重庆市一中数学圆几何综合专题练习(解析版)

合集下载

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点）过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

备战中考数学圆的综合综合题含详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ；（2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）25°.【解析】试题分析：（1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒.2．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ．(1)如图(1),求证:AD ∥BC ；(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ；(3)在(2)的条件下,若DG 平分∠3∠3,求⊙O 的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=1CN，∴AE=2DF．2（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=3DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43，设HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=53，解得：x=3，∴AB=83，HB=43，AH=12，EC=DE=AB=83，∴HC=HE+EC=383+=93．在Rt△AHC中，AC=222212(93)AH HC+=+=343．作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP，∴3432129sin603ACAP===︒，∴⊙O的半径是129．3．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE是小⊙O的直径，可得OA=OE，连接OF，根据切线的性质，可得OF⊥BD，然后由垂径定理，可证得DF=BF，易证得OF∥CE，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF，继而可得四边形ABCD是平行四边形，则可得AD=BC，AB=CD．然后连接OD、OC，可证得△AOD≌△EOC，则可得BC=AD=CE=AE．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．4．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：3，∴S⊙P=3π5．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，sin∠AGF=45，求⊙O的半径．【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45AE AB ，∵AE=4，∴AB=5，则圆O 的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ；（2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,Rt △ACM 中，易得AC=23×3=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3∵△CDO ≌△EDO(AAS)，∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.7．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，①△CBH∽△OBC②求OH＋HC的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.【解析】分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；②由△CBH∽△OBC可知：BC HBOC BC＝，所以HB=24BC，由于BC=HC，所以OH+HC=4−24BC+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠OCA+∠OCB=90°，∵∠GAF=∠GCE，∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，∵OC是⊙O的半径，∴直线CG是⊙O的切线；（2）①∵CB=CH，∴∠CBH=∠CHB，∵OB=OC，∴∠CBH=∠OCB，∴△CBH∽△OBC②由△CBH ∽△OBC 可知：BC HB OC BC ＝ ∵AB=8，∴BC 2=HB•OC=4HB ， ∴HB=24BC ， ∴OH=OB-HB=4-24BC ∵CB=CH ，∴OH+HC=4−24BC +BC ，当∠BOC=90°，此时BC=42 ∵∠BOC ＜90°， ∴0＜BC ＜42，令BC=x 则CH=x ，BH=24x ()221142544OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．8．如图，是大半圆的直径，是小半圆的直径，点是大半圆上一点，与小半圆交于点，过点作于点. （1）求证：是小半圆的切线；（2）若，点在上运动（点不与两点重合），设，. ①求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； ②当时，求两点之间的距离.【答案】（1）见解析；（2）①，，②两点之间的距离为或.【解析】【分析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM 是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2=DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x=0，当点P与点B重合时x=4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y=3时，得到-x2+4x=3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【详解】（1）连接，如图1所示∵是小半圆的直径，∴即∵∴∵∴∴，∵∴，∴∴.，即∵经过半径的外端，且∴直线是小半圆的切线.（2）①∵，，∴∴∴∽∴∴∵,,，∴当点与点重合时，；当点与点重合时，∵点在大半圆上运动（点不与两点重合），∴∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围是.②当时，解得,Ⅰ当时，如图2所示在中，∵，∴，∴∵，∴是等边三角形∵∴∴.Ⅱ当时，如图3所示，同理可得∵∴∴过点作，垂足为，连接，如图3所示∵，∴同理在中，∵，∴综上所述，当时，两点之间的距离为或.【点睛】考查了切线的判定、平行线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，综合性比较强．9．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2．整理，得x2+7x=12．所以S△ABC=12 AC•BC=12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝3x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.10．如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O 的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．（1）求证：PC=PD；（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．【答案】(1)见解析 (2) EC=172AE=132【解析】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=72，延长即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴AE=BE，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵AE=BE，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x =72，∴CF =FE =172，∴EC CF =2，AE 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

人教版九年级数学上册圆几何综合专题练习(解析版)(1)

人教版九年级数学上册圆几何综合专题练习（解析版）(1)一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE 的值．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=35x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OC，如图1，∵OA＝OB，AC＝BC，∴OC⊥AB，∵OC过O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：连接OC、DC，如图2，∵AB＝4AD，∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，∴∠DCF＝90°，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝∠DCF＝90°，∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，∵OF＝OC，∴∠AFC＝∠OCF，∴∠ACD＝∠AFC，∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACF，∴122 AC AD DC xAF AC CF x====，∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，∵AD＝x，∴DF＝4x﹣x＝3x，在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，解得：DC＝5x，∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，∴DC EC=，∴∠CFE＝∠AFC，∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝DCDF＝535xx=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．2．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==3．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．4．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．5．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1【解析】【分析】（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE ⊥AB ，∴∠FDG+∠ABD ＝90°，∵∠DBC ＝∠ABD ，∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ，∴FD ＝FG ；②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DH ，在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，DH DE BD BD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ），∴BE ＝BH ，∵D 是弧AC 的中点，∴AD ＝DC ，在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，DE DH AD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDH （HL ）．∴AE ＝CH ．∴BE ＝AB ﹣AE ＝BC+CH ＝BH ，即5﹣AE ＝3+AE ，∴AE ＝1．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在y 轴的正半轴上，点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC 沿直线AB 折叠，点C 落在x 轴的负半轴D （−4，0）处．（1）求直线AB 的解析式；（2）点P 从点A 出发以每秒5AB 方向运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交x 轴于点Q ，PR ∥AC 交x 轴于点R ，设点P 运动时间为t （秒），线段QR 长为d ，求d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N 是射线AB 上一点，以点N 为圆心，同时经过R 、Q 两点作⊙N ，⊙N 交y 轴于点E ，F ．是否存在t ，使得EF =RQ ？若存在，求出t 的值，并求出圆心N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x =-+（2）d =5t （3）故当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C （0，8），D （-4，0），可求得OC ，OD 的长，然后设OB=a ，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解;试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ，在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2，则（8-a ）2=a 2+42，解得：a=3，则OB=3，则B （0，3），tan ∠ODB=34OB OD = ，在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ，则OA=6，则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k b b +== ，解得：1{23k b =-= ，故直线AB 的解析式为：y=-12x +3；（2）如图所示：在Rt △AOB 中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan 2OB OB OA BAO OA +=∠== ，255OA cos BAO AB∠==，在Rt △PQA 中，905APQ AP t ∠=︒=，则AQ=10cos AP t BAO=∠ , ∵PR ∥AC ，∴∠APR=∠CAB ，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB ，∴∠BAO=∠APR ，∴PR=AR ，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR ，∴RP=RQ ，∴RQ=AR ，∴QR=12AQ=5t, 即d=5t; （3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，∵EF=QR ，∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形，则TQ=TR=1522QR t = ，∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（），分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上，则132n n -=-+ ，解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ，解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N （2，2），NT=2，即1524t =, 解得：t=815∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)

中考数学《圆的综合》专题训练(含有答案)1．如图，：AB 是O 的直径：BC 是O 弦，OD CB ⊥于点E ，交BC 于点D ．(1)请写出三个不同类型的正确结论(2)连结CD ，设BCD α∠= ABC β∠= 试找出α与β之间的一种关系式并给予证明．2．如图，，在ABC 中 AB AC = 以AB 为直径的O 交BC 于点D 交CA 的延长线于点E ．(1)求证点D 为线段BC 的中点．(2)若63BC = 3AE = 求O 的半径及阴影部分的面积．3．如图，AB 为O 的直径点C 在O 上延长BC 至点D 使DC CB =．延长DA 与O 的另一个交点为E 连结AC CE ，．(1)求证D E ∠=∠(2)若42AB BC AC =-=，求CE 的长．4．请仅用无刻度的直尺完成下列作图不写作法保留作图痕迹(1)如图1， ABC 与ADE 是圆内接三角形 AB AD = AE AC = 画出圆的一条直径．(2)如图2 ， AB CD 是圆的两条弦 AB CD =且不相互平行画出圆的一条直径． 5．如图，AB 是O 的直径点D 在AB 的延长线上点C 在O 上 ,30CA CD CDA =∠=︒．(1)求证CD 是O 的切线(2)若O 的半径为6 求点A 到CD 所在直线的距离．6．如图，点C 在以AB 为直径的O 上过C 作O 的切线交AB 的延长线于E AD CE ⊥于D 连接AC ．(1)求证ACD ABC ∠=∠(2)若3tan 4CAD ∠= 8AD = 求O 直径AB 的长．7．如图，已知以Rt ABC 的直角边AC 为直径作O 交斜边AB 于点E 连接EO 并延长交BC 的延长线于点D 连接AD 点F 为BC 的中点连接EF ．(1)求证EF 是O 的切线(2)若O 的半径为6 8CD = 求AB 的长．8．如图， AB 是半圆O 的直径 D 为半圆O 上的点(不与A B 重合) 连接AD 点C 为BD 的中点过点C 作CF AD ⊥ 交AD 的延长线于点F 连接BF AC 交于点E ．(1)求证FC 是半圆O 的切线(2)若3AF = 23AC = 求半圆O 的半径及AE 的长．9．如图， AB 为O 的直径 C 为BA 延长线上一点 CD 是O 的切线 D 为切点 OF AD ⊥于点E 交CD 于点F ．(1)求证ADC AOF ∠=∠ (2)若53OC OB = 24BD = 求EF 的长． 10．如图，所示 AB 是O 的直径点D 在AB 上点C 在O 上 AD AC =CD 的延长线交O 于点E ．(1)在CD 的延长线上取一点F 使BF BC = 求证BF 是O 的切线 (2)若2AB = 2CE 求图中阴影部分的面积．11．如图， ABC 内接于O AB 为O 的直径 D 为BA 延长线上一点连接CD 过O 作OF BC ∥交AC 于点E 交CD 于点F ACD AOF ∠=∠．(1)求证CD 为圆O 的切线 (2)若1sin 4D =10BC = 求EF 的长． 12．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形 AD CD = 70BAC ∠=︒ 50∠=°ACB ．(1)求ABD ∠的度数 (2)求BAD ∠的度数．13．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形且对角线BD 为O 的直径过点A 作AE CD ⊥ 与CD 的延长线交于点E 且DA 平分BDE ∠．(1)求证AE 是O 的切线(2)若O 的半径为5 6CD = 求DA 的长．14．如图，在正方形ABCD 中有一点P 连接AP BP 旋转APB △到CEB 的位置．(1)若正方形的边长是8 4BP =．求阴影部分面积 (2)若4BP = 7AP = 135APB ∠=︒ 求PC 的长．15．如图， AB 是O 的直径 OD 垂直于弦AC 于点E 且交O 于点D F 是BA 延长线上一点若CDB BFD ∠=∠．(1)求证 FD 是O 的一条切线(2)若15AB = 9BC = 求DF 的长． 16．如图，O 是ABC ∆的外接圆 AE 切O 于点A AE 与直径BD 的延长线相交于点E ．(1)如图，① 若70C ∠=︒ 求E ∠的大小 (2)如图，① 若AE AB = 求E ∠的大小．17．已知如图，直线MN 交O 于A B 两点 AC 是直径 AD 平分CAM ∠交O 于D 过D 作DE MN ⊥于E ．(1)求证DE 是O 的切线(2)若8cm DE = 4cm AE = 求O 的半径．18．已知四边形ABCD 内接于O C 是DBA 的中点 FC AC ⊥于C 与O 及AD 的延长线分别交于点,E F 且DE BC =．(1)求证~CBA FDC(2)如果9,4AC AB == 求tan ACB ∠的值．参考答案与解析1．(1)见解析(2)关系式为2=90αβ+︒ 证明见解析【分析】（1）AB 是O 的直径 BC 是弦 OD BC ⊥于E 本题满足垂径定理．（2）连接,CD DB 根据四边形ACDB 为圆内接四边形可以得到290αβ+=︒．【解析】（1）解不同类型的正确结论有 ①BE CE = ①BD CD = ①90BED ∠=︒ ①BOD A ∠=∠ ①AC OD ∥ ①AC BC ⊥ ①222OE BE OB += ①ABC S BC OE =⋅△ ①BOD 是等腰三角形 ①BOE BAC △∽△等等．（2）如图，连接,CD DBα与β之间的关系式为290αβ+=︒证明AB 为圆O 的直径90A ABC ∴∠+∠=︒①又四边形ACDB 为圆内接四边形180A CDB ∠∠∴+=︒①∴①-①得90CDB ABC ∠∠-=︒①18021802CDB BCD α∠=︒-∠=︒- 即180290αβ︒--=︒ ①2=90αβ+︒．【点评】本题考查了圆的一些基本性质且有一定的开放性垂径定理圆内接四边形的性质掌握圆的相关知识． 2．(1)见解析 (2)半径为3 39π324S =阴【分析】（1）连结AD 可得90ADB ∠=︒ 已知AB AC = 根据等腰三角形三线合一的性质即可得证点D 为线段BC 的中点（2）根据已知条件可证ABC DEC ∽△△ 得到ED ECAB BC= 22BD AB EC =⋅ 且EDC △是等腰三角形进而得到ED DC BD == 设AB x = 则(()22333x x =+ 解方程即可求得O 的半径连接OE 可证AOE △是等边三角形再根据AOEAOE S S S =-阴扇形即可求出阴影部分的面积【解析】（1）连结AD①AB 为O 的直径 ①90ADB ∠=︒ ①AB AC = ①BD CD =即点D 为线段BC 的中点．（2）①B E ∠=∠ C C ∠=∠ ①ABC DEC ∽△△ ①ED ECAB BC= ①AB AC = ①B C ∠=∠ ①C E ∠=∠ ①ED DC BD == ①22BD AB EC =⋅ 设AB x = 则 (()22333x x =+解得19x =-（舍去） 26x = ①O 的半径为3 连接OE ①60AOE =︒∠ ①AOE △是等边三角形 ①AE 33①AOEAOE S S S=-阴扇形260313333602π⨯⨯=-⨯ 39π324=【点评】本题主要考查等腰三角形的性质相似三角形的判定和性质不规则图形面积的计算熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)CE 的长为17【分析】（1）由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒ 通过证明()ACD ACB ≌SAS 得到D B ∠=∠ 又由B E ∠=∠ 从而得到D E ∠=∠（2）设BC x = 则2AC x =- 在Rt ABC 中由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+= 解一元二次方程得到BC 的长由（1）知D E ∠=∠ 从而得到CD CE = 又由DC CB = 得到17CE CB ==【解析】（1）证明AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒180ACD ACB ∠+∠=︒90ACD ∴∠=︒在ACD 和ACB △中AC AC ACD ACB DC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD ACB ∴≌SASD B ∴∠=∠ BE ∠=∠D E ∴∠=∠（2）解设BC x =2BC AC -=∴2AC x =-在Rt ABC 中由勾股定理可得222AC BC AB += 即()22224x x -+=解得117x = 217x = 17BC ∴=由（1）得D E ∠=∠ CD CE ∴= DC CB =17CE CB ∴==∴ CE 的长为17【点评】本题主要考查了圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质勾股定理解直角三角形熟练掌握圆周角定理三角形全等的判定与性质等腰三角形的性质是解题的关键． 4．(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）设BC DE 交于点G 连接AG 交圆于点F 即可作答（2）连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N 即可作答．【解析】（1）如图，设BC DE 交于点G 连接AG 并延长交圆于点F线段AF 即为所求证明如图， BC AE 交于点Q DE AC 交于点P 连接DB 交AF 于点H①AB AD = AE AC = ①C E ∠=∠ ADE ABC =∠∠ ①DAE BAC ∠=∠①DAE BAC ≌ ①BC DE = ①DAE BAC ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠①AB AD = ADE ABC =∠∠ ①DAP BAQ ≌ ①AQ AP = ①AE AC = ①QE PC =①QGE PGC ∠=∠ C E ∠=∠ ①QGE PGC ≌ ①QG PG =①AG AG = AQ AP = ①QAG PAG ≌ ①QAG PAG ∠=∠ ①BAE DAC ∠=∠ ①BAG DAG ∠=∠ ①AH AH = AB AD = ①BAH DAH ≌①BH DH = 90AHB AHD ∠=∠=° ①AF 垂直平分弦DB ①AF 是圆的直径（2）如图，连接BC AD 交于点F 延长BA DC 两线交于点E 作直线EF 交圆于点M N线段MN 即为所求．证明方法同（1）．【点评】本题主要考查了垂径定理圆周角定理以及全等三角形的判定与性质等知识掌握圆周角定理以及垂径定理是解答本题的关键． 5．(1)见解析 (2)9【分析】（1）已知点C 在O 上先连接OC 由已知CA CD = 30CDA ∠=︒ 得30CAO ∠=︒ 30ACO ∠=︒ 所以得到60COD ∠=︒ 根据三角形内角和定理得90DCO ∠=︒ 即能判断直线CD 与O 的位置关系．（2）要求点A 到CD 所在直线的距离先作AE CD ⊥ 垂足为E 由30CDA ∠=︒ 得12AE AD = 在Rt OCD △中半径6OD = 所以212OD OC == 18AD OA OD =+= 从而求出AE ．【解析】（1）①ACD 是等腰三角形 30D ∠=︒①30CAD CDA ∠=∠=︒．连接OC①AO CO =①AOC 是等腰三角形①30CAO ACO ∠=∠=︒①60COD ∠=︒在COD △中又①30CDO ∠=︒①90DCO ∠=︒①CD 是O 的切线即直线CD 与O 相切．（2）过点A 作AE CD ⊥ 垂足为E ．在Rt OCD △中 ①30CDO ∠=︒①212OD OC ==61218AD AO OD =+=+=在Rt ADE △中①30EDA ∠=︒①点A 到CD 边的距离为92AD AE ==．【点评】此题考查的知识点是切线的判定与性质解题的关键是运用直角三角形的性质及30°角所对直角边的性质．6．(1)见解析 (2)252AB =．【分析】（1）连接OC 由DE 为O 的切线得到OC DE ⊥ 再由AD CE ⊥ 得到AD OC ∥ 得到OCA CAD ∠=∠ 根据OA OC = 利用等边对等角得到OCA CAB ∠=∠ 等量代换得到CAD CAB ∠=∠ 由AB 为O 的直径可知90ACB ∠=︒ 最后根据等角的余角相等可得结论（2）在Rt CAD △中利用锐角三角函数定义求出CD 的长根据勾股定理求出AD 的长由（1）易证ADC ACB 得到AD AC AC AB= 即可求出AB 的长．【解析】（1）解连接OC由题意可知DE 与O 的相切于COC DE ∴⊥AD CE ⊥AD OC ∴∥OCA CAD ∴∠=∠OA OC =OCA CAB ∴∠=∠CAD CAB ∴∠=∠ AB 为O 的直径90ACB ∴∠=︒90CAD ACD CAB ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒ACD ABC ∴∠=∠（2）在Rt CAD △中3tan 4CDCAD AD ∠== 8AD =364CD AD ∴==22226810AC CD AD ∴+=+=由（1）可知CAD CAB ∠=∠90D ACB ∠=∠=︒ADC ACB ∴ADACAC AB ∴=81010AB∴= 252AB ∴=【点评】此题考查了切线的性质以及解直角三角形熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 7．(1)证明见解析 (2)125AB =【分析】（1）连接FO 可根据三角形中位线的性质可判断OF AB ∥ 然后根据直径所对的圆周角是直角可得CE AE ⊥ 进而知OF CE ⊥ 然后根据垂径定理可得FEC FCE ∠=∠OEC OCE ∠=∠ 再通过Rt ABC 可知90OEC FEC ∠+∠=︒ 因此可证EF 为O 的切线（2）根据题意可先在Rt OCD △中求出OD 然后在Rt EFD 中求出FC 最终在Rt ABC 中求解AB 即可．【解析】（1）证连接FO 则由题意OF 为Rt ABC 的中位线①OF AB ∥①AC 是O 的直径①CE AE ⊥①OF AB ∥①OF CE ⊥①由垂径定理知 OF 所在直线垂直平分CE①FC FE = OE OC =①FEC FCE ∠=∠ OEC OCE ∠=∠①90ACB ∠=︒即90OCE FCE ∠+∠=︒①90OEC FEC ∠+∠=︒即90FEO ∠=︒①EF 是O 的切线（2）解①O 的半径为6 8CD = 90ACB ∠=︒①OCD 为直角三角形 6OC OE == 8CD = ①2210OD OC CD += 10616ED OD OE =+=+=由（1）知 EFD △为直角三角形且FC FE =①设FC FE x == 则8FD FC CD x =+=+①由勾股定理 222EF ED FD +=即()222168x x +=+ 解得12x =即12FC FE ==①点F 为BC 的中点①224BC FC ==①212AC OC ==①在Rt ABC 中 22125AB BC AC +①125AB =【点评】本题考查切线的证明圆的基本性质以及勾股定理解三角形等掌握切线的证明方法熟练运用圆中的基本性质是解题关键．8．(1)见解析(2)半径为2 123AE =【分析】（1）根据点C 为弧BD 的中点得出FAC CAB ∠∠= 然后得出FAC ACO ∠∠= 根据平行线的性质得出CF OC ⊥ 进而即可求解（2）连接BC 设OC 与BF 相交于点P 证明AFC ACB ∽ 得出4AB = 证明BOP BAF ∽得出1322OP AF == 进而证明ECP EAF ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式进而即可求解．【解析】（1）证明连接OC 如图，点C 为弧BD 的中点∴CD CB =FAC CAB ∠∠∴=又OA OC =CAB ACO ∠∠∴=FAC ACO ∠∠∴=∴OC AF ∥又CF AD ⊥CF OC ∴⊥FC ∴是半圆O 的切线．（2）解连接BC 如图，AB 是半圆O 的直径90ACB ∠∴=︒90AFC ACB ∠∠∴==︒又FAC CAB ∠∠=AFC ACB ∴∽ ∴AFACAC AB = 23234AB ∴=∴半圆O 的半径为2．设OC 与BF 相交于点POC AF ∥BOP BAF ∴∽ ∴12OPOB AF AB == ∴1322OP AF == ∴12PC OC OP =-=OC AF ∥ECP EAF ∴∽ ∴EC PCAE AF = 即123AC AEAE -= 2316AE-=∴123AE = 【点评】本题考查了切线的性质与判定相似三角形的性质与判定掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接DO 根据CD 是O 的切线 OF AD ⊥ 证明ADC DOF ∠∠= 利用等腰三角形三线合一性质证明ADC AOF ∠∠=．（2）利用平行线分线段成比例定理计算OE 证明CFO CDB △∽△ 计算OF两线段作差即可求解．【解析】（1）如图，连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90ADC ADO ∠∠∴+=︒OF AD ⊥ OA OD =90DOF ADO ∠∠∴+=︒ DOF AOF ∠∠=ADC DOF ∠∠∴=ADC AOF ∠∠∴=．（2）如图，连接DO CD 是O 的切线OD DF ∴⊥90CDO ∠∴=︒53OC OB =设5(0)CO k k => 则3DO OB AO k ===4CD k ∴=538CB CO OB k k k ∴=+=+= AB 是O 的直径 24BD =AD DB ∴⊥OF AD ⊥∴OF BD ∥ ∴AO AE OB ED = CFO CDB △∽△ ∴OF CO BD CB= AE ED ∴=5524538OF k k k ==+ ∴1122OE BD == 15OF = 3EF OF OE ∴=-=．【点评】本题考查了切线的性质等腰三角形的三线合一性质平行线分线段成比例定理相似三角形的性质与判定熟练掌握切线的性质相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(1)证明过程见解析 (2)142π-【分析】（1）AB 是O 的直径 AC AD = BF BC = 可求出90FBD ∠=︒ AB BF ⊥ 由此即可求证（2）如图，所示（见解析）连接,CO EO 可得1OC OE == 可证222CO O CE += 90COE ∠=︒ 根据扇形面积的计算方法即可求解．【解析】（1）证明①AB 是O 的直径①90ACB ∠=︒①90ACD BCD ∠+∠=︒①AC AD =①ACD ADC ∠=∠①ADC BDF ∠=∠①ACD BDF ∠=∠①BC BF =①BCD F ∠=∠①90BDF F ∠+∠=︒①180()90FBD FDB F ∠=︒-∠+∠=︒①AB BF ⊥ 且OB 是O 的半径①BF 是O 的切线．（2）解如图，所示连接,CO EO①2AB =①1OC OE == ①2CE ①222CO EO += 2222CE == ①222CO O CE +=①90COE ∠=︒ ①29011111360242ππS ⨯=-⨯⨯=-阴影 ①图中阴影部分的面积为142π-．【点评】本题主要考查圆的基础知识掌握圆的切线的证明方法扇形面积的计算方法是解题的关键．11．(1)见解析(2)3【分析】（1）连接CO 根据OF BC ∥可得B AOF ∠=∠ 根据直径所对的圆周角为直角可得90B CAB ∠+∠=︒ 再根据AO CO =得出CAB ACO ∠=∠ 最后证明90ACD ACO ∠+∠=︒即可（2）根据中位线定理得出152OE BC == 证明DBC DOF ∽ 根据相似三角形对应边成比例即可求解．【解析】（1）证明连接CO①OF BC ∥①B AOF ∠=∠①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒ 则90B CAB ∠+∠=︒①90AOF CAB ∠+∠=︒①AO CO =①CAB ACO ∠=∠①ACD AOF ∠=∠①90ACD ACO ∠+∠=︒ 即OC CD ⊥①CD 为圆O 的切线（2）①AB 为O 的直径①点O 为AB 中点①OF BC ∥①OE 为ABC 中位线 ①152OE BC == ①1sin 4D = OC CD ⊥ ①4OD OC = 则5BD OD OB OC =+=①OF BC ∥①DBC DOF ∽ ①OF OF BC BD = 即4510OC OF OC = 解得8OF =①853EF OF OE =-=-=．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质圆周角定理相似三角形的判定和性质以及解直角三角形解题的关键是掌握切线的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．12．(1)30︒(2)100︒【分析】（1）根据三角形内角和定理可得60ABC ∠=︒ 再由AD CD = 可得ABD CBD ∠=∠ 即可求解（2）根据圆周角定理可得30ABD ACD ∠∠==︒ 从而得到80BCD ∠=︒ 再由圆内接四边形的性质即可求解．【解析】（1）解①70,50BAC ACB ∠=︒∠=︒①18060ABC BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒①AD CD = ①1302ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒ （2）解由圆周角定理得30ABD ACD ∠∠==︒①80BCD ACB ACD ∠=∠+∠=︒①四边形ABCD 是O 的内接四边形①180100BAD BCD ∠=︒-∠=︒．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理等知识熟练掌握圆内接四边形的性质圆周角定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AD 的长是25【分析】（1）连接OA 根据已知条件证明OA AE ⊥即可解决问题（2）作OF CD ⊥ 则四边形OAEF 是矩形且132DF CD ==由此可求得DE 的长在Rt OFD △中勾股定理求出OF 即AE 的长在Rt AED △中利用勾股定理求DA ．【解析】（1）证明如图，连接OA①AE CD ⊥①90DAE ADE ∠+∠=︒．①DA 平分BDE ∠①ADE ADO ∠=∠又①OA OD =①OAD ADO ∠=∠①90DAE OAD ∠+∠=︒①OA AE ⊥①AE 是O 的切线（2）解过点O 作OF CD ⊥于F ．①90OAE AEF OFE ∠︒=∠=∠=①四边形OAEF 是矩形①5EF OA AE OF ===，．①OF CD ⊥ ①132DF FC CD ===①532DE EF DF =-=-=在Rt OFD △中 2222534OF OD DF --=①4AE OF ==在Rt AED △中 22224225AD AE DE ++=①AD 的长是25【点评】本题考查了切线的判定与性质垂径定理圆周角定理勾股定理解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．14．(1)12π(2)9【分析】(1) 根据题意 CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形根据公式计算即可．(2) 连接PE 根据题意 45,135,90PEB CEP PEC ∠=︒∠=︒∠=︒ 根据勾股定理计算即可．【解析】（1）如图， ①正方形ABCD 旋转APB △到CEB 的位置①APB CEB ≌ 90ABC PBE ∠=∠=︒ =CEB APB S S ①CEB APB ABC PBE S S S S S =+--阴影扇形扇形①ABC PBE S S S =-阴影扇形扇形①48BP AB ==， ①9064901612360360S πππ︒⨯⨯︒⨯⨯=-=︒︒阴影．（2）连接PE根据题意 45,135PEB APB CEP ∠=︒∠=∠=︒ AP CE =①90PEC ∠=︒①4BP = 7AP =①2227,4432CE PE ==+=①222273281PC CE PE =+=+=解得9PC =．【点评】本题考查了正方形的性质旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理熟练掌握旋转的性质阴影面积的计算扇形面积公式勾股定理是解题的关键．15．(1)证明见解析(2)10DF =【分析】（1）因为CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠ 所以CAB BFD ∠=∠ 即可得出FD ①AC 可得得出OD FD ⊥ 进而得出结论（2）利用勾股定理先求解AC 再利用垂径定理得出AE 的长可得OE 的长证明AEO FDO ∽ 再利用相似三角形的判定与性质得出DF 的长．【解析】（1）①CDB CAB ∠=∠ CDB BFD ∠=∠①CAB BFD ∠=∠①FD AC ∥①OD 垂直于弦AC 于点E①OD FD ⊥①FD 是O 的一条切线（2）①AB 为O 的直径①90ACB ∠=︒①15AB = 9BC = ①2215912AC -= 7.5AO OB OD ===①DO AC ⊥①6AE CE == ①227.56 4.5OE -①AC FD ∥①AEO FDO ∽ ①AE EO FD DO = ①4.567.5FD= 解得10DF =．经检验符合题意.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理切线的判定以及平行线的判定掌握相似三角形的判定与性质垂径定理圆周角定理以及平行线的判定是解题的关键．16．(1)50︒(2)30︒【分析】（1）连接OA 先由切线的性质得OAE ∠的度数求出2142AOB C ∠=∠=︒ 进而得AOE ∠ 则可求出答案（2）连接OA 根据等腰三角形的性质及切线的性质列方程求解即可．【解析】（1）连接OA ．如图，①AE 切O 于点AOA AE ∴⊥90OAE ∴∠=︒70C ∠=︒2270140AOB C ∴∠=∠=⨯︒=︒又180AOB AOE ∠+∠=︒40AOE ∴∠=︒90AOE E ∠+∠=︒904050E ∴∠=︒-︒=︒．（2）连接OA 如图，①设E x ∠=．AB AE =ABE E x ∴∠=∠=OA OB =OAB ABO x ∴∠=∠=2AOE ABO BAO x ∴∠=∠+∠=． AE 是O 的切线OA AE ∴⊥ 即90OAE ∠=︒在OAE ∆中 90AOE E ∠+∠=︒即290x x +=︒解得30x =︒30E ∴∠=︒．【点评】本题主要考查了切线的性质等腰三角形的性质圆周角的性质三角形内角和的性质用方程思想解决几何问题关键是熟悉掌握这些性质．17．(1)见解析(2)10cm【分析】(1)连接OD 根据平行线的判定与性质可得90ODE DEM ∠=∠=︒ 又点D 在O 上即可证得DE 是O 的切线(2)首先根据勾股定理可得AD 的长再由ACD ADE ∽ 根据相似三角形的性质列出比例式代入数据即可求得圆的半径．【解析】（1）证明如图，连接ODOA OD =OAD ODA ∠=∠∴ AD 平分CAM ∠OAD DAE ∴∠=∠ODA DAE ∴∠=∠DO MN ∴∥DE MN ⊥90ODE DEM ∴∠=∠=︒ 即OD DE ⊥ 又点D 在O 上 OD 为O 的半径DE ∴是O 的切线（2）解90AED ∠=︒ 8cm DE = 4cm AE =22228445AD DE AE ∴++如图，连接CDAC 是直径90ADC AED ∴∠=∠=︒CAD DAE ∠=∠ACD ADE ∴△∽△AD AC AE AD ∴= 4545=解得20AC =O ∴的半径为10cm ．【点评】本题考查圆了切线的判定；等边对等角平行线的判定与性质圆周角定理勾股定理相似三角形的判定和性质等知识在圆中学会正确添加辅助线是解决问题的关键．18．(1)见解析 (2)49【分析】（1）欲证~CBA FDC ，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明DE BC =就可以（2）由~CBA FDC 可得814CF = ACB F ∠=∠ 进而即可得到答案．【解析】（1）证明①四边形ABCD 内接于O①CBA CDF ∠=∠．①DE BC =①BCA DCE ∠=∠．①~CBA FDC（2）解①C 是DBA 的中点①9CD AC ==①~CBA FDC 4AB = ①AB AC CD CF = 即499CF= ①814CF = ①~CBA FDC ①94tan tan 8194AC ACB F CF ∠=∠===．【点评】本题考查的是圆的综合题；涉及弧、弦的关系；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数；掌握相似三角形的判定和性质是解答此题的关键．。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

