江西理工大学2017-2018高数期终考试卷B答案
2017-2018学年高二期中考试答案
株洲市一中2017-2017学年度第二学期高二期中考试数学（理科）试题答案第一卷（100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．题号 1 2 34 5 6 7 8 9 10答案D B A A C D B A C A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11._____18_______ 12._____3_______13___甲__________ 14._____39__________15___0120_______三、解答题：本大题共7小题，共75分．16.（8分）解：（1）由题意可得，3243648x y==， 解得2x =，4y =．（2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种．所以()310P X =． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310．17.（8分）（1）3π（2）2118.（9分）（1）是，25-=n a n （2）1,3min max -==b b第二卷（50分）19.（12分）（1）设AC 段的运费为1y ，CB 段的运费为2ykm BD AB AD 4030502222=-=-= km x AC AD CD )40(-=-=km x x x CD BD BC 250080)40(3022222+-=-+=+=所以⎩⎨⎧)250080(22211+-==x x k y x k y 所以22122212500)80(k x k k x k y y y +-+=+= （2）∵2120k k =∴2222250060k x k x k y +-= 2221600)30(k x k +-= 所以当km x 30=时y 取最小值 即230min 1600|k y y x ===20.（12分）设所求的圆C 与直线y=x 交于AB∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ……2分 ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22|3|||a a a CD =-= …………6分又∵7||,72||==BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2 …………8分∴33,1,1,729222±=±===-a a a a a∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。
2017-2018高二下学期理科数学期中联考试题附答案江西赣州市
2017-2018高二下学期理科数学期中联考试题（附答案江西赣州市）2017—2018学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高二数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.复数（）A．B．C．D．3.若曲线在处的切线分别为且，则的值为（）A．B．C．D．4.已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形。
若P为底面的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（）A.B.C.D.5.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为（）6.已知函数在处可导，若，则（）A．B．C．D．7.已知、是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（）A．B．C.2D．38.下列图象中，有一个是函数的导数的图象，则的值为（）A.B.C.D.或9.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N*，n＞1)”时由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时左边应增加的项数是（）A．k＋1B．kC．2kD．2k＋110.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（）A.B.C.D.11.已知，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.12.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则=（）A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13.已知函数的导函数为，且满足，则在点处的切线方程为14.有6位同学站成一排，其中A,B两位必须相邻，C,D两位不能相邻的排法有种（数字作答）15．下列有关命题正确的序号是（1）若且为假命题，则，均为假命题（2）若是的必要条件，则是的充分条件（3）命题“≥0”的否定是“”（4）“”是“”的充分不必要条件16.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是三、解答题17.（共10分）（1）求函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积（2）求由曲线与所围成的封闭图形的面积18.（共12分）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队（1）若要求服务队中至少有1名女生，共有多少种不同的选法．（2）若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生，共有多少种不同的选法．19.（共12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，∥，,顶点在底面内的射影恰为点．（1）求证：；（2）若直线与直线所成的角为,求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．20.（共12分）某工厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据以往的经验知道，其次品率P与日产量（件）之间近似满足关系：（其中为小于96的正整常数）（注：次品率P=，如P=0.1表示每生产10件产品,有1件次品,其余为合格品.）已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损A/2元，故厂方希望定出合适的日产量。
江西省南康中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
南康中学2017～2018学年度第一学期高一期中考试数 学 试 卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，{|3}B x R x =∈≥，图中阴影部分所表示的集合为( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}2．下列各组函数)()(x g x f 与是同一函数的是（ ）A ．2)()(,)(x x g x x f ==B ．22)1()(,)(+==x x g x x fC ．0)(,1)(x x g x f ==D ．⎩⎨⎧-==x x x g x x f )(|,|)()0()0(<≥x x3．下列四个函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的函数是（ ）A ．()3f x x =-+B ． ()1f x x =-- C ．2()(1)f x x =+D ．1()f x x=4．在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y R ==∈，且:(,)(2,2)f xy x yx y →-+，则元素(1,2)-在f 的作用下的原像为（ ） A ．(0,1)-B ．28(,)55--C ．21(,)55- D ．(4,3)-5．设31log ,2,3log 23.0===c b a π，则（ ） A.c b a >>B. b c a >>C. b a c >>D. c a b >>6．函数()f x ）A ．(,1]-∞B ．[1,)+∞C ．[1,3]D ．[1,1]-7．已知lg lg 0a b +=，则函数()xf x a -=与函数()log b g x x =在同一坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8，则满足()1f x >的x 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．()1,-+∞C ．{|02}x x x ><-或D ．{|11}x x x ><-或9．函数223()(1)mm f x m m x +-=--是幂函数，对任意),,0(,21+∞∈x x ，且21x x ≠，满足0)()(2121>--x x x f x f ，若R b a ∈,，且0,0<>+ab b a ，则)()(b f a f +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断10．设二次函数()y f x =满足(4)(4)f x f x +=-，又()f x 在[4,)+∞上是减函数，且()(0)f a f ≥，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a ≥B ．08a ≤≤C ．0a <D ．0a <或8a ≥11．