3x 4y 3y 4=+(−)(−)x 3x 41k 2x 3p 2x 4p 2=(1+)−(+)+1k 2x 3x 4p 2k 2x 3x 4p 24k 2=−34p 2A AB :y =k(x −)p 2{y =k(x −)，p 2=2px ，y 2−p(+2)x +=0k 2x 2k 214k 2p 2∴+=p x 1x 2+2k 2k 2=x 1x 2p 24|AB|=|AF|+|BF|=++p =2p x 1x 2+1k 2k 2|CD|=(+1)2p k 2∴ACBD =|AB|⋅|CD|=212p 2(+1k 2)2k 2=2(++2)p 2k 21k 2≥8p 2B+=1|AB|1|CD|12p C |AF|⋅|BF|=(+)(+)x 1p 2x 2p 2=+(+)+x 1x 2p 2x 1x 2p 24=+⋅p 22+2k 2k 2p 22=+1k 2k 2p 2|AF|⋅|BF|=4p 2=4+1k 2k 2p 2p2k >0k =3–√3∴CD −3–√D ACD 23(A)=1(B)=1设表示“甲胜”，表示“和棋”，表示“乙胜”，则，，，由此能求出乙不输的概率．【解答】解：设表示“甲胜”，表示“和棋”，表示“乙胜”，则，，，∴乙不输的概率为：．故答案为：．14.【答案】相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】本题主要考查两圆的位置关系，先转化为标准方程，求出圆心和半径即可解得．【解答】解：圆:圆：两圆相交．故答案为：相交．15.【答案】【考点】数列递推式【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式．A B C P(A)=13P(B)=12P(C)=1−−=131216A B C P(A)=13P(B)=12P(C)=1−−=131216P =P(B ∪C)=P(B)+P(C)=+=12162323C 1(x +1+(y +4=25)2)2∴(−1,4),=5C 1Y 1C 2(x −2+(y +2=16)2)2∴(2,−2),=4C 2r 2∴||==C 1C 29+4−−−−√13−−√∴−<||<+r 1r 2C 1C 2r 1r 2∴22n −1解：数列满足，∴，∴两式相减得，∴.当时，，上式也成立，∴.故答案为：.16.【答案】【考点】相等向量与相反向量空间向量的夹角与距离求解公式平行向量的性质【解析】此题暂无解析【解答】由题意得，四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：当时，；当时， ；∴，∴，，∴数列的公比，∴．由可得，∴，①，②①②，整理得．【考点】{}a n +3+5+…+(2n −1)=2n a 1a 2a 3a n +3+5+…+(2n −3)=2n −2a 1a 2a 3a n−1(n ≥2)(2n −1)=2a n =a n 22n −1(n ≥2)n =1=2a 1=a n 22n −122n −1−62a −b =(3,−4)∴(2a −b)⋅c =3×2−4×3=−6(1)n =1==1a 1S 1n >1=−a n S n S n−1=−n 2(n −1)2=2n −1=2n −1(n ∈)a n N ∗==1b 1a 1==9b 3a 5{}b n q =3=(n ∈)b n 3n−1N ∗(2)(1)=⋅=(2n −1)⋅(n ∈)c n a n b n 3n−1N ∗=+++⋯++T n c 1c 2c 3c n−1c n =1×1+3×3+5×+⋯32+(2n −3)×3n−2+(2n −1)×3n−13=1×3+3×T n 32+5×+⋯33+(2n −3)×3n−1+(2n −1)×3n −=(n −1)×+1T n 3n (n ∈)N ∗数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，；当时， ；∴，∴，，∴数列的公比，∴．由可得，∴，①，②①②，整理得．18.【答案】解：由频率表中第组数据可知，第组总人数为，结合频率分布直方图可知，∴，，第组人数为，第组人数为,∴，．设中位数为，由频率分布直方图可知且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：由知，则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性.男性分别记为女性分别记为先从人中随机抽取人，共有：个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个基本事件，至少抽中一名女性的概率.【考点】(1)n =1==1a 1S 1n >1=−a n S n S n−1=−n 2(n −1)2=2n −1=2n −1(n ∈)a n N ∗==1b 1a 1==9b 3a 5{}b n q =3=(n ∈)b n 3n−1N ∗(2)(1)=⋅=(2n −1)⋅(n ∈)c n a n b n 3n−1N ∗=+++⋯++T n c 1c 2c 3c n−1c n =1×1+3×3+5×+⋯32+(2n −3)×3n−2+(2n −1)×3n−13=1×3+3×T n 32+5×+⋯33+(2n −3)×3n−1+(2n −1)×3n −=(n −1)×+1T n 3n (n ∈)N ∗(1)44=2590.36n ==100250.025×10a =100×(0.010×10)×0.5=5b =100×(0.030×10)×0.9=2720.020×10×100=2050.015×10×100=15x ==0.91820y ==0.2315(2)x x ∈[35,45)0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=0.5x ≈41.67∴41.67=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×x ¯¯¯10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5，(3)(1)a =532a,b,c ，1,2,52(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)，(c,1),(c,2),(1,2),(b,c)10A (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)7∴p =710列举法计算基本事件数及事件发生的概率众数、中位数、平均数、百分位数频率分布直方图【解析】（1）根据频率表中数据求出的值，再分别计算、、与的值；（2）利用分层抽样法求出第、、组分别抽取的人数；（3）利用列举法求出从人中抽人的基本事件数以及所抽取的人中恰好没有第组人基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：由频率表中第组数据可知，第组总人数为，结合频率分布直方图可知，∴，，第组人数为，第组人数为,∴，．设中位数为，由频率分布直方图可知且有，解得，估计这组数据的中位数为，估计这组数据的平均数为：由知，则第一组中回答正确的人员中有名男性，名女性.男性分别记为女性分别记为先从人中随机抽取人，共有：个基本事件，记“至少抽中一名女性”为事件，共有个基本事件，至少抽中一名女性的概率.19.【答案】解：中点为，斜率，∴的垂直平分线所在直线方程为,即，又∵圆心在直线上，则有解得n a b x y 234623(1)44=2590.36n ==100250.025×10a =100×(0.010×10)×0.5=5b =100×(0.030×10)×0.9=2720.020×10×100=2050.015×10×100=15x ==0.91820y ==0.2315(2)x x ∈[35,45)0.010×10+0.020×10+(x −35)×0.030=0.5x ≈41.67∴41.67=20×0.010×10+30×0.020×10+40×0.030×x ¯¯¯10+50×0.025×10+60×0.030×10=41.5，(3)(1)a =532a,b,c ，1,2,52(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)，(c,1),(c,2),(1,2),(b,c)10A (a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2)7∴p =710(1)AB (0,−1)AB ==1k AB 1−(−3)2−(−2)AB y −(−1)=−1⋅(x −0)y =−x −1C 2x +y =0{y =−x −1,y =−2x,{x =1,y =−2,C(1,−2)∴圆心,，∴圆的标准方程为.∵，∴圆心到的距离，①当直线斜率存在时，设，即,，解得，此时,②当直线斜率不存在时，，此时，也符合要求.综上，可得直线的方程为或.【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：中点为，斜率，∴的垂直平分线所在直线方程为,即，又∵圆心在直线上，则有解得∴圆心,，∴圆的标准方程为.∵，∴圆心到的距离，①当直线斜率存在时，设，即,，解得，此时,②当直线斜率不存在时，C(1,−2)=|CA =10r 2|2C (x −1+(y +2=10)2)2(2)|MN|=2，=106–√r 2C l d ==2−(r 2|MN|2)2−−−−−−−−−−−√l l :y +1=k(x −3)kx −y −3k −1=0d ==2|−2k+1|+1k 2−−−−−√k =−34l :3x +4y −5=0l l :x =3d =2l 3x +4y −5=0x =3(1)AB (0,−1)AB ==1k AB 1−(−3)2−(−2)AB y −(−1)=−1⋅(x −0)y =−x −1C 2x +y =0{y =−x −1,y =−2x,{x =1,y =−2,C(1,−2)=|CA =10r 2|2C (x −1+(y +2=10)2)2(2)|MN|=2，=106–√r 2C l d ==2−(r 2|MN|2)2−−−−−−−−−−−√l l :y +1=k(x −3)kx −y −3k −1=0d ==2|−2k+1|+1k 2−−−−−√k =−34l :3x +4y −5=0l l :x =3d =2，此时，也符合要求.综上，可得直线的方程为或.20.【答案】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，易得，所以，所以在中，，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．l :x =3d =2l 3x +4y −5=0x =3(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =30∘Rt △BPE BE =3–√PE =3Rt △DPE DP =22–√E EA −→−x EB −→−y E −xyz P(−1,0,2)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,2)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +2z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(2,4,)m →6–√2–√3–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →4118−−−√59C −PE −D 4118−−−√59【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】【解答】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，易得，所以，所以在中，，以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =30∘Rt △BPE BE =3–√PE =3Rt △DPE DP =22–√E EA −→−x EB −→−y E −xyz P(−1,0,2)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,2)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +2z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(2,4,)m →6–√2–√3–√(0,,0)−→−由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．21.【答案】解：依题知，，所以，且，解得 ，所以椭圆的方程为 . 设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立消得，有 . 取的中点为，则，那么 ，所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】（1）依题知，所以，(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →4118−−−√59C −PE −D 4118−−−√59(1)A (−a,0),(a,0)A 2B (0,b)=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2,C +=1x 28y 24(2)P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1,x 28y 24y =k(x −2),y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y P 2–√22–√2P [−,]2–√22–√2A (−a,0),(a,0),B (0,b)A 2=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4−→−−→−且，解得 . 所以椭圆的方程为 . （2）设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立，消得，有 . 取的中点为，则，那么 . 所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 【解答】解：依题知，，所以，且，解得 ，所以椭圆的方程为 . 设点的纵坐标为，当直线垂直于轴时，依题易知；当直线不垂直于轴时，不妨设直线，，联立消得，有 . 取的中点为，则，那么 ，⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2C +=1x 28y 24P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1x 28y 248+=1y 24y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y 02–√22–√2P [−,]2–√22–√2(1)A (−a,0),(a,0)A 2B (0,b)=⋅2a ⋅b =ab =4S △B A 1A 2122–√⋅=(a,b)⋅(−a,b)=−+=−4B A 1−→−B A 2−→−a 2b 2{a =2,2–√b =2,C +=1x 28y 24(2)P y p l x =0y p l x l :y =k (x −2),k ≠0M (,),N (,)x 1y 1x 2y 2 +=1,x 28y 24y =k(x −2),y (1+2)−8x +8−8=0k 2x 2k 2k 2+=x 1x 28k 21+2k 2MN Q (,)x 0y 0==x 0+x 1x 224k 21+2k 2=k (−2)=−y 0x 02k 1+2k 2+=−(x −)42所以直线的方程为，令，，易知，所以 . 综上，点纵坐标的取值范围 . 22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．PQ y +=−(x −)2k 1+2k 21k 4k 21+2k 2x =0==y p 2k 1+2k 22+2k 1k +2k ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)1k 2–√2–√∈[−,0)∪(0,]y P 2–√22–√2P [−,]2–√22–√2(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
高中数学选择性必修二 高二上学期数学期末测试卷(A卷 夯实基础)同步单元AB卷(含答案)
班级 姓名 学号 分数高二上学期数学期末测试卷（A 卷·夯实基础）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°，则y 等于（ ） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-，所以1153y k +==--，得3y =-. 故选：D.2．40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（ ） A50y ++= B．40x += C．50x += D．0x +=【答案】C 【详解】40y --=，令0x =，解得4y =-， 设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ， 则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则11102b =--=，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ，BD k ==直线BD：)15y x -=-，即50x =。
故选：C3．已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==，则,a b 夹角的大小是（ ） A ．56πB ．34π C ．3π D ．6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-， 异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤，,a b ∴夹角的大小是3π故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（ ） A ．15 B ．16C ．49D ．64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选：A5．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ）A ．BCD ． 【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ，()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选：C.7．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，N (2，2)，则MF MN +的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A 【详解】因为抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，准线为1x =-， 根据抛物线定义可知MF =1M x +，所以当MN 垂直抛物线准线时，MF MN +最小， 最小值为：13N x +=. 故选：A .8．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为34，点P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=π2，且F 1PF 2内切圆的半径为1，则C 的方程为（ ） A ．22167x y +=1B ．223214x y +=1C ．24x +y 2=1D ．22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中，内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1，又离心率为34c a =，解得a =4，c =3，所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，316a =，512a =，则（ ） A ．2d =- B ．124a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】AC 【详解】解法一：由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确，选项B 错误；易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，则26181028a a +=+=，选项C 正确.因为1020a =>，110a =，1220a =-<，所以当10n =或11时，n S 取得最大值（技巧：由0d <得数列{}n a 递减，进而判断n S 最大时的临界项） 选项D 错误. 故选：AC解法二：对于A ：易知53212164d a a =-=-=-，所以2d =-，选项A 正确；对于B ：()132162220a a d =-=-⨯-=，选项B 错误； 对于C ：263528a a a a +=+=，选项C 正确；对于D ：易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，1020a =>，110a =，1220a =-<（技巧：由0d <得数列递减，进而判断n S 最大时的临界项）所以当10n =或11时，n S 取得最大值，所以选项D 错误. 故选：AC10．已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（ ）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =时，直线l 被圆M 截得的弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=，即()()22224x y -+-=，是以()2,2为圆心，以2为半径的圆，A.因为直线:440l kx y k -+-=，直线l 过()4,4，2244444440+-⨯-⨯+>，则()4,4在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若0k =，则直线:4l y =，直线l 与圆M 相切，故B 正确；C.当1k =时，直线l 的方程为0x y -=，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确；D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时，圆心M 到直线l 的距离的最大，此时=故D 正确，故选：BCD.11．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（ ） A ．点P 到x 轴的距离为4 B ．12523PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =，3b =，则5c =，由12PF F △的面积为20，得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=，解得4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 选项正确； 将4P y =代入双曲线方程可得203P x =，根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭，则2133PF =，由双曲线的定义知1228PF PF a -==，则11337833PF =+=， 则12133750333PF PF +=+=，故B 选项错误； 在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则12PF F △为钝角三角形，故C 选项正确；()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯， 则1260F PF ∠=︒错误， 故选：AC.12．已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（ ）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x的减区间为(，增区间为)+∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立 【答案】ACD 【详解】对于选项A ，当01x <<时，ln 0x <；当1x >时，ln 0x >，故选项A 正确； 对于选项B ，2ln 2ln 1fxx x x x x ，令()0f x '>可得2ln 10x ，有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，故选项B 错误；对于选项C ，由上可知()min 11e 2e f x f ===-，x →+∞时，()f x →+∞，故选项C 正确；对于选项D ，()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥，令()211ln g x x x x=-+，有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+，令()0g x '>可得1x >，故函数()g x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，可得()()min 10g x g ==，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．与直线3250x y -+=的斜率相等，且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32，故所求直线方程为()3342-=+y x ，即392y x =+.故答案为：392y x =+. 14．数列{}n a 中，11a =，()*12,2nn n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+，11a =， 则1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，4542123a a a ==+. 故答案为：13.15．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.16．设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，1(2,0)F -是C 的左焦点，Q 是C右支上的动点，则C 的离心率为______，1PQF △面积的取值范围是_______． 【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F，则13||2PF =，27||2PF ，因点P 在双曲线C 上，则由双曲线定义得2122a PF PF =-=，即1a =，又2c =， 所以双曲线C 的离心率为2ce a==；因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行，则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=，于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为：2；)+∞ 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈，其圆心在直线0x y +=上.（1）求m 的值；（2）若过点()1,1的直线l 与C 相切，求l 的方程. 【答案】 （1）2m =（2）20x y +-=或0x y -= 【详解】 （1）圆C 的标准方程为：222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭， 所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上，得2m =. 所以，圆C 的方程为：22(1)(1) 2.x y ++-=（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()11y k x -=-， 即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得：1k =±所以，直线方程为：20x y +-=或0x y -=.18．