新人教A版高中数学(选修2-3)1.2《排列与组合》(组合)

（1）
（2）
作业P27 习题1.2 2、 9
【练习】
组合应用
1.用m、n表示
2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共 有 种
不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，
有
种方法.
3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同 的分工方 法有 种；
例1. 在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出
两个元素的所有组合个数是：
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 组合
c bd ac d b cd
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc
排列
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab
﹒C4 ﹒C5 ﹒C6
﹒﹒﹒ ﹒
A D1 D2 D3 D4
B
（1）
组合数的性质
（2）
练习（1）求
的值 161700
（2）求满足
（3）求证：① ②
（4）求
的x值 5或2 的值 511
●思悟小结
1. 排列与组合之间的区别在于有无顺序。组合 中常见的问题有：选派问题、抽样问题、图形问 题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键 是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排， 合理分类、分步.
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排； 而构造组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的
子集有多少个?
组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备
你发现ad了b bda dba
acd
什么ac?d cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bcd
bdc cdb dcb
（三个元素的）1个组合，对应着6个排列
对于 ，我们可以按照以下步骤进行
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的
既有 种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标，以此类推，因此共有
种分法.
例题解读：
（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个，
然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有
种分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
例3 在∠MON的边OM上有5个异于O点的点,
ON上有4个异于O点的点,以这十个点(含O)为
顶点,可以得到多少个三角形?
EN
A ·B·C· D· ·
O F· G· H· I· M
例4 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
A32 6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题一
从已知的3 个不同元素 中每次取出 2个元素,按 照一定的顺 序排成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知的3个 不同元素中 每次取出2个 元素,并成一 组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
种方法．
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
种方法．
例题解读：
例1．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
解：（5）可以分为三类情况：
①“2、2、2型” 的分配情况，有 种方法；
②“1、2、3型” 的分配情况，有
种方法；
③“1、1、4型”，有
2.理解组合数的性质 3.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合 理分类）和间接法（排除法）.
P27 习题1.2 10、 11
组合与组合数
通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义， 组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我 们将在此基础上，继续学习它们的一些应用
（一）组合数的 公式及其性质：
个班、三个班、四个班进行分类，共有
种分法.
例题解读
例3．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
种方法；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
“捆绑”在一起看成一个元素有 种方法；第二步：从
素的所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
d
(6个)
概念讲解
组合数
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示.
注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素 的所有组合个数是:
(1)无任何限制条件； (2)全是正品；
(3)只有2件正品；
(4)至少有1件次品；
(5)至多有2件次品； (6)次品最多.
解答：（1）
（2）
（3）
（4）
，或
（5）
（6）
练习：
1.有10道试题，从中选答8道，共有 种选法、
又若其中6道必答，共有
不同的种选法.
2.某班有54位同学，正、副班长各1名，现选派6名同学 参加某科课外小组，在下列各种情况中 ，各有多少种 不同的选法？ （1）无任何限制条件； （2）正、副班长必须入选； （3）正、副班长只有一人入选； （4）正、副班长都不入选； （5）正、副班长至少有一人入选； （5）正、副班长至多有一人入选；
练习 如图,在以AB为直径的半圆周上有异于
A,B的六个点C1, C2 ,C3 , C4 ,C5 ,C6 , AB上有异 于A, B的四个点D1 , D2 , D3 , D4,问
(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少
个三角形?
(2)以图中12个点(包括A,B)中的四个为顶
点,可作多少个四边形?
﹒ C3 ﹒ C2 ﹒ C1
多少种车票?
排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共
需握手多少次?
组合问题
组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果.
概念理解
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所 有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元
排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个 元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 ．
根据分步计数原理，得到：
因此：
这里m,n是自然数，且 mn ，这个公式叫做组合 数公式．
从 n个不同元中取出m个元素的排列数 组合数公式:
例题分析
例1、计算：⑴
⑵
（3）已知：
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合．
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合Fra bibliotek与元素的顺序无关.
概念理解 思考一:aB与Ba是相同的排列 还
是相同的组合?为什么?
思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同 的组合呢?
种方法，
所以，一共有90+360+90＝540种方法．
元素相同问题隔板策略
例.有10个运动员名额，再分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 将n个相同共的有元__素__分__成__m__份_种（分n，法m。为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法，所以，
一共有
＝144种方法
例题解读：
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 关灯方法？
解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间
⑴ 35
，求n的值
(2) 120
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
（1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况. 解：（1） 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例3
●思悟小结
1.理解组合的定义，区别排列与组合之间的关系. （1）有序与无序的区别 （2）同是从n个元素中取m个元素，但是组合 一旦取完就结束，而排列还要继续进行排序 2.理解组合数的的定义与公式