已知2()log ()(0a f x ax x a =->且1a ≠）在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．（ 0,1）C ．(1,2]D ．[2,)+∞12．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1(0,]2B ．(0,1)C ．1(0,)4D ．1(,)4+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.()f x =14．集合2{|10}A x ax x =++=中只有一个元素，则满足条件的实数a 构成的集合为________ 15．已知225(0,)x x a aa x R -+=>∈，则3322x x aa-+=16．给出下列命题，其中正确的序号是 （写出所有正确命题的序号） ①函数()log (3)2a f x x =-+的图像恒过定点(4,2)；②已知集合{,},{0,1}P a b Q ==，则映射:f P Q →中满足()0f b =的映射共有1个； ③若函数22()log (21)f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是(1,1)-；④函数()x f x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln y x =.三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．已知集合}72{<<-=x x A ，}121{-≤≤+=m x m x B ．（1）当m =4时，求B A ，)(A C B R ； （2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．18．计算下列各式：（1）6343031)32(16)87(001.0⋅++--（2）7log 23log lg 25lg 47-+-19．定义在非零实数集上的函数)(x f 满足：)()()(y f x f xy f +=，且)(x f 在区间),0(+∞上为递增函数．（1）求)1(f 、)1(-f 的值； （2）求证：)(x f 是偶函数； （3）解不等式0)21()2(≤-+x f f ．21．已知函数()log (1)log (3),(01)a a f x x x a =-++<<（1）求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的最小值为2-，求a 的值.22．函数12()2x x bf x a+-=+是R 的奇函数，,a b 是常数．（1）求,a b 的值；（2）用定义法证明()f x 是R 的增函数；（3）不等式(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围。
江西理工大学高等数学(二)答案
《高等数学》试题解答一、填空题：（3×5=15分）1．设y x z =，则=∂∂yz x x y ln . 2. 积分=⎰⎰Dxydxdy 16 ，其中D 为40 ,20≤≤≤≤y x .3. L 为2x y =点(0, 0)到(1, 1)的一段弧，则=⎰ds y L []155121-. 大根号4x^2+1 4. 级数∑∞=-1)1(n p nn 当p 满足10≤<p 时条件收敛. 5. 方程0)1(=+-dy e dx ye x x 的通解为)1(x e C y +=.分离变量二、选择题：（3×5=15分）1．方程0)4(sin )cos 3(32=-++dy y x dx x y x 是 （ C ）. x Q y P ∂∂=∂∂(A) 可分离变量微分方程 (B) 一阶线性方程(C) 全微分方程 (D) （A ）、（B ）、（C ）均不对 2．),(y x f z =在),(00y x 可微，则yz x z ∂∂∂∂ ,在) ,(00y x （ D ）. （A ）连续 （B ）不连续 （C ）不一定存在 （D ）一定存在3．级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--21111n n n 是（ A ）. ∑∞=-212n n （A ）发散 （B ）收敛（C ）条件收敛 （D ）绝对收敛4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为（ B ）.（A ）⎰⎰⎰+Ωdv y x )(22； （B ）⎰⎰⎰11 02 0 r πdz rdr θd ；“先一后二”（C ）⎰⎰⎰+----2222 0 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰10 1 0 2 0 dz rdr θd π。
5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为（ B ）.（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++（C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+三、)(22x y f z -=，其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x z ∂∂.（8分） 解：)2()(22x x y f z x -⋅-'=)2()(2)2()(2222x x y f x x y f z xx -⋅-''--⋅-'= )(4)(222222x y f x x y f -''+-'-=四、计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点)0 ,1(A 到)1 ,0(B ，再到)0 ,1(-C 的有向折线.（8分） 解：作11 ,0:≤≤-=x y CA ,……………….1分⎰=ABCA []d xdy y e y e D x x ⎰⎰--)2cos (cos =2⎰⎰D dxdy =2， 0 ⎰=CA2=∴I五、计算⎰⎰++∑dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +=的公共部分的外表面.（8分） 解：()d xdydz x z y I ⎰⎰⎰Ω++=222⎰⎰⎰ππϕϕθ=2044020sin dr r d d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221564π六、求级数∑∞=22n n nx 的收敛域及和函数.（8 分）解：收敛域为：)1 ,1(-=)(x S ∑∞=22n n nx ∑∞=-=212n n nx x '⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∞=22n n x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x 1112⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(122x x 七、计算曲面积分⎰⎰+∑dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z截下的带锥顶的部分.（8分） 解：dxdy y x y y x x y x I xy D ⎰⎰+++++=22222222331)( ⎰⎰+=xyD dxdy y x )(222⎰⎰πθ=303202dr r d π=9八、求函数22y x z +=在适合条件132=+y x 下的极小值.（7分） 解：作⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=132),,(22y x y x y x f λλ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==λ+==λ+=λ0132032022y x f xy f x f y x 1372-=λ，1312,1318==∴y x 1336min =z 九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解.（8分） 解：特征方程：0232=+-r r特征根:2,121==r r对应齐次方程的通解为：x x e C e C Y 221+= 1=λ是单根，可设非齐次方程的特解为x Axe y =* 代入原方程得:x xe y A 3,3*-=∴-= 原方程的通解为：x x x xe e C e C y 3221-+=十、把)0( ,)(π<<=x x x f 展开为余弦级数.（7分） 解：π=π=⎰π002xdx a ⎪⎩⎪⎨⎧-==⎰为偶数为奇数n n n nxdx x a n 0 4cos 220πππ ∑∞=π<<-π--π=120 ,)12cos()12(42n x x n n x 十一、已知曲线积分⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++),()0,0()()(1)1(y x n x dy x f ydx x f x n x e 与路径无关， 其中)(x f 可微，0)0(=f ，试确定)(x f ，并计算曲线积分的值.（8分） 解：依题意有：)()(1)1(x f x f x n x e n x '=+++ 讨论 )()(1x f x f x n '=+ n x C x f )1()(+=令)(x C C =，利用常数变易法得：C e x C x +=)( n x n x e x C x f )1()1()(+++=∴由10)0(-=⇒=C f)1()1()(-+=∴x n e x x f)()(0x yf dy x f I y==⎰。