如图，在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析. （2【详解】 （1）证明：连接BO，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =，又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ,（2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =， 设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅， 即=13λ= 或 3λ=( 舍)，设平面MPA的法向量(23,n =，(0,2,PC =-，设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19．已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ，点P 在椭圆上，12PF PF ⊥，____________①椭圆过点()，②椭圆的短轴长为10，③（①②③中选择一个） （1）求椭圆的标准方程； （2）求12PF F △的面积． 【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为2215025x y += （2）1225PF F S=【详解】 （1）解：设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点，则225c =.选①：由已知可得a =225b =，椭圆方程为2215025x y +=； 选②：由已知可得5b =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=；选③得c a =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=. （2）解：由椭圆定义知122PF PF a +==， 又12PF PF ⊥，222124100PF PF c ∴+==②，由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=，解得1250PF PF ⋅=， 因此，12121252PF F SPF PF =⋅=. 20．设函数()322f x x x x =--++．（1）求()f x 在2x =-处的切线方程；（2）求()f x 的极大值点与极小值点；（3）求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值．【答案】（1）7100x y ++=；（2）极小值点为1x =-，极大值点为13x =； （3）()min 1f x =，()max 97f x =.【详解】（1）由题意得：()2321f x x x '=--+，则()212417f '-=-++=-，又()284224f -=--+=，()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+，即7100x y ++=； （2）令()23210f x x x '=--+=，解得：1x =-或13x =， 则()(),,x f x f x '变化情况如下表：()f x ∴的极小值点为1x =-，极大值点为3x =； （3）由（2）知：()f x 在[)5,1--上单调递减，在(]1,0-上单调递增； 又()5125255297f -=--+=，()02f =，()111121f -=--+=， ()()min 11f x f ∴=-=，()()max 597f x f =-=.21．已知椭圆C 的离心率e =()1A ，)2A （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点()1,0N ．【答案】（1）2212x y +=； （2）证明见解析.【详解】（1）椭圆长轴端点在x 轴上，∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得：11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=； （2） 由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kbx b +++-=，曲线C 与直线l 只有一个公共点，()228120k b ∴=+-=，即2221b k =+，设(),P P P x y ，则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+， 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==，21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭； 由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得：22x y k b =⎧⎨=+⎩，即()2,2Q k b +； ()1,0N ，211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,2NQ k b =+， 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=，即NP NQ ⊥， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22．已知函数()ln xe f x ax a x x=-+． （1）若a e =，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为1，无极大值点（2）(,]e -∞【详解】（1）解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=， 令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞，则()x g x e e '=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()f x ∴的极小值点为1，无极大值点；（2）由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥，令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞，则t e at ≥，111x t x x-'=-=， 当01x <<时，0t '<，当1x >时，0t '>，所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以当1x =时，min 1t =，[1+t ∴∈∞，），te a t∴≤， 令(),[1,)te m t t t =∈+∞，则2(1)()0t e t m t t -'=≥， 所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增，所以min ()(1)m t m e ==， 所以a e ≤，所以a 的取值范围为(,]e -∞.。
高二数学上学期期末试题A 试题(共6页)
高二上学期(xuéqī)期末考试数学试题本试题分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部,满分是:150分,考试时间是是: 120分钟.第一卷 (选择题一共60分)一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕１．设是等差数列的前n项的和，那么A. B. C. D.2 过点和的直线与直线平行，那么的，值为〔〕A B C D3．在△ABC中，假设，那么与的大小关系为〔〕A. B. C. A≥B D. A、B的大小关系不能确定４．假设集合那么是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．边长为的三角形的最大角与最小角的和是〔〕A B C D６．有一个几何体的三视图及其尺寸如下〔单位(dānwèi)cm〕，那么该几何体的外表积及体积为〔〕A. 24πcm2，12πcm3B. 15πcm2，12πcmC. 24πcm2，36πcm3D. 以上都不正确７圆：及第六题图直线，当直线被C截得的弦长为时，那么〔〕A B C D{}a的前n项和，第k项满足〔〕nA．９Ｂ．８Ｃ．７Ｄ．６9 四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，那么异面直线与所成的角等于〔〕A B C D10．假设，那么x+2y的最小值是A． B 8 C．10 D．12m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下四个命题：①假设，，那么②假设，，，那么③假设，，那么④假设，，那么其中正确命题的序号是A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④12 等差数列(děnɡ chā shù liè),的前项和分别为,,假设,那么=〔〕A B C D第II卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4分，每一小题5分，一共20分13．一个体积为的正方体的顶点都在球面上，那么球的外表积是．过点且垂直于直线的直线方程为.假设变量满足约束条件那么的最大值为在△ABC中，假设，那么的值是_________三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明或者演算步骤17．(此题满分是10分)(1)求b的值；(2)(2).18．(此题满分(mǎn fēn)是12分)如图，圆内有一点为过且倾斜角为的弦。
人教A版高二上学期数学期末试卷【答案+解析】
人教A版高二上学期数学期末试卷一、选择题1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．65．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．26．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．37．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣88．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．411．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．312．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b二、填空题（本题包括4小题）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围．14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+215．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l 的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．参考答案一、选择题（本题包括12小题）1．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（）A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0D．命题p的逆否命题是真命题【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，所以p的逆否命题也是真命题，D正确．故选：D．2．抛物线的焦点坐标是（）A．（0，1）B．C．D．【分析】先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2＝2y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解：∵抛物线，即x2＝2y中，p＝1，＝，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，），故选：B．3．已知等比数列{a n}，a1＝1，，则a5＝（）A．B．C．D．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝1，，可得q2＝．即可得出a5＝．解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1＝1，，∴q2＝．则a5＝＝1×＝．故选：D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，，A＝45°，B＝60°，则a ＝（）A．B．2C．4 D．6【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值．解：∵，A＝45°，B＝60°，∴由正弦定理，可得：a＝＝＝4．故选：C．5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则m的值为（）A．﹣B．C．﹣2 D．2【分析】先确定抛物线与椭圆的焦点坐标，根据抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，可建立方程，从而可求m的值解：抛物线的焦点坐标为椭圆，∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2﹣b2＝4，∴椭圆的左焦点坐标为（﹣2，0）∵抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，∴∴故选：A．6．已知，，且，则x的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据题意，由向量、的坐标，结合空间向量的数量积坐标计算公式可得•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，计算可得x的值，即可得答案．解：根据题意，，，若，则有•＝（﹣3）×1+2x+5×（﹣1）＝2x﹣8＝4，解可得x＝6，故选：A．7．若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，则m的值为（）A．2 B．0 C．10 D．﹣8【分析】求出AB所在直线的斜率，然后利用过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直求得m的值．解：∵A（﹣2，m），B（m，4），∴，直线2x+y﹣1＝0的斜率为﹣2，由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0垂直，得，解得：m＝2．故选：A．8．焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线标准方程是（）A．B．C．D．【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2＝a2+b2以及离心率然，求出a2，写出双曲线的标准方程．解：根据题意可知2b＝12，解得b＝6 ①又因为离心率e＝＝②根据双曲线的性质可得a2＝c2﹣b2 ③由①②③得，a2＝64双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选：D．9．“x≠0”是“x＞0”的（）A．充分而不必要B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当x＝﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立，若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立，故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件，故选：C．10．直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＝6，则线段AB长等于（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】根据抛物线定义，把|AB|转化为点A、B到准线的距离之和，由梯形的中位线性质可求．解：由抛物线定义知，|FB|＝|BB′|，|AA′|＝|AF|，准线x＝﹣1，设M为AB中点，M（3，y），MN⊥A′B′，垂足为N点，如图所示：则|AB|＝（|AF|+|BF|）＝（|AA′|+|BB′|）＝2|MN|＝2[3﹣（﹣1）]＝8，故选：B．11．抛物线y＝2x2上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y＝x+m对称，且x1•x2＝﹣，则m等于（）A．B．2 C．D．3【分析】先利用条件得出A、B两点连线的斜率k，再利用A、B两点的中点在直线y＝x+m 求出关于m以及x2，x1的方程，再与已知条件联立求出实数m的值．解：由条件得A（x1，y1）、B（x2，y2）两点连线的斜率k＝，而y2﹣y1＝2（x22﹣x12）①，得x2+x1＝﹣②，且（，）在直线y＝x+m 上，即＝+m，即y2+y1＝x2+x1+2m③又因为A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在抛物线y＝2x2上，所以有2（x22+x12）＝x2+x1+2m，：即2[（x2+x1）2﹣2x2x1]＝x2+x1+2m④，把①②代入④整理得2m＝3，解得m＝故选：A．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足：函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，且当x∈（﹣∞，0），f（x）+xf′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数）成立．若，b＝（ln2）•，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由导数性质推导出当x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．由此能求出结果．解：∵函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，∴y＝f（x）关于y轴对称，∴函数y＝xf（x）为奇函数．∵[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x），∴当x∈（﹣∞，0）时，[xf（x）]'＝f（x）+xf'（x）＜0，函数y＝xf（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，函数y＝xf（x）单调递减．∵，，，，∴a＞b＞c．故选：A．二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上异于顶点的一点，M在PF1上，且满足＝2，PO⊥F2M，O为坐标原点．则椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】直接利用圆锥曲线的定义的应用和不等式的应用求出结果．解：设点P（x0，y0），M（x M，y M），由于满足＝2，PO⊥F2M，所以．整理得，故：，即．联立消去y0，得到．解得或，由于﹣a＜x0＜a，所以，所以0＜a2﹣ac＜ac，解得e，故椭圆的离心率为（）．故答案为：（）14．若函数e x f（x）（e＝2.71828是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④．①f（x）＝②f（x）＝③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2【分析】根据题意，对函数y＝e x f（x）求导，分析可得若函数f（x）具有M性质，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数，验证f （x）+f′（x）＞0是否成立，综合即可得答案．解：根据题意，y＝e x f（x），其导数y′＝（e x）′f（x）+e x f′（x）＝e x[f（x）+f′（x）]，若函数f（x）具有M性质，必有y′≥0在函数f（x）的定义域上恒成立，必有f（x）+f′（x）＞0在f（x）的定义域上恒成立，据此分析所给的四个函数：对于①，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln2×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln2×＝（1﹣ln2）＞0，具有M性质，符合题意；对于②，f（x）＝＝（）x，其导数f′（x）＝（）x ln＝﹣ln3×，此时f （x）+f′（x）＝﹣ln3×＝（1﹣ln3）＜0，不具有M性质，不符合题意；对于③，f（x）＝x3，其导数f′（x）＝3x2，此时f（x）+f′（x）＝x3+3x2＝x2（x+3），不能满足f（x）+f′（x）＞0在f（x）在R上恒成立，不具有M性质，不符合题意；对于④，f（x）＝x2+2，其导数f′（x）＝2x，此时f（x）+f′（x）＝x2+2+2x＝（x+1）2+1＞0，具有M性质，符合题意；综合可得：具有M性质的函数为：①④；故答案为：①④．15．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1的左、右焦点分别是F1，F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为．【分析】直接利用椭圆的定义的应用求出结果．解：根据椭圆的定义，知：|PF1|+|PF2|＝10，由于PF1⊥PF2，所以，故|PF1|•|PF2|＝42，所以，所以，解得d＝，故答案为：16．给出下列命题：①直线l的方向向量为＝（1，﹣1，2），直线m的方向向量＝（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量＝（0，1，﹣1），平面α的法向量＝（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为＝（0，1，3），＝（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t＝1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．解：对于①，∵＝（1，﹣1，2），＝（2，1，﹣），∴•＝1×2﹣1×1+2×（﹣）＝0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣1，﹣1），∴•＝0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵＝（0，1，3），＝（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴＝（﹣1，1，1），＝（﹣1，1，0），向量＝（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．三、解答题（10+12+12+12+12+12＝70分）17．已知双曲线的方程是16x2﹣9y2＝144．（1）求双曲线的实轴长和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．【分析】（1）利用已知条件化简双曲线方程，然后求解即可．（2）利用双曲线的定义，结合已知条件，通过余弦定理转化求解即可．解：（1）由题知：，a＝3，b＝4，则长轴长为6，渐近线方程是y＝x．（2）||PF1|﹣|PF2||＝6，且|PF1|•|PF2|＝32，则cos∠F1PF2＝＝＝0．故∠F1PF2＝90°18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差10 11 13 12 8 6x（℃）22 25 29 26 16 12就诊人数y（人）该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？【分析】（Ⅰ）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（Ⅱ）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．（Ⅲ）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和6时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和6对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想．解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，设抽到相邻两个月的数据为事件A，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有C62＝15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P（A ）＝＝；（Ⅱ）由数据求得＝11，＝24，由公式求得＝＝＝，再由＝﹣b，求得＝﹣，∴y关于x的线性回归方程为＝x﹣，（Ⅲ）当x＝10时，＝，|﹣22|＝＜2，当x＝6时，＝，|﹣12|＝＜2，∴该小组所得线性回归方程是理想的．19．如图，已知抛物线C：y2＝4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|＝20，求直线l的方程．【分析】（I）利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，得到根与系数的关系，利用弦长公式|AB|＝x1+x2+p即可得到k．解：（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，2），则，，．由，，可得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∴4k l＝4，解得k l＝1．由y2＝4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y＝x﹣1．（II）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立化为k2x2﹣（4+2k2）x+k2＝0，∴．∵|AB|＝x1+x2+p＝，解得k＝．∴直线l的方程为．20．已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．（1）当m为何值时，方程C表示圆．（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4＝0相交于M，N两点，且MN＝，求m的值．【分析】（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，应有5﹣m＞0．（2）先求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．解：（1）方程C可化为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，显然，当5﹣m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．（2）圆的方程化为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，圆心C（1，2），半径，则圆心C（1，2）到直线l：x+2y﹣4＝0 的距离为，∵，有，∴，解得m＝4．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则＝（﹣2，0，m﹣2），＝（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴＝﹣2﹣2（m﹣2）＝0，解得m＝1，∴M（0，0，1），＝（1，1，﹣1），＝（0，2，1），设平面MEC1的法向量＝（x，y，z），则，取y＝﹣1，得＝（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为＝（0，2，0），∴cos＜＞＝＝﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PDC⊥平面ABCD，AD＝PD＝2，PB＝AB＝6．（Ⅰ）证明：BD⊥PA；（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM，推导出DM⊥PA，BM⊥PA，从而PA⊥平面BDM，由此能证明BD⊥PA．（Ⅱ）过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H，推导出PO⊥平面ABCD，从而PO⊥BD，进而BD⊥平面PAO，以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取PA的中点M，连结DM，BM．由AD＝PD，得DM⊥PA，由PB＝AB，得BM⊥PA，∵DM∩BM＝M．∴PA⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴BD⊥PA．解：（Ⅱ）在平面PDC中，过点P作PO⊥DC于点O，连结AO，交BD于H．∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴PO⊥平面ABCD．∴PO⊥BD．由（1）及PA∩PO＝P，∴BD⊥平面PAO，∵AO⊂平面PAO，∴BD⊥AO在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，即∠ADB＝60°．∴AH＝PH＝AD•sin60°＝3，DH＝AD cos60°＝．在Rt△DHO中，HO＝DH tan30°＝1，DO＝2．∴PO＝＝2．以D为坐标原点，DA，DC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），P（0，2，2），B（2，6，0），C（0，6，0）．＝（0，﹣4，2），＝（﹣2，﹣4，2）．设平面PBC的法向量是＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，）．设直线AP与平面PBC所成角为θ，又＝（2，﹣2，﹣2），则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．。
