2013希望杯八年级第二试
第3届希望数学邀请赛初二第2试试题答案 word版下载
希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试试题答案与提示一、选择题提示：5．等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0．∴x+1=0，xy+1=0．解之得x=-1，y=1．则x+y=0．∴应选(B)．6．由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993．将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30．∴n=7．∴应选(A)．7．由∠A=36°，AB=AC，可得∠B=∠C=72°．∴∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°．∴AD=BD=BC．由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD．∴应选(B)．8．原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0．即|x-1|2-5|x-1|+6=0．∴|x-1|=2，或|x-1|=3．∴x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4．则x1+x2+x3+x4=4．∴应选(D)．9．连结CB＇,∵AB=BB＇,∴S△BB＇C=S△ABC=1,又CC＇=2BC∴S△B＇CC＇=2S△BB＇C=2．∴S△BB＇C＇=3．同理可得S△A＇CC＇=8,S△A＇B＇A=6．∴S△A＇B＇C＇=3+8+6+1=17．∴应选(D)．10．原方程为|3x|=ax+1．(1)若a=3，则|3x|=3x+1．当x≥0时，3x=3x+1，不成立．(2)若a＞3．综上所述，a≥3时，原方程的根是负数．∴应选(B)．另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。
分别画出它们的图象．从图87中看出，当a≥3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限．二、填空题提示：1．∵49=7×7，∴所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42．设a=7m，b=7n，(m ＜n)，其中(m，n)=1．由ab=(a，b)·[a，b]．∴7m·7n=7·42，故mn=6．又(m，n)=1，∴m=2，n=3，故a=14，b=21．经检验，142+212=637．∴这两个数为14，21．2．∴1993=1×1993=(-1)×(-1993)，(1993为质数)．而x1·x2=1993，且x1，x2为负整数根，∴x1=-1，x2=-1993．或x1=-1993，x2=-1．则4．设S△BOC=S，则S△AOB=6-S，S△COD=10-S，S△AOD=S-1．由于S·(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=4．6．∵432=1849＜1900＜1936=442，又1936＜1993＜2025=452．其他都不合适．此时所求方程为14x2-53x+14=0．8．过E作EH⊥BC于H．∵AD⊥BC．∴EH∥AD．又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC．∴EA=EH，∠AEC=∠HEC．∵EH∥AD，∴∠HEC=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE．∴AE=AF，∴EH=AF．即可推出△AGF≌△EHB．∴AG=EB=AB-AE=14-4=10．∴BG=AB-AG=14-10=4．10．设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(n≠m)．依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1 ①由于50＜3+7n≤100，50＜4+9m≤100．得n=7，8，9，10，11，12，13．m=6，7，8，9，10．但满足①式的解为唯一解：n=13，m=10．∴n+1=14，m+1=11．获奖人数共有14+11=25（人）．三、解答题1．解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）．其中OABCO的距离最短．记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离．在AC上截取AB＇=AB，连结OB＇．则△ABO≌△AB＇O．∴BO=B＇O．d(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB＇B＇CB＇O=CO-(B＇C+B＇O)＜0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)＜0．所以路线OABCO的距离最短．因此x与y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0＜a＜1，0＜a2＜1．。
希望杯的获奖比例如何,含金量是否认可
(1)进入第二试者为第一试优胜，由各校通报表扬。
(2)在参加第二试的同学中取五分之一(既参赛人数的二十分之一)的选手按成绩评定一、二、三等奖，分别授予金、银、铜奖牌及获奖证书。
获奖学生可优先参加IMC国际数学竞赛活动及科普夏令营。
首先，一二三等奖占全部参赛人数的5%，有家长会觉得比例太低，获奖可能性渺茫，这是有点偏差的看法。
5%的比例在竞赛来看确实不是很高，但是之前已经说明，希望杯是面向所有小学阶段的同学举办，很多学校的同学是不分层次，统一报名，全部参赛的，也就是说参赛学生数量是非常庞大的，有的甚至从来不知道奥数是什么的同学都被老师鼓励参赛，所以对于在外面培训班上课的同学来是说，获奖并不是那么困难的事情。
其次，参加二试的同学40%获各赛区组委会颁发的优胜奖状。
优胜奖项虽然不是那么的具有诱惑力，但是对于一个正在成长中的孩子来说，任何一个奖项都足以让孩子兴奋与骄傲，从而对孩子的数学学习产生重要的影响，学校的一次竞赛名次尚可以令所有孩子嫉妒，何况是一个市级规模的奖项。
最后，希望杯奖项的含金量总体上不如"华杯赛"和"走美赛"，但是其价值却是非常被认可的。
任何不同的杯赛由于定位的不同，都会导致奖项的内在价值不一样，获奖同学的能力体现也会不一样。
之前已经强调希望杯注重的是课内和课外的有效结合，所以选拔出来的同学可以概括为学习能力全面，综合实力强，学习习惯优秀。
这一类同学恰恰就是大部分重点中学为培养中学精英而急需网罗的生源。
其他如"华杯赛"选拔的学生是有很强数学天分的同学，可以概括为数学思维活跃，解题能力高超，善于思考和钻研的理科型优秀学生。
这部分学生是重点中学拿来培养出中考高分状元，高考目标清华北大的优选生源。
所以说，希望杯的奖项是同样可以引起重点中学关注的重要奖项之一，这对四五年级的同学来说更加是需要引起家长重视的。
2013年“希望杯”全国数学邀请赛第二试小学四五六试题
个.
图2
五年级〓第一页 共两页
12.一 个 长 方 体 形 状 的 玻 璃 缸 ,不 计 玻 璃 的 厚 度 ,量 得 长 54 厘 米 ,宽 24 厘 米 ,高 20 厘 米 ,缸 内 水 深 12
厘 米 .将 一 块 正 方 体 形 状 的 石 块 放 入 玻 璃 缸 中 ,水 面 升 高 至 16 厘 米 ,则 石 块 的 体 积 是
应当是
.
8.按规定,晓明这学期数学的综合测 评 成 绩 等 于 4 次 测 验 平 均 分 的 一 半 与 期 末 考 试 成 绩 的 一 半 之
和 .已 知4次 测 验 的 成 绩 分 别 是90分 ,85分 ,77分 ,96分 .若 晓 明 要 使 综 合 测 评 成 绩 不 低 于90分 ,则 他 在 期
到 达 上 海 .问 :这 两 次 列 车 的 运 行 的 时 间 相 差 多 少 分 钟 ?
16.李 叔 叔 承 包 了12亩 水 稻 田 ,亩 产 量 是660千 克 .林 阿 姨 比 李 叔 叔 少 承 包2亩 水 稻 田 ,水 稻 的 总 产 量 比 李 叔 叔 的 少 420 千 克 .问 :
学 载 重 8 吨 的 货 车 运 送 货 物 的 总 重 量 比 载 重 5 吨 的 货 车 运 送 货 物 的 总 重 量 多 3 吨 .则 这 批 货 物 共 多 少 吨 ?