江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm36．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣159．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．312．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．江西省南昌市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两条直线没有公共点，则这两条直线平行考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A，根据公理2以及推论判断AB，四边形有两种：空间四边形和平面四边形；C，梯形中因为有一组对边平等，故梯形是平面图形．D，利用平行线的定义、判定与性质，即可确定D解答：解：对于A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；对于B，∵四边形有两种：空间四边形和平面四边形，∴四边形不一定是平面图形，故B不成立；对于C，梯形中因为有一组对边平等，∴梯形是平面图形，故C成立．对于D，根据异面直线的定义：既不平行也不相交的直线为异面直线，可以判断当两直线没有公共点时可能平行也可能异面．故选：C．点评：本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．2．（5分）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（）A．B．8πC．D．4π考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1球的半径为：R=所以球的表面积：4πR2=4π×=8π故选B．点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．3．（5分）用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（）A．B．2C．4D．考点：斜二测法画直观图．专题：规律型．分析：根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．解答：解：根据斜二测画法的原则可知OC=2，OA=1，∴对应直观图的面积为，故选：D．点评：本题主要考查利用斜二测画法画空间图形的直观图，利用斜二测画法的原则是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（）A．﹣++B．﹣+C．+﹣D．+﹣考点：空间向量的加减法．专题：空间向量及应用．分析：由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．解答：解：=，=+﹣+，=++﹣，=﹣++，∵=，=，=，∴=﹣++，故选：A．点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．5．（5分）某几何体三视图如图（单位；cm），则该几何体的体积是（）A．1500cm3B．1025cm3C．625cm3D．1200cm3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为矩形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为矩形，高为15cm的直四棱锥；且底面矩形的长为20cm，宽为15cm，如图所示；∴该四棱锥的体积为×20×15×15=1500cm2．故选：A．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与数据的计算能力，是基础题目．6．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值．解答：解：如图，取AD中点F，连接EF，CF，∵E为AB的中点，∴EF∥DB，则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，∴CE=CF．设正四面体的棱长为2a，则EF=a，CE=CF=．在△CEF中，由余弦定理得：=．故选：B．点评：本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．7．（5分）下列结论正确的是（）A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线考点：简单组合体的结构特征．专题：数形结合．分析：通过简单几何体和直观图说明A和B错误，根据正六棱锥的过中心和定点的截面知C错误，由圆锥的母线进行判断知D正确．解答：解：A、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故A错误；B、如图（2）（3）所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故B错误；C、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误；D、根据圆锥母线的定义知，故D正确．故选D．点评：本题考查了简单几何体的结构特征的应用，结合柱体、椎体和台体的结构特征，以及几何体的直观图进行判断，考查了空间想象能力．8．（5分）已知=（1，5，﹣2），=（3，1，z），若⊥，=（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4 B．，﹣，4 C．，﹣2，4 D．4，，﹣15考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：空间向量及应用．分析：利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出．解答：解：∵⊥，∴=3+5﹣2Z=0，解得z=4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z=4．故选：B．点评：本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题．9．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①直线与平面的位置关系有三种：平行，相交，在平面内，此中n可能在平面α内，故①错误；②利用“垂直于同一条直线的两平面平行即可判断②正确；③利用线面垂直的判定定理，先证明平面β内有两条相交直线与平面α平行，再由面面平行的判定定理证明两面平行，③正确；④若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，由此性质定理即可判断④正确解答：解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确有三个，故选C点评：本题综合考查了直线与平面的位置关系，面面平行的判定定理及结论，面面垂直的性质定理等基础知识10．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题．分析：由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．解答：解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．点评：此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系这一利用向量方法解决了抽象的立体几何问题．11．（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD中，SA=2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1B．C．2D．3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题．分析：设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．解答：解：设底面边长为a，则高h==，所以体积V=a2h=，设y=12a4﹣a6，则y′=48a3﹣3a5，当y取最值时，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4时，当a=4时，体积最大，此时h==2，故选C．点评：本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法．是中档题．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM=，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线考点：轨迹方程；抛物线的定义．专题：计算题．分析：作PQ⊥AD，作QR⊥D1A1，PR即为点P到直线A1D1的距离，由勾股定理得PR2﹣PQ2=RQ2=1，又已知PR2﹣PM2=1，PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离．解答：解：如图所示：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，作PQ⊥AD，Q为垂足，则PQ⊥面ADD1A1，过点Q作QR⊥D1A1，则D1A1⊥面PQR，PR即为点P到直线A1D1的距离，由题意可得PR2﹣PQ2=RQ2=1．又已知PR2﹣PM2=1，∴PM=PQ，即P到点M的距离等于P到AD的距离，根据抛物线的定义可得，点P的轨迹是抛物线，故选B．点评：本题考查抛物线的定义，求点的轨迹方程的方法，体现了数形结合的数学思想，得到PM=PQ是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）若将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为a．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，故∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，判定△AEC是等边三角形，即可得到结论．