2022-2023学年人教A版高二上数学期末考试(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期末考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1. 已知直线，：，若，则的值为（ ）A.B.C.D.或2. 已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，则等于（ ）A.B.C.D.4. 已知椭圆，若长轴长为，离心率为，则此椭圆的标准方程为( )A.B.C.:3x +2ay −5=0l 1l 2(3a −1)x −ay −2=0//l 1l 2a −1660−16{}a n d n S n d >0+>2S 4S 6S 5ABCD 2E F G AB AD DC ⋅GE −→−GF −→−1−14−4C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2812+=1x 264y248+=1x 264y 216+=1x 216y 24=122D.5. 已知向量，则向量在向量方向上的投影为 A.B.C.D.6. 若直线与曲线有交点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 在同一直角坐标系中，反映直线与位置关系正确的是（ ）A.B.C.D.8. 从一个边长为的等边三角形开始，把三角形的每一条边三等分，并以每一条边三等分后的中段为边，向外作新的等边三角形（如图），但要去掉与原三角形叠合的边，接着对此图形每一个等边三角形“尖出”的部分继续上述过程．若按照上述规律，则第四个图形的周长是（ ）+=1x 216y 212=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →()−3–√3–√−11y =kx +=1(x −)3–√2(|y|−1)2k [−,]3–√3–√[−1,1][−,]2–√22–√2[−,]3–√33–√3y =ax y =x +a 3143A.B.C.D.9. 设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（ ）A.，B.，C.，D.，10. 如图，在平行四边形中，，，点为的中点，若，则A.B.C.D.11. 下列说法正确的是（ ）A.椭圆上任意一点（非左右顶点）与左右顶点连线的斜率乘积为B.过双曲线焦点的弦中最短弦长为C.抛物线 上两点 则弦经过抛物线焦点的充要条件为D.若直线与圆锥曲线有一个公共点，则该直线和圆锥曲线相切二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12. （5分） 如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道和的焦距，用和分别表示椭圆轨道和的长轴长，下列式子正确的是（ ）143320492569643{}a n n S n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016=−2019S 2019>a 2016a 4=2019S 2019>a 2016a 4=−2019S 2019<a 2016a 4=2019S 2019<a 2016a 4ABCD AB =2AD =5–√F CD ⋅=0AF −→−DF −→−⋅=BF −→−AC −→−( )4321+=1x 2a 2y 2b 2−b 2a2−=1x 2a 2y 2b22b 2a =2px y 2A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24P F I P F II 2c 12c 2I II 2a 12a 2I IIA.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 抛物线上一个点（在轴上方）到焦点的距离是，此时点的坐标是________．14. 已知双曲线＝，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双曲线左支于点（为坐标原点），连接．若＝，＝，则该双曲线的渐近线方程为________．15. 已知圆，直线与圆相交于，两点，当钝角三角形的面积为时，则实数________．16. 如图，是边长为的等边三角形，是以为圆心，为半径的圆上的任意一点，则的最小值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知数列的前项和 .求数列的通项公式；在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若________，求数列的前项和 .18. 如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列四种说法：① 是等边三角形；② ；③+=+a 1c 1a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2<c 1a 1c 2a 2>c 1a 2a 1c 2=8x y 2P P x 8P 1(a >0,b >0)x P M N M MO Q O QN ∠MPO 120∘∠MNQ 150∘C :+−4x −2y −20=0x 2y 23x +4y −a =0C A B ABC 12a =△ABC 23–√P C 1⋅AP −→−BP −→−{}a n n =S n n 2(1){}a n (2)=b n 8n (⋅)a n a n+12=⋅b n a n 2n =⋅b n (−1)n S n {}b n n T n 1ABCD AC ADC ⊥ABC D −ABC △DBC AC ⊥BD AB ⊥CD AD BC C60∘；④直线和所成的角的大小为．其中所有正确的序号是( )A. ①③B.②④C.①②③D.①②④19. 在平面直角坐标系中动圆与圆外切，与圆内切.求动圆圆心的轨迹方程；直线过点且与动圆圆心的轨迹交于，两点．是否存在面积的最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由．20. 如图，已知抛物线的焦点为，过的两条动直线，与抛物线交出，，，四点，直线，的斜率存在且分别是，．若直线过点，求直线与轴的交点坐标；若，求四边形面积的最小值．21. 在直四棱柱中，底面为正方形，，，，分别是，，的中点．证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点 在双曲线上，（其中 ，求 的值．AB ⊥CD AD BC C 60∘xOy P M ：(x +1+=1)2y 2N ：(x −1+=9)2y 2(1)P (2)l E(−1，0)P A B △AOB △AOB x 2=2py(p >0)F(0,1)F AB CD A B C D AB CD (>0)k 1k 1k 2(1)BD (0,3)AC y (2)−k 1k 2=2ACBD ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD A =2AB =4A 1M N P AD DD 1CC 1(1)MNC//A P D 1(2)DP MNC F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末考试一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）1.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】根据两直线平行的条件可知，．从而可求出的值．【解答】解：∵，∴．即．解得或．故选．2.【答案】C【考点】等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】由要，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“”是“”的充要条件，选．3.【答案】A【考点】空间向量的数量积运算向量在几何中的应用【解析】3(−a)−2a(3a −1)=0a //l 1l 23(−a)−2a(3a −1)=06+a =0a 2a =0a =−16D +−2=10+21d −2(5+10d)=d S 4S 6S 5a 1a 1d >0+−2>0S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5+>2S 4S 6S 5d >0d >0+>2S 4S 6S 5C此题暂无解析【解答】解：取的中点，连接，，如图所示，四面体的每条棱长都等于，点，，分别是棱，，的中点，所以，，，且，所以平面，又平面，所以，又 所以，又，所以所以.故选.4.【答案】D【考点】椭圆的标准方程【解析】由椭圆的离心率为，长轴长为及联立方程组求解，，则椭圆的方程可求.【解答】解：椭圆，长轴长为，离心率为，所以，，，因为，所以，，所以椭圆的标准方程为.故选．5.【答案】A【考点】向量的投影BD M AM CM ABCD 2E F G AB AD DC GF =AC =112AM ⊥BD CM ⊥BD AM ∩CM =M BM ⊥AMC AC ⊂ACM BD ⊥AC EF//BD,EF ⊥AC AC//FG FG ⊥EF;⋅=(+)GE −→−GF −→−GF −→−FE −→−⋅=+GF −→−GF −→−2⋅=+0=1FE −→−GF −→−12A 128−=a 2b 2c 2a b C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 28122a =8a =4=c a 12−=a 2b 2c 2c =2b =23–√C +=1x 216y 212D根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．【解答】解：向量，则向量在方向上的投影为：.故选．6.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：时，曲线方程为 ，时，曲线方程为．当直线与曲线相切时，，则的取值范围是，故选．7.【答案】C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上，得到结果．【解答】解：由得斜率为排除、，由与中同号知若递增，则与轴的交点在轴的正半轴上；若递减，则与轴的交点在轴的负半轴上；故选．8.b →a →a →=(−,1)，=(3,)a →3–√b →3–√b →a →||==−a →−23–√1+3−−−−√3–√A y ≥0+=1(x −)3–√2(y −1)2y <0+=1(x −)3–√2(y +1)2y =kx k =±3–√k [−,]3–√3–√A y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y y =x +a 1B D y =ax y =x +a a y =ax y =x +a y y y =ax y =x +a y y CD【考点】数列的应用【解析】设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，选．【解答】解：设曲线的边长分别为，边长个数为，设周长为，，，，.故选．9.【答案】D【考点】数列的函数特性等差数列的性质等差数列的前n 项和【解析】由，，设，．即，化为，可得．即．再利用等差数列的性质与前项和公式即可得出．【解答】解：∵，，∴，设，，则，化为.∵，∴，∴，∴．∵，又，∴，即.∵，,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==,=3,=3×4,=3×4,=3×4×4a 2a 113a 313a 213a 413a 319b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D ,,,a 1a 2a 3a 4,,,b 1b 2b 3b 4(n =1,2,3,4)S n =3,=3a 1b 1=×=1,==,==a 2a 113a 313a 213a 413a 319=3,=3×4,=3×4×4,=3×4×4×4b 1b 2b 3b 4=9,=12,=16,=S 1S 2S 3S 4643D y −1+2016(−1)=1a 4)3a 4(−1+2016(−1)=−1a 2013)3a 2013−1=m a 4−1=n a 2013+2016m ++2016n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2016)=0m 2n 2m +n =0+=2a 4a 2013n (−1+2019(−1)=1a 4)3a 4(−1+2019(−1)=−1a 2016)3a 2016(−1+2019(−1)+(−1+2019(−1)=0a 4)3a 4a 2016)3a 2016−1=m a 4−1=n a 2016+2019m ++2019n =0m 3n 3(m +n)(+−mn +2019)=0m 2n 2+−mn +2019>0m 2n 2m +n =−1+−1=0a 4a 2016+=2a 4a 2016===2019S 20192019(+)a 1a 201922019(+)a 4a 20162(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=1a 4)3a 4a 4a 4)2(−1+2019>0a 4)2−1>0a 4>1a 4(−1+2019(−1)=(−1)[(−1+2019]=−1a 2016)3a 2016a 2016a 2016)2(−1+2019>0)2又，∴，即，∴.故选.10.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知得到，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，即可得到，，再利用向量的数量积运算即可得解.【解答】解：因为，所以.因为，所以.因为为的中点，所以.因为，所以.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系.则，，，，所以，，所以.故选.11.【答案】A,C【考点】椭圆的标准方程双曲线的特性【解析】(−1+2019>0a 2016)2−1<0a 2016<1a 2016>1>a 4a 2016D AB ⊥DF A AF y AB x A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=0AF −→−DF −→−AF ⊥DF AB//DC AF ⊥DF F CD DF =FC =AB =112AD =5–√AF ===2A −DF D 22−−−−−−−−−−√5−1−−−−√A AB x AF y A (0,0)B (2,0)C (1,2)F (0,2)=(−2,2)BF −→−=(1,2)AC −→−⋅=−2×1+2×2=2BF −→−AC −→−C数形结合；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理． 直线和圆锥曲线相交带来的问题，只要联立方程，恰当利用韦达定理就可对四个选项做出判断．【解答】解：．正确；设椭圆的左右顶点分别为，，椭圆上除左右顶点以外的任意一点，①，又点在椭圆上， ，代入①，得，；．错误；设双曲线右焦点直线与双曲线右支相交于，，当直线斜率不存在时，则直线方程为，则．当直线斜率存在时，则直线方程为，联立，得，，得或，由焦半径公式可得,所以当直线与轴垂直时，的长为最小，即最小值为．特别的当直线斜率存在且为时，，所以最小值为或．．正确；充分性：当直线斜率存在时，设直线的方程为：,由，得，，又 ，，，或，直线方程为（舍）或，当时，．当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，又因为，所以，弦经过焦点；必要性：当直线经过抛物线的焦点时，设过焦点的直线方程为，代入，可得，A A(−a,0)B(a,0)P(m,n)∴⋅=⋅=k PA k PB nm +a nm −a n 2−m 2a 2∵P(m,n)∴+=1m 2a 2n 2b 2∴=(1−)n 2m 2b 2b 2∴⋅=−k PA k PB b 2a 2B −=1x 2a 2y 2b 2F(c,0)A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB AB x =c |AB|=2b 2a AB AB y =k(x −c) −=1x 2a 2y 2b 2y =k(x −c)(−)+2c x −−=0b 2a 2k 2x 2a 2k 2a 2k 2c 2a 2b 2 Δ>0+>0x 1x 2>0x 1x 2k >b a k <−b a |AB|=|AF|+|BF|=e (+)−2a x 1x 2=⋅−2a =−2a =−2a >−2a =c a 2c a 2k 2−a 2k 2b 22ac 2k 2−a 2k 2b 22ac 2−a 2b 2k 22c 2a 2b2aAB x |AB|2b 2a AB 0|AB|=2a |AB|2b 2a 2a C AB AB y =kx +b {y =kx +b=2px y 2+(2bk −2p)x +=0k 2x 2b 2∴⋅=x 1x 2b 2k 2∵=2px(p >0)y 2⋅=x 1x 2p 24∴=b 2k 2p 24∴k =2b p k =−2b p ∴AB y =x +b 2b p y =−x +b 2b p y =0x =p 2AB AB x =x 1=x 1x2=x 1x 2p 24==x 1x 2p 2∴= x 1x 2p 24AB AB F (,0)p 2AB x =my +p 2=2px y 2−2pmy −=0y 2p 2==2222由韦达定理得，，， 弦经过焦点． 抛物线上两点，，则弦经过抛物线焦点的充要条件为；．错误；当直线和抛物线的对称轴平行时，满足只有一个交点，但此时直线和抛物线是相交关系．故选．二、 多选题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）12.【答案】B,D【考点】命题的真假判断与应用椭圆的应用椭圆的标准方程【解析】根据图象可知，，进而根据基本不等式的性质分别进行判断即可．可知；，进而判断①④不正确．③正确；根据，可知；【解答】解：由图可知，，∴，∴不正确，∵，，∴，∴正确．，可得，，即，∵，∴，∴正确；此时，∴不正确．故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】抛物线的性质【解析】根据抛物线可知，准线方程为，进而根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，求得点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．【解答】=−y 1y 2p 2===x 1x 2y 21y 224p 2()y 1y 224p 2p 24∴AB x =x 1x 2p 24∴=2px y 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2AB =x 1x 2p 24D AC >a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2>c 1a 1c 2a 2−=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2>a 1a 2>c 1c 2+>+a 1c 1a 2c 2A −=|PF |a 1c 1−=|PF |a 2c 2−=−a 1c 1a 2c 2B +=+a 1c 2a 2c 1(+=(+a 1c 2)2a 2c 1)2−+2=−+2a 21c 21a 1c 2a 22c 22a 2c 1+2=+2b 21a 1c 2b 22a 2c 1>b 1b 2>c 1a 2a 1c 2D >c 1a 1c 2a 2C BD (6,4)3–√=8x y 2p =4x =−2P P x =−2P =8x2解：根据抛物线，得，根据抛物线的定义可知点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，则可得点的横坐标为，把代入抛物线方程，解得．因为在轴上方，所以点的坐标是．故答案为：．14.【答案】＝【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】或【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用圆心到直线距离与弦长、半径之间的关系表示出弦长和距离，三角形的面积用距离和弦长表示，最后用点到直线的距离公式求解未知数．【解答】解：设圆心到直线的距离为，直线被圆所截的弦长为，则；由圆的方程得知圆心为，半径，所以；所以，联立解出，或，；因为三角形为钝角三角形，所以，则．因为，所以或 ．故答案为：或．16.【答案】=8x y 2p =4P P x =−2P x =6x =6y =±43–√P x P (6,4)3–√(6,4)3–√y ±x−525d d l =dl S △ABC 12(2,1)r =5=25−()l 22d 2⋅=d 2()l 22122=9d 2(=16l 2)2=16d 2(=9l 2)2ABC <d 2()l 22=9d 2d ==3|3×2+4×1−a|+3242−−−−−−√a =−5a =25−5251【考点】向量的线性运算性质及几何意义平面向量数量积的运算相等向量与相反向量【解析】根据是边长为的等边三角形，算出，分别将和分解为以、和为基向量的式子，将数量积展开，化简整理得，最后研究的大小与方向，可得的最大、最小值，最终得到的取值范围．【解答】解：∵，，∴.∵，，∴.∵，∴.∵是边长为的等边三角形，∴向量是与垂直且方向向上，长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,△ABC 23–√⋅=6AC −→−BC −→−AP −→−BP −→−AC −→−BC −→−CP −→−⋅AP −→−BP −→−⋅=7+(+)AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−⋅AP −→−BP −→−==2|AC |−→−−−|BC |−→−−−3–√∠ACB =60∘⋅=2⋅2cos =6AC −→−BC −→−3–√3–√60∘=+AP −→−AC −→−CP −→−=+BP −→−BC −→−CP −→−⋅=(+)(+)AP −→−BP −→−AC −→−CP −→−BC −→−CP −→−=⋅+(+)+AC −→−BC −→−CP −→−AC −→−BC −→−CP −→−2=1|CP |−→−−−⋅=6+(+)+1AP −→−BP −→−CP −→−AC −→−BC −→−=7+(+)CP −→−AC −→−BC −→−△ABC 23–√+AC −→−BC −→−AB 6P C CP −→−+AC −→−BC −→−(+)CP −→−AC −→−BC −→−−6⋅AP −→−BP −→−7−6=11(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+234n+1,两式相减，可得： ，∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.【考点】数列递推式等差数列的通项公式数列的求和【解析】【解答】解：依题意，当时， ,当时，，当时，也满足上式，∴，.选条件①：由可得：，∴.选条件②：由可得 ，则,,两式相减，可得：，2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2(1)n =1==1a 1S 1n ≥2=−=−=2n −1a n S n S n−1n 2(n −1)2n =1=1a 1=2n −1a n n ∈N ∗(2)(1)=b n 8n (⋅)a n a n+12=8n (2n −1)2(2n +1)2=−1(2n −1)21(2n +1)2=++⋯+T n b 1b 2b n =−+−+112132132152⋯+−1(2n −1)21(2n +1)2=1−1(2n +1)2(1)=⋅=(2n −1)b n a n 2n 2n =1×2+3×+5×+T n 2223⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)⋅2n−12n 2=1×+3×+5×+T n 222324⋯+(2n −3)⋅+(2n −1)2n 2n+1−=2+2×+2×+T n 2223⋯+2⋅2n −(2n −1)2n+1=2+−(2n −1)⋅8−2n+21−22n+1=−6−(2n −3)⋅2n+1=6+(2n −3)⋅n+1∴.选条件③：由可得 .当为偶数时，为奇数，，当为奇数时，为偶数，，综上所述，可得.18.【答案】D【考点】两条直线垂直的判定异面直线及其所成的角【解析】①因为 取中点，连接，，则，因为平面 平面，平面平面 ，所以 平面，所以 所以 ，故①正确；对于②，取的中点，连接，则，因为 又因为 ，所以 平面，又因为平面，所以 ；对于③可以采用反证法进行否定；对于④，以为坐标圆的建立空间坐标系，转化成向量的夹角处理．【解答】解：过作于，连接，由题意知：，∵平面平面，∴平面，∴，∴，即为等边三角形，①正确；∵为的中点，，∴，∴平面，平面，∴，②正确；假设.又因为，，所以平面，因为平面，所以，又知道，，所以 平面，这与空间中过一点有且只有一条直线与一个平面垂直矛盾，故③错．建立空间直角坐标系如图：=6+(2n −3)⋅T n 2n+1(1)=⋅b n (−1)n =⋅S n (−1)n n 2(i)n n −1=++⋯+T n b 1b 2b n=−+−+12223242⋯−+(n −1)2n 2=(−)+(−)+⋯+[−]22124232n 2(n −1)2=3+7+⋯+2n −1=(3+2n −1)n 22=n (n +1)2(ii)n n −1=−=−=T n T n−1n 2n (n −1)2n 2−n (n +1)2=⋅T n (−1)n n (n +1)2CD =BC AC E BE DE DE ⊥AC,BE ⊥AC,DE =BE =2–√2ACD ⊥ABC ADC∩ABC =AC DE ABC DE ⊥BE BD ==1D +B E 2E 2−−−−−−−−−−√AC E BE DE BE ⊥AC,DE ⊥AC DE ∩BE =E AC ⊥BDE BDC BDE AC ⊥BD E D DO ⊥AC O BO DO =BO =2–√2ADC ⊥ABC DO ⊥ABC DO ⊥BO BD =1△BCD O AC AB =BC BO ⊥AC AC ⊥BOD BD ⊂BOD AC ⊥BD AB ⊥CD AB ⊥BC BC ∩CD =C AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB ⊥BD AC ⊥BD AB ∩AC =A BD ⊥ABC (−,,0)−→−–√–√(,0,)−→−–√–√则，，∴，，∴异面直线与所成的角是，∴④正确．综上，正确的序号为：①②④．故选19.【答案】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，=(−,,0)AB −→−2–√22–√2=(,0,)CD −→−2–√22–√2cos <AB −→−>=−CD −→−12AB CD 60∘D.