Байду номын сангаас
数
国 15.图 3 是 一 块 宅 基 地 的 平 面 图 ,其 中 相 邻 的 两 条 线 段 都 互 相 垂 直 .求 :
1.计算:(3÷2)× (4÷3)× (5÷4)× … × (2012÷2011)× (2013÷2012)=
.
2.计算:1.5+3.16· +5112+7.05=
“希望杯”全国数学邀请赛简介
“希望杯”全国数学邀请赛简介 这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。
22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。
这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。
该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。
到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。
“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。
据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。
第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。
第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。
对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。
⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。
近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。
希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。
★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。
喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。
第二十四届希望杯初二第2试试题及答案解析
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。
答案于今日11：00在以下网站和微博公布：“希望杯”官方网站：http ://www .hopecup .org “希望杯”微博：http ://e .weibo .com /xiwangbei 《数理天地》官方网站：http ://www .mpw 《数理天地》微博：http ://e .weibo .com /shulitiandi 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。
一、选择题(每小题4分，共40分)1．在无理数5、6、7、8中，介于8+12与26+12之间的数有( ) (A )1个． (B )2个． (C )3个．(D )4个． 2．已知x +1x =6(0＜x ＜1)，则x -1x的值是( ) (A )-5． (B )-2． (C )5． (D )2．3．有3个正整数a ，b ，c ，并且a ＞b ＞c ，从中任取2个，有3种不同的取法，将每一种取法取出的2个数分别作和及作差，得到如下6个数：42，45，64，87，109，151，则a 2+b 2+c 2的值是( )(A )12532 ． (B )12533． (C )12534 ． (D )12535．4．已知有理数a ，b ，x ，y 满足ax +by =3，ay -bx =5，那么(a 2+b 2)(x 2+y 2)的值是( )(A )225． (B )75． (C )54． (D )34．5．Among all the following points ，which one is on the graph of function y =x 2-2x -3?( )(A )(1，-3) (B )(0，3) (C )(-1，0) (D )(-2，1)6．下列命题中，正确的是( )(A )如果三角形三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形．(B )如果直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，那么斜边的长是a 2+b 2．(C )如果三角形三条边长的比是1：2：3，那么这个三角形是直角三角形．(D )如果直角三角形的两条直角边的长分别是a 和b ，斜边长是c ，那么斜边上的高的长是ab c． 7．甲、乙、丙、丁4名跑步运动员的速度依次是v 1，v 2，v 3，v 4 ，且v 1＞v 2＞v 3＞v 4＞0，他们沿直跑道进行追逐赛，规则如下：①4人在同一起跑线上，同时同向出发；②经过一段时间后，甲、乙、丙同时反向，谁先遇到丁谁就是冠军．则( )(A )冠军是甲． (B )冠军是乙． (C )冠军是丙． (D )甲、乙、丙同时遇到丁．8．已知直线y =kx +b (k ≠0)与x 轴的交点在x 的正半轴上，则( )(A )k ＞0，b ＞0． (B )k ＜0，b ＜0． (C )kb ＞0． (D )kb ＜0．9．如图1，函数y 1=k 1x +b 和y 2=k 2x 的图象交于点(-1，-2)，则关于x 的不等式k 1x +b ＞k 2x 的解集是( )(A )x ＞-1． (B )x ＜-1． (C )x ＜-2． (D )x ＞-2．10．设q =mn ，p =q +n +q -m ，其中m ，n 是两个连续的自然数(m ＜n )．则p ( )(A )总是奇数． (B )总是偶数．(C )有时是奇数，有时是偶数． (D )有时是有理数，有时是无理数．二、填空题(每小题4分，共40分) 11．已知a =5+2，b =5-2，则a 2+b 2+7的平方根的值是 ．12．60名学生参加英语测试，若优秀的学生占45%，则在统计图中，表示优秀的扇形的圆心角是 图1度；若表示良好的扇形的圆心角是120°，则良好的学生有 人．13．若x 1，x 2都满足｜2x -1｜+｜2x +3｜=4，且x 1＜x 2，则x 1-x 2的取值范围是 ．14．若直线y =2x +b 与坐标轴围成的三角形的面积是4，则b = ．15．已知a ，b 都是有理数，若不等式(2a -b )x +3a -b ＜0的解集是x ＞14，则不等式(a +3b )x +a -2b ＞0的解集是 ．16．如图2，点P 在正方形ABCD 内，△PBC 是正三角形，若△BPD 的面积是3-1，则正方形ABCD 的边长是 ． 17．直线y =x -1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 是等腰三角形，则满足条件的点C 有 个．18．已知x 2-x -1=0，则x 3+x +1x 4= ． 19．如图3，矩形纸片ABCO 平放在xOy 坐标系中，将纸片沿对角线CA向左翻折，点B 落在点D 处，CD 交x 轴于点E ．若CE =5，直线AC 的解析式为y =-12x +m ，则点D 的坐标的坐标是 ． 20．已知正整数x ，y 满足59＜y x ＜35，则x -y 的最小值是 ． 三、解答题每题都要写出推算过程．21．(本题满分10分)已知m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n )，求m 3-2mn +n 3的值．22．(本题满分15分)As in Figure 4 ，both ∠D =∠E =90° in trapezoid ABCD ．△ABC is an equilateraltriangle with C on DE ．If AD =7 and BE =11，find the area of △ABC ．(英汉词典：trapezoid 梯形；equilateral 等边三角形；area 面积)23．(本题满分15分)有n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，它们满足下列条件：①如果对于其中的任意一个整数a m 都有-a m 不在这n 个整数中，则称这n 个整数满足性质P ； ②若在这n 个整数中选两个不同的整数a i ，a j ，使它们成为一个有序整数对(a i ，a j )，并恰好a i +a j 也在这n 个整数中，则这样的整数对为“和整数对”；③若在这n 个整数中选两个不同的整数a i ，a j ，使它们成为一个有序整数对(a i ，a j )，并恰好a i -a j 也在这n 个整数中，则这样的整数对为“差整数对”．回答下列问题：⑴3个整数-1，2，3是否满足性质P ？如果满足性质P ，请写出其中所有的“和整数对”和“差整数对”；⑵若n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 满足性质P ，其中“差整数对”有k 个，试证明k ≤12n (n -1)； ⑶若n (n ≥2)个整数a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n 满足性质P ，其中“和整数对”有l 个，“差整数对”有k 个，试证明l =k图2图3Fig ．4第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试答案与解析一、选择题(每小题4分，共40分)1．