时域分析法

§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
稳态误差ess=0。
⑵ 如果阻尼比ζ=0，则系统响应变为无阻尼的等幅振荡，
其单位阶跃响应为
x0 (t) ＝1-cosωnt（t≥0）
（3.35）
等幅振荡的频率为ωn，故称ωn为无阻尼振荡频率或自然频 率。此时二阶系统不能完成控制任务。
所以，可先根据对系统振荡性的要求确定ζ ，然后再按其他 性能要求确定ωn。
不同阻尼比下的最大超调量如下：
ζ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 σ％100 72.9 52.7 37.2 25.4 16.3 9.5 4.6 1.5 0.15 0
通常系统阻尼比取0.4～0.8，相应的最大超调在25.4%～ 1.5%之间。
反映整体快速性。
性能指标与系统特征参数间关系： (1) 上升时间tr 由定义知当t=tr时，xO(tr)=1，故
xo (tr ) 1
e nt r
1 2
sin(d tr
) 1
e n t r
1 2
sin(d tr
)
0
tr
d
n
1 2
ζ一定， ωn↑ ， t r ↓ ； ωn一定， ζ ↑ ， t r ↑ 。
当 0.8 时，得
ts ts
3
n
4
n
( 5%的误差带) ( 2%的误差带)
(3-44) (3-45)
上式表明，调节时间ts和ζ、ωn 都成反比。
由于阻尼比ζ主要由对系统振荡性的要求来确定，故调节时 间ts可由自然频率ωn确定。
快速性与平稳性的关系：
一般ζ＝0.707（最佳阻尼比） 左右， σ% 约为5％此时快速性与 平稳性均令人满意。
图 3-7 极点分布图
阻尼比ζ则等于根矢量和负实轴的夹角β的余弦，即
ωd ——系统的阻尼振荡角频率。 根离负实轴越近，阻尼
比ζ越大； 根离虚轴越近，阻尼比
ζ越小。
临界阻尼、过阻尼、零阻尼二阶系统极点分布图：
图 3-7 极点分布图
二、二阶系统单位阶跃响应 欠阻尼二阶系统具有一对共轭复数特征根(闭环极点)，其 值为
例：图3-16是一个机械振动系统。当有3N的力（阶跃输入）作 用于系统时，系统中质量m作图示的运动。确定质量m，粘性 阻尼系数c和弹簧刚度k。
系统传递函数
m
d
2 x(t) dt 2
c
dx(t ) dt
k x(t )
F
• 1(t )
X (s) F (s)
ms2
1 cs
k
X
(s)
ms2
1 cs
k
运动方程 传递函数
mx cx kx F (t)
X (s) F (s)
ms2
1 cs
k
s2
1/ m cs / m k
/m
位移
稳态值 最大超调量
n k / m 3500/ 87 6.34
c c
350
0.317
2nm 2 mk 2 87 3500
X
(s)
s2
1/ m cs / m
开环传递函数
G(s)
n2
s(s 2n )
闭环传递函数
(s)
ωn：无阻尼固有频率 ζ ：系统的阻尼比
特征方程
s2
2ns
2 n
0
特征根
s 2 1
1, 2
n
n
根据ζ的不同取值，系统有几种工作状态：
0<ζ<1 ，欠阻尼状态，一对共轭复根 s1,2 n jn 1 2
ζ=1 ， 临界阻尼状态，两相等的负实根 s1,2 n
当ζ>1.25时，系统的调节时间可近似为ts=(3～4)T1。
综上所述，在不同ζ值下二 阶系统单位阶跃响应曲线簇如 图3-9所示。横坐标是无因次的 时间坐标ωn t 。
曲线分析：
阻尼比影响二阶系统的振荡性。当0 <ζ<1时， ζ愈小，振荡 越剧烈；当ζ>1时，曲线单调上升。
三、二阶系统的脉冲响应
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应由两个单调衰减的指数项组 成，它们和稳态值共同组成了过阻尼系统的非周期响应过程。
当ζ远大于1时，两个衰减的指数项中相应于T2的项比另一指 数项衰减快得多，它在暂态分量中占的比例很小，只影响响应 的起始段，系统的暂态分量主要取决于对应s1=-1/T1的项，此时 可略去s２＝-１/T2对系统响应的影响；
(4) 调整（节）时间ts的估算 如果按调节时间的定义直接计算求ts，比较困难。单位阶
跃响应曲线都在包络线1 e nt / 1 2 内，图3-13。x0 (t)
的衰减速度取决于包络线的时间常数，故若包络线进入误差 带，则 x0 (t)必进入误差带。
由
| xo(t) - xo(∞) |≤ Δ xo(∞)
k
/
m
mg s
x(t) mg [1 k
e nt 1 2
sin(n
1 2t )]
lim x(t) mg / k 87 9.81/ 3500 0.244
t
当稳态值为0.224M时p 超 e调 /的1最2 大0.3值87
0.244 0.387 0.094
调节时间
ts 4 / n 4 / 0.317 6.34 2
(3) 临界阻尼(若ζ=1)二阶系统的单位阶跃响应
临界阻尼二阶系统有相等负实根s1，2＝-ωn，系统单位阶跃 响应象函数为
1 s
(s
n n )2
s
1
n
故 x0 (t)
(3.24)
临界阻尼二阶系统单位阶跃响应是稳态值为1的单调上升过 程。比过阻尼状态更早结束瞬态过程。
(4) 过阻尼(ζ >1)二阶系统的单位阶跃响应
得
ζ= 0.456
由
t 1 p n 1 2
得
ωn = 3.53
因此 K=12.51 Kt =0.178
结论： ⑴ 为使系统工作在一个最佳状态，就是选择合适的ζ与ωn 。 ⑵ ζ增大，可提高系统响应平稳性； ⑶ ωn增大，可提高系统响应快速性。
例：一刚性杆AA通过弹簧和阻尼器悬挂在天花板上，假定在 t=0时，一人重87kg向上跳起并抓住杆AA 。忽略弹簧阻尼器及 杆的重量，杆AA接着发生什么运动？用多少时间可以稳定下 来？最大超调量是多少米？粘性阻尼系数c＝350Ns/m，弹簧刚 度系数＝3500N/m。
10
x0 (t)
t
1 1.11e 10
0.11et
t
x0 (t) 1 e 10
系统的瞬态响应取决于T大的环节。 从极点分布来看，靠近虚轴的极点在系统瞬态响应中起主导作用。
图3-4 例3-1图
（a）极点分布
（ b）单位阶跃响应
三、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入 xi (t) t
象函数为 Xi s 1
反映了一阶系统惯性的大小。
T大，系统响应速度慢，惯性大。
T
,
1
1t
, eT
1t
, e T
1t
, (1 e T )
, 越慢
1。
T
2.调整时间
从响应开始到进入稳态所经历的时间。
ts ＝3T
（ Δ＝ ±5％）
或
ts ＝ 4T
（ Δ＝ ±2％）
参见响应曲线图。
例：若系统传递函数
X (s) 0
1
1 ，求其单位阶跃响应。
3 s
位移x(t)稳态值
x(t )
|t
lim
s0
sX
(s)
3 k
1,k
3N
/
cm
300N
/
m
由
M p 0.095 e / 1 2
t p n
2
1 2
得
0.6
将传递函数与标准形式比较
n 1.96
n2 k / m
反映初始阶段 的快速性。