(1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t3(−1)+4t 26t3+1t 2=63t +1tg(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 323因此，面积的最大值为.【考点】轨迹方程直线与椭圆结合的最值问题【解析】（1）设动圆圆，半径为）．利用已知条件转化判断动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，求出，然后求解椭圆的方程；（2）设直线！的方程为或（舍）．联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理、弦长公式表示的面积，利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果．【解答】解：设点，动圆的半径为，由题意知，，，∴．由椭圆定义可知，动圆圆心在以，为焦点的椭圆上，∴，，∴，轨迹方程为．由于圆与圆内切于点，则．因此，动圆圆心的轨迹方程为．因为直线过点，若直线的方程为，显然构成不了，故舍去；故可设直线的方程为，则整理得，由，设点，，则，，则，因为，设，则，则 ，2△AOB 32加P (x,y)P M N a b x =my −1y =01AOB (1)P (x,y)P r |PM |=r +1|PN |=3−r |PM |+|PN |=4>|MN |=2P M N a =2c ==1−a 2b 2−−−−−−√b =3–√+=1x 24y 23M N (−2,0)x ≠−2P +=1(x ≠−2)x 24y 23(2)l E (−1,0)l y =0△AOB l x =my −1{3+4=12，x 2y 2x =my −1，(3+4)−6my −9=0m 2y 2Δ=+36(3+4)(6m)2m 2=144(+1)m 2>0A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2+=y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2|−|=y 1y 2−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=−4×(−)()6m 3+4m 2293+4m 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=12+1m 2−−−−−−√3+4m 2S △AOB =|OE |⋅|−|12y 1y 2=×1×1212+1m 2−−−−−−√3+4m 2t =≥1+1m 2−−−−−−√=−1m 2t 2==S △AOB 6t 3(−1)+4t 26t 3+1t 2=63t +1tt)=3−12设，，所以在区间上为增函数，所以，所以，当且仅当时取等号，即，因此，面积的最大值为.20.【答案】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．【考点】抛物线的标准方程抛物线的应用g(t)=3t +1t (t)=g ′3−1t 2t 2g(t)[1,+∞)g =g(1)=4(t)min ≤S △AOB 32m =0=()S △AOB max 32△AOB 32(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min直线与抛物线结合的最值问题【解析】（1）平辱析】（2）抛物线方程为，设（五乃），（元小），（丏），；，石，直线代入抛物线、________方程，当时，得乃：，巧﹦，当时，得巧兀，进而可得互巧值为一- ，写出直线方程，令得________，进而得出结论；【解答】解：由题意可得抛物线方程为，设直线代入抛物线方程得，设，，，，，当时，得，，当时，，所以，直线方程是，令得，故直线与轴交点坐标是 ． ，设直线的方程是，代入得，设，，，，，则，点到的距离 ，点到的距离 ，，设，，则，所以在 上单调递减，在上单调递增，所以在内最小值，故当，时，．21.【答案】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．∼=4y 4B C μD(x y)>πy =lcc +t 4t =1X t =3AC x =031y =−43(1)=4y x 2y =kx +t −4kx −4t =0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4t =1=−4x 1x 2=−4x 3x 4t =3=−12x 2x 4=⋅=−x 1x 3−4x 2−4x 443AC y −=(x −)y 1+x 1x 34x 1x =0y =−=x 1x 3413AC y (0,)13(2)F (0,1)l y =kx +1=4y x 2−4kx −4=0x 2A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2C (,)x 3y 3D (,)x 4y 4>x 3x 4{+=4,x 1x 2k 1=−4,x 1x 2{+=4,x 3x 4k 2=−4,x 3x 4|AB|=|+1++1|=|++4|=4(+1)y 1y 2k 1x 1k 1x 2k 12C AB ==d 1|−+1|k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√−+1k 1x 3y 31+k 12−−−−−−√D AB ==d 2|−+1|k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√−(−+1)k 1x 4y 41+k 12−−−−−−√S =|AB|(+)=2(+1)⋅12d 1d 2k 12(−)+(−)k 1x 3x 4y 4y 31+k 12−−−−−−√=2⋅(−)(−)1+k 12−−−−−−√k 1k 2x 3x 4=41+k 12−−−−−−√16+16k 22−−−−−−−−−√=16(1+)(−4+5)k 12k 12k 1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√f (x)=(1+)(−4x +5)x 2x 2x >0(x)=4(−3+3x −1)=4f ′x 3x 2(x −1)3f (x)(0,1)(1,+∞)(0,+∞)f (x)f(1)=4=1k 1=−1k 2=32S min (1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．【考点】平面与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，，分别是，，的中点，所以，．又平面，平面，所以平面，同理平面.又，所以平面平面．解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，．设平面的法向量为，(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)M N P AD DD 1CC 1MN//AD 1CN//PD 1A ⊂D 1MNC MN ⊂MNC A //D 1MNC P //D 1MNC A ∩P =D 1D 1D 1MNC//A P D 1(2)D D −xyz D (0,0,0)P (0,2,2)M (1,0,0)N (0,0,2)C (0,2,0)=(0,2,2)DP −→−=(−1,0,2)MN −→−=(−1,2,0)MC −→−MNC =(x,y,z)n → =−x +2z =0，−→−则令，得．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上， ，即，∴． ⋅=−x +2z =0，MN −→−n →⋅=−x +2y =0，MC −→−n →z =1=(2,1,1)n →DP MNC θsin θ=|cos , |==DP −→−n →|⋅|DP −→−n →||||DP −→−n →3–√3DP MNC 3–√3(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。
2022-2023学年人教A版数学高二上期末考试(含解析)012759
2022-2023学年人教A 版数学高二上期末考试学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知集合，集合，则 A.B.C.D.2. 若，两点的横坐标相等，则直线的倾斜角和斜率分别是( )A.，B.，C.，不存在D.，不存在3. 设函数的定义域为，且满足任意恒有的函数是（ ）A.B.C.D.4. “”是“直线与圆相切”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 已知等差数列的前项和为，，，则( )A.B.C.D.A ={x |−2x −3>0}x 2B ={x |y =lg(x +3)}A ∩B =(){x |−3<x <−1}{x |x >3}{x |−3<x <−1或x >3}{x |−1<x <3}A B AB 45∘1135∘−190∘180∘f(x)A x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)=xlog 2f(x)=2xf(x)=xx −1f(x)=x 2k =1y =kx −2+=2x 2y 2{}a n n S n +=20a 2a 7=21a 10=S 8+a 1a 1921404021122ABCD −A B C D A C6. 如图所示在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则 A.B.C.D.7. 已知是函数的所有零点之和，则的值为( )A.B.C.D.8. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，延长，交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.9. 已知复数的共轭复数为，且，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在复平面内对应的点在第一象限10. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1=+x +y BE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−()x =−，y =1212x =，y =−1212x =−，y =−1212x =，y =1212M f(x)=|2x −3|−8sin πx(x ∈R)M 36912C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F l C A B ∠AFB =120∘AF C M |MF|=2|AF|C 21−−√3733–√3z z ¯¯¯−2=z ¯¯¯3+4i zz =1−2i=1+2i z¯¯¯|z|=5–√z C :=2px (p >0)y 2F F 3–√l C A B A |AF|=8( )(点在第一象限)，与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是A.B.C.D.11. 在中，角，，所对的边分别为，，，那么下列给出的各组条件能确定三角形有唯一解的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，12. 对于直线：和圆：，下列结论中正确的是（ ）A.当时，与相交B.，与相交C.存在，使得与相切D.如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值13. 已知数列中，＝，＝．若为等差数列，则＝________． 14. 如图，三棱锥中，是的中点，是的中点，若实数，，满足，则________．15. 已知在三棱锥中，，，两两成，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.16. 已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为________. 17. 已知等差数列满足.求数列的通项公式；求数列的前项和为．A D |AF|=8( )p =4=DF −→−FA −→−|BD|=2|BF||BF|=4△ABC A B C a b c B =30∘b =2–√c =2B =30∘b =2c =4B =30∘b =2c =5A =75∘B =30∘b =2l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0C +=9(x −1)2(y +1)2t =−2l C ∀t ∈R l C t ∈R l C l C {}a n a 32a 71a 5P −ABC M AC Q BM x y z =x +y +z PQ −→−PA −→−PB −→−PC −→−x −y +z =P −ABC PA PB PC 90∘PA =1，PB =PC =2C (−1,0)F 1(1,0)F 2F 2C A B |A |F 2=2|B |F 2|AB |=|B |F 1C {}a n +2=3n +5a n a n+1(1){}a n (2){}1a n a n+1n S n C :=2px (p >0)2M (2,m)18. 已知抛物线上的点到焦点的距离求的值；过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线的方程． 19. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率． 20. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面相互垂直，，，，．求证：平面；求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．21. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的点到点的最大距离为，为坐标原点．求椭圆的标准方程；过右焦点倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求的面积．22. 已知焦点在轴上的双曲线的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，为半径的圆相切，又知的一个焦点与关于直线对称．求双曲线的方程；设直线与双曲线的左支交于，两点，另一直线经过点及的中点，求直线在轴上的截距的取值范围．C :=2px (p >0)y 2M (2,m)F 3.(1)p,m (2)P (1,1)1C A B P AB 160[40,50)[50,60)[90,100](1)[70,80)(2)(3)[60,80)621[70,80)ABEF △ABC AB =4BC =6–√BC ⊥BE ∠ABE =π3(1)BC ⊥ABEF (2)ACF BCE C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F(1,0)F 3O (1)C (2)F 60∘C M N △OMN x C A (0,)2–√1C A y=x (1)C (2)y =mx +1C A B l M (−2,0)AB l y b参考答案与试题解析2022-2023学年人教A 版数学高二上期末考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】根据题意，由集合的表示方法分析、，求出的补集，由集合的交集定义计算可得答案．【解答】解：，，.故选.2.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】由,两点的横坐标相等，则直线与轴垂直，则倾斜角为，斜率不存在.【解答】解：，两点的横坐标相等，则直线与轴垂直，则倾斜角为，斜率不存在.故选.3.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】A B B A =x |−2x −3>0}x 2={x |x >3或x <−1}B ={x |y =lg(x +3)}={x |x >−3}∴A ∩B ={x |−3<x <−1或x >3}C A B x 90∘A B x 90∘C x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)(1,1)满足任意恒有，则函数关于中心对称，由此可得结论．【解答】解：∵满足任意恒有，∴函数关于中心对称，∵的对称中心为故选．4.【答案】A【考点】点到直线的距离公式直线与圆的位置关系必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】无【解答】解：若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，即，∴，即，∴“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．故选．5.【答案】B【考点】等差数列的前n 项和等差中项等差数列的性质【解析】直接由等差数列的性质求和即可.【解答】解：∵数列为等差数列，∴.故选.x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)(1,1)x ∈A f(x)+f(2−x)=2f(x)(1,1)f(x)=1+=1x −1x x −1(1,1)C y =kx −2+=2x 2y 2(0,0)kx −y −2=0d ==|−2|+1k 2−−−−−√2–√+1=2k 2=1k 2k =±1k =1y =kx −2+=2x 2y 2A {}a n ==S 8+a 1a 198(+)a 1a 82+a 1a 194(+)a 1a 8+a 1a 19===4(+)a 2a 72a 104×202×214021B6.【答案】A【考点】共线向量与共面向量空间向量的加减法【解析】根据空间向量的线性表示，用、、表示即可．【解答】解：根据题意，得；，又∵，∴，，故选．7.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系函数的零点函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：设，.则函数的零点是与的图象交点的横坐标.∵图象与轴的交点为且关于对称，周期为，振幅为.∴作与图象如下：AA 1−→−AB −→−AD −→−BE −→−=+(+)BE −→−BB 1−→−12BA −→−BC −→−=++AA 1−→−12BA −→−12BC −→−=−+AA 1−→−12AB −→−12AD −→−=+x +y BE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =−12y =12A g(x)=|2x −3|(x ∈R)h(x)=8sin πx(x ∈R)f(x)=|2x −3|−8sin πx(x ∈R)g(x)h(x)g(x)x (,0)32x =32h(x)==22πω2ππ8g(x)h(x)∴与图象交点有个，即零点有个，分别记为：，，，，，，，.对称轴为（是奇数），由题知：，关于对称轴对称，即，同理可得：，，，即零点之和.故选.8.【答案】B【考点】双曲线的离心率余弦定理【解析】本题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力．【解答】解：根据题意，作图如下：设双曲线的左焦点为，连接，，设，则，，．由双曲线的对称性可知四边形是平行四边形，且，则g(x)h(x)8f(x)8x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8h(x)x =k 2k x 1x 8x =32+=3x 1x 8+=3x 3x 6+=3x 5x 4+=3x 7x 2M =3×4=12D C F ′AF ′BF ′|AF|=m |MF|=2m |A |=2a +m F ′|M |=2a +2m F ′AFBF ′∠AF =F ′60∘{=|AF +|A −2|AF||A |cos ∠AF,|F |F ′2|2F ′|2F ′F ′=|AM +|A −2|AM||A |cos ∠AF,|M |F ′2|2F ′|2F ′F ′4=+(2a +m −m(2a +m),22)2即解得：故．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,C【考点】复数的模复数的基本概念复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由可得．设，则，整理得，所以 得则，，，在复平面内对应的点在第四象限．故选．10.【答案】A,B,C【考点】抛物线的应用抛物线的性质抛物线的定义【解析】此题暂无解析{4=+(2a +m −m(2a +m),c 2m 2)2(2a +2m =(3m +(2a +m −3m(2a +m),)2)2)2 a =m,310c =m,710e ==c a 73B −2=z ¯¯¯3+4i z z(−2)=3+4iz ¯¯¯z =x +yi(x,y ∈R)(x +yi)(x −yi −2)=3+4i +−2x −2yi =3+4i x 2y 2{+−2x =3,x 2y 2−2y =4,{x =1,y =−2,z =1−2i =1+2i z ¯¯¯|z|=5–√z ABC【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，.抛物线的准线交轴于点，则.由于直线的斜率为，故其倾斜角为.∵ 轴，∴.由抛物线的定义可知，，∴为等边三角形，∴，∴，∴，得，选项正确；∵ ，，∴为的中点，则，选项正确；由题意知，∴ ，∴（抛物线定义），选项正确；∵，∴，选项错误.故选.11.【答案】B,D【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理逐项求解即可.【解答】解：．由正弦定理得，，即，解得，∵，∴，∴或 ，∴有两解，不满足条件；．由正弦定理得， ，即，解得，∵，∴ ，A B C m E M C m x P |PF|=p l 3–√60∘AE//x ∠EAF =60∘|AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=2p =8p =4A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE F AD =DF −→−FA −→−B ∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BD|=2|BF||BF|=|DF|=|AF|=131383D ABC A =b sin B c sin C =2–√sin 30∘2sin C sin C =2–√2b <c C >B =30∘C =45∘C =135∘△ABC B =b sin B c sin C =2sin 30∘4sin C sin C =1b <c C =90∘△ABC∴有唯一解，符合题意；．由正弦定理得， ，即，解得，无解，不符合题意；．由题意， ，且，∴有唯一解，符合题意．故选．12.【答案】A,B,D【考点】直线与圆的位置关系【解析】由直线恒经过圆内一定点，可知正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.【解答】解：对于直线：，可化为，由可得∴直线恒经过定点，∵在圆：内部，∴直线与圆相交，故正确，错误；如果与相交，则截得的弦长既有最大值，也有最小值，最长弦为圆的直径，最短弦为与垂直的弦，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答△ABC C =b sin B c sin C =2sin 30∘5sin C sin C =54△ABC D C =−−=180∘75∘30∘75∘b =2△ABC BD AB C l C CP D l (t +2)x +(2t −3)y −5t −3=0(x +2y −5)t +(2x −3y −3)=0{x +2y −5=0，2x −3y −3=0，{x =3，y =1，P (3,1)P (3,1)C +=9(x −1)2(y +1)2l C AB C l C CP D ABD14.【答案】【考点】空间向量的数乘运算【解析】利用空间向量基本定理，将．求出系数．进而得到结果．【解答】解：．∴，，．∴．故答案为．15.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长： ，所以球的直径，，半径，球的表面积： ，故答案为： .16.【答案】【考点】椭圆的定义椭圆的标准方程余弦定理0，化成，，的和的形式PQ −→−PA −→−PB −→−PC −→−=+=+=+(−=+[(+−=++PQ −→−PB −→−BQ −→−PB −→−12BM −→−PB −→−12PM −→−PB)−→−PB −→−1212PA −→−PC)−→−PB]−→−14PA −→−12PB −→−14PC−→−x =14y =12z =14x −y +z =009πP −ABC PA PB PC =3++122222−−−−−−−−−−√2R =3R =32S =4π×=9πR 29π+=1x 23y 22根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得，，可得椭圆的方程．【解答】解：∵，∴.又，∴.又，∴，∴，.∵，∴，∴，∴在轴上．在中，.在中，由余弦定理可得.根据，可得，解得，∴，，所以椭圆的方程为：．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设等差数列的公差为，因为，所以即解得，，所以.由得，，所以.【考点】等差数列的通项公式数列的求和【解析】a =3–√b =2–√|A |F 2=2|B |F 2|AB |=3|B |F 2|AB |=|B |F 1|B |F 1=3|B |F 2|B |+|B |F 1F 2=2a |B |=F 2a 2|A |F 2=a |B |=a F 132|A |+|A |F 1F 2=2a |A |F 1=a |A |F 1=|A |F 2A y Rt △A O F 2cos ∠A O =F 21a △BF 1F 2cos ∠B =F 2F 14+(−(a a 2)232)22×2×a 2cos ∠A O +cos ∠B F 2F 2F 1=0+=01a 4−2a 22a a 2=3a =3–√b 2=−a 2c 2=3−1=2C +=1x 23y 22+=1x 23y 22(1){}a n d +2=3n +5a n a n+1{+2=8,a 1a 2+2=11,a 2a 3{3+2d =8,a 13+5d =11,a 1=2a 1d =1=2+(n −1)=n +1a n (2)(1)==−1a n a n+11(n +1)(n +2)1n +11n +2=(−)+(−)+⋯+(−)S n 121313141n +11n +2=−121n +2解：设等差数列的公差为，因为，所以即解得，，所以.由得，，所以.18.【答案】【考点】与抛物线有关的中点弦及弦长问题抛物线的标准方程【解析】【解答】19.【答案】解：分数在内的频率为：，故，如图所示：平均分为：(1){}a n d +2=3n +5a n a n+1{+2=8,a 1a 2+2=11,a 2a 3{3+2d =8,a 13+5d =11,a 1=2a 1d =1=2+(n −1)=n +1a n (2)(1)==−1a n a n+11(n +1)(n +2)1n +11n +2=(−)+(−)+⋯+(−)S n 121313141n +11n +2=−121n +2(1)[70,80)1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3=0.030.310(2)x ¯¯¯=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05．由题意，分数段的人数为：人；分数段的人数为：人；∵在的学生中抽取一个容量为的样本，∴分数段抽取人，分别记为，；分数段抽取人，分别记为，，，；设从样本中任取人，至多有人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，共种，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共种，∴．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数分层抽样方法列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(1)频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于，可求出分数在内的频率，即可求出矩形的高，画出图象即可；(2)同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相乘再求出它们的和即可求出本次考试的平均分；(3)先计算、分数段的人数，然后按照比例进行抽取，设从样本中任取人，至多有人在分数段为事件，然后列出基本事件空间包含的基本事件，以及事件包含的基本事件，最后将包含事件的个数求出题目比值即可．