选：D ；【解析】8+12＜9+12=2与26+12＞25+12=3 2．选：B ；【解析】∵0＜x ＜1，则x -1x ＜0，(x -1x )2= x +1x -2=4，x -1x =-2 3．选：C ；【解析】分析大小可得a +b 最大，即a +b =151，a +c 第二大，即a +c =109，而a -b 和b -c 都可能最小，由于a -b 与a +b 具有相同的奇偶性，所以a -b =45，可解得，a =98，b =53，c =114．选：D ；【解析】(ax +by )2=9，(ay -bx )2=25，两式相加得：a 2x 2+b 2y 2+ a 2y 2+b 2x 2=34，而(a 2+b 2)(x 2+y 2)= a 2x 2+b 2y 2+ a 2y 2+b 2x 2．5．选：C ； 6．选：D ；7．选：C ；【解析】同时反向跑的时候，从前向后依次是丙、乙、甲，而它们三人应该同时相遇于出发地．所以在遇上丁时，丙还在前面．8．选：D ；【解析】-b k＞0，kb ＜0；9．选：B ； 10．选：A ；【解析】p =q +n +q -m =mn +n +mn -m = n (m +1)+m (n -1) = n 2+m 2=m +n ，连续整数的和一定是奇数．二、填空题(第小题4分，共40分)11．±5； 12．162，20；13．-2≤x 1-x 2＜0；【解析】｜x -12｜+｜x +32｜=2，｜x -12｜+｜x +32｜可以表示数轴上表示x 的点与12和-32的两点距离的和．而12和-32的距离是2，所以-32≤x ≤12，所以，x ≥-32-12=-2，又因为x 1＜x 2，x 1-x 2＜0，所以-2≤x 1-x 2＜014．±4；【解析】与两轴的交点为(0，b )，(，0)，12×|b |×|-12b |=4，14b 2=4，b =±4 15．x ＞2347；【解析】由题意得，2a -b ＜0，b -3a 2a -b =14，b =145a ，2a -145a ＜0，a ＞0， (a +3b )x +a -2b ＞0，475ax -235a ＞0，x ＞234716．2；【解析】设正方形的边长为a ，S △BDP = S △BCP + S △CDP -S △BCD =34a 2+14a 2-12a 2=3-1，a 2=4，a =2 17．7；18．1；【解析】x 2= x +1，x 3+x +1x 4 = x (x +1)+x +1(x +1)2 = (x +1)2(x +1)2= 1 19．(245，-125)；【解析】OC =m ，OA =2m ，AE =CE =5，由m 2+(2m -5)2=52，得m =4，AD =OC =4，DE =EO =3，可得D (245，-125) 20．3；【解析】59x ＜y ＜35x ，当x =1时，59＜y ＜35，y 无整数解；当x =2时，119＜y ＜115，y 无整数解；当x =3时，123＜y ＜145，y 无整数解；当x =4时，229＜y ＜225，y 无整数解；当x =5时，279＜y ＜3，y 无整数解；当x =6时，313＜y ＜335，y 无整数解；当x =7时，379＜y ＜415， y =4，x -y =3 三、解答题每题都要写出推算过程．21．(本题满分10分)解：⎩⎨⎧m 2=n +2……①n 2=m +2……② ①-②=(m -n )(m +n )=n -m ，∵m ≠n ，∴m +n =-1 m 3-2mn +n 3=m (n +2)-2mn +n (m +2)=2m +2n =-222．(本题满分15分)解：作AF ⊥BE 于F ，DC =x ，CE =y ．∵AB =AC =BC ，根据勾股定理：x 2+72=y 2+112=(x +y )2+42 ⎩⎨⎧2xy +y 2=33……①2xy +x 2=105……② ①×35-②×11得：35x 2+48xy -11y 2=0，(5y -x )(7y +11x )=0，∵x ＞0，y ＞0∴x =5y 代入：得y 2=3，y =3，x =53，AB 2=(63)2+42=124，S △ABC =34AB 2=31 3 23．(本题满分15分)解：⑴ -1，2，3的相反数分别是1，-2，-3，它们都不在这3个整数中，所以满足性质P ．其中“和整数对”为(-1，3)和(3，-1)；“差整数对”为(2，-1)和(2，3)⑵ 设a m 是这n 个整数中的任意一个，(a m ，a p )是一个有序数对，其中p ≠m ，这样的数对共有n -1个．所以，这n 个数一共有n (n -1)个有序数对．若(a m ，a p )是一个差整数对，则(a p ，a m )一定不是差整数对，否则不满足性质P ．所以，差整数对至多有12 n (n -1)，即k ≤12n (n -1) ⑶ 若任意a m 、a n 、a p 是这n 个整数中的三个，且满足a m +a n =a p ，则(a m ，a n )、(a n ，a m )是两个和整数对记为一组，而(a p ，a m )、(a p ，a n )是对应的两个差整数对也记为一组，那么每一组和整数对都对应着一组差整数对，若和整数对有x 组，l =2x ，则差整数对也一定有x 组，k =2x ，所以l =k 图5。
第九届“新希望杯”全国数学大赛八年级试题（含解答）
第九届“新希望杯”全国数学⼤赛⼋年级试题（含解答）第九届“新希望杯”全国数学⼤赛⼋年级试题（B 卷）（时间：2013年3⽉24⽇满分120分）⼀、选择题（每⼩题4分，共32分） 1. 下列⼏种说法中：（1）⽆理数都是⽆限⼩数；（2）带根号的数是⽆理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）⽆理数包括正⽆理数、零和负⽆理数.正确的有（） A.(1) (2) (3) (4) B.(2) (3) C.(1) (4) D.只有（1）2. 2．已知⼀个等腰三⾓形的⼀条边长为8cm ，其中⼀个外⾓等于1200，则它的周长为（）A.16cmB.18cmC.24cmD.条件不⾜，⽆法计算3. 把⼀个正⽅形如图对折三次后沿虚线剪下两个⾓，则展开余下部分所得的图形是（）DCB A4. 已知a 、b 、c 分别是?ABC 的三边，则()2222224a b c a b +--为（）A 正数B 负数C 零D ⽆法确定5. =（）A -2B 2C -D 6. ⼀次函数y kx b =+与正⽐例函数y kbx =在同⼀坐标系中的图象可能为（）镜⾯合同三⾓形B'B真正合同三⾓形C'B CDCBA7. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC ，点F 为AB 的中点，连结EF ，则下列结论中，⼀定成⽴的是（）A EF=BEB BF=BEC BC=DED AD+BC=2EF （第7题图）8. 如图，已知?ABC 为等腰三⾓形，AB=AC ，F 为AC 上⼀点，点D 为BC 延长线上⼀点，点E 为AB 延长线上⼀点，EF 与BC 相交于点G ，如果∠ABC=2∠D ，∠CAD= ∠BAC ，BE=CF ，那么下列说法中，正确的个数有（）A 1个B 2个C 3个D 4个⼆、填空题（每⼩题5分，共40分）9.()44310?= （结果⽤科学计数法表⽰）10. 已知533x y z ++=，2859x y z ++=，则x y z ++的平⽅根为 . 11. 全等三⾓形也叫做合同三⾓形，平⾯内的合同三⾓形分为真正合同三⾓形和镜⾯合同三⾓形.假如?ABC 和?'''A B C 是全等三⾓形，且点A 与点'A 对应，点B 与点'B 对应，点C 与点'C 对应.如下图，当沿周界A →B →C →A 及''''A B C A →→→环绕时，若运动⽅向相同，则称它们是真正合同三⾓形；若运动⽅向相反，则称它们是镜⾯合同三⾓形.下列各组合同三⾓形中，属于镜⾯合同三⾓形的有。
历届“希望杯”(初二)第二试试题
第十二届“希望杯”（初二）第二试试题一、选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。
1．化简代数式322322++-的结果是（ ） A. 3 B. 12+C. 22+D. 222．已知多项式ax bx cx d 32+++除以x -1时，所得的余数是1，除以x -2时所得的余数是3，那么多项式ax bx cx d 32+++除以()()x x --12时，所得的余式是（ ）A ．21x - B. 21x + C. x +1 D. x -1 3．已知a <1且||a b a ba -+=，那么（ ）A. ab <0B. ab >0C. ab ≤0D. a b +<0 4．若||||a c <，b a c b a =+<22，||||，S a b cS b c a12=-=-||||，，S a c b3=-||，则S S S 123、、的大小关系是（ ）A. S S S 123<<B. S S S 123>>C. S S S 132<<D. S S S 132>>5．若一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一条边，则此三角形肯定是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形6. 若∆ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足a b c b c 44422=+-，b c a a c 44422=+-，c a b a b 44422=+-，则∆ABC 是（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形7. 平面内有n 条直线（n ≥2），这n 条直线两两相交，最多可以得到a 个交点，最少可以得到b 个交点，则a b +的值是（ ） A. n n ()-1 B. n n 21-+ C.n n 22- D.n n 222-+8．In fig. 1, let ∆ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and∠=BFC 120, then the magnitude relation between Ad and CE is （ ）A. AD CE >B. AD CE <C. AD CE =D. indefinite（英汉词典：equilateral 等边的；intersection 交点；magnitude 大小，量；indefinite 不确定的）9. 已知两个不同的质数p ，q 满足下列关系：p p m q q m 222001020010-+=-+=，，m 是适当的整数，那么p q 22+的数值是（ ）A. 4004006B. 3996005C. 3996003D. 400400410．小张上周工作a 小时，每小时的工资为b 元，本周他的工作时间比上周减少10％，而每小时的工资数额增加10％，则他本周的工资总额与上周的工资总额相比（ ）A. 增加1%B. 减少1%C. 增加1.5%D. 减少1.5% 二、填空题：（每小题6分，共60分） 11. 化简：2532306243+--+的结果是_________。