解答：解：由题意，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD∴∠AEC是二面角A﹣BD﹣C的平面角∴∠AEC=60°，∵菱形ABCD中，锐角A为60°，边长为a，∴AE=CE= a∴△AEC是等边三角形∴A与C之间的距离为a，故答案为：a．点评：本题考查面面角，考查学生的计算能力，属于基础题．14．（5分）将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出圆锥的母线与底面半径，根据所给的圆锥的侧面积和圆心角，求出圆锥的母线长与底面半径，利用体积公式做出结果．解答：解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，∵3π=πl2∴l=3，∴120°=×360°，∴r=1，∴圆锥的高是=2∴圆锥的体积是×π×12×2=．故答案为：．点评：本题考查圆锥的体积，解题时注意圆锥的展开图与圆锥的各个量之间的关系，做好关系的对应，本题是一个易错题．15．（5分）如图，直三棱柱ABCD﹣A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM+MC1最小时，点C到平面AMC1的距离为．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由此可以求得△AMC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积解答：解：将直三棱柱ABC﹣A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2，cos∠AMC1==﹣．故sin∠AMC1=，△AMC1的面积为=，设点C到平面AMC1的距离为h，则由等体积可得，∴h=．故答案为：．点评：本题考查棱柱的特征，求解本题的关键是根据棱柱的结构特征及其棱长等求出三角形的边长，再由面积公式求面积，本题代数与几何相结合，综合性强，解题时要注意运算准确，正确认识图形中的位置关系．16．（5分）在体积一定的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法中正确的是①②④．①点F的轨迹是一条线段；②三棱锥F﹣AD1E的体积为定值；③A1F与D1E不可能平行；④A1F与CC1是异面直线；⑤tanθ的最大值为3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：找出F所在平面上的轨迹，然后判断①的正误；利用体积是否变化判断②的正误；找出F的特殊位置判断④大致为；求出tanθ的最大值，判断⑤的正误；解答：解：对于①，取BC 的中点G，BB1，B1C1的中点NM，连结MN，EG，则F在MN上，满足F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，所以①正确；对于②，因为MN∥EG，则F到平面AD1E的距离是定值，三棱锥F﹣AD1E的体积为定值，所以②正确；对于③，当F在N时，A1F与D1E平行，所以③不正确；对于④，A1F与CC1是异面直线；满足异面直线的定义，所以④正确；对于⑤，A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，tanθ==2，所以⑤不正确；故答案为：①②④．点评：本题考查棱柱的几何特征，直线与平面所成角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断，考查逻辑推理以及计算能力．三、解答题17．（10分）如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．（1）判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；（2）判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用线面平行的性质可得BC∥l；（2）取CD的中点Q，连接MQ、NQ，可证平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性质得线面平行．解答：解：（1）结论：BC∥l．证明：∵AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD．又∵BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．（2）结论：MN∥平面PAD．证明：取CD的中点Q，连结NQ，MQ，则NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ=Q，PD∩AD=D，∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面PAD．点评：本题考查了线面平行的判定与性质，考查了面面平行的判定与性质，体现了线线、线面、面面平行关系的相互转化，要熟记相关定理的条件．18．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．考点：由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A﹣BCED的体积为16，求实数a的值；（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，求出圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积．解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，体积V==16，解得a=2；（2）在RT△ABD中，，BD=2，AD=6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．19．（12分）如图所示，已知四棱锥的侧棱PD⊥平面ABCD，且底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是侧棱PC的中点．（1）求证：BC⊥平面BDP；（2）若tan∠PCD=，求三棱锥M﹣BDP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由AB⊥AD，AB=AD=2，可得BD=2，又AD=2，CD=4，AB=2，可得BC=2，利用勾股定理的逆定理可得BD⊥BC．由PD⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得PD⊥BC．利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP 的中位线，又PD⊥平面ABCD，可得MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．利用V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD，即可得出．解答：（1）证明：∵AB⊥AD，AB=AD=2，∴BD==2，又AD=2，CD=4，AB=2，则BC=2，∴BD2+BC2=16=DC2，∴BD⊥BC．∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．又BD∩PD=D，∴BC⊥平面BDP．（2）解：如图，过M作MG⊥DC交DC于点G．由PD⊥DC，M是PC中点，知MG是△DCP的中位线，∴MG∥PD，MG=PD，又PD⊥平面ABCD，∴MG⊥平面BDC．又tan∠PCD=，得PD=2，MG=PD=1．∴V M﹣BDP=V P﹣BCD﹣V M﹣BCD=××2×2×2﹣××2×2×1=．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、勾股定理及其逆定理、三角形中位线定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图所示，正四棱锥P﹣ABCD被过棱锥高上O′点且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱台OO′和较小的棱锥PO′，其中O′分PO为=，侧棱PA长为15cm，小棱锥底面边长A′B′为6cm．（1）求截得棱台的体积．（2）求棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）计算出棱台的上、下底的边长，高，可得截得棱台的体积；（2）由等体积计算棱锥P﹣ABCD的内切球的半径，即可求出棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积．解答：解：（1）由A′B′∥AB得，∴=，∴PA′=5，AB=18，∵PO==3∴OO′=PO=2，∴V台=（36+182+）•2=312（cm3）…（6分）（2）作轴截面图如下，设球心为E，半径为R，由PH=PQ=12，HQ=AB=18，PO==3，则∵S△PHQ=（PH+PQ+HQ）R，∴=（12+12+18）R，∴R=，∴棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积为4πR2=π（cm2）…（12分）点评：本题考查棱台的体积，考查棱锥P﹣ABCD的内切球的表面积，考查学生的计算能力，求出棱锥P﹣ABCD的内切球的半径是关键，属于中档题．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；（Ⅲ）若二面角M﹣BQ﹣C大小为30°，求QM的长．