【解答】解：分数在内的频率为：，故，如图所示：平均分为：．由题意，分数段的人数为：人；=71(3)[60,70)0.15×60=9[70,80)0.3×60=18[60,80)6[60,70)2m n [70,80)4a b c d 21[70,80)A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)15A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)(n,b)(n,c)(n,d)9P(A)==915351[70,80)[60,70)[70,80)21[70,80)A A (1)[70,80)1−(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1−0.7=0.3=0.030.310(2)x ¯¯¯=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71(3)[60,70)0.15×60=9[70,80)分数段的人数为：人；∵在的学生中抽取一个容量为的样本，∴分数段抽取人，分别记为，；分数段抽取人，分别记为，，，；设从样本中任取人，至多有人在分数段为事件，则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，共种，则事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共种，∴．20.【答案】证明：如图，取中点，连结,由已知易得是正三角形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面∴平面，则.又∵，且，∴平面．解：如图建立空间直角坐标系则，，，．，，取中点,易得平面的法向量设平面的法向量为，由得则令,得∴.∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．[70,80)0.3×60=18[60,80)6[60,70)2m n [70,80)4a b c d 21[70,80)A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)，(n,b)，(n,c)，(n,d)(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)15A (m,n)(m,a)(m,b)(m,c)(m,d)(n,a)(n,b)(n,c)(n,d)9P(A)==91535(1)AB O OE,AE △ABE EO ⊥AB ABEF ⊥ABC ABEF∩ABC =AB EO ⊂ABEFEO ⊥ABC EO ⊥BC BC ⊥BE BE ∩EO =E BC ⊥ABEF (2)A(0,−2,0)B(0,2,0)C(,2,0)6–√E(0,0,2)3–√=(,4,0)AC −→−6–√==(0,−2,2)AF −→−BE −→−3–√EB N BCE AN −→−=(0,3,).3–√ACF =(x,y,z)n → ⋅=0，n →AC −→−⋅=0，n →AF −→−{x +4y =0，6–√−2y +2z =0，3–√z =1=(−2,,1)n →2–√3–√cos <，>AN −→−n →=⋅AN −→−n →||⋅||AN −→−n →=3–√3ACF BCE 3–√3用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】如图，在菱形中，取中点，可得面，，平面．由得面，平面．以为原点，，所在直线为、轴建立如图直角坐标系．则，，，，．求出平面的法向量为，平面的法向量为，利用向量法夹角公式即可求解．【解答】证明：如图，取中点，连结,由已知易得是正三角形，∴，又∵平面平面，平面平面，平面∴平面，则.又∵，且，∴平面．解：如图建立空间直角坐标系则，，，．，，取中点,易得平面的法向量设平面的法向量为，由得则令,得∴.∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．21.(1)ABEF AB O EO ⊥ABC EO ⊥BC BC ⊥ABEF (2)(1)EO ⊥ABC BC ⊥ABEF O OB OE y z O −xyz A(0,−2,0)B(0,2,0)C(,2,0)6–√F(0,−4,2)3–√E(0,0,2)3–√ACF =(x,y,z)m →BCE =(a,b,c)n →(1)AB O OE,AE △ABE EO ⊥AB ABEF ⊥ABC ABEF∩ABC =AB EO ⊂ABEFEO ⊥ABC EO ⊥BC BC ⊥BE BE ∩EO =E BC ⊥ABEF (2)A(0,−2,0)B(0,2,0)C(,2,0)6–√E(0,0,2)3–√=(,4,0)AC −→−6–√==(0,−2,2)AF −→−BE −→−3–√EB N BCE AN −→−=(0,3,).3–√ACF =(x,y,z)n → ⋅=0，n →AC −→−⋅=0，n →AF −→−{x +4y =0，6–√−2y +2z =0，3–√z =1=(−2,,1)n →2–√3–√cos <，>AN −→−n →=⋅AN −→−n →||⋅||AN −→−n →=3–√3ACF BCE 3–√3解：由题意得所以，所以椭圆的标准方程是.由题意得，直线的方程为．联立得到，解得，，原点到直线的距离，.【考点】椭圆的标准方程与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】（1）由点是椭圆的焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为，列出方程组求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线的方程为，联立方程，利用韦达定理表示面积即可．【解答】解：由题意得所以，所以椭圆的标准方程是.由题意得，直线的方程为．联立得到，解得，，原点到直线的距离，.22.【答案】设双曲线的渐近线方程为，则，该直线与圆相切，双曲线的两条渐近线方程为．(1) c =1,a +c =3,=+，a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√+=1x 24y 23(2)MN y =(x −1)3–√ y =(x −1),3–√+=1x 24y 235−8x =0x 2=0,=x 1x 285|MN|=|−|=1+k 2−−−−−√x 1x 2165MN d =3–√2=d ×|MN|=××=S △OMN 12123–√216543–√5F (1,0)C F 3a b C MN y =(x −1)3–√(1) c =1,a +c =3,=+，a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√+=1x 24y 23(2)MN y =(x −1)3–√ y =(x −1),3–√+=1x 24y 235−8x =0x 2=0,=x 1x 285|MN|=|−|=1+k 2−−−−−√x 1x 2165MN d =3–√2=d ×|MN|=××=S △OMN 12123–√216543–√5(1)C y =kx kx −y =0∵+=1x 2(y −)2–√2∴C y =±x =122故设双曲线的方程为，又双曲线的一个焦点为，，，双曲线的方程为：．由得，令，∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．因此 解得．又中点为，直线的方程为：．令，得．，，．【考点】双曲线的标准方程直线与双曲线结合的最值问题【解析】根据两条渐近线与圆相切，可得双曲线的两条渐近线方程为．利用双曲线的一个焦点为，可得，从而可求双曲线的方程．直线与双曲线方程联立消去，设，，进而根据直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根求得的范围，表示出中点的坐标，进而表示出直线的方程，令求得关于的表达式，根据的范围求得的范围．【解答】设双曲线的渐近线方程为，则，该直线与圆相切，双曲线的两条渐近线方程为．故设双曲线的方程为，又双曲线的一个焦点为，，，双曲线的方程为：．由得，令，∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程在上有两个不等实根．因此 解得．又中点为，C −=1x 2a 2y 2a 2C (,0)2–√∴2=2a 2=1a 2∴C −=1x 2y 2(2){y =mx +1,−=1,x 2y 2(1−)−2mx −2=0m 2x 2f(x)=(1−)−2mx −2m 2x 2f (x)=0(−∞,0) Δ>0,<0且>0,2m 1−m 2−21−m 21<m <2–√AB (,)m 1−m 211−m 2∴l y =(x +2)1−2+m +2m 2x =0b ==2−2+m +2m 22−2+(m −)142178∵m ∈(1,)2–√∴−2+∈(−2+,1)(m −)1421782–√∴b ∈(−∞,−2−)∪(2,+∞)2–√(1)+=1x 2(y −)2–√2C y =±x C (,0)2–√=1a 2C (2)y A(,)x 1y 1B (,)x 2y 2f (x)=0(−∞,0)m AB l x =0b k m b (1)C y =kx kx −y =0∵+=1x 2(y −)2–√2∴C y =±x C −=1x 2a 2y 2a 2C (,0)2–√∴2=2a 2=1a 2∴C −=1x 2y 2(2){y =mx +1,−=1,x 2y 2(1−)−2mx −2=0m 2x 2f(x)=(1−)−2mx −2m 2x 2f (x)=0(−∞,0) Δ>0,<0且>0,2m 1−m 2−21−m 21<m <2–√AB (,)m 1−m 211−m 2=(x +2)1直线的方程为：．令，得．，，．∴l y =(x +2)1−2+m +2m 2x =0b ==2−2+m +2m 22−2+(m −)142178∵m ∈(1,)2–√∴−2+∈(−2+,1)(m −)1421782–√∴b ∈(−∞,−2−)∪(2,+∞)2–√。
2020-2021学年山东省菏泽市高二(上)期末数学试卷(A卷) (解析版)
2020-2021学年山东省菏泽市高二（上）期末数学试卷（A卷）一、单项选择题（共8小题）.1．﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13…的第（）项．A．98B．99C．100D．1012．“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在正四面体P﹣ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．4．日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．设将1t水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为t1，t2，则＝（）A．B．16C．D．255．已知双曲线的离心率为，则点（2，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE 翻折至的位置△A1DE，使得面A1DE⊥面BCDE，则点A1到平面BCDE的距离为（）A．1B．2C．D．7．若函数e x f（x）（e＝2.718⋅⋅⋅，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x3C．f（x）＝sin x D．f（x）＝lnx 8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…．则2035年年底存栏头数为（）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4）A．1005B．1080C．1090D．1105二、多项选择题（共4小题）.9．已知直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，圆C：x2+y2﹣2x＝0，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C恒有两个公共点B．圆心C到直线l的最大距离是C．存在一个m值，使直线l经过圆心CD．当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称10．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{S n}不是递增数列C．数列{a n}的最大项为a11D．数列{S n}的最大项为S1111．设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（）A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0 12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其长轴长是短轴长的，若点P是椭圆上不与F1，F2共线的任意点，且△PF1F2的周长为16，则下列结论正确的是（）A．C的方程为B．C的离心率为C．双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为D．点Q是圆x2+y2＝25上一点，点A，B是C的左、右顶点（Q不与A，B重合），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，则25k1＝16k2三、填空题（共4小题）.13．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l 的方程为．14．两圆（x+1）2+y2＝9和x2+y2+4x﹣4y＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D 所成角的余弦值为．16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B 两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为．四、解答题（共6小题）.17．已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，求实数k的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和是A n，数列{b n}的前n项和是B n，若a1＝1，a n+1＝2a n+1，n∈N*，再从三个条件：①B n＝﹣n2+21n；②B n+1﹣b n＝B n﹣2，b1＝20；③b n＝22﹣2log2（a n+1），中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝，记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间t（x）关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，求直线MN与直线PA 所成角的余弦值．21．已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线x＝4上任取一点T（4，m）（m≠0），直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4ln2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．﹣401是等差数列﹣5，﹣9，﹣13…的第（）项．A．98B．99C．100D．101解：等差数列﹣5，﹣9，﹣13…中，a1＝﹣5，d＝﹣9﹣（﹣5）＝﹣4∴a n＝﹣5+（n﹣1）×（﹣4）＝﹣4n﹣1令﹣401＝﹣4n﹣1，得n＝100∴﹣401是这个数列的第100项．故选：C．2．“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，由a（a﹣2）﹣3＝0，解得a＝3或﹣1．经过验证a＝3时两条直线重合，舍去．∴“a＝﹣1”是“直线x+ay+6＝0和直线（a﹣2）x+3y+2a＝0平行”的充要条件．故选：C．3．在正四面体P﹣ABC中，棱长为1，且D为棱AB的中点，则的值为（）A．B．C．D．解：如图所示，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，D是棱AB中点，所以＝（+），所以•＝•（+）＝•+•＝×1×1×cos60°+×1×1×cos60°＝．故选：D．4．日常生活的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．设将1t水净化到纯净度为92%，98%时，所需净化费用的瞬时变化率分别为t1，t2，则＝（）A．B．16C．D．25解：因为，所以，故，，故．故选：B．5．已知双曲线的离心率为，则点（2，0）到C的渐近线的距离为（）A．B．2C．D．解：双曲线的离心率为，可得，所以＝＝1，所以双曲线的渐近线方程为x±y＝0，点（2，0）到C的渐近线的距离为：＝．故选：A．6．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，E是AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折至的位置△A1DE，使得面A1DE⊥面BCDE，则点A1到平面BCDE的距离为（）A．1B．2C．D．解：在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，所以△ABD是边长为2的等边三角形，又因为E为AB的中点，所以DE⊥A1E，又面A1DE⊥面BCDE，面A1DE∩面BCDE＝DE，A1E⊂平面A1DE，所以A1E⊥平面BCDE，又A1E＝，故A1E为点A1到平面BCDE的距离为1．故选：A．7．若函数e x f（x）（e＝2.718⋅⋅⋅，e为自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数具有M性质的为（）A．f（x）＝x2﹣1B．f（x）＝x3C．f（x）＝sin x D．f（x）＝lnx解：对于A：f（x）＝x2﹣1，则g（x）＝e x f（x）＝e x（x2﹣1），g′（x）＝e x（x2﹣1）+2xe x＝e x（x2+2x﹣1）≥0在实数集R上不恒成立，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上不是增函数，对于B：f（x）＝x3，则g（x）＝e x f（x）＝e x•x3，g′（x）＝e x•x3+3e x•x2＝e x（x3+3x2）＝e x•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，当x＞﹣3时，g′（x）＞0，∴g（x）＝e x f（x）在定义域R上先减后增；对于C：f（x）＝sin x，则g（x）＝e x sin x，g′（x）＝e x（sin x+cos x）＝e x sin（x+），显然g（x）不单调；对于D：f（x）＝lnx，则g（x）＝e x lnx，则g′（x）＝e x（lnx+）＞0，函数g（x）递增，∴具有M性质的函数的为D，故选：D．8．某养猪场2021年年初猪的存栏数1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头．设该养猪场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1，a2，a3，…．则2035年年底存栏头数为（）（参考数据：1.0814≈2.9，1.0815≈3.2，1.0816≈3.4）A．1005B．1080C．1090D．1105解：由题意得：a1＝1200，a2＝1200×1.08﹣100，a3＝1200×1.082﹣100×1.08﹣100，×1.08﹣100，1.082﹣100×1.08﹣100，…∴2035年年底存栏头数为：﹣100（1.0814+1.0813+1.0812+…+1.08+1）≈1200×3.2﹣100×＝1090．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，圆C：x2+y2﹣2x＝0，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C恒有两个公共点B．圆心C到直线l的最大距离是C．存在一个m值，使直线l经过圆心CD．当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称解：由直线l：mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0，即m（x+y﹣1）﹣2y+1＝0，得，解得，则直线l过定点P（，），圆C：x2+y2﹣2x＝0化为（x﹣1）2+y2＝1，圆心坐标为C（1，0），∵|PC|＝＜1，点P在圆C内部，∴直线l与圆C恒有两个公共点，故A正确；圆心C到直线l的最短距离为|PC|＝，故B错误；∵直线系方程mx﹣（2﹣m）y+1﹣m＝0不包含直线x+y﹣1＝0（无论m取何值），而经过P（，）的直线只有x+y﹣1＝0过C（1，0），故C错误；当m＝1时，直线l为x﹣y＝0，圆C的圆心坐标为（1，0），半径为1，圆x2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为（0，1），半径为1，两圆的圆心关于直线x﹣y＝0对称，半径相等，则当m＝1时，圆C与圆x2+（y﹣1）2＝1关于直线l对称，故D正确．故选：AD．10．某地2020年12月20日至2021年1月23的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如图所示．若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法正确的是（）A．数列{a n}是递增数列B．数列{S n}不是递增数列C．数列{a n}的最大项为a11D．数列{S n}的最大项为S11解：因为12月27日新增确诊人数小于12月26日新增确证人数，即a7＞a8，所以{a n}不是递增数列，所以A错误；因为1月22日新增确诊病例为0，即S33＞S34，所以{S n}不是递增数列，所以B错误；因为12月31日新增确诊病例最多，从12月20日算起，12月31日是第11天，所以数列{a n}的最大项是a11，所以C选项正确，数列{S n}的最大项是最后一项，所以选项D错误，故选：BC．11．设函数f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），则下列结论正确的是（）A．当a＝﹣4时，函数f（x）在上的平均变化率为B．当a＝1时，函数f（x）的图象与直线y＝﹣1有1个交点C．当a＝2时，函数f（x）的图象关于点（0，1）中心对称D．若函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，则当a≥2时，f（x1）+f（x2）≤0解：对于A，当a＝﹣4时，f（x）＝x（x﹣1）（x+4），则f（x）在上的平均变化率为，故A正确；对于B，当a＝1时，f（x）＝x（x﹣1）2＝x3﹣2x2+x，则f′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1），令f'（x）＝0，则x＝或x＝1，∴当x＞1或x＜时，f'（x）＞0；当＜x＜1时，f'（x）＜0，∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，∵，结合f（x）的单调性可知，方程f（x）＝﹣1有一个实数根，故B正确；对于C，当a＝2时，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣2）＝（x﹣1）[（x﹣1）2﹣1]＝（x﹣1）3+（x﹣1），则f（x）+f（﹣x）＝（x﹣1）3+（x﹣1）+（﹣x﹣1）3+（﹣x﹣1）＝﹣2（3x2+2）≠2，∴f（x）的图象不关于点（0，1）中心对称，故C错误；对于D，f（x）＝x（x﹣1）（x﹣a），f′（x）＝（x﹣1）（x﹣a）+x（2x﹣a﹣1）＝3x2﹣2（a+1）x+a，令f′（x）＝0，则3x2﹣2（a+1）x+a＝0，∵△＝4（a2﹣a+1）＝（2a﹣1）2+3＞0，且函数f（x）有两个不同的极值点x1，x2，∴x1，x2为方程3x2﹣2（a+1）x+a＝0的两个实数根，则，∴f（x1）+f（x2）＝x1（x1﹣1）（x1﹣a）+x2（x2﹣1）（x2﹣a）＝＝＝，∵a⩾2，∴f（x1）+f（x2）⩽0，故D正确．故选：ABD．12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，其长轴长是短轴长的，若点P是椭圆上不与F1，F2共线的任意点，且△PF1F2的周长为16，则下列结论正确的是（）A．C的方程为B．C的离心率为C．双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为D．点Q是圆x2+y2＝25上一点，点A，B是C的左、右顶点（Q不与A，B重合），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若A，P，Q三点共线，则25k1＝16k2解：根据题意可得，解得a＝5，b＝4，c＝3，对于A：椭圆的方程为+＝1，即A正确；对于B：e＝＝，即B错误；对于C：双曲线的渐近线为y＝±x＝±x，联立，且x＞0，y＞0，解得x＝，y＝，∴双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限内的交点为，即C正确；对于D：由题意知，A（﹣5，0），B（5，0），设P（x1，y1），则k1＝，∵Q在圆x2+y2＝25上，且A，P，Q三点共线，∴AQ⊥BQ，∴k2＝＝，∴＝＝＝，即25k1＝16k2，故选项D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．若点是曲线上一点，直线l为点P处的切线，则直线l 的方程为2x+3y﹣π＝0．解：由，得y′＝﹣sin（），∴，又，∴直线l的方程为y＝，即2x+3y﹣π＝0．故答案为：2x+3y﹣π＝0．14．两圆（x+1）2+y2＝9和x2+y2+4x﹣4y＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为．解：根据题意，设圆C为：（x+1）2+y2＝9，其圆心C为（﹣1，0），半径r＝3，圆C：（x+1）2+y2＝9，即x2+y2+2x﹣8＝0，联立，则有2x﹣4y+8＝0，即x﹣2y+4＝0，即两圆公共弦MN所在直线的方程为x﹣2y+4＝0，圆心C到直线x﹣2y+4＝0的距离d＝＝，则|MN|＝2×＝2×＝．故答案为：．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，则直线EF与平面AA1D1D 所成角的余弦值为．解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，连接AF，则∠AFE为直线EF与平面AA1D1D所成角．设正方体的棱长为2a，则AE＝A1F＝a，AF＝a，EF＝a，∴cos∠AFE＝＝．即直线EF与平面AA1D1D所成角的余弦值为．故答案为：16．已知抛物线C：y2＝4x的焦点F与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C 交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为24．解：由抛物线的方程可得F（1，0），所以c＝1，即，解得λ＝4，所以双曲线的方程为：，由题意设直线l1的方程为：y＝k1（x﹣1），直线l2的方程为：y＝k2（x﹣1），则k，联立方程，消去y整理可得：k x，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x，同理可得x，由抛物线的性质可得|AB|＝x，|DE|＝x，所以|AB|+|DE|＝8+＝8+，当且仅当k时取等号，此时|AB|+|DE|的最小值为24，故答案为：24．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知圆C的圆心在直线y＝x上，圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）若圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，求实数k的取值范围．解：（1）设圆心为（t，t），半径为r，根据题意圆心到x轴的距离为2，且截y轴所得弦长为，可得，所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝18或（x+2）2+（y+2）2＝18．（2）由（1）知圆C的圆心为（﹣2，﹣2）或（2，2），半径为，由圆C上至少有三个不同的点到直线l：y＝kx的距离为，可知圆心到直线l：y＝kx的距离：．