重庆第一中学数学旋转几何综合易错题(Word版含答案)

重庆第一中学数学旋转几何综合易错题（Word版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有EF=BE+DF；（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3【解析】【分析】（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即180ADG ADF∠+∠=︒，即180B D∠+∠=︒；（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．【详解】（1）解：如图，∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）解：∠B+∠D=180°，理由是：如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴F、D、G在一条直线上，和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF AFEAF GAFAE AG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案为：∠B+∠D=180°；（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22AB AC+，如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD 和△EAD 中AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAD ≌△EAD ，∴DF=DE ，设DE=x ，则DF=x ，∵BD=1，∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：222DF BF BD =+，22(3)1x x =-+，解得：x=53，即DE=53．【点睛】本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．2．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）492【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）PM PN =，PM PN ⊥；已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒即得PM PN =，PM PN ⊥故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得BAD CAE ∠=∠，又AB AC =，AD AE =∴BAD CAE ∆∆≌∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点∴PM 是DCE ∆的中位线∴12PM CE =，且//PM CE ，同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠，∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，即PMN ∆为等腰直角三角形．（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，此时1()72PN AD AB =+=，1()72PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为1497722⨯⨯=．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6．（1）如图1，若将线段AB 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BD ，连接AD ，则△ABD 的面积为．（2）如图2，点P 为CA 延长线上一个动点，连接BP ，以P 为直角顶点，BP 为直角边作等腰直角△BPQ ，连接AQ ，求证：AB ⊥AQ ；（3）如图3，点E ，F 为线段BC 上两点，且∠CAF ＝∠EAF ＝∠BAE ，点M 是线段AF 上一个动点，点N是线段AC上一个动点，是否存在点M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，说明理由．【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为3．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质，得到PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论；（3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图3，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AD，∴AD＝2BC＝12，∴△ABD的面积＝12AD•BC＝1212×6＝36，故答案为：36；（2）如图，过Q作QH⊥CA交CA的延长线于H，∴∠H＝∠C＝90°，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，∴∠PQH＝∠BPC，∴△PQH≌△BPC（AAS），∴PH＝BC，QH＝CP，∵AC＝BC，∴PH＝AC，∴CP＝AH，∴QH＝AH，∴∠HAQ＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴AB⊥AQ；（3）如图，作点C关于AF的对称点D，过D作DN⊥AC于N交AF于M，∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，∴∠EAC＝30°，则此时，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，∵点C和点D关于AF对称，∴AD＝AC＝6，∵∠AND＝90°，∴DN＝12AD＝126＝3，∴CM+NM最小值为3．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正确的作出作辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．综合与实践问题情境在一节数学活动课上，老师带领同学们借助几何画板对以下题目进行了研究.如图1，MN是过点A的直线，点C为直线MN外一点，连接AC，作∠ACD=60°，使AC=DC，在MN上取一点B，使∠DBN=60°．观察发现（1）根据图1中的数据，猜想线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；（2）希望小组认真思考后提出一种证明方法：将CB所在的直线以点C为旋转中心，逆时针旋转60°，与直线MN交于点E，即可证明（1）中的结论. 请你在图1中作出线段CE，并根据此方法写出证明过程；实践探究（3）奋进小组在继续探究的过程中，将点C绕点A逆时针旋转，他们发现当旋转到图2和图3的位置时，∠DBN=120°，线段AB、BD、CB的大小发生了变化，但是仍然满足一定的数量关系，请你直接写出这两种关系：在图2中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；在图3中，线段AB、DB、CB之间满足的数量关系是；提出问题（4）智慧小组提出一个问题：若图3中BC⊥CD于点C时，BC=2，则AC为多长？请你解答此问题.【答案】（1）AB+DB=CB；（2）见解析；（3）AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）23【解析】【分析】（1）根据图中数据直接猜想AB+DB=CB（2）在射线AM上一点E，使得∠ECB=60°，证明△ACE≌△DCB，推出EB=CB从而得出（1）中的结论；（3）利用旋转的性质和线段的和差关系以及全等三角形的性质得出线段关系；（4）过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.证明△ACE≌△DCB，得出BC=EC，结合△ECB为等边三角形，得出∠ECA=90°，在Rt△AEC中根据边长计算出AC的长度.【详解】综合与实践（1）AB+DB=CB（2）线段CE如图所示.证明：∵∠ECB=∠ACD=60º，∴∠2+∠ACB=∠1+∠ACB，∴∠2=∠1.∵∠ACD=∠DBN=60º, ∠ABD+∠DBN=180º，∴∠ABD+∠ACD=180º，∴在四边形ACDB中，∠CAB+∠3=180º.∵∠CAB+∠4=180º，∴∠4=∠3.又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB（ASA）∴EA=BD，EC=BC.又∵∠ECB=60°，∴△ECB为等边三角形,∴EB=CB.而EB=EA+AB=DB+AB,∴CB=DB+AB.（3） AB－DB=CB；DB－AB=CB；（4）证明：如图，过点C作∠BCE=60º，边CE与直线MN交于点E，设AC与BD交于点F.∵∠DCA=60º∴∠ECB+∠BCA=∠DCA+∠BCA即∠ECA=∠BCD∵∠DBN=120º∴∠DBA=60º又∵∠AFB=∠DFC∴∠EAF=∠BDC又∵AC=DC∴△ACE≌△DCB（ASA）∴BC=EC∴△ECB为等边三角形∴∠CEB=60º∵BC⊥CD∴∠ECA=∠BCD=90º∴在Rt△AEC中，∠CAE=30º∵BC=2，EC=BC∴AC=EC·tan60º= 3【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，根据题中条件适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等的性质得出线段关系是本题的关键.5．如图，△ABC和△DEC都是等腰三角形，点C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，F 为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，BE与CF的数量关系是__________；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转90°，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？请说明理由；（3）如图3，把△DEC绕C点顺时针旋转一个钝角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如成立，请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．【答案】（1）BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据“SAS”证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE，又因为AD=2CF，从而BE=2CF；（2）由点F是AD中点，可得AD=2DF，从而AC= 2DF+CD，又由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，可知BC=2DF+CE，所以BE= 2（DF+CE），CF= DF+CD，从而BE=2CF；（3）延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，可证△CDF≌△GAF，再证明△BCE≌△ACG，从而BE=CG=2CF成立.解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，在Rt△ACD中，点F是AD中点，∴AD=2CF，∴BE=2CF，故答案为BE=2CF；（2）（1）中的关系是仍然成立，理由：∵点F是AD中点，∴AD=2DF，∴AC=AD+CD=2DF+CD，∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∴BC=2DF+CE，∴BE=BC+CE=2DF+CE+CE=2（DF+CE），∵CF=DF+CD=DF+CD，∴BE=2CF；（3）（1）中的关系是仍然成立，理由：如图3，延长CF至G使FG=CF，即：CG=2CF，∵点F是AD中点，∴AF=DF，在△CDF和△GAF中，，∴△CDF≌△GAF，∴AG=CD=CE，∠CDF=∠GAF，∴∠CAG=∠CAD+∠GAF=∠CAD+∠ADC=180°﹣∠ACD，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠BCE=360°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，∴∠CAG=∠BCE，连接BE，在△BCE和△ACG中，，∴△BCE≌△ACG，∴BE=CG=2CF，即：BE=2CF．点睛：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质，考查了学生综合运用知识的能力，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．6．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE ()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ．【解析】【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB 90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴≌()BDE AASBC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()2BCD的面积为21a2，理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，BED ACB90∠∠∴==，线段AB绕点B顺时针旋转90得到线段BE，AB BD∴=，ABD90∠=，ABC DBE90∠∠∴+=，A ABC90∠∠+=，A DBE∠∠∴=，在ABC和BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC∴≌()BDE AAS，BC DE a∴==，BCD1S BC DE2=⋅，2BCD1S a2∴=；()3如图3，过点A作AF BC⊥与F，过点D作DE BC⊥的延长线于点E，AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22==， FAB ABF 90∠∠∴+=， ABD 90∠=，ABF DBE 90∠∠∴+=，FAB EBD ∠∠∴=，线段BD 是由线段AB 旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB 和BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AFB ∴≌()BED AAS ，1BF DE a 2∴==， 2BCD 1111S BC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.7．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB 2F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围．（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜223）m =6或m 17﹣3．【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （20），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A （220）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得2＜m ＜22，∴满足条件的m 的取值范围为2＜m ＜22．（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m 17﹣3173（舍弃），∴m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m=6或m=17﹣3时，四边形PMP′N是正方形．8．（操作发现）（1）如图1，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请直接写出探究结果：①∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．【答案】（1）①120°②DE=EF；（2）①90°②AE2+DB2=DE2【解析】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS 证明△ACF ≌△BCD ，得出∠CAF =∠B =45°，AF =DB ，求出∠EAF =∠BAC +∠CAF =90°； ②证出∠DCE =∠FCE ，由SAS 证明△DCE ≌△FCE ，得出DE =EF ；在Rt △AEF 中，由勾股定理得出AE 2+AF 2=EF 2，即可得出结论．试题解析：解：（1）①∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠B =60°．∵∠DCF =60°，∴∠ACF =∠BCD ．在△ACF 和△BCD 中，∵AC =BC ，∠ACF =∠BCD ，CF =CD ，∴△ACF ≌△BCD （SAS ），∴∠CAF =∠B =60°，∴∠EAF =∠BAC +∠CAF =120°；②DE =EF ．理由如下：∵∠DCF =60°，∠DCE =30°，∴∠FCE =60°﹣30°=30°，∴∠DCE =∠FCE ．在△DCE 和△FCE 中，∵CD =CF ，∠DCE =∠FCE ，CE =CE ，∴△DCE ≌△FCE （SAS ），∴DE =EF ；（2）①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∠BAC =∠B =45°．∵∠DCF =90°，∴∠ACF =∠BCD ．在△ACF 和△BCD 中，∵AC =BC ，∠ACF =∠BCD ，CF =CD ，∴△ACF ≌△BCD （SAS ），∴∠CAF =∠B =45°，AF =DB ，∴∠EAF =∠BAC +∠CAF =90°；②AE 2+DB 2=DE 2，理由如下：∵∠DCF =90°，∠DCE =45°，∴∠FCE =90°﹣45°=45°，∴∠DCE =∠FCE ．在△DCE 和△FCE 中，∵CD =CF ，∠DCE =∠FCE ，CE =CE ，∴△DCE ≌△FCE （SAS ），∴DE =EF ．在Rt △AEF 中，AE 2+AF 2=EF 2，又∵AF =DB ，∴AE 2+DB 2=DE 2．9．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可；（3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==，ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝，当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=，AD 的最小值为23，DEC ∴∆的周长的最小值为423+．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．10．已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE=BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′．（1）如图1，当α=30°时，求证：B ′C=DE ；（2）连接B ′E 、DE ′，当B ′E=DE ′时，请用图2求α的值；（3）如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为．【答案】（1）证明见解析（2）45°或22.5°（3）2-22+2【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE ，再经过简单计算求出角，判断出△ADE ≌△AB′C 即可；（2）先判断出△AEB′≌△AE′D ，再根据旋转角和图形，判断出∠BAB′=∠DAB′即可；（3）先判断出点Q 的位置，PQ 最小时和最大时的位置，进行计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接AC，B′C，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，∵AE=BD，∴AC=AE=2OA，在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，∴∠E=30°，∴∠DAE=∠ADB-∠E=45°-30°=15°，由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°，∴∠DAE=15°，在△ADE和△AB′C中，'' AD ABDAE CAB AE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，（2）如图2，由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，在△AEB′和△AE′D中，'''' AE AE AD AB DB DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，∴∠EAE′=∠DAB′，由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，或α=360°-90°-45°=225°；（3）如图3，∵正方形ABCD的边长为4，∴122，连接AC交BD于O，∴OA⊥BD，OA=12AC=122在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，∴AQ=OA=12BD（全等三角形对应边上的高相等），∴PQ=AQ-AP=122-2在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合，∴2，∴2+2，故答案为2-2+2．．。

重庆市一中数学几何模型压轴题专题练习(解析版)

