2013希望杯八年级第一试

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2013希望杯八年级第二试

第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试2013年4月15日上午8：30至10：30一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。

）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。

1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）（A ）正方形（B ）矩形 C ）菱形（D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b cx a b c =+-的值有（）（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（）（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（）（A ）是2019年，（B ）是2031年，（C ）是2043年，（D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。

6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（）（A ）16小时（B ）7158小时（C ）151516小时（D ）17小时)10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（）（A ）48人（B ）45人（C ）44人（D ）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题...... 0错误!未定义书签。

-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题...... 0错误!未定义书签。

-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题..... 0错误!未定义书签。

-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题..... 0错误!未定义书签。

-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题....... 错误!未定义书签。

-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题....... 错误!未定义书签。

【2013】希望杯竞赛数学试题详解(21-30题)

题21 若0,>y x ，且12=+y x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题)题23 设R y x ∈,，且221x y +≤，则xy y x ++的最大值是，最小值是．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24 若223x xy 3y 20-+=，则228x 23y +的最大值是．（第十三届高二培训题第68题）题25 函数xxx y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）题26 函数1212y sin x cos x =+的值域是 .（第十一届高二培训题第46题）题27 设+∈N n ，则|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是．（第九届高二培训题第53题）题28 611112310s =++++ ，则s 的整数部分是（）A 、１９９７Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题）题 29 求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题）题30 函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题)21.解法1 比较：当1,0,=+>b a b a 时，42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ，当且仅当21==b a 时取等号.可见，82542521212121411=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x y y x x ，当且仅当41,21==y x 时取等号.825m in =∴u . 解法2 xyxy xy x y y x xy y y x x u 411414411++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 令12,=+=y x xy t 且xy y x y x 222,0,0≥+∴>>，即81≤xy ，即81≤t .可证函数()t t t f 411++=在⎥⎦⎤⎝⎛81,0上单调递减，81=∴t 时，()82581min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t f .即当41,21==y x 时，min 258u =. 解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==2,0,tan 2,tan πϕθϕθy x ，则tan tan 1,θϕ+=21112sin 2sin 22.sin 2sin 222sin 2sin 22u x y x y θϕθϕθϕ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （当且仅当ϕθ=时取等号）.又222tan 2tan sin 2sin 21tan 1tan θϕθϕθϕ+=+++ ()22222221tan tan tan tan 1tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕ++=+++()()22222tan tan tan tan 1tan tan 2tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕθϕ++=++-+()2tan tan 11tan tan 22ϕθϕθ-++=.由1tan tan =+ϕθ，易得41tan tan ≤ϕθ（当且仅当ϕθ=时取等号）.于是()22191tan tan 1.416θϕ⎛⎫-≥-= ⎪⎝⎭ 12284sin 2sin 295116θϕ+⋅∴+≤=+（ϕθ=时取等号）.故∴=⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥.82558822sin 2sin 222ϕθu 当21arctan ==ϕθ，即212==y x 时，825m in =u . 评析解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于a 、+∈R b 时，2≥+baa b ，当且仅当b a =时取等号，所以解法2将u 展开成xy xy x y y x 414+++后，只能对x y y x +4使用上述公式（因为12=+y x ，所以必须使212==y x 时取等号）.若也对xy xy 41+使用上述公式就错了，因为由212==y x ，得41,21==y x ，此时xy xy xy ,241,81==与xy 41并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.x 与()0,0>>x k xk不可能相等时，通常运用函数的单调性求x k x +的最小值（易证函数()0,0>>+=k x xkx y 在(0,]k 上单调减，在[,)k +∞上单调增）. 解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用. 拓展命题“若0,>b a 且1=+b a ，则42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ”可作如下推广：推广1 若0,,>c b a 且1=++c b a 则271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a . 证明 1111b c c a a b ca b a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 331133abc abc abc abc ≥+++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33131abc abc abc abc ，当且仅当31===c b a 时取等号.31,271313333≤∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤abc c b a abc .又()x x x f 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛271,0及⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0上都是减函数，,2710003113132712713133=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴abc abc abc abc 当且仅当271=abc 时取等号.271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴c c b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）. 推广2 若0(1,2,,)i a i n >= ，11=∑=ni i a ，则2111nni i i n a a n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏. 推广3 若0(1,2,,)i a i n >= ，k a ni i =∑=1，则2211nni i i n k a a nk =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏.推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略. 22.解法1 11,,1,,224a b a b R a b ab ab ++∈+=∴≤=∴≤ 且. 111111*********a b a b a b ab ab ab ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=++=+≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当21==b a 时取等号.min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法2 3311111111113a b a b b a b a a b a b a b a b++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥⋅ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =9，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.解法3 1111112252a b a b b a b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9225=⨯+，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 评析求条件最值离不开利用条件.如何利用条件1=+b a ？解法1把1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后将b a +用1代，解法2与3将a 1与b1中的1用b a +代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值. 拓展此题可作如下推广：推广1 若+∈R n b a ,,，且n b a =+，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明ab b a n R n b a 2,,,≥+=∴∈+，于是241nab ≥， 2211114(1)211111a b n n n a b ab ab n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=+≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2nb a ==时取等号，1111a b ⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.推广2 若+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，则12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是n n )1(+. 证明 +∈R a a a n ,,,21 ，121=+++n a a a ，1121112111)1(11a a a a a n a a a a a a n nn ++≥++++=+∴ .同理112121222(1)(1)111,,1n n n n nn n n a a a a n a a a a a a a a +++++≥+≥ .故 112121212(1)()()111111(1)n nn n n n nn n a a a a a a n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当 121n a a a n ====时取等号. 12111111na a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 推广3 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且∑==n i im a 1，则111nk i i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是 1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明由均值不等式得111nnnni ii i nn a m a ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∏∑， 111212111111()(1,2,,)p p n n p p kppk n nkC p p p C n n n n k k kk i i i n i i i i i i i n C C C p n a a a a a m --≤<<<≤==⎛⎫⎛⎫≥=≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∏∏ , 从而1212112121111111111111n n nn nkk k k k k k ki i i i n i i i n i i i i i i i i i a a a a a a a a --==≤<≤≤<<<≤=⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭∏∑∑∑∏ 2112111n nnkk kkk n n n n n n k k k k k n n n n n C C C C mm m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当),,2,1(n i n ma i ==时取等号.故111n ki i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且)0(1n m m a ni i ≤<=∑=，则11nk i k i i a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值为nk k k k m n nm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习： 1、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求：（1）221111a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）1111nna b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（3）221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 2、已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 3、已知+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，求22212111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 4、求ββαα2222sin cos cos 1sin 1+的最小值.(提示：22222sin cos cos cos sin 1ααβαβ++=，原式22222111sin cos cos cos sin ααβαβ=++.) 5、已知+∈R a a a a 4321,,,，且14321=+++a a a a ，求3214214314321111a a a a a a a a a a a a +++++++++++的最小值. 答案：1、（1）18 （2）n 32⋅ （3）9 2、64 3、2)1(+n n 4、9 5、316 23.解法1 122≤+y x ，1,1≤≤-∴y x ，10,10x y ∴+≥+≥．由2)(2)(222≤+≤+y x y x ，有22≤+≤-y x ，22322212)(2)1()1()1)(1(22222+=++≤++++=+++≤++∴y x y x y x y x ．记1)1)(1(-++=++=y x xy y x u ，立得1-≥u 和221+≤u ．故当1-=x 或1-=y 时，1min -=u ，当22==y x 时，221m ax +=u ．解法2 由题意，设)2,0[,10,sin ,cos πθθθ∈≤≤==r r y r x ．则2211cos sin cos sin 2sin sin 22422x y xy r r r r r πθθθθθθ⎛⎫++=++=++≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当1=r 且4πθ=，即22==y x 时取等号．max 1()22x y xy ∴++=+．又 ]1)cos [(sin 2)cos (sin cos sin )cos (sin 222-+++=++=++θθθθθθθθr r r r xy y x ．令]2,2[,c o s s i n -∈=+t t θθ，则]1)1[(21)1(22222r rt t r rt xy y x --+=-+=++．易知当01=+rt 时，1)(,0])1[(m in 2m in 2-=-=+r rt ．此时，1,1-==t r ，即1x =-或1-=y 时，1)(m in -=++xy y x ．关于xy y x ++的最大值，还有下列解法．解法3 22222222212,1,()2()2,22x y xy x y x y x y x y xy +≤++≤∴+≤+≤≤≤ ， 2122)(22222+≤+++≤++∴y x y x xy y x ，当且仅当22==y x 时取等号．212)(m ax +=++∴xy y x ．解法4 22221111111122()1122222222x y x y x y ++⋅+⋅≤+=++≤+⨯= ，2≤+∴y x ．又212,21222+≤++∴≤+≤xy y x y x xy ，当且仅当22==y x 时取等号．故212)(m ax +=++xy y x . 评析解法2由122≤+y x 考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式)(2)(222y x y x +≤+及222y x xy +≤，再由122≤+y x ，分别求出y x +与xy 的最大值（注意：必须是x 与y 取相同值时y x +与xy同时取得最大值），从而得到xy y x ++的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将xy y x ++变形为1)1)(1(-++y x ，并由已知得出01,01≥+≥+y x ，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数y x ,适合条件2122≤+≤y x ，则函数22232x xy y ++的值域是．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为]7,21[）拓展由题引伸，可以得到：定理1 设xy y x z y x λλ++=≤+≥,1,022，则（1）当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；（2）当202λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ．证明设b a y b a x -=+=,，则2122≤+b a ．又设θθsin ,cos r b r a ==， 220≤≤r ，则2222222()2cos (cos sin )z x y xy a a b r r r λλθλθθ=++=+-=+-λλλθλ22221)21(cos 2r r r --+=．1cos 1,θ-≤≤∴ 1、当121≤λr ，即1222r λ≥≥时，（1）)220(221212≤≤--≥--≥r r z λλλλ，当且仅当λλθ2121cos -=-=r 时取等号．（2）2222112122222z r r r r r λλλλλλ⎛⎫≤+--=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1cos ==r θ时取等号．2、当112r λ≥，即12022r λ≤≤≤时（1）当22,1cos ==r θ时，22m ax +=λz ．（2）当1cos -=θ时，λ22r r z +-≥．又函数222,0,2y x x λλ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，当20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时是减函数，故2222λλ+-≥+-r r ．综上所述，当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；当202λ≤≤时， 2222λλ+≤≤+-z ．进一步引伸，可得定理2 0,≥n m ，若nxy y x m z y x ++=≤+)(,122，则（1）当22≥m n 时，22222n m z n m n +≤≤--；（2）当202n m ≤≤时，2222nm z n m +≤≤+-．简证 n z m x y xy m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令nt x y xy m=++，再由定理1即可得证．再引伸，还可得到定理3 设12,,,n x x x R +∈ ，且12()m m mn x x x S m N ++++≤∈ ，则有11212.nm m m n n n S x x x x x x nS n -++++≤+证明 1212,,,,()mmmn n x x x R x x x S m N ++∈+++≤∈ 及平均值不等式1121212,m m m mnn nn x x x x x x x x x n n ⎛⎫++++++≥≥ ⎪⎝⎭111212,,n nm mm m m n n n S S S x x x n n S x x x n n n -⎛⎫⎛⎫∴+++≤⋅=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212.nm m m n n n S x x x x x x nS n-∴++++≤+24.解法1 引入参数t,22222222y 1y t 1xy tx t x x y t 2t 22t⎛⎫=⋅≤+=+ ⎪⎝⎭ ，又22xy 3x 3y 20=+- ，222222t 1x y 3x 3y 20,22t∴+≥+-2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫∴-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考虑到待求最值的二元式是228x 23y +，故令22t 38212332t -=-，解得2t 4=或22t 23=-（舍去），故只需令t 2=，即可得()22132x 3y 208⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭．因此，228x 23y 160+≤，当且仅当y 2x 2=，即y 4x =时取等号.()22max8x 23y 160∴+=．解法2 已知条件式即2213520x y y 6363⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.令120x y cos ,633520y sin ,63⎧-=α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩即202x cos sin ,32112y sin .21⎧=α+α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩代入待求式,并化简,得()22223211288x 23y sin 22121+=+α-ϕ223211281602121≤+=.故当且仅当y 4x =时，228x 23y +有最大值160．