即，所以1+k2﹣4k≤0，解得，所以直线l斜率的取值范围为．18．已知数列{a n}的前n项和是A n，数列{b n}的前n项和是B n，若a1＝1，a n+1＝2a n+1，n∈N*，再从三个条件：①B n＝﹣n2+21n；②B n+1﹣b n＝B n﹣2，b1＝20；③b n＝22﹣2log2（a n+1），中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝，记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前n项和T n．解：（1）由a n+1＝2a n+1，得a n+1+1＝2（a n+1），又a1＝1，则a1+1＝2，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴即．若选①当n＝1时，b1＝B1＝20，当n≥2时，b n＝B n﹣B n﹣1＝22﹣2n，∴b n＝22﹣2n．若选②由B n+1﹣b n＝B n﹣2得b n+1﹣b n＝﹣2，所以数列{b n}是以20为首项，﹣2为公差的等差数列，b n＝22﹣2n．若选③b n＝22﹣2log2（a n+1）＝22﹣2n．（2）由（1）知，∴当1≤n≤3时，，当n≥4时，，所以：．19．如图，一海岛O，离岸边最近点B的距离是120km，在岸边距点B300km的点A处有一批药品要尽快送达海岛．已知A和B之间有一条快速路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为100km，快艇时速为50km．设点C到点B的距离为x．（参考数据：．）（1）写出运输时间t（x）关于x的函数；（2）当点C选在何处时运输时间最短？解：（1）由题意知，|AC|＝300﹣x，∴；（2），令t'（x）＝0，得，当时，t'（x）＜0，故f（x）单调递减，当时，t'（x）＞0，故f（x）单调递增，所以时t（x）取最小值，所以当点C选在距B点68km时运输时间最短．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，BC＝4，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）若平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，求直线MN与直线PA 所成角的余弦值．【解答】（1）证明：∵，AD＝3，∴AM＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，∵N为PC的中点，∴TN∥BC，＝AM，又AD∥BC，故TN∥AM，∴四边形AMNT为平行四边形，∴MN∥AT，∵AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB．（2）解：取BC的中点E，连接AE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，，以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P（0，0，h），则A（0，0，0），，∴，设平面AMN的法向量为，则，即，令x＝h，则y＝0，z＝﹣，∴，又平面PAD的法向量为，且平面AMN与平面PAD所成的锐二面角的正弦值为，∴|cos＜，＞|＝||＝||＝，解得h＝2，∴P（0，0，2），，∴，设直线MN与直线PA所成角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝＝，∴直线MN与直线PA所成角的余弦值为．21．已知P是圆上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，在直线x＝4上任取一点T（4，m）（m≠0），直线TA，TB分别交曲线C于M，N两点，判断直线MN是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，∴点Q的轨迹是以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴曲线C的方程为．（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），AT：，BT：，将与联立，消去y整理得（m2+27）x2+4m2x+4m2﹣108＝0，∴，∴，∴，故，同理，当m≠±3时，直线MN方程为，直线MN恒过定点（1，0）；当m＝3时，，直线MN：过点（1，0）；同理可知，当m＝﹣3时直线MN恒过点（1，0），综上，直线MN恒过定点（1，0）．22．已知函数f（x）＝x2+ax+2lnx（a为常数）．（1）当a≤4时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，证明：|f（x1）﹣f（x2）|≤﹣4ln2．解：（1）∵f（x）＝x2+ax+2lnx，x∈（0，+∞），∴，设g（x）＝2x2+ax+2，x∈（0，+∞），当﹣4≤a≤4时，△≤0，2x2+ax+2≥0成立，则有f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＜﹣4时，△＞0，由2x2+ax+2＞0得x＞或x＜（舍），由2x2+ax+2＜0得＜x＜，令﹣4+＞0，解得：a＞4（舍）或a＜﹣4，故﹣4≤a＜﹣4时，＜0，故f（x）在（0，+∞）递增，a＜﹣4时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减，综上：当﹣4≤a≤4，时，函数f（x）在（0，+∞）的单调递增，当a＜﹣4时，函数f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减；（2）证明：由（1）知函数f（x）的两个极值点x1，x2满足2x2+ax+2＝0，∴，不妨设0＜x1＜1＜x2，则f（x）在（x1，x2）上是减函数，故f（x1）＞f（x2），∴＝＝，令，则t＞1，又，即，解得1＜x2≤2，故，∴1＜t≤4，设，则，∴h（t）在（1，4]上为增函数，∴，所以．。
吉林省高二上学期数学期末考试试卷A卷
吉林省高二上学期数学期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合P={x|-2x3},Q={x|2x4}，则P Q=（）A . 【3.4）B . （2,3】C . （-1,2）D . （-1,3】2. （2分）数列中，则（）A . 7B . 8C . 9D . 103. （2分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A . a＜﹣4B . a＞﹣4C . a＞﹣12D . a＜﹣124. （2分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝a，则的值为（）A . 1B .C .D . 25. （2分）已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m与l2：2x+（5+m）y=8，则“l1∥l2”是“m=﹣7”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）(2018·株洲模拟) 已知等比数列是递增数列，是的前项和.若，则（）A . 31B . 32C . 63D . 647. （2分）若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（）A . ﹣=1B . ﹣=1C . ﹣=2D . ﹣=28. （2分）(2017·漳州模拟) 曲线C是平面内与两个定点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之积等于9的点的轨迹．给出下列命题：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标轴对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的周长有最小值10；④若点P在曲线C上，则△F1PF2面积有最大值．其中正确命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）已知圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2﹣6x+8y+9=0，则两圆的位置关系为（）A . 相交B . 内切C . 外切D . 相离10. （2分）已知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称，且当时，f(x)+xf'(x)<0成立（其中f'(x)是f(x)的导函数），若,则a，b，c的大小关系为（）A . a >c >bB . c>a>bC . c>b >aD . b >a>c二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二上·蕲春期中) 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 ， F2 ，线段OF1 ， OF2的中点分别为B1 ， B2 ，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作l交椭圆于P、Q两点，使PB2垂直QB2 ，求直线l的方程________．12. （1分）若变量x，y满足约束条件则w＝4x·2y的最大值是________．13. （1分） (2019高二下·嘉兴期中) 双曲线的离心率是________，渐近线方程是________14. （1分）(2019·湖南模拟) 如图，设的内角所对的边分别为，，且 .若点是外一点，，则当四边形面积最大值时， ________．15. （1分）已知数列{an}的通项公式是an=﹣3n+18，其前n项的和是Sn ，则Sn最大值时的n的取值是________．三、解答题 (共4题；共20分)16. （5分） (2019高一上·镇海期中) 已知集合，，其中．（1）若，，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．17. （5分） (2018高二上·成都月考) 在中，内角的对边分别为，已知，且成等比数列.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若求的值.18. （5分） (2017高一下·鹤岗期末) 已知数列满足，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求证：．19. （5分）(2017·上海) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： =1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|= ，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共4题；共20分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、。
吉林省高二上学期期末数学试卷(理科)A卷
吉林省高二上学期期末数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·淮北月考) 已知点P是抛物线上的-个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（）A . 2B .C .D .2. （2分）某学院有四个饲养房，分别养有18，54，24，48只白鼠供实验用，某项实验需要抽取24只白鼠，你认为最合适的抽样方法是（）A . 在每个饲养房各抽取6只B . 把所以白鼠都编上号，用随机抽样法确定24只C . 在四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只D . 先确定这四个饲养房应分别抽取3，9，4，8只样品，再由各饲养房将白鼠编号，用简单随机抽样确定各自要抽取的对象3. （2分） (2018高二下·张家口期末) 已知命题：，使得，则为（）A . ，总有B . ，使得C . ，总有D . ，使得4. （2分）(2017·云南模拟) 执行如下图所示的程序框图，输出S的值为（）A . 1007B . 1008C . 1009D . 10105. （2分）下列说法中，正确的是（）A . 离散型随机变量的均值E（X）反映了X取值的概率平均值B . 离散型随机变量的方差D（X）反映了X取值的平均水平C . 离散型随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平D . 离散型随机变量的方差D（X）反映了X取值的概率平均值6. （2分） (2016高二下·新洲期末) 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . =0.4x+2.3B . =2x﹣2.4C . =﹣2x+9.5D . =﹣0.3x+4.47. （2分） (2016高三上·平湖期中) 已知双曲线 =1（a＞0，b＞0），A1 ， A2是实轴顶点，F是右焦点，B（0，b）是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点p1（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（）A . （，+∞）B . （，+∞）C . （1，）D . （，）8. （2分）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，汽车时速的频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为（）A . 38B . 28C . 10D . 59. （2分） (2017高二上·四川期中) 设为双曲线：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（）A .C .D .10. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A . 3B . 2C .D .11. （2分）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线，使与直线AD1所成的角为30°，且与平面C1D1C所成的角为60°，则这样的直线的条数是（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分） (2018高二上·承德期末) 双曲线的焦点坐标为（）A .B .C .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·辽宁期中) 有以下命题：①若f（x）=x3+（a﹣1）x2+3x+1没有极值点，则﹣2＜a＜4；②集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=﹣4i；③若函数f（x）= ﹣m有两个零点，则m＜．其中正确的是________．14. （1分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a=________15. （1分） (2016高二上·岳阳期中) 正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，异面直线DA1与AC所成的角为________．16. （1分） (2018高二上·大连期末) 已知M是抛物线上一点， F为其焦点，点A在圆上，则的最小值是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共85分)17. （10分） (2016高三上·晋江期中) 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2） p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18. （20分） (2016高二下·通榆期中) 市环保局举办2013年“六•五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“绿色环保标志”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．求抽奖者获奖的概率；（2）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“绿色环保标志”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．求抽奖者获奖的概率；（3）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示获奖的人数．求ξ的分布列及E（ξ），D（ξ）．（4）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽．用ξ表示获奖的人数．求ξ的分布列及E（ξ），D（ξ）．19. （5分） (2018高三上·湖北月考) （某保险公司有一款保险产品的历史户获益率（获益率=获益÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）试估计平均收益率；（Ⅱ）根据经验若每份保单的保费在元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下组与的对应数据：(元)销量（万份）（ⅰ）根据数据计算出销量（万份）与（元）的回归方程为；（ⅱ）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均获益率估计此产品的获益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大获益，并求出该最大获益.参考公示：20. （10分）(2017·上海模拟) 如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分别为EB和AB的中点．（1）求证：FD∥平面ABC；（2）求二面角B﹣FC﹣G的正切值．21. （10分） (2016高二上·吉安期中) 已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（1）若 =3 ，求直线AB的斜率；（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22. （30分） (2015高二上·抚顺期末) 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．（1）求椭圆E的方程；（2）求椭圆E的方程；（3）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：（4）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：（5）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．（6）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、4-1、答案：略5-1、答案：略6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共85分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、答案：略18-2、答案：略18-3、答案：略18-4、答案：略19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略22-2、答案：略22-3、答案：略22-4、答案：略22-5、答案：略22-6、答案：略第11 页共11 页。
高二数学上学期期末试题 理 A 试题(共10页)
铁人(tiě rén)中学2021级高二上学期期末考试数学试题〔理〕时间是：120分钟满分是：150分一、选择题:1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝1表示双曲线〞的( )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，那么M点的轨迹方程是( )3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，那么m的值是( )A.14B.12C．2 D ．44．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，在高一年级的学生中抽取了6名，那么在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A．6 B．8 C．10 D．125．在长为10㎝的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49 cm2之间的概率为〔〕A． B． C． D．6.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域里种1种花，且相邻的2个区域种不同的花，那么不同的种法种数为A．96 B．84 C．260 D．3207．编号为1,2,3的三位学生随意坐入编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个(yī ɡè)座位，那么三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率A.23B.13C.16D.568.假设如下图的程序框图输出的S的值是126，那么条件①为( )A．n≤5?B．n ≤6?C．n ≤7?D．n≤8?9．给出两个命题：p ：平面内直线与抛物线有且只有一个交点，那么直线l与该抛物线相切；命题q：过双曲线右焦点的最短弦长是8.那么( ) A．q为真命题 B．“p 或者q〞为假命题C．“p且q〞为真命题 D．“p 或者q〞为真命题是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，那么的离心率为〔〕A. B. C. D.11．如图，AB是平面的斜线段．．．，A为斜足，假设点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，那么动点P的轨迹是AB MDC12．设F 为双曲线的左焦点(ji āodi ǎn)，在轴上F 点的右侧有一点，以为直径的圆与双曲线左、右两支在x 轴上方的交点分别为、，那么的值是〔 〕A.25B. C.45D.二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分。
2022-2023学年人教A版(2019)高二上数学期末试卷(含解析)
2022-2023学年高中高二上数学期末试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 过点，的直线的倾斜角是，则的值为 A.B.C.D.2. 已知，，动点满足，则点的轨迹是（ ）A.双曲线B.椭圆C.线段D.不存在3. 若存在等比数列，使得＝，则公比的最小值为（ ）A.B.C.D.4. 函数的导数是 A (4,y)B (2,−3)π4y ()−11−55(−3,0)F 1(3,0)F 2M |M |+|M |=5F 1F 2M {}a n (+)a 1a 2a 36−9a 1q y =(3x +)sin 3π4()(3x +)cos(3x +)ππA.B.C.D. 5. 已知函数的图象在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则实数的值为（ ）A.B.C.D.6. 下列算式中，积为负数的是 （ ）A.B.C.D.7. 已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则等于（ )A.B.C.D.或8. 函数在区间上的最小值为( )A.B.C.D.3(3x +)cos(3x +)sin 2π4π49(3x +)cos(3x +)sin 2π4π49(3x +)sin 2π4−9(3x +)cos(3x +)sin 2π4π4f(x)=−x 2P(a,−)(a ≠0)a 22a 2−4±2±40×(−5)4×(−5)×(−3)(−1.5)×(−2)(−5)×(−3)×(−7)−1a 1a 2−7−3b 1b 2b 3−12⋅(−2)b 2a 2a 1−66−12−66f (x)=x +sin x [−π,0]−π2−π1二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法错误的是( )A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B.直线与直线互相平行，则C.过，两点的所有直线的方程为D.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为10. 已知点，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于，两点(点在点的上方)，且，，则该双曲线的离心率可能为A.B.C.D.11. 设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数．下列说法正确的是A.公比大于的等比数列一定是间隔递增数列B.已知，则是间隔递增数列C.已知，则是间隔递增数列且最小间隔数是D.已知，若是最小间隔数为的间隔递增数列，则12. 函数 的所有极值点从小到大排列成数列，设是的前项和，则下列结论中正确的是（ ）A.数列为等差数列B.C.D.a =−1x −y +1=0a 2x −ay −2=0ax +2y +6=0x +(a −1)y +−1=0a 2a =−1(,)x 1y 1(,)x 2y 2=y −y 1−y 2y 1x −x 1−x 2x 1(1,1)x y x +y −2=0F 1F 2−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F 2A B A B A ⊥AB F 1|A |∶|AB|=3∶4F 1()10−−√225–√13−−√{}a n k n ∈N +>a n+k a n {}a n k {}a n ( )1=n +a n 4n{}a n =2n +a n (−1)n {}a n 2=−tn +2020a n n 2{}a n 34≤t <5f (x)=x +cos x (x >0)12{}a n S n {}a n n {}a n =a 417π6sin =S 202112tan(+)=a 3a 73–√3卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 与直线平行且过点的直线方程为________．14. 已知数列的首项，前项和为，且满足，则数列的通项公式________.15. 已知双曲线:的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于点，且与轴交于点．若的面积为，其中，为坐标原点，则________.16. 曲线＝在点处的切线方程为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知直线与.若，求的值；若，求的值. 18. 在平面直角坐标系中，设椭圆的上、下两个焦点分别为，，过上焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.求椭圆的方程；设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一个点，求的面积． 19. 已知数列，其前项和为，且.求数列的通项公式；若，求数列的前项和.20. 设等差数列满足，．求的通项公式；求的前项和及使得最大的序号的值．21. 已知函数（其中为自然对数的底数）．当时，求函数的单调递增区间；若函数在区间上单调递减，求的取值范围．22. 已知函数．33x +4y +1=0(1,2){}a n =1a 1n S n 2+=2(n ∈)a n+1S n N ∗{}a n =a n C −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F F l :y =(x −2a)3–√C A y B △OBF 83–√O =|AF||BF|y 5x +ln x (1,5)：2x +my +1=0l 1：4mx +(m +1)y +2=0l 2(1)⊥l 1l 2m (2)//l 1l 2m xOy C :+=1(a >b >0)y 2a 2x 2b 2F 2F 1F 2y l C (−1,)2–√(1)C (2)C B(b,0)BF 2C N △BN F 1{}a n n S n =−2S n 2n+1(1){}a n (2)=2b n log 2a n {}b n n T n {}a n =5a 3=−9a 10(1){}a n (2){}a n n S n S n n f (x)=(+mx)x 2e x e (1)m =−2f (x)(2)f (x)[1,3]m f (x)=ln x +−(a ∈R)2x ae x−1x2(1)f (x)若，求在处的切线方程；若在上有两个极值点，．