重庆市一中数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1．阅读材料并解答下列问题：如图1，把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角00)90(θ︒︒<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy规定：过点P 作y 轴的平行线，交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点B ，若点A 在x 轴对应的实数为a ，点B 在y 轴对应的实数为b ，则称有序实数对(),a b 为点P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标．如图2，在平面斜坐标系xOy 中，已知60θ︒=，点P 的斜坐标是()3,6，点C 的斜坐标是()0,6.（1）连接OP ，求线段OP 的长；（2）将线段OP 绕点O 顺时针旋转60︒到OQ （点Q 与点P 对应），求点Q 的斜坐标；（3）若点D 是直线OP 上一动点，在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心，DC 长为半径作D ，当⊙D 与x 轴相切时，求点D 的斜坐标，【答案】（1）37OP =2）点Q 的斜坐标为（9，3-）；（3）点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【解析】【分析】（1）过点P 作PC ⊥OA ，垂足为C ，由平行线的性质，得∠PAC=60θ=︒，由AP=6，则AC=3，33PC =OP 的长度；（2）根据题意，过点Q 作QE ∥OC ，QF ∥OB ，连接BQ ，由旋转的性质，得到OP=OQ ，∠COP=∠BOQ ，则△COP ≌△BOQ ，则BQ=CP=3，∠OCP=∠OBQ=120°，然后得到△BEQ 是等边三角形，则BE=EQ=BQ=3，则OE=9，OF=3，即可得到点Q 的斜坐标；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时，此时点D 是对角线的交点，求出点D 的坐标即可；②取OJ=JN=CJ ，构造直角三角形OCN，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交与点D，然后由所学的性质，求出点D的坐标即可．【详解】解：（1）如图，过点P作PC⊥OA，垂足为C，连接OP，∵AP∥OB，∴∠PAC=60θ=︒，∵PC⊥OA，∴∠PCA=90°，∵点P的斜坐标是()3,6，∴OA=3，AP=6，∴1 cos602ACAP︒==，∴3AC=，∴226333PC=-=，336OC=+=，在Rt△OCP中，由勾股定理，得226(33)37OP=+=；（2）根据题意，过点Q作QE∥OC，QF∥OB，连接BQ，如图：由旋转的性质，得OP=OQ，∠POQ=60°，∵∠COP+∠POA=∠POA+∠BOQ=60°，∴∠COP=∠BOQ，∵OB=OC=6，∴△COP≌△BOQ（SAS）；∴CP=BQ=3，∠OCP=∠OBQ=120°，∴∠EBQ=60°，∵EQ∥OC，∴∠BEQ=60°，∴△BEQ是等边三角形，∴BE=EQ=BQ=3，∴OE=6+3=9，OF=EQ=3，∵点Q在第四象限，∴点Q的斜坐标为（9，3 ）；（3）①取OM=PC=3，则四边形OMPC是平行四边形，连接OP、CM，交点为D，如图：由平行四边形的性质，得CD=DM，OD=PD，∴点D为OP的中点，∵点P的坐标为（3，6），∴点D的坐标为（32，3）；②取OJ=JN=CJ，则△OCN是直角三角形，∵∠COJ=60°，∴△OCJ是等边三角形，∴∠CJN=120°，作∠CJN的角平分线，与直线OP相交于点D，作DN⊥x轴，连接CD，如图：∵CJ=JN ，∠CJD=∠NJD ，JP=JP ，∴△CJD ≌△NJD （SAS ），∴∠JCD=∠JND=90°，则由角平分线的性质定理，得CD=ND ；过点D 作DI ∥x 轴，连接DJ ，∵∠DJN=∠COJ=60°，∴OI ∥JD ，∴四边形OJDI 是平行四边形，∴ID=OJ=JN=OC=6，在Rt △JDN 中，∠JDN=30°，∴JD=2JN=12；∴点D 的斜坐标为（6，12）；综合上述，点D 的斜坐标为：（32，3）或（6，12）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找圆心D 的位置来解决问题，属于中考创新题型．注意运用分类讨论的思想进行解题．2．综合与探究：如图1，Rt AOB 的直角顶点O 在坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴正半轴上，4OA =，2OB =，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，抛物线23y ax x c =++经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ，直线AC 与x 轴交于点H ．（1）求点C 的坐标及抛物线的表达式；（2）如图2，已知点G 是线段AH 上的一个动点，过点G 作AH 的垂线交抛物线于点F （点F 在第一象限），设点G 的横坐标为m ．①点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为________；②如图3，当直线FG 经过点B 时，求点F 的坐标，判断四边形ABCF 的形状并证明结论；③在②的前提下，连接FH ，点N 是坐标平面内的点，若以F ，H ，N 为顶点的三角形与FHC 全等，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）点C 的坐标为(6,2)，21322y x x =-++；（2）①143m -+；②点F 的坐标为(4,6)，四边形ABCF 为正方形，证明见解析；③点N 的坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO BCD ≌，根据全等三角形的性质得出点C 的坐标，结合点E 的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，由点A 、C 的坐标求出直线AC 的表达式，进而得解；②过点G 作GM x ⊥轴于点M ，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，根据等腰三角形三线合一得出AG CG =，结合①由平行线分线段成比例得出点G 的坐标，根据待定系数法求出直线BG 的表达式，结合抛物线的表达式求出点F ；利用勾股定理求出AB BC CF FA ===，结合90ABC ︒∠=可得出结论； ③根据直线AC 的表达式求出点H 的坐标，设点N 坐标为(,)s t ，根据勾股定理分别求出2FC ，2CH ，2FN ，2NH ，然后分两种情况考虑：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，分别列式求解即可．【详解】解：（1）4=OA ，2OB =，∴点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BC ，AB BC ∴=，90ABC ︒∠=，90ABO DBC ︒∴∠+∠=，在Rt AOB 中，90ABO OAB ︒∴∠+∠=，=OAB DBC ∴∠∠，CD x ⊥轴于点D ，90BDC ︒∴∠=，90AOB BDC ︒∴∠=∠=．AB BC =，ABO BCD ∴△≌△，2CD OB ∴==，4BD OA ==，6OB BD ∴+=，∴点C 的坐标为(6,2)，∵抛物线23y ax x c =++的图象经过点C ，与y 轴交于点(0,2)E ， 236182c a c =⎧∴⎨++=⎩，解得，122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的表达式为21322y x x =-++；（2）①设直线AC 的表达式为y kx b =+，∵直线AC 经过点()6,2C ，(0,4)A ，∴624k b b +=⎧⎨=⎩，解得，134k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即143y x =-+， ∴点G 的纵坐标用含m 的代数式表示为：143m -+，故答案为：143m -+．②过点G 作GM x ⊥轴于点M ， OM m ∴=，143GM m =-+， AB BC =，BG AC ⊥，AG CG ∴=，90AOB GMH CDH ︒∠=∠=∠=，OA GMCD ∴， 1OM AG MD GC∴==， 132OM MD OD ∴===，3m ∴=，1433m -+=，∴点G 为(3,3)，设直线BG 的表达式为y kx b =+，将(3,3)G 和(2,0)B 代入表达式得，2033k b k b +=⎧⎨+=⎩， 36k b =⎧∴⎨=-⎩，即表达式为36y x =-，点F 为直线BG 和抛物线的交点，∴得2132362x x x -++=-， 14x ∴=，24x =-（舍去），∴点F 的坐标为(4,6)，过点F 作FP y ⊥轴，垂足为点P ，PF 的延长线与DC 的延长线交于点Q ，4PF ∴=，2AP =，2FQ =，4CQ =，在Rt AFP △中和Rt FCQ △中，根据勾股定理，得25AF FC ==，同理可得25AB BC ==，AB BC CF FA ∴===，∴四边形ABCF 为菱形，90ABC ︒∠=，∴菱形ABCF 为正方形；③∵直线AC ：143y x =-+与x 轴交于点H ， ∴1403x -+=，解得，x ＝12，∴(12,0)H ，∴222(64)(26)20FC =-+-=，222(126)(02)40CH =-+-=，设点N 坐标为(,)s t ，∴222(4)(6)FN s t =-+-，222(12)(0)NH s t =-+-，第一种情况：若△FHC ≌△FHN ，则FN ＝FC ，NH ＝CH ，∴2222(4)(6)20(12)40s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，11425265s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2262s t =⎧⎨=⎩（即点C ）， ∴4226,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；第二种情况：若△FHC ≌△HFN ，则FN ＝CH ，NH ＝FC ，∴2222(4)(6)40(12)20s t s t ⎧-+-=⎨-+=⎩，解得，1138545s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22104s t =⎧⎨=⎩， ∴384,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭或(10,4)N ，综上所述，以F ，H ，N 为顶点的三角形与△FHC 全等时，点N 坐标为(10,4)或4226,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或384,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是函数与几何的综合题，考查了待定系数法求函数的表达式，全等三角形的判定与性质，菱形与正方形的判定，旋转的性质，勾股定理等知识，其中对全等三角形存在性的分析，因有一条公共边，可对另外两边进行分类讨论，本题有一定的难度，是中考压轴题．3．如图，在直角坐标系中，已知点A （-1，0）、B （0，2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为（，）；（2）若二次函数的图象经过点C ． ①求二次函数的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y 对应的取值范围；Z_X_X_K]③在此二次函数的图象上是否存在点P （点C 除外），使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ∴点C的坐标为(－3，1) ．(2)①∵二次函数的图象经过点C(－3，1)，∴.解得∴二次函数的关系式为②当-1≤x≤4时，≤y≤8；③过点C作CD⊥x轴，垂足为D，i) 当A为直角顶点时，延长CA至点，使，则△是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点作⊥轴，∵＝，∠＝∠，∠＝∠＝90°，∴△≌△，∴AE＝AD＝2，＝CD＝1,∴可求得的坐标为(1，－1)，经检验点在二次函数的图象上；ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取，得到以AB为直角边的等腰直角△和等腰直角△，作⊥y轴，同理可证△≌△∴BF＝OA＝1，可得点的坐标为（2， 1），经检验点在二次函数的图象上．同理可得点的坐标为（－2， 3），经检验点不在二次函数的图象上综上：二次函数的图象上存在点(1，－1)，（2，1）两点，使得△和△是以AB为直角边的等腰直角三角形．【解析】(1)根据旋转的性质得出C点坐标；（2）①把C点代入求得二次函数的解析式；②利用二次函数的图象得出y的取值范围；③分二种情况进行讨论.4．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数；(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝3FH；（3）EG2＝AG2+CE2．【解析】【分析】（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．（2）IH＝3FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，EDO FBOOD OBEOD BOF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，OB＝OD，∴EB＝ED，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝3FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，DHG GHFDH GHJDH FGH∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，BI MJB MBF IM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝3FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠FAD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，DE DEEDG EDMDG DM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.5．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小胖发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，则BD＝CE,(1)在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：(2)如图2，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，求证：AD+CD＝BD；(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m°，点E为△ABC外一点，点D为BC中点，∠EBC＝∠ACF，ED⊥FD，求∠EAF的度数（用含有m的式子表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠EAF =12 m°.【解析】分析：（1）如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB≌△EAC即可；（2）如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD≌△CBE即可解决问题；（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．想办法证明△AFE≌△AFG，可得∠EAF=∠FAG=12 m°.详（1）证明：如图1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，AD AEDAB EACAB AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DAB≌△EAC，∴BD=EC．（2）证明：如图2中，延长DC到E，使得DB=DE．∵DB=DE，∠BDC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BD=BE，∠DBE=∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBE，∵AB=BC，∴△ABD≌△CBE，∴AD=EC，∴BD=DE=DC+CE=DC+AD．∴AD+CD=BD．（3）如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG，连接CG、EG、EF、FG，延长ED到M，使得DM=DE，连接FM、CM．由（1）可知△EAB≌△GAC，∴∠1=∠2，BE=CG，∵BD=DC ，∠BDE=∠CDM ，DE=DM ，∴△EDB ≌△MDC ，∴EM=CM=CG ，∠EBC=∠MCD ，∵∠EBC=∠ACF ，∴∠MCD=∠ACF ，∴∠FCM=∠ACB=∠ABC ，∴∠1=3=∠2，∴∠FCG=∠ACB=∠MCF ，∵CF=CF ，CG=CM ，∴△CFG ≌△CFM ，∴FG=FM ，∵ED=DM ，DF ⊥EM ，∴FE=FM=FG ，∵AE=AG ，AF=AF ，∴△AFE ≌△AFG ，∴∠EAF=∠FAG=12m°．点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题．6．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：()1探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 求证：BCD 的面积为21.(2a 提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证ABC ≌)BDE ()2探究2：如图2，在一般的Rt ABC 中，90ACB ∠=，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 请用含a 的式子表示BCD 的面积，并说明理由． ()3探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，BC a =，将边AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BD ，连接.CD 试探究用含a 的式子表示BCD 的面积，要有探究过程．【答案】（1）详见解析；（2）BCD 的面积为212a ，理由详见解析；（3）BCD 的面积为214a ．【解析】【分析】 ()1如图1，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()2如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，由垂直的性质就可以得出ABC ≌BDE ，就有DE BC a.==进而由三角形的面积公式得出结论；()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，由等腰三角形的性质可以得出1BF BC 2=，由条件可以得出AFB ≌BED 就可以得出BF DE =，由三角形的面积公式就可以得出结论．【详解】 ()1如图1，过点D 作DE CB ⊥交CB 的延长线于E ，BED ACB 90∠∠∴==，由旋转知，AB AD =，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AASBC DE a ∴==，BCD 1S BC DE 2=⋅， 2BCD 1S a 2∴=；()2BCD 的面积为21a 2，理由：如图2，过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线交于点E ，BED ACB 90∠∠∴==，线段AB 绕点B 顺时针旋转90得到线段BE ，AB BD ∴=，ABD 90∠=，ABC DBE 90∠∠∴+=，A ABC 90∠∠+=，A DBE ∠∠∴=，在ABC 和BDE 中，ACB BED A DBE AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC ∴≌()BDE AAS ，BC DE a ∴==，BCD 1S BC DE 2=⋅， 2BCD 1S a 2∴=； ()3如图3，过点A 作AF BC ⊥与F ，过点D 作DE BC ⊥的延长线于点E ，AFB E 90∠∠∴==，11BF BC a 22==， FAB ABF 90∠∠∴+=， ABD 90∠=，ABF DBE 90∠∠∴+=，FAB EBD ∠∠∴=，线段BD 是由线段AB旋转得到的，AB BD ∴=，在AFB 和BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AFB ∴≌()BED AAS ，1BF DE a 2∴==， 2BCD 1111S BC DE a a a 2224=⋅=⋅⋅=， BCD ∴的面积为21a 4．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关的性质与定理是解题的关键.7．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′．（1）求抛物线C 的函数表达式；（2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围．（3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2142y x =-+；（2）2＜m ＜223）m =6或m 17﹣3．【解析】【分析】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A（0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A（0）代入可得a =12-，由此即可解决问题；（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），利用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A（0），设抛物线的解析式为24y ax =+，把A（0）代入可得a =12-， ∴抛物线C 的函数表达式为2142y x =-+．（2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为()21242y x m =--，由()221421242y x y x m ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y 得到222280x mx m -+-= ，由题意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有()222(2)428020280m m m m ⎧--->⎪⎪>⎨⎪->⎪⎩，解得2＜m＜∴满足条件的m 的取值范围为2＜m＜（3）结论：四边形PMP ′N 能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，∴PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，∴M （m +2，m ﹣2），∵点M 在2142y x =-+上，∴()212242m m -=-++，解得m =17﹣3或﹣17﹣3（舍弃），∴m =17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得M （m ﹣2，2﹣m ），把M （m ﹣2，2﹣m ）代入2142y x =-+中，()212242m m -=--+，解得m =6或0（舍弃），∴m =6时，四边形PMP ′N 是正方形．综上所述：m =6或m 17﹣3时，四边形PMP ′N 是正方形．8．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，点D 是射线BC 上的动点，将AD 绕点A 逆时针方向旋转60得到AE ，连接DE ．(1).如图，猜想ADE ∆是_______三角形；（直接写出结果）(2).如图，猜想线段CA 、CE 、CD 之间的数量关系，并证明你的结论；(3).①当BD=___________时，30DEC ∠=；（直接写出结果）②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长是否存在最小值？若存在．请直接写出DEC ∆周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明见解析；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=；②最小值为423+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到,60AD AE DAE =∠=，根据等边三角形的判定定理解答；（2）证明ABD ACE ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到BD CE =，结合图形计算即可；（3）①分点D 在线段BC 上和点D 在线段BC 的延长线上两种情况，根据直角三角形的性质解答；②根据ABD ACE ∆≅∆得到CE BD =，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）由旋转变换的性质可知，,60AD AE DAE =∠=，ADE ∴∆是等边三角形，故答案为等边三角形；（2）AC CD CE +=，证明：由旋转的性质可知，60,DAE AD AE ∠==， ABC ∆是等边三角形60AB AC BC BAC ∴∠︒＝＝，＝，60BAC DAE ∴∠∠︒＝＝，BAC DAC DAE DAC ∴∠+∠∠+∠＝，即BAD CAE ∠∠＝，在ABD ∆和ACE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ABD ACE SAS ∴∆∆≌（）BD CE ∴=，CE BD CB CD CA CD ∴++＝＝＝；（3）①BD 为2或8时，30DEC ∠=，当点D 在线段BC 上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，90AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，9060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，30BAD ∴∠︒＝，122BD AB ∴＝＝，当点D 在线段BC 的延长线上时，3060DEC AED ∠︒∠︒＝，＝，30AEC ∴∠︒＝，ABD ACE ∆∆≌，3060ADB AEC B ∴∠∠︒∠︒＝＝，又＝，90BAD ∴∠︒＝，28BD AB ∴＝＝，BD ∴为2或8时，30DEC ∠︒＝；②点D 在运动过程中，DEC ∆的周长存在最小值，最小值为4+理由如下：ABD ACE ∆∆≌，CE BD ∴＝，则DEC ∆的周长DE CE DC BD CD DE BC DE +++++＝＝＝，当CE 最小时，DEC ∆的周长最小，ADE ∆为等边三角形，DE AD ∴=，AD 的最小值为DEC ∴∆的周长的最小值为4+【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．二、初三数学圆易错题压轴题（难）9．如图所示，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，OE//BD ，交BC 于点F ，交AB 于点E.（1）求证：∠E=∠C ；（2）若⊙O 的半径为3，AD=2，试求AE 的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC 的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==10．四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD，2∠BDC+∠ADB＝180°．（1）如图1，求证：AC＝BC；（2）如图2，E为⊙O上一点，AE＝BE，F为AC上一点，DE与BF相交于点T，连接AT，若∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，求证：AT平分∠DAB；（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）82【解析】【分析】（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，由S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，可得AQ=52h，再根据sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，∵2∠BDC+∠ADB＝180°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC．（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，∵∠BFC＝∠BDC+12∠ABD，∴∠ABF＝12∠ABD，∴BT平分∠ABD，∵AE＝BE∴∠ADE＝∠BDE，∴DT平分∠ADB，∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．∴TR＝TL，TR＝TH，∴TL＝TH，∴AT平分∠DAB．（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．∵AE＝BE∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，∴AE＝TE，∵DT＝TE，∴AE＝DT，∵∠AGE＝∠DHT＝90°，∴△EAG≌△TDH（AAS），∴AG＝DH，∵AE＝EB，EG⊥AB，∴AG＝BG，∴2DH＝AB，∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，设DH＝x，则AB＝2x，∵AD＝8，DB＝12，∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，∴DH＝5，AB＝10，设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，∵S△ADB=12•BD•AQ=12•AD•h+12•AB•h+12•DB•h，∴12AQ＝（8+12+10）h，∴AQ＝52 h，∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得hm＝APAD＝AP8，sin∠AED＝sin∠ABD，可得APm＝AQAB＝AQ10＝5210h，∴APm＝52810mAP，解得m＝或﹣（舍弃），∴DE＝2m＝．【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．11．四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB 为直径的O过点E．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）513π-【解析】试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案.试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED∴ABCD 四边形为平行四边形∵90AB AEB ∠∴=︒是直径∴ABCD 平行四边形是菱形（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于QCF 切O 于点F∴90OFC ∠=︒∵ABCD 四边形是菱形，∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=∵11,3022OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形∴1152CAB DAB ∠=∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒ ∴112EQ OE == 21502360S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．12．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为对角线，∠ACB ＝∠ACD（1）如图1，求证：AB ＝AD ；（2）如图2，点E 在AB 弧上，DE 交AC 于点F ，连接BE ，BE ＝DF ，求证：DF ＝DC ；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 在BC 弧上，连接DG ，交CE 于点H ，连接GE ，GF ，若DE ＝BC ，EG ＝GH ＝5，S △DFG ＝9，求BC 边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（370【解析】【分析】（1）如图1，连接OA ，OB ，OD ，由∠ACB ＝∠ACD ，可得AD AB ，可得AB ＝AD ；（2）连接AE ，由“SAS”可证△ABE ≌△ADF ，可得∠BAE ＝∠DAC ，可证BE ＝CD ＝DF ；（3）如图3，过点F 作FN ⊥GD 于N ，过点C 作CM ⊥GD 于M ，连接GC ，通过证明△FDN ≌△DCM ，可得FN ＝DM ，CM ＝DN ，由面积公式可求FN ＝2，DM ＝2，DH ＝4，通过证明△EGC ∽△DMC ，△GEH ∽△CHD ，可得EC ＝52CD ，CD 2＝403，由勾股定理可求解．【详解】证明：（1）如图1，连接OA ，OB ，OD ，∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB∴∠AOD＝∠AOB∴AD AB∴AD＝AB；（2）如图2，连接AE，∵AE AE∴∠ABE＝∠ADE在△ABE和△ADF中AB ADABE ADFBE DF∴△ABE≌△ADF（SAS）∴∠BAE＝∠DAC∴BE CD∴BE＝DC∵BE＝DF∴DF＝DC；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，∵DE＝BC，BE＝CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴∠EBC＝∠EDC，∵四边形BEDC是圆内接四边形，∴∠EBC+∠EDC＝180°，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，∴EC是直径，∴∠FGC＝∠EDC＝90°∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，∴△FDN≌△DCM（AAS）∴FN＝DM，CM＝DN，∵EG＝GH＝5，∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，∴∠HDC＝∠CHD，∴CH＝CD，且CM⊥DH，∴DM＝MH＝FN，∵S△DFG＝9，∴12DG×FN＝9，∴12×（5+2FN）×FN＝9，∴FN＝2，∴DM＝2，DH＝4，∵∠GEC＝∠GDC，∠EGC＝∠DMC，∴△EGC∽△DMC，∴52 EC EGCD DM，∴EC＝52CD，且HC＝CD，∴EH ＝32CD ， ∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ，∴△GEH ∽△CHD ，∴EGEH CH DH， ∴3524CD CD， ∴2403CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2，∴222254CD CD DE ， ∴2214043DE ，∴DE ＝70∴BC ＝70【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．13．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//PF AD ；（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=︒，求证：PE 平分AEB ∠；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5ABD ∠=，求PH 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257 【解析】【分析】（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=︒，由四边形内角和是360︒，得180∠+∠=︒P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=︒得290PEB ∠=︒，从而45PEB ∠=︒，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，得PE PK =，从而90APE EPB ︒∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得APE BPK ∆∆≌由此45K AEP ∠=∠=︒，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ∆∆≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=︒，在Rt ADM ∆中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ∆中，252OP OA ==.延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ∆中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ∆中，由勾股定理得257PH =. 【详解】（1）连接OA 、OB∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=︒-︒=︒，∵AB AB =，∴2AOB ADB ∠=∠，∴2180P ADB ∠+∠=︒，∵2180P PEB ∠+∠=︒，∴ADB PEB ∠=∠，∴//PF AD（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K∵90APB ∠=︒，∴21809090PEB ∠=︒-︒=︒，∴45PEB ∠=︒，∵PA 、PB 为圆O 的切线，∴PA PB =，∵PK PE ⊥，45PEK ∠=︒，∴PE PK = ，∵9090APE EPB KPB EPB ︒︒∠=-∠=∠=-∠，∴APE BPK ∠=∠，∴APE BPK ∆∆≌，∴45K AEP ∠=∠=︒，∴AEP PEB ∠=∠，∴PE 平分AEB ∠；（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM∵45ADE ∠=︒，90AED ∠=︒，∴DE AE =，∵OA 、OD 为半径，∴OA OD =，∵OE OE =，∴DEO AEO ∆∆≌，∴1452AEO OED AED ∠=∠=∠=︒， ∴90OEP ∠=︒，∵AM 为圆O 的直径，∴90ADM ∠=︒，∵弧AD =弧AD ，∴ABD AMD ∠=∠，在Rt ADM ∆中，8AD =，4sin 5AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，由题易证四边形OAPB 为正方形，∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，∵H 在AB 上，∴OH PH =，在Rt OAP ∆中，OP ==延长EO 交AD 于K ，∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，∴4DK KE ==，3OK =，1OE =∴在Rt OEP ∆中，7PE ==在Rt OEH ∆中，222OH OE EH =+∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-∴()22217PH PH =+- ∴257PH =．【点睛】本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．14．如图．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，10AB =，DE 是ABC 的中位线，连结BD ，点F 是边BC 上的一个动点，连结AF 交BD 于H ，交DE 于G ．(1)当点F 是BC 的中点时，求DH BH的值及GH 的长 (2) 当四边形DCFH 与四边形BEGH 的面积相等时，求CF 的长：(3)如图2．以CF 为直径作O ． ①当O 正好经过点H 时，求证：BD 是O 的切线： ②当DH BH的值满足什么条件时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【答案】（1）12DH BH =，13GH =；（2）83CF =；（3）①见解析；②当32DH BH =或2514DH BH >时，O 与线段DE 有且只有一个交点．【解析】【分析】（1）根据题意得H 为ABC 的重心，即可得DH BH的值，由重心和中位线的性质求得16=GH AF ，由勾股定理求得AF 的长，即可得GH 的长；（2）根据图中面积的关系得S 四边形DCFG =DEB S，列出关系式求解即可得CF 的长；（3）根据O 与线段DE 有且只有一个交点，可分两类情况讨论：当O 与DE 相切时，求得DH BH 的值；当O 过点E ，此时是O 与线段DE 有两个交点的临界点，即可得出O 与线段DE 有且只有一个交点时DH BH 满足的条件．【详解】解：（1）∵DE 是ABC 的中位线，∴,D E 分别是,AC AB 的中点，//DE BC ，又∵点F 是BC 的中点，∴BD 与AF 的交点H 是ABC 的重心，:1:2DH BH ∴=，即12DH BH =；:1:2=HF AH ， ∴13=HF AF ，在ACF 中，D 为AC 中点，//DE BC ，则//DG CF ，∴DG 为ACF 的中位线，G 为AF 的中点，12∴=GF AF ，。

重庆一中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案)