解法3 令2228x 23y t +=.从而有8x t cos,23y t sin,⎧=α⎪⎨=α⎪⎩即t tx cos ,y sin .823=α=α代入已知等式,得222223t t 3t cos sin cos sin 20823184α-αα+α=, ()222202036820368t 160.3139347cos 29347cos sin 2sin 823736⨯⨯∴==≤=+α+ϕ-α-α+α即228x 23y 160+≤．解法4 ()22116x y xy 4x y 48+=⋅≤ ,而22xy 3x 3y 20,=+-222216x y 3x 3y 20,8+∴+-≤即228x 23y 160+≤．解法5 设x m n,y m n,=+=-代入条件得225m 7n 20.+=令20m 2cos ,n sin 7=α=α,则()()22228x 23y 8m n 23m n +=++-2231m 30mn 31n =-+()225620162cos 60sin 2sin 744376cos 2777=α-α+α=+α+ϕ⎡⎤⎣⎦()17443761607≤+=．解法6 设228x 23y s,+=则()()2222s 3x xy 3y208x23y ,-+=+即()()223s 160x sxy 3s 460y 0--+-=①.由题设x,y 不同时为0,故不妨设y 0≠,则将①式两边同除以2y ,得()()2x x 3s 160s 3s 4600.y y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3s 1600-≠时,由()()2s 43s 1603s 4600,∆---≥=解得368s 1607≤≤;当3s 1600-=时,x 45y 8=-．综上,368s 1607≤≤.故()22max 8x 23y 160+=．解法7 ()()()22222228x 23y 83x x y3y 16x8x y y 8204x y 160+=-+--+=⋅--≤.故当4x y =时,()22max8x23y 160+=．评析破解此题的关键是消去条件式中的xy 项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy 变形为ytx t ⋅,再运用基本不等式,从而得到2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而要求的是228x 23y +的最大值,故令22t 38212332t-=-,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法．解法2将223x xy 3y 20-+=变为2213520x y y 6363⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy 项时同样适用．解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中2x 项与2y 项系数相等时这也是一种通法．解法4的技巧性特强.要知道,若2219x y xy (3x y)36+=⋅≤,由22xy 3x 3y 20=+-,得22229x y 3x 3y 206++-≤,即229x 17y 120+≤,则仍然不能解决问题．解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法．解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y 22R,2xy y 7∈+-=且x , 则22x y +的最小值是________．（第十届高二培训题第66题）解2222227x 2x y y 2(xy )(21)x 2x y(21)y⎡⎤=+-=+---++⎣⎦2222212(x y )(21)x y 2(x y )21⎛⎫=+---≤+ ⎪-⎝⎭，即227x y 22+≥，当且仅当1x y 21=-时取等号，故所求最小值为 2.72再看一例：例2 实数x,y 适合221x y 2≤+≤,则函数222x 3xy 2y ++的值域是．(第九届高二第一试第15题)解（1）()()2222221x y 22x 3xy 2y3x2xy y ≤+=++-++()()()2222222122x 3xy 2y 3x y 22x 3xy 2y .2x 3xy 2y .2=++-+≤++∴++≥（2）()()()()22222222273732x 3xy 2y x y x 2xy y x y x y 2222++=+--+=+--7207.2≤⨯-=故所求值域为1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦．到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好．请用配方法解决下列问题:1.实数x,y 满足22x 3xy y 2-+=,则22x y +的值域是．（答：4[,5+∞)）(第六届高二第二试第17题)2.若x,y R ∈,且221x y 22≤+≤,则22x 2xy 4y -+的取值范围是．（答：1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦） 3.已知x,y 满足22x xy y 1++=,求22x xy y -+的取值范围．（答：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦）4.已知22x xy 2y 1-+=,求表达式22x 2y +的最大值与最小值．（答：822822,77+-） 25.解法1 由x x x y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-==+⋅+-1)1(1cos 1)1(1sin )sin(1)1(222y y y y x y ααα，1)1()sin(2+-=+∴y y x α.1)sin(≤+αx ，11)1(2≤+-∴y y ，解得1≤y .故1max =y .解法2 令2tan x t =，则22222221121121211t t t t t t y t t t t -++-++==++++，化为0)1()22()1(2=-+-++y t y t y ，R x ∈ ，0≥∆∴t ，即0)1(4)22(22≥---y y ，解得1≤y .故1max =y .解法3 由1cos ≤x ，得1sin cos sin +≤+x x x （1cos =x 时取等号），0sin 1≠+x ，0sin 1>+∴x ，1sin 1cos sin ≤++∴xxx ，故1max =y .解法4 xx x x x y sin 11cos 1sin 11cos sin 1+-+=+-++= .1cos 1≤≤-x ，1sin 1x -<≤，01cos 2≤-≤-∴x ，21sin 0≤+<x .∴当cos 1x =时，max 1y =.解法5 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，[][])cos (sin 1)1(cos sin )1(222222x x y x x y y ++-≤+-=∴，2221)1(+-≤∴y y ，解得1≤y .1m ax =∴y .解法6 1sin 1cos 1sin 1cos sin +-+=++=x x x x x y .令1sin 1cos +-=x x u ，它表示动点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，即u 表示单位圆上的点与点)1,1(-的连线的斜率，由图易知0max =u ，1m ax =∴y .解法7 显然，1sin -≠x .由xx x y sin 1cos sin ++=得0cos sin )1(=-+-y x x y ①，又1cos sin 22=+x x ②.由①、②可知点)cos ,(sin x x 是uov 坐标系中的直线0)1(=-+-y v u y 与圆122=+v u 的公共点，圆心)0,0(到直线①的距离不大于圆的半径1，即2(1)001(1)1y y d y -⋅+-=≤-+，解之得1≤y ，1m ax =∴y .评析类似本题分子、分母中含有x sin 、x cos 的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为c x b x a =+cos sin 的形式，进而变为c x b a =++)sin(22ϕ（其中ab=ϕtan ）的形式，再由1)sin(≤+ϕx 求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法. 万能公式可将角x 的各种三角函数表示成2x的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令2tan x t =后，便将原函数转化成t 的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题.解法3直接利用分子x x cos sin +不大于分母1sin +x ，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为xx y sin 11cos 1+-+=后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y 的范围.解法5将已知函数式变为y x x y =+-cos sin )1(，考虑到左边x x y cos 1sin )1(⋅+-的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用1cos sin 22=+x x 而建立了关于y 的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为0cos sin )1(=-+-y x x y 后，将)cos ,(sin x x 看作坐标系uov 中直线0)1(=-+-y v u y 上的点，而点)cos ,(sin x x 又在单位圆122=+v u 上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了y 的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为1sin 1cos 1+-+=x x y 后，将1sin 1cos +-x x 看作单位圆上的点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，故将求y 的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为k ，写出过点)1,1(-且斜率为k 的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k 的最大值.解法6也是求函数)0(sin cos ≠++=ac d x c b x a y 或)0(cos sin ≠++=ac dx c bx a y 的最值的通法.例求函数9cos 34sin 2+--=x x y 的最值解 2sin 42sin 23cos 93cos 3x x y x x --==-⋅-+-.令3cos 2sin --=x x u ，则u 是单位圆122=+y x 上的点(cos ,sin )x x 与点)2,3(的连线的斜率.设此斜率为k ，则连线的方程为)3(2-=-x k y ，即032=-+-k y kx ①.由单位圆圆心)0,0(到直线①的距离应当不大于单位圆半径1，即11322≤+-k k ，解得433433+≤≤-k ，即k 的最小值与最大值分别为433-，433+，从而y 的最大值与最小值分别为43332-⋅-、43332+⋅-,即633-，633+-.26.解法1 由均值定理，知()()332332334444111111sin 3sin ,cos 3cos .444444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⋅++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()121244223131sin cos sin cos 12sin cos 16161616x x x x x x +≥+-=--= 2311sin 232832x -+≥.当4x π=时以上不等式同时取等号.故min 132y =. 又[]121222max sin ,cos 1,1,sin cos sin cos 1.1x x y x x x x y ∈-∴=+≤+=∴=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法2 由柯西不等式，知()()()2121212126644111sin cos 11sin cos sin cos (sin cos 222x x x x x x x x +=++≥+=+- 22222131sin cos )1sin 22432x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.又由[]sin ,cos 1,1x x ∈-，知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法3 121212121111111sin x cos x sin x cos x 64646464646464⎛⎫⎛+=+++++++++ ⎪ ⎝⎭⎝ ()5512122266511110115156sin 6cos 6sin cos 64646464646432232x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫++-≥+-=⋅+-⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭651323232=-=，又()61212221sin cos sin cos 1,,1.32x x x x y ⎡⎤+≤+=∴∈⎢⎥⎣⎦解法4 22sin x cos x 1+= ，且22sin 0,cos 0,x x ≥≥∴可设21sin 2x t =+， 663322211111111cos ,,222222444x t t y t t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--≤≤∴=++-=++++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣)3222134tt t ⎛⎫⎤++ ⎪⎦⎝⎭，由所设2104t ≤≤，故当20t =时，3min 112432y ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当214t =时， max 1.y =∴所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦.评析因为[]s i n,c o s 1,1x x ∈-，所以[]22sin ,cos 0,1x x ∈ ，由指数函数单调性，易知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=，故求得了y 的最大值1.如何求y 的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将1212sin cos x x +降次，最好直接与22sin cos x x +建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧的运用.为什么将12sin x +12cos x 配凑成1212111111111110sin cos 6464646464646464646464x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个164？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内()1212sin cos x x 与5个数的积，从而才会出现22sin cos 1x x +=（常数）.至于为什么各加5个164，是因为运用均值定理时要使两处的“≥”中都取等号，必须221sin cos 2x x ==，而只有12121sin cos 64x x ==时才会有2sin x 21cos 2x ==. 拓展仿照解法3，我们可以证明下面的定理函数()22sincos nn y x x n N +=+∈的值域是12,1n-⎡⎤⎣⎦.证明 222112111sin cos sin 222n n nn n n n n y x x x -⎛⎫⎪⎪=+=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个222(1)(1)1121112211cos sin cos 222222nn n n n n n n n n n n n n n n x n x n x ---⎛⎫ ⎪- ⎪+++⋅⋅⋅+-≥⋅⋅+⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 个()12211min 222222222sin cos 2,222222n n n n n n nn n n n n n x x y -------=⋅+-=-==∴=. 又()2222sincos sin cos 1nnn x x x x +≤+=，即m a x 1y =.故函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域为12,1n-⎡⎤⎣⎦.据此定理，我们易知函数100100sincos y x x =+的值域为492,1-⎡⎤⎣⎦.27.解可从绝对值的几何意义上去想，以|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 为例，如图：1 2 3 4所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N 与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N 在线段AB 之外时，和大于N 在线段AB 上时的和；当N 在线段AB 上时，N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为+∈N n ，所以当n 取2或3时，|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 最小．对于和式S=|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n ，设数轴上的点A 、B 分别表示1949、2001，则线段AB 的中点的坐标是,1975220011949=+|19751949||19751950|S ∴=-+-最小|19752001|(26251)(1226)+⋯+-=+++++++ (261)2627022+⋅=⨯=．评析本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题．拓展运用同样的思想方法，可以得到下面的定理1 对于函数)(||)(211n ni ia a a ax x f <⋯<<-=∑=，若n 是奇数，则当21+=n a x 时，)(x f 取得最小值∑∑-=+=-21123n t tnn j jaa ；若n 是偶数，则当],[122+∈n n a a x 时，)(x f 取得最小值∑∑=+=-2112n t tnn j jaa ．例1 求函数|10||7||3||4|-+-+-++=x x x x y 的最小值．解 4=n 为偶数，-4<3<7<10,∴当]7,3[∈x 时，y 取得最小值（7+10）-（-4+3）=18. 例2 求函数|10||5||3||6||7|y x x x x x =++++-+-+-的最小值．解 5=n 为奇数，-10<-5<3<6<7,∴当3=x 时，y 取得最小值（6+7）-（-10-5）=28.B A例3 已知,,x y R ∈且{1,3},y ∉求函数|16123||74||2||3||7|),(22+-++-+-+-++++=y y x y y x x x x y x f 的最小值．解 2(,)|(7)||(3)||2||(47)|f x y x x x x y y =--+--+-+--+2|(31216)|x y y +--+-，2247(2)33,y y y -+=-+≥ 161232-+-y y =}3,1{.44)2(32∉-≤---y y ， 2222312167.(247)(731216)41632y y y y y y y y ∴-+-≠-∴+-+---+-=-+ 1616)2(42≥+-=y ．故当且仅当x =-3且y =2时，),(y x f 取得最小值16．若定理1中的“12,,,n a a a ⋯”中有一组或几组相同的值，则定理仍然成立．但当n 为偶数且122+=n n a a 时，定理中的“122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”应该改为“2n a x =”．例4 求函数|3|2|2|2|1|-+-++=x x x y 的最小值．解已知函数就是|3||3||2||2||1|-+-+-+-++=x x x x x y ，n =5为奇数，12233-<=<=，y x 时，当2=∴取得最小值(33)(12)5+--+=.例5 求函数|5|4|3|3|1||2||10|-+-++++++=x x x x x y 的最小值．解 n =10为偶数，10213335555-<-<-<==<===．故当3x =时，y 取得最小值(354)(102133)30+⨯----++=．更一般地，还有下面的定理2 设函数1()||(,,1,2,,,)niiiii f x a x b a b R i n x R ==-∈=∈∑ ，则（1）当01>∑=ni ia时，)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）当01=∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{12(),(),,()n f b f b f b },最小值min{12(),(),,()n f b f b f b }．（3）当01<∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},但无最小值．证明不失一般性，设n b b b ≤⋯≤≤21，则-)(111b x b a x a n i ni ii i≤+∑∑==,)(x f = )1,,2,1,)(()(11111-⋯=≤≤---++==+==∑∑∑∑n i b x bb a b a x aai ini j jj ij j j ni j jij j,)(11nni ni ii ib x b a x a ≥-∑∑==,由此可见，函数)(x f 的图象是左右两侧两射线和中间的（n-1）条线段依次连结而成的“折线形”．(1)若01>∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向上无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最小值mi n{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）若01=∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向左右沿平行于x 轴方向无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},最小值min{)(),(),(21n b f b f b f ⋯}．（3）若01<∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点()1,1,()b f b 和点(),,()n n b f b 向下无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值{}12max (),(),,()n f b f b f b ,但无最小值．根据定理1，不难知道本赛题所求最小值为（1976+1977+…+2001）-（1949+1950+…+1974）=702（当n=1975时取得）．想一想下面的问题：假设有一座大楼，从第1949层到第2001层，每层指定1人集中到该楼第k 层（20011949≤≤k ）的会议室开会，为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小，求k 及最短路程（假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1）．这一问题与本赛题实质是否是同一问题？下面的问题供读者练习：1、求)(|1|2|1|2||)(R x x x x x f ∈-++-=的最小值．2、求()|26||33||816|f x x x x =-+---的最大值．3、求()|1||2||3||4||1998||1999|()f x x x x x x x x R =---+---+--+-∈ 的最小值．答案：1、-3 2、5 3、99928.解若}{n a 是等差数列, n a >0,则da a a a a a a a n n n n n n n n 11111-----=--=+(d N n n ,,2+∈≥是公差).由此，得666111222211123223321101010s =++++=++++<+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++=-+++++110101231121211101022326666 ()()()()66612213210101121101999⎡⎤=+-+-++--=+-+=⎢⎥⎣⎦ .又知110102232122110131211666-++++++>-++++> s =()199810126=+-.19991998<<∴s ，[]1998=s ，∴选B.评析 s 显然是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前610项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到111--=-+n n n n ，于是将n1变为nn +2，再放大为12-+n n ，或缩小为21n n++，便使问题获解.这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。

