高中数学排列组合公式
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
高中数学排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
高中数学排列组合公式
高中数学排列组合公式
排列组合（Permutation and Combination）是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
扩展资料
排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的.顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。
计算公式：
此外规定0! = 1
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：；C(n,m)=C(n,n-m）。
（n≥m)
其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。
高中数学排列组合相关公式3篇
高中数学排列组合相关公式第一篇：排列组合基本概念和公式排列和组合是数学中的重要概念，属于初中和高中数学中的基础知识。
这两个概念通常用于处理有关选择或安排事物的问题。
排列：从n个不同的元素中任选r个元素排成一列，称为从n个不同元素中选r个元素的排列。
排列的基本公式如下：An^r = n(n-1)(n-2) …… (n-r+1)其中An^r表示从n个不同的元素中任选r个元素排成一列的方案数。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素排成一列，即为5选3的排列。
根据排列的基本公式，5选3的排列数为An^r=5×4×3=60。
组合：从n个不同的元素中任选r个元素，不考虑元素之间的顺序，称为从n个不同元素中选r个元素的组合。
组合的基本公式如下：Cn^r = n!/r!(n-r)!其中Cn^r表示从n个不同的元素中任选r个元素的组合方案数。
n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×(n-2)×……×2×1。
例如，从5个不同的元素中任选3个元素的组合数，即为5选3的组合。
根据组合的基本公式，5选3的组合数为C5^3=5!/(3!2!)=10。
排列和组合的关系：排列和组合有很多类似的性质，但是也有不同点。
其中最重要的一点是：一个排列中，每个元素的位置不同，导致不同的排列。
而在一个组合中，元素之间是不考虑顺序的，所以如果元素相同，不同的顺序算作同一种组合。
第二篇：排列组合的应用排列组合在数学中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的例子。
1. 生日问题如果有23个人在一起，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？将每一个人的生日当做一个元素，一共有365个不同的生日（不考虑闰年的情况）。
这时我们要求的其实是在这23个人中选取2个或2个以上有相同生日的概率，也就是不出现任何两个人生日相同的概率。
按照组合的计算方法，我们可以得到不出现任何两个人生日相同的概率为：P = C365^23/365^23 ≈ 0.493所以至少有两个人生日相同的概率为：1-P ≈ 0.5072. 球队比赛现在有5个球队进行比赛，每个球队需要和其他球队各打一场比赛，问总共需要打几场？我们可以将这个问题看作是5个不同的元素进行排列组合。
排列组合公式排列组合计算公式高中数学
排列组合公式排列组合计算公式高中数学Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C 38×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识 ，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6在(x- )10的展开式中，x 6的系数是()解设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6， 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C 410(- )4=9C 410 故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x ２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为 在(x-1)6中含x 3的项是C 36x 3(-1)3=-20x 3，因此展开式中x 2的系数是-2 0. (五)综合例题赏析例8若(2x+ )4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为()解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有() 种种种种解分医生的方法有P 22＝2种，分护士方法有C 24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
定义及公式排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。
A(n,m)=n(n-1）（n-2）……（n-m+1）= n!/(n-m)! 此外规定0!=1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
C(n,m)=A(n,m）∧2/m!=A(n,m)/m！；C(n,m)=C(m-n,m）。
（其中m≥n) 其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1！×n2！×...×nk!). k类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m）。
符号 C-Combination 组合数 A-Arrangement 排列数（在旧教材为P-Permutation） N-元素的总个数 M-参与选择的元素个数！-阶乘基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
高中数学排列组合相关公式
排列组合公式排列定义从 n 个不同的元素中，取 r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取 r 个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r) 表示。
排列的个数用P(n,r) 表示。
当 r=n 时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r) 。
组合定义从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从 n 个中取 r 个的无重组合。
组合的全体组成的集合用 C(n,r) 表示，组合的个数用 C(n,r) 表示，对应于可重组合有记号 C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词 ( 特别是逻辑关联词和量词 ) 准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同 ( 即分类不重 ) ；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类 ( 即分类不漏 )(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这 n 步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例 1：用 1、 2、 3、4、5、6、7、8、9 组成数字不重复的六位数集合 A 为数字不重复的九位数的集合， S（ A） =9！集合 B 为数字不重复的六位数的集合。
把集合 A 分为子集的集合，规则为前 6 位数相同的元素构成一个子集。
高中数学排列组合相关公式
排列组合排列定义:从n 个不同的元素中,取r 个不重复的元素,按次序排列,称为从n 个中取r 个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
组合定义:从n 个不同元素中取r 个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n 个中取r 个的无重组合。
组合的个数用C(n,r)表示。