一、选择题1．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（）A ．3B ．332C ．3D ．332+ 2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（）A ．20B ．35C ．40D ．553．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．85．已知⊙O ，如图，（1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．下列事件属于确定事件的为（）A ．氧化物中一定含有氧元素B ．弦相等，则所对的圆周角也相等C ．戴了口罩一定不会感染新冠肺炎D ．物体不受任何力的时候保持静止状态 7．给出下列说法：①圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径；②三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；③经过三个点一定可以画一个圆；④平分弦的直径垂直于弦；⑤垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．正确的有（）A ．4B ．3C ．2D ．1 8．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（） A ．13cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm 9．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（）A ．136°B ．137°C ．138°D ．139°10．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75°11．如图△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的度数为（）A ．28°B ．56 °C ．62°D ．112° 12．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒ 13．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（） A ．18cm 2B ．218cm πC ．27cm 2D ．227cm π 14．下列说法中，正确的是（） A ．三点确定一个圆B ．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C ．平分弦的直径垂直于弦D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等15．在扇形中，∠AOB =90°，面积为4πcm 2，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为 ( )A ．1cmB ．2cmC ．3n cmD ．4cm二、填空题16．如图，30ACB ∠=︒，点O 是CB 上的一点，且6OC =，则以4为半径的O 与直线CA 的公共点的个数______．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M∆的外接圆，则圆心M的坐标为__________________，M的半径为是ABC_______________________．18．如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，∠=︒，则PBAC35∠的度数为________.19．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是____________．20．如图，已知O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，45∠=︒，点P在xAOB正半轴上运动，若过点P与OA平行的直线与O有公共点，设P点对应的数为x，则x 的取值范围是______．21．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是______．22．已知，O 的弦AB 与O 的半径相等，则弦AB 所对的圆周角的度数为______． 23．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________24．如图，已知AD 为半圆形O 的直径，点B ，C 在半圆形上，AB BC =，30BAC ∠=︒，8AD =，则AC 的长为________．25．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____26．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．三、解答题27．如图，已知AB 是O 的一条弦，DE 是O 的直径且DE AB ⊥于点C ．（1）若3,5OC OA ==，求AB 的长；（2）求证：EAO BAD ∠=∠．=，求证：28．如图，AB为O的弦，,C D是直线AB上两点，且AC BD∠=∠．C D=，点F是29．如图，AB、CD是O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE CEBC的中点，延长FE交AD于点G，已知1,3,2===．AE BE OE≌；（1）求证：AED CEB⊥；（2）求证：FG AD（3）求O的半径．30．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC+AC=14，且BC>AC．（1）求BC的长；（2）在线段BC上求作一点Q，使得以点Q为圆心，QC为半径的⊙Q刚好与AB相切，请运用尺规作图找出符合条件的点Q，并求出⊙Q的半径．（不写作法，保留作图痕迹）。

【单元练】重庆一中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案)

一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，P 是直线y ＝2上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．5C解析：C【分析】连接PQ 、OP ，如图，根据切线的性质得：PQ ⊥OQ ，再利用勾股定理得出OQ ，利用垂线段最短，当OP 最小时，OQ 最小，即可求解．【详解】连接PQ 、OP ，如图，∵直线OQ 切⊙P 于点Q ，∴PQ ⊥OQ ，在直角OPQ △中，2221OQ OP PQ OP =-=-，当OP 最小时，OQ 最小，当OP ⊥直线y ＝2时，OP 有最小值2，∴OQ 的最小值为2213-=，故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键．2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（）A．20B．35C．40D．55B解析：B【分析】连接BD，得到∠DOB=140°，求出∠CDB，∠ODB即可；【详解】如图：连接BD，∵∠AOD=40°，∴∠DOB=180°-40°=140°，∴∠DCB=12∠DOB=70°，∵ CB=CD，∴∠CBD=∠CDB=55°，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD=20°，∴∠CDO=∠CBO，∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识；3．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C．若∠ACB=30°，AB= 3，则阴影部分的面积（）A 3B3C3π6D3π6-C解析：C【分析】首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO−S扇形OBD计算即可．【详解】连接OB．∵AB 是⊙O 切线，∴OB ⊥AB ，∵OC ＝OB ，∠C ＝30°，∴∠C ＝∠OBC ＝30°，∴∠AOB ＝∠C ＋∠OBC ＝60°，在Rt △ABO 中，∵∠ABO ＝90°，AB ＝3，∠A ＝30°，∴OB ＝ABtan30°=1，∴S 阴＝S △ABO −S 扇形OBD ＝12×1×3−2601360π⋅＝3π26-．故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．4．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（）A ．37B ．3272+C ．237+D ．33722解析：D【分析】如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；【详解】如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．∵AQ ＝QP ，∴OQ ⊥PA ，∴∠AQO ＝90°，∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°在Rt △OCH 中，∵∠COH ＝60°，OC=12AB=3， ∴OH ＝12OC ＝32，CH ＝22332OC OH +=，在Rt △CKH 中，CK ＝223332⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭372， ∴CQ 的最大值为33722+，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 5．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠D解析：D【分析】利用切线长定理证明△PAG ≌△PBG 即可得出．【详解】解：连接OA ，OB ，AB ，AB 交PO 于点G ，由切线长定理可得：∠APO ＝∠BPO ，PA ＝PB ，又∵PG=PG ，∴△PAG ≌△PBG ，从而AB ⊥OP ．因此A ．B ．C 都正确．无法得出AB ＝PA ＝PB ，可知：D 是错误的．综上可知：只有D 是错误的．故选：D ．【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答． 6．如图，AB 为O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD DB =，5OC =，3OD =，则AB 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．2A解析：A【分析】连接OB ，根据⊙O 的半径为5，CD ＝2得出OD 的长，再由垂径定理的推论得出OC ⊥AB ，由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB ，如图所示：∵⊙O 的半径为5，OD ＝3，∵AD ＝DB ，∴OC ⊥AB ，∴∠ODB ＝90°， ∴2222.534BD OB OD =-=-=，∴AB ＝2BD ＝8．故选：A ．【点睛】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75°B解析：B【分析】连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.【详解】如图，连接AO ，BO ，OE ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90∘，∵60APB ∠=︒，∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ，∴1602COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒，故选B.【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒B解析：B【分析】连接OC ，由CE 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 垂直于CE ，由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE 的度数，即可求出∠E 的度数．【详解】解：连接OC ，∵CE 为圆O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠COE=90°，∵∠CDB 与∠BAC 都对BC ，且∠CDB=28°，∴∠BAC=∠CDB=28°，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA=28°，∵∠COE 为△AOC 的外角，∴∠COE=56°，则∠E=34°．故选：B ．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．9．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（）A．2 B．121313C．4 D．5A解析：A【分析】易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝12AB＝3，OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝12AB＝3，OD22AD+OA224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P点的运动轨迹，找出DP长的最小值时的位置是解题的关键．10．如图，△ABC内接于☉O，若☉O的半径为6，∠A=60°，则BC的长为（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．8πB解析：B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 度数，再由弧长公式即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴BC =208161π⨯=4π．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解题的关键．二、填空题11．已知ABC 的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O ，则点O 到边BC 的距离为________．【分析】过O 作OD ⊥BC 于DOE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 连接OAOBOC 根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF 再根据三角形的面积公式求出即可【详解】如图过O 作OD ⊥BC 于DOE ⊥AB 于解析：43【分析】过O 作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA 、OB 、OC ，根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF ，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】如图，过O 作OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA 、OB 、OC ，∵O是△ABC内角平分线的交点，∴OE=OF=OD，∵△ABC的面积是20，∴S△AOB+S△BOC+S△AOC=20，∴111AB OE BC OD222⨯⨯+⨯⨯+×AC×OF=20，∴(AB+BC+AC)×OD=40，∵△ABC的周长为30，∴AB+BC+AC=30，∴OD=404303=，∴即O到BC的距离是43，故答案为：43．【点睛】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质和三角形的面积等知识点，能求出OD=OE=OF 是解此题的关键．12．如图，点A，B，C在O上，顺次连接A，B，C，O．若四边形ABCO为平行四边形，则AOC∠=________︒．120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A ，B ，C 在O 上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO 为平行四边形∴四边形ABCO 是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB 、△OBC 为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．13．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．6【分析】如图作OH ⊥CD 于H 连接AH 延长AH 交BF 于K连接OC 证明AE=FK 利用勾股定理求出OH 再利用三角形的中位线定理求出BK 即可解决问题【详解】解：如图作OH ⊥CD 于H 连接AH 延长AH 交BF 于解析：6【分析】如图，作OH ⊥CD 于H ，连接AH ，延长AH 交BF 于K ，连接OC ．证明AE=FK ，利用勾股定理求出OH ，再利用三角形的中位线定理求出BK 即可解决问题．【详解】解：如图，作OH ⊥CD 于H ，连接AH ，延长AH 交BF 于K ，连接OC ．∵OH⊥CD，∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，∴2222-=-=3（cm），54OC CH∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OH∥BF，∵OA=OB，∴EH=FH，∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH=HK，AE=FK，∵AO=OB，∴OH=1BK，2∴BK=6（cm），∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为_______．60°【分析】如图连接OAOB根据等边三角形的性质求出∠AOB的度数【详解】解：如图在⊙O中直径为10cm弦AB=5cm∴OA=OB=5cm∴OA=OB=AB∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°解析：60°【分析】如图，连接OA、OB，根据等边三角形的性质，求出∠AOB的度数.【详解】解：如图，在⊙O中，直径为10cm，弦AB=5cm，∴OA=OB=5cm，，∴OA=OB=AB∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，故答案为：60°．【点睛】考查了圆的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握运算性质定理是解题的关键. 15．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点结合公式求出即可【详解】解：为的内心故答案是：120【点睛】注意此题中的结论：若是内心则熟记公式可简化计算解析：120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合公式1902BOC A ∠=+∠︒求出即可．【详解】解：60A ∠=︒，O 为ABC ∆的内心，1190906012022BOC A ，故答案是：120．【点睛】注意此题中的结论：若O 是内心，则1902BOC A ∠=+∠︒．熟记公式可简化计算． 16．如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，2,AB =点E 是劣弧AD 上的任意一点，连接BE ，作CF BE ⊥于点F ，连接,AF 则当点E 从点A 出发按顺时针方向运动到点D 时，AF 长的取值范围为________________．【分析】首先根据题意可知当点与点重合时最长的最大值为；再证明点的运动轨迹为以为直径的通过添加辅助线连接交于点连接由线段公理可知当点与点重合时最短的最小值为即可得解【详解】解：∵由题意可知当点与点重合解析：512AF -≤≤【分析】首先根据题意可知，当点F 与点B 重合时AF 最长，AF 的最大值为2；再证明点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ，通过添加辅助线连接'AO 交'O 于点M ，连接'O F ，由线段公理可知，当点F 与点M 重合时AF 最短，AF 的最小值为51-．即可得解．【详解】解：∵由题意可知，当点F 与点B 重合时AF 最长∴此时2AF AB ==，即AF 的最大值为2∵CF BE ⊥∴90CFB ∠=︒ ∴点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ，连接'AO 交'O 于点M ，连接'O F ，如图：∵2AB =∴11'122BO BC AB === ∴在'Rt ABO 中，22''5AO AB BO =+=∴''51AM AO O M =-=∴由两点之间，线段最短可知，当点F 与点M 重合时AF 最短∴AF 51∴512AF ≤≤．【点睛】本题考查了正多边形和圆的动点问题、90︒的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点，解题的关键是确定AF 取最大值和最小值时点F 的位置，属于中考常考题型，难度中等．17．如图，若∠BOD ＝140°，则∠BCD=___________ ．【分析】如图（见解析）先根据圆周角定理可得再根据圆内接四边形的性质即可得【详解】如图在优弧上取一点E 连接BEDE 由圆内接四边形的性质得：故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理圆内接四边形的性质熟练掌解析：110︒【分析】如图（见解析），先根据圆周角定理可得70BED ∠=︒，再根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】如图，在优弧BD 上取一点E ，连接BE 、DE ，140BOD ∠=︒， 1702BED BOD ∠∴∠==︒，由圆内接四边形的性质得：180110BC ED D B ∠=︒-∠=︒，故答案为：110︒．【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 18．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ，连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．8【分析】以AB 为直径作圆O 则∠AGB=90º当CF 与圆O 相切时AF 最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG 过F 作FH ⊥BC 与H 则四边形ABHF 为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x解析：8．【分析】以AB 为直径作圆O ，则∠AGB=90º，当CF 与圆O 相切时，AF 最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG ，BC=CG ，过F 作FH ⊥BC 与H ，则四边形ABHF 为矩形，AB=FH ，AF=BH=2，设正方形的边长为x ，在Rt △FHC 中，由勾股定理得x 2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．【详解】以AB 为直径作圆O ，∵AB 为直径，∴∠AGB=90º，当CF 与圆O 相切时，AF 最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG ，BC=CG ，过F 作FH ⊥BC 与H ，则四边形ABHF 为矩形，AB=FH ，AF=BH=2，设正方形的边长为x ，则HC=x-2，FC=2+x ，FH=x ，在Rt △FHC 中，由勾股定理得，x 2+(x-2)2=(x+2)2，整理得：x 2-8x=0，解得x=8，x=0（舍去），故答案为：8．【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．19．如图，AB 是O 的直径，O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的有______（填序号） ①AD BC ⊥；②EDA B ∠=∠；③12OA AC =；④DE 是O 的切线．①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°可得①进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB 连接OD 然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解【详解】解：∵是的直径∴∠ADB=90°∴AD ⊥BC 故① 解析：①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB ，连接OD ，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径， ∴∠ADB=90°，∴AD ⊥BC ，故①正确；∵点D 是BC 的中点，∴AC=AB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C ，∠CAD=∠BAD ，∵DE ⊥AC ，∠CDA=90°，∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴EDA C ∠=∠，∴EDA B ∠=∠，故②正确； ∵12OA AB =， ∴12OA AC =，故③正确；连接OD ，如图所示：∵OD=OA ，∴∠ADO=∠DAO ，∴∠ADO=∠EAD ，∴∠ADO+∠EDA=90°，∴ED 是⊙O 的切线，故④正确；∴正确的有①②③④；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．20．如图，AB 是O 的直径，CD AB ⊥于E ，24CD =，8BE =，则AB =__________．【分析】连接OD 设的半径为r 则OE=r-8再根据勾股定理求出r 最后根据直径和半径的关系即可解答【详解】解：如图：设的半径为r 则OE=r-8∵AB ⊥CD 于E 且CD=24∴DE=CD=12在Rt △ODE解析：26【分析】连接OD ，设O 的半径为r ，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r ，最后根据直径和半径的关系即可解答．【详解】解：如图：设O 的半径为r ，则OE=r-8，∵AB ⊥CD 于E ，且CD=24，∴DE=12CD=12，在Rt △ODE 中，OD=r ，OE=r-8，DE=12，∴OE 2+DE 2=OD 2，∴（r-8）2+122=r 2，解得r=13∴AB=2r=26．故答案为26．【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键．三、解答题21．如图，已知四边形ABCD是矩形，AC为对角线．（1）把△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AEF，点B的对应点为E，点C的对应点F在CD的延长线上，请你在图中作出△AEF．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：B，D，E三点共线．解析：（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）延长CD，以A为圆心AC长为半径画弧交CD延长线即为F．以F为圆心BC长为半径画弧，以A为圆心AB长为半径画弧，两段弧交于点E．最后连接AE、EF、AF即可．（2）连接DE，BE．由题意可知∠AEF=∠ADF=90°，即A，F，D，E四点共圆，即可知道∠AED+∠AFD=180°．再由AF=AC结合题意可进一步证明∠ABD=∠AFD．最后由AB=AE可知∠ABE=∠AEB，即推出∠AFD=∠AEB，即可证明∠DEA+∠AEB=180°．【详解】（1）如图，△AEF即为所求．（2）如图，连接DE，BE．∵∠AEF =∠ADF =90°，∴A ，F ，D ，E 四点共圆，∴∠AED +∠AFD =180°．∵AF =AC ，∴∠ACD =∠AFD ．∵∠ACB =∠AFE ，∠ACB +∠ACD =90°，∠AFE +∠FAE =90°，∴∠ACD =∠EAF =∠AFD ． ∵∠ABD =∠EAF ，∴∠ABD =∠AFD ．∵AB =AE ，∴∠ABE =∠AEB ，∴∠AFD =∠AEB ，∴∠DEA +∠AEB =180°，∴B ，E ，D 共线．【点睛】本题考查作图-旋转变换、矩形和等腰三角形的性质以及圆的确定条件和圆的性质．需理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．如图，已知,90Rt ABC ACB ∆∠=︒．（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心О在边AC 上，且与边,AB BC 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹);（2）在（1）的条件下，若9,12AC BC ==，求O 的半径．解析：（1）见解析；（2）O 的半径为4 【分析】（1）先作∠ABC 的角平分线，交AC 于点O ，然后过O 作AB 的垂线，交AB 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆即可；（2）先利用勾股定理求出AB ，然后由OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=即可求出O 的半径．【详解】解:（1）如图所示：（2）设直线AB 与O 切于点D ，连接OD ，则,OD AB ⊥90,ACB ∴∠=︒22222291215AB AC BC ∴=+=+=．15,AB ∴=设O 的半径为,r由得OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=1215912,r r +=⨯4,r ∴=即O 的半径为4【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，理解题意熟练掌握角平分线和垂线的作图是解题的关键．23．如图，已知AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，CD BD =，E 、F 是线段AC 、AB 的延长线上的点，并且EF 与O 相切于点D ．（1）求证：2A BDF ∠=∠；（2）若3AC =，5AB =，求CE 的长．解析：（1）见解析；（2）1【分析】（1）如图连接AD ，，先证明CD BD =可得∠1=∠2，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再根据切线的性质得到OD EF ⊥即3490∠+∠=°，最后证明∠1=∠4即可；（2）如图，连接BC 交OD 于，由圆周角定理得到∠ACB=90°，由CD BD =得到OD BC ⊥，则CF=BF ，进而求得OF 、DF ，然后证明四边形CEDH 为矩形即可解答．【详解】（1）证明：连接AD ，如图，CD BD =，∴CD BD =，12∠∠∴=，∵AB 为直径，90ADB ∴∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，∵EF 为切线，∴OD EF ⊥，∴3490∠+∠=°，∵OD OB =，3OBD ∴∠=∠，14∴∠=∠，2A BDF ∴∠=∠；（2）解：连接BC 交OD 于F ，如图，∵AB 为直径，90ACB ∴∠=︒，∵CD BD =，∴OD BC ⊥，∴CF BF =， ∴1322OF AC ==，∴53122DF =-=， ∵ACB 90∠=︒，OD BC ⊥，OD EF ⊥∴四边形CEDF 为矩形，∴1CE DF ==．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理以及矩形的判定与性质，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在y 轴上，∠C=90°，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分∠BAC 交边BC 于点E ，经过点A 、D 、E 的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 轴相交于另一点G ．(1)求证：BC 是⊙F 的切线；(2)若点A 、D 的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，求⊙F 的半径；(3)请直接写出线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的数量关系：___________________．解析：（1）见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD ．【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR ⊥AD 于R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ，∵FA=FE ，∴∠FAE=∠FEA ，∴∠FEA=∠EAC ，∴FE ∥AC ，∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）解：连接FD ，∵A(0,−1)，D(2,0)，∴OA=1,OD=2.在Rt △FOD 中，∵222OF OD DF += 设⊙F 的半径为r ，∴r 2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F 的半径为52；（3）解：AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，则∠FRC=90°，又∵BC 是⊙F 的切线；∴∠FEC=∠C=∠FRC=90°，∴四边形RCEF 是矩形，∴EF=RC=RD+CD ，∵FR ⊥AD ，AF=FD,∴AR=RD ， ∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．25．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．（1）求证：PT 是⊙O 的切线；（2）若3PT BT ==，求图中阴影部分的面积．解析：（1）证明见解析；（2）364π- 【分析】（1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．【详解】（1）证明：连接OT ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ATB=90°，∴∠B+∠OAT=90°，∵OA=OT ，∴∠OAT=∠2，∵∠PTA=∠B ，∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，∴直线PT 与⊙O 相切；（2）∵3PT BT ==∴∠P=∠B=∠PTA ，∵∠TAB=∠P+∠PTA ，∴∠TAB=2∠B ，∴∠TAB=60°，∠B=30°，在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，∴a 2+(3)2＝(2a)2，解得：a=1，∴AT=1，∵OA=OT ，∠TAO=60°，∴△AOT 为等边三角形，1331224AOT S ∴=⨯⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOTS S ππ⨯=-=-=-扇形．【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．26．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，30A ∠=︒，43CD =，求⊙O 的半径的长．解析：4【分析】连接OC, 根据垂径定理可得∠CHO=90°，CD=2CH ，求出CH 的长，根据30°的直角三角形的特征以及勾股定理求出OC=2OH 即可.【详解】连接OC ，则OA =OC .∴∠COH =60°.∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，∴∠CHO=90°，CD=2CH∴∠OCH=30°，∴2OC OH =,∵CD =43，∴CH =23.∴在Rt OCH 中，222OH HC OC +=∴OH =2.∴OC =4.【点睛】本题考查了垂径定理及30度的直角三角形的性质以及勾股定理得应用，解题的关键是掌握垂径定理及30度的直角三角形的性质.27．如图，四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=，以AD 为直径作O ，与CD 交于点P ．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点O 作AB 边的平行线OE ；（2）在图2中，过点C 作AB 边上的高CF ．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD 、AC 交于点E ，连接OE ；（2）连接BD ，则点P 和BD 与O 的交点的延长线与AB 的交点即为F 点．【详解】（1）如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴E 是BD 中点，∵O 是DA 中点，∴//OE AB ；（2）如图所示，∵120BAD ∠=，∴60ADC ∠=︒，∵AD CD =，∴ACD △是等边三角形，∵AD 是直径，∴90APD ∠=︒，即AP DC ⊥，∴P 是CD 中点，通过如图所示找到的点F 是AB 的中点，∵ABC 也是等边三角形，∴CF AB ⊥．【点睛】本题考查作图，解题的关键是要熟悉各种几何的性质，比如：等边三角形的性质，中位线的性质，菱形的性质，圆的性质．28．如图，长方形ABCD 的长是a ，宽是b ，分别以A 、C 为圆心作扇形，用代数式表示阴影部分的周长L 和面积S （结果中保留π）．解析：22L b a b π=+-；212S ab b π=-.【分析】由已知图知，阴影部分的周长是()12πb 22a b ⨯+-；阴影部分的面积为，长方形的面积减去两个14圆的面积(半圆的面积)．【详解】阴影部分的周长()122222L b a b b a b ππ=⨯+-=+-；阴影部分的面积221=1242S ab b ab b ππ=-⨯-. 【点睛】此题考查的是列代数式，用到的知识点是半圆的周长和面积的计算方法．。