八年级数学(竞赛)因式分解

第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

2010年希望杯全国数学邀请赛八年级第1试试题及详细解答

2010年（第21届）“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试详细解答一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字母写在下面的表格内．1．下列图案都是由字母m 组合而成的，其中不是中心对称图形的是（）【解析】B ．因B 中5个”m ”分布在正五边形上，不是中心对称图形．故选B2．若230a a ≥≥，则（）AB ．1a ≥D ．01a <<【解析1】B ．（特殊值法）令0a =，则230a a ===；令110a =，则2311,1001000a a ==23a a >====,B.【解析2】B ．∵23a a ≥≥0，∴01a ≤≤≤事实上，当0a =或1a ==；当01a <<1132,a a ==如图所示，xy a =（01a <<）在实数集R 上是减函数，∵1123>，∴1132a a <故选B.3有意义，则x 的取值范围是（）A ．2010x ≤B ．2010x ≤，且2009x ≠±C ．2010x ≤且2009x ≠D ．2010x ≤，且2009x ≠-【解析】B ．由已知得2010020090x x -≥⎧⎪⎨-≠⎪⎩，解得2010x ≤，且2009x ≠±．故选B.4．正整数a b c ，，是等腰三角形三边的长，并且24a bc b ca +++=，则这样的三角形有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】C ．()()124a bc b ca a b c +++=++= ∵a b c +>，,,a b c 均为正整数，∴12a b c ++≥≥∴1c +只能取2，3，4．若12c +=，即1c =，则12a b +=，要使ABC ∆是等腰三角形只需6a b ==；若13c +=，即2c =，则8a b +=，同理4a b ==；若14c +=，即3c =，则6a b +=，同理3a b ==．综上，这样的等腰三角形有3个．故选C.5．顺次连接一个凸四边形各边的中点，得到一个菱形，则这个四边形一定是（） A ．任意的四边形 B．两条对角线等长的四边形 C ．矩形 D ．平行四边形【解析】B．因为顺次连接一个凸四边形各边的中点得到的四边形，每组对边都等于对应对角线长的一半．因此若得到的四边形为菱形，则这个四边形一定是两条对角线等长的四边形．故选B6．设p =a b c d ，，，是正实数，并且1a b c d +++=，则（）A ．5p >B ．5p <C ．4p <D ．5p =【解析1】（特殊值法）如令14a b c d====，则4p ==>=， 25P =>=，排除C 【解析2】A ．因01a <<，故23a a a >>，于是32371331331(1)a a a aa a a a +=+++>+++=+1a+1b+1c +1d >+,于是，根据同向不等式可以相加原理得 ()()()()11115p a b c d >+++++++=．即5p >,故选A.7．Given a b c ，， satisfy c b a << and 0ac <，then which one is not sure to be correct in the following inequalities ？（）A ．b c a a >B ．0b a c ->C ．22b ac c> D ．0a c ac -<(英汉词典：be sure to 确定；correct 正确的；inequality 不等式) 【解析】C ．∵a c >且0ac <，∴0a >，0c <，于是∵b c >，0a >，∴b c a a>； ∵b a <，0c <，∴0b a c ->；∵a c >，0ac <，∴0a cac-<；因此只有C 不一定成立． 8．某公司的员工分别住在A B C 、、三个小区，A 区住员工30人，B 区住员工15人，C 区住员工10人，三个小区在一条直线上，位置如图1所示，若公司的班车只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最短，那么停靠点的位置应在（）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A B C 、、区以外的一个位置【解析】A ．以A 区为原点，从A 区往C 区方向为正方向建立数轴，设停靠点的坐标为x ，那么所有员工步行到停靠点的路程总和为301510010300S x x x =+-+-，由绝对值函数的性质易知在图10x =处，该函数值最小．事实上，554500,(300)351500,(100300)54500(0100)554500,(0)x x x x S x x x x ->⎧⎪+≤≤⎪=⎨+≤<⎪⎪-+<⎩，显然，当0x =时，min 4500S =9．ABC △的内角A 和B 都是锐角，CD 是高，若2AD AC DB BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ABC △是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析1】当AC BC =时，AD BD =,满足题意，此时，ABC △是等腰三角形；当AC BC ≠时，若ABC △是直角三角形，则ACD CBD ∆∆∽有22,AC AD AB BC BD AB =⋅=⋅于是222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭,满足题意，故ABC △是等腰三角形或直角三角形. 【解析2】D ．∵222AC AC AD BC BC BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴cos cos ADAC A AC BD BC B BC==，又由正弦定理D 得sin sin AC B BC A =， ∴cos sin cos sin A BB A=，于是sin 2sin 2A B =，∴22A B =或021802A B =-,故A B =或90A B +=︒． 10．某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用（） A ．32秒 B ．38秒 C ．42秒 D ．48秒【解析1】C ．设自动扶梯的速度为a /米秒，人行走的速度为b /米秒，则24()56a b a +=，解得43b a =，56564243a a tb a ===（秒）.【解析2】C ．设若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用x 秒，则1112456x=+，解得42x =（秒）．【解析3】C ．（可理解为合工作问题111422456⎛⎫÷-=⎪⎝⎭（秒））. 二、A 组填空题（每小题4分，共40分．）11．四个多项式：①22a b -+；②22x y --；③22249x y z -；④4221625m n p -，其中不能用平方差公式分解的是_______________．（填写序号）【解析】②．由于①()()2222a b b a b a b a -+=-=+-；③()()2222249(7)77xy z x y z x y z x y z -=-=+-；④()()422222221625(4)(5)4545m n p m np m np m np -=-=+-．故填②12．若111111a b c b c d===---，，，则a 与d 的大小关系是a _______d ．（填“>”、“=”或“<”）【解析1】=．（特殊值法）如令12b =，则2,1,2a c d ==-=，于是a d =【解析2】=．1111111111111111111da d d d d d cd dd======--+----+----- 【解析3】=：1111111(1)111111c c a d d b c c cc--=====-=--=----- 13．分式方程222510111x x x x ++=--+的解是x =______________．【解析】2-．222510111x x x x ++=--+，()()225110x x x +++-=，22640x x ++=，2320x x ++=1x =-（舍去）或2x =-14．甲、乙两人从A 点同时同向出发沿400米的环形跑道跑步，过一段时间后，甲在跑道上离A 点200米处，而乙在离A 点不到100米处正向A 点跑去，若甲、乙两人的速度比是4：3，则此时乙至少跑了____________米．【解析1】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，题中所述情况是在开始跑步后t 时刻且此时刻甲、乙已经跑了1k 、2k 个整圈，则14400200m t k ⋅=⋅+，23400m t k x ⋅=⋅+（其中300400x <<）于是1240020040043k k x ++=，()121234002004003004001504x k k k k =+-=-+ ∵300400x <<，∴123685k k <-<，因此12684k k -=，即12324k k -=，由于12,k k 均为非负整数， 2k 随1k 的增大而增大,故当12k =时，2k 的最小值为1，此时350x =，乙跑了400350750+=（米）．【解析2】750．假设甲的速度是4m ，乙的速度是3m ，设甲已跑了x 个整圈，则400200400(1)30043400200400(1)40043x x m mx x m m +-+⎧>⎪⎪⎨+-+⎪<⎪⎩解得3522x <<由题意知x 为正整数，故2x = 于是乙跑了400220037504m m⨯+⋅=（米）. 15．已知等腰三角形三边的长分别是421156x x x -+-，，，则它的周长是_____________．【解析】12310(或填12.3)．①当421x x -=+时，1x =，此时三角形的三边长分别为2,2,9，矛盾； ②1156x x +=-时，2x =，此时三角形的三边长分别为6,3,3，矛盾；③当42156x x -=-时，1710x =，此时三角形的三边长分别为242724,,5105，周长为1231412.310x -==.16．若29453737a b =-=-，，则336a ab b -+=______________．【解析1】8-．∵294523737a b +=--=-，∴2b a =--，于是()()33336622a ab b a a a a -+=---+-- ()3321262a a a a =++-+()32326126128a a a a a a =++-+++8=-【解析2】8-．294523737a b +=--=-,则333366a ab b a b ab -+=+-=3()3()6a b ab a b ab +-+-3(2)3(2)68ab ab =--⨯--=-.17．直线59544y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为A B 、，则线段AB 上（包括端点A B 、）横坐标和纵坐标都是整数的点有_____________个．【解析1】5．59544y x =-即5495x y -=，于是y 必然整除5；另一方面()19,0A 、950,4B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴954y -≤≤0，于是y 的可能取值为20,15,10,5,0----对应的点均在线段AB 上．【解析2】5．()19,0A 、950,4B ⎛⎫-⎪⎝⎭，线段5955(19)444x y x --=-=（019x ≤≤）要求整点，只需19x -是4的倍数，于是190,4,8,12,16x -=，故线段AB 上共有5个整点： (15,5),(11,10),(7,15),(3,20),(19,0)----.18．已知关于x 的不等式()2132343a x a x --->-的解是1x >-，则a =_______________．【解析1】0．原不等式⇔231124433a x a x -⎛⎫--> ⎪⎝⎭232114343a x a -⎛⎫⎛⎫⇔->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24131a x a ⇔+>- ∴231141410a a a ⎧-=-⎪+⎨⎪+>⎩，解得43a =-（舍去）或0a =．【解析2】0.原不等式两边同乘以12-得，23914(2),a x a x --<--即2(14)31a x a +>-当140a +>即14a >-时，23141a x a ->+ ，故只需231141a a -=-+，解得43a =-（舍去）或0a =．19．当a 分别取2,1,0,1,2,3,,97-- 这100个数时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+有解的概率是_______________．【解析1】4950．2112(1)1232a x x x x +-=---+()()()2121(1)(2)(1)(2)x a x a x x x x -+-+⇔=----()134(1)(2)0a x a x x ⎧+=+⎪⇔⎨--≠⎪⎩∴当()1134a a +⋅=+或()1234a a +⋅=+以及()134a x a +=+无解时原方程无解，即2a =-或1a =-时原方程无解．因此方程有解的概率为4950．【解析1】4950．原方程两边同乘以(1)(2)x x --得,(2)(1)2(1)x a x a -+-=+,即 (1)34a x a +=+①,当10a +≠即1a ≠-时,方程①有解341a x a +=+,要使原分式方程有解,还需1x ≠,且2x ≠,即当1a ≠-且32a ≠-且2a ≠-原分式方程有解,故原方程有解的概率为4950． 20．十位数2010888abc 能被11整除，则三位数abc 最大是______________．（注：能被11整数的自然数的特点是：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差是11的整数倍）【解析】990．因()()218800811b a c k ++++-++++=，即11()11b a c k +--=，（k 为整数） ∴b a c --能整除11，∴而19,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，9abc bc ≤，此时9b c --能整除11， ∴0b a c --=，即b a c =+，三位数abc 最大是990．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．一个矩形的长与宽是两个不相等的整数，它的周长与面积的数值相等，那么这个矩形的长与宽分别是______________和______________．【解析】6，3．设长和宽分别为x 、y ，不妨设x y >则()2x y xy +=，即()()224x y --= 依题意,x y 都是正整数，而x y >，∴2421x y -=⎧⎨-=⎩ 解得63x y =⎧⎨=⎩，于是长和宽分别为6和3．22．用[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]414253=-=-.，.．则方程[]6370x x -+=的解是______________或______________．【解析1】196x =-；83x =-，原方程可化为 []673x x +=，设673x t +=，（t 为整数）376t x -=，于是376t t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由37016t t -≤-<，解得13733t -<≤-，又t 为整数 4t =-或3t =-，即6743x +=-或6733x +=-，解得196x =-或83x =-．经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解．【解析2】196x =-；83x =-．∵[]673x x +=，而[]1x x x -<≤，∴()31673x x x -<+≤，解得10733x <-≤-．因此13677x -<+≤-，∴67x +=12-或9-，解得196x =-或83x =-．经检验，196x =-与83x =-均为原方程的解． 23．As in figure 2，in a quadrilateral ABCD ，we have its diagonal AC bisectsDAB ∠，and 21910AB AD BC DC ====，，，then the distance from point C to line ABis______________，and the length of AC is________________．（英汉词典：quadrilateral 四边形：bisect 平分）【解析1】8；17．如图1，过D 作DF AC ⊥，交AB 于E ，交AC 于F ，连接CE ，过C 作CH AB ⊥于H ,则ADF AEF ∆≌,从而=9AD AE =，=10=CD CE BC =,12BE AB AE =-=，6EH BH ==,8CH ==,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CH =． 9615AH AE EH =+=+=,17AC ==．【解析2】8；17．如图2，在AB 上截取10AE AD ==,过C 作CF AB ⊥于F ,则ADC AEC ∆∆≌,从而=10=CD CE BC=，12BE AB AE =-=，6EF BF ==,8CF =,因此等腰CEB ∆底边BC 上的高为8CF =．9615AF AE EF =+=+=,17AC =．【解析3】8；17．如图3，过C 作CE AB ⊥于E ，过C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于F ,则CE CF =，于是BCE DCF ∆∆≌,ACE ACF ∆∆≌有BE DF =,AE AF =,设BE x =，则219x x -=+，解得6x =，即6BE =,15AE =,故8CE =, 17AC =.24．如图3，Rt ABC △位于第一象限内，A 点的坐标为（1，1），两条直角边AB AC 、分别平行于x 轴、y 轴，43AB AC ==，，若反比例函数(0)ky k x =≠的图象与Rt ABC △有交点，则k 的最大值是____________，最小值是______________．【解析】36148；1．当反比例函数的图象过A 点时k 最小，为1；当反比例函数的图象与BC 相切时k 最大，此时∵()5,1B ，()1,4C ，∴直线BC 的方程为31944y x =-+,由31944y x k y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2319044x x k -+-=，依题意得其判别式3613016k ∆=-=，解得36148k =．事实上，反比例函数(0)ky k x =≠图象与Rt ABC △有交点时，k 的取值范围是361148k ≤≤【评注】本题k 的最大值的确定容易出错,误认为k 的最大值是直线BC （直线BC 的方程为31944y x =-+）与反比例函数(0)ky k x=≠图象的对称轴y x =的交点处取得，此时由31944y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得197197x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而19193617749k xy ==⨯=，其实此时反比例函数(0)k y k x =≠图象与直线BC 有两个交点（由3194436149y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得方程2249349191940x x ⨯-⨯+⨯=，其判别式为222222491944931944919(4943)49190∆=⨯-⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯>可得）并不是k 的最大值,只有当反比例函数的图象与BC 相切时k 才取到最大值.25．设011n A A A -，，，依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形，如四边形3446A A A A 、七边形2101234n n A A A A A A A --等，如果所有这样的凸多边形的面积之和是231，那么n 的最大值是_________________，此时正n 边形的面积是_____________．【解析】23；1．可由正四边形，正五边形，正六边形等归纳出正n 边形的一般规律：设正n 边形的面积为n S . （1）对于正四边形0123A A A A ：共有4(43)22⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有4个：012123234312,,,A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有1个：0123A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有4(43)415212⨯-+==⨯+个，其中0123012234123312,,,A A A A n A A A A A A n A A A A A A n S S S S S S S S ∆∆∆∆=+=+=正四边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为4(43)2312n n n n S S S S ⨯-⎡⎤+==+⋅⎢⎥⎣⎦. （2）对于正五边形01234A A A A A ：共有5(53)52⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有5个：012123234340401,,,,A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆；考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有5个：四边形012312342340,,A A A A A A A A A A A A 3401,A A A A ,4012A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有1个01234A A A A A ，故所有满足条件的凸边形共有5(53)25111212⨯-⨯+==⨯+个，其中01234,A A A A A n S S =正五边形 0122340A A A A A A A n S S S ∆+=,1233401,A A A A A A A n S S S ∆+=2344012A A A A A A A n S S S ∆+=,3400123,A A A A A A A n S S S ∆∆+= 4011234A A A A A A A n S S S ∆+=,故所有满足条件的凸边形的面积的和为5(53)612n n S S ⨯-⎡⎤=+⋅⎢⎥⎣⎦. （3）对于正六边形012345A A A A A A ：共有6(63)92⨯-=条对角线，考虑由连续的3个顶点连成的三角形（凸多边形）有6个：012123234345450501,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A ∆∆∆∆∆∆;考虑由连续的4个顶点连成的四边形（凸多边形）有6个：四边01231234,A A A A A A A A 23453450,,A A A A A A A A ,45015012,A A A A A A A A ，考虑由连续的5个顶点连成的五边形（凸多边形）有6个01234A A A A A ， 1234523450345014501251234,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ;考虑由连续的6个顶点连成的六边形（凸多边形）有1个012345A A A A A A ,故所有满足条件的凸边形共有63119⨯+=6(63)212⨯-=⨯+ ,其中0122345012334501,,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S ∆∆+=+=23445012A A A A A A A A n S S S ∆+=,34550123A A A A A A A A n S S S ∆∆+=,45001234A A A A A A A A n S S S ∆+=,50112350A A A A A A A A n S S S ∆+=;01233450A A A A A A A A n S S S +=,1234450123455012,A A A A A A A A n A A A A A A A A n S S S S S S +=+=,012345,A A A A A A n S S =正六边形故所有满足条件的凸边形的面积的和为6(63)631012n n n n n S S S S S ⨯-⎡⎤++==+⋅⎢⎥⎣⎦.由以上分析可知,对于正n 边形,设正n 边形的面积为n S ，则正n 边形的对角线共有()132n n -条，由连续的若干个顶点连成的凸多边形共有(3)212n n -⎡⎤⨯+⎢⎥⎣⎦个，它们的面积之和为(3)12n n n S -⎡⎤+⋅⎢⎥⎣⎦于是(3)12312n n n S -⎡⎤+⋅=⎢⎥⎣⎦，[](3)2462n n n S -+=,即()1(2)46223711n n n S --==⨯⨯⨯∴811n n S =⎧⎨=⎩或231nn S =⎧⎨=⎩，于是n 的最大值max 23n =，此时正n 边形的面积是1．。