①求实数的取值范围；②求证：．(1)a =0f (x)x =1(2)f (x)(0,2)x 1(<)x 2x 1x 2a <1x 1x 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】直线的倾斜角直线的斜率【解析】由题意可得直线的斜率，由此求得的值．【解答】解：过两点，的直线的倾斜角是，直线的斜率，解得．故选．2.【答案】D【考点】椭圆的定义【解析】直接由椭圆的定义得答案．【解答】解：∵，，∴，又，∴点的轨迹不存在．故选：．3.k =tan=1=π4y +34−2y ∵A (4,y)B (2,−3)π4∴k =tan=1=π4y +34−2y =−1A (−3,0)F 1(3,0)F 2||=6F 1F 2|M |+|M |=5<6F 1F 2M D【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】先由题设得到：＝，再根据其有实根求得的取值范围，即可得到正确答案．【解答】由题设可得：＝，即＝，①当＝时，＝；②当且时，＝，解得：或或，综上，或，∴的最小值为，4.【答案】B【考点】简单复合函数的导数【解析】根据的求导法则对函数进行求导；【解答】解：∵函数，∴.故选．5.【答案】(q +)−6+9q 2a 21a 10q (q +)a 21q 26−9a 1(q +)−6+9q 2a 21a 10q −1a 1q ≠−1q ≠0△36−36(+q)≥0q 2≤q <−1−1<q <00<q ≤≤q <00<q ≤q y =sin x y =(3x +)sin 3π4y =(3x +)sin 3π4y'=3(3x +)cos(3x +)×3sin 2π4π4=9(3x +)cos(3x +)sin 2π4π4BC【考点】导数的几何意义【解析】根据曲线的解析式求出导函数，把代入导函数中即可求出切线的斜率，根据切点的坐标和求出的斜率写出切线的方程，进而求出切线与两坐标轴的交点坐标，即可求出切线与两坐标轴所围成的三角形的面积，从而建立关于的方程即可求出值．【解答】解：依题意得，∴，∴切线斜率为，∴切线方程为：，在切线方程中，当时，；当时，，∴切线与，轴的交点坐标分别为：，．∴该切线与坐标轴所围成的三角形面积为：，解得．故选．6.【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】A【考点】等比中项x =a l l a a f (x)=−2x′f (a)=−2a ′−2a y +=−2a(x −a)a 2x =0y =a 2y =0x =a 2x y (,0)a 2(0,)a 2××=212a 2a 2a =±2C等差中项【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列，，，成等差数列，设公差为，则，解得，∴，.∵数列，，，，成等比数列，∴，解得，∴.故选.8.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知函数 ，该函数定义域为，则 ,已知当时，，函数单调递增，则 .故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】直线的截距式方程直线的两点式方程−1a1a 2−7d −7=−1+3d d =−2=−1−2=−3a 1=−1+2×(−2)=−5a 2−3b 1b2b 3−12=−3×（−12）=36b 22=−6b2⋅(−2)=(−6)×[−5−2×(−3)]=−6b 2a 2a 1A f(x)=x +sin x [−π,0](x)=1+cos x f ′x ∈(−π,0)(x)>0f ′f(x =f(−π)=−π+sin(−π)=−π)min B命题的真假判断与应用直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用充要条件判断，直线平行的充要条件判断；两点式方程判断；直线的截距式方程判断．【解答】解：，当时，两直线方程分别为，，此时也满足直线垂直，故错误；，∵直线与直线平行，∴，解得，故正确；，过，两点的所有直线的方程为，或，或，故错误；，经过点 且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，或，故错误．故选．10.【答案】A,C,D【考点】双曲线的特性双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】本题根据双曲线的定义将，两点满足已知条件的所有情况列出来，再根据已知条件求出双曲线中和的关系式，从而求出离心率.【解答】解：设，则，，当，均在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可知，，所以，所以，解得：，所以，,在中，由勾股定理可得，所以；当点在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可知，，A B C D A a =0y =1x =2A B ax +2y +6=0x +(a −1)y +−1=0a 2=≠a 12a −16−1a 2a =−1B C (,)x 1y 1(,)x 2y 2=y −y 1−y 2y 1x −x 1−x 2x 1x ==x 1x 2y ==y 1y 2C D (1,1)x y x +y −2=0y =x D ACD A B a c |A |=3m(m >0)F 1|AB|=4m |B |=5m F 1A B |A |=3m −2a F 2|B |=m +2a F 2|B |−|B |=5m −(m +2a)=2a F 1F 2m =a |A |=3a F 1|A |=a F 2Rt △AF 1F 24=9+=10c 2a 2a 2a 2e ==c a 10−−√2A |B |=5m −2a F 2|A |=9m −2a F所以，所以，解得：，所以，，在中，由勾股定理可得，所以；当，分别在双曲线的右支、左支上时，可得：，则，所以.综上，该双曲线的离心率为或或.故选.11.【答案】B,C,D【考点】数列递推式数列的函数特性【解析】【解答】解：，当时，，数列为递减数列，不满足递增条件，故错误；，假设存在使间隔递增，恒成立，恒成立，，，，只要，存在成立，故正确；，通过列举数列：，，，，，观察间隔大于等于时，数列间隔递增，故正确；，间隔递增，恒成立，恒成立，故恒成立.且最小值为，，即．又最小值为，先减后增，，，，，故正确.故选．12.【答案】|A |=9m −2a F 2|A |−|A |=9m −2a −3m =2aF 2F 1m =a 23|A |=2a F 1|A |=4a F 2Rt △AF 1F 24=4+16=20c 2a 2a 2a 2e =5–√A B |A |=2m F 2||=m F 1F 213−−√e =13−−√10−−√25–√13−−√ACD A <0a 1q >1{}a n A B k {}a n ∴>a n+k a n (n +k)+>n +4n +k 4n ∴k >−=4n 4n +k 4k n(n +k)∴n(n +k)>4∴k +1>4k >3k B C {}a n 15599⋯2C D ∵{}a n >a n+k a n (n +k −t(n +k)+2020>−tn +2020)2n 22kn +−tk >0k 2∵k >0k 3∴t <2n +k t <2+3t <5∵k 3∴{}a n ≥a 1a 3∴1−t +2020≥9−3t +2020t ≥4∴4≤t <5D BCDB,C【考点】数列的求和利用导数研究函数的极值等差关系的确定数列递推式三角函数【解析】由题意得到}为，，，，，，，对于，可以发现，，进而分析求解即可.【解答】解：，令，即，得到或，且，当，，当，，当，，为的极大值点， 为的极小值点，且，}为，，，，，，，对于，可以发现，，，，不是等差数列，故错误；，故正确；{a n π65π6+2ππ6+2π5π6+4ππ6+4π5π6⋯{}a n =−+(2n −1)πa 2n−15π6=+(2n −2)πa 2n 5π6(x)=−sin x (x >0)f ′12f(x =0)′sin x =12x =+2kππ6x =+2kπ5π6k ≥0k ∈Z x ∈(2kπ,+2kπ)π6(x)>0f ′x ∈(+2kπ,+2kπ)π65π6(x)<0f ′x ∈(+2kπ,+2kπ)5π613π6(x)>0f ′∴x =+2kππ6f (x)x =+2kπ5π6f(x)k ≥0k ∈Z ∴{a n π65π6+2ππ6+2π5π6+4ππ6+4π5π6⋯∴{}a n =+(2n −2)πa 2n−1π6=+(2n −2)πa 2n 5π6∴−=πa 2a 123−=πa 3a 243∴{}a n A =+(4−2)π=a 45π617π6B =(++⋯+)+(++⋯+)S 2021a 1a 3a 2021a 2a 4a 2020=[++⋯+(+2020π)]+π613π6π6[++⋯+(+2018π)]5π617π65π6++2020π)×1011ππ，，故正确；，，，，故错误．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】设直线平行的直线为，把点代入解得即可．【解答】解：设直线平行的直线为，∵此直线又过点，∴，解得．故答案为：．14.【答案】【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析=+(++2020π)×1011π6π62(++2018π)×10105π65π62=2021×1010π+π6∴sin =sin(2021×1010π+)=sin =S 2021π6π612C =+2π=a 3π613π6=+6π=a 7π637π6+==a 3a 750π625π3∴tan(+)=tan =tan =a 3a 725π3π33–√D BC 3x +4y −11=03x +4y +1=03x +4y +m =0(1,2)3x +4y +1=03x +4y +m =0(1,2)3×1+4×2+m =0m =−113x +4y −11=0(12)n−1【解答】解：∵，①∴，②①②得，即.当时，，解得，满足上式，故.故答案为：.15.【答案】【考点】双曲线的特性双曲线的标准方程【解析】无【解答】解：如图，过点作轴，垂足为，设双曲线的焦距为，因为直线过点，所以．由题意可得，则，从而的面积为，解得，，故双曲线：.联立2+=2a n+1S n 2+=2a n S n−1(n ≥2)−2−2+=0a n+1a n a n =a n+112a nn =12+=2a 2a 1=a 212=(a n 12)n−1(12)n−138A AD ⊥x D C 2c l F c =2a ∠OFB =60∘|OB|=|OF|=c 3–√3–√△OBF |OF|⋅|OB|==8123–√2c 23–√c =4a =2C −=1x 24y 212 −=1，x 24y 212y =(x −4)，3–√ =，5解得即．因为，所以．故答案为：．16.【答案】＝【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出切点坐标，求出斜率，然后求解切线方程．【解答】将点代入＝成立，为切点．因为＝，所以切线斜率＝．所以切线方程为＝，即＝．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：因为，所以，解得或.因为，所以解得.【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】 x =，52y =−，33–√2|AD|=33–√2AD//OB ==|AF||BF||AD||OB|38386x −y −10(1,5)y 4x +ln x 5)y'5+k 5+y −56(x −2)6x −y −17(1)⊥l 1l 22×4m +m(m +1)=0m =0m =−9(2)//l 1l 2{2(m +1)−4=0，m 22m −(m +1)≠0，m =−12此题暂无解析【解答】解：因为，所以，解得或.因为，所以解得.18.【答案】解：由题意得可得 ∴椭圆的方程为．由知，，∴直线的方程为，即，由得点的横坐标．又，∴．故的面积为 .【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】本题主要考察椭圆的方程及三角形的面积 .【解答】解：由题意得可得 (1)⊥l 1l 22×4m +m(m +1)=0m =0m =−9(2)//l 1l 2{2(m +1)−4=0，m 22m −(m +1)≠0，m =−12(1) −=2，a 2b 2+=1，2a 21b 2{=4，a 2=2，b 2C +=1y 24x 22(2)(1)(0,)F 22–√B(,0)2–√BF 2x +y −=02–√y =−x +2–√ y =−x +，2–√+=1，y 24x 22N =−x N 2–√3||=2F 1F 22–√=||⋅|−|=×2×(+)=S △BN F 112F 1F 2x B x N 122–√2–√2–√383△BN F 183(1) −=2，a 2b 2+=1，2a 21b 2{=4，a 2=2，b 2=122∴椭圆的方程为．由知，，∴直线的方程为，即，由得点的横坐标．又，∴．故的面积为 .19.【答案】解：当时，，当时，，经检验时符合上式，所以...即，.【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，当时，，C +=1y 24x 22(2)(1)(0,)F 22–√B(,0)2–√BF 2x +y −=02–√y =−x +2–√ y =−x +，2–√+=1，y 24x 22N =−x N 2–√3||=2F 1F 22–√=||⋅|−|=×2×(+)=S △BN F 112F 1F 2x B x N 122–√2–√2–√383△BN F 183(1)n =1=2a 1n ≥2=−=−=a n S n S n−12n+12n 2nn =1=a n 2n (2)=2=2=2nb n log 2a n log 22n =2×1=2b 1=T n n(+)b1b n 2=n(2+2n)2=n +n 2n ∈N ∗(1)n =1=2a 1n ≥2=−=−=a n S n S n−12n+12n 2n经检验时符合上式，所以...即，.20.【答案】解：由及，得，，，解得，，数列的通项公式为.由知．因为．所以时，取得最大值．【考点】数列与函数最值问题等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】设出首项和公差，根据，，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．由上面得到的首项和公差，写出数列的前项和，整理成关于的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：由及，得，，，解得，，数列的通项公式为.由知．因为．所以时，取得最大值．21.n =1=a n 2n (2)=2=2=2n b n log 2a n log 22n =2×1=2b 1=T n n(+)b 1b n 2=n(2+2n)2=n +n 2n ∈N ∗(1)=+(n −1)d a n a 1=5a 3=−9a 10+9d =−9a 1+2d =5a 1d =−2=9a 1{}a n =11−2n a n (2)(1)=n +d =10n −S n a 1n(n −1)2n 2=−(n −5+25S n )2n =5S n (1)=5a 3=−9a 10(2){}a n n n (1)=+(n −1)d a n a 1=5a 3=−9a 10+9d =−9a 1+2d =5a 1d =−2=9a 1{}a n =11−2n a n (2)(1)=n +d =10n −S n a 1n(n −1)2n 2=−(n −5+25S n )2n =5S n解：当时，，∴，令，解得：或，∴的单调增区间为，．∵，由题意得对于恒成立，∴，，即，令，则恒成立，∴在区间递减，，∴的范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性已知函数的单调性求参数问题【解析】直接求导，求单调性即可；利用单调性问题，转化为函数求最值问题，即可得出答案.【解答】解：当时，∴令，解得：或，∴的单调增区间为，．∵，由题意得对于恒成立，∴，，即，令，则恒成立，∴在区间递减，，∴的范围是.22.(1)m =−2f (x)=(−2x)x 2e x (x)=(−2)f ′x 2e x (x)>0f ′x >2–√x <−2–√f (x)(−∞,−)2–√(,+∞)2–√(2)(x)=[+(m +2)x +m]f ′x 2e x (x)≤0f ′x ∈[1,3]+(m +2)x +m ≤0x 2x ∈[1,3]m ≤−=−(x +1)++2x x 2x +11x +1g(x)=−(x +1)+1x +1(x)=−1−<0g ′1(x +1)2g(x)[1,3]g =g(3)=−(x)min 154m (−∞,−)154(1)(2)(1)m =−2f (x)=(−2x)x 2e x(x)=(−2)f ′x 2e x(x)>0f ′x >2–√x <−2–√f (x)(−∞,−)2–√(,+∞)2–√(2)(x)=[+(m +2)x +m]f ′x 2e x (x)≤0f ′x ∈[1,3]+(m +2)x +m ≤0x 2x ∈[1,3]m ≤−=−(x +1)++2x x 2x +11x +1g(x)=−(x +1)+1x +1(x)=−1−<0g ′1(x +1)2g(x)[1,3]g =g(3)=−(x)min 154m (−∞,−)154解：当时，，，∴，又切点为，∴所求切线方程为，即．①，要使在上有两个极值点，，则在上有两个不同的零点，即在上有两个不等根．则．令，则．当时，则单调递增，当时，则单调递减，∴当时，有最大值．当，，当时，，故．②由①知，，，得故所以，则，要证，只要证，即证不等式，其中，即证，即，令，即证，构造函数，则，所以，函数在区间上单调递减，(1)a =0f (x)=ln x +2x (x)=−f ′1x 2x 2k =(1)=−1f ′(1,2)y −2=−(x −1)x +y −3=0(2)(x)=(x >0)f ′(x −2)(x −a )e x−1x 3f (x)(0,2)x 1x 2g(x)=x −ae x−1(0,2)g(x)=x −a =0e x−1(0,2)a =x e x−1S(x)=x e x−1(x)=S ′1−x e x−1x ∈(0,1)(x)>0S ′S(x)x ∈(1,2)(x)<0S ′S(x)x =1S(x)1x →0S(x)→0x →2S(x)→2e <a <12e g()=g()=0x 1x 20<<<2x 1x 2{a =,e −1x 1x 1a =,e −1x 2x 2{−1+ln a =ln ,x 1x 1−1+ln a =ln ,x 2x 2−=ln −ln x 1x 2x 1x 2=1−x 1x 2ln −ln x 1x 2<1x 1x 2<1x 1x 2−−−−√<x 1x 2−−−−√−x 1x 2ln −ln x 1x 20<<<2x 1x 2ln −ln >x 1x 2−x 1x 2x 1x 2−−−−√=−x 1x 2−−−√x 2x 1−−−√ln >−x 1x 2x 1x 2−−−√x 2x 1−−−√t =∈(0,1)x 1x 2−−−√2ln t >t −(0<t <1)1t φ(t)=2ln t −t +1t (t)=−1−φ′2t 1t 2=−<0(t −1)2t 2(t)φ′(0,1)φ(t)>φ(1)=0故，所以，因此，．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】无【解答】解：当时，，，∴，又切点为，∴所求切线方程为，即．①，要使在上有两个极值点，，则在上有两个不同的零点，即在上有两个不等根．则．令，则．当时，则单调递增，当时，则单调递减，∴当时，有最大值．当，，当时，，故．②由①知，，，得故所以，则，φ(t)>φ(1)=0<=1x 1x 2−−−−√−x 1x 2ln −ln x 1x 2<1x 1x 2(1)a =0f (x)=ln x +2x (x)=−f ′1x 2x 2k =(1)=−1f ′(1,2)y −2=−(x −1)x +y −3=0(2)(x)=(x >0)f ′(x −2)(x −a )e x−1x 3f (x)(0,2)x 1x 2g(x)=x −ae x−1(0,2)g(x)=x −a =0e x−1(0,2)a =x e x−1S(x)=x e x−1(x)=S ′1−x e x−1x ∈(0,1)(x)>0S ′S(x)x ∈(1,2)(x)<0S ′S(x)x =1S(x)1x →0S(x)→0x →2S(x)→2e <a <12e g()=g()=0x 1x 20<<<2x 1x 2{a =,e −1x 1x 1a =,e −1x 2x 2{−1+ln a =ln ,x 1x 1−1+ln a =ln ,x 2x 2−=ln −ln x 1x 2x 1x 2=1−x 1x 2ln −ln x 1x 2要证，只要证，即证不等式，其中，即证，即，令，即证，构造函数，则，所以，函数在区间上单调递减，故，所以，因此，．<1x 1x 2<1x 1x 2−−−−√<x 1x 2−−−−√−x 1x 2ln −ln x 1x 20<<<2x 1x 2ln −ln >x 1x 2−x 1x 2x 1x 2−−−−√=−x 1x 2−−−√x 2x 1−−−√ln >−x 1x 2x 1x 2−−−√x 2x 1−−−√t =∈(0,1)x 1x 2−−−√2ln t >t −(0<t <1)1t φ(t)=2ln t −t +1t (t)=−1−φ′2t 1t 2=−<0(t −1)2t 2(t)φ′(0,1)φ(t)>φ(1)=0<=1x 1x 2−−−−√−x 1x 2ln −ln x 1x 2<1x 1x 2。
2023-2024学年全国高中高二上数学人教A版(2019)期末试卷(含解析)
2023-2024学年全国高二上数学期末试卷考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1. 过点且垂直于直线的直线方程为 A.B.C.D.2. 设为等差数列，公差，为其前项和，若，则A.B.C.D.3. 圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离4. 已知是抛物线上一点，是的焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），的周长为，则( )A.B.P (−1,3)x −2y +3=0()2x +y −5=02x +y −1=0x +2y −5=0x −2y +7=0{}a n d =−2S n n +110=2S 10S 11=a 6( )8101214+=4(x +2)2(y −4)2+=9(x −2)2(y −1)2M C :=2px(p >0)y 2F C M C N ∠MFO =120∘O △MNF 12|NF|=417−−√3–√C.D.5. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 A.B.C.D.6. 已知函数的导函数为，满足， 且，则不等式的解集为( )A.B.C.D.7. 某宝塔塔高多米，九层八面，中间设有螺旋的扶梯.宝塔的扶梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数.从第四层到第六层，共有级.则此塔中的扶梯共有( )A.级B.级C.级D.级8. 已知 ,则,的大小关系为 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）32–√5+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b22–√2−=1x 2a 2y 2b 2()y =±x 2–√2y =±x2–√y =±2xy =±x 12y =f (x)(x)f ′∀x ∈R (x)>f (x)f ′f (1)=e f (lnx)>x (e,+∞)(1,+∞)(0,e)(0,1)6028117112118110a =4ln ,b =3ln ,c =4ln 3π4ππ3a b,c ()c <b <ab <c <ab <a <ca <b <c=1229. 已知是椭圆的右焦点，为左焦点，为椭圆上的动点，且椭圆上至少有个不同的点， ，，，组成公差为的等差数列，则( )A.的面积最大时，B.的最大值为C.的值可以为D.椭圆上存在点，使10. 设数列的前项和为，且，则下列结论正确的是( )A.若，则数列为等比数列B.若，则数列为等比数列C.若则数列为等差数列D.若则数列为等差数列11. 已知函数则下列结论正确的是 （ ）A.B.是增函数C.是周期函数D.的值域为）12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）A.图形关于轴对称B.曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）C.曲线上存在到原点的距离超过的点D.曲线所围成的“心形”区域的面积大于F +=1x 225y 216M P 21(i =1,2,3,⋯)P i |F |P 1|F |P 2|F |P 3⋯d △FP M tan ∠FP M =247|F |P 18d 310P ∠FP M =π2{}a n n S n =+n −1a n+1S n =1a 1{+n}S n =1a 1{+1}a n =−1a 1{+n}S n =−1a 1{+1}a n f (x)={+1,x >0,x 4cos2x,x ≤0f (0)=1f (x)f (x)f (x)[−1,+∞C :+=1+|x |yx 2y 2y C 6C 2–√C 3卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为，，，，的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第个“三角形数”是，则第个“三角形数”是 ________，前个“三角形数”的和是________.14. 已知双曲线 的左右焦点分别为，，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为________.15. 过点 作圆的两条切线，切点分别为，，则________．16. 已知函数，若在与处导数相等，且恒成立，则实数的最大值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；若点在曲线上，求点到直线的距离的最大值． 18. 设等比数列的公比为，前项和为．若， ，求的值；若，，且，，求的值．19. 设函数，其中.当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求函数在区间上的最小值．13610…n n(n +1)256C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P △P F 1F 2tan ∠P =F 1F 2512P (2,)3–√C :+−2x =0x 2y 2A B ⋅=P A −→−P B −→−f(x)=x ++lnx 1x f(x)x =x 1x =(≠)x 2x 1x 2f()+f()>m x 1x 2m xOy C {x =2cosα,y =sinααx l ρcosθ−2ρsinθ=32–√(1)l C (2)P C P l {}a n q(q ≠1)n S n (1)=1a 1=S 698S 3a 3(2)q >1+=a m a m+252a m+1=9S 2m S m m ∈N ∗m f (x)=−x (x ∈R)(x −a)2a ∈R (1)a =1y =f (x)(2,f(2))(2)a >0f (x)[0,2a]−)120. 在数列中，，当时，其前项和满足．证明：数列为等差数列，并求；设，求数列的前项和．21. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为，且，，是抛物线上异于的两点．求抛物线的标准方程．若直线，的斜率之积为 ，求证：直线恒过定点． 22. 设函数.讨论函数 的极值点的个数；若函数有个极值点，且极小值点为，求证：．{}a n =a 11n ≥2n S n =S 2n (−)a n S n 12(1){}1S na n (2)=b n 2n S n {}b n n T n E :=2py(p >0)x 2F P E P 2|P F|=2A B E O (1)E (2)OA OB −12AB f (x)=mlnx +−2x(m ≠0)x 2(1)f (x)(2)f (x)2x 0f ()>x 0−3−2ln24参考答案与试题解析2023-2024学年全国高二上数学期末试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）1.【答案】B【考点】直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．故选.2.