一、排列组合部分就是中学数学中的难点之一,原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力;(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别就是逻辑关联词与量词)准确理解;(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大;(4)计算方案就是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用1、分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,…,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,12n N m m m =+++L种不同的方法.2、分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有:种不同的方法.3、分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1、认真审题弄清要做什么事2、怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还就是分类,或就是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3、确定每一步或每一类就是排列问题(有序)还就是组合(无序)问题,元素总数就是多少及取出多少个元素、4、解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略具体情况分析一、特殊元素与特殊位置优先策略例1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数、 解:由于末位与首位有特殊要求,应该优先安排,占了这两个位置、先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A = 二、相邻元素捆绑策略 例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法、解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并瞧成一个复合元素,同时丙丁也瞧成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。
高中概率排列组合公式
高中概率排列组合公式在咱们高中数学里呀，概率排列组合公式那可是相当重要的一部分！就好像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂问题的大门。
先来说说排列公式。
排列呢，就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素，按照一定的顺序排成一列。
排列数记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
这里的“!”表示阶乘，比如说 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
给大家举个例子吧。
比如说学校要从10 个学生中选3 个参加比赛，并且要排出先后顺序，那这就是一个排列问题。
按照排列公式，A(10, 3) = 10! / (10 - 3)! = 10 × 9 × 8 = 720 ，一共有 720 种不同的排法。
再说说组合公式。
组合就是从 n 个不同元素中取出 m 个元素组成一组，不考虑顺序。
组合数记作 C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! × (n - m)!] 。
还拿刚才选学生参加比赛的例子来说，如果不考虑先后顺序，只是选出 3 个人组成一个团队，那这就是组合问题。
C(10, 3) = 10! / [3! ×(10 - 3)!] = 120 ，这样就只有 120 种不同的组合方式。
我记得之前有一次，学校组织知识竞赛。
每个班要选出一组同学参加。
我们班在讨论人选的时候，就用到了这些公式。
大家一开始都很迷茫，不知道怎么选才能有更多的可能性。
我就给大家讲解了排列组合的公式和原理。
比如说，我们班有 20 个同学都很积极想参加，但是只能选 5 个。
如果考虑他们在比赛中的出场顺序，那就是排列问题。
如果只考虑选出这 5 个人，不考虑顺序，那就是组合问题。
大家经过一番讨论和计算，最后选出了最有可能在比赛中取得好成绩的 5 位同学。
通过这次活动，同学们对排列组合的理解更深刻了，也感受到了数学在实际生活中的应用。
高中数学中的排列组合详细分析
高中数学中的排列组合详细分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和工具。
它不仅在数学中有广泛的应用，还在实际生活中起着重要的作用。
本文将对排列组合进行详细的分析，包括定义、性质和应用等方面。
一、排列组合的定义排列和组合是两个不同的概念，但它们都属于离散数学中的组合数学。
在讨论排列组合之前，我们先来了解一下它们的定义。
1. 排列排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列的方式。
在排列中，元素的顺序是重要的。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，那么排列的总数记作P(n,r)。
排列的计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
2. 组合组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合的方式。
在组合中，元素的顺序是不重要的。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，那么组合的总数记作C(n,r)。
组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!*(n-r)!)二、排列组合的性质排列组合具有一些重要的性质，这些性质在解决问题时起到了关键的作用。
1. 乘法原理乘法原理是指，如果一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件同时发生的方式有m*n种。
在排列组合中，乘法原理可以用来计算多个事件同时发生的方式数。
2. 加法原理加法原理是指，如果一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件不可能同时发生，那么这两个事件发生的方式总数为m+n种。
在排列组合中，加法原理可以用来计算两个事件发生的方式总数。
3. 组合恒等式组合恒等式是指，对于任意的非负整数n和r，有以下恒等式成立：C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)这个恒等式的意义在于，将n个元素中的一个元素作为特殊元素，分为两种情况：特殊元素被选中，和特殊元素不被选中。
这样就可以将原问题转化为两个子问题，通过加法原理求解。
高中数学排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2),,(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式排列组合计算公式高中数学
排列组合公式/排列组合计算公式公式P就是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C就是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘 ,如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)、、(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n－(n-r+1)＝r举例:Q1:有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数？A1: 123与213就是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合, 我们可以这么瞧,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P(3,9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积)Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213组合与312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念与公式典型例题分析例1设有3名学生与4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法？解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.例2 排成一行,其中不排第一,不排第二,不排第三,不排第四的不同排法共有多少种？解依题意,符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:∴ 符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”就是一种具有直观形象的有效做法,也就是解决计数问题的一种数学模型.