15到20届希望杯初二第一试试题及培训题

第十五届希望杯初二第1试试题一、选择题:（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1、小伟自制了一个孔成像演示仪，如图1所示，在一个圆纸筒的两端分别用半秀明纸和黑纸封住，并用针在黑纸的中心刺出一个小孔。

小伟将有黑纸的一端正对着竖直放置的“”形状的光源，则他在半透明纸上观察到的像的形状是( )（A）（B）（C）（D）2、代数式的化简结果是( )（A）（B）（C）（D）3、已知是实数，且，那么( )（A）31（B）21（C）13（D）13或21或314、已知（＞）是两个任意质数，那么下列四个分数( )①；②；③；④中总是最简分数的有( )（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、Given are real numbers, and , then the valueof is ( )（A）4（B）6（C）3（D）4or66、某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印制一套需增加成本20元。

如果每套定价100元，卖出后有3成给承销商，出版社要盈利10%，那么该书至少应发行（精确到千位）( )（A）2千套（B）3千套（C）4千套（D）5千套7、△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C，满足3∠A＞5∠B，3∠C≤∠B，则这个三角形是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等边三角形8、如图2，正方形ABCD的面积为256，点E在AD上，点F在AB的延长线上，EC⊥FC，△CEF的面积是200，则BF的长是( )（A）15（B）12（C）11（D）109、如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，则( )（A）（B）（C）（D）10、表示不大于的最大整数，如[3.15]=3，[－2.7]=－3，[4]=4，则( )( )（A）1001（B）2003（C）2004（D）1002二、A组填空题（每小题4分，共40分。

2013年第24届希望杯初二第1试试题及答案（word版）

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试试题2013年3月17日上午8:30至10:00 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．有下列五个等式：（）①13+=x y ；②122-=x y ；③x y =；④x y =；⑤x y =；其中，表示“y 是x 的函数”的有（）（A ）1个．个．（B ）2个．个．（C ）3个．个．（D ）4个．个．2．点()m ，7-和点()n ，8-都在直线62--=x y 上，则m 和n 的大小关系是（的大小关系是（）（A ）n m >．（B ）n m <．（C ）n m =．（D ）不能确定的．）不能确定的． 3．下列命题中，正确的是（．下列命题中，正确的是（）（A ）若0>a ，则aa 1>．（B ）若2a a >，则1>a ．（C ）若10<<a ，则22a a >．（D ）若a a =，则0>a ．4．若定义“⊙”：a ⊙b ab =，如3⊙283==2，则3⊙21等于（等于（）（A ）81．（B ）8．（C ）61．（D ）23． 5．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（．以下关于平行四边形的判定中，不正确的是（）（A ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（B ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（C ）对角线相等的四边形是平行四边形．）对角线相等的四边形是平行四边形．（D ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．6．用一根长为a ，并且没有伸缩性的线围成面积为S 的等边三角形．在这个等边三角形内任取一点P ，则点P 到等边三角形三条边的距离之和为（到等边三角形三条边的距离之和为（）（A ）a S 2．（B ）a S 4．（C ）a S 6．（D ）aS8．7．若199199<<-x ，且100-=x m 的值为整数，则m 的值有（的值有（）（A ）100个．个．（B ）101个．个．（C ）201个．个．（D ）203个．个． 8．已知32+=x ，且()86148+=+y x x ，则y 的值是（的值是（）（A ）10．（B ）15．（C ）20．（D ）30．9．If a right triangle has edge lengths b a -，a ，and b a +（a and b are both positive integers ），then the perimeter of the triangle might be （）（A ）60．（B ）70．（C ）80．（D ）90．（英语小词典：right triangle 直角三角形；positive integers 正整数；perimeter 周长）周长）10．小王与小李约定下午3点在学校门口见面，为此，他们在早上8点将自己的手表对准，小王于下午3点到达学校门口，可是小李还没到，原来小李的手表比正确时间每小时慢4分钟．如果小李按他自己的手表在3点到达，则小王还需要等（则小王还需要等（）（正确时间）（正确时间）（A ）26分钟．分钟．（B ）28分钟．分钟．（C ）30分钟．分钟．（D ）32分钟．二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．若125512=+x ，则()=-+xx 20122 ．12．计算：=------1222222201120122013．13．用边长为1cm 的小正方形在桌面上摆放成如图1所示的塔状图形，则第n 次所摆图形的周长是次所摆图形的周长是 cm ．（用关于n 的代数式表示）的代数式表示） 14．有两个函数b ax y +=和5+=cx y ，学生甲求出它们图象的交点的正确坐标()23-，，学生乙因抄错c 而得出交点坐标÷øöçèæ4143，，则函数b ax y +=的解析式是的解析式是．15．如图2，三个正比例函数的图象分别对应解析式：①ax y =，②bx y =，③cx y =，若将c b a ，，从小到大排列，则应当是大排列，则应当是．16．如图3，在正方形ABCD 中，E 、G 、F 分别是AB 、AD 、BC 边上的点，若BE =2AE ，AG =1，BF =2，°=Ð90GEF ，则GF 的长是的长是． 17．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，23-x ，12-x ．若这两个三角形全等，则x 的值是的值是．18．有甲、乙、丙三种商品，购甲3件，乙7件，丙1件，需3.15元；购甲4件，乙10件，丙1件，需4.20元．若购甲、乙、丙各1件，则需件，则需元．元． 19．设a ，b 是实数，且ab ba--=++-++11111，则ba ab +++++++1111的值时的值时．20．将不大于20的正偶数分成两组，使得第一组中数的乘积能被第二组中数的乘积整除，则商的最小值是中数的乘积整除，则商的最小值是．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．数学老师用10道题作为一次课堂练习，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图，如图4所示．观察此图可知，每位同学答对的题的个数组成的样本众数是个数组成的样本众数是，中位数是，中位数是．22．方程312=+-x x 的解是的解是或． 23．若关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 有增根，则=m 或． 24．Let 20131=÷øöçèæ+x y x ，x and y are both positive integers ，then the largest value of y x + is ，the smallest value of y x + is ．（英语小词典：value 值）值）25．已知00¹³³=++a c b a c b a ，，，则ac的最大值是的最大值是，最小值是，最小值是．附加题（每小题10分，共20分）1．A 商品的单价是50元，B 商品的单价是60元，几所学校各付款1220元购买了这两种商品，任意2所学校购买的A 商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有商品的数量都不同．则参加这次采购的学校最多有所．所． 2．十进制中，右边的数码比左边的数码大的数叫做上升数，如134，258．那么三位数中的上升数有那么三位数中的上升数有个；在三位上升数中，3的倍数有的倍数有个．个．答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A C C B B A C 题号 11 12 13 1415 1617 18 19 20 答案-114n1+-=x yc<a<b1031.05 3 7 题号 21 22 24 25 答案 8；9 2；34-2013；50721-；2-题号附加题1附加题2 答案 484；30。

第九届“新希望杯”全国数学大赛八年级试题（含解答）

第九届“新希望杯”全国数学⼤赛⼋年级试题（含解答）第九届“新希望杯”全国数学⼤赛⼋年级试题（B 卷）（时间：2013年3⽉24⽇满分120分）⼀、选择题（每⼩题4分，共32分） 1. 下列⼏种说法中：（1）⽆理数都是⽆限⼩数；（2）带根号的数是⽆理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）⽆理数包括正⽆理数、零和负⽆理数.正确的有（） A.(1) (2) (3) (4) B.(2) (3) C.(1) (4) D.只有（1）2. 2．已知⼀个等腰三⾓形的⼀条边长为8cm ，其中⼀个外⾓等于1200，则它的周长为（）A.16cmB.18cmC.24cmD.条件不⾜，⽆法计算3. 把⼀个正⽅形如图对折三次后沿虚线剪下两个⾓，则展开余下部分所得的图形是（）DCB A4. 已知a 、b 、c 分别是?ABC 的三边，则()2222224a b c a b +--为（）A 正数B 负数C 零D ⽆法确定5. =（）A -2B 2C -D 6. ⼀次函数y kx b =+与正⽐例函数y kbx =在同⼀坐标系中的图象可能为（）镜⾯合同三⾓形B'B真正合同三⾓形C'B CDCBA7. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC ，点F 为AB 的中点，连结EF ，则下列结论中，⼀定成⽴的是（）A EF=BEB BF=BEC BC=DED AD+BC=2EF （第7题图）8. 如图，已知?ABC 为等腰三⾓形，AB=AC ，F 为AC 上⼀点，点D 为BC 延长线上⼀点，点E 为AB 延长线上⼀点，EF 与BC 相交于点G ，如果∠ABC=2∠D ，∠CAD= ∠BAC ，BE=CF ，那么下列说法中，正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个⼆、填空题（每⼩题5分，共40分）9.()44310?= （结果⽤科学计数法表⽰）10. 已知533x y z ++=，2859x y z ++=，则x y z ++的平⽅根为 . 11. 全等三⾓形也叫做合同三⾓形，平⾯内的合同三⾓形分为真正合同三⾓形和镜⾯合同三⾓形.假如?ABC 和?'''A B C 是全等三⾓形，且点A 与点'A 对应，点B 与点'B 对应，点C 与点'C 对应.如下图，当沿周界A →B →C →A 及''''A B C A →→→环绕时，若运动⽅向相同，则称它们是真正合同三⾓形；若运动⽅向相反，则称它们是镜⾯合同三⾓形.下列各组合同三⾓形中，属于镜⾯合同三⾓形的有。