重庆第一中学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．已知圆C ：[x ﹣（a ﹣2）]2+（y ﹣3a ）2＝16，定直线l 经过点A （2，0），若对任意的实数a ，定直线l 被圆C 截得的弦长始终为定值d ，则圆心C 到直线l 的距离等于（） A ．8B ．43C ．4D ．232．已知圆2129:x C y ＋＝,圆2226811:0x y x C y ＋＋－－＝,则圆1C 、圆2C 的公切线有 A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知半圆()()()22x-1+y-2=4y 2≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（）A ．55,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．53,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．3553,,2222⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦ 4．已知AC 、BD 分别为圆O ：x 2+y 2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC 、BD 相交于点M（1，），则四边形ABCD 的面积为（） A ．2B ．3C ．D ．5．已知点()2,3M ,点P 在y 轴上运动，点Q 在圆()()4=2++1-:22y x C 上运动，则MQ MP +的最小值为（）A ．3B ．5C ．152－D ．1+526．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=7．已知斜率为k 的直线l 平分圆22230x y x y +-+=且与曲线2y x = 恰有一个公共点，则满足条件的k 值有（）个. A ．1 B ．2C ．3D ．08．设在圆上运动，且，点在直线上运动，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（）A ．B ．C ．D ．10．如下图,已知,AB AC 是圆的两条弦,过B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与AB 相交于点E ,3=AE ,1=BE ,则BC 的长为（）A ．2B ．3C ．2D ．23 11．直线:1l y kx =-与圆221x y +=相交于A 、B 两点，则OAB ∆的面积最大值为（） A ．14 B ．12 C ．1 D ．3212．已知圆C ：1)1(22=++y x 与圆O ：1)1(22=+-y x 关于某直线对称，则直线的方程为（）A 、x y -=B 、1+-=x yC 、x y =D 、1-=x y二、填空题13．若实数a ，b ，c 成等差数列，点()P 3,2-在动直线ax by c 0++=上的射影为H ，点()Q 3,3，则线段QH 的最小值为______．14．如果直线:0l x y b +-=与曲线2:1C y x =-有两个公共点, 那么b 的取值范围是_______________ 15．抛物线的准线与圆相切，则=__________．16．(选修4-1:几何证明选讲)如图，是圆的直径，,为圆上的点，是的角平分线，与圆切于点且交的延长线于点，,垂足为点，若圆的半径为1，，则_____.17．已知圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是________________．18．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ，3,3OA DB ==，则DE =_____．19．A ．（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为2,2{212x t y t==+(为参数)，圆C 的参数方程为cos 2{sin x y θθ=+=(θ为参数),则圆心C 到直线的距离为_________． B ．（几何证明选讲）如右图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =,则CE =_________．C ．（不等式选讲）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是_________．20．设圆x 2+y 2﹣4x ﹣5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是__三、解答题21．已知以点C （t ∈R ，t≠0）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．（1）求证：△AOB 的面积为定值；（2）设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若，求圆C 的方程；（3）在（2）的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求的最小值及此时点P 的坐标．22．已知动点M 到点(4,0)A 的距离是它到点(2,0)B -的距离的两倍．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过坐标原点O 作直线l 与轨迹E 交于两点，若这两点间的距离为43，求直线l 的方程．23．已知一个圆经过坐标原点和点()2,0，且圆心C 在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）过点()2,2P -作圆C 的切线PA 和PB ，求直线PA 和PB 的方程． 24．（本小题满分12分）已知圆，过圆上一点A （3,2）的动直线与圆相交于另一个不同的点B ．（1）求线段AB 的中点P 的轨迹M 的方程；（2）若直线与曲线M 只有一个交点，求的值．25．（本小题满分14分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2，直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2. （1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠，过点(),0A t 作圆C 的切线，切点为B ，记1d AB =，点A 到直线l 的距离为2d ，求121d d -的取值范围. 26．（本小题8分）已知点P （-4，0）及圆C ：226440x y x y（1）当直线 l 过点P 且与圆心C 的距离为l 时，求直线 l 的方程：（2）设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点，当 AB 取得最小值时，求以线段AB 为直径的圆的方程，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】由题意知，圆心到直线的距离为定值，分直线斜率存在和不存在两种情况分类讨论，即可求值. 【详解】根据圆的半径，弦心距，半径构成直角三角形可知，当弦长为定值时，弦心距为定值，即圆心到直线的距离为定值，若直线斜率不存在时，直线方程为2x =，圆心(3)a a -到直线的距离224m a a =-+=-，不是定值，不合题意；当直线斜率存在时，直线方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=，圆心()a -到直线的距离m =a无关，所以k =m =故选D. 【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，分类讨论的思想，属于中档题.2．B解析：B 【解析】【分析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．【详解】圆C 2的方程为x 2+y 2+6x-8y-11=0可化为（x+3）2+（y-4）2=36， ∴圆心距为5，63536-<<+，则圆1C 、圆2C 相交，则两圆的公切线的条数为2条.故选B. 【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，两圆的位置关系的确定方法，属于中档题．3．D解析：D 【解析】【分析】绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定k 的取值范围即可. 【详解】绘制半圆如图所示，直线()15y k x =-+表示过点()1,5K ，斜率为k 的直线，如图所示的情形为临界条件，即直线与圆相切，此时圆心()1,2到直线50kx y k --+=的距离等于圆的半径2， 2=，解得：1k =2k =且523112KA k -==+，523132KB k -==--，据此可得：实数k的取值范围是33,22⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎭⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．A解析：A 【解析】试题分析：求出|AC|，|BD|，代入面积公式S=•|AC||BD|，即可求出四边形ABCD 的面积．解：由题意圆心O 到AC 、BD 的距离分别为、1，∴|AC|=2=2，|BD|==2， ∴四边形ABCD的面积为：S=•|AC|（|BM|+|MD|）=•|AC||BD|==2，故选：A ．考点：直线与圆的位置关系．5．A解析：A 【解析】试题分析：方法1：作y 轴关于点M 的对称直线6=x ，P 关于M 的对称点P '在直线6=x 上运动，P M PM '-=，故QP P M MQ MQ MP '='=,则P Q '的最小值为325=-．方法2：设)2,3(),,(),,0(00M y x Q a P ，)2,3(),2,3(00--=--=y x MQ a MP()202024)6(-++-=+a y x MQ MP ，表示4)2()1(:22=++-y x C 上的点),(00y x 与)4,6(a -的距离，可看作圆4)2()1(:22=++-y x C 上的点到定直线6=x 距离的最小值，为325=-，故选择A考点：圆上点到直线的最小距离6．A解析：A【解析】试题分析：根据题意，过点P （3，1）作圆C ： ()2221x y -+=的切线，切点A 、B 的坐标分别为（2，1），（3，0），∴直线AB 的方程为： ()10323y x -=--，即x ＋y －3＝0，故选A ．考点：考查了圆的切线和直线方程．点评：解本题的关键是求出两个切点的坐标，然后根据两个点的坐标求出直线方程．7．C解析：C 【解析】【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k 的值. 【详解】圆22230x y x y +-+=的圆心为3(1,)2-，所以设直线为3(1)2y k x +=-. 联立23(1)2y k x y x ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得2302ky y k ---=. 因为恰有一个公共点，所以0k =或者0314()02k k k ≠⎧⎪⎨---=⎪⎩，解得354k -±=. 综上可得，k 的值有3个，故选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.8．D解析：D【解析】试题分析：设的中点为，由平行四边形法则可知所以当且仅当三点共线时，取得最小值，此时直线，因为圆心到直线的距离为，所以取得最小值为故答案选考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离；平面向量.9．D解析：D【解析】试题分析：设圆心，则，，则满足，∴.考点：1.轨迹求解问题；2.直线与圆相交形成弦问题.10．C解析：C 【解析】试题分析：由CEBD 有3AC AECD EB==,设CD t =，则3AC t =，由2DB DC DA =⋅有2DB t =，易证DBC DAB ∆∆,则12DB BC DA AB ==,所以2BC =,选C ．考点：1.切割线定理；2.相似三角形．11．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得OAB ∆的面积为12sin OAB ∠，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值．由题意可得1OA OB ==，OAB ∆的面积为111222OA OB sin AOB sin AOB ⋅⋅∠=∠≤，故选B.考点：直线与圆的位置关系【方法点睛】直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断．若d>r ，则直线与圆相离；若d ＝r ，则直线与圆相切；若d<r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．12．A解析：A 【解析】试题分析：两圆的圆心分别为()()0,1,1,0-，所以两点中点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，两点连线斜率为1，所以所求直线为1122y x y x ⎛⎫+=--∴=- ⎪⎝⎭ 考点：直线方程与圆的对称二、填空题13．【解析】【分析】通过成等差数列可以得到直线恒过然后可知在以为直径的圆上由图形可知求解出和即可得到结果【详解】成等差数列即直线恒过又点在动直线上的射影为在以为直径的圆上如图所示；且此圆的圆心的坐标为半解析：522-【解析】【分析】通过,,a b c 成等差数列，可以得到直线恒过()1,2A -，然后可知H 在以PA 为直径的圆上，由图形可知min QH BQ r =-，求解出BQ 和r 即可得到结果. 【详解】a ，b ，c 成等差数列 2b a c ∴=+，即20a b c -+= ∴直线0ax by c 恒过()1,2A -又点()3,2P -在动直线0ax by c上的射影为H90PHA ∴∠=H ∴在以PA 为直径的圆上，如图所示；且此圆的圆心B 的坐标为()1,0-,半径2211442222r PA ==+= 由图形可知，QH BQ r =-时，QH 最小又()3,3Q 22435BQ ∴=+=∴线段QH 的最小值为522-【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，关键在于能够确定所求最小值即为,B Q 两点间距离减去半径.14．【解析】【分析】曲线C 表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线l 与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线l 与圆相切时；一是直线l 过（﹣10）时分别求出b 的值即可确定出b 的范围【详解】根据题意解析：)1,2⎡⎣【解析】【分析】曲线C 表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线l 与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线l 与圆相切时；一是直线l 过（﹣1，0）时，分别求出b 的值，即可确定出b 的范围．【详解】根据题意画出相应的图形，如图所示：当直线l 与圆相切时，圆心（0，0）到y=x+b 的距离d=r=1， 12b =，解得：2b=2当直线l 过（﹣1，0）时，将（﹣1，0）代入y=x+b 中，求得：b=1，则直线l 与曲线C 有两个公共点时b 的范围为1≤b 2故答案为：)1,2⎡⎣. 【点睛】本题主要考查直线和圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.15．p=4【解析】由题意得抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2又圆x2+y2+2x=0的圆心坐标(-10)半径为r=1又准线x=-p2与圆x2+y2+2x=0相切则|-p2-(-1)|=1 解析：【解析】由题意得，抛物线的准线方程为，又圆的圆心坐标，半径为，又准线与圆相切，则，解得.考点：双曲线的几何性质；直线与圆的位置关系.16．【解析】试题分析：连接则有又是的角平分线所以所以因为是圆的切线所以则由题意知所以因为是圆的切线由切割线定理得在中所以于是故填考点：圆的基本性质切割线定理解析：34【解析】试题分析：连接OC ，则有OAC OCA ∠=∠.又CA 是BAF ∠的角平分线，OAC FAC ∠=∠，所以FAC ACO ∠=∠，所以OC AD .因为DC 是圆O 的切线，所以CD OC ⊥，则CD AD ⊥.由题意知AMC ADC ≌，所以DC =CM ，DA AM =.因为DC 是圆O 的切线，由切割线定理，得2DC DF DA DF AM =⋅=⋅=2CM .在Rt ABC 中，cos AC AB BAC =⋅∠2cos303︒==1322CM AC ==.于是234DF AM CM ⋅==.故填34. 考点：圆的基本性质，切割线定理．17．3x －y －9＝0【解析】AB 的垂直平分线经过两圆的圆心(2－3)(30)所以AB 的垂直平分线的方程是y ＝3(x －3)即3x －y －9＝0解析：3x －y －9＝0【解析】AB 的垂直平分线经过两圆的圆心(2，－3)，(3，0)，所以AB 的垂直平分线的方程是y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.18．【解析】试题分析：连接OF 因为DF 切⊙O 于F 所以∠OFD=90°所以∠OFC+∠CFD=90°因为OC=OF 所以∠OCF=∠OFC 因为CO ⊥AB 于O 所以∠OCF+∠CEO=90°所以∠CFD=∠CE 解析：33【解析】试题分析：连接OF因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ．因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB•DA ．所以.考点：与圆有关的比例线段19．A ；B ；C 【解析】试题分析：A 先把直线l 和圆C 的参数方程化为普通方程y=x+1（x-2）2+y2=1再利用点到直线的距离公式求出即可B 在圆中线段利用由切割线定理求得PA 进而利用直角三角形PCO 中的线解析：A.322； B ．； C ．[3,1]-【解析】试题分析：A.先把直线l 和圆C 的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y 2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B ．在圆中线段利用由切割线定理求得PA ，进而利用直角三角形PCO 中的线段，结合面积法求得CE 即可．C.由绝对值的基本不等式得：211x m x m ≥-++≥+，解得－3≤m≤1. 考点：(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.20．x+y-4=0【解析】【分析】先把圆的方程变为标准形式得到圆心O 坐标和半径根据垂径定理可知OP 与AB 垂直求出OP 的斜率即可得AB 的斜率写出AB 的方程即可【详解】解：由x2+y2﹣4x ﹣5＝0得：（x解析：x+y-4=0 【解析】【分析】先把圆的方程变为标准形式，得到圆心O 坐标和半径，根据垂径定理可知OP 与AB 垂直，求出OP的斜率，即可得AB的斜率，写出AB的方程即可．【详解】解：由x2+y2﹣4x﹣5＝0得：（x﹣2）2+y2＝9，得到圆心O（2，0），所以求出直线OP的斜率为1032-=-1，根据垂径定理可知OP⊥AB所以直线AB的斜率为﹣1，过P（3，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）即x+y﹣4＝0故答案为x+y﹣4＝0【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，会根据两直线垂直得到斜率的乘积为﹣1，会写出直线的一般式方程．三、解答题21．（Ⅰ）为定值。

【单元练】重庆第一中学九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题

一、选择题1．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（）A ．434+B ．43C ．438+D ．63A解析：A【分析】以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，则DCM CAB ≅△△，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232+，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】解：以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB ==∠∠，∴DCM ACB =∠∠，∵DC=AC ，MC=BC ，∴DCM CAB ≅△△（SAS ），∴DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232，此时面积为：434故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D 的位置是解题的关键． 2．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．【详解】解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；正确；（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；（5）圆内接四边形对角互补；正确；故选：B．【点睛】本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO=30°，则∠C的度数是（）A．70°B．45°C．30°D．20°C解析：C【分析】由BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，得到∠OBC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ABO=30°，由外角的性质得到∠BOC=60°，即可求得∠C=30°．【详解】∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠OBC=90°，∵OA=OB，∴∠A=∠ABO=30°，∴∠BOC=60°，∴∠C=30°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10πB解析：B【分析】设AC=a ，BC=b ，由勾股定理可求得a 2+b 2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab ，进而可求得△ABC 的面积．【详解】解：设AC=a ，BC=b ，由题意，AB=10，∴a 2+b 2=102，由图可知，空白部分面积为（25122ab π-），阴影部分面积= 22111251()()2222222a b ab ab πππ⨯+⨯⨯+-+ = 22()2582a b ab ππ+-+ =1002582ab ππ-+ = ab ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，∴ab =3（25122ab π-），解得：15ab π=，∴△ABC=12ab =7.5π，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．5．点P到圆上各点的最大距离为10cm，最小距离为6cm，则此圆的半径为（）A．8cm B．5cm或3cm C．8cm或2cm D．3cm C解析：C【分析】分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P在圆内；（2）点P在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】当点P在圆内时，圆的直径是10+6=16cm，所以半径是8cm．当点P在圆外时，圆的直径是10-6=4cm，所以半径是2cm．故选C．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．6．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠BDC的度数（）A．45°B．55°C．65°D．70°C解析：C【分析】连接BC，求出∠B＝65°，根据翻折的性质，得到∠ADC+∠B＝180°，进而得到∠BDC=∠B ＝65°．【详解】解：连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠BDC=∠B＝65°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，根据题意添加适当辅助线是解题关键．7．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（）A ．12B ．16C ．13D ．14D 解析：D【分析】连接OC 、OD ，设O 半径为r ，利用正方形性质得：MN ∥BC ，根据三角形面积公式得：S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，利用面积差可得S 阴影部分＝S 扇形COD ，再利用正方形的性质得到∠COD ＝90°，则S 扇形＝214r π，所以阴影部分面积是圆的面积的14 【详解】解：如图，连接OC 、OD ，设O 半径为r ，∵直径//MN AD ，AD ∥BC∴MN ∥BC ，根据三角形面积公式得：S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，∴S 阴影部分＝S 扇形COD ，∵四边形ABCD 是正方形∴∠COD ＝90°， ∴S 扇形＝290360r π︒︒＝214r π， ∵圆的面积为2r π∴所以阴影部分面积是圆的面积的14故选：D【点睛】本题考查扇形面积计算公式、正方形的性质，利用了面积的和差计算不规则图形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式.8．下列说法正确的有（）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等A．1个B．2个C．3个D．4个B解析：B【分析】根据垂径定理及其推论即可判定①正确，②错误；根据弧、弦、圆周角之间的关系可知③⑤错误，④正确．【详解】解：①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本选项正确；②直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径；故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误；④相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；⑤∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论、圆周角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解各知识点．9．已知⊙O的直径为6，圆心O到直线l的距离为3，则能表示直线l与⊙O的位置关系的图是（）A．B．C．D．C解析：C【分析】因为⊙O 的直径为6，所以圆的半径是3，圆心O 到直线l 的距离为3即d=3，所以d=r ，所以直线l 与⊙O 的位置关系是相切．【详解】解：∵⊙O 的直径为6，∴r=3，∵圆心O 到直线l 的距离为3即d=3，∴d=r∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切．故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，若圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，d ＞r 时，圆和直线相离；d=r 时，圆和直线相切；d ＜r 时，圆和直线相交．10．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（）A ．18cm 2B ．218cm πC ．27cm 2D ．227cm πB 解析：B【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：底面周长是2×3π=6π，则圆锥的侧面积是：12×6π×6=18π（cm 2）．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．二、填空题11．如图，A 、B 、C 是O 上顺次三点，若AC 、AB 、BC 分别是O 内接正三角形、正方形、正n 边形的一边，则n =______． 12【分析】如图连接OAOCOB 根据角的转换求出中心角即可解决问题【详解】如图连接OAOCOB ∵若ACAB 分别是内接正三角形正方形的一边∴∴由题意得：∴12故答案为：12【点睛】本题考查了正多边形与解析：12【分析】如图，连接OA 、OC 、OB ，根据角的转换求出中心角BOC ∠即可解决问题．【详解】如图，连接OA 、OC 、OB ．∵若AC 、AB 分别是O 内接正三角形、正方形的一边，∴120AOC ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴30BOC AOC AOB ∠=∠-∠=︒，由题意得：36030n︒︒=， ∴n =12，故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键．12．如图，用一张半径为10cm 的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm ，那么这张扇形纸板的弧长是_______cm ，制作这个帽子需要的纸板的面积为_______cm 2． 12π60π【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长从而求得扇形的弧长和面积；【详解】∵扇形的半径为10cm 做成的圆锥形帽子的高为8cm ∴圆锥的底面半径为∴底面周长为∴这张扇形纸板的弧长是扇形的解析：12π 60π【分析】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长和面积；【详解】∵扇形的半径为10cm ，做成的圆锥形帽子的高为8cm ，∴圆锥的底面半径为221086-=，∴底面周长为2612cm ππ⨯=，∴这张扇形纸板的弧长是12cm π，扇形的面积为21110126022lr cm ππ=⨯⨯=．故答案是：12π；60π．【点睛】本题主要考查了扇形弧长计算和面积计算，准确分析计算是解题的关键．13．如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是_________________．（用“>”、“<”、“=”连接）【分析】连接OAODOM 则OA=OD=OM 由矩形的性质得出OA=BC=aOD=EF=bOM=NH=c 即可得出a=b=c 【详解】解：连接OMODOA 根据矩形的对角线相等得BC=OAEF=ODNH=OM解析：a b c ==【分析】连接OA 、OD 、OM ，则OA=OD=OM ，由矩形的性质得出OA=BC=a ，OD=EF=b ，OM=NH=c ，即可得出a=b=c ．【详解】解：连接OM 、OD 、OA 、根据矩形的对角线相等，得BC=OA ，EF=OD ，NH=OM ．再根据同圆的半径相等，得a=b=c ．故答案是：a=b=c ．【点睛】此题主要能够根据矩形的对角线相等把线段进行转换，根据同圆的半径相等即本题考查了矩形的性质、同圆的半径相等的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．14．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，64A ∠=︒，则OBC ∠=______°．26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC 的度数【详解】解：∵∠A=64°∴∠BOC=2∠A=128°∵OB=OC ∴∠OBC=∠解析：26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC 的度数．【详解】解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=128°，∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠OBC=12（180°-128°）=26°．故答案为26．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是______．（结果用含π的式子表示）【分析】已知BC 为直径则∠CDB=90°在等腰直角三角形ABC 中CD 垂直平分ABCD=DBD 为半圆的中点阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与△ADC 的面积之差【详解】解：由题可知△ACB 为等腰解析：1π-【分析】已知BC 为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC 中，CD 垂直平分AB ，CD=DB ，D 为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB 的面积与△ADC 的面积之差．【详解】解：由题可知△ACB 为等腰Rt △ACB ，在Rt △ACB 中，AB=222222+=，∵BC 是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt △ACB 中，CD 垂直平分AB ，则△ADC 和△BDC 都为等腰直角三角形，CD=BD=AD ，令 CD=BD=AD=x ，则2222x x +=，2x =，S 阴影部分=S 扇形ACB -S △ADC =()229021213602ππ⨯-⨯=- ．故答案为：1π-．【点睛】本题考查了扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握扇形的面积公式是解题的关键．16．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．220【分析】连接CE 根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD 然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE ，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD ，然后求解即可．【详解】连接CE ，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接五边形，∴四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠AEC ＝180°，∵∠CED ＝∠CAD ＝40°，∴∠B ＋∠AED ＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．17．如图，AB AC 、分别为O 的内接正方形、内接正三角形的边，BC 是圆内接正n 边形的一边，则n 的值为_______________________．【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出进而得出即可得出n 的值【详解】解：如图所示连接AOBOCO ∵ABAC 分别为⊙O 的内接正方形内接正三边形的一边∴∴∴故答案为：12【点睛】此题主要考查了正多边形解析：12【分析】根据正方形以及正三边形的性质得出360904AOB ︒∠==︒，3603120AOC ==︒∠︒，进而得出30BOC ∠=︒，即可得出n 的值．【详解】解：如图所示，连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正方形、内接正三边形的一边，∴360904AOB ︒∠==︒，3603120AOC ==︒∠︒， ∴30BOC ∠=︒，∴3601230n ︒==︒，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的性质，根据已知得出30BOC ∠=︒是解题关键． 18．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm ，母线长为10cm ，则该圆锥的侧面积为_____cm 2（结果保留π）50π【分析】首先求得圆锥的底面周长然后利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查解析：50π【分析】首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π，则圆锥的侧面积是：12×10π×10＝50π（cm 2）．故答案是：50π．【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 19．如图，把边长为12的正三角形ABC 纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK ，则剪去的小正三角形的边长为__________________． 4【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形可知得到剪去的小正三角的边长为4【详解】解：∵剪去三个三角形∴AD=AE=DEBK=BH=HKCG=CF=GF ∵六边形DEFGHK 是正六边形∴D解析：4【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角的边长为4．【详解】解：∵剪去三个三角形∴AD=AE=DE ，BK=BH=HK ，CG=CF=GF ，∵六边形DEFGHK 是正六边形，∴DE=DK=HK=GH=GF=EF ，∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形；∴AD=DK=BK=123=4， ∴剪去的小正三角形的边长4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形以及正六边形的定义，熟练掌握定义是解题的关键．20．如图，AB 是O 的直径，O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的有______（填序号） ①AD BC ⊥；②EDA B ∠=∠；③12OA AC =；④DE 是O 的切线． ①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°可得①进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB 连接OD 然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解【详解】解：∵是的直径∴∠ADB=90°∴AD ⊥BC 故① 解析：①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB ，连接OD ，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°，∴AD ⊥BC ，故①正确；∵点D 是BC 的中点，∴AC=AB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C ，∠CAD=∠BAD ，∵DE ⊥AC ，∠CDA=90°，∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴EDA C ∠=∠，∴EDA B ∠=∠，故②正确；∵12OA AB =， ∴12OA AC =，故③正确；连接OD ，如图所示：∵OD=OA ，∴∠ADO=∠DAO ，∴∠ADO=∠EAD ，∴∠ADO+∠EDA=90°，∴ED 是⊙O 的切线，故④正确；∴正确的有①②③④；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．三、解答题21．如图，已知四边形ABCD 是矩形，AC 为对角线．（1）把△ABC 绕点A 顺时针旋转一定角度得到△AEF ，点B 的对应点为E ，点C 的对应点F 在CD 的延长线上，请你在图中作出△AEF ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：B ，D ，E 三点共线．解析：（1）作图见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）延长CD ，以A 为圆心AC 长为半径画弧交CD 延长线即为F ．以F 为圆心BC 长为半径画弧，以A 为圆心AB 长为半径画弧，两段弧交于点E ．最后连接AE 、EF 、AF 即可．（2）连接DE ，BE ．由题意可知∠AEF =∠ADF =90°，即A ，F ，D ，E 四点共圆，即可知道∠AED+∠AFD=180°．再由AF=AC结合题意可进一步证明∠ABD=∠AFD．最后由AB=AE可知∠ABE=∠AEB，即推出∠AFD=∠AEB，即可证明∠DEA+∠AEB=180°．【详解】（1）如图，△AEF即为所求．（2）如图，连接DE，BE．∵∠AEF=∠ADF=90°，∴A，F，D，E四点共圆，∴∠AED+∠AFD=180°．∵AF=AC，∴∠ACD=∠AFD．∵∠ACB=∠AFE，∠ACB+∠ACD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∴∠ACD=∠EAF=∠AFD．∵∠ABD=∠EAF，∴∠ABD=∠AFD．∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∴∠AFD=∠AEB，∴∠DEA+∠AEB=180°，∴B，E，D共线．【点睛】本题考查作图-旋转变换、矩形和等腰三角形的性质以及圆的确定条件和圆的性质．需理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．如图，菱形ODCE的顶点C在扇形AOB的弧AB上，D、E在弦AB上．（1）求证：AD BE =．（2）已知扇形的半径为2，当AD DO =时，求图中阴影部分的面积．解析：（1）证明见解析；（2）2233π-．【分析】（1）利用菱形的性质证明ODA OEB ∠=∠，接着证明(AAS)OAD OBE ≌，就可以得到结论；（2）连接OC 与AB 交于点F ，用勾股定理算出AF 的长，设DF EF x ==，列式求出x 的值，阴影部分的面积用扇形面积减去两个三角形面积和一个菱形面积进行求解．【详解】解：（1）∵四边形ODCE 是菱形， CDO CEO ∴∠=∠，DE 是菱形的对角线，ODE OED ∴∠=∠，180180ODE OED ∴︒-∠=︒-∠，即ODA OEB ∠=∠，OA OB =，OAD OBE ∴∠=∠，∴在OAD △和OBE △中，OAD OBE ODE OED OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)OAD OBE ∴≌△△，AD BE ∴=；（2）如图，连接OC 与AB 交于点F ，则DF EF =，2OA OB OC ===，OC DE ⊥，112122OF OC ==⨯=， 2222213AF OA OF ∴-=-，设DF EF x ==，则2221OD DF OF x ++21AD OD x ∴==+21AF AD DF x x ∴=+=++，213x x ∴++=，解得33x =， 22313AD BE x OD ∴==+==，23223DE DF x ===， OD DE OE ∴==， ODE ∴是等边三角形，60DOE ODE OED ∴∠=∠=∠=︒，1302DAO DOA EDO ∴∠=∠=∠=︒， ∵由（1）知OAD OBE ≌△△，30AOD BOE ∴∠=∠=︒，120AOB AOD DOE BOE ∠=∠+∠+∠=︒，OAD OBE OAB ODCE S S S S S ∴=---阴影扇形菱形△△2OAD OAB ODCE S S S =--菱形菱形△120123602OA AD OF DE OC π⋅=-⨯⋅-⋅ 120212323212360233π⨯=-⨯⨯⨯-⨯ 22343333π=-- 2233π=-．【点睛】本题考查几何综合题，解题的关键是掌握菱形的性质，圆的基本性质，扇形面积公式． 23．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．（1）求DEB ∠的度数：（2）若3OC =，5OA =，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．解析：（1）25°；（2）①8；②25π9【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =， ∴11502522DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒；（2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ， ∴4AC ==，∴AB=2AC=8；②∵50AOD ，AD BD =，∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，∴弧AB 的长π1005π25π1801809n r ⨯===．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．24．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和C ，给出如下定义：如果C 的半径为r ，C 外一点P 到C 的切线长小于或等于2r ，那么点P 叫做C 的“离心点”．（1）当C 的半径为1时，①在点())1231,0,2,2P P P ⎛- ⎝⎭中，C 的“离心点”是_____________； ②点P(m ，n)在直线3y x =-+上，且点P 是O 的“离心点”，求点P 横坐标m 的取值范围；（2） C 的圆心C 在y 轴上，半径为2，直线132y x =-+与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ．如果线段AB 上的所有点都是C 的“离心点”，请直接写出圆心C 纵坐标的取值范围．解析：（1）①23,P P ；②12m ≤≤；（2）圆心C 的纵坐标满足34y <≤或11y -≤<-【分析】(1) ①分别计算123OP OP OP ，，的长，判断P 到C 的切线长是否小于或等于2r ，即可解题；②设(),3P m m -+，根据题意，当过点P 的切线长为2时，OP=5，列出相应的一元二次方程，解方程即可；(2) 分类讨论，当C 在y 轴的正半轴上时，当点C 在y 轴的负半轴上时，当圆C 与直线112y x =-+相切时，画出相应的图形，结合全等三角形的判定与性质解题．【详解】①()()12313,,0,2,5,022P P P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 1231,2,5OP OP OP ===所以点1P 不在圆上，不符合题意；因为过点2P 的切线长为2213=-=，32<所以2P 是圆的离心点因为过3P 的切线长为5122=-==所以3P 是离心点；故答案为23,P P ；②如图设(),3P m m -+当过点P 的切线长为2时，OP=5，所以22(3)5m m +-+=解得m=1或m=2观察图像得12m ≤≤（2）如图2，当C 在y 轴的正半轴上时，经过点B(1，0)，A(2，0)当AC=5A 是离心点，此时C(0，4)；观察图像知圆的纵坐标满足34y <≤，线段AB 上所有的点都是离心点；如图3，当点C 在y 轴的负半轴上时，25BC =，点B 是离心点，此时C(0， 125-)如图4，当圆C 与直线112y x =-+相切时，设切点为N ，如图，由题意得CNB AOB ∆≅∆5CB NB ==(0,15C ∴，观察图像得当圆C 的纵坐标满足1515y -≤<-AB 上的所有点都是离心点；综上所述,圆C 的纵坐标满足34y <≤或1515y -≤<-【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线等知识，是重要考点，难度中等，掌握相关知识是解题关键．25．如图，已知A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上．（1）若∠ABC=120°，求∠AOC 的度数；（2）在（1）的条件下，若点B 是弧AC 的中点，求证：四边形OABC 为菱形．解析：（1）∠AOC=120°；（2）见解析【分析】（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；（2）证△OAB 和△OBC 都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC ，根据菱形的判定方法即可得到结论．【详解】（1）∵A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=120°，∴∠ADC=60°，∴∠AOC=2∠ADC=120°；（2）连接OB ，如图所示：∵点B 是弧AC 的中点，∠AOC=l20°，∴∠AOB=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB ，∴△OAB 和△OBC 都是等边三角形，∴AB=OA=OC=BC ，∴四边形OABC 是菱形．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 26．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．解析：（1）（2，0）；（2）在圆内．【分析】（1）由网格容易得出AB 的垂直平分线和BC 的垂直平分线，它们的交点即为点M ，根据图形即可得出点M 的坐标；（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM 的长，当DM 小于圆的半径时点D 在圆内．【详解】（1）如图1，点M 就是要找的圆心；圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）圆的半径AM =2224+=25．线段MD =22(52)2-+=13＜25，所以点D 在⊙M 内．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M 的坐标是解题的关键．27．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．求证：AP=BP ．解析：见解析【分析】根据切线的性质得出OP⊥AB，根据垂径定理得出即可．【详解】证明：如图，连接OP，∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，∴OP⊥AB，∵OP过O，∴AP=BP．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．28．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图，①分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于,P Q两点；②作直线PQ，交AC于点O，则直线PQ是线段AC的线；③以O为圆心，OA为半径作O，与CB的延长线交于点D，连接AD，线段AD即为所作的高．（1）补全尺规作图并填空﹔（2）判断AD为高的依据是．解析：（1）画图见解析，垂直平分；（2）直径所对的圆周角是直角【分析】（1）利用基本作图可判断PQ垂直平分AC；（2）根据圆周角定理求解．【详解】解：②作直线PQ，交AC于点O，则直线PQ是线段AC的垂直平分线；（1）如图，AD为所作；（2）∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴AD⊥BC．故答案为垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段的垂直平分线的性质和圆周角定理．。