八年级数学第9届“希望杯”第2试试题
山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第9届“希望杯”第2试试题一、选择题:（每题6分，共60分）1．若a ＋b ＋c ＝0，则a 3＋a 2c －abc ＋b 2c ＋b 3的值为[ ] A ．－1.B ．0.C ．1.D ．22．适合关系式｜3x －4｜＋｜3x ＋2｜＝6的整数x 的值的个数是 [ ] A ．0. B ．1. C ．2. D ．大于2的自然数.3．已知x ＜0＜z ，xy ＞0，｜y ｜＞｜z ｜＞｜x ｜，那么 ｜x ＋z ｜＋｜y ＋z ｜－｜x －y ｜的值 [ ] A ．是正数. B ．是负数. C ．是零. D ．不能肯定符号. 4.863863++-的值为[ ] A.32; B.23; C.52; D.25.5．△ABC 的一个内角的大小是40°，且∠A ＝∠B ，那么∠C 的外角的大小是 [ ] A ．140°.B ．80°或100°.C ．100°或140°.D ．80°或140°6．如图15，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是[ ] A ．60°; B ．65°; C ．70°; D ．75°.7.若对于±3之外的一切实数x,等式28339m n xx x x -=+--均成立,则mn 的值为[ ] A ．8 B ．－8. C ．16 D ．－168.已知N ＝2222……2（共k 个2），若N 是1998的倍数， 那么符合条件的最小的k 值是 [ ] A ．15 B ．18. C ．24 D ．279.在方程组33336x y z x y z ++=⎧⎨++=-⎩中,x,y,z 是互不相等的整数,则此方程组的解的组数为[ ] A ．6 B ．3 C ．多于6 D ．少于310．如图16，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是 [ ]A．CF＞GB B．CF＝GB. C．CF＜GB D．无法肯定的二、填空题（每题6分，共60分）11．把代数式（x＋y－2xy）（x＋y－2）＋（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是________. 12．设实数x知足方程｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0，则x的值为________.13.设x=3352-,那么代数式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值为_________.14. 199819992000200114⨯⨯⨯+的值为_________.15．如图17，Rt△ACB中，∠ABC＝90°，点D、E在AB上，AC＝AD，BE＝BC，则∠DCE的大小是________.16．如图18，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，则∠CAF的大小是________.17．如图19，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE⊥BD交BD的延长线于E，过A作AH⊥BC交BD于M，交BC于H，则BM与CE的大小关系是________.18．如图20，四边形ABCD中有两点E、F，使A、B、C、D、E、F中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的极点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为______；一样，若四边形ABCD中有n个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以A、B、C、D和这n个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为_________.19．如图21，直线段AB的长为l，C为AB上的一个动点，别离以AC和BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCD′，那么DD′的长的最小值为________.20．在一条街AB上，甲由A向B步行，乙骑车由B向A行驶，乙的速度是甲的速度的3倍，此时公共汽车由始发站A开出向B行进，且每隔x分发一辆车，过了一段时间，甲发现每隔10分有一辆公共汽车追上他，而乙感到每隔5分就碰着一辆公共汽车，那么在始发站公共汽车发车的距离时间x＝________.三、解答题（每小题15分，共30分）解答本题时，请写出推算进程.21.已知n,k均为自然数,且知足不等式761311nn k<<+.若对于某一给定的自然数n,只有唯一的自然数k使不等式成立,求所有符合要求的自然数n中的最大数和最小数.22．甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p ＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，通过若干轮这种分法后，甲总共取得20块糖，乙取得10块糖，丙取得9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：p、q、r别离是哪三个正整数？为何？答案·提示一、选择题题号答案1 B2 C3 C4 A5 D6 B7 D8 D9 A10 B提示：1．a3＋a2c－abc＋b2c＋b3＝（a3＋b3）＋（a2＋b2）c－abc＝（a＋b）（a2－ab＋b2）＋（a2＋b2）c－abc＝（a＋b）（a2＋b2）－ab（a＋b）＋（a2＋b2）c－abc∵a＋b＋c＝0∴a＋b＝－c∴原式＝－c（a2＋b2）＋abc＋（a＋b）c－abc＝0∴选B.2．解（1）当3x－4≥0时，即3x≥4时，原式为3x－4＋3x＋2＝6.当－2≤3x＜4时.原式为4－3x＋3x＋2＝6，即6＝6（2）由已知｜3x－4｜＋｜3x＋2｜＝6＝｜（3x－4）－（3x＋2）｜∴（3x－4）－（3x＋2）≤0.∴－2≤3x≤4.∴x1＝0，x2＝1，∴选C.3．由已知条件，可在数轴上标出x、y、z三数，如图22.∴x＋z＞0，y＋z＜0，x－y＞0.∴原式＝x＋z－y－z－x＋y＝0.∴选C.5．△ABC中，若∠A＝40°，则∠B＝40°，∠C＝100°，∠C的外角为80°. 若∠C＝40°，则∠C的外角为140°.∴选D.6．如图23，取DE的中点G，连接AG.在Rt△AED中，AG为斜边上的中线∴∠AGB＝∠ABG.又∵AG＝GD∴∠AGB＝2∠ADG∵AD∥BC∴∠ADG＝∠DBC∴∠ABG＝∠AGB＝2∠ADG＝2∠DBC又∵∠ABC＝75°∴∠ABG＝50°，∠DBC＝25°∴∠AED＝∠BEF＝90°－∠EBF＝90°－25°＝65°.∴选B.8．∵1998＝2×9999．∵x3＋y3＋z3－3xyz＝（x＋y＋z）（x2＋y2＋z2－xy－yz－zx）＝0.∴x3＋y3＋z3＝3xyz∴3xyz＝－36即xyz＝－12∴x，y，z中必然是两正一负，且x＋y＋z＝0∴x，y，z中负数的绝对值必然等于两个正数的绝对值的和.又∵12＝1×1×12＝1×2×6＝1×3×4＝2×2×3这四种组合中只有12＝1×2×4符合条件共有6个解，选A.10．如图24，自F作FH⊥AB交AB于H.∵AF平分∠CAB∴FC＝FH又∵△ABC中，∠ACB＝90°CD⊥AB∴∠ACD＝∠B∴∠1＝∠CAE＋∠ACD,∠2＝∠FAB＋∠B ∴∠1＝∠2，FC＝CE∴CE＝FH又∵EG∥AB∴∠CGE＝∠B在Rt△CEG和Rt△FHB中，∵CE＝FH，∠CGE＝∠B∴Rt△CEG≌Rt△FHB∴CG＝FB.∴CF＝GB，选B.二、填空题题号答案11 （x－1）2·（y－1）21213 4814 1998999.515 45°16 45°17 BM＞CE18 1080°，（n＋1）360°1920 8分钟提示：11．(x＋y－2xy)(x＋y－2)＋(xy－1)2＝(x＋y)2－2xy(x＋y)－2(x＋y)＋4xy＋x2y2－2xy＋1 ＝（x＋y）2－2（x＋y）（xy＋1）＋（xy＋1）2＝（x＋y－xy－1）2＝（x－1）2·（y－1）2.12．｜x2－1｜－x｜x＋1｜＝0.