希望杯第8届八年级第1试及答案

希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题一、选择题:1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是［］A．（x＋1）（x－1）＝x2－1. B．（a－b）（m－n）＝（b－a）（n－m）C．ab－a－b＋1＝（a－1）（b－1）.2．关于x的方程（5－2a）x＝－2的根是负数，那么a所能取的最大整数是［］A．3 B．2. C．1 D．03．直角三角形的两个锐角的外角平分线所夹的锐角的大小是［］A．30°B．45°. C．60°. D．15°或75°4．P是线段AB上的一点，AB＝1，以AP和BP为边分别作两个正方形,当这两个正方形的面积的差的绝对值为时,AP的长是[ ]A.;B.;C.;D..5.若a使分式没有意义,那么a的值应是[ ]A.0;B.;C.;D..6．已知四个代数式：①m＋n；②m－n；③2m＋n；④2m－n．当用2m2n乘以上述四个式中的两个时，便得到多项式4m4n－2m3n2－2m2n3，那么这两个式子的编号是［］A．①与② B．①与③. C．②与③D．③与④7．△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的长l的取值范围是［］A．1＜l＜4 B．3＜l＜5. C．2＜l＜3 D．0＜l＜58．A、B、C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则［］A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆周上B．可以画一个圆，使A、B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A、C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A、C在圆周上，B在圆内9．已知：m、n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是［］A．70 B．72. C．77 D．8410．甲、乙两种茶叶，以x∶y（重量比）相混合制成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10％，乙种茶叶的价格下调了10％，但混合茶的价格不变，则x∶y等于［］A．1∶1 B．5∶4. C．4∶5 D．5∶6二、A组填空题:11.已知x0,化简所得的结果是____________.12．五个连续奇数的平均数是1997，那么其中最大数的平方减去最小数的平方等于___．13．现有8根木棍，它们的长分别是1，2，3，4，5，6，7，8，若从8根木棍中抽取3根拼三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2（以上单位：厘米）．那么可以拼成的不同的三角形的种数为______．14．如图1，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD＝15，AC＝30，则AB 的长为______．15.已知,那么的值是________.16．已知：a＝－2000，b＝1997，c＝－1995，那么a2＋b2＋c2＋ab＋bc－ac的值是______．17．如图2，△ABC中，∠1＝∠2，∠EDC＝∠BAC，AE＝AF，∠B＝60°，则图中的线段AF、BF、AE、EC、AD、BD、DC、DF中与DE的长相等的线段有______条．18．如图3，∠A＝60°，线段BP、BE把∠ABC三等分，线段CP、CE把∠ACB三等分，则∠BPE的大小是______．19. 已知,那么的值是______．20．某仓库贮存水果a吨，为保证每天供应市场20吨，则需每天从外地调入b吨水果，现实际调入量每天多了2吨，而市场每天供应量不变，那么比原来多供应的天数是______（用a、b表示）．三、B组填空题21．若｜a｜－｜b｜＝1，且3｜a｜＝4｜b｜，则在数轴上表示a、b两数对应的点的距离是______或______．22．△ABC的周长为19，且满足a＝b－1，c＝b＋2，则a、b、c的长分别为a＝______，b ＝______，c＝______．23.x,y为实数,且,则x=________,y=_____.24．如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：其中有两个式子是正确的，它们是______和______．25.已知abc0,且,则的值是_______或_________.答案·提示一、选择题提示：1．根据因式分解的概念，选（C）．2．由题意，方程的根为负，即∴ a所能取的最大整数是2，选（B）．3．两个外角分别等于其不相邻的锐角与直角之和，因此两个外角之和等于270°．所以选（B）．4．两正方形的面积差＝AP2－（1－AP）2＝2AP－16．对多项式做因式分解：原式＝2m2n（2m2－mn－n2）＝2m2n（2m＋n）（m－n），故选（C）．7．如图5，延长AD到E，使DE＝AD，连接EC，△DEC与△ABD全等，∴ EC＝AB＝5．在△AEC中，AC＋EC＞AE，也就是3＋5＞2l，即l＜4．AC＋AE＞EC，即3＋2l＞5，∴ l＞1．因此有1＜l＜4．故选（A）．8．由题意，A、B、C三点依次在同一直线上．排除（A），且（B）、（C）均不可能成立，选（D）．如果选（A），只能n＝7，m＝10，与题中等式相驳．如果选（B），72＝8×9或6×12，与题中不等式相驳．如果选（C），77＝11×7，也与题中等式相驳，只有选（D）正确．10．由题意有50x＋40y＝50(1＋10％)x＋40(1－10％)y二、A组填空题提示：12：由题意可知这五个奇数是：1993，1995，1997，1999和2001．20012－19932＝（2001＋1993）（2001－1993）＝3994×8＝31952．13：三角形其他两边可以是：7和4、7和3、7和2、6和3，可拼成四种不同的三角形．因为，7＋4＝11＞8且满足7－4＝3＞2；7＋3＝10＞8且满足7－3＝4＞2；7＋2＝9＞8且满足7－2＝5＞2；6＋3＝9＞8且满足6－3＝3＞2．14．如图6,作DE⊥AB,则△ABC≌△DBE，在直角△DBE中，BD2＝DE2＋BE2即（2y－15）2＝y2＋152化简得到 y（y－20）＝0，∴ y＝20．AB＝AE＋BE＝30＋20＝50．16．(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a－c)2＝a2＋2ab＋b2＋b2＋2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝2(a2＋b2＋c2＋ab＋bc－ac)将a、b、c的值代入(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a－c)2＝(－3)2＋(2)2＋(－5)2＝38．∴原式＝19．17．连接FE交AD于O，△AFE为等腰三角形．∵∠1＝∠2，∴AO⊥EF，且FO＝OE，得到DF＝DE．∵∠EDC＝∠BAC，∴△ABC≌△EDC，∵∠ABC＝60°，∴∠DEC＝60°，∠AED＝120°，则∠AFD＝120°，∴△FBD为等边三角形．∴BF＝BD＝DF＝DE．因此，与DE的长相等的线段有3条．（请注意：当∠BAC＝60°时，除了AD外的其他7条线段均与DE的长度相等．）17解：连接FE交AD于O，△AFE为等腰三角形．∵∠1=∠2，∴AO⊥EF，且FO=OE，得到DF=DE．∵∠EDC=∠BAC，∴△ABC∽△EDC，∵∠ABC=60°，∴∠DEC=60°，∠AED=120°，则∠AFD=120°，∴△FBD为等边三角形．∴BF=BD=DF=DE．因此，与DE的长相等的线段有3条．（请注意：当∠BAC=60°时，除了AD外的其他7条线段均与DE的长度相等）故答案为：3．18．在△BPC中，∵BE平分∠CBP，CE平分∠BCP，∴PE是∠BPC的平分线．∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝120°．b(a2＋b2)＋a(a2＋b2)＋2(a＋b)ab＝0，a2b＋b3＋a3＋ab2＋2a2b＋2ab2＝0．20．设原来供应x天，现在供应y天．三、B组填空题提示：21．如图7，由题意｜a｜＝1＋｜b｜，∴3｜a｜＝3＋3｜b｜＝4｜b｜，∴｜b｜＝3，b＝±3．｜a｜＝1＋｜b｜＝4，∴a＝±4．22．将a＝b－1，c＝b＋2代入a＋b＋c＝19，得b＝6，则a＝5，c＝8．当b＋c＝-a,＋b＝-c,a＋c＝-b时,当b＝c,a＝b,a＝c即a＝b＝c时，。

2013数学希望杯考前必读：考试时间、试题难度、最新变化

希望杯考前必读：考试时间、试题难度、最新变化一、希望杯的来历“希望杯”全名是“希望杯全国数学邀请赛”，自1990年以来，已经连续举行了二十三届。

23年来，主办单位始终坚持比赛面向多数学校、多数学生，从命题、评奖到组织工作的每个环节，都围绕着一个宗旨：激发广大中学生学习的兴趣，培养孩子们的自信，不断提高孩子们的能力和素质，受到广大师生的欢迎。

二、哪些人可以报名参加“希望杯”全国数学邀请赛？初高中一、二年级学生和小学四、五、六年级学生。

三、希望杯全国数学邀请赛多长时间举行一次？每年举行一次，视为一届。

每次举行两试，三月中旬第1试，四月中旬第2试。

2013年考试时间：一试：3月17日8：30-10 : 00；二试：4月14日9 : 00-11：00。

全国统一时间开始和结束。

四、希望杯全国数学邀请赛怎样评奖？(1)从国情出发的指导思想——充分考虑到地区之间、学校之间在生源、师资、设施、信息的掌握等方面的差异，对边远地区或条件较差的学校在二、三等奖的评定上，不与文化教育发达地区拉平，保证这些地区和学校有相应的获奖比例。

任何一个学生群体中，总有相对优秀的。

这样做，既能使数学成绩优异的学生崭露头角，又能使一般学生看到自己在潜在能力，树立自信，从而激发学习的兴趣和进取精神。

(2)合理的比例——中学参赛人数的五分之一为优胜，进入第二试；进入第二试的选手将有不少于六分之一的人获得一、二、三等奖，分别被授予金、银、铜奖牌。

五、希望杯试题难度希望杯全国数学邀请赛的试题内容不超出现行数学教学大纲，不超出教学进度，贴近现行的数学课本，源于课本，高于课本。

题目活而不难，巧而不偏;既大众化又富于思考性和启发性。

试题力求体现科学思维之美，寓科学于趣味之中，将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来。

六、特别注意！今年，希望杯与以往发生了不小的变化，了解这些变化，对于我们的备考，会有不小的指导作用。

现列出以供同学们参考。

①获奖比例增大。

希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

历届(1-24)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛（第1-24届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 015-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 021-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 028-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 033-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 042-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 049-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 056-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 062-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ........................................... 069-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 076-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 085-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题............................................. 90-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................. 98-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 105-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 113-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 122-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 129-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 142-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 149-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 153-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 157-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 163-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 167-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 174-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 178-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (182)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (183)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (183)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题 ................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题 ................................... 270-27323.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题 ................................... 270-273 23.希望杯第二十四届（2013年）初中一年级第二试试题 ................................... 274-281 23.希望杯第二十四届（2013年）初中一年级第二试试题 ................................... 274-281希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a ，b 都代表有理数，并且a ＋b=0，那么 ( )A ．a ，b 都是0．B ．a ，b 之一是0．C ．a ，b 互为相反数．D ．a ，b 互为倒数．2．下面的说法中正确的是 ( )A ．单项式与单项式的和是单项式．B ．单项式与单项式的和是多项式．C ．多项式与多项式的和是多项式．D ．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数． B ．没有最小的正有理数．C ．没有最大的负整数．D ．没有最大的非负数．4．如果a ，b 代表有理数，并且a ＋b 的值大于a －b 的值，那么( ) A ．a ，b 同号． B ．a ，b 异号．C ．a ＞0． D ．b ＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( ) A ．2个． B ．3个．C ．4个． D ．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A ．0个．B ．1个．C ．2个．D ．3个．7．a 代表有理数，那么，a 和－a 的大小关系是 ( )A ．a 大于－a ．B ．a 小于－a ．C ．a 大于－a 或a 小于－a ．D ．a 不一定大于－a ．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A ．一样多．B ．多了．C ．少了．D ．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A ．增多．B ．减少．C ．不变．D ．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______．3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m 的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y 的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2．计算：-32÷6×16=_______. 3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5．计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