考点：异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由题意易证QB⊥AD，由面面垂直的性质可得BQ⊥平面PAD，可得结论；（Ⅱ）易证PQ⊥平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，则可得相关点的坐标，可得向量和的坐标，可得夹角的余弦值，由反三角函数可得答案；（Ⅲ）可得平面BQC的法向量为，又可求得平面MBQ法向量为，结合题意可得λ的方程，解方程可得λ，可得所求．解答：解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形B CDQ为平行四边形，∴CD∥BQ又∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则Q（0，0，0），A（1，0，0），，，∵M是PC中点，∴，∴设异面直线AP与BM所成角为θ则cosθ==，∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BQC的法向量为，由，且0≤λ≤1，得，又，∴平面MBQ法向量为．∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴．∴|QM|=点评：本题考查空间角，涉及平面与平面垂直的判定，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．22．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角；空间向量及应用．分析：（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°．设PB=x（0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2﹣x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．解答：解：（1）∵正△ABC的边长为3，且==∴AD=1，AE=2，△A DE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得DE==∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1D E⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCE D，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2﹣x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2﹣x）2=（x）2解之得x=，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．点评：本题给出平面翻折问题，求证直线与平面垂直并探索了直线与平面所成角的问题，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．。
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 word版含答案
2017-2018学年度高二年级期中考试数学（理科）试卷一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为( )A ．k1>k2B ．k1<k2C ．k1＝k2D ．不确定2．命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈,使得20x <B ．不存在x R ∈,使得20x <C ．存在0x R ∈,都有200x ≥D ．存在0x R ∈,都有200x <3．设z 是复数,则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <4．一物体以速度v ＝(3t2＋2t)m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是（ ）A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m5．3．复数31iz i +=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．对于命题p 和q ，若p 且q 为真命题，则下列四个命题：①p 或¬q 是真命题；②p 且¬q 是真命题；③¬p 且¬q 是假命题；④¬p 或q 是假命题．其中真命题是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．三次函数f(x)＝mx3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m<1C ．m≤0D ．m≤18．已知抛物线y ＝－2x2＋bx ＋c 在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，则b ＋c 的值为( )A ．20B ．9C ．－2D ．29．设f(x)=cos 2tdt ，则f =( )A.1B.sin 1C.sin 2D.2sin 410．“ a=b ”是“直线与圆22()()2x a y b -++=相切的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件11．设函数f(x)的图象如图，则函数y ＝f ′(x)的图象可能是下图中的( )12．若关于x 的不等式x3－3x2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2，2]恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，7]B ．(－∞，－20]C ．(－∞，0]D ．[－12,7]二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若曲线f(x)＝x4－x 在点P 处的切线垂直于直线x －y ＝0，则点P 的坐标为________14．f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝2，则a 等于________．15．220(4)x x dx --=⎰_______________．16．已知z C ，且|z|=1，则|z-2i|（i 为虚数单位）的最小值是________三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分10分) (1) 求导数22sin(25)y x x =+ (2)求定积分：10(1)x x dx +⎰18. (本题满分12分)设：x2-8x-9≤0，q ：，且非p 是非q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)已知z 为复数，i z +和i z-2均为实数，其中i 是虚数单位. （Ⅰ）求复数z 和||z ；（Ⅱ）若immzz27111+--+=在第四象限，求m的范围.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．21．(本题满分12分) 设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋4.(1)求y＝f(x)的表达式；(2)求直线y=2x+4与y=f(x)所围成的图形的面积.22．(本题满分12分) 设函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，4)，且在点P处有相同的切线y=4x+4.(1)求a，b，c，d的值.(2)若存在x≥-2时，f(x)≤k-g(x)，求k的取值范围.20[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.21[解析] (1)f ′(x)＝－3x2＋6x.令f ′(x)<0，解得x<0，或x>2，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12＋a＝20＋a，f(2)＝－8＋12＋a＝4＋a，∴f(－2)>f(2)．∵在(0,2)上f ′(x)>0，∴f(x)在(0,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，0]上单调递减，因此f(0)是f(x)在区间[－2,2]上的最大值，于是有f(0)=a＝20∴f(x)＝－x3＋3x2－20∴f(2)＝＝－16，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－16.22【解题指南】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0，2)，可将P(0，2)分别代入到y=f(x)和y=g(x)中，再利用在点P处有相同的切线y=4x+2，对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导，列出关于a，b，c，d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x)，然后求导，判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性，通过分类讨论，确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.而f′(x)=2x+a，g′(x)=ex(cx+d+c).故b=2，d=2，a=4，d+c=4.从而a=4，b=2，c=2，d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2，g(x)=2ex(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，则F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)=0，即2(x+2)(kex-1)=0，得x1=-lnk，x2=-2.①若1≤k<e2，则-2<x1≤0，从而当x∈(-2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，+∞)时，F′(x)>0，即F(x)在x∈(-2，x1)上单调递减，在x∈(x1，+∞)上单调递增，故F(x)在[-2，+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).②若当k=e2，则F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2)，当x>-2时，F′(x)>0，即F(x)在(-2，+∞)上单调递增，而F(-2)=0，故当且仅当x≥-2时，F(x)≥0恒成立，即f(x)≤kg(x).③若k>e2，则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围为[1，e2].。
