重庆市一中数学圆 几何综合专题练习(解析版)
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重庆市一中数学圆几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．
（1）求证：∠ECG＝∠BDC．
（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．
①若BF＝22时，求CE的长．
②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．
（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出1
2
S
S的值．
【答案】（1）详见解析；（2）①
182
5
；②当BE为10，
39
5
或
44
5
时，△CEG为等腰三角形；（3）
7
24
.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得BD＝10，
①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC ＝sin∠CBD，得出
3
5
CE CD
CF BD
==，根据勾股定理得到CF＝62CE
18
2
5
；
②分三种情况讨论求得：
当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝
∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；
当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝
24
5
，即可根据勾股定理求得GH，进而求得HE，即可求得BE＝BH＋HE＝
39
5
；
当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M，由tan∠ECM＝
4
3
EM
CM
=．设EM＝4k，则CM
＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝
21
42
GM k
EM k
==，即可得到tan∠GCH＝
GH CH =
1
2
．求得HE＝GH＝
12
5
，即可得到BE＝BH＋HE＝
44
5
；
（3）连接OE、EF、AE、EF，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF＝CE，进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得△ADE≌△CDE，通过证得△EHP∽△FBC，得出EH＝
1 6BF，即可求得BF＝6，根据勾股定理求得CF＝10，得出PE＝
10
6
，根据勾股定理求得
PH，进而求得PD，然后根据三角形面积公式即可求得结果．【详解】
（1）∵AB∥CD．
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠ECG，
∴∠ECG＝∠BDC．
（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴BD＝10，
如图1，连结EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°，
∵∠EFC＝∠CBD．
∴sin∠EFC＝sin∠CBD，
∴
3
5 CE CD CF BD
==
∴CF
∴CE
②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．∴E与D重合，
∴BE＝BD＝10．
Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，
∴CG＝CD＝6．
∵CH＝BC CD24 BD5
⋅
=，
∴GH
18
5 =，
在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（24
5
）2＝（x+
18
5
）2
解得x＝7
5
，
∴BE＝BH+HE＝32
5
+
7
5
＝
39
5
；
Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M．
∵tan∠ECM＝
4
3 EM
CM
=．
设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．
∴GM＝2k，tan∠GEM＝
21
42 GM k
EM k
==，
∴tan∠GCH＝GH
CH
＝tan∠GEM＝
1
2
．
∴HE＝GH＝12412 255
⨯=，
∴BE＝BH+HE＝321244 555
+=，
综上所述，当BE为10，39
5
或
44
5
时，△CEG为等腰三角形；
（3）解：∵∠ABC＝90°，
∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，如图3，连接OE、EF、AE、EF，
∵PE是切线，
∴OE⊥PE，
∵PE∥CF，
∴OE⊥CF，
∵OC＝OF，
∴CE＝EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴∠ECF＝45°，EF=
2
FC，
∴∠ABD＝∠ECF＝45°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∴AB＝AD＝8，
∴四边形ABCD是正方形，
∵PE∥FC，
∴∠EGF＝∠PED，
∴∠BGC＝∠PED，
∴∠BCF＝∠DPE，