∴｜x＋1｜（｜x－1｜－x）＝0.当｜x＋1｜＝0时，得x＝－1.当｜x－1｜－x＝0时，得｜x－1｜＝x，若x≥1，得x－1＝x，矛盾，舍去. 14．设2000＝k把k＝2000代入，得原式＝1998999.515．△ACD中，AC＝AD.16．∵EF是AD的垂直平分线，∴FA＝FD，∠FDA＝FAD.∵∠FDA＝∠B＋∠BAD.∠FAD＝∠CAF＋∠DAC.∵AD是∠BAC的平分线，∠BAD＝∠DAC∴∠CAF＝∠B＝45°.17．如图25延长CE交BA延长线于F.∵∠ABE＝∠CBE. BE＝BE.∴Rt△FBE≌Rt△CBE.又∵∠ACF＝90°－∠F＝∠ABD.AB＝AC∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF.在△ABM中，∠BAM＝45°＞∠ABM.∴BM＞AM.在△AMD中，∠ADM＞45°＝∠DAM.∴AM＞MD.∴BM＞MD.18．四边形ABCD中两个点E、F把图形分成6个三角形，这些三角形的内角和为6×180°＝1080°.若四边形内有n个点，则以这n个点所成n个周角再加上原来四边形的内角和360°，即得n·360°＋360°＝（n＋1）·360°19．设AC＝x，BC＝l－x.∵△ACD、△BCD′均为等腰直角三角形.20．设公共汽车的速度为v1，甲的速度为v2，因为两辆车距离距离相等，汽车与甲是追及问题，即两车之间距离为s＝10（v1－v2）.汽车与乙是相遇问题，即两车之间距离为s＝5（v1＋3v2）.∴10（v1－v2）＝5（v1＋3v2）∴v1＝5v2.三、解答题综上得n的最大值为84，n的最小值为13.22．每一轮三人取得的糖块数之和为r＋q＋p－3p＝r＋q－2p设他们共分了n轮，则n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.∵39＝1×39＝3×13.且n≠1，不然拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠39，因为每次至少分出2块糖，不可能每轮只分1块糖.∴n＝3或n＝13.由于每一个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况取得9＝18－np∴np＝9 p≥1.∴n≠13，只有n＝3.∴p＝3.把n＝3，p＝3代入①式得r＋q＝19.又乙得的糖块总数为10，最后一轮取得的糖块r－3块.∴r－3≤10，r≤13.若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙一定要在前两轮中再抽得一张q或r.这样乙得的总糖数必然大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙取得的糖数为10块矛盾.∴r＞12 ∵12＜r≤13.∴r＝13. q＝19－r＝6.综上得p＝3，q＝6，r＝13甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：：。
第希望杯初二第2试试题及答案
第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试一、选择题（每题 4 分，共 40 分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后边圆括号内．1．计算21259，得数是（）A．9 位数B．10 位数C． 11 位数D．12 位数2．若xy 1 ，则代数式9xy18的值（）239x y18A．等于7B．等于5C．等于5或不存在D．等于7或不存在57753( x a) 2 ≥ 2(1 2x a)3． The integer solutions of the inequalities about x ：x b b x are 1，2，332then the number of integer pairs（a，b）is（）A． 32B．35C． 40D．48（英汉字典： integer整数）4．已知三角形三个内角的度数之比为x : y : z ，且 x y z ，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．等腰三角形5．如图 1 ，三个凸六边形的六个内角都是120 ，六条边的长分别为 a ，b ，c ，d ，e， f ，则以下等式中建立的是（）bacf de图1A．a b c d e f B．a c e b d fB ． a b d eC ． a c b d6．在三边互不相等的三角形中，最长边的长为 a ，最长的中线的长为 m ，最长的高线的长为 h ，则（）A ． a m hB ． a h mC ． m a hD ． h m a7．某次足球竞赛的计分规则是：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某球队参赛 15场，积 33 分，若不考虑竞赛次序，则该队胜、平、负的状况可能有（）A ．15 种B ．11 种C ．5 种D ．3 种8．若 xy0 ，x y0 ，11与 x y 成反比，则 x y2与 x 2 y 2 （）x yA ．成正比B ．成反比C ．既不可正比，也不可反比D ．关系不确立9．如图 2，已知函数 y2 k ，点 A 在正 y 轴上，过点 A 作 BC ∥ x 轴，交两个函( x 0) ，y(x 0)xx数的图象于点 B 和 C ，若 AB : AC 1:3 ，则 k 的值是（）yCABO x图2A ． 6B ．3C ． 3D ． 610 ．10 个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每一个人内心都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人， 而后每一个人将与他相邻的两个人告诉他的数的均匀数报出来，若报出来的数如图 3所示，则报出来的数是3 的人内心想的数是（ ）A ．2B ． 2C ．4D ． 4110 29384756图 3二、填空题（每题4 分，共 40 分）11 ．若 x 2 2 7 x 2 0 ， 则 x 4 24x 2．12 ．如图 4 ，已知点 A( a ，b) ， O 是原点， OAOA 1 ，OA OA 1 ，则点 A 1 的坐标是．yA （ a ，b ）A 1O x图 413 ．已知 ab0 ，而且 a b 0 ，则ab1 1 b 22____________．（填“ ”、“ ”、“≥ ”或“ ≤ ”）aab14 ．若 a 2b 2a 2 b2 0 ，则代数式 a a b b a b的值是．15 ．将代数式 x 3 2a 1 x 2 a 2 2a 1 x a 2 1 分解因式，得16 ． A 、B 、C 三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时辰， A 在前， 10 分钟后， C 追上 B ；又过了 5 分钟， C 追上 A ．则再过．C 在后， B 在 A 、C 正中间，分钟， B 追上 A ．17 ．边长是整数，周长等于 20 的等腰三角形有 种，此中面积最大的三角形底边的长是．18 ．如图 5 ，在 △ ABC 中， AC BD ，图中的数听说明 ABC ．A30°B40° CD 图519 ．如图 6，直线 y31 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、B ，以线段 AB 为直角边在第一象限内作x3等腰直角 △ ABC ， BAC90 ．在第二象限内有一点P a ， 1，且 △ABP 的面积与 △ ABC 的面积2相等，则 △ ABC 的面积是； a ___________________yCBPO Ax 图 620 ．Given the area of△ ABC is S 1 ，and the length of its three sides are311，9 3，101313respectively ． And the perimeter of △ABCis 18 ，its area is S 2 ．Then the relationship between S 1 and S 2 isS 1S 2 ．（ fill in the blank with“ ”，“= ”or “ ”）（英汉字典： area 面积； length长度； perimeter 周长）三、解答题每题都要写出计算过程．21 ．（此题满分 10 分）解方程：2 x34 4 x 3 ．42 x 334 x【分析】 令2x 3a ，4xb ，43则a1 b 1 ，ab 整理得ab 10 ，aab所以 a b 或 ab1，即3x 34 x ， ①4 3或2 x3 4 x 1 ，②43由①得x7 ，10由②得 x0 或 x52经查验，知7 ，0，5都是原方程的解．10222．（此题满分15分）如图7，等腰直角△ABC 的斜边 AB 上有两点 M、N ，且知足MN 2BN 2AM 2，将△ABC绕着 C 点顺时针旋转90 后，点M、N的对应点分别为T、S ．⑴请画出旋转后的图形，并证明△MCN△MCS⑵求MCN 的度数．BBNN MC AM SC A r图 7【分析】⑴将△ ABC 绕着C点顺时针旋转90，如图．依据旋转前后的对应关系，可知BN AS ，CN CS ， NBC SAC45所以MAS MAC SAC90．由色股定理，得MS 2AM 2AS2AM 2BN 2MN2，所以M N．M S又因为CN CS ，CM 是公共边，所以△MCN △MCS ．⑵因为 CN 顺时针旋转 90后获得 CS ，所以NCS90，上边已证得△MCN △MCS ，故MCN MCS 145．NCS223 ．