江西省新余市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷(文科)Word版含解析
江西省新余市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷（文科） 一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1．已知集合A={x|（x+4）（x ﹣1）＜0}，B={x|x 2﹣2x=0}，则A∩B=（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{x|﹣4＜x ＜1}2．已知平面向量，，若，则实数λ=（ ）A ．B ．C ．﹣6D ．63．已知数列{a n }是公比为2的等比数列，且满足，则a 4的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．164．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且=2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．C ．lg （a ﹣b ）＞0D ．6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+log 357．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则∠A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°8．设数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（ ）A ．15B ．60C ．63D ．729．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为 （ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，边a ，b ，c 成等比数列，则sinAsinC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．数列{a n }满足a 1=1，对任意的n ∈N *都有a n+1=a 1+a n +n ，则=（ ）A ．B ．C ．D ．12．对于△ABC ，有如下四个命题：①若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形，②若sinB=cosA ，则△ABC 是直角三角形③若sin 2A+sin 2B ＞sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形④若，则△ABC 是等边三角形其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC 中，a=1，C=，S △ABC =2a ，则b= ．14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 盏灯．15．如图，海上有A ，B 两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60°，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC=BO ．设AC=10km ，则OA 2+OB 2= ．16．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（4，2），=（﹣1，2），=（2，m ）．（1）若＜m 2，求实数m 的取值范围；（2）若向量与平行，求m 的值．18．等差数列{a n }中，a 7=8，a 19=2a 9．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =求数列{b n }的前n 项和S n ．19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB （tanA+tanC ）=tanAtanC ． （Ⅰ）求证：a ，b ，c 成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC 的面积S ．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ﹣2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求（n ﹣8）b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．21．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且=﹣．（1）求角B 的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC 的面积．22．已知数列{a n }满足：，且b n =a 2n ﹣2，n ∈N *（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，设，设S n =C 1+C 2+…+C n ，求证：S n ＜6．江西省新余市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1．已知集合A={x|（x+4）（x ﹣1）＜0}，B={x|x 2﹣2x=0}，则A∩B=（ ）A ．{0}B ．{2}C ．{0，2}D ．{x|﹣4＜x ＜1}【考点】一元二次不等式的应用；交集及其运算．【分析】解一元二次不等式和方程，求得A 和B ，利用两个集合的交集的定义，求出A∩B．【解答】解：∵（x+4）（x ﹣1）＜0，解得﹣4＜x ＜1，∴A={x|﹣4＜x ＜1 }．由x 2﹣2x=0，解得x=0，或x=2，∴B={0，2}，∴A∩B═{0，2}，故选A ．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法和交集的运算，考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A 和B ，是解题的关键．2．已知平面向量，，若，则实数λ=（ ）A ．B ．C ．﹣6D ．6 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得λ的值．【解答】解：∵已知平面向量，，，∴=（λ，﹣3）（4，﹣2）=4λ+6=0，解得 λ=﹣，故选A ．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于中档题．3．已知数列{a n }是公比为2的等比数列，且满足，则a 4的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的通项公式先求出首项，由此能求出a 4的值．【解答】解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且满足，∴=0，解得a 1=1，∴a 4=1×23=8．故选：C ．【点评】本题考查等比数列中第4项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4．设P 是△ABC 所在平面内的一点，且=2，则△PAB 与△PBC 的面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】向量数乘的运算及其几何意义．【分析】由=2可知P 为AC 上靠近A 点的三等分点．【解答】解：∵=2，∴P 为边AC 靠近A 点的三等分点，∴△PAB 与△PBC 的面积比为1：2． 故选：B ．【点评】本题考查了向量数乘的几何意义，属于基础题．5．若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．C ．lg （a ﹣b ）＞0D ．【考点】不等关系与不等式．【分析】由题意a 、b 是任意实数，且a ＞b ，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项，A ，B ，C 可通过特例排除，D 可参考函数y=是一个减函数，利用单调性证明出结论．【解答】解：由题意a 、b 是任意实数，且a ＞b ，由于0＞a ＞b 时，有a 2＜b 2成立，故A 不对；由于当a=0时，无意义，故B 不对；由于0＜a ﹣b ＜1是存在的，故lg （a ﹣b ）＞0不一定成立，所以C 不对；由于函数y=是一个减函数，当a ＞b 时一定有成立，故D 正确．综上，D 选项是正确选项故选D【点评】本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法﹣﹣特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6+a 4a 7=18，则log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．