【答案】B【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，即，x −2y +3=012−2x −2y +3=012−2P (−1,3)2x +y −1=0B +110=2S 10S 11+11=110a 11a 6+5d +11=110a 6a 6解得.故选.3.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出两圆的圆心，半径，计算圆心距，比较圆心距与两半径的关系得出结论．【解答】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的圆心距为.因为，所以两圆外切.故选.4.【答案】A【考点】抛物线的性质【解析】利用抛物线的定义，结合三角形的形状，转化求解即可． 本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查转化思想的应用以及计算能力，属于基础题．【解答】解：因为，所以，又是抛物线上一点，所以，则是等边三角形，则．故选．5.【答案】66=10a 6B +=4(x +2)2(y −4)2(−2,4)2+=9(x −2)2(y −1)2(2,1)3=5+(−2−2)2(4−1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√d =+r 1r 2C ∠MFO =120∘∠FMN =60∘M C |FM|=|MN|△FMN |NF|==4123A双曲线的渐近线椭圆的离心率【解析】由椭圆 的离心率为，得到，代入双曲线的渐近线方程中即可求解.【解答】解：椭圆的离心率为，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.故选.6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】首先构造函数，再利用函数的单调性，求出答案即可.【解答】解：设函数，∴，∴单调递增，∵，，则，∴ ，∴，∴.故选.+=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)2–√2a =b 2–√+=1x 2a 2y 2b 2(a >b >0)2–√2===e 2c 2a 2−a 2b 2a 212a =b 2–√−=1x 2a 2y 2b 2y =±x=±xb a 2–√2A g(x)=f (x)e x(x)=>0g ′(x)−f (x)f ′e x g(x)f (1)=e g(1)==1f (1)e 1g(lnx)==>1=g(1)f (lnx)e ln x f(lnx)xg(lnx)>g(1)lnx >1x >e AB【考点】等差数列的前n 项和数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：记第层到第层的级数为，根据题意，知，，故此塔中的扶梯共有(级)，故选.8.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：,已知在是增函数，,.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）9.【答案】A,B,Cn n +1a n +=28a 4a 5×8=(+)×4=112+a 1a 82a 4a 5B a =4ln =4πln3,b =3ln =3πln4,c =4ln =12lnπ3π4ππ3lnx （0，+∞）∴ln3<lnπ<ln4，3π<12<4π∴b <c <a B【考点】椭圆的定义和性质等差数列数列与解析几何的综合【解析】【解答】解：由椭圆，当点为短轴顶点时， 最大， 的面积最大，此时，此时角为锐角，故正确，错误；椭圆上的动点，，即有，又椭圆上至少有个不同的点， ，，，组成公差为的等差数列，所以最大值，故正确；设 ，，，组成的等差数列为，公差，则，，又，所以，所以，所以的最大值是，故正确.故选. 10.【答案】A,C,D【考点】等比关系的确定等差关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以．若，则 ，+=1x 225y 216P ∠FP M △FP M tan ∠FP M =247A D P a −c ≤|P |≤a +c F 12≤|P |≤8F 121(i =1,2,3，⋯)P i |F |P 1|F |P 2|F |P 3⋯d |F |P 18B |F |P 1|F |P 2|F |P 3⋯{}a n d >0≥2a 1≤8a nd =−a n a 1n −1d ≤≤=6n −1621−13100<d ≤310d 310C ABC =2+n −1S n+1S n +n +1=2(+n)S n+1Sn =1a 1+1=2≠0S 1=2+n +1S +12+2n S所以．故数列是等比数列，故正确；所以，则.当 时，，由，，可得，，，即，故错误；若，则由 得，此时数列为等差数列，故正确，此时可求得，，此时数列为等差数列，故正确．故选．11.【答案】A,D【考点】利用导数研究函数的单调性函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：，故正确；当时，不是单调函数，此时，当时，，综上，即函数的值域为，故，错误，正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】曲线与方程【解析】利用题中给出的曲线的方程，通过将变换为，即可判断选项；通过方程，确定和的取值情况，即可判断选项；利用基本不等式以及两点间距离公式进行分析求解，即可判断选项；求出曲线所围成的面积，即可判断选项．【解答】1==2+n +1S n+1+n S n 2+2n S n +n S n {+n}S n A +n =S n 2n =−n S n 2n n ≥2=−=−1a n S n S n−12n−1=1a 1=1a 2=3a 3+1=2a 1+1=2a 2+1=4a 3≠+1a 3+1a 2+1a 2+1a 1B =−1a 1+n +1=2(+n)S n+1S n +n =0S n {+n}S n C =−1a n +1=0a n {+1}a n D ACD f(0)=cos0=1A x ≤0f(x)=cos2x −1≤cos2x ≤1x >0f(x)=+1>1x 4f(x)≥−1[−1,+∞)B C D AD x −x A x y B C C D −1＝xy ≤+22对于选项，当时，由，可得，当且仅当取等号，所以，所以，故曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故选项错误（1）对于，在轴上方图形的面积大于矩形的面积，在轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故选项正确．故选：．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】,【考点】数列的求和【解析】直接利用规律求得第，个，即可求出答案.【解答】解：由题意得：第个“三角形数”是；第个“三角形数”是；故前个“三角形数”是.故答案为：；.14.【答案】或【考点】双曲线的离心率双曲线的定义【解析】分两种情况，利用勾股定理和双曲线的性质，定义求解即可.C x >0+=1+xy x 2y 2+−1＝xy ≤x 2y 2+x 2y 22x =y +≤2x 2y 2≤+x 2y 2−−−−−−√2–√C y 2–√C 2–√C D x 1×2=2x ×2×1＝112C 2+1=3D ABD 1556565=155×(5+1)26=216×(6+1)261+3+6+10+15+21=56155613732解：为直角三角形，①若，且，可设，则，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，则双曲线的离心率为；②若，且，可设，则，由勾股定理可知，由双曲线的定义可知，则双曲线的离心率为.故答案为：或.15.【答案】【考点】两点间的距离公式平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，所以圆心，半径为，所以|，，，所以．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题△P F 1F 2∠P =F 2F 190∘tan ∠P =F 1F 2512|P |=5m F 2||=2c =12m F 1F 2|P |=13m F 12a =|P |−|P |=8mF 1F 2e ===2c 2a 12m 8m 32∠P =F 2F 190∘tan ∠P =F 1F 2512|P |=5m F 2|P |=12m F 1||=2c =13m F 1F 22a =|P |−|P |=7m F 1F 2e ===2c 2a 13m 7m 1371373232+−2x =0x 2y 2+=1(x −1)2y 2C (1,0)1P C|=2||=||=P A −→−P B −→−3–√∠AP B =60∘⋅=||⋅||⋅cos =P A −→−P B −→−P A −→−P B −→−60∘32325+ln2此题暂无解析【解答】解：，令，得，，由韦达定理得，即，得，∴，令，则，令，则，得，∵恒成立，∴实数的最大值为.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：由 （为参数），得，所以曲线的普通方程为．由，得，所以直线的直角坐标方程为（或）．由题意可设，则点到直线的距离为 . 因为，所以，所以，即 . 所以点到直线的距离的最大值为 .【考点】参数方程与普通方程的互化点到直线的距离公式(x)=1−+f ′1x 21x ()=()=m f ′x 1f ′x 21−+−m =01x 211x 11−+−m =01x 221x 2+=11x 11x 2+=>2x 1x 2x 1x 2x 1x 2−−−−√>4x 1x 2f()+f()=(+)+(+)+(ln +ln )x 1x 2x 1x 21x 11x 2x 1x 2=+ln()+1x 1x 2x 1x 2t =>4x 1x 2+ln()+1=t +lnt +1x 1x 2x 1x 2g(t)=t +lnt +1(t >4)(t)=1+>0(t >4)g ′1t g(t)>g(4)=5+ln4=5+2ln2f()+f()>m x 1x 2m 5+2ln25+2ln2(1){x =2cosα,y =sinαα+=1x 24y 2C +=1x 24y 2ρcosθ−2ρsinθ=32–√x −2y =32–√l x −2y −3=02–√y =x −1232–√2(2)P (2cosα,sinα)P l d =|2cosα−2sinα−3|2–√5–√=|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√−1≤cos(α+)≤1π4−5≤2cos(α+)−3≤−2–√2–√π42–√2–√≤≤10−−√5|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√10−−√≤d ≤10−−√510−−√P l 10−−√三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：由 （为参数），得，所以曲线的普通方程为．由，得，所以直线的直角坐标方程为（或）．由题意可设，则点到直线的距离为 . 因为，所以，所以，即 . 所以点到直线的距离的最大值为 .18.【答案】解：．∵，∴，解得，∴．∵， ∴，得，∵，∴．由， ，又，∴，即.∵，则，∴，解得．【考点】等比数列的前n 项和等比数列的通项公式(1){x =2cosα,y =sinαα+=1x 24y 2C +=1x 24y 2ρcosθ−2ρsinθ=32–√x −2y =32–√l x −2y −3=02–√y =x −1232–√2(2)P (2cosα,sinα)P l d =|2cosα−2sinα−3|2–√5–√=|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√−1≤cos(α+)≤1π4−5≤2cos(α+)−3≤−2–√2–√π42–√2–√≤≤10−−√5|2cos(α+)−3|2–√π42–√5–√10−−√≤d ≤10−−√510−−√P l 10−−√(1)=+++++S 6a 1a 2a 3a 4a 5a 6=+++++a 1a 2a 3a 1q 3a 2q 3a 3q 3=(+1)S 3q 3=S 698S 3(+1)=S 3q 398S 3q =12==a 3a 1q 214(2)+=a m a m+252a m+1+=q a m a m q 252a m −q +1=0q 252q >1q =2=9S 2m S m =9×(1−)a 122m 1−2(1−)a 12m 1−2≠0a 11−=9(1−)22m 2m (1−)(1+)=9(1−)2m 2m 2m m ∈N ∗1−≠02m 1+=92m m =3此题暂无解析【解答】解：．∵，∴，解得，∴．∵， ∴，得，∵，∴．由， ，又，∴，即.∵，则，∴，解得．19.【答案】解：当时，，∴，∴，则．∴曲线在点处的切线方程是，整理得．∵ ，∴．令，解得或．已知，当变化时，得到的正负如下表：∴，，，，∴在区间上的最小值为.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(1)=+++++S 6a 1a 2a 3a 4a 5a 6=+++++a 1a 2a 3a 1q 3a 2q 3a 3q 3=(+1)S 3q 3=S 698S 3(+1)=S 3q 398S 3q =12==a 3a 1q 214(2)+=a m a m+252a m+1+=q a m a m q 252a m −q +1=0q 252q >1q =2=9S 2m S m =9×(1−)a 122m 1−2(1−)a 12m 1−2≠0a 11−=9(1−)22m 2m (1−)(1+)=9(1−)2m 2m 2m m ∈N ∗1−≠02m 1+=92m m =3(1)a =1f (x)=−x =−+2−x(x −1)2x 3x 2f (2)=−2(x)=−3+4x −1f ′x 2(2)=−5f ′y =−x (x −1)2(2,−2)y +2=−5(x −2)5x +y −8=0(2)f (x)=−x =−+2a −x (x −a)2x 3x 2a 2(x)=−3+4ax −=−(3x −a)(x −a)f ′x 2a 2(x)=0f ′x =a 3x =a a >0x (x)f ′x (0,)a 3a 3(,a)a 3a (a,2a)(x)f ′−0+0−f ()=−a 3427a 3f (a)=0f (2a)=−2a 3f (0)=0f (x)[0,2a]−2a 3解：当时，，∴，∴，则．∴曲线在点处的切线方程是，整理得．∵ ，∴．令，解得或．已知，当变化时，得到的正负如下表：∴，，，，∴在区间上的最小值为.20.【答案】证明：数列中，，当时，其前项和满足．可得，化为，由可得，可得为首项为，公差为的等差数列；可得，即，时，，∴解：，前项和，，相减可得，故．(1)a =1f (x)=−x =−+2−x(x −1)2x 3x 2f (2)=−2(x)=−3+4x −1f ′x 2(2)=−5f ′y =−x (x −1)2(2,−2)y +2=−5(x −2)5x +y −8=0(2)f (x)=−x =−+2a −x (x −a)2x 3x 2a 2(x)=−3+4ax −=−(3x −a)(x −a)f ′x 2a 2(x)=0f ′x =a 3x =a a >0x (x)f ′x (0,)a 3a 3(,a)a 3a (a,2a)(x)f ′−0+0−f ()=−a 3427a 3f (a)=0f (2a)=−2a 3f (0)=0f (x)[0,2a]−2a 3(1){}a n =a 11n ≥2n S n S =(−)2n a n S n 12S =(−)(−)2n S n S n−1S n 122=S n S n−1−S n−1S n ≠0S n S n−1−=21S n 1S n−1{}1S n 12=1+2(n −1)=1S n 2n −1=S n 12n −1n ≥2=−a n S n S n−1=−12n −112n −3=−2(2n −1)(2n −3)= a n 1,n =1.,n ≥2.−2(2n −1)(2n −3)(2)==(2n −1)⋅b n 2n S n 2n n =T n 1×2+3×4+5×8+⋯+(2n −1)⋅2n 2=T n 1×4+3×8+5×16+⋯+(2n −1)⋅2n+1−=T n 2+2(4+8+...+)−(2n −1)⋅2n 2n+1=2+2⋅−(2n −1)⋅4(1−)2n−11−22n+1=T n 6+(2n −3)⋅2n+1数列递推式等差关系的确定数列的求和【解析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．【解答】证明：数列中，，当时，其前项和满足．可得，化为，由可得，可得为首项为，公差为的等差数列；可得，即，时，，∴解：，前项和，，相减可得，故．21.【答案】解：()由题意得，==(2n −1)⋅b n 2nS n2n (1){}a n =a 11n ≥2n S n S =(−)2n a n S n 12S =(−)(−)2n S n S n−1S n 122=S n S n−1−S n−1S n ≠0S n S n−1−=21S n 1S n−1{}1S n12=1+2(n −1)=1S n2n −1=S n 12n −1n ≥2=−a n Sn S n−1=−12n −112n −3=−2(2n −1)(2n −3)=a n 1,n =1.,n ≥2.−2(2n −1)(2n −3)(2)==(2n −1)⋅b n 2n S n2n n =T n 1×2+3×4+5×8+⋯+(2n −1)⋅2n2=T n 1×4+3×8+5×16+⋯+(2n −1)⋅2n+1−=T n 2+2(4+8+...+)−(2n −1)⋅2n 2n+1=2+2⋅−(2n −1)⋅4(1−)2n−11−22n+1=T n 6+(2n −3)⋅2n+11F (0,)p 2(2,),=2−p设，由点是上一点，，得，即，抛物线的标准方程为．()设， ，由题可知，得，可知直线斜率存在，设直线的方程为，，可得， ，直线过定点．【考点】抛物线的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】无无【解答】解：()由题意得，设，由点是上一点，，得，即，抛物线的标准方程为．()设， ，由题可知，得，可知直线斜率存在，设直线的方程为，，可得， ，直线过定点．22.P (2,),=2−y 0y 0p 2P E ∴4=2p(2−)p 2−4p +4=0p 2p =2∴E =4y x 22A(,)x 114x 21B(,)x 214x 22⋅=⋅==−k OA k OB x 14x 24x 1x 21612=−8x 1x 2AB AB y =kx +m {⇒−4kx −4m =0y =kx +m,=4y,x 2x 2=−4m =−8x 1x 2∴m =2∴AB (0,2)1F (0,)p 2P (2,),=2−y 0y 0p 2P E ∴4=2p(2−)p 2−4p +4=0p 2p =2∴E =4y x 22A(,)x 114x 21B(,)x 214x 22⋅=⋅==−k OA k OB x 14x 24x 1x 21612=−8x 1x 2AB AB y =kx +m {⇒−4kx −4m =0y =kx +m,=4y,x 2x 2=−4m =−8x 1x 2∴m =2∴AB (0,2)【答案】解：的定义域为，，令，，当时．，故无极值点；当时，，设是方程的两根．则，.则当时，，所以只有一个极值点.当时，有两个极值点．综上，当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，只有一个极值点.证明：由知，当时，有两个极值点，，，所以.则在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数．所以的极小值点为.由，得，所以，令，其中．则，当时，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以的极大值大于.【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究不等式恒成立问题【解析】(1)对函数进行求导后，根据的不同取值分类讨论函数的极值点个数.(2)将转化为只关于的关系式进行求解.【解答】(1)f (x)(0,+∞)(x)=+2x −2=f ′m x 2−2x +m x 2x 2−2x +m =0x 2Δ=4−8m =4(1−2m)m ≥12(x)≥0f ′f (x)m <12Δ>0x 1,x 22−2x +m =0x 2(<)x 1x 2+=1x 1x 2=x 1x 2m 2m ≤0≤0<x 1x 2f (x)0<m <12f (x)m ≥12f(x)0<m <12f (x)m ≤0f (x)(2)(1)0<m <12f(x)+=1x 1x 2=>0x 1x 2m 20<<<<1x 112x 2f(x)(0,)x 1(,)x 1x 2(,+∞)x 1f (x)=x 0x 22−2+m =0x 22x 2m =−2+2x 22x 2f()=mln +−2=(−2+2)ln +−2x 2x 2x 22x 2x 22x 2x 2x 22x 2g(t)=(−2+2t)lnt +−2t t 2t 2<t <112(t)=(2−4t)lnt g ′t ∈(0,)12(t)<0g ′g(t)(0,)12t ∈(,1)12(t)>0g ′g(t)(,1)12t ∈(,1)12g(t)>g()=12−3−2ln24f(x)−3−2lg24f (x)αf (x)f ()+f ()x 1x 2α(1)f (x)(0,+∞)解：的定义域为，，令，，当时．，故无极值点；当时，，设是方程的两根．则，.则当时，，所以只有一个极值点.当时，有两个极值点．综上，当时，无极值点；当时，有两个极值点；当时，只有一个极值点.证明：由知，当时，有两个极值点，，，所以.则在内为增函数，在内为减函数，在内为增函数．所以的极小值点为.由，得，所以，令，其中．则，当时，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以当时，，所以的极大值大于.(1)f (x)(0,+∞)(x)=+2x −2=f ′m x 2−2x +m x 2x 2−2x +m =0x 2Δ=4−8m =4(1−2m)m ≥12(x)≥0f ′f (x)m <12Δ>0x 1,x 22−2x +m =0x 2(<)x 1x 2+=1x 1x 2=x 1x 2m 2m ≤0≤0<x 1x 2f (x)0<m <12f (x)m ≥12f(x)0<m <12f (x)m ≤0f (x)(2)(1)0<m <12f(x)+=1x 1x 2=>0x 1x 2m 20<<<<1x 112x 2f(x)(0,)x 1(,)x 1x 2(,+∞)x 1f (x)=x 0x 22−2+m =0x 22x 2m =−2+2x 22x 2f()=mln +−2=(−2+2)ln +−2x 2x 2x 22x 2x 22x 2x 2x 22x 2g(t)=(−2+2t)lnt +−2t t 2t 2<t <112(t)=(2−4t)lnt g ′t ∈(0,)12(t)<0g ′g(t)(0,)12t ∈(,1)12(t)>0g ′g(t)(,1)12t ∈(,1)12g(t)>g()=12−3−2ln24f(x)−3−2lg24。
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高二上学期期末数学试卷（a卷）
一、选择题
1. 三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）
A . 1条
B . 2条
C . 3条
D . 1条或2条
2. 已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）
A . 1或3
B . 1或5
C . 3或5
D . 1或2
3. 已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，则m∥n，
其中不正确的命题的个数是（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
4. 从原点向圆x2+y2﹣12x+27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（）
A . 30°
B . 60°
C . 90°
D . 120°
5. 已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）
A . 90°
B . 45°
C . 60°
D . 30°
6. 三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（）
A . 内心
B . 外心
C . 垂心
D . 重心
7. 若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）
A . 3x+y﹣6=0
B . x﹣3y+2=0
C . x+3y﹣2=0
D . 3x﹣y+2=0
8. 如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）
A . 2
B . 6
C . 3
D . 2
9. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）
A . [ ，1]
B . [ ，1]
C . [ ，]
D . [ ，1]
10. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（）
A . 36cm3
B . 48cm3
C . 60cm3
D . 72cm3
11. 若圆C：x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：x﹣y+c=0的距离为，则c的取值范围是（）
A . [ ]
B . （）
C . [﹣2，2]
D . （﹣2，2）
12. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）
A .
B .
C .
D . 16π
二、填空题
13. 若A（1，﹣2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且|PA|=|PB|，则点P的坐标为________．
14. 不论m为何值，直线（3m+4）x+（5﹣2m）y+7m﹣6=0都恒过一定点，则此定点的坐标是________．
15. 如图所示，已知矩形ABCD中，AB=3，BC=a，若PA⊥平面AC，在满足条件PE⊥DE的E点有两个时，a的取值范围是________．
16. 若圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣l对称，过点C（﹣
a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为________．
17. 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，给出下列四个命题：
①对角线AC1被平面A1BD和平面B1 CD1三等分；
②正方体的内切球、与各条棱相切的球、外接球的表面积之比为1：2：3；
③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；
④正方体与以A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积之比为6：π
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
18. 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，E，F，N分别为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证：
（1）E，F，D，B四点共面；
（2）面AMN∥平面EFDB．
19. 求与圆（x﹣2）2+y2=2相切且在x轴，y轴上截距相等的直线方程．
20. 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________．
21. 已知实数x，y满足方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．
（1）求的取值范围；
（2）求|x+y+l|的取值范围．
22. 已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C 截得的弦长AB为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程l，若不存在说明理由．
23. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．
（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．。