重庆市一中高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》检测卷(含答案解析)

一、选择题1．若过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是( )A ．33k k ⎧⎪-<<-⎨⎪⎩或2k <<⎪⎭B ．()(),32,-∞-⋃+∞C ．()3,2-D ．33k k ⎧⎪-≤<-⎨⎪⎩或2k <≤⎪⎭2．已知半圆()()()22x-1+y-2=4y 2≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数k 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．353,,222⎡⎛⎤- ⎢⎥ ⎣⎭⎝⎦3．圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是（） A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．外离4．已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y m <+恒成立，则m 的取值范围是（）．A ．1617<mB ．1716m > C ．1617≤m D ．0>m5．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（）A ．45B ．25C D 6．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定7．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（） A ．2B ．1C ．4D ．38．已知圆：()2212x y +-=，则过点()1,2作该圆的切线方程为（） A ．240x y +-= B ．250x y +-=C ．2x =D ．30x y +-=9．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x+y=m 的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（）A ．B ．(-⋃C ．(32,32)-D ．(2,2)- 10．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（）A ．B ．C ．D ．11．直线1y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点，且3AB =，则实数k 的值等于（）A ．3B ．1C ．3或3-D ．1或-112．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切二、填空题13．若曲线22ρ=上有m 个点到曲线sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离为2，则m 的值为____.14．在极坐标系中，直线3cos sin 10ρθρθ+-=与圆2sin ρθ=交于,A B 两点，则||AB =_____.15．已知实数x,y 满足，则的取值范围是__________.16．若存在实数同时满足，则取值范围是．17．若圆()()22:124C x y -+-=上恰好有3个点到直线2y x b =+的距离等于1，则b =_________．18．已知直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则实数b =_____． 19．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A =___________．20．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径r ＝________.三、解答题21．（本小题满分12分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N ．（１）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（２）当32=PQ 时，求直线l 的方程；（３）探索AN AM ⋅是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．22．如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，AE 交BC 和圆O 于点D 、E ，且DBCDAB AC =，若PA=2PB=10.（Ⅰ）求证：AC=2AB ；（Ⅱ）求AD•DE 的值.23．已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：22(4)(5)4x y -+-= （1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标（1）0=y 或028247=-+y x ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,25或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系知直线4=x 与圆1C 不相交，则直线的斜率存在。

重庆市九年级数学上册第二十四章《圆》经典复习题(含答案解析)

一、选择题1．下列说法正确的是（）A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．如图，AB 是О的直径，,CB CD 是О的弦，且,CB CD CD =与AB 交于点E ，连接OD ．若40,AOD ∠=︒则D ∠的度数是（）A ．20B ．35C ．40D ．553．如图，分别以AB,AC 为直径的两个半圆，其中AC 是半圆O 的一条弦，E 是弧AEC 中点，D 是半圆ADC 中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC 长为（）A ．6+2B ．8+2C ． 6+22D ．8+22 4．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（）A ．37B ．3272+C ．237+D ．337225．如图，已知AB 是O 的直径，AD 切O 于点A ，CE CB =．则下列结论中不一定正确的是（）A ．OC BE ⊥B ．//OC AE C ．2COE BAC ∠=∠D ．OD AC ⊥ 6．以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P ，∠POB ＝40°，则∠CBD 的度数是（）A ．50°B ．45°C ．35°D ．40° 7．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（） A ．13cm B ．12cm C ．11cm D ．10cm 8．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（）A ．40︒B ．55︒C ．70︒D ．65︒ 9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD 的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒ 10．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（）A ．333-B ．2C ．3D ．33 11．已知AB 是经过圆心O 的直线，P 为O 上的任意一点，则点P 关于直线AB 的对称点P '与O 的位置关系是（） A ．点P '在⊙○内 B ．点P '在O 外 C ．点P '在O 上 D ．无法确定12．如图，ABC 的顶点A 是O 上的一个动点，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，边AC ，AB 分别交O 于点E ，D ，分别过点E ，D 作O 的切线交于点F ，且点F 恰好在边BC 上，连接OC ，若O 的半径为6，则OC 的最大值为（）A ．393+B ．2103+C ．353+D ．53 13．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（）A ．12B ．45C ．1D ．4314．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（）A．112.5°B．120°C．135°D．150°15．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC且∠BAC=45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF 与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）A．BD=CD B．四边形DHEF为矩形C．2=AE DED．BC=2CE二、填空题16．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．17．已知半径为5的圆O中，弦AB=8，则以AB为底边的等腰三角形腰长为___________．18．如图，已知点C是半圆О上一点，将弧BC沿弦BC折叠后恰好经过点,O若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________．19．如图，PA，PB分别与O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若8AP=，则PDE△的周长为______．20．在直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则∠AOB的度数为_______．21．如图，点C，D是半圈O的三等分点，直径43AB=．连结AC交半径OD于E，则阴影部分的面积是_______．22．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为____．23．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm，母线长为10cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2（结果保留π）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P 是AB的中点，则OP的最小值是____．25．扇形的半径为6cm，弧长为10cm，则扇形面积是________．26．在半径为4cm的圆中，长为4cm的弦所对的圆周角的度数为________三、解答题27．如图，已知点A、B的坐标分别是(0，0) ，(4，0)，将ABC绕A点按逆时针方向旋'''．转90°后得到A B C'''（不要求写出作法）；（1）画出A B C（2）写出点C'的坐标；（3）求旋转过程中点B所经过的路径长．28．如图，以Rt ABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC 的延长线于点D，点P为BC的中点，连接EP，AD．（1）求证：PE 是O 的切线；（2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离．29．已知PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝80°，C 为⊙O 上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB 的大小；（Ⅱ）如图②，AE 为⊙O 的直径，AE 与BC 相交于点D ．若AB ＝AD ，求∠EAC 的大小．30．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,2-，点B 的坐标为()0,2．（1）画出将绕点O 顺时针旋转90后的图形，记为A OB ''△；（2）在题（1）旋转过程中线段OA 扫过的面积为_______（直接写出答案）。

重庆市高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)

一、选择题1．若点P 在圆22(1)1x y -+=上运动，(,1)Q m m --，则PQ 的最小值为（） A ．22B ．21-C ．21+D ．22．过点(0,1)且倾斜角为3π的直线l 交圆2260x y y +-=于A ，B 两点，则弦AB 的长为（） A ．10B ．210C ．22D ．423．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦4．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 5．若圆上有且只有一点到直线的距离为，则实数的值为（） A ． B ． C ．或D ．或6．已知AC 、BD 分别为圆O ：x 2+y 2=4的两条垂直于坐标轴的弦，且AC 、BD 相交于点M（1，），则四边形ABCD 的面积为（） A ．2B ．3C ．D ．7．圆22:4210A x y x y ++++=与圆22:2610B x y x y +--+=的位置关系是（）．A ．相交B ．相离C ．相切D ．内含8．直线20x y -+=与圆222x y +=的位置关系为（） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定9．以下各点在圆22(4)4x y -+= 内的是（） A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(3,1)D ．(1,3)10．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20xy +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（） A ．1520x y +-＝ B ．1520x y ＝+- C ．1520x y --＝D ．1520x y --＝11．已知点A (2,0)-,B (0,2),点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则PAB ∆面积的最大值是（）A.3B.23+C.23-D.612．直线:1l y kx =-与圆221x y +=相交于A 、B 两点，则OAB ∆的面积最大值为（） A ．14 B ．12 C ．1 D ．32二、填空题13．若点在圆上，点在圆上，则的最小值是__________．14．如图，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为________.15．如果直线将圆平分，那么坐标原点到直线的最大距离为__________.16．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB 1PC 1=,=PA 2PD 3,则BCAD的值为_____17．设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____.18．已知点P(x, y)是圆(x －3)2+(y －)2=6上的动点，则的最大值为_______ ；19．设圆的一条切线与轴、轴分别交于点、．则的最小值为______．20．设圆x 2+y 2﹣4x ﹣5＝0的弦AB 的中点为P （3，1），则直线AB 的方程是__三、解答题21．已知点，，动点P 满足．若点P 为曲线C ，求此曲线的方程；已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程．22．一个圆的圆心在直线x- y -1= 0上，与直线4x + 3y + 14 = 0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程．23．（1）已知圆C 的圆心是10x y -+=与x 轴的交点，且与直线30x y ++=相切，求圆C 的标准方程.（2）若点(),P x y 在圆22430x y x +-+=上，求yx的最大值. 24．（12分）圆8)1(22=++y x 内有一点P （-1,2）,AB 过点P , ①若弦长72||=AB ，求直线AB 的倾斜角α； ②圆上恰有三点到直线AB 的距离等于2，求直线AB 的方程．25．（12分）已知圆C 过点A （13+，0）、B （31-，0），半径为2,且圆心在X 轴上方。

重庆备战中考数学圆的综合培优易错试卷练习(含答案)

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求CE的长；（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．【答案】（1）证明见解析（2）33）4π【解析】【分析】（1）如图1，连接AD，OD，由AB为⊙O的直径，可得AD⊥BC，再根据AB=AC，可得BD=DC，再根据OA=OB，则可得OD∥AC，继而可得DE⊥OD，问题得证；（2）如图2，连接BF，根据已知可推导得出DE=12BF，CE=EF，根据∠A=30°，AB=16，可得BF=8，继而得DE=4，由DE为⊙O的切线，可得ED2=EF•AE，即42=CE•（16﹣CE），继而可求得CE长；（3）如图3，连接OG，连接AD，由BG∥DF，可得∠CBG=∠CDF=30°，再根据AB=AC，可推导得出∠OBG=45°，由OG=OB，可得∠OGB=45°，从而可得∠BOG=90°，根据弧长公式即可求得BG的长度.【详解】（1）如图1，连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴∠ODE=∠DEA=90°，∴DE为⊙O的切线；（2）如图2，连接BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴BF ∥DE ，∵CD=BD ，∴DE=12BF ，CE=EF ， ∵∠A=30°，AB=16，∴BF=8，∴DE=4，∵DE 为⊙O 的切线，∴ED 2=EF•AE ， ∴42=CE•（16﹣CE ），∴CE=8﹣43，CE=8+43（不合题意舍去）；（3）如图3，连接OG ，连接AD ，∵BG ∥DF ，∴∠CBG=∠CDF=30°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠OBG=75°﹣30°=45°，∵OG=OB ，∴∠OGB=∠OBG=45°，∴∠BOG=90°，∴BG 的长度=908180π⨯⨯=4π．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、圆周角定理、弧长公式等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.2．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是的中点，D 是的中点，AC 与BD 相交于点E .（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE =2123．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析;(2)5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB=BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．4．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ．本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32a 2，∴1＝32－1)2＋14a 22，解得a 2＝8313. (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 3a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ，解得a n ＝24331n n .5．已知⊙O 中，弦AB=AC ，点P 是∠BAC 所对弧上一动点，连接PA ，PB ．（1）如图①，把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ ，连接PC ，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA 、PB 、PC 之间的关系．（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC ．理由见解析；（3）若∠BAC=120°时，（2）3 PA=PB+PC ．【解析】试题分析：（1）如图①，连接PC ．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图②，通过作辅助线BC 、PE 、CE （连接BC ，延长BP 至E ，使PE=PC ，连接CE ）构建等边△PCE 和全等三角形△BEC ≌△APC ；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC ；（3）如图③，在线段PC 上截取PQ ，使PQ=PB ，过点A 作AG ⊥PC 于点G ．利用全等三角形△ABP ≌△AQP （SAS ）的对应边相等推知AB=AQ ，PB=PG ，将PA 、PB 、PC 的数量关系转化到△APC 中来求即可．试题解析：（1）如图①，连接PC ．∵△ACQ 是由△ABP 绕点A 逆时针旋转得到的，∴∠ABP=∠ACQ ．由图①知，点A 、B 、P 、C 四点共圆，∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补），∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）；（2）PA=PB+PC ．理由如下：如图②，连接BC ，延长BP 至E ，使PE=PC ，连接CE ．∵弦AB=弦AC ，∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）．∵A 、B 、P 、C 四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补）， ∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，∵PE=PC ，∴△PCE 是等边三角形，∴CE=PC ，∠E=∠ECP=∠EPC=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP（等量代换）,在△BEC和△APC中，CE PCBCE ACPAC BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC≌△APC（SAS），∴BE=PA，∴PA=BE=PB+PC；（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论不成立，3 PA=PB+PC．理由如下：如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，∴∠BPC=60°．∵弦AB=弦AC，∴∠APB=∠APQ=30°．在△ABP和△AQP中，PB PQAPB APQAP AP=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△AQP（SAS），∴AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的对应边相等），∴AQ=AC（等量代换）．在等腰△AQC中，QG=CG．在Rt△APG中，∠APG=30°，则AP=2AG，PG=3AG,∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=23AG，∴3PA=23AG，即3PA=PB+PC．【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等.6．（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重2PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴2AP=QB+BP=PC+PB，∴2．（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ，即OC 最小值是32﹣3；（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=43OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC =43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ，当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2，∴OC 的最小值为34×2=32，故答案为32．【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.7．如图，AB 是⊙O 的直径，D 、D 为⊙O 上两点，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，且CE=CF.（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）连接CD 、CB ，若AD=CD=a ，求四边形ABCD 面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB 是等边三角形，在Rt △CFB 中，CF ＝， ∴S 四边形ABCD ＝（DC ＋AB ）•CF ＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．8．如图，AC 是⊙O 的直径，OB 是⊙O 的半径，PA 切⊙O 于点A ，PB 与AC 的延长线交于点M ，∠COB ＝∠APB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线；（2）当MB ＝4，MC ＝2时，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据题意∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，所以有∠M +∠COB ＝90°，即可证明PB 是⊙O 的切线.（2）设圆的半径为r ,则OM =r +2,BM=4,OB =r ,再根据勾股定理列方程便可求出r .【详解】证明：（1）∵AC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴PA ⊥OA∴在Rt △MAP 中，∠M +∠P ＝90°，而∠COB ＝∠APB ，∴∠M +∠COB ＝90°，∴∠OBM ＝90°，即OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，2OM r ∴=+ ,OB r = ,4BM =OBM ∆为直角三角形∴222OM OB BM =+ ，即222(2)+4r r +=解得：r ＝3，∴⊙O 的半径为3．【点睛】本题主要考查圆的切线问题，证明圆的切线有两种思路一种是证明连线是半径，另一种是证明半径垂直.9．已知AC＝DC，AC⊥DC，直线MN经过点A，作DB⊥MN，垂足为B，连结CB．[感知]如图①，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE，可证△BCD≌△ECA，从而得出EC＝BC，∠ECB＝90°，进而得出∠ABC＝度；[探究]如图②，当点A、B在CD异侧时，[感知]得出的∠ABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC的大小．[应用]在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD＝30°，BD＝时，直接写出BC的长．【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为+1或﹣1．【解析】【分析】[感知]证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA（SAS）即可解决问题；[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：【感知】，如图①中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°．∴∠CDB+∠CAB＝180°，∵∠CAB+∠CAE＝180°∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD，∴△BCD≌△ECA（SAS），∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45【探究】不改变．理由如下：如图，如图②中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠EAC，CD＝AC，∴△BCD≌△ECA（SAS），∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．【拓展】如图①﹣1中，连接AD．∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴A，C，D，B四点共圆，∴∠DAB＝∠DCB＝30°，∴AB＝BD＝，∴EB ＝AE+AB＝+，∵△ECB是等腰直角三角形，如图②中，同法可得BC＝﹣1．综上所述，BC的长为+1或﹣1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．10．如图，OA，OD是⊙O半径．过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为 3cm，求DE的长度．(结果保留π)【答案】（1）证明见解析；（2）DE的长度为π.【解析】（1）证明：∵AC是⊙O切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵CO平分∠AOD，∴∠AOC=∠COD，在△AOC和△DOC中，∴△AOC≌△DOC，∴∠ODC=∠OAC=90°，∴OD⊥CD，∴直线CD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥BC，DC=DB，∴OC=OB，∴∠OCD=∠B=∠ACO，∵∠B+∠ACB=90°，∴∠B=30°，∠DOE=60°，∴的长度==π．[来源:]。

【初三数学】重庆市九年级数学上(人教版)第24章圆单元综合练习卷(含答案解析)

人教版九年级上册数学单元练习题：第二十四章圆（含解析答案）一．选择题1．如图，AB是⊙O直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．40°B．50°C．65°D．25°2．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（）A．2B．2 C．3D．43．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：25．下列说法中，正确的是（）A．正n边形有n条对称轴B．相等的圆心角所所对的弦相等C．三角形的外心到三条边的距离相等D．同一个平面上的三个点确定一个圆6．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．7．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．58．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC＝20°，则∠BAO的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．55°9．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC ＝3，则BC的长为（）A．5B．3C．2D．10．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于（）A．65°B．35°C．25°D．15°11．如图，⊙O的半径为4，A、B、C、D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，D G相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF的值是（）A．4 B．2C．4D．值不确定12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝2cm，把△ABC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AB1C1，则线段BC所扫过的面积为（）A．πcm2B．πcm2C．πcm2D．5πcm2二．填空题13．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．14．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．15．如图，△ABC是圆O的内接三角形，则∠ABC﹣∠OAC＝．16．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝．17．如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD＝4cm，弦AB的长为c m．18．如图，在坐标系中以原点为圆心，半径为2的圆，直线y＝kx﹣（k+1）与⊙O有两个交点A、B，则AB的最短长度是．三．解答题19．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC 交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．（1）求证：EC是圆O的切线；（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，①求证：AC＝CF；②若AD＝1，求线段FG的长．20．如图，OA、OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，点C在⊙O上，AC与OB交点D，点E在OB 的延长线上，且CE＝DE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）当∠A＝30°，OA＝6时，则CD的长为．21．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝6，以BC为边作等边三角形BCD，连接AD，求AD的值．（2）如图2，四边形ABCD中．△ABM，△CDN是分别以AB，CD为一条边的等边三角形，E，F分别在这两个三角形的外接圆上，试问AE+EB+EF+FD+FC是否存在最小值？若存在最小值，则E，F两点的位置在什么地方？井说明理由．若不存在最小值，亦说明理由．22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OC，过点A作AD∥OC，交BC的延长线于D，AB交OC于E，∠ABC＝45°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AE＝，CE＝3．①求⊙O的半径；②求图中阴影部分的面积．23．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆．AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD经过圆心O，点E在BD的延长线上，BA与CD的延长线交于点F，DF平分∠ADE．（1）求证：AC＝BC；（2）若AB＝AF，求∠F的度数；（3）若，⊙O半径为5，求DF的长．24．如图，点A在数轴上对应的数为20，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为10π，求∠AOP度数及x的值．（2）若线段PQ的长为10，求这时x的值．参考答案一．选择题1．解：连接OD，∵AO＝OD，∴∠A＝∠ODA＝25°，∵∠COD＝∠A+∠ADO，∴∠COD＝50°，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC＝90°，∵∠C+∠COD＝90°，∴∠C＝40°，故选：A．2．解：∵⊙O与AC相切于点D，∴AC⊥OD，∴∠ADO＝90°，∵AD＝OD，∴tan A＝＝，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠C＝∠ADO＝90°，∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝×6＝2；故选：A．3．解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．4．解：如图，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，作AH⊥BC于H，∵△ABC为等边三角形，∴AH平分∠BAC，即∠BAH＝30°，∴点O在AH上，∴OH＝r，连接OB，∵⊙O为△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO＝30°，∴OA＝OB，在Rt△OBH中，OB＝2OH＝2r，∴AH＝2r+r＝3r，∴OH：OA：AH＝1：2：3，即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3．故选：B．5．解：A、正n边形有n条对称轴，故本选项正确；B、如图，圆心角相等，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项错误；C、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三角形三边的距离相等，故本选项错误；D、在同一直线上的三个点不能作一个圆，故本选项错误；故选：A．6．解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．7．解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5．∴MN＝5﹣3＝2故选：A．8．解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，OC过O，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC，即∠AOB＝2∠AOC，∵∠ABC＝20°，∴∠AOC＝2∠ABC＝40°，∴∠AOB＝40°+40°＝80°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝（180°﹣∠AOB）＝50°，故选：C．9．解：连接OB，作OD⊥BC于点D．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠OBD＝∠ABC﹣∠ABO＝120°﹣90°＝30°，在直角△OBD中，BD＝OB•cos30°＝3×＝，则BC＝2BD＝3．故选：B．10．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝130°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝∠BOC＝25°，故选：C．11．解：当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF是定值．理由：连接OA、OB、OC、OD，如图：∵DG与⊙O相切，∴∠GDA＝∠ABD．∵∠ADG＝30°，∴∠ABD＝30°．∴∠AOD＝2∠ABD＝60°．∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∴AD＝OA＝4．同理可得：BC＝4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴＝，＝．∴+＝+＝1．∴+＝1．∴PE+PF＝4．∴当∠ADG＝∠BCH＝30°时，PE+PF＝4．故选：A ．12．解：∵∠C ＝90°，BC ＝3cm ，AC ＝2cm ，∴AB ＝cm ，如图，由旋转知，∠BAB 1＝∠CAC 1＝90°，△ABC ≌△AB 1C 1，则线段BC 所扫过的面积S ＝+﹣S △ABC ﹣＝﹣ ＝﹣＝π（cm 2），故选：A ．二．填空题（共6小题）13．解：连接OE ，∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，∴∠AOE ＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．14．解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．15．解：作直径AD，连接CD，如图所示：∵AD是圆O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠OAC+∠D＝90°，∵∠ABC+∠D＝180°，∴∠ABC﹣∠OAC＝180°﹣90°＝90°；故答案为：90°．16．解：连接BD．∵AB是直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，∴∠DAB＝30°，∴AB＝AD÷cos30°＝4，∴AC＝AB•cos60°＝2，故答案为2．17．解：连接OA，∵OA＝OC＝10cm，CD＝4cm，∴OD＝10﹣4＝6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD＝＝8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB＝2AD＝16cm．故答案为16．18．解：∵直线y＝kx﹣（k+1）可化为y＝（x﹣1）k﹣1，∴此直线恒过点（1，﹣1）．过点D作DH⊥x轴于点H，∵OH＝1，DH＝1，OD＝＝＝．∵OB＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝2．故答案为：2．三．解答题（共6小题）19．（1）证明：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵EO⊥AB，∴∠OGB+∠B＝90°，∵EG＝EC，∴∠ECG＝∠EGC，∵∠EGC＝∠OGB，∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是圆O的切线；（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，∵EO⊥AB，∴∠COF＝45°，∴＝，∴AC＝CF；②解：作CM⊥OE于M，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，∴∠FGC＝67.5°，∵∠COF＝45°，OC＝OF，∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，∴∠GFC＝∠FGC，∴CF＝CG，∴FM＝GM，∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，在Rt△ACD和Rt△FCM中∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），∴FM＝AD＝1，∴FG＝2FM＝2．20．（1）证明：如图连接OC．∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A+∠ADO＝90°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD＝∠ADO，∴∠OCD+∠DCE＝90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：在Rt△AOD中，∵OA＝6，∠A＝30°，∴OD＝，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°，∠COA＝120°，∠DOC＝30°，∴∠DOC＝∠OCD＝30°，∴CD＝OD＝2．故答案为：2．21．（1）证明：在AD上截取AP＝AB，连结PB，如图，∵△DBC为等边三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，DB＝CB，∵∠BAC＝120°∴∠BAC+BDC＝180°，∴A、B、D、C四点共圆，∴∠BAP＝∠DCB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴∠ABP＝60°，BP＝BA，∴∠DBC﹣∠PBC＝∠ABP﹣∠PBC，即∠DBP＝∠CBA，∴△DBP≌△CBA（SAS），∴PD＝AC，∴AD＝DP+AP＝AC+AB＝9．（2）当点E、F为直线MN与两圆的交点时，AE+EB+EF+FC+FD的值最小．证明：连结ME、NF，如图，由（1）的结论得EA+EB＝ME，FC+FD＝FN，∴AE+EB+EF+FC+FD＝ME+EF+FN，∴当点M、E、F、N共线时，ME+EF+FN的值最小，此时点E、F为直线MN与两圆的交点．22．解：（1）证明：连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COA＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；（2）①设OE＝x，∵OC＝OA，∴OA＝x+3，由于AE＝，在Rt△AOE中，由勾股定理可知：x2+（x+3）2＝17，∴x2+3x﹣4＝0，∴x＝1，∴OC＝x+3＝4，∴⊙O的半径为4，；＝＝4π，②S扇形OACS＝×4×4＝8，△AOC∴图中阴影部分的面积＝4π﹣8．23．（1）证明：∵DF平分∠ADE，∴∠EDF＝∠ADF，∵∠EDF＝∠ABC，∠BAC∠BDC，∠EDF＝∠BDC，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）解：∵BD是⊙O的直径，∴AD⊥BF，∵AF＝AB，∴DF＝DB，∴∠FDA＝∠BDA，∴∠ADB＝∠CAB＝∠ACB，∴△ACB是等边三角形，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∴∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠F＝∠ABD＝30°；（3）解：∵，∴＝，设CD＝k，BC＝2k，∴BD＝＝k＝10，∴k＝2，∴CD＝2，BC＝AC＝4，∵∠ADF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠ADC，∵∠ACF＝∠DCA，∴△ACF∽△DCA，∴＝，∴CF＝8，∴DF＝CF﹣CD＝6．24．解：（1）如图1，由＝10π，解得n＝90°，∴∠POQ＝90°，∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠BOQ，∴tan∠PQO＝tan∠QOB＝＝∴OQ＝∴x＝；（2）分三种情况：①如图2，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为②如图3，作OH⊥PQ交PQ的延长线于H．设OH＝k，QH＝k．在Rt△在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10+k）2，整理得：k2+5k﹣75＝0，解得k＝（舍弃）或k＝（舍弃），∴OQ＝2k＝，此时x的值为﹣+5③如图4，作OH⊥PQ于H，设OH＝k，QH＝k．在Rt△OPH中，∵OP2＝OH2+PH2，∴202＝（k）2+（10﹣k）2，整理得：k2﹣5k﹣75＝0，解得k＝或（舍弃），∴OQ＝2k＝此时x的值为．综上所述，满足条件的x的值为或﹣+5或．人教版数学九年级上册第二十四章《圆》培优单元测试卷（含解析）一．选择题1．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，则侧面积为（）A．2πB．3πC．6πD．8π2．如图，AB为⊙O的直径，P为弦BC上的点，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E．若点C恰好是的中点，BE＝6，则PC的长是（）A．6﹣8 B．3﹣3 C．2 D．12﹣63．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（）A．2πB．3πC．4πD．π4．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（）A．55°B．70°C．110°D．125°6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是（）A．6 B．7 C．7D．127．如图，正方形ABCD内接于圆O，AB＝4，则图中阴影部分的面积是（）A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣168．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H．若AE＝3，则EG的长为（）A．B．C．D．9．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（）A．B．πC．50 D．50π10．如图，点C为△ABD外接圆上的一点（点C不在上，且不与点B，D重合），且∠ACB＝∠ABD＝45°，若BC＝8，CD＝4，则AC的长为（）A．8.5 B．5C．4D．11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转60°，直角边AC扫过的面积等于（）A．24πB．20πC．18πD．6π12．如图，矩形ABCD中，BC＝2，C D＝1，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二．填空题13．若一个圆锥的底面圆的周长是5πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，连接DE，过点D作DF⊥AC于点F．若AB＝6，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积是．15．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB 的度数是．16．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是．17．半径为6的扇形的面积为12π，则该扇形的圆心角为°．18．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为．三．解答题19．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB 交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．22．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是多少？23．已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求证：AH＝AO．（初二）24．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F．（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH．（2）求证：DF＝EF25．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E为的中点．（1）求证：∠ACD＝∠DEC；（2）延长DE、CB交于点P，若PB＝BO，DE＝2，求PE的长．参考答案一．选择题1．解：圆锥的侧面积＝×2π×1×3＝3π，故选：B．2．解：连接OD，交CB于点F，连接BD，∵＝，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∴OF＝DF，∴BF∥DE，∴OB＝BE＝6∴CF＝FB＝OB•cos30°＝6×＝3，在Rt△POD中，OF＝DF，∴PF＝DO＝3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP＝CF﹣PF＝3﹣3．故选：B．3．解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝360°×＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，弧BC的长为＝2π．故选：A．4．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：连接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝110°，∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．故选：B．6．解：连接DO，EO，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴OE ⊥AC ，OD ⊥BC ，CD ＝CE ，BD ＝BF ＝3，AF ＝AE ＝4又∵∠C ＝90°，∴四边形OECD 是矩形，又∵EO ＝DO ，∴矩形OECD 是正方形，设EO ＝x ，则EC ＝CD ＝x ，在Rt △ABC 中BC 2+AC 2＝AB 2故（x +2）2+（x +3）2＝52，解得：x ＝1，∴BC ＝3，AC ＝4，∴S △ABC ＝×3×4＝6，故选：A ．7．解：连接OA 、OB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOB ＝90°，∠OAB ＝45°，∴OA ＝AB cos45°＝4×＝2，所以阴影部分的面积＝S ⊙O ﹣S 正方形ABCD ＝π×（2）2﹣4×4＝8π﹣16．故选：B．8．解：如图，连接AC、BD、OF，，设⊙O的半径是r，则OF＝OA＝r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF＝60°÷2＝30°，AC⊥EF，EG＝EF＝∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°+30°＝60°，∴FI＝r•sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r＝AE＝3，∴r＝∴OI＝，∴CI＝OC﹣OI＝，∵EF⊥AC，∠BCA＝45°∴∠IGC＝∠BCI＝45°∴CI＝GI＝∴EG＝EI﹣GI＝故选：B．9．解：圆锥的侧面积＝•5•5＝．故选：A．10．解：延长CD到E，使得DE＝BC，连接AE，如右图所示，∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC＝∠DAE，∵∠BAC+∠CAD＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠CAD＝90°，∴∠CAE＝90°，∵ACD＝45°，BC＝DE＝8，CD＝4，∴∠ACE＝45°，CE＝12，∴AC＝AE＝6，故选：D．11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，∠ABC＝60°，＝﹣＝﹣＝18π．∴S阴影故选：C．12．解：连接OE交BD于F，如图，∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD为矩形，OA＝OD＝1，而CD＝1，∴四边形ODCE和四边形ABEO都是正方形，∴BE＝1，∠DOE＝∠BEO＝90°∵∠BFE＝∠DFO， OD＝BE，∴△ODF≌△EBF（AAS），∴S△ODF ＝S△EBF，∴阴影部分的面积＝S扇形EOD＝＝．故选：C．二．填空题（共6小题）13．解：∵圆锥的底面圆的周长是5πcm，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为5πcm，∴＝5π，解得：n＝150故答案为150°．14．解：连接OE，∵∠CDF＝15°，∠C＝75°，∴∠OAE＝30°＝∠OEA，∴∠AOE＝120°，S△OAE＝AE×OE sin∠OEA＝×2×OE×cos∠OEA×OE sin∠OEA＝，S阴影部分＝S扇形OAE﹣S△OAE＝×π×32﹣＝3π﹣．故答案3π﹣．15．解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．16．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，连接AB、BC、CD、AD，则四边形ABCD是正方形，连接OB，如图所示：则正方形ABCD的对角线＝2OA＝4，O A⊥OB，OA＝OB＝2，∴AB＝2，过点O作ON⊥AB于N，则NA＝AB＝，∴圆的半径为，∴四叶幸运草的周长＝2×2π×＝4π；故答案为：4π．17．解：设该扇形的圆心角为n2，则＝12π，解得：n＝120，故答案为：120．18．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，∵C（3，4），∴OC＝＝5，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为3，∴OP＝OA＝OB＝8，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴AB长度的最大值为16，故答案为16．三．解答题（共7小题）19．（1）证明：连接OD、CD，∵CE是⊙O的直径，∴∠EDC＝90°，∵DE∥OA，∴OA⊥CD，∴OA垂直平分CD，∴OD＝OC，∴OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OD，CD，∵BD是⊙O切线，∴∠ODB＝90°，∴∠BDE+∠ODE＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∴∠ODC+∠ODE＝90°，∴∠BDE＝∠ODC，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠BDE＝∠OCD，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCD，∴∴BD2＝BE•BC，设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，∴42＝x（x+6），解得x＝2或x＝﹣8（舍去），∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD、AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝y，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+y）2＝y2+82，解得y＝6，∴AC＝6，故AC的长为6．20．解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．21．证明：（1）∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB∵O C∥BD∴∠OCB＝∠CBD∴∠OBC＝∠CBD∴（2）连接AC，∵CE＝1，EB＝3，∴BC＝4∵∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB∴△ACE∽△BCA∴∴AC2＝CB•CE＝4×1∴AC＝2，∵AB是直径∴∠ACB＝90°∴AB＝＝2∴⊙O的半径为（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，∵PC是⊙O切线，∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA∴△APC∽△CPB∴∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB∴4PA2＝PA×（PA+2）∴PA＝∴PO＝∵PQ∥BC∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°∴△PHO∽△BCA∴即∴PH＝，OH＝∴HQ＝＝∴PQ＝PH+HQ＝22．解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×1＝﹣23．证明：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，则FN∥AD，AH＝2FN，MN∥BE，∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，∴OM∥AD，BE∥OF，∵M为BC中点，N为CH中点，∴MN∥BE，∴OM∥FN，MN∥OF，∴四边形OMNF是平行四边形，∴OM＝FN，∵AH＝2FN，∴AH＝2OM．（2）证明：连接OB，OC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOM＝60°，∴∠OBM＝30°，∴OB＝2OM＝AH＝AO，即AH＝AO．24．（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AH＝3.6．（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF．25．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠DEC＝∠B，∴∠ACD＝∠DEC．（2）证明：连结OE∵E为BD弧的中点．∴∠DCE＝∠BCE，∵OC＝OE，∴∠BCE＝∠OEC，∴∠DCE＝∠OEC，∴OE∥CD，∴△POE∽△PCD，∴＝，∵PB＝BO，DE＝2∴PB＝BO＝OC∴＝＝，∴＝，∴PE＝4．人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(3)一、填空题（每题3分，共30分）1．如图1所示AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，若OA=2cm，OC=1cm，则AB长为______．•图1 图2 图32．如图2所示，⊙O的直径CD过弦EF中点G，∠EOD=40°，则∠DCF=______．3．如图3所示，点M，N分别是正八边形相邻两边AB，BC上的点，且AM=BN,则∠MON=_________________度．4．如果半径分别为2和3的两个圆外切，那么这两个圆的圆心距是_______．5．如图4所示，宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）•则该圆的半径为______cm．图4 图5 图66．如图5所示，⊙A的圆心坐标为（0，4），若⊙A的半径为3，则直线y=x与⊙A•的位置关系是________．7．如图6所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠A=______．8．圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为________．（用含的式子表示）9．已知圆锥的底面半径为40cm，•母线长为90cm，•则它的侧面展开图的圆心角为_______．10．矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A，C为圆心的两圆相切，点D在⊙C内，点B 在⊙C外，那么⊙A的半径r的取值范围为________．二、选择题（每题4分，共40分）11．如图7所示，AB是直径，点E是AB中点，弦CD∥AB且平分OE，连AD，∠BAD度数为（）A．45° B．30° C．15° D．10°图7 图8 图912．下列命题中，真命题是（）A．圆周角等于圆心角的一半 B．等弧所对的圆周角相等C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．过弦的中点的直线必经过圆心13．（易错题）半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d，若3<d≤13，•则这两个圆的位置关系一定是（）A．相交 B．相切 C．内切或相交 D．外切或相交14．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3cm B．6cm C．9cm15．半径相等的圆的内接正三角形，正方形边长之比为（）A．1． C．3：2 D．1：216．如图8，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB•的延长线交于点P，则∠P等于（）A．15° B．20° C．25° D．30°17．如图9所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x•轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（）A．（-4，0） B．（-2，0） C．（-4，0）或（-2，0） D．（-3，0）18．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．154π B．152π C．54π D．52π19．如图10所示，AE切⊙D于点E，AC=CD=DB=10，则线段AE的长为（）A． B．15 C．．2020．如图11所示，在同心圆中，两圆半径分别是2和1，∠AOB=120°，•则阴影部分的面积为（）A．4π B．2π C．34π D．π三、解答题（共50分）21．（8分）如图所示，CE是⊙O的直径，弦AB⊥CE于D，若CD=2，AB=6，求⊙O•半径的长．22．（8分）如图所示，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC•边上的中点，连结PE，PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明，若不相切，请说明理由．23．（12分）已知：如图所示，直线PA交⊙O于A，E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DAB;（2）若AC=4，DA=2，求⊙O的直径．24．（12分）“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，•摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小雯到达点Q如图所示，此时他离地面的高度是多少．（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中．25．（10分）如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，。

重庆市第一中学新高中数学立体几何多选题专题复习含解析

重庆市第一中学新高中数学立体几何多选题专题复习含解析一、立体几何多选题1．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（）A ．AEF 是正三角形B ．平面AEF ⊥平面CGHC ．直线CG 与平面AEF 2D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83 【答案】AC【分析】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误.【详解】取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，在图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，则1122CH GH EH DH ===， O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，OH ∴⊥平面ABCD ，在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ，在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、(),,G a a a 、()0,0,H a .对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，()0,,AF a a =，由111100m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-，设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-，由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--， ()22111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；对于C 选项，6cos ,23CG mCG m a CG m ⋅<>===⨯⋅，设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 6θ=，23cos 1sin θθ=-=，所以，sin tan 2cos θθθ==，C 选项正确；对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，11211111113326A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，因此，多面体ABCD EFGH -的体积为111044463ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.2．如图所示，正三角形ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，其中AB ＝8，把△ADE 沿着DE 翻折至A 'DE 位置，使得二面角A '-DE -B 为60°，则下列选项中正确的是（）A ．点A '到平面BCED 的距离为3B ．直线A 'D 与直线CE 所成的角的余弦值为58 C ．A 'D ⊥BDD ．四棱锥A '-BCED 237【答案】ABD【分析】作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .利用线面垂直的判定定理判定CD ⊥平面A'MN ,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到'A 到平面面BCED 的高A'H ,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H 的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N ,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,经过计算求解可得半径从而判定D.【详解】如图所示，作AM ⊥DE ，交DE 于M ,延长AM 交BC 于N ,连接A'M ,A'N .则A'M ⊥DE ,MN ⊥DE , ,∵'A M ∩MN =M ,∴CD ⊥平面A'MN ,又∵CD ⊂平面ABDC ,∴平面A'MN ⊥平面ABDC ,在平面A'MN 中作A'H ⊥MN ,则A'H ⊥平面BCED ,∵二面角A'-DE -B 为60°，∴∠A'EF =60°，∵正三角形ABC 中，AB =8,∴AN =∴A'M ,∴A'H =A'M sin60°=3，故A 正确；连接DN ,易得DN ‖EC ,DN =EC =4,∠A'DN 就是直线A'D 与CE 所成的角，DN =DA'=4,A'N =A'M ,cos ∠A'DN =22441252448+-=⨯⨯,故B 正确；A'D =DB =4,==,∴222A D DB A B '≠'+,∴A'D 与BD 不垂直，故C 错误’易得NB =NC =ND =NG =4，∴N 为底面梯形BCED 的外接圆的圆心，设四棱锥A'-BCED 的外接球的球心为O ,则ON ⊥平面BCED ,且OA'=OC ,若O 在平面BCED 上方，入图①所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=-+=,解得23x =-,舍去；故O 在平面BCED 下方，如图②所示：设ON =x ,外接球的半径为R ,过O 作A'H 的垂线，垂足为P ,则HP =x ,易得()2222243x x R +=++=, 解得23x =,∴244371699R ⨯=+=,R ∴=故D 正确. 故选:ABD .【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证.3．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（）A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥， 1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥，取AC 的中点N ，则PN平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN 上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=，即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误；对于C 选项，2114822ACD S AD CD =⋅=⨯=，三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点，连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ，1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径()()222226252r R d '=-≥-=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM 平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时221335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM 平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确；对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF D F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD 选项，通过//BM 平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.5．在直角梯形ABCD 中，2ABC BCD π∠=∠=，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为13 B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒D ．在四棱锥D ABCE -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点F 时，DB 与平面ABCE所成的角的正切为155 【答案】ABD 【分析】对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得1133D ABCE ABCE V S DE -=⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，由翻折前可知4DAE π∠=可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为2π判断C ；对于D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，15tan DF DBF BF ∠==，可判断D 正确；【详解】对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知得1DE =，则111111333D ABCE ABCE V S DE -=⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4DAE π∠=，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为4π，故B 正确；对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC ED E =，则AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为2π，故C 错误；对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，222222113122152tan 5511122DE CE DFDBF BFBC CE ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∠=====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155，故D 正确；故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.6．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点C ，D 的动点，将ADE 沿AE 翻折成SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A ．存在点E 和某一翻折位置，使得SB SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得//AE 平面SBCC ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45°D ．存在点E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60° 【答案】ACD 【分析】依次判断每个选项：当SE CE ⊥时，⊥SE SB ，A 正确，//AE 平面SBC ，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，计算得到2cos 3α=，C 正确，取二面角D AE B --的平面角为60︒，计算得到5tan 5θ=，故D 正确，得到答案. 【详解】当SE CE ⊥时，SE AB ⊥，SE SA ⊥，故SE ⊥平面SAB ，故⊥SE SB ，A 正确；若//AE 平面SBC ，因AE ⊂平面ABC ，平面ABC 平面SBC BC =，则//AE CB ，这与已知矛盾，故B 错误；如图所示：DF AE ⊥交BC 于F ，交AE 于G ，S 在平面ABCE 的投影O 在GF 上，连接BO ，故SBO ∠为直线SB 与平面ABC 所成的角，取二面角D AE B --的平面角为α，取4=AD ，3DE =，故5AE DF ==，1CE BF ==，125DG =，12cos 5OG α=，故只需满足12sin5SO OB α==，在OFB △中，根据余弦定理：2221213121312sin 1cos 2cos cos 55555OFB ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+---∠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2cos 3α=，故C 正确；过O 作OMAB ⊥交AB 于M ，则SMO ∠为二面角S AB C --的平面角，取二面角D AE B --的平面角为60︒，故只需满足22DG GO OM ==，设OAG OAM θ∠=∠=，84ππθ<<，则22DAG πθ∠=-，tan tan 22DG OGAG πθθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得到2tan tan 21θθ=，解得5tan θ=，验证满足，故D 正确；故选：ACD .【点睛】本题考查了线线垂直，线面平行，线面夹角，二面角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断；对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】对于选项A ，若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =，此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明：在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==，在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥，同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立，故C 错误；对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ，记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数，则点S 到PQR 的距离为sin PS α，又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅，又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点 B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.【详解】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=，连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==，NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒， ,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴===N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P '，做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=，所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（）A．直线BD1⊥平面A1C1DB．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]D．直线C1P与平面A1C1D6【答案】ABD【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D 6．【详解】解：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；在B中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n ⋅⋅＝22(1)3a a +-⋅＝21132()22a ⋅-+，∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值的最大值为6，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62【答案】BCD 【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ，如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.平面1BFD E平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确；对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为162322=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。