2+log 35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【分析】先根据等比中项的性质可知a 5a 6=a 4a 7，进而根据a 5a 6+a 4a 7=18，求得a 5a 6的值，最后根据等比数列的性质求得log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=log 3（a 5a 6）5答案可得．【解答】解：∵a 5a 6=a 4a 7，∴a 5a 6+a 4a 7=2a 5a 6=18∴a 5a 6=9∴log 3a 1+log 3a 2+…log 3a 10=log 3（a 5a 6）5=5log 39=10故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．7．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则∠A 等于（ ）A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°【考点】余弦定理．【分析】由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 与题中等式比较，可得cosA=﹣，结合A 是三角形的内角，可得A 的大小．【解答】解：∵由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA又a 2=b 2+c 2+bc ，∴cosA=﹣ 又∵A 是三角形的内角，∴A=150°，故选：D ．【点评】本题考查了余弦定理的应用，特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．8．设数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则b a1+b a2+b a3+b a4=（ ）A ．15B ．60C ．63D ．72【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】分别运用等差数列和等比数列的通项公式，求出a n ，b n ，再由通项公式即可得到所求．【解答】解：数列{a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，则a n =3+（n ﹣1）×1=n+2，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则bn=2n﹣1，则ba1+ba2+ba3+ba4=a3+b4+b5+b6=22+23+24+25=60．故选B．【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式，注意选择正确公式，考查运算能力，属于中档题和易错题．9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若角A，B，C成等差数列，边a，b，c成等比数列，则sinAsinC的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】依题意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，从而可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，∴B=，…（6分）又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分）另解：b2=ac， =cosB==，…（6分）由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．故选：A．…（12分）【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，熟练掌握两个定理是灵活解题的关键，属于中档题．11．数列{a n }满足a 1=1，对任意的n ∈N *都有a n+1=a 1+a n +n ，则=（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】数列递推式．【分析】利用累加法求出数列的通项公式，得到．再由裂项相消法求得答案．【解答】解：∵a 1=1，∴由a n+1=a 1+a n +n ，得a n+1﹣a n =n+1，则a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=3，…a n ﹣a n ﹣1=n （n≥2）．累加得：a n =a 1+2+3+…+n=（n≥2）． 当n=1时，上式成立，∴．则．∴=2=． 故选：B ．【点评】本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．12．对于△ABC ，有如下四个命题：①若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形，②若sinB=cosA ，则△ABC 是直角三角形③若sin 2A+sin 2B ＞sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形④若，则△ABC 是等边三角形其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①若sin2A=sin2B ，则 2A=2B ，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，可知①不正确．②若sinA=cosB ，找出∠A 和∠B 的反例，即可判断则△ABC 是直角三角形的正误．③由sin 2A+sin 2B ＞sin 2C ，结合正弦定理可得a 2+b 2＞c 2，再由余弦定理可得cosC ＞0，所以C 为锐角．④利用正弦定理，化简，可得sin =sin =sin ，从而可得==．【解答】解：①若sin2A=sin2B ，则 2A=2B ，或 2A+2B=π，即A=B 或C=，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故①不正确．②若sinA=cosB ，例如∠A=100°和∠B=10°，满足sinA=cosB ，则△ABC 不是直角三角形，故②不正确． ③由sin 2A+sin 2B ＞sin 2C ，结合正弦定理可得a 2+b 2＞c 2，再由余弦定理可得cosC ＞0，∴C 为锐角，故③不正确．④∵，∴sin =sin =sin ，由于半角都是锐角，∴==，∴△ABC 是等边三角形，故④正确故选A ．【点评】本题是基础题，考查三角形的判断，三角方程的求法，反例法的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC 中，a=1，C=，S △ABC =2a ，则b= ．【考点】正弦定理．【分析】根据条件和三角形的面积公式列出方程，求出b 的值．【解答】解：△ABC 中，∵a=1，C=，S △ABC =2a ，∴，解得b=，故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积公式，属于基础题．14．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 3 盏灯．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】设第一层有a 盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a 为首项，以为公比的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：设第一层有a 盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a 为首项，以为公比的等比数列，∴=381，解得a=192，∴顶层有=3盏灯．故答案为：3．【点评】本题考查顶层有几盏灯的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15．如图，海上有A，B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60°，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO．设AC=10km，则OA2+OB2= 200 ．【考点】解三角形的实际应用．【分析】根据OC=BO，分别在△OAC与△OAB中利用余弦定理，可得300=OA2+OB2+OAOB且100=OA2+OB2﹣OAOB，两式联解即可得出OA2+OB2．【解答】解：在△OAC中，∠AOC=120°，AC=10，根据余弦定理，可得OA2+OC2﹣2OAOCcos120°=AC2=300，又∵OC=BO，∴300=OA2+OB2﹣2OAOBcos120°，即300=OA2+OB2+OAOB…①在△OAB中，AB=10，∠AOB=60°，∴由余弦定理，得OA2+OB2﹣2OAOBcos60°=100，即100=OA2+OB2﹣OAOB …②，①+②，可得OA2+OB2=200，故答案为：200．【点评】本题给出实际应用问题，着重考查了余弦定理，考查了解三角形知识在实际问题中的应用，属于中档题．16．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为15．【考点】余弦定理；数列的应用；正弦定理．