（此题满分 15 分）已知长方形的边长都是整数，将边长为 2 的正方形纸片放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且随意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好．⑴假如长方形的长是4，宽是 3 ，那么最多能够放入多少个边长为 2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑵假如长方形的长是 n(n ≥ 4) ，宽是 n 2 ，那么最多能够放入多少个边长为2 的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是多少？⑶关于随意知足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55% 求长方形边长的全部可能值．（已知0.55 0.74 ）【分析】 ⑴ 最多能够放入 2 个正方形，长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的百分比是2 22 2 ．4 366.7%3⑵当 n 是偶数时， n 2 也是偶数，最多能够放入1 个正方形，长方形被覆盖的面n( n 2)4 积占整个长方形面积的百分比是 100% ．当 n 是奇数时， n2 也是奇数，最多能够放入1 3) 个正方形，长方形被覆盖的(n 1)(n4面积占整个长方形面积的百分比是 n 1 n 3n n2100% ．⑶设长方形的宽与长分别是x ，y ．若 x ，y 都是偶数，则长方形被覆盖的面积占整个长方形面积的100% ，不切合题意．若 x ，y 中一个是偶数 2a ，一个是奇数 2b 1 （ a ，b 是正整数），则4ab 4ab2b0.55 ．xy2a (2b 1) 2b 1解得 b 0.61．没有知足此结果的正整数b ，这类状况也不切合题意．所以， x ，y 都是奇数．x 2a 1 ，令 y 2b 1 ， a ≤ b ，a ，b 是正整数，则有4ab0.55 ．2a 1 2ba4ab4a4a2因为2a2a 1 2b a11，12a12a 12a22ba22a所以0. 55．2a 12a得0. 7 ，4a 1.，42a 1因为 a 是正整数，所以 a 1代入①式，得4b0. 55， 3 ( 2b1)解得 b 2.4 ，因为 b 是正整数，所以 b 1 或 2故有x 3 ，y3或 5．即长方形长为 5，宽为 3，或长与宽都是 3．第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛参照答案及评分标准初二第 2 试一、选择题（每题4 分．）题号1 21 3 4 5 6 7 8 9 10答案BDBCCADADB二、填空题（每题 4 分，第 17 、19 题，每空 2 分．）题号111213141516 17 1819 20答案 -4b ，a≥1x 1 x a 1 x a 115 4；6402；3421. 21259 23 109 8 109 ，∴得数是 10 位数．2.∵xy 1 ，∴ y 3 x 32 329x 33 189 x y 18 x21x42 7 x22将其代入代数式，得315x 30 5 x 29 x y 189x3 18x2当 x2 时，原式7；当 x 2 时，原式的值不存在．53x 3a 2 ≥ 4 x 2 2ax ≥ 1a113.原不等式7 b2 x 2b 3b 3x1 7a ≤ xx 5b5于是 01a ≤ 1 ， 31b≤ 4所以 a 有 7个不一样的取值， b 有 5 个不一样的取值，75于是整数对 a , b 共有7535个．4.∵x y z ，∴x y z 2 z ，即1802z，∴z90，三角形为钝角三角形．5.如图，补三个等边三角形，则 a b c c d e a f e ，于是a b d e．a b ca cdfee6.利用直角三角形中斜边大于直角边易得结论a m h ．7.设该球队胜、平、负的场数分别为x 、y、 15 x y ，则 3x y33 ．x ≥ 0y ≥ 0 x ，于是 0 ≤ y ≤ 6 ，又y能整除 3 ，于是 y 0 , 3 , 6 ．y ≤ 153x y 33对应的 x 11 , 10 , 9 ，共3种状况．8.∵11与 x y 成反比，∴x y11m ，此中 m 为非零常数．x y x y于是yx m 2 ，所以y为定值．x y x2y2而 x y22y y1， x2y2x2 1 ，联合y为定值xxx x x所以 x y2与x2y2成正比．9. B 与 C 的纵坐标相等，即k2，∴k2AC6AC AB AB10.假定报出来的数是 3 的人内心想的数是 x ，则报出来的 12345678910数4 x x8 x 4 x12 x内心想的数于是 4x 12x20 ，解得 x2 ．11. x 4 24x 22 7 x 224 2 7 x 228 x 28 7 x4 48 7x 4828x 2 56 7x 5222 8 2 x7 25 6x 752．412. 过 A 、 A 1 作 x 轴的垂线，利用弦图简单获得A 1 b , a ．aba 2ba 211a b13.a bba b∵b 2a 2b 2aba 2，ab11ba2222而a2b2 ≥ 2 a 2 b 22bab a∴ab a b ≥1 1a b ，即ab1 1 ．b 2a 2a bb 2 a 2 ≥ a b14. ∵a 2 b 2a 2 b 2a 2b21 ， b 1110 ，∴a于是 a a b b a b 12 10 1 ．15.x 3 2 a 1 x 2 a 2 2 a 1 x2a 1x 3 2ax 2 a 2 1 x x 2 2ax a 2 1x 1 x 22axa1 a 1x 1 x a 1 x a116. 设当 B 在 A 、C 正中间是 ABBC1，则 C 相对 B 的速度为1，C 相对 A 的速度为 2 ，1015所以 B 相对 A 的速度为1，故 B 追上 A 需要时间为 30 分钟．30于是再过 15 分钟， B 追上 A ．17. 设等腰三角形的腰长为x ，则底边长为 20 2x ，于是 0 20 2xxx ，有 5 x 10 ，∴x 的可能取值有 6 , 7 , 8 , 9，共 4 种．其面积为10 1022 x10 ，∴当 x7 时三角形面积最大，此时底边长为6 ．x18. 在 BC 上取一点 E ，使得 CE CA ，简单证明 △ AEB ≌△ ADC ，于是 ABC 40 ．19. ∵ A 3 , 0 ，B 0,1，∴ AB 2于是 S △ ABC 12AB22∵S△ ABP1 1 1 a1 3 11 3 a 12 ，解得 a3 4 ．2 2222220. △ ABC 的面积不小于三边长分别为 3 , 9 , 10 的三角形面积，于是S △ABC ≥ 11 11 3 11 9 11 10262 ；而 △A B C 的面积不大于周长为 18 的正三角形面积，于是3 2S 2 ≤18243 ．49 33∴S 1 S 2 ．。
希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)
1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。
希望杯第四届全国青少年数学大赛八年级初赛试题(含答案)-
“希望杯”第四届全国青少年数学大赛初赛题（八年级）（时间：120分钟满分：120分）一、选择题．（每小题6分，共36分）1．计算3－2的结果是（）．A．－9 B．－6 C．－19D．192．已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于（）．A．12 B．12或15 C．15 D．15或183．若22123xx x-+-=0，则x=（）．A．±1 B．1 C．－1 D．不存在4．若5x=a，5y=b，则52x+y=（）．A．2abB．a2b C．a2+1bD．2ab5．如果a，b是整数，且x2－x－1是ax3+bx2+1的一个因式，那么a等于（）．A．－2 B．－1 C．0 D．16．设直线nx+（n+1）n≥1的自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S n（n=1，2，…，2008），则S1+S+2…+S2008的值为（）．A．1 B．200720062008.. 200820072009C D二、填空题（每题6分，共36分）7．若实数a，b满足│3a－=0，则a b的值为________．8．如果x2－mx+9是一个完全平方式，那么m的值是________．9．如图，∠A=20°，∠ABC=100°，D、E是△ABC的边AC上的点，且AD=AB，CE=CB，则∠DBE=________．10．若23251,2y x xy y y x x xy y---=--则的值是_________． 11．已知实数x ，y 满足x 2－2x+4y=5，则x+2y 的最大值是_______．12．已知M （5，2）与N 关于直线y=x 对称，则N 点的坐标为________．三、解答题．（共48分）13．（本题满分10分）有一道题：“先化简，再求值：22361()399x x x x x -+÷+--，其中x=－2008”，•小颖同学做题时把“x=－2008”错抄成“x ＝2008”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是为什么？14．（本题满分12分）如图，△ABC 是等边三角形，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，CD=AE ，•求∠APB 的度数．15．