第20届希望杯初二第1试试题及答案

初二年级第1试一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标，用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A ．64.8︒B ．57.6︒C ．48︒D ．16︒2．如图1，点B 在反比例函数k y x=的图像上，从点B 分别作x 轴、y轴的垂线，垂足分别是A ，C ．若ABC △的面积是4，则反比例函数的解析式是（） A ．8y x =-B ．8y x =C ．4yx=-D ．4yx=3．如果22a ab b ++=，且b 是有理数，那么（）A ．a 是整数B ．a 是有理数C ．a 是无理数D ．a 可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有01234A A A A A ，，，，等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如3A ）的复印纸在长的方向对折后就得到两张下一个型号（得到4A ）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A ．1.414:1B ．2:1C ．1:0.618D ．1.732:15．The number of integer solutions for the system of inequalities 2321x a x -⎧⎨->-⎩，≥0about x is图1yxO CBAjust 6，then the range of value for real number ais （）A ． 2.52a -<-≤B ． 2.52a --≤≤C ．54a -<-≤D ．54a --≤≤（英汉词典：integer solution 整数解，system of inequalities 不等式组，the range of value取值范围）6．若分式232x x --的值是负数，则x 的取值范围是（） A ．223x <<B ．23x >或2x <- C ．22x -<<且23x ≠D ．223x <<或2x <-7．在100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数，也不是完全立方数的数有（）A ．890个B ．884个C ．874个D ．864个8．如图2，在正方形ABC D中，E 是D C 的中点，点F 在BC 上，E AF D A E ∠=∠，则下列结论中正确的（）A ．EAF FAB∠=∠B ．13FC BC=C ．AF AE FC =+D ．AFBC FC=+9．计算：()()233211471147++-，结果等于（） A ．58B ．387C ．247D ．32710．已知在代数式2a bx cx ++中，a b c ，，都是整数，当3x =时，该式的值是2008；当7x =时，该式的值是2009，这样的代数式有（） A ．0个B ．1个C ．10个D ．无穷多个二、A 组填空题11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是________________．图2F E DCBA12．若2145212x x +-=-，则2645x x -+的值等于______________．13．不等式12x x->的最大整数解是_______________．14．已知m 是整数，以4521m m +-，，20m -这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有__________________个． 15．当x 依次取1，2，3，…，2009，11112342009 ，，，，时，代数式221xx+的值的和等于___________． 16．由一次函数22y x y x =+=-+，和x 轴围成的三角形与圆心在点(11)，、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于_____________． 17．在R t ABC △中，90C ∠=︒，斜边AB上的高为h ，则两条直角边的和a b+与斜边及其高的和c h+的大小关系是a b +___________c h +.（填“）”、“〈”或“=”）18．Figure 3 is composed of squareABC Dand triangleBEC，where BEC ∠ is a right angle，Suppose the lengthof C Eis a ，and the length of BEis b ，then the distance between point Aand lineC Eequals to _______________．（英汉词典：be composed of 由……组成，right angle 直角，length 长度，distance 距离） 19．如图4，在ABC △中，A BB C>，BD 平分ABC ∠，若BD 将ABC△的周长分为4：3的两部分，则ABD △和D B C △的面积之比等于_____________．20．将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不相同．若将()1n +个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能够使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不相同．则整数n 的最大值等于_____________，最小值等于_______________. 三、B 组填空题EDCBAFigure 3图4D CBA21．如果自然数a 和()b a b >的和、差、积、商相加得27，那么a =______________，b=____________．（拟题：李国威上海市青浦区教师进修学院 201700）22．若a b c b cc aa b==+++，则223a b c a b c +++-=_____________或______________．23．若以x 为未知数的方程212(1)1232aa x xx x +-=---+无解，则a =__________或___________或________________．24．对于正整数k ，记直线111k yx k k =-+++与坐标轴所围成的直角三角形的面积为k S ，则kS =___________，1234S S S S +++=___________________．25．将1111234100，，，，这99个分数化成小数，则其中的有限小数有____________个，纯循环小数有________________个（纯循环小数，是从小数点后第一位开始循环的小数）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACAADCDBA提示1．周角为360︒，对应全体学生，则表示视力达标的扇形的圆心角为836057.650⨯︒=︒，选B ．2．点()B x y ，在第四象限，所以00x y ><，，且满足k y x=，即xy k =<，ABC△的面积12ABCS xy =，△由已知得1482xy xy ==，，则8k xy ==-，所以批比例函数的解析式是8y x =-，选A ．3．由题目条件得()()()()()22221312221212121bb b b b a b b b b ---+-===-++-=()2221232121b b b b +---，因为b 是有理数，则2321bb -和22121b b +-也都是有理数，而2是无理数，所以a 是无理数．选C ．4．设3A 型号的复印纸长为x ，宽为y ，对折后得到4A 型号的复印纸长为y ，宽为2x，由题意得2x y x y=，即222x y=，所以 :2:1 1.414:1x y =≈，选A5．译文：关于x 的不等式组20321x a x -⎧⎨->-⎩，≥的整数解恰好有6个，那么实数a 的取值范围是（）A ． 2.52a -<-≤B ． 2.52a --≤≤C ．54a -<-≤D ．32a -<-≤解解20x a -，≥得2x a ≥；解321x ->-，得2x <，所以不等式组的解是22a x <≤，由题意知不等式组恰好有6个整数解，所以这6个整数解应为 -4，-3，-2，-1，0，1，所以 524a -<-≤，解得 2.52a -<-≤，选A ．6．由题意，分式232x x --的值为负，则2x -和32x -异号．当320x ->，即23x >时，应当有202x x -<<，，解得22x -<<，又23x >，所以 223x <<；当320x -<，即23x <时，应当有202x x ->>，，解得2x >或2x <-，又23x <，所以2x <-．综上可知，x 的取值是范围是223x <<或2x <-，选D ．7．解法1 用()A n 表示不大于n 的非零自然数中既不是完全平方数也不是完全立方数的数的个数．由于36999104100010310004<<<=<<，，，所以 (99)99(942)88A =-+-=．由于3631100032100010310004<<=<<，，，所以 (1000)1000(31103)962A =-+-=故有(1000)(99)96288874A A -=-=．即在100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有874个，选C ．解法2 因为2221001031100032=<<，，所以在100到1000之间的完全平方数有222210111231 ，，，，，共22个，又因为33341005100010<<=，，所以在100到1000之间的完全立方数有333356910 ，，，，共6个，其中3629327==即是完全平方米，也是完全立方数．所以，在100到1000的整数中（含100和1000），既不是完全平方数也不是完全立方数的数有901-22-6+1=874（个），选C ．8．如图5所示，从点E 作EG AF⊥，垂足为G ．在R t D AE △和R t G AE△中，AE AE DAE EAG=∠=∠，，所以 D AE G AE≅△△，所以AG AD BC EG ED EC====，，AEDAEG∠=∠．GABCDE F图5又在R t EFG △和R t EFC △中，EF EF EG EC ==，，所以 EFG EFC≅△△，FC GF FEG FEC =∠=∠，，所以 AF AG G F BC FC=+=+，D 选项正确．又AEAD BC>=，可知AFAE FC<+，C 选项错误．由AED AEG FEGFEC∠=∠∠=∠，，且这四个角之和等于180︒，所以 90AEF ∠=︒．令1AB =，在R t AFE △中，22254AE AD DE =+=，所以 225(1)4G F EF-=+， ①在R t EFC △中，222214EFEC FC FC=+=+ ②①+②，并由G FFC=得14FC =，故14FC BC =，B 选项错误．据此可知FAB DAE FAB EAF ∠≠∠∠≠∠，，A 选项错误．故选D ． 9．原式=()()3322227227272272+⨯++-⨯+=()()3322227272⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=()()337272++-=()()()()3232223737237273723722+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯-=277674387⨯+⨯=，选B ．10．当3x=时，392008a b c ++=， ①当7x =时，7492009a b c ++=． ② ②-①，得4401b c +=．当b c ，都是整数时，上式左边总为偶数，不可能等于1．所以不存在这样的代数式，选A ．二、A 组填空题题号 11 12 1314 1516 17 1819 20 答案 950073x =-2120082π42+<a b+4：364：55提示11．抽取的200户居民中，已经安装电话的有60+35=95（户），则该地区的20000户居民中，已经安装电话的大约有95200009500200⨯=（户） 12．因为2145212x x +-=-，所以 2211470x x --=，即23210x x --=，所以 ()22645232177x x x x -+=--+=． 13．由12x x->得21x x ->，即()121x ->，因为 120-<，所以()121 2.41412x <=-+≈--，所以原不等式的最大整数解是3x =-． 14．由450210200m m m +>->->，，，解得1202m <<，因为m 是整数，所以 119m ≤≤，又由“三角形两边之和大于第三边”得452120452021212045m m m m m m m m m ++->-⎧⎪++->-⎨⎪-+->+⎩，，，解得2272624.3m m m ⎧>⎪⎪>-⎨⎪⎪<⎩，，得222473m <<，因为m 是整数，所以只能取34，．当3m =时，三角形三边的长分别是17517，，；当4m=时，三角形三边的长分别是21716，，．故满足题意的三角形共有2个． 15．当a 为实数时，把x a =与1x a=分别代入代数式221xx+中，得到的两个值的和是222222211111111aaa aaaa+=+=++++，所以，若将11112320092342009x = ，，，，，，，，代入代数式221xx+中求值，得到的所有值的和是2008，又当1x =时，22112xx=+所以，得到的所有代数式的值的和等于120082．16．由一次函数22y x y x =+=-+，和x 轴可以确定三条直线，每两条直线相交于一点，共得三个点（0，2）（-2，0），（2，0），它们构成了一个三角形，这个三角形的面积为4．由于点（1，1）在直线2y x =-+上，所以圆的一半与三角图6yx（2，0）（1，1）（0，2）（0，0）（-2，0）形重叠，如图6所示．所以，所求图形的面积为21π4π1422+⨯⨯=+．17．因为ABC △是直角三角形，所以222a b c+=，又1122ABC S ab ch==△，所以 ab ch=则()()2222222222a b a ab b c ch c ch h c h +=++=+<++=+，所以 a b c h+<+18．译文：图3由正方形ABC D 和三角形BEC 构成，其中BEC ∠是直角，记C E 的长为a ，BE 的长为b ，则点A 到直线C E 的距离等于___________________．解如图7所示，从点A 作AF CE ⊥，交线段C E 于点F ，交线段BC 于点H ；从点B 作BGAF⊥交AF 于G ，则四边形B E F G 是矩形，G FBE b==．因为 90BAG BH A ∠=︒-∠，90BC E C H F∠=︒-∠，又BH A C H F∠=∠，所以 BAG BC E∠=∠．在R t ABG △与R t C BE △中，90BAG BCE AB CB AGB BEC ∠=∠=∠=∠=︒，，所以 ABG CBE AG CE a ≅==，△△，所以 AF AG G F a b===+19．如图8所示，作DE AB⊥于E ，D FBC⊥于F ．因为BD是ABC ∠的平分线，GHF图7ABCDEF EBDE AB DF BC⊥⊥，，所以 DE DF=，则11:::22ABD D BC S S A B D EB C D E A B B C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△又 ::ABD DBC S S AD CD=△△，所以:():()4:3ABD DBC S S AB AD BC CD =++=△△．20．由题意，将n 个棋子放入10个盒子中，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不相同，按最少的放法，盒子内依次放入1，2，3，…，10个棋子，即至少需要1+2+3+…+10=55（个）棋子，所以55n ≥．同理，将1n +个棋子放入11个盒子内，找不到一种放法，使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的柜子数都不相同，则11231166n +<++++= ，即65n <．综上，得5565n ≤≤，取5564n ≤≤．三、B 组填空题题号 21 22 232425答案 6；2-5；14-2；32-；1-12(1)k k +；2514；39提示21．将两数a 和b 的和、差、积、商相加得27，因为27是整数，所以a 必是b 的整数倍，设a kb=（k 是整数），则有227kb b kb b kb k ++-++=，化简得2227kb kb k ++=，222(1)33271k b +=⨯=⨯，则 326k b a ===，，，或2700k b a ===，，（不符合题意，舍去）．所以 326k b a ===，，.22.令 a b ckb cc aa b===+++．当0a b c ++≠时，()122a b ck a b c ++==++，所以()12c a b =+，()()()()1222251332a b a b a b c a b ca b a b +++++==-+-+-⋅+．当0a b c ++=时，()c a b =-+，所以()()()()2221334a b a b a b c a b ca b a b +-+++==+-+++．23．当10x -≠且20x -≠时，将原方程去分母得()()()2121x a x a -+-=+，整理得 ()134a x a +=+，当1a≠-时，原方程的解为341a x a +=+．由于原方程无解，那么可能的情况是1a =-或求得的根是增根．当增根是1x =时，即 3411a a +=+，解得32a =-；当增根是2x =时，即 3421a a +=+，解得2a=-，所以a 的值为32-或-2或-1．24．直线111k yx k k =-+++与横轴的交点坐标为10k ⎛⎫⎪⎝⎭，，与纵轴的交点坐标为101k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是()121k S k k =+，所以该直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积是()()112321kS k n k k ==+ ，，，，．123411111212233445S S S S ⎛⎫+++=+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11111111122233445⎛⎫-+-+-+- ⎪⎝⎭=25．25．⑴若p 为正整数，且1p是有限小数，则p 可以写成25mn⋅（m n ，是自然数）的形式．其中若0n =，则22100m ≤≤，得123456m =，，，，，．即248163264p =，，，，，共6个；若1n =，则1220m ≤≤，得01234m =，，，，，即510204080p =，，，，共5个；若2n =，则124m ≤≤，得012m =，，，即25p =，50，100共3个；若3n ≥，则不存在合理的m 的值．所以可以化为有限小数的分数共有6+5+3=14（个）．（2）若p 为正整数，且1p是纯循环小数，则p 的质因数一定没有2或5．在2到100的整数中，质因数含有2的数有50个，质因数含有5的数有20个，质因数同时含有2和5的数有10个，所以从2到100这99个整数中，质因数中不含有2且不含有5的整数有99-50-20+10=39（个）。

希望杯八年级英语竞赛试题及答案

希望杯八年级英语竞赛试题及答案第一部分：听力部分（共20分）第一节：听小对话回答问题（共10分）1. A: Can you help me with my math homework?B: Sorry, I'm really busy right now.What is the man's response?- [ ] A. Yes, he can help.- [ ] B. No, he can't help.- [ ] C. Yes, but he's busy.- [ ] D. No, he's not busy.2. A: Could you lend me your pen?B: Sure, here you go.What does the woman want from the man?- [ ] A. Some paper.- [ ] B. A pen.- [ ] C. A book.- [ ] D. Some food.3. A: When is the school trip?B: It's on Friday.What are they talking about?- [ ] A. The school trip.- [ ] B. The weekend.- [ ] C. The vacation.- [ ] D. The schedule.4. A: Do you want to go swimming this afternoon? B: I'd love to, but I have to finish my homework. What does the woman want to do?- [ ] A. Go swimming.- [ ] B. Finish her homework.- [ ] C. Go shopping.- [ ] D. Go hiking.5. A: What did you do last weekend?B: I visited my grandparents.Where did the woman go last weekend?- [ ] A. To the beach.- [ ] B. To the park.- [ ] C. To her grandparents' house.- [ ] D. To the shopping mall.第二节：听长对话回答问题（共10分）6. M: Can you tell me how to get to the library?W: Sure, go straight for two blocks, then turn left. It's on your right. Where is the library?- [ ] A. On the left.- [ ] B. On the right.- [ ] C. Straight ahead.- [ ] D. Two blocks away.7. M: What do you usually do to relax?W: I like playing the piano. It helps me forget about my worries. What does the woman like doing to relax?- [ ] A. Reading.- [ ] B. Playing the piano.- [ ] C. Watching movies.- [ ] D. Going for a walk.W: I'm sorry, I can't. I have to attend a meeting.Why can't the woman go to the concert?- [ ] A. She doesn't like concerts.- [ ] B. She has to work.- [ ] C. She has to go to a meeting.- [ ] D. She has other plans.9. M: How was your vacation in Hawaii?W: It was amazing! The beaches were beautiful and the weather was perfect.What does the woman think of her vacation?- [ ] A. Boring.- [ ] B. Disappointing.- [ ] C. Amazing.- [ ] D. Frustrating.10. M: Have you ever been to Paris?W: No, but I would love to visit someday. Has the woman been to Paris?- [ ] A. Yes, she has been to Paris.- [ ] B. No, she has never been to Paris.- [ ] C. It's not mentioned.- [ ] D. She doesn't want to go to Paris.第二部分：阅读理解（共30分）请根据以下内容选择正确的答案。

【2013】希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)