【分析】因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x﹣4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：设三角形的三边分别为x﹣4，x，x+4，则cos120°==﹣，化简得：x﹣16=4﹣x，解得x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则△ABC的面积S=×6×10sin120°=15．故答案为：15【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知向量=（4，2），=（﹣1，2），=（2，m）．（1）若＜m 2，求实数m 的取值范围；（2）若向量与平行，求m 的值．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式解不等式＜m 2，即可求实数m 的取值范围；（2）若向量与平行，根据向量平行的坐标公式进行求解即可求m 的值．【解答】解：，∴，∴得m ＞4或m ＜﹣2． （2）=（6，2+m ），若向量与平行，则6×2+（2+m ）=0，即m+14=0，得m=﹣14．【点评】本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的坐标公式是解决本题的关键．18．等差数列{a n }中，a 7=8，a 19=2a 9．（1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）由已知利用等差数列通项公式列出方程组，求出等差数列{a n }的首项和公差，由此能求出{a n }的通项公式．（Ⅱ）由，利用裂项求和法能求出数列{b n }的前n 项和．【解答】（本题12分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵等差数列{a n }中，a 7=8，a 19=2a 9．∴， 解得a 1=2，d=1，∴a n =2+（n ﹣1）×1=n+1，∴{a n }的通项公式为a n =n+1．…（6分）（Ⅱ）∵a n =n+1，∴，…（8分）所以．…（12分）【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinB （tanA+tanC ）=tanAtanC ． （Ⅰ）求证：a ，b ，c 成等比数列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC 的面积S ．【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形．【分析】（I ）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB （sinAcosC+sinCcosA ）=sinAsinC ，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可证（II ）由已知结合余弦定理可求cosB ，利用同角平方关系可求sinB ，代入三角形的面积公式S=可求．【解答】（I ）证明：∵sinB （tanA+tanC ）=tanAtanC∴sinB （）=∴sinB = ∴sinB （sinAcosC+sinCcosA ）=sinAsinc∴sinBsin （A+C ）=sinAsinC ，∵A+B+C=π∴sin （A+C ）=sinB即sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2=ac ，所以a ，b ，c 成等比数列．（II ）若a=1，c=2，则b 2=ac=2，∴，∵0＜B ＜π∴sinB=∴△ABC 的面积． 【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ﹣2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求（n ﹣8）b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．【解答】解：（1）由Sn =2an﹣2，当n=1时，求得：a1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，所以：（常数），所以：数列{an }是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：．…（6分）（2）已知：bn =log2a1+log2a2+…+log2an，=1+2+3+…+n=，由于（n﹣8）bn≥nk对任意n∈N*恒成立，所以对任意的n∈N+恒成立．设，则当n=3或4时，cn取最小值为﹣10．所以：k≤﹣10．…（12分）【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．21．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=﹣．（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sinAcosB+sinA=0，结合sinA≠0，可得，结合范围0＜B＜π，即可得解B的值．（2）由余弦定理可得b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，由已知可解得ac=3，理由三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABC中，∵，由正弦定理得：，（2分）∴2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，∵A+B+C=π，∴2sinAcosB+sinA=0，（4分）∵sinA≠0，∴，（5分）∵0＜B＜π，∴．（6分）（2）∵将，a+c=4，代入b2=a2+c2﹣2accosB，即b 2=（a+c ）2﹣2ac ﹣2accosB ，（8分）∴，可得ac=3，（10分）于是，． （12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．已知数列{a n }满足：，且b n =a 2n ﹣2，n ∈N *（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4；（Ⅱ）求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式；（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，设，设S n =C 1+C 2+…+C n ，求证：S n ＜6．【考点】数列与不等式的综合．【分析】（I ）分别将n=2，3，4代入到a n+1=中即可得到a 2，a 3，a 4的值．（II ）根据b n =a 2n ﹣2，然后进行整理即可得到b n+1=b n ，从而证明数列{b n }是等比数列，进而可求出数列{b n }的通项公式．（III ）先根据（2）中{b n }的通项公式求出C n ，然后利用错位相减法求得数列{C n }的前n 项和，进而求得S n 与6的大小．【解答】解：（Ⅰ），，（12分）（Ⅱ）（5分）=，又∴数列{b n }是公比为的等比数列，且．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）得，∴．令．①∴②①﹣②得。
高二理数期中答案2018.5
2017-2018学年度第二学期期中考试高二年级理科数学试题参考答案二、填空题（本大题共4个小题，共20分）13、 202x x mx ∀>+-，≤0 14、 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭15、 232π+ 16、508 三、解答题：17、（本小题满分10分） （1）2(1)3(1)3(3)(2)1225i i i i i z i i i ++----====-++………………3分||z ∴… ………………………………………………………2分 （2）22(1)(1)(2)z az b i a i b a b a i ++=-+-+=+-+ …………2分21i()13214z az b a b a b a a b ++=+∈⎧+==-⎧∴⇒⎨⎨+=-=⎩⎩R ， ……………………………………………3分18、（本小题满分12分） 设切点坐标为(x 0 ， y 0)y′＝6x 2－6x －2， 则,切线方程为 ……………………………………………3分 则即整理得解得,则切线方程为……………………………………………3分解方程组,得或 …………2分由与的图像可知…………4分19．（本小题满分12分）（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.解：（I ）()11f =， ()25f =， ()313f =， ()425f =，∴()()21441f f -==⨯， ()()32842f f -==⨯， ()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴ ()5254441f =+⨯=． ………………………………5分（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=． ………………………………2分∴()()2141f f -=⨯， ()()3242f f -=⨯， ()()4343f f -=⨯， ⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-， ()()()141f n f n n --=⋅-∴ ()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦，∴ ()2221(2)f n n n n =-+≥． ……………………………3分当()21,22111n n n f =-+== ()2*221()f n n n n N ∴=-+∈…………2分20、（本小题满分12分） （1） ① 当0< t ≤10时，V (t ) = (-t2+14t -40)4te错误！未找到引用源。