第8节 子群的陪集
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近世 代数
Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.
证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.
14
近世 代数
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
11
近世 代数
Lagrange定理的应用
命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.
证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
因此G是Abel群.
12
近世 代数
Lagrange定理的应用
例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元.
性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构 成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则
| Sl | = | Sr |.
8
近世 代数
Lagrange定理
定理1 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则
| G | = | H | ·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为H在G 中的指数.
9
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集 Lagrange定理 Lagrange定理的应用 正规子群与商群
预备知识：
➢ 等价关系 ➢ 等价类 ➢ 集合的划分
1
近世 代数
陪集的定义
定义1 设H是群G的子群，a∈G. 令 aH={ah | h∈H}
称aH是子群H在G中的左陪集. 称a为aH的代表元素.
H所有的左陪集是： (1)H={(1), (12)}=(12)H=H (13)H={(13), (132)}=(132)H (23)H={(23), (123)}=(123)H 不同的左陪集只有3个, 即H, (13)H, (23)H.
H所有的右陪集是：
H(1)={(1), (1 2)}=H(12)=H
证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶
或6阶. 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有 a2=e，由命题知G是Abel群. 取G中2阶元 a 和 b， a b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是G的子群， 但 |H| = 4，|G| = 6，与Lagrange定理矛盾.
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
bH={b, c},
c cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, c}.
H所有的右陪集？
3
近世 代数
陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123), (132)}. H={(1), (1 2)}是S3的子群.
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近世 代数
Lagrange定理的推论
推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = (a).
证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则(a)是G的子群. 根据Lagrange 定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1. 显然 (a)的阶不是1，这就推出G = (a).
令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
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近世 代数
陪集的实例
例1 设G={e, a, b, c}是Klein四元群，
H=(a)={e, a}是G的子群. H所有的左陪集是：
eH={e, a}=H,
aH={a, e}=H,
eabc
e eabc a aecb b bcea
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成
的集族是G的一个划分.
H(13)={(13), (123)}=H(123)
H(23)={(23), (132)}=H(132)
不同的右陪集只有3个, 即H, H(13), H(23).
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近世 代数
左陪集的基本性质
性质1 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
性质2 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .
近世 代数
Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.
证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.
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近世 代数
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
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近世 代数
Lagrange定理的应用
命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.
证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
因此G是Abel群.
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近世 代数
Lagrange定理的应用
例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元.
性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构 成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则
| Sl | = | Sr |.
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近世 代数
Lagrange定理
定理1 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则
| G | = | H | ·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为H在G 中的指数.
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近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
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近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
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近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集 Lagrange定理 Lagrange定理的应用 正规子群与商群
预备知识：
➢ 等价关系 ➢ 等价类 ➢ 集合的划分
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近世 代数
陪集的定义
定义1 设H是群G的子群，a∈G. 令 aH={ah | h∈H}
称aH是子群H在G中的左陪集. 称a为aH的代表元素.
H所有的左陪集是： (1)H={(1), (12)}=(12)H=H (13)H={(13), (132)}=(132)H (23)H={(23), (123)}=(123)H 不同的左陪集只有3个, 即H, (13)H, (23)H.
H所有的右陪集是：
H(1)={(1), (1 2)}=H(12)=H
证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶
或6阶. 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有 a2=e，由命题知G是Abel群. 取G中2阶元 a 和 b， a b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是G的子群， 但 |H| = 4，|G| = 6，与Lagrange定理矛盾.
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5ຫໍສະໝຸດ Baidu
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
bH={b, c},
c cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, c}.
H所有的右陪集？
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近世 代数
陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123), (132)}. H={(1), (1 2)}是S3的子群.
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近世 代数
Lagrange定理的推论
推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = (a).
证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则(a)是G的子群. 根据Lagrange 定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1. 显然 (a)的阶不是1，这就推出G = (a).
令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
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近世 代数
陪集的实例
例1 设G={e, a, b, c}是Klein四元群，
H=(a)={e, a}是G的子群. H所有的左陪集是：
eH={e, a}=H,
aH={a, e}=H,
eabc
e eabc a aecb b bcea
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成
的集族是G的一个划分.
H(13)={(13), (123)}=H(123)
H(23)={(23), (132)}=H(132)
不同的右陪集只有3个, 即H, H(13), H(23).
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近世 代数
左陪集的基本性质
性质1 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
性质2 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .