鲍威尔法概述及算例求解

并求出 （5）计算 判断
是否成立 若成立，则由 出发沿 方向进行一维搜索，求出目标 函数f(x)的极小点 ，并作为k+1轮的初始点 ，然后进行 k+1轮搜索，挤掉 ，同时把 放在方向组的最后 构成新一轮的方向组。
（6）若上述判断条件不成立，则k+1轮的初始点和方向组为 = 即此时k+1轮的n个搜索方向全部用第k轮的搜索方向。 （7）每轮迭代结束，都应检验收敛条件，若能满足：
则可输出最优解，迭代结束。否则进入下一轮迭代，即转 步骤（2）
（5）计算举例 例：用鲍威尔法求目标函数 解（极小值）。已知，初始点
的最优 ，收敛精度
满足
进行第二次循环

总结 ： （1）共轭方向及共轭向量 （2）鲍威尔修正算法，判别条件及计算步骤。

（二）共轭向量的性质 设A为n×n阶实对称正定矩阵， （i=1,2,…n） 是关于A的n个互相共轭的非零向量，对于正 定二次函数f(x)的极小化寻优问题，从任何初 始点出发，依次沿 方向经n次一维搜索即可 收敛到极小点 = 沿n元二次正定函数的n个共轭方向进行n次 一维搜索就可达到目标函数的极小点。
根据这一原理构造的迭代算法称为鲍威尔基 本算法。
（二）鲍威尔法的缺陷
鲍威尔基本算法不可能对每一个都起作用，因为在迭代 过程中的n个搜索方向有时会变成线性相关的，而不能形 成共轭方向，导致随后的迭代搜索在降维（退化）的空间 中进行，可能求不到极小点，故而进行改进。
（三）鲍威尔修正算法
为了避免这种“退化”现象的发生，鲍威尔对这一算法 进行了修正。即在每一轮产生新的搜索方向 后，首先 判断原搜索方向组是否可以直接用下一轮迭代的方向组， 若可以，即用。否则，还要进一步判断原搜索方向组中哪 个方向上的函数值下降量最大，然后再用新搜索方向替换 这个下降量最大的搜索方向，以保证逐次生成共轭方向， 即每一轮迭代的搜索方向组线性无关。
二 鲍威尔法
（一）鲍威尔法的基本原理和ห้องสมุดไป่ตู้代过程
（1）采用坐标轮换法顺次沿n个坐标方向进行一维搜索， 然后以初始点 和终点 构成一个新的方向 ，并依此 方向为搜索方向再作一维搜索得到极小点 （2）取始点 = ，并去掉原搜索方向组中的第一个 方向 = ，而将第一轮构成的新搜索方向 作为最 末一个方向，以此组成第二轮迭代的n个方向。 依次进行下去，直到获得满足迭代收敛精度要求的近似 极小点为止。
鲍威尔法
鲍威尔（Powell）法又称方向加速度法， 它是利用共轭方向可以加快收敛速度的性质 形成的一种搜索方法。该方法不用对目标函 数求导，当目标函数的导数不连续时也能应 用，因此，鲍威尔法是一种十分有效的直接 搜索法。
一 共轭方向的概念与共轭向量的性质

（一）共轭方向 设A为n阶实对称正定矩阵，若有两个n维向量 和 能满足 A =0 则称向量 与 对矩阵A共轭，共轭向量的 方向称为共轭方向。
其中： —第k起始点函数值 — k轮方向组一维搜索终点函数值 — 对 的映射点函数值 — 第k轮方向组沿诸方向一维搜索所得的各 函数下降量中最大者，其对应的方向即是
鲍威尔修正算法的判别条件

（四）鲍威尔法的计算步骤
（1）给定初始点 和计算精度 ，即取初始方向组为n 个单位坐标向量。 （2）沿 各方向进行一轮n次一维搜索 即： minf( +a )= f( + ) 得到: = 这一步相当于最优步长的坐标轮换法。 （3）经计算求出共轭方向和映射点分别为 = （4）计算k轮中相邻两点目标函数值的下降量，并求出下 降量最大者及其相应的方向