射影平面

射影平面

３．1 中心投影与无穷远元素 知识点解析 中心投影定义． 影消点、影消线的概念

影消点没有中心投影；影消线也没有投影． 无穷远点、无穷远直线的概念．

仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．

平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．

在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．

解题指导（习题选解） 练习３－１

１． 证明：中心投影一般不保持共线三点的简比． 证明反证法．

假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．

４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在

2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平

行直线？

解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．

同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．

５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．

证明同第１题．（略）． ３．２图形的射影性质 知识点解析

透视对应、中心透视的概念

透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞

'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．

中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞

'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．

定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质． 同素性和结合性都是射影不变性质；

平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变． 如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面

π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两

条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们 的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面

π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交

于l 的直线．

利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可 以用来证明一些几何问题． 解题指导（习题选解） 练习３－２

１． 求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点

证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．

２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．

证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2

l '，则P 点对应无穷远点． 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1

l '和2l '

的交点，即无穷远点，也就）

（图1

是1

l '∥2l '． ３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．

分析这个题目是要证明PQ 的连线通过AB 上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图所示，则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．

于是有2121//R R P P

2121//R R Q Q

所以

2121//Q Q P P

即四边形2211P Q Q P 为平行四边形，

11Q P ∥22Q P ．

则11Q P 通过∞M ，由中心射影保持结合性不变可知，PQ 通过AB 上一定点． ４．在一个平面内的影消线上取定两点A ，B ，C 为该平面内的任意一点，求证∠ACB 投影后是一个常量．

分析如图所示，平面

α上的 ∠ACB 经射影后，在β平面 上射影成∠B C A '''． 因为A ，B 为影消线上两点，

O

M

Y

2

R 1P 1

R B

A

Z

2

Q 1Q 2

P X ）

图题（第32

R 1

R Z

Y X

2

P 1

P ∞

B ∞

A ∞

M ∞

O 2Q 1Q

所以OA ∥β，且OA ∥A C ''，

OB ∥β，且OB ∥B C ''，

所以∠B C A '''＝∠ACB ． 而∠ACB 为定角．由于∠ACB 经投影后，不论C 取在平面上任何位置，

其射影成的角∠B C A '''永远等于定角∠ACB ，所以为定值．

注意：由于射影中心O 和影消线AB 所成平面一定平行于平面β，所以，利用有关立体几何的平面与平面平行的定理，就可以证明此题．

３．3笛沙格定理 知识点解析

三点形、三线形概念

定理3.1（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条线上．

定理3.２ 如果两个三点形对应边的交点在一条线上，则对应顶点的连线交于一点（共点）．

解题指导（习题选解） 练习３－３

１．三角形ABC 的顶点A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动．证明：AB 和BC 分别通过定点P 与Q 时，CA 也通过PQ 上的一个定点．

证明如图所示．设三角形C B A ''' 是满足条件的另一个三角形，在三角形

ABC 和C B A '''中，由于对应点的连线

l ，m ，n 共点O ，由笛沙格定理可知，

对应边的交点P ，Q ，R 共线，即AC 与C A ''的交点R 必在直线PQ 上，于是

R 为定点．

２．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C A

题图）

（第1A

B

B '

P C

l

A '

C '

O

Q

R

n m