例３判断下列问题就是排列问题还就是组合问题？并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长与一名副组长,共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积？(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析(1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信就是不同的两封信,所以与顺序有关就是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手就是同一次握手,与顺序无关,所以就是组合问题.其她类似分析.(1)①就是排列问题,共用了封信;②就是组合问题,共需握手(次).(2)①就是排列问题,共有(种)不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.(3)①就是排列问题,共有种不同的商;②就是组合问题,共有种不同的积.(4)①就是排列问题,共有种不同的选法;②就是组合问题,共有种不同的选法.例４证明.证明左式右式.∴ 等式成立.点评这就是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质,可使变形过程得以简化.例5 化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.例6 解方程:(1);(2).解 (1)原方程解得.(2)原方程可变为∵ ,,∴ 原方程可化为.即 ,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1、掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题、2、理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式与组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题、3、掌握二项式定理与二项式系数的性质,并能用它们计算与论证一些简单问题、二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理就是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据、例15位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种?解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都有3种不同的报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研究的对象以及研究问题的方法都与前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都就是选择题或填空题考查、例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的偶数共有( )A、60个B、48个C、36个D、24个解因为要求就是偶数,个位数只能就是2或4的排法有P12;小于50 000的五位数,万位只能就是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后,中间3个位数的排法有P33,得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C、例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种,即214 3,3142,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填法,因此共有填法为3P13=9(种)、例四例五可能有问题,等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上都就是由选择题或填空题考查、例4 从4台甲型与5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有( )A 、140种B 、84种C 、70种D 、35种 解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C 14·C 25种;甲型2台乙型1台的取法有C 24·C 15种 根据加法原理可得总的取法有 C 24·C 25+C 24·C 15=40+30=70(种 ) 可知此题应选C 、例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1 项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式? 解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C 38种;乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C 15种; 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C 24种; 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C 22种、根据乘法原理可得承包方式的种数有C 3 8×C 15×C 24×C 22= ×1=1680(种)、 (四)二项式定理、二项展开式的性质说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它就是常用的基础知识 ,从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空题、 例6 在(x- )10的展开式中,x 6的系数就是( ) A 、-27C 610 B 、27C 410 C 、-9C 610 D 、9C 410解 设(x- )10的展开式中第γ+1项含x 6, 因T γ+1=C γ10x 10-γ(- )γ,10-γ=6,γ=4于就是展开式中第5项含x 6,第5项系数就是C410(-)4=9C410故此题应选D、例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的与,则其与为在(x-1)6中含x3的项就是C36x3(-1)3=-20x3,因此展开式中x2的系数就是-2 0、(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4,则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )A、1B、-1 C、0 D、2解:A、例92名医生与4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生与2 名护士,不同的分配方法共有( )A、6种B、12种C、18种D、24种解分医生的方法有P22＝2种,分护士方法有C24=6种,所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
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高中数学排列组合公式
排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合与古典概率论关系密切。
高中数学排列组合公式
1排列组合定义
从n个不同元素中，任取m（m≤n,m与n均为自然数）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n,m)表示。
2排列组合公式
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!
C-Combination 组合数
A-Arrangement 排列数
n-元素的总个数
m-参与选择的元素个数
!-阶乘
3排列组合基本计数原理
加法原理与分布计数法
1、加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
2、第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
3、分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不
重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
乘法原理与分布计数法
1、乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
2、合理分步的要求：任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。