（本题满分12分）若a+b+c=0，求222222222222a b c b c a c a b +++-+-+-的值．16．（本题满分14分）已知动点P 以每秒2cm 的速度沿图甲的边框按B→C→D→E →F→A 的路径移动，相应的△ABP 的面积S 关于时间t 的函数图象如图，若AB=6cm ，试回答下列问题：（1）图甲中BC 的长是多少？（2）图乙中的a 是多少？（3）图甲中的图形面积是多少？（4）图乙中的b 是多少？参考答案1．D 2．C 3．C 4．A 5．D 6．D7．1 8．±6 9．40° 10．13711．9/2 12．（2，5） 13．解：原式=236(3)(3)39x x x x x x -+-++-（x 2－9）=（x －3）2+6x=x 2+9 （8分） 当时，原式的值相同． （10分）14．解：∵CD=AE ，AC=AB ，∠ACD=∠BAE=60°∴△ADC ≌△BEA （SAS ） （6分）∴∠CAD=∠ABE （8分）∴∠APB=∠CAD+∠AEB=∠ABE+∠EBC+∠ACB （10分）=∠ABC+∠ACB=60°+60°=120° （12分）15．解：原式222222222222(6)()()()2220(12)222a b a b b c b c c a c a c a b ab bc ca abc =+++---+---+---++=++=-=---分分 16．解：（1）BC=2×4=8（cm ） （3分）（2）a=6×8÷2=24 （6分）（3）CD=2×（6－4）=4（cm ） DE=2×（9－6）=6（cm ） （8分） ∴S=6×8+6×（6－4）=60（cm ） （10分）（4）b=（2+8+6）÷2+9=17 （14分）。
第二十届希望杯全国邀请赛八年级数学试题第二试
第二十届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题第二试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1．篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（ ）2．如果1-<<y x ，那么代数式xy x y -++11的值是（ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（ ）（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108°（C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( )（A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）406．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection point ofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）（A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）平行四边形8．若不等式组⎩⎨⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（ ） （A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m 9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（ ）（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）31010．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定q p n F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ． 则在以下结论 ①21)2(=F ②83)24(=F ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=． 中，正确的结论有（ ）（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11．将一根钢筋锯成a 段,需要b 分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要 分钟．12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，1800<≤A ），它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离． 现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令： ． 13．已知实数x ，y ，z 满足3321z y x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是 ，最小值是 ．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inverse number ，the corresponding value of )(x f is also the inverse number,and 0)2(=f ，then =++ba d c ．（英汉小词典：inverse number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分．18．若正整数a ,b 使等式20092)1)((=-+++b a b a a 成立,则=a ,=b ． 19．如图6,长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和21S S S ++．（填“<”、“=”、“>”）20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于52但与52最接近的那个分数．22．（本题满分15分）如图7，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，23），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分15分）点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数xk y的图象上，求k 可能取的一切值．。
希望杯八年级英语竞赛试题及答案
希望杯八年级英语竞赛试题及答案第一部分：听力部分（共20分）第一节：听小对话回答问题（共10分）1. A: Can you help me with my math homework?B: Sorry, I'm really busy right now.What is the man's response?- [ ] A. Yes, he can help.- [ ] B. No, he can't help.- [ ] C. Yes, but he's busy.- [ ] D. No, he's not busy.2. A: Could you lend me your pen?B: Sure, here you go.What does the woman want from the man?- [ ] A. Some paper.- [ ] B. A pen.- [ ] C. A book.- [ ] D. Some food.3. A: When is the school trip?B: It's on Friday.What are they talking about?- [ ] A. The school trip.- [ ] B. The weekend.- [ ] C. The vacation.- [ ] D. The schedule.4. A: Do you want to go swimming this afternoon? B: I'd love to, but I have to finish my homework. What does the woman want to do?- [ ] A. Go swimming.- [ ] B. Finish her homework.- [ ] C. Go shopping.- [ ] D. Go hiking.5. A: What did you do last weekend?B: I visited my grandparents.Where did the woman go last weekend?- [ ] A. To the beach.- [ ] B. To the park.- [ ] C. To her grandparents' house.- [ ] D. To the shopping mall.第二节：听长对话回答问题（共10分）6. M: Can you tell me how to get to the library?W: Sure, go straight for two blocks, then turn left. It's on your right. Where is the library?- [ ] A. On the left.- [ ] B. On the right.- [ ] C. Straight ahead.