题31 已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yzu x y z x y z+=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32 已知a,b R ∈，且a b 10++=，则()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33 实数x ，y 满足方程94622--=+y x y x ，则y x 32-的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）题34 线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是（）A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或（第八届高二培训题第2题）题35 过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题) 题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品吨，期望的最大利润是百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37 点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心以外的一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是（）（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38 过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 .（第二届高二第二试第15题）题39 若实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y的取值范围是——. （第九届高二第一试第17题）题40 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，则C 的取值范围是（）A 、(]0,∞-B 、[2,)+∞ C 、[21,)-+∞ D 、[12,)-+∞(第七届高二第一试第10题)31.解法1 取待定正数βα、，由均值不等式得()()11xy yz x y y z αβαβ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222222222111111,22x y y z x y z αβαβαβαβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,112222ββαα=+=则.21,2,2,244422==∴==βαααα于是()()2222222222z y x z y xyz xy ++=++≤+α ()222,,xy yzu x y z x y z +∴=++ ()222222222,2x y z x y z ++≤=++当1,2,1===z y x 时取等号..22max=∴u 解法2 (),1,,,22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=∈+y z y x y zy x zy x yzxy z y x u R y 可化为,01122=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y z y x y z y x 配方，得.1212121222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u y z u y x 由上式可得,01212≥-u 即,,,.2222+∈≤≤-R z y x u 由已知，显然有20,0.2u u >∴<≤ max 22u ∴=（当22==y z y x 时，u 取得最大值）.解法3 由已知，得(),,,.222+∈+++=R z y x z y x yz x u 且,22222z x z x +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()222222222222.22x z yy x z u xz y y x z +⋅+∴≤≤=+++当且仅当z x =且,222y z x =+即 y z x 22==时取等号..22max =∴u 解法4 ,,,x y z R +∈ 22222221122x y z x y y z ∴++=+++ 22122x y ≥⋅22122y z +⋅()2,xy yz =+当且仅当y z x 22==时取等号. ()222,,xy yzu x y z x y z +∴=++ ()2.22xy yz xy yz +≤=+∴当且仅当y z x 22==时，u 取得最大值.22解法5 222222211122x y y z x y z u xy yz xy yz ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==++ 112222xy yz xy yz+≥+A D BC 1A 1D 1B 1C ()22,xy yz xy yz+==+,22≤∴u 当且仅当,21222z y x ==即y z x 22==时取等号，.22max =∴u 解法6 (),2,222222y x yx xy y x +≥+≥+ ()222222xy yz xy yzu x y z x z y ++∴=≤++++ ()()()()()22222.2222xy yz x z y x z yx z y++=≤=+++当且仅当∴y z x 22==时，.22max =u 解法7 构造如图长方体1AC ，设对角线11,AC d AC =与交于点1C 的三个面所成的锐角分别为γβα,,，长方体的三条棱分别为.,,z y x 则有.s i n ,s i n ,s i n .2222dzd y d x z y x d ===++=γβα ()1sin sin sin222=++γβα于是2222sin sin sin sin xy yz xy yz x y y z u x y z d d d d dαββγ++===⋅+⋅=+++ 222222211sin sin sin sin sin sin sin 222.2222αβγβαβγ++++≤+==,sin 2sin sin γβα==∴当且仅当即y z x 22==时，.22max =u 解法8 由,222zy x yzxy u +++=得()()2220uy x z y u x z -+++=（1）,0,,,>∈+u R z y x ∴关于y 的一元二次方程（1）的判别式()()042222≥+-+=∆z x u z x ，解得()().2144222222222222=++++≤+++≤z x z x z x z x xz z x u 当且仅当z x =时取得等号. 2max 1,2u ∴= max 2.2u ∴=把z x =代入（1）可得x y 2=,.2222m ax ===∴u y z x 时，当且仅当评析 222,xy yz u x y z +=∴++ 若()222xy yz k x y z +≤++，则u k ≤，这就是说，只要xy yz +与222x y z ++的倍数之间建立了不大于的关系，则u 的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数α、β，并运用,222b a ab +≤解法3运用公式22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解法4、解法5运用ab b a 2≥+，解法6运用()2222222y x yx xy y x +≥+≥+及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u 的分子、分母同除以2y ，巧妙地通过配平方，得到2110,2u-≥进而得202u <≤，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为z y x ,,的长方体的对角线长为l ，则有,2222z y x l ++=而222z y x ++恰好是u 的分母，且长方体中有1s in s in s in 222=++γβα）解决问题.解法8则把222xy yz u x y z+=++变为()()2220uy x z y u x z -+++=，看作关于y 的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22≤u ，是方程思想的典型运用. 拓展设,x y R +∈，显然有()22,xy u x y x y =+的最大值为12，即c o s 3π；设,,x y z R +∈，已解出()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值为22，即cos .4π我们不妨猜想：命题若()01,2,,2,k a k n >=≥ 则1223122212n n n n a a a a a a f a a a -++⋯+=++⋯+的最大值是.1cos +n π证明取正参数有,,,,21n λλλ⋯()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋯++----n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1113222211113221111λλλλλλ 22222221122112221211111.2n n n n n a a a a λλλλλλ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦令222121222121111n n n λλλλλλ---=+=⋯=+=（1），因求最大值，故还必须有,1,,1,111132222111n n n n a a a a a a ---=⋯==λλλλλλ此即,1221a a =λ.,,1212322--=⋯=n n n a a a a λλ将上式代入（1），得nn n n n a a a a a a a a a a 11223112---=+=⋯=+= （2），令21,r λ=则21132211,,,,.n n n n n a ra a a ra a a ra a ra ---=+=⋯+==观察（2）的形式，考虑作代换(),1.,1112---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+∈∈+=k k k k a q q ra a a R r C q q q r q qa a k k 11=-∴-()()123,k k a qa k n ---≤≤故数列{}1k k a qa --是公比为1q 的等比数列， ()112111221111.k k k k k a a qa a qa q a qa q q q q ----⎡⎤⎛⎫∴-=-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦于是111k k k k q a q a a ---= （3）.再令则,1k k k a qb -=（3）为()11112a b b b q b k k =+=-注意，上式变形为.11211221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---q b b q q b b k k 这样，又得到一个公比为2q 的等比数列()12211212111,1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--k k k q q b b q b b q b b ，即22112211,11k kk q q b b a q q --==-- ()()211121,1k kk k k q a b a q q q ---∴==-故有()()2211221,1n n n q a a q q ----=-()()211211q q a q a n n n --=-.而 11,n n n a ra q a q -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故有()()()()22211221211111n nn n q a q a q q q q q q-----⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭，整理得()2221n q q -- ()()2211,n q q =-+化简得22 1.cossin 11n m m q q i n n ππ+=∴=+++(),021m Z m n ∈≤≤+. n f 的最大值唯一，∴应能求出m 的一个确定的值，对于这个m 的值，我们有()().1cos 2112121max+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n m q q q q r f n π12231122212n n n n na a a a a a a a f a a a -++⋯++<++⋯+ ()()()()()222222221223111223112n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤=++⋯++÷++++⋯++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()122311max 12231121,1,2n n n n n n n a a a a a a a a f a a a a a a a a --++⋯++≤=∴<++⋯++从而0.m ≠又（1）和（2）是n f 取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得()()211211kk k q a a q q --=-（3）.将cos sin 11m m q i n n ππ=+++代入（3），化简得1sin1,sin1kkm n a a m n ππ+=+ 对任意1,,k n k Z ≤≤∈都有0,k a >∴应取1m =.至此，已推知()max cos.1n f n π=+32.解法1 (),a b 是直线10x y ++=上的动点，点()2,3A 到此直线上各点距离的最小值是点A 到该直线的距离231322d ++==，()()222min 2318a b d ⎡⎤∴-+-==⎣⎦.解法2 ()()()()()2222211232232322a b a b a b ⎡⎤-+-=⋅-+-≥-+-⎣⎦()()221116061822a b =++-=-=.当23a b -=-，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法3 ()()()()()()()222222211a 2b 3a 2b 311a 21b 3122⎡⎤-+-=-+-+≥-⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22112361822a b =-+-=-=.当2311a b --=，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法4 ()()()()()()()222222a 2b 3a 2b 3a 2b 3a b 5⎡⎤-+-=-+-+---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()21a b +-+，()()()()()22222111123515(2222a b a b a b a b a b ∴-+-=+-+-+≥+-=+()22116)6182+-=⋅-=．当10,a b -+=即1,0a b =-=时取等号()()22,23a b ∴-+-的最小值为18.解法5 ()()()()2222210,1,23242a b b a a b a a a ++=∴=--∴-+-=-+--=+()24202118.a a +=++∴当1a =-时，()()2223a b -+-有最小值18.解法6 设()()22230,a b t -+-=>又设2cos ,3sin ,a t b t θθ-=-=则a =cos 2,sin 3,t b t θθ+=+由10,a b ++=得cos sin 60,t t θθ++=即2sin()4t πθ+60.22sin()2,262sin()626,44t t t t t t ππθθ+=-≤+≤∴-+≤++≤+ 即2t -6026,t +≤≤+解得()()2218.23t a b ≥∴-+-的最小值为18.解法7 构造向量()221,1,(2,3),cos ,x y a b x y x y x y x y θ==--⋅=⋅⋅≤⋅∴⋅2,x y ≥⋅ 即()()()()()()222222112312135a b a b a b ⎡⎤+⋅-+-≥⋅-+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2221636,2318.a b a b =++-=∴-+-≥∴当且仅当1,0a b =-=时， ()()2223a b -+-取得最小值18.评析因为已知10,a b ++= 所以要求()()2223a b -+-的最小值，关键就是得到()()2223a b -+-与关于a b +的式子之间的大于等于关系.解法2利用()()2222,a b a b +≥+解法3利用柯西不等式()()()22222,ab c d ac bd ++≥+解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把1b a =--代入所求式，使之变为关于a 的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设()()2223a b t -+-=后，运用三角代换，最终转化成解关于t 的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x y x ⋅≤⋅,y即222x y x y ⋅≥⋅ 使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将()()2223a b -+-看作定点()2,3A 与直线10x y ++=上的动点的距离的平方，故能直观地知道点()2,3到直线10x y ++=的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展将此赛题一般化，便得下面的定理若x,y 满足0Ax By C ++=（A 、B 、C 是实常数，A 、B 不全为零），m ，n 是实常数，则()()22x m y n -+-的最小值是()222Am Bn C A B+++.证明 ()()()()22222x m y n x m y n ⎡⎤-+-=-+-⎢⎥⎣⎦，表示定点(),m n 与直线Ax By ++0C =上的动点之间的距离d 的平方.()()2222,Am Bn C d x m y n A B++=∴-+-+ 的最小值是()222Am Bn C A B +++.运用该定理解本赛题：1,2,3,A B C m n =====∴ 所求最小值是222(12131)1811⨯+⨯+=+. 下面的题目供读者练习：1.已知x ，y 满足x 2y 40+-=，求()()22x 3y 2-++的最小值. 2.已知p,q R ∈，且2p 3q 60++=，求()()22p 1q 3++-的最小值. 3.已知m,n R ∈，且3m 2n 120--=，求()()22m 2n 3++-的最小值.答案 241.52.133.131333.解法1 题设方程就是()22(3)24x y -++=，设⎩⎨⎧=+=-θθs i n 22c o s 23y x ，即⎩⎨⎧+-=+=θθs i n 22c o s 23y x ,则232(32cos )3(22sin )x y θθ-=+--+4cos 6sin 12θθ=-+ 213cos()12θψ=++(3tan 2ψ=)，13212)32(max +=-∴y x ， 13212)32(m in -=-y x .24)32()32(m in m ax =-+-∴y x y x .解法2 题设方程就是()22(3)24x y -++=，根据柯西不等式，22222[2(3)(3)(2)][2(3)][(3)(2)]13452x y x y -+-+≤+--++=⨯=，即52)1232(2≤--y x ,52123252≤--≤-∴y x ,5212325212+≤-≤-y x , 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法3 题设方程就是()22(3)24x y -++=，结合23u x y =-，又配方2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ，于是2)1232(413--≥⨯y x ，即5212325212+≤-≤-y x .m in m ax )32()32(y x y x -+-∴24)5212()5212(=-++=.解法4 设23u x y =-，则233uy x =-，代入94622--=+y x y x ，整理得 2213(430)12810x u x u u -++-+=，R x ∈ ， 22(430)413(u u ∴∆=+-⨯⨯-1281)0u +≥，即224920u u -+≤，解之得12521252u -≤≤+. 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法5 已知等式()22(3)24x y -++=表示一个圆，令t y x =-32，即y x 32-0=-t ，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即2)2(3|)2(332|22≤-+--⨯-⨯t ，即132|12|≤-t ，解得52125212+≤≤-t ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法6 已知方程就是()22(3)24x y -++=，构造向量)3,2(-=→a ，)2,3(+-=→y x b .|||||||cos |||||a b a b a b θ→→→→→→⋅=⋅≤⋅ ，222||||||→→→→⋅≤⋅∴b a b a ，即[]()()22222222(3)3(2)2(3)(3)(2)13452x y x y --+≤+-⋅-++=⨯=.即 2(2312)52x y --≤,于是,5212-521232+≤-≤y x ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .评析因为已知方程就是()22(3)24x y -++=，而要求的是一次式y x 32-的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成2)]2()3()3(2[+⨯-+-⨯y x ，是因为这样才会出现y x 32-，并可利用()22(3)24x y -++=.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ?解法4运用的是待定参数法及方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程()22(3)24x y -++=联想到向量模的平方，从而通过构造向量，运用222||||||a b a b →→→→⋅≤⋅解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.拓展将此赛题一般化，便得命题1 实数y x ,满足()),0()(222>=-+-r r n y m x ，实数q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明设px qy u +=，即0px qy u +-=①，又已知()222)(r n y m x =-+-②，由题意，直线①与圆②有公共点，故圆心),(n m 到直线①的距离小于等于圆的半径r ，即22||pm qn u r p q +-≤+，即22|()|u pm qn r p q -+≤+，22()r p q u pm qn ∴-+≤-+22,r p q ≤+即qn pm q p r +++-22u ≤≤qn pm q p r +++22，∴m ax )(qy px + qn pm q p r qy px +++-=++22min )()(222qn pm qn pm q p r +=++++.将命题1中的圆改为椭圆，又得命题2 实数y x ,满足),0,(1)()(2222b a b a b n y a m x ≠>=-+-，q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明设θcos a m x =-，θsin b n y =-即θcos a m x +=,θsin b n y +=,qy px +∴(cos )(sin )cos sin p m a q n b pa qb pm qn θθθθ=+++=+++ 2222cos()p a q b θϕ=+-2222[,pm qn p a q b pm qn ++∈-+++]2222qn pm b q a p +++，（其中paqb=ϕtan ）. ∴m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.34.解法1 线段AB 的方程为212222---=++x y ，即4x+3y-2=0(-1≤x ≤2),由⎩⎨⎧=-++=02343y x kx y ，得k x 347+-=，令-1≤k347+-≤2，解得125≥-≤k k 或，选D.