重庆重庆市第一中学校立体几何多选题试题含答案

重庆重庆市第一中学校立体几何多选题试题含答案一、立体几何多选题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 内（含边界）一点．（） A ．若13A P =，则满足条件的P 点有且只有一个 B ．若12A P =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C ．若1//A P 平面11B DC ，则1A P 长的最小值为2D ．若12A P =且1//A P 平面11B DC ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面的面积为23π 【答案】ABD【分析】选项A ，B 可利用球的截面小圆的半径来判断；由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD 上，1A P 长的最大值为2；结合以上条件点P 与B 或D 重合，利用12sin 60A P r =︒，求出63r =，进而求出面积. 【详解】对A 选项，如下图：由13A P =，知点P 在以1A 为球心，半径为3的球上，又因为P 在底面ABCD 内（含边界），底面截球可得一个小圆，由1A A ⊥底面ABCD ，知点P 的轨迹是在底面上以A 为圆心的小圆圆弧，半径为22112r A P A A =-=，则只有唯一一点C满足，故A 正确；对B 选项，同理可得点P 在以A 为圆心，半径为22111r A P A A =-=的小圆圆弧上，在底面ABCD 内（含边界）中，可得点P 轨迹为四分之一圆弧BD .故B 正确；对C 选项，移动点P 可得两相交的动直线与平面11B D C 平行，则点P 必在过1A 且与平面11B D C 平行的平面内，由平面1//A BD 平面11B D C ，知满足1//A P 平面11B D C 的点P 在BD上，则1A P 长的最大值为12A B =，则C 不正确；对选项D ，由以上推理可知，点P 既在以A 为圆心，半径为1的小圆圆弧上，又在线段BD 上，即与B 或D 重合，不妨取点B ，则平面11A PC 截正方体外接球所得截面为11A BC 的外接圆，利用2126622,,sin 60333A B r r S r ππ==∴=∴==︒.故D 正确.故选：ABD【点睛】（1）平面截球所得截面为圆面，且满足222=R r d +（其中R 为球半径，r 为小圆半径，d 为球心到小圆距离）；（2）过定点A 的动直线平行一平面α，则这些动直线都在过A 且与α平行的平面内.2．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM 平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时221335322D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，223110EF =+=1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM 平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确；对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF D F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD 选项，通过//BM 平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.3．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++ C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ =【答案】BC【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误；对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()21122PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA +-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1822PQ ∴==，故D 错误.故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．4．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4πC ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V【答案】BCD【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可.【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形；故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC 中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos 2NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PM PE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F 是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB 的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确； D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++ C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN =【答案】ABC【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+=0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+= ()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=--222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+ 22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．6．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A ．MN ∥平面ABDB ．异面直线AC 与MN 所成的角为定值C ．在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】ABD【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大，故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选项D 正确; 故选：ABD【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.7．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（）．A ．棱的高与底边长的比为22B ．侧棱与底面所成的角为4πC ．棱锥的高与底面边长的比为2D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a =，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=- 令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小此时3h = 所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO =所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =，所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形，因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1；当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S 的最大值为2所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积1111336M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△；因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体，所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。

2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期12月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年重庆市第一中学校高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列四个数中，哪一个是数列{(1)n n +}中的一项（） A ．380 B ．39 C ．35 D ．23【答案】A【详解】因为数列{(1)n n +}，那么将四个选项代入,可知192038019n ⨯=⇒=,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.2．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b -=的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±【答案】A【详解】椭圆的离心率c e a ==，即2222234c a b a a -==，12b a =，所以双曲线22221x y a b-=的渐近线为12y x =±．故选A ．【解析】椭圆与双曲线的几何性质．3．若圆的方程为x 2+y 2﹣2x +4y +1＝0，则该圆的圆心和半径r 分别为（） A ．（1，﹣2）；r ＝2 B ．（1，-2）；r ＝4 C ．（-1，2）；r ＝2 D ．（-1，2）；r ＝4【答案】A【分析】将圆方程化为标准形式,即可得解.【详解】将圆的方程化为标准形式:22(1)(2)4x y -++=, 则该圆的圆心为(1,2)-,半径为2, 故选:A.【点睛】本题主要考查利用圆的方程确定圆心,半径,属于基础题.4．如图是抛物线形拱桥，当水面在n 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为（）A ．5B ．6C ．25D ．26【答案】D【分析】由题建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2x my =，结合条件即求. 【详解】建立如图所示的直角坐标系：设抛物线方程为2x my =，由题意知：(2,2)-在抛物线上，即222m =-，解得：2m =-， 22x y ∴=-，当水位下降1米后，即将=3y -代入22x y =-，即()223x =-⨯-，解得：6x =±∴水面宽为26. 故选：D.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24=3,10S S =，则6S =（） A ．21 B ．15C ．13D ．11【答案】A【分析】利用等差数列的前n 项和的性质求解.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以24264,,S S S S S --成等差数列，所以()()422642-=+-S S S S S ，因为24=3,10S S =，所以()()62103310S -=+-，解得621S =，故选：A6．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（）A ．2224199x y +=B ．22194x y +=C ．22195x y +=D ．222199x y +=【答案】A【分析】利用直线AB 的斜率和倾斜角的对应关系列方程，求得c 的值.利用点差法求得22,a b 的关系式，结合222a b c =+求得,a b 的值，进而求得椭圆方程.【详解】∵1211c =-，∴32c =，令()11,A x y ，()22,B x y ，则22221x y a b +=，∴()()()()12121212220x x x x y y y y a b +⋅-+⋅-+=，22210a b -+=，∴292a =，294b =.故选A. 【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，以及有关点差法的运用.题目给出直线和椭圆相交所得所得弦的中点坐标，还有直线的倾斜角，这里可以根据焦点的坐标列方程求得c 的值.点差法主要用在有关直线和圆锥曲线相交，所得弦的中点有关的题目.属于中档题. 7．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9113a a -=（） A ．42 B ．45 C ．48 D ．51【答案】C【分析】结合等差数列的性质求得正确答案. 【详解】依题意{}n a 是等差数列， 4681012885120,24a a a a a a a ++++===，9119911971111832248a a a a a a a a a a -=+-=++-==.故选：C8．如图,已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的右顶点为,A O 为坐标原点,以点A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于,P Q 两点,若120PAQ ∠=︒且2OQ OP =-,则双曲线C 的离心率为（）A 10B ．3C ．2D 213【答案】C【分析】确定30OQA ∠=︒设AQ R =，则3PQ R =，23ROQ =径定理，余弦定理，得到关于,a b 的关系式，从而求出离心率．【详解】因为AP AQ =，120PAQ ∠=︒，所以30OQA ∠=︒，设AQ R =，则3PQ R =，又因为2OQ OP =-，所以23ROQ 双曲线的渐近线方程为by x a=，()0A a ，，取PQ 的中点M ，则22ab AM a b=+由勾股定理可得222223ab R R a b =++⎝⎭，即()()222214R a a b b =+ ①，在OQA 中，222233cos 232R R a OQA RR+-⎝⎭∠=⨯⨯，所以2213R a =②，联立①②：()()222234a a a b b =+，即()22234a b b =+，223b a =，结合222c a b =+可得2ce a==. 故选：B.二、多选题9．在同一直角坐标系中，直线2y ax a =+与圆222()x a y a ++=的位置可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【分析】根据给定条件求出直线与坐标轴的交点坐标、圆心坐标，再结合图形判断作答. 【详解】直线2y ax a =+与y 轴正半轴交于点2(0,)a ，排除选项B ；直线2y ax a =+与x 轴交于点(,0)a -，而圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，因此，直线2y ax a =+过圆222()x a y a ++=的圆心，排除选项D ；当0a >时，圆心在x 轴负半轴上，选项A 满足；当a<0时，圆心在x 轴正半轴上，选项C 满足. 故选：AC10．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=有实根，则椭圆E 的离心率e 可能是（） A 51- B ．35C ．34D 3【答案】AB【分析】根据判别式不小于0可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题意有2440b ac ∆=-≥，由222b a c =- 可得220a c ac --≥，故210e e +-≤e ≤≤而01e <<，∴0e <≤故选：AB11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20210S <，20220S >，则下列结论正确的是（） A ．20210a < B ．10120a < C ．10110a < D ．10a <【答案】CD【分析】利用等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质计算判断作答. 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由12021202110112021202102a a S a +=⨯=<得：10110a <，由1202210111202201220221011()02a a a a S +=⨯=>+得，101210110a a ->>，因此，等差数列{}n a 的公差101210110d a a =->，即数列{}n a 是递增等差数列，则有110110a a <<，202110120a a >>，所以选项A ，B 都不正确；选项C ，D 都正确. 故选：CD12．已知双曲线C ：221916x y -=和点()0,12A ，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上在第一象限内的点，点I 为12PF F △的内心，则下列说法正确的是（） A ．1PA PF +的最小值为25 B ．121253IF F PIF PIF S S S =-△△△ C ．()120,20F IF S ∈△ D ．若1232PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=【答案】BC【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A ，设12PF F △的内切圆的半径为r ，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B ，设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据切线长定理可得1HF a c =+，即可得到H 的坐标，记渐近线43y x =的倾斜角为θ，则4tan 3θ=，记2IF H α∠=则()20,απθ∈-，利用临界值求出()tan 0,2α∈，即可求出1y 的取值范围，即可判断C ，延长PI 交12F F于点M ，由角平分线定理得到2213PF PI MF MI==，即可求出x 、y ，即可判断D ；【详解】解：因为双曲线C ：221916x y -=，所以3a =，4b =，5c =，则()15,0F -、()25,0F ，双曲线的渐近线为43y x =±，因为()0,12A ，所以213AF ==，所以1222219PA PF PA PF a AF a +=++≥+=，当且仅当A 、P 、2F 在同一直线且P 在2AF 之间时取等号，故A 错误；设12PF F △的内切圆的半径为r ，则1212121212121252112322IF F PIF PIF F F r S F F c S S PF PF a PF r PF r ====---△△△，故B 正确；设()11,I x y 在12F F 上的垂足为H ，根据双曲线的定义及切线长定理可得12122PF PF a HF HF -==-，又121222a HF HF c HF HF ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，所以1HF a c =+，所以(),0H a ，记渐近线43y x =的倾斜角为θ，则4tan 3θ=，记2IF H α∠=，则()20,απθ∈-，当()tan 2tan απθ=-，即242tan 31tan αα-=-，解得tan 2α=，所以()tan 0,2α∈，则()12tan 0,4y HF α=∈，所以()121210,2012IF F S F F y =⋅∈△，故C 正确；延长PI 交12F F 于点M ，由1212326PF PF PF PF ⎧=⎪⎨⎪-=⎩解得121812PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由角平分线定理可知112232PF MF PF MF ==，所以24MF =，又由角平分线定理知2213PF PI MF MI==，过点I 作12//NG F F 交1PF 、2PF 分别于点N 、G 点，则32PN PG =，所以32NI IG =，所以2355PI PN PG =+，因为12PI xPF yPF =+，所以34x y +=又23x y =，解得310920x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以320y x -=，故D 错误；故选：BC三、填空题13．已知直线1:210l x my ++=与()2:4120l mx m y +++=垂直，则m 的值为______．【答案】0或-9##-9或0【分析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.【详解】因直线1:210l x my ++=与()2:4120l mx m y +++=垂直，则有24(1)0m m m ⨯++=，解得0m =或9m =-，所以m 的值为0或-9. 故答案为：0或-914．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________．【答案】20【解析】由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有600人，根据抽样比可求得结果. 【详解】设高一、高二、高三人数分别为,,a b c ，则2b a c =+且1800a b c ++=，解得：600b =，用分层抽样的方法抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为60060201800⨯=人．故答案为：20.【点睛】本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.15．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，A (t ，1)是抛物线第一象限上的点，5AF =，直线AF 与抛物线的另一个交点为B ，则AOB S =△_________．【答案】40【分析】根据题意可得8p =，4t =，联立直线AF 与抛物线的方程可求得点B 的坐标，进而可求AB 以及O 到直线:34160AF x y +-=的距离d ．【详解】∵152pAF =+=，则8p = ∴抛物线方程为216x y =把A (t ，1)代入抛物线方程得：216t =且0t >，则4t = ∵()()4,1,0,4A F ,则直线AF 的斜率143404k -==-- ∴直线AF 的方程：344y x =-+即34160x y +-=联立方程23416016x y x y +-=⎧⎨=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩或1616x y =-⎧⎨=⎩即()16,16B -，则25ABO 到直线:34160AF x y +-=的距离165d =∴1402AOBSAB d =⨯= 故答案为：40．16．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ______________【答案】22154x y += 【详解】∵点(1，12)在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线为x ＝1，且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1，设点P(1，12)，连接OP ，则OP ⊥AB ，∵k OP ＝12，∴k AB ＝－2．又直线AB 过点(1,0)，∴直线AB 的方程为2x ＋y －2＝0，∵点(0，b)在直线AB 上，∴b ＝2，又c ＝1，∴a 2＝5，故椭圆方程是25x ＋24y ＝1．四、解答题17．如图，圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，另两圆外切且与直线3y x =分别相切于B ，D 两点，若()31E，.（1）求圆E 与圆F 的标准方程；（2）过B 作直线EF 的垂线L ，求直线L 被圆E 截得的弦的长度. 【答案】（1）(()22311x y +-=，(()223339x y -+-=；（23【解析】（1）先由题意，得到圆E 的半径为1，进而可得E 的方程；再由题意，得到O 、E 、F 三点共线，设圆F 的半径为R ，由题意，得到3R =，再求出()33,3F ，即可得出圆F 的方程；（2）先由题意，联立直线3y x =与圆E 的方程求出332B ⎫⎪⎪⎝⎭，，以及直线L 的方程，根据几何法，即可求出圆的弦长.【详解】（1）因为点)31E ，，圆E 与x 轴分别相切于A ，所以1EA =，即圆E 的半径为1，所以圆(()22:311E x y +-=；因为圆E 与圆F (点F 在点E 的右侧)与x 轴分别相切于A ，C 两点，与直线3y x =分别相切于B ，D两点，且两圆外切，所以O 、E 、F 三点共线，设圆F 的半径为R ，则有EA OEFC OF =，即123R R=+，解得3R =，即3=FC ，则3F y = 又F 在直线:3OE y =上，所以33F x =()33,3F ，因此，圆(()22:3339F x y +-=-；(2).联立(()223113x y y x⎧+-=⎪⎨⎪=⎩，解得332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以332B ⎫⎪⎪⎝⎭，，又33OE EF k k ==所以过点B 且与EF 垂直的直线L 为: 32y x -=⎭，30y +-=，因为点E 到直线L 的距离12d ==所以直线L被圆截得弦长=【点睛】方法点睛：求圆的弦长的方法：（1）代数法：联立直线与圆的方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；（2）几何法：先求圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离的平方与弦长一半的平方之和等于半径的平方，即可求出弦长.18．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，34a =，+1143(3)n n n a a a n -=+≥. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设121b b ==，()()12)1(55n n n b n a n a +=-->，求证：13ii b i∞=>∑. 【答案】（1）315,231,1n n n a n -⎧-≥⎪=⎨⎪=⎩；（2）证明见解析.【分析】（1）转化+1143(3)n n n a a a n -=+≥为1113n n n n a a a a +--=-，可得21123n n n a a -+⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，累加法即得解；（2）代入n a 可得23)1(11323n n n b n n --=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭>⎝⎭，放缩为213121131i i i b i i ∞∞==≥+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑，即得证【详解】（1）因为11a =，22a =，34a =，+1143n n n a a a -=+，所以1113n n n n a a a a +--=-，211a a -=，322a a -= 所以21123n n n a a -+⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，2n ≥，121321()()......()n n n a a a a a a a a -∴-=-+-++-23312(1)221312 (14133)313n n n ----=++++=+=--315,23n n a n -⎛⎫∴=-≥ ⎪⎝⎭315,231,1n n n a n -⎧-≥⎪∴=⎨⎪=⎩.（2）()()1232)11(115533n n n n n b a n n n a +--==--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎝⎭> ⎭， 2213323112211113331ii i i i i b i i i ∞∞∞===--=+≥+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑222221111123(+++......)=3+3(++......)>334545=+⨯⨯ 故得证19．已知向量(2,0),(0,1)OA OC AB ===，动点M 到定直线1y =的距离等于d ，并且满足()2OM AM k CM BM d ⋅=⋅-，其中O 是坐标原点，k 是参数.（1）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（2）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e22e ，求k 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1111,,232⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【分析】（1）令()M x y ，，由()2OM AM k CMBM d ⋅=⋅-建立方程求解.然后对k 讨论分析.（222e，得到点M 的轨迹为椭圆()22111y x k -+=-，再根据焦点位置讨论求解. 【详解】（1）令()M x y ，，则()()()21OM x y AM x y CM x y ==-=-，，，，，， ()211BM x y d y =--=-，，，∴()22222OM AM x x y x y x ⋅=-+=+-， ()()()2222121CM BM x x y x x y ⋅=-+-=-+-，代入()2OM AM k CM BM d ⋅=⋅-，得()()221210k x k x y -+-+=，即为动点M 的轨迹方程. 当1k =时，表示直线0y =；当0k =时，表示圆；当1k >时，表示双曲线；当01k <<或0k <时，表示椭圆. （2）由3232eM ⇒点的轨迹为椭圆()22111y x k -+=-， 1°01k <<时，222211a b k c k e k ==-==，，，，所以2232113232k k ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 2°0k <时，211k ke k k -==--. 结合321132312k e k ⎡⎤∈⇒⎢⎥-⎣⎦，，所以112k --，综上所述：1111232k ⎡⎤⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，. 【点睛】本题主要考查曲线与方程以及椭圆离心率的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 20．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，点,M N 分别在侧棱,PD PC 上，且PM MD = （I ）求证：AM ⊥平面PCD ；（II ）若12PN NC =，求平面AMN 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值【答案】（I ）证明见解析；（II 3【分析】（I ）根据线面垂直判定定理，由PA CD ⊥和CD AD ⊥可得CD ⊥平面PAD ；由线面垂直性质知CD AM ⊥，由等腰三角形三线合一可知AM PD ⊥，根据线面垂直判定定理可证得结论；（II ）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算和12PN NC =可求得224,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭，可验证出0PC AN ⋅=，得到PC AN ⊥，根据线面垂直性质可知AM PC ⊥，根据线面垂直判定定理可知PC ⊥平面AMN ，从而可知PC 为平面AMN 的一个法向量，又AD 为平面PAB 的一个法向量，利用空间向量法可求得两平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（I ）PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD PA CD ∴⊥四边形ABCD 为正方形 CD AD ∴⊥ CD 平面PADAM ⊂平面PAD CD AM ∴⊥PA AD =，PM MD = AM PD ∴⊥,CD PD ⊂平面PCD ，PD CD D ⋂= AM ∴⊥平面PCD （II ）以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则有()0,0,0A ，()002P ,,，()0,2,0D ，()0,1,1M ，()2,2,0C ，设(),,N x y z ，则()2,2,NC x y z =---，(),,2PN x y z =-又12PN NC = 222224x xy y z z -=⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩，则224,,333N ⎛⎫⎪⎝⎭224,,333AN ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，又()2,2,2PC =- 4480333PC AN ∴⋅=+-=，即PC AN ⊥又AM ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD AM PC ∴⊥ PC ∴⊥平面AMN()2,2,2PC ∴=-为平面AMN 的一个法向量又AD ⊥平面PAB ()0,2,0AD ∴=为平面PAB 的一个法向量 3cos ,232PC AD PC AD PC AD⋅∴<>===⨯∴平面AMN 与平面PAB 3【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角余弦值的问题，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用、向量的坐标运算、向量夹角的求解的问题，属于常考题型. 21．已知点()2,0P 及圆22:6440C x y x y +-++=．（1）若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；（2）若过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，且4MN =，求以MN 为直径的圆的方程；（3）若直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3460x y +-=，2x =；（2）()2224x y -+=；（3）不存在，理由详见解析.【分析】（1）设出直线方程，结合点到直线的距离公式，计算参数，即可得出所求直线方程，注意分斜率存在与否两种情况讨论；（2）求出点P 与圆心C 之间的距离PC ，再根据逆用弦长公式求出弦心距d ，发现PC d =，则点P 为MN 的中点，故以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN |的一半，写出圆的方程即可；（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a 的不等式，求出a 的范围，再计算2l 的斜率，求出a 的值，即可. 【详解】（1）圆C 的圆心为()3,2-，半径3r =，当l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为()02y k x -=-．1=，解得34k =-.所以直线l 的方程为()324y x =--，即3460x y +-=．当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件.（2）由于CP 而弦心距d == 所以d CP ==所以P 为MN 的中点．故以MN 为直径的圆Q 的方程为()2224x y -+=．（3）直线10ax y -+=，即1y ax =+，代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=．由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，解得a<0．则实数a 的取值范围是(),0∞-．若存在实数a ，使得过点P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心()3,2C -必在2l 上．所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =．由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ．【点睛】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题． 22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，||2||OA OB =．(1)若12BF F △的面积为431C 的标准方程；(2)如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求21OT OQ S k ⋅-的最大值．【答案】(1)221164x y +=； 153.【分析】（1）由已知条件由方程组可解出22,a b 得到椭圆方程.（2）直线方程与椭圆方程联立方程组，由韦达定理化简1S 和OQ OT ⋅，把21OT OQ S k⋅-表示为关于k 的函数，利用导数求解最大值. 【详解】（1）||2||OA OB =，∴2a b =，1212432BF F S b c =⋅=△3bc =，又222a b c =+，解得4,2,3a b c ===1C 的标准方程为：221164x y +=. （2）||2||OA OB =，∴2a b =，椭圆22122:14x y C b b +=，令()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x ，直线l 的方程为：(1)y k x =-，联立方程组： 222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得22222(14)8440k x k x k b +-+-=，由韦达定理得2122814k x x k +=+，221224414k b x x k-=+，有 121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+，因为：OM ON OQ +=，所以202814k x k =+，02214k y k -=+ ，将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： 222414k b k =+，而此时：()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=-+-=> . 令()11,S x y -，所以直线122221:()y y SN y y x x x x +-=-- ，令0y =得 ()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x -+-+-===+++-+- ，由韦达定理化简得24T x b =，12OMN S S =△，而12MN x =-=， O 点到直线l 的距离d =所以：1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++，2312280(14)OT OQ S k k k ⋅-=+，因为点P 在椭圆内部，所以 214b <，得2112k>，即k >令322()(14)k f k k =+ ，求导得 222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k -+---'==++，当213124k <<，k <<()0f k '>，()f k 单调递增；当 234k >，即k >()0f k '<，()f k 单调递减.所以：max()f k f =⎝⎭ ，即21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭ . 【点睛】思路点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)注意观察应用题设中的每一个条件，强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。