- [ ] D. Two blocks away.7. M: What do you usually do to relax?W: I like playing the piano. It helps me forget about my worries. What does the woman like doing to relax?- [ ] A. Reading.- [ ] B. Playing the piano.- [ ] C. Watching movies.- [ ] D. Going for a walk.W: I'm sorry, I can't. I have to attend a meeting.Why can't the woman go to the concert?- [ ] A. She doesn't like concerts.- [ ] B. She has to work.- [ ] C. She has to go to a meeting.- [ ] D. She has other plans.9. M: How was your vacation in Hawaii?W: It was amazing! The beaches were beautiful and the weather was perfect.What does the woman think of her vacation?- [ ] A. Boring.- [ ] B. Disappointing.- [ ] C. Amazing.- [ ] D. Frustrating.10. M: Have you ever been to Paris?W: No, but I would love to visit someday. Has the woman been to Paris?- [ ] A. Yes, she has been to Paris.- [ ] B. No, she has never been to Paris.- [ ] C. It's not mentioned.- [ ] D. She doesn't want to go to Paris.第二部分：阅读理解（共30分）请根据以下内容选择正确的答案。
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第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第二试2013年4月15日 上午8：30至10：30一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b cx a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ） （A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时)10、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
13、若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩中的未知数x 的取值范围是11x -<<，那么（1a +）（1b -）的值等于＿＿＿14、已知123a a a ⋅⋅⋅…⋅2007a 是彼此互不相等的负数，且122006232007()()M a a a a a a =++++++，122007232006()()N a a a a a a =++++++那么M 与N 的大小关系是M ＿＿N15、∣a c bd|叫做二阶行列式，它的算法是：ad bc -，将四个数2、3、4、5排成不同的二阶行列式，则不同的计算结果有＿＿个，其中，数值最大的是＿＿＿。
16、如图4，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0。
7米，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了＿＿米。
17、Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add your age.add your age when Lwas your age is 48.The age of Xiao Hua is ＿＿ now.(英汉词典：age 年龄：add 加上；when 当……时)18、长方体的长、宽、高分别为正整数a b c ⋅⋅，且满足2006a b c ab bc ac abc ++++++=，那么这个长方体的体积为＿＿。
19、已知a 为实数，且a +1a-a 的值是＿＿。
20、为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文→密文（加密）。
现规定英文26个字母的加密规则是：26年字母按顺序分别对应整数0到25，例子如，英文a b c d ⋅⋅⋅，写出它们的明文（对应整数0，1，2，3），然后将这4个字母对应的整数（分别为 1.2,3,4x x x x ）按1231112323x x x x x x ++⋅计算，得到密文，即a b c d 四个字母对应的密文分别是2.3.8.9.现在接收方收到的密文为35.42.23.12.则解密得到的英文单词为＿＿＿。
三、解答题（本大题共3小题，共40分）要求：写出推算过程21、（本题满分10分）如图5，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离（2）大六角星形的面积（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值（注：本题中的六角星形有12个相同的等边三角形拼接而成的）22、（本题满分15分）甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A地的距离s （千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回。
请根据图象中的数据回答：（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？23、（本题满分15分）平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接。
（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？答案：一、选择题（每小题4分）三、解答题21（1）连接CO ，易知△AOC 是直角三角形，90,30ACO AOC ∠=∠= 所以22AO AC a ==（2）如图1，大六角星形的面积是等边△AMN 面积的12倍 因为2222()()22AM a AM =+ 解得AM = 所以大六角星形的面积是21122S a =⨯⨯=（3）小六角星形的顶点C 到其中心A 的距离为a ，大六角星形的顶点A 到其中心O 的距离为2a ，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以，大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3 22．（1）由图知，可设甲车由A 地前往B 地的函数解析式为s kt = 将(2.4,48)代入，解得20k = 所以20s t =由图可知，在距A 地30千米处，乙车追上甲车，所以当30s =千米时，301.52020s t ===（小时）。
即甲车出发1.5小时后被乙车追上 （2）由图知，可设乙车由A 地前往B 地函数的解析式为s pt m =+将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得030 1.5p m p m =+⎧⎨=+⎩，解得6060p m =⎧⎨=-⎩所以6060s t =-当乙车到达B 地时，48s =千米。
代入6060s t =-，得 1.8t =小时 又设乙车由B 地返回A 地的函数的解析式为30s t n =-+ 将（1.8，48）代入，得4830 1.8n =-⨯+，解得102n = 所以30102s t =-+当甲车与乙车迎面相遇时，有3010220t t -+=解得 2.04t =小时 代入20s t =，得40.8s =千米 即甲车与乙车在距离A 地40.8千米处迎面相遇（3）当乙车返回到A 地时，有301020t -+= 解得 3.4t =小时 甲车要比乙车先回到A 地，速度应大于48483.4 2.4=-（千米/小时）23．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段69272⨯=（条） （2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段1[2(34)3(24)4(23)]262⨯++⨯++⨯+=（条） （3）设第一组有a 个点，第二组有b 个点，第三组有c 个点，则平面上共有线段 1[()()()]2a b c b a c c a b ab bc ac +++++=++（条） 若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为(1)(1)(1)(1)1a b b c a c ab bc ca a b -++++-=+++--与原来线段的条数的差是1a b --，即当a b >时，10a b --≥，此时平面上的线段条数不减少 当a b ≤时，10a b --<此时平面上的线段条数一定减少 由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多 设三组中都有x 个点，则线段条数为23192x = 解得8x = 所以 平面上至少有24个点。