解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M （0，3）的直线系方程，易求得直线MA 、MB 的斜率分别是25,1-==MBMA k k ,当直线MA绕点M 逆时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由1增加到+∞；当直线MB 绕点M 顺时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由25-减小到-∞，所以125≥-≤k k 或，故选D.解法3 如图2，设直线MA 与MB 分别与x 轴交于点A ’，B ’，易求得直线MA 、MB 的方程分别为y=x+3,y=25-x+3,从而可求得A ’（-3，0），B ’（-56，0），在△MA ’B ’ 中，过M 任作一条直线y=kx+3交边A ’B ’于点N ，则直线也必与线段AB 相交，反之亦然.OM ⊥A ’B ’，|OM|=3，k=tan ∠MNO （N 在OA ’上）或k=tan （π-∠MNO ）（N 在OB ’上）两种情形，但都有ON OM k -=，所以k ON 3-=，由5633≤-≤-k ，解得125≥-≤k k 或，故选D.解法4 设直线3y k x =+与线段AB 交于点00(,3)N x kx +,点N 内分AB 所成的比为λ,则001212231x kx λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩,消去0x ,得1025k k λ-=>+，得52k <-或1k >.又当直线3y kx =+过点A 、B 时，k 的值分别为51,2-，所以所求充要条件为125≥-≤k k 或.故选D.解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB 显然不相交，所以排除含0的A 、B ，又当k=-1时，直线xy 图1O ABM -332 -2xy 图2O ABM-332 -2A ’B ’Ny=kx+3y=kx+3即y=-x+3与线段AB 也不相交，所以又排除含-1的C,故选D.评析解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA 、MB 与x 轴的交点A ’，B ’的横坐标A x ’，B x ’,并求出直线y=kx+3与x 轴的交点N 的横坐标N x ，再解A x ’≤ N x ≤B x ’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB 相交时的k 与MB MA k k 、之间的关系而选D ，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求N x ，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB 相交，此时就选A 那就错了，请读者想想这是什么原因.拓展已知直线:(,)10l f x y x y =--=,显然点A （0，1）、B （1，3）与点C （1，-1）、D （3，1）都在l 的同侧，点A 、C 与点B 、D 都在l 的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l 的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的定理1 已知两点M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2)及直线:(,)0l f x y Ax By C =++= (1) 若点M 、N 在l 的同侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0; (2) 若点M 、N 在l 的异侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.证明（1）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 都在l 的上方，则,,2211BC x B A y B C x B A y -->--> 所以当B>0时，有0,02211>++>++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当B<0时，有0,02211<++<++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0,所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为(,)0f x y Ax c =+=，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 都在l 的右侧，则ACx A C x ->->21,，所以当A>0时，0,021>+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.综上可知，当点M 、N 在l 的同侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0. （2）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 分别在l 的上、下方，则1122,A C A Cy x y x B B B B>--<--，故当B>0时，有11220,0Ax By C Ax By C ++>++<, 即f （x 1,y 1）>0， f (x 2,y 2)<0; 当B<0时，有0,02211>++<++C By Ax C By Ax , 即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 分别在l 的左、右侧，则ACx A C x ->-<21,.所以当A>0时，0,021>+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.综上可知，当点M 、N 在l 的异侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0. 根据定理1，不难得到定理2 直线Ax+By+C=0与以点P 1（x 1,y 1）、P 2 (x 2,y 2)为端点的线段相交的充要条件是0))((2211≤++++C By Ax C By Ax .运用定理2，可得本赛题的如下解法：直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即125≥-≤k k 或为所求的充要条件，故选D.35.解法 1 记过点()1,1P 的动直线为l ,()O Q ,1,0为坐标原点(如图),则当直线l 从OP 的位置绕点P 顺时针转动到直线PQ 的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到∞+,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l 有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l 也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l 存在斜率k ,设l 的方程为l k x k y ),0(),1(1<-=-与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，则1(1,0),(0,1).A B k k --111(1)(1)22S OA OB k k∴=⋅=-- ()()∴≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=,21211k k 当1-=k 时,S 的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.综上,所求的直线为3条. 下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l 都只有一条,且满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.解法 2 设直线l 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点),0,0(),,0(),0,(>>b a b B a A 则直线l 的方程为.1=+b y a x 直线l 过点.111),1,1(=+∴b a P 故设θθ22s i n 1,c o s 1==b a (其中20πθ<<),则θθ22sin 1,cos 1==b a ,故θθθθ2222cos sin 42cos sin 2121===ab S 2122sin 22=≥=θ (当4πθ=时取等号),即2m in =S .故所求的直线共有3条. 解法3 同解法2,得4,2111,111≥∴≥+=∴=+ab abb a b a ,(当且仅当2111==b a ,即 2==b a 时取等号), 114222S ab ∴=≥⨯=,即2m in =S .故所求的直线共有3条. 解法 4 设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点),0(),0,(b B a A ,点)1,1(P 分AB所成的比为λ,则110,11a b λλλλ⎧=⎪⎪+>⎨⎪=⎪+⎩,即)0(111>⎪⎩⎪⎨⎧+=+=a b a λλ.故211)1(211)11)(1(212121=+≥++=++==⋅=λλλλab OB OA S 1.=λ时，.2m in =S 故所求直线共有3条. 评析上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l 只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l 有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l 只有一条,从而解决了问题.此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l 的斜率总是存在的.设l 的方程为xO 1 AP1 y B Q)1(1-=-x k y .则l与x轴,y轴的交点分别为)1,0(),0,11(k B kA --.故k k kk k k S 4)1(,2)1(211112122=-=-=-⋅-=①.当0>k 时,①就是016,4)1(22=+-=-k k k k ,有两个不等的正数解；当0<k 时,①就是,4)1(2k k -=-1,0)1(2-==+k k .故所求直线为3条.拓展将此题内容拓广,可得定理 1 动直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P ,则直线和坐标轴在点P 所在象限内围成三角形的面积的最小值是.2mn证明设直线l 与x 轴,y 轴分别交于点OAB b B a A ∆ ),,0(),0,(在点),(n m P 所在象限,0,0>>∴bn am ,直线l 的方程为.1=+bya x 直线l 过点ab mn b n a m b n a m n m P 21,1),,(≥+=∴=+∴,即mn ab 4≥,当且仅当n b m a 2,2==时取等号..221mn ab S OAB ≥=∴∆ 定理2 直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P 且和坐标轴围成的三角形的面积为S ,则 ⑴当mn S 20<<时,满足条件的直线l 有且仅有两条. ⑵当mn S 2=时,满足条件的直线l 有且仅有三条. ⑶当mn S 2>时,满足条件的直线l 有且仅有四条.根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略. 题意可知求36.解设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k .由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）. 故填13830;13100. 评析可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：x+y=807x+y=70X =302x+3y=k2x+4y=80yxOMRN1、设变量（如y x ,），建立目标函数()y x f z ,=（如y x z 32+=）.2、根据约束条件列出不等式组.3、画出不等式组表示的平面区域.4、作出直线()0,=y x f ，并将其向上或向下平移确定最优解.5、将最优解代入()y x f z ,=便得所求最值. 37.解法1 圆222ry x =+的圆心是O()0,0，它到直线200ry y x x =+的距离220222020000y x r y x r y x d +=+-⋅+⋅=，点M ()00,y x 在圆222ry x =+的内部且不在圆心，∴r d r y x >∴<+<,02020.可知直线200r y y x x =+与圆222r y x =+相离.故选C.解法2 令1,200===y x r ，满足题设.此时，直线4=+y x 与圆422=+y x 相离.由正确选择支的唯一性，选C.评析解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系： ⇔>r d 直线与圆相离； ⇔=r d 直线与圆相切；⇔<r d 直线与圆相交.对于二次曲线()0,:=y x f C 与点M ()00,y x 的位置关系，有下面的结论：点M 在曲线C 上()0,00=⇔y x f ；点M 在曲线C 内()0,00<⇔y x f ；点M 在曲线C 外()0,00>⇔y x f .所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点M ()00,y x 的切线方程.”答案是200r y y x x =+.拓展给定圆C ：222r y x =+与定点M ()00,y x ，（02020≠+y x ），则直线200:r y y x x l =+就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的结论.结论1 若点,C M ∈则l 与C 切于点M.（这是显然的，证明略）结论2 若点M 在圆外，过点M 引圆C 的两条切线1MT 与2MT ，则200r y y x x =+为过两切点的直线方程，因而l 与C 相交.证明设()111,y x T 和()222,y x T 是两个切点，由结论1，直线1MT 与2MT 的方程分别是211r y y x x =+与222r y y x x =+.因为它们相交于点M ()00,y x ，于是20101r y y x x =+与20202r y y x x =+同时成立.于是得200r y y x x =+表示直线21T T 的方程.l 与C 显然相交.结论3 若点M 在圆C 内且不是圆心，以M 为中点的圆的弦为AB ，过A 、B 的两条切线相交于点N ，则200r y y x x =+表示过点N 且平行于AB 的直线方程，因而l 与C 相离.证明令N ()n m ,，由结论2，直线AB 的方程一定是2r ny mx =+.因为M 是AB 的中点，所以200r ny mx =+，这说明点N 在直线200:r y y x x l =+上.下面证明AB ∥l .①当000≠y x 时，由于O 、M 、N 三点共线，可知0≠mn ，过M 、N 引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知22001r r y n x m --=≠=，故AB ∥l .②当000=y x 时，由于02020≠+y x ，则有0,00==m x 或0,00==n y .无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB ∥l .此时l 与C 显然相离.38.解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+-++0176601622222y x y x y x y x ，得⎩⎨⎧==32y x ，故两圆相切于点（2，3），所以所求直线方程是()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数.评析先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：()()2211,,,y x y x ，则所求直线方程为()()()()112112x x y y y y x x --=--.但此题中的两圆只有一个交点()3,2，过点()3,2的所有直线该如何表达呢？有人表述为()23-=-x k y （k 为参数），这就错了，因为方程()23-=-x k y 表示的所有直线中并不包括直线2=x （即过点()3,2且垂直于x 轴，亦即过点()3,2且斜率不存在的那一条）.而()()032=-+-y x μλ（μλ,为参数）才能表示过点()3,2的所有直线.当0≠λ且0=μ时，该直线方程就是2=x .一般地，过点()00,y x 的所有直线组成的直线系方程为()()000=-+-y y x x μλ（其中μλ,为参数）.拓展我们先看下面的问题：求过两圆074422=+--+y x y x 与03661222=+--+y x y x 的交点的直线方程.分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为02928=-+y x . 如果将两圆方程相减，也得02928=-+y x ，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标既是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+02928074422y x y x y x 的解，也是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+0292803661222y x y x y x 的解，即A 、B 的坐标都适合方程02928=-+y x ，故02928=-+y x 就是直线AB 的方程.那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，016222=+-++y x y x 与0176622=+--+y x y x 两边相减，得2=x .由图形，可知直线2=x 恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.于是，我们有下面的定理已知两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ,则⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D ； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D . 39.解法1 已知方程就是()()42122=-+-y x ，()202---=+x y x y ，所以题意就是求圆()()42122=-+-y x 上的点()y x ,与定点A ()0,2-的连线的斜率的取值范围.如图,，只须求切线AN 的斜率k .易知20.1(AM k -==--tAN k NAx ∴=∠()2222123tan 2.41519AM AMk MAx k ⋅=∠===-- 120,.25y x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦注：切线AN 的斜率k 的另一种求法：设AN 的方程是(),20+=-x k y 即02=+-k y kx ，则圆心M 到切线AN 的距离等于圆M 的半径,即212212=++-⋅k kk ，解得0=k （舍去），512=k . 解法 2 已知方程就是()()42122=-+-y x ，故设,s i n 22,c o s 21θθ=-=-y x 即,sin 22,cos 21θθ+=+=y x 则.cos 23sin 222θθ++=+x y 令k =++θθcos 23sin 22，得,23c o s 2s i n 2-=-k k θθ即()()223244sin 32,sin .44k k k k θϕθϕ-++=-+=+ ()232sin 1,1,44k k θϕ-+≤∴≤+ 解得,5120≤≤k 即.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 解法3 设k x y=+2，则,2k kx y +=代入014222=+--+y x y x 并整理，得()().018424412222=+-+--++k k x k kx k 由()22442k k ∆=--()()22414810,k k k -+-+≥得1205k ≤≤.由,014222=+--+y x y x 即()()42122=-+-y x 可知,212≤-≤-x 即.31≤≤-x 经验证，当5120≤≤k 时，(1)0,(f f -≥≥且对称轴()[]224421,3.21k k x k --=-∈-+故.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y x1-2OA NMy评析解法1将2+x y 看作()20---x y ，进而看作圆()()42122=-+-y x 上的动点()y x ,与定点()0,2-的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y 后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.由于椭圆()012222>>=+b a by a x 有性质22b a y x +≤+（请读者自证），故本赛题又有如下解法：设t x y =+2，则02=+-t y tx .已知方程就是()()12122=-+-y x ，则()()1424222=-+-y t t tx ，由上面的性质，得4422+≤+--t y t tx ，即44322+≤-t t ，解得120,5t ≤≤∴.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 拓展让我们进一步思考下面的问题：1、若将题中的条件方程改为()(),1429122=-+-y x 则答案是什么？2、若将题中的条件方程改为()(),42122=---y x 则答案是什么？与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是[).,,0R +∞若将原题中的2+x y 改为y x 2+或632+x y ，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求()0≠++ac bax dcx 的取值范围.解法1 ()∴=-+,1122y x 可设.sin 1,cos θθ=-=y x 于是0≥++c y x 化为01sin cos ≥+++c θθ，即,14sin 2--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+c πθ1sin .42c πθ--⎛⎫∴+≥⎪⎝⎭ 1sin 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴由题意得121-≤--c ，解得12-≥c ，故选C. 解法2 图1、图2、图3依次表示0≥++c y x ，()1122=-+y x ，及1 图 1 图2 图3()⎩⎨⎧=-+≥++11022y x c y x 的图象.在图3中，直线0:=++c y x l 过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M 于N ，这时圆M 上所有的点（N 点除外）都在l 的上方，因而圆M 上N 点以外的点的坐标()y x ,都使0>++c y x 成立，而N 点坐标使--c -c 0 y x -c -c Nl 2 0 y x M 1 2 0 y x M 1 x+y+c ≥00=++c y x 成立，结合题意，易求得此时的12,21-=-=-c c ，故当21-≤-c ，即12-≥c 时，圆M 都在l 的上方（含相切），因而圆M 上的点的坐标()y x ,可使不等式0≥++c y x 成立，故选C.解法3 21,23=-=y x 满足()1122=-+y x ，此时，若0=c ，则0≥++c y x 不成立，故排除含0的A 、D ；若1=c ，则0≥++c y x 成立，又排除不含1的B ，故选C.评析从代数角度看，0≥++c y x ，即()y x c +-≥恒成立，有()[]m ax y x c +-≥，因此问题的关键就是如何求()[]m ax y x +-.由于()y x ,满足()1122=-+y x ，故解法1运用三角代换将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.从几何角度看，原问题的实质就是c 在什么范围内时，才能保证圆()1122=-+y x 在直线0=++c y x 的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.拓展按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：⒈ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0178222≥+++-+c y x y x 成立，求c 的取值范围.（答案：22627c ≥-）⒉ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式2222120x y x y c +-++->成立，求c 的取值范围.（答案：552c <-）。