统计学常用分布及其分位数

§1.4 常用的分布及其分位数

1. 卡平方分布

卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。

当X 1、X 2、…

、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i

i X 2 的分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分

布密度 p(z )=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ2n =u d e u u n ⎰∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1，

⎪⎭

⎫ ⎝⎛Γ21=π。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、

X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令

Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，

Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +，

即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。

2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且

X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n

Y X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度

P(z)=)()(221n n

n ΓΓ+2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n z 。

请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t

分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t 分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。

3. F 分布 若X 与Y 相互独立，且X ～2χ(n )，Y ～2χ(m )， 则Z=m

Y n X

的分布称为第一自由度等于n 、第二自由度等于m 的F 分布，记作Z ～F (n , m )，它的分布密度 p(z)=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧>++-⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ∙。其他,00,2)(1222222z m n z n m n z m n m n m m n n 请注意：F 分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度

的次序有关，当Z ～F (n , m )时，Z

1～F (m ,n )。 4. t 分布与F 分布的关系

若X ～t(n )，则Y=X 2～F(1,n )。

证：X ～t(n )，X 的分布密度p(x )=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+Γ221n n n π2121+-⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+n n x 。 Y=X 2的分布函数F Y (y ) =P{Y

当y ≤0时，F Y (y)=0，p Y (y )=0；

当y >0时，F Y (y ) =P{-y

与第一自由度等于1、第二自由度等于n 的F 分布的分布密

度相同，因此Y=X2～F(1,n)。

为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

4. 常用分布的分位数

1）分位数的定义

分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：

当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0 <α<1 时，α分位数是使P{X< xα}=F(xα)=α的数xα，

上侧α分位数是使P{X >λ}=1-F(λ)=α的数λ，

双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使

P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。

因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；

F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。

(uα)=α，

当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F

0,1

(u0.5α)=0.5α，

P{X

0,1

(u1-0.5α)=1-0.5α。

P{X

0,1

根据标准正态分布密度曲线的对称性，

当α=0.5时，uα=0；

当α<0.5时，uα<0。

uα=-u1-α。

如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出 u1-α，然后得到uα=-u1-α。

论述如下：当X～N(0,1)时，P{X< uα}= F

(uα)=α，

0,1

(u1-α)=1-α，

P{X< u1-α}= F

0,1

(u1-α)=α，

P{X> u1-α}=1- F

0,1

故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。

例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，

u 0.05=-u 0.95=-1.645，

u 0.01=-u 0.99=-2.326，

u 0.025=-u 0.975=-1.960，

u 0.005=-u 0.995=-2.576。