第五讲---平面上取点线,平面的辅助投影;线面相对位置

[例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面 平行于已知平面 。
s m
n
r r n
f
k
e
k f s
e
m
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[例题5] 试判断两平面是否平行。
结论：因为 P H平行S H，所以两平面平行 首 页 章目录 节目录 上一页 下一页
直线与平面的交点、两平 面的交线
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四、一般位置平面与特殊位置平面相交
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。
一般位置平面与特殊位置平面相交
判断平面的可见性
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m
M B K F m C P
b
f n k l
c
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二、平面的辅助投影
三个基本问题
（一） 把一般位置平面变为投影面垂直面
（二） 把投影面垂直面变为投影面平行面
（三） 把一般位置平面变为投影面平行面
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（一） 把一般位置平面变为投影面垂直面
b
d
b1
a
c b d c
D
V X d1H1 H a1 a c1
c
k
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●
b c
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例2
已知M点在平面EFG上，求M点的水平投影。
f m
●
h g
e f h g
e
●
m
通过在面内作 辅助线求解
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例3 如图所示，已知一般位置平面ABCD的正面投影和 AB、
AD两条边的水平投影ab和ad，补全该面的水平投影。
例题13
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直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该
平面的一切直线。
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定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于 该平面的正平线的正面投影。 n k
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
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直线与平面平行,平面与平面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
k n
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定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的 水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投 影，则直线必垂直于该平面。
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[例题7] 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n c a
k
k
a c n
两平面垂直
两平面不垂直
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[例题12] 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
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h
g
c
a
a
c
g
h
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[例题13] 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
f d
f
d
首AD 页 直线不在 章目录 ABC 节目录 上一页 下一页 结论：因为 平面上，所以两平面不垂直。
f
b
a
a
b f
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二、两平面平行
E D F C
B A
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两 直线，则此两平面平行
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[例题3 ]
试判断两平面是否平行
s n r
m
n m
s r
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结论：两平面平行 章目录 节目录 上一页 下一页
c
分析：ABCD
b k
d
既然是平面， 则它的对角线必相交。
作图：
a a b k d
1）连接a′、c′和b′、d′，得交点k′；
2）连接b、d，在bd上求出 k，并连接a、k； 3）在ak上求出c，连接b、c 和d、c，即得该平面的水平 投影；
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c
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例 完成平面的水平投影
a k b
a l
A L
N b n k a l
m f
f
c
n
c PH
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判断平面的可见性
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结果
判断平面的可见性
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直线与平面垂直、两平面垂直
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 例题10 二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12
a m 20 n c b b
c m a
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n
问题：本题有几个解？ 结论：唯一解！
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(2)平面上取点
面上取点的方法——定点先定线
即：找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1 已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
b k● a a 利用平面的积聚性求解
d
c
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[例题]
求点S到平面ABC的距离
k1
s1 距离
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[例题] 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。 [选讲]
d e
N
d
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（二） 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
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例1 已知平面由相交的两直线AB、AC 所确定， 试在平面内任作一条直线。 解法一 （利用方法一）
b m a m a n b c a c n c a b d
解法二 （利用方法二）
b c d
有无数个解。
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例2 在平面ABC 内作一条水平线，使其到 H 面的距离为20mm。
本节结束
作业：
P15，P16（去掉3-35），P17（去掉3-42） 下次课内容： 轴测投影
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[例题8] 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h h
h h
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h
（c）
（a）
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（b）
两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面 都垂直于该平面。 A
D
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反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
二、平面与平面相交
M
K F
N
L
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
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三、特殊位置线面相交
直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性 特殊位置直线与一般位置平面相交
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直线与特殊位置平面相交
b a
m
n
k
c a k m 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已 知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1
例题2
二、平面与平面平行 几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一 平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。 例题3
第五讲基本内容:
一、平面上的点和直线
二、平面的辅助投影 三、线面相对位置
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一、平面上的点和直线
(1)平面上取任意直线
如何判断直线在平面内？
方法一：
若一直线通过平面上的两点， 则此直线必在该平面内。
方法二：
若一直线通过平面上的一点，且 平行于该平面上的另一直线， 则此直 线在该平面内。
一、直线与平面相交只有一个交点
二、两平面的交线是直线
三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
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一、直线与平面相交
A
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
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n
b
c
判断直线的可见性 b n
a
m
k
c a k m
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。
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n b
c
求铅垂线EF与一般位置平面△ABC的交点并判别其可见性。
k' 1' (2' )
2
k1
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b1
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X1
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c1 b1 a1
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（三） 把一般位置平面变为投影面平行面 a2 b2 d2 d c2 实形
d
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[例题] 已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。 a2
15
b2 d2
e2 c2
e1 e
d
e
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d
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[例题] 求平面ＡＢＣ与平面ＡＢＤ的夹角。
a' d'
b' c' a1(b1) a b d1
c d c1
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三、线面相对位置
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。 （二）相交问题 1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。 3．掌握利用重影点判别投影可见性的方法。 （三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
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例题4
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例题5
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一、直线与平面平行
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
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[例题1]
试判断直线AB是否平行于定平面
g
f
f
g
结论：直线 AB不平行于定平面 首 页 章目录 节目录 上一页 下一页
[例题2] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面