用递推法求数列通项公式的几种常见类型

用递推法求数列通项公式的几种常见类型
贵州省沿河县官舟中学 田明（565311）
数列的第n 项n a 与前面相邻一项1-n a （或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式.给出数列的前几项（初始值）和递推公式的数列叫递推数列.
求数列的通项公式相当于求函数的解析式，在数列的相关问题中占有相当的重要地位，是每年的必考内容.由于求通项公式解时渗透多种数学思想方法，因此，求解过程中往往显得方法多，灵活度大，技巧性强.数列问题对能力要求高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑思维能力更为突出.其中归纳、猜想通项公式是难点,其关键在于观察分析数列的前几项的特征、特点,找到数列的一个构成规律.根据此规律和递推关系便可得出一个相应的通项公式. 类型1：形如“)(1n f a a n n =-+”的递推式
由此类递推式给出的数列，求通项公式，采用“累加法”.
∑
=-+
=++++=-++-+-+=n
k n n n k f a n f f f a a a a a a a a a 1
11123121)
()
()2()1()()()(
例1.（08高考天津卷·文20题）
已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，． （Ⅰ）设1()n n n b a a n +=-∈*N ，证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）（略）
【解析】（Ⅰ）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得
11()n n n n a a q a a +--=-，即
12n n b qb n -=，≥．
又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ），
211a a -=， 32a a q
-=，
……
2
1(2)n n n a a q
n ---=≥．
将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，
1
1111 1.
n n q
q a q
n q -⎧-+
≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，
上式对1n =显然成立．
类型2：形如“
)(1n f a a n n =+”的递推式求通项.
由
)1(,
),2(),1(1
2
31
2-===-n f a a f a a f a a n n .
累乘可得
)1()2()1(1
-=n f f f a a n 即∏-==1
1
1)(n k n k f a a .
例2：已知数列{}n a 中,21=a ,n n a n
n a 11+=
+,求{}n a 的通项公式.
【解析】注意到递推公式是一个乘积形式,可以把它转化为商的形式,用迭乘法便可消去中间项,从而求出其通项公式.
∵n n a n
n a 11+=
+,∴
n
n a a n n 11+=
+.
∴21
2=a a ,
2
32
3=
a a ,
1
,,3
41
3
4-==
-n n a a a a n n .
把上述等式相乘得
,1
342321
3
42
31
2-⨯
⨯⨯⨯
=⨯
⨯⨯⨯-n n a a a a a a a a n n
即
,1
n a a n =而21=a ∴n a n 2=.
类型3：形如“为常数）C B A C
Ba Aa a n n n ,,(1+=
+” 的递推式求通项.
对于这类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关系式. 例3：（08高考陕西卷·理22）
已知数列{}n a 的首项 ,3,2,11
23,5311=+=
=
+n a a a a n n n ，
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）（Ⅲ）（略）
【解析】∵1
231+=
+n n n a a a ，∴
n
n a a 313
211
+
=
+，∴
).11
(
31
111
-=
-+n
n a a
又
32111=
-a ，∴⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧-11
n a 是以32为首项，31
为公比的等比数列.
∴
n
n n
a 3
2
31
32
111=⋅=
--，∴2
33
+=
n
n
n a .
类型4：形如“q pa a n n +=+1” 的递推式求通项.
对于形如q pa a n n +=+1的递推式，通常采用换元法进行转化，假设将递推式改写成)(1x a p x a n n +=++，比较系数可知1
-=p q x ，可令11++=+n n b x a 换元即可
转化为第比数列来解决.
例4：（08高考安徽卷·文21）
设数列{}n a 满足*01,1,,n n a a a ca c c N +==+-∈其中,a c 为实数，且0c ≠ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）（Ⅲ）（略） 【解析】11(1)n n a c a +-=-∵
∴当1a ≠时，{}1n a -是首项为1a -，公比为c 的等比数列。

1
1(1)n n a a c --=-∴，即 1(1)1n n a a c -=-+。

当1a =时，1n a =仍满足上式。

∴数列}{n a 的通项公式为 1(1)1n n a a c -=-+*()n N ∈。

类型5：形如“)(1n f pa a n n +=+” 的递推式求通项.
这类数列较复杂，在此只研究两种较为简单的情况，)(n f 是多项式或者指数幂的形式.
例5：设数列{}n a 中，123,111++==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式.
【解析】采用待定系数法，设)(3)1(1B An a B n A a n n ++=++++
∴A
B An a a n n -++=+2231
比较系数得
1
222=-=A B A ∴ 1
1==B
∴由1231++=+n a a n n 可得
)1(31)1(1++=++++n a n a n n
令1++=n a b n n ，则n n b b 31=+
∴n
n n b b 3
3
1
1=⋅=-， ∴13--=n a n n .
例6：（08高考四川卷·理20）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （Ⅰ）证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式
【解析】由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=-， ()11121n n n ba b S +++-=-
两式相减得()()1121n n n n b a a b a ++--=-， 即12n n n a ba +=+ ①
（Ⅰ）当2b =时，由①知122n n n a a +=+
于是()()1122212n n n n n a n a n +-+⋅=+-+⋅()122n n a n -=-⋅
又111210n a --⋅=≠，所以{}12n n a n --⋅是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---⋅=，即()112n n a n -=+ 当2b ≠时，由由①得
1
1
1112
22
22n n
n n n a ba b
b
+++-
⋅=+-
⋅--22n n b
ba b =-
⋅-122n n b a b ⎛⎫=-⋅ ⎪
-⎝⎭
因此1
1112
222n n n n a b a b
b ++⎛⎫
-
⋅==-⋅ ⎪--⎝⎭
()212n b b b -=
⋅- 得()1211
2222
2n n n n a b b n b -=⎧
⎪
=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣
⎦-⎩
贵州省沿河